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江苏省无锡市江阴长泾中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷.一、单选题1．cos105cos45sin105sin45︒︒+︒︒=（ ）A ．B ．12-C ．12D 2．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知2b =，45A =o ，60B =o ，则a =（ ）A B ．2 C ．D ．43．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（ ）A ．14B ．38C ．12D ．344．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且2AP PB =u u u r u u u r ，则点P 的坐标为（ ）A ．()0,9B ．()6,9-C ．10,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()6,9-或10,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5．某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知平面向量a r ，b r 满足1b =r ，2a b ⋅=-r r ，则3a b -r r 在b r 上的投影向量为（ ）A ．7b rB ．7b -rC ．5b rD ．5b -r7．一个人骑自行车由A 地出发向正东方向骑行了4km 到达B 地，然后由B 地向南偏东30o 方向骑行了6km 到达C 地，再从C 地向北偏东30o 方向骑行了16km 到达D 地，则,A D 两地的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．26km 8．用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）A．2 B ．2 C ．2 D ．2二、多选题9．下列条件中能推导出ABC V 一定是锐角三角形的有（ ）A ．0AC AB ⋅>u u r u u r u u B ．sin :sin :sin 4:5:6A BC =C ．cos cos cos 0A B C >D ．tan tan 2A B ⋅=10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x 表示红色骰子的点数，y 表示绿色骰子的点数，定义事件：A =“7x y +=”，B =“xy 为奇数”，C =“3x >”，则下列结论正确的是（ ）A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 是对立事件C ．事件B 与C 相互独立D ．事件A 与C 相互独立11．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O 为圆心的两个扇形（如图2），若150AOB ∠=︒，22OA OC ==，点F 在»AB 上，120BOF ∠=︒，点E 在»CD 上，OE xOC yOD =+u u u r u u u r u u u r（x ，R y ∈），则（ ）A ．OE EF ⋅u u u r u u u r 的取值范围为[]2,1-B ．OE EF ⋅u u u r u u u r 的取值范围为[]3,1-C ．当OE EF ⊥u u u r u u u r 时，1x y +=D ．当OE EF ⊥u u u r u u u r 时，2x y +=三、填空题12．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之和为5的概率为.13．已知正三角形ABC 的边长为2，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅uu u r uu r 的最大值为.14．已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若cos sin cos2cos sin ααβαα-=+，则ta n ta n αβ+的最小值为．四、解答题15．在菱形ABCD 中，13AE AD =u u u r u u u r ，23BF BC =uu u r uu u r ，记AB a u u u r r =，AD b =u u u r r . (1)用a r ，b r 表示EF u u u r ；(2)若BD EF AB DA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，求cos A 的值.16．数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[]55,65，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值和第25百分位数；(2)在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在[)25,35和[)45,55内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[)25,35内的概率． 17．春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通讯专业，小青学的是电气工程专业.(1)若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通讯专业的概率；(2)若小红应聘成功的概率是12，小军应聘成功的概率是34，小青应聘成功的概率是23，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应聘成功的概率.18．在四边形ABCD 中，//,sin 2sin AB CD AD ADC CD ABC ∠∠⋅=⋅.(1)求证：2BC CD =.(2)若33AB CD ==，且60BDC ∠=︒，求四边形ABCD 的面积.19．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC 中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知ABC V 满足AC =2AB =，设0BAC ∠=（0πθ<<），四边形ABGF 、四边形ACED 、四边形BCQP 都是正方形．(1)当π2θ=时，求EQ 的长度； (2)求AQ 长度的最大值．。
