2021新高考一轮复习专题2.4 函数的周期性、对称性(解析版)
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专题6 函数的奇偶性、周期性与对称性基础知识要夯实1.函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.3.函数的周期性(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(4)函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x:①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).②若f(x+a)=1f(x),则T=2a(a>0).③若f(x+a)=-1f(x),则T=2a(a>0).(5)对称性的三个常用结论①若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.②若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.③若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.基本技能要落实1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y=x2在x∈(0,+∞)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.()(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.()(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√【解析】(1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性,(1)错.(2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x=0处有意义时才满足f(0)=0,(2)错.(3)由周期函数的定义,(3)正确.(4)由于y=f(x+b)的图象关于(0,0)对称,根据图象平移变换,知y=f(x)的图象关于(b,0)对称,正确.2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2-x【答案】B【解析】根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数;B选项为偶函数;C选项定义域为(0,+∞),不具有奇偶性;D选项既不是奇函数,也不是偶函数.3.(2020·衡水模拟)下列函数既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=x3B.y=x 14 C.y=|x| D.y=|tan x|【答案】C【解析】对于A,y=x3为奇函数,不符合题意;对于B,y=x 14是非奇非偶函数,不符合题意;对于D,y=|tan x|是偶函数,但在区间(0,+∞)上不单调递增.4.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=________.【答案】12【解析】∵x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,且f(x)在R上为奇函数,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.5.(2019·上海崇明二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x +1),则当x∈[1,2]时,f(x)=________.【答案】log2(3-x)【解析】当x∈[1,2]时,x-2∈[-1,0],2-x∈[0,1],又f(x)在R上是以2为周期的偶函数,∴f(x)=f(x-2)=f(2-x)=log2(2-x+1)=log2(3-x).核心素养要做实考点一判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)(2)f(x)=22,0,,0 x x xx x x⎧+<⎪⎨-+>⎪⎩【解析】(1)由223030xx⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩得x2=3,解得x=,即函数f(x)的定义域为{,从而f(x)0.因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.∵当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x);综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数.【思维升华】判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.【迁移应用】(1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=x+sin 2xB.y=x2-cos xC.y=2x+12xD.y=x2+sin x【答案】D【解析】对于A,定义域为R,f(-x)=-x+sin 2(-x)=-(x+sin 2x)=-f(x),为奇函数;对于B,定义域为R,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),为偶函数;对于C,定义域为R,f(-x)=2-x+12x=2x+12x=f(x),为偶函数;对于D,y=x2+sin x既不是偶函数也不是奇函数.考点二函数的周期性及其应用【例2】(1)(一题多解)(2020·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________.【答案】(1)C(2)7【解析】(1)法一∵f(x)在R上是奇函数,且f(1-x)=f(1+x).∴f(x+1)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x).因此f(x+4)=f(x),则函数f(x)是周期为4的函数,由于f(1-x)=f(1+x),f(1)=2,故令x=1,得f(0)=f(2)=0令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.法二 取一个符合题意的函数f (x )=2sin 2xπ,则结合该函数的图象易知数列{f (n )}(n ∈N *)是以4为周期的周期数列.故f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=12×[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)]+f (1)+f (2)=12×[2+0+(-2)+0]+2+0=2. (2)因为当0≤x <2时,f (x )=x 3-x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,且f (0)=0, 则f (6)=f (4)=f (2)=f (0)=0. 又f (1)=0,∴f (3)=f (5)=f (1)=0,故函数y =f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点有7个.【思维升华】1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时,应根据周期性或奇偶性,由待求区间转化到已知区间.2.若f (x +a )=-f (x )(a 是常数,且a ≠0),则2a 为函数f (x )的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数,优化了解题过程. 【迁移应用】(1)(2020·南充二模)设f (x )是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x (1+x ),则f 92⎛⎫-⎪⎝⎭=( ) A.-34B.-14C.14D.34(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当x ∈[-3,0]时,f (x )=6-x ,则f (919)=________. 【答案】(1)A (2)6【解析】 (1)∵f (x )是周期为4的奇函数,∴f 92⎛⎫-⎪⎝⎭=-f 92⎛⎫ ⎪⎝⎭=-f 12⎛⎫⎪⎝⎭, 又0≤x ≤1时,f (x )=x (1+x ),故f 92⎛⎫-⎪⎝⎭=-f 92⎛⎫⎪⎝⎭=-12 f 112⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-34.(2)∵f (x +4)=f (x -2),∴f [(x +2)+4]=f [(x +2)-2],即f (x +6)=f (x ), ∴f (919)=f (153×6+1)=f (1), 又f (x )在R 上是偶函数, ∴f (1)=f (-1)=6-(-1)=6,即f (919)=6.考点三 函数性质的综合运用 多维探究角度1 函数单调性与奇偶性【例3-1】 (2020·石家庄模拟)设f (x )是定义在[-2b ,3+b ]上的偶函数,且在[-2b ,0]上为增函数,则f (x -1)≥f (3)的解集为( ) A.[-3,3] B.[-2,4]C.[-1,5]D.[0,6]【答案】B【解析】 因为f (x )是定义在[-2b ,3+b ]上的偶函数, 所以有-2b +3+b =0,解得b =3,由函数f (x )在[-6,0]上为增函数,得f (x )在(0,6]上为减函数.故f (x -1)≥f (3)⇒f (|x -1|)≥f (3)⇒|x -1|≤3,故-2≤x ≤4.【思维升华】1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性. 2.本题充分利用偶函数的性质f (x )=f (|x |),避免了不必要的讨论,简化了解题过程. 角度2 函数的奇偶性与周期性【例3-2】 (1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +5)=f (x ),且当x ∈502⎛⎫ ⎪⎝⎭,时,f (x )=x 3-3x ,则f (2 018)=( ) A.2B.-18C.18D.-2(2)(2020·洛阳模拟)已知函数y =f (x )满足y =f (-x )和y =f (x +2)是偶函数,且f (1)=3π,设F (x )=f (x )+f (-x ),则F (3)=( ) A.3π B.23π C.π D.43π 【答案】(1)D (2)B【解析】 (1)∵f (x )满足f (x +5)=f (x ), ∴f (x )是周期为5的函数,∴f (2 018)=f (403×5+3)=f (3)=f (5-2)=f (-2),∵f (x )是奇函数,且当x ∈502⎛⎫ ⎪⎝⎭,时,f (x )=x 3-3x ,∴f (-2)=-f (2)=-(23-3×2)=-2,故f (2 018)=-2.(2)由y =f (-x )和y =f (x +2)是偶函数知f (-x )=f (x ),且f (x +2)=f (-x +2),则f (x +2)=f (x -2). ∴f (x +4)=f (x ),则y =f (x )的周期为4.所以F (3)=f (3)+f (-3)=2f (3)=2f (-1)=2f (1)=23π. 答案 (1)D (2)B【思维升华】周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解. 【迁移应用】(1)(2020·重庆九校模拟)已知奇函数f (x )的图象关于直线x =3对称,当x ∈[0,3]时,f (x )=-x ,则f (-16)=________.(2)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增函数.如果实数t 满足f (ln t )+f 1ln t ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤2f (1),那么t 的取值范围是________. 【答案】(1)2 (2)1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】(1)根据题意,函数f(x)的图象关于直线x=3对称,则有f(x)=f(6-x),又由函数为奇函数,则f(-x)=-f(x),则有f(x)=-f(6-x)=f(x-12),则f(x)的最小正周期是12,故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.(2)由于函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(ln t)=f1lnt⎛⎫ ⎪⎝⎭,由f(ln t)+f1lnt⎛⎫⎪⎝⎭≤2f(1),得f(ln t)≤f(1).又函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增函数,所以|ln t|≤1,即-1≤ln t≤1,故1e≤t≤e.达标检测要扎实1.下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是()A.y=|log3x|B.y=x3C.y=e|x|D.y=cos |x|【答案】C【解析】对于A选项,函数定义域是(0,+∞),故是非奇非偶函数,显然B项中,y=x3是奇函数.对于C选项,函数的定义域是R,是偶函数,且当x∈(0,+∞)时,函数是增函数,故在(0,1)上单调递增,正确.对于D 选项,y =cos |x |在(0,1)上单调递减.2.(一题多解)(2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )=⎩⎨⎧<≥+0),(0),1(log 3x x g x x , 则g (-8)=( ) A.-2 B.-3C.2D.3【答案】A【解析】法一 当x <0时,-x >0,且f (x )为奇函数, 则f (-x )=log 3(1-x ),所以f (x )=-log 3(1-x ). 因此g (x )=-log 3(1-x ),x <0, 故g (-8)=-log 39=-2.法二 由题意知,g (-8)=f (-8)=-f (8)=-log 39=-2.3.已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x +4)=f (x ),当x ∈(-2,0)时,f (x )=2x 2,则f (2 019)等于( ) A.-2 B.2C.-98D.98【答案】B【解析】由f (x +4)=f (x )知,f (x )是周期为4的函数, f (2 019)=f (504×4+3)=f (3), 又f (x +4)=f (x ),∴f (3)=f (-1), 由-1∈(-2,0)得f (-1)=2, ∴f (2 019)=2.4.(一题多解)已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )=xf (x ).若a =g (-log 25.1),b =g (20.8),c =g (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.c <b <a C.b <a <cD.b <c <a【答案】C【解析】法一易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数,∵奇函数f(x)在R上是增函数,且f(0)=0.∴g(x)在(0,+∞)上是增函数.又3>log25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1),∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8),则c>a>b.法二(特殊化)取f(x)=x,则g(x)=x2为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,又3>log25.1>20.8,从而可得c>a>b.5.(2020·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m的取值范围是()A.[-3,1]B.[-4,2]C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-4]∪[2,+∞)【答案】A【解析】因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于x=1对称,由f(m+2)≥f(x -1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,即|m+1|≤|x-2|在x∈[-1,0]恒成立,所以|m+1|≤|x-2|min,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1.6.(2020·石家庄模拟)已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围为()A.{x|0<x<1或x>2}B.{x|x<0或x>2}C.{x|x<0或x>3}D.{x|x<-1或x>1}【答案】A【解析】由题意知函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(-1)=0,不等式f(x-1)>0⇔f(x-1)>f(1)或f(x-1)>f(-1).∴x-1>1或0>x-1>-1,解之得x>2或0<x<1.5.[多选题]对于定义在R上的函数f(x),下列说法正确的是()A.若函数f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2)B.若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数C.若f(-2)=f(2),则函数f(x)不是奇函数D.若x0是二次函数y=f(x)的零点,且m<x0<n,则f(m)f(n)<0【答案】AB【解析】对于选项A,若函数f(x)是偶函数,有f(-x)=f(x),当x=2时,有f(-2)=f(2),正确;对于选项B,假设函数f(x)是偶函数,必有f(-x)=f(x)对所有实数均成立,而f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数,正确;对于选项C,当f(-2)=f(2)=0时,函数f(x)可能为奇函数,错误;对于选项D,对于二次函数f(x)=x2,其零点x0=0,若m<x0<n,那么f(m)f(n)>0,错误.6.[多选题]函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则()A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)=f(x+4) D.f(x+3)是奇函数【答案】CD【解析】∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,∴函数f(x)关于点(1,0)及点(-1,0)对称,∴f(x)+f(2-x)=0,f(x)+f(-2-x)=0,故有f(2-x)=f(-2-x),函数f(x)是周期T=2-(-2)=4的周期函数,选项C正确;∵f(-x-1+4)=-f(x-1+4),即f(-x+3)=-f(x+3),∴f(x+3)是奇函数,选项D正确.故选C、D.a+)为偶函数,则a=________.6.若函数f(x)=x ln(x+2x【答案】1a+)为奇函数,【解析】f(x)为偶函数,则y=ln(x+2x所以ln(x +2x a +)+ln(-x +2x a +)=0,则ln(a +x 2-x 2)=0,∴a =1.7.若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,f (x )=4x ,则f )25(-+f (2)=________.【答案】-2【解析】∵f (x )是定义在R 上的奇函数,∴f (0)=0,又f (x )在R 上的周期为2,∴f (2)=f (0)=0.又f )25(-=f )21(-=-f )21(=-2, ∴f )25(-+f (2)=-2. 8.设函数f (x )=ln(1+|x |)-211x +,则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是________. 【答案】)1,31( 【解析】 由f (x )=ln(1+|x |)-211x+,知f (x )为R 上的偶函数,于是f (x )>f (2x -1)即为f (|x |)>f (|2x -1|). 当x ≥0时,f (x )=ln(1+x )-211x +,所以f (x )为[0,+∞)上的增函数,则由f (|x |)>f (|2x -1|)得|x |>|2x -1|,两边平方得3x 2-4x +1<0,解得31<x <1. 13.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且对任意的x ∈R 恒有f (x +1)=f (x -1),已知当x ∈[0,1]时,f (x )=2x ,则有①2是函数f (x )的周期;②函数f (x )在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;③函数f (x )的最大值是1,最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.【答案】①②【解析】在f (x +1)=f (x -1)中,令x -1=t ,则有f (t +2)=f (t ),因此2是函数f (x )的周期,故①正确;当x ∈[0,1]时,f (x )=2x 是增函数,根据函数的奇偶性知,f (x )在[-1,0]上是减函数,根据函数的周期性知,函数f (x )在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故②正确;由②知,f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max =f (1)=2,f (x )的最小值f (x )min =f (0)=f (2)=20=1且f (x )是周期为2的周期函数,∴f (x )的最大值是2,最小值是1,故③错误.9.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f 是奇函数.(1)求实数m 的值;(2)若函数f (x )在区间[-1,a -2]上单调递增,求实数a 的取值范围.【解析】(1)设x <0,则-x >0,所以f (-x )=-(-x )2+2(-x )=-x 2-2x .又f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ).于是x <0时,f (x )=x 2+2x =x 2+mx ,所以m =2.(2)要使f (x )在[-1,a -2]上单调递增,结合f (x )的图象知⎩⎨⎧≤-->-1212a a ,所以1<a ≤3, 故实数a 的取值范围是(1,3].14.设f (x )是(-∞,+∞)上的奇函数,f (x +2)=-f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )=x .(1)求f (π)的值;(2)当-4≤x ≤4时,求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积.【解析】(1)由f (x +2)=-f (x )得,f (x +4)=f [(x +2)+2]=-f (x +2)=f (x ),所以f (x )是以4为周期的周期函数,所以f (π)=f (-1×4+π)=f (π-4)=-f (4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f (x )是奇函数且f (x +2)=-f (x ),得f [(x -1)+2]=-f (x -1)=f [-(x -1)],即f (1+x )=f (1-x ).故知函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称.又当0≤x ≤1时,f (x )=x ,且f (x )的图象关于原点成中心对称,则f (x )的图象如下图所示.当-4≤x ≤4时,f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ,则S =4S △OAB =4×)1221(⨯⨯=4.。
考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性【2022年新高考全国Ⅰ卷】(多选题)已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ,记()()g x f x '=,若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2)g x +均为偶函数,则( ) A .(0)0f = B .102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C .(1)(4)f f -=D .(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】 【分析】转化题设条件为函数的对称性,结合原函数与导函数图象的关系,根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2)g x +均为偶函数,所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(2)(2)g x g x +=-,所以()()3f x f x -=,(4)()g x g x -=,则(1)(4)f f -=,故C 正确;函数()f x ,()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称,又()()g x f x '=,且函数()f x 可导,所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以()(4)()3g x g x g x -==--,所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=, 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()()112g g g -==-,故B 正确,D 错误;若函数()f x 满足题设条件,则函数()f x C +(C 为常数)也满足题设条件,所以无法确定()f x 的函数值,故A 错误.故选:BC. 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质,准确把握原函数与导函数图象间的关系,准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.【2022年新高考全国II 卷】已知函数()f x 的定义域为R ,且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==,则221()k f k ==∑( )A .3-B .2-C .0D .1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6,求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值,即可解出.【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=,令1,0x y ==可得,()()()2110f f f =,所以()02f =,令0x =可得,()()()2f y f y f y +-=,即()()f y f y =-,所以函数()f x 为偶函数,令1y =得,()()()()()111f x f x f x f f x ++-==,即有()()()21f x f x f x ++=+,从而可知()()21f x f x +=--,()()14f x f x -=--,故()()24f x f x +=-,即()()6f x f x =+,所以函数()f x 的一个周期为6.因为()()()210121f f f =-=-=-,()()()321112f f f =-=--=-,()()()4221f f f =-==-,()()()5111f f f =-==,()()602f f ==,所以一个周期内的()()()1260f f f +++=.由于22除以6余4,所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑.故选:A .1.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称; 函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义,则有(0)0f =; 偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反;奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称,则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-,1()[()()]2h x f x f x =--,则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律:运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数,如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论:奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶; 奇()⨯÷奇=偶;奇()⨯÷偶=奇;偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来:内偶则偶,两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数:①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+.②函数()()x x f x a a -=±-. ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++ ④函数2()log (1)a f x x x =+或函数2()log (1)a f x x x =+. 注意:关于①式,可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+.偶函数:①函数()()x x f x a a -=±+. ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-. ③函数(||)f x 类型的一切函数. ④常数函数 2.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系()周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数()y f x =有两条对称轴x a =,()x b a b =<,则函数()f x 是周期函数,且2()T b a =-; (2)若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <,则函数()y f x =是周期函数,且2()T b a =-;(3)若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <,则函数()y f x =是周期函数,且4()T b a =-.4.对称性技巧(1)若函数()y f x =关于直线x a =对称,则()()f a x f a x +=-. (2)若函数()y f x =关于点()a b ,对称,则()()2f a x f a x b ++-=.(3)函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称,函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称.1.(1)如果一个奇函数()f x 在原点处有定义,即(0)f 有意义,那么一定有(0)0f =. (2)如果函数()f x 是偶函数,那么()(||)f x f x =.2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3.函数周期性常用结论对()f x 定义域内任一自变量的值x : (1)若()()f x a f x +=-,则2(0)T a a =>. (2)若1()()f x a f x +=,则2(0)T a a =>. (3)若1()()f x a f x +=-,则2(0)T a a =>. 4.对称性的三个常用结论(1)若函数()y f x a =+是偶函数,则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.(2)若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或()(2)f x f a x -=+,则()y f x =的图象关于直线x a =对称.(3)若函数()y f x b =+是奇函数,则函数()y f x =的图象关于点(,0)b 中心对称. 5.两个奇偶函数四则运算的性质 (1)两个奇函数的和仍为奇函数; (2)两个偶函数的和仍为偶函数; (3)两个奇函数的积是偶函数; (4)两个偶函数的积是偶函数;(5)一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
第二章 函数2.3.1函数的周期性与对称性(题型战法)知识梳理一 函数的周期性函数()y f x =满足定义域内的任一实数x (其中,a b 为常数) (1)()()f x f x a =+,则()x f 是以T a =为周期的周期函数; (2)()()f x a f x b +=-, 则()x f 是以b a T +=为周期的周期函数; (3)()()f x a f x +=-,则()x f 是以2T a =为周期的周期函数; (4)()()1f x a f x +=±,则()x f 是以2T a =为周期的周期函数; 二 函数的对称性轴对称:若()()f a x f b x +=- 则f(x)关于2ba x +=对称. 中心对称:若()()2f a x f b x m ++-= 则f(x)关于(2ba +,m) 对称.三 由对称性推周期性(1) 函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-(0a >),①若()x f 为奇函数,则函数()f x 4T a =,②若()x f 为偶函数,则函数()f x 周期为2T a =.(2) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b ≠都对称,则函数()f x 是以2a b -为最小正周期的周期函数;(3) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y ,()0,B b y ()a b ≠都对称,则函数()f x 是以2a b -为最小正周期的周期函数;(4) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b ≠都对称,则函数()f x 是以4a b -为最小正周期的周期函数;题型战法题型战法一 周期性与对称性的判断典例1.下列函数是周期函数的有( ) ①sin y x = ①cos y x = ①2y xA .①①B .①①C .①①D .①①①【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数和二次函数的性质可得. 【详解】易得sin y x =和cos y x =是周期函数,2y x 不是周期函数. 故选:C.变式1-1.下列函数中,既是周期函数又是偶函数的是( ) A .0.5log y x = B .sin y x =C .cos y x =D .tan y x =【答案】C 【解析】直接利用函数性质判断即可. 【详解】选项A 中0.5log y x =不是周期函数,故排除A; 选项B,D 中的函数均为奇函数,故排除B,D; 故选:C. 【点睛】本题考查基本初等函数的周期性和奇偶性,属于基础题. 变式1-2.函数x y e =与x y e -=的图象( ) A .关于x 轴对称 B .关于y 轴对称 C .关于原点对称 D .关于直线y x =对称【答案】B 【解析】 【分析】设点00(,)P x y 在函数x y e =图象上,证明00(,)P x y 关于y 轴对称的点00(,)x y -在函数x y e -=的图象上.【详解】解:设点00(,)P x y 在函数x y e =图象上,则00xy e =,则00(,)P x y 关于y 轴对称的点00(,)x y -满足0()0x x y ee --==, 所以点00(,)x y -在函数x y e -=的图象上. 故选:B变式1-3.函数91()3x x f x +=的图像( )A .关于直线1x =对称B .关于y 轴对称C .关于原点对称D .关于x 轴对称【答案】B 【解析】 【分析】利用分离常数法化简函数式,可知函数()f x 为偶函数,进而判断对称性. 【详解】 解:因为()()231911333333x xx x x xxxf x -++===+=+,()()33x x f x f x --=+= 易知()f x 为偶函数,所以函数()f x 的图象关于y 轴对称. 故选:B.变式1-4.函数1()f x x x=+的图象关于( )对称. A .直线y x = B .原点C .y 轴D .x 轴【答案】B 【解析】根据函数的奇偶性判断. 【详解】因为函数1()f x x x=+的定义域为{}|0x x ≠,关于原点对称, 又11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭, 所以()f x 是奇函数,图象关于原点对称, 故选:B题型战法二 由函数周期性求函数值典例2.已知函数()y f x =为R 上的偶函数,若对于0x ≥时,都有()()4f x f x =+,且当[)0,2x ∈时,()()2log 1f x x =+,则()2021f -等于( ) A .1 B .-1 C .2log 6 D .23log 2【答案】A 【解析】 【分析】由已知确定函数的周期,利用周期性和奇偶性进行求解. 【详解】①()y f x =为R 上的偶函数,①(2021)(2021)f f -=, 又当0x ≥时,()(4)f x f x =+, ①(2021)(2017)(1)f f f ==⋅⋅⋅=, 当[)0,2x ∈时,2()log (1)=+f x x , ①2(2021)(1)log (11)1f f -==+=. 故选:A.变式2-1.定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=,当[1,1]x ∈-时,2()1f x x =+,则(2020.5)f =( ) A .1716B .54C .2D .1【答案】B 【解析】 【分析】由()()2f x f x +=可知,函数()f x 的周期为2,利用周期性把所给的自变量转化到区间[]1,1-上,代入求值即可. 【详解】由()()2f x f x +=可知,函数()f x 的周期为2,当[1,1]x ∈-时,2()1f x x =+, ①1115(2020.5)202012244f f f ⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:B变式2-2.已知函数()f x 是R 上的偶函数,若对于0x ≥,都有()()2f x f x +=.且当[)0,2x ∈时,()()2log 1f x x =+,则()()20132014f f -+的值为( )A .2-B .1-C .1D .2【答案】C 【解析】 【分析】由()()2f x f x +=可得函数的周期为2,再结合函数为偶函数可得()()()()2013201410f f f f -+=+,然后由已知的解析式可求得答案【详解】①函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数, ①()()f x f x -=,又①对于0x ≥都有()()2f x f x +=,①2T =,①当[)0,2x ∈时,()()2log 1f x x =+,①()()()()()()201320142013201421006121007f f f f f f -+=+=⨯++⨯()()2210log 2log 11f f =+=+=,故选:C.变式2-3.已知定义在R 上的偶函数()f x ,对x ∀∈R ,有(6)()(3)f x f x f +=+成立,当03x ≤≤时,()26f x x =-,则()2021f =( ) A .0 B .2-C .4-D .2【答案】C 【解析】 【分析】求得()f x 的周期,结合奇偶性求得()2021f 的值. 【详解】依题意对x ∀∈R ,有(6)()(3)f x f x f +=+成立, 令3x =-,则()()()()33323f f f f =-+=, 所以()30f =,故()()6f x f x +=, 所以()f x 是周期为6的周期函数,故()()()()202163371112164f f f f =⨯-=-==⨯-=-. 故选:C变式2-4.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,f (1)5=,且(4)()f x f x +=-,则(2020)(2021)f f +的值为( )A .0B .5-C .2D .5【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,分析可得(8)(4)()f x f x f x +=-+=,即函数()f x 是周期为8的周期函数,则有(2020)(0)f f =,(2021)f f =(1),由奇函数的性质求出(0)f 与f (1)的值,相加即可得答案. 【详解】解:根据题意,函数()f x 满足(4)()f x f x +=-,则有(8)(4)()f x f x f x +=-+=, 即函数()f x 是周期为8的周期函数,函数()f x 是定义在R 上的奇函数,则(0)0f =,(2020)(48252)f f f =+⨯=(4)(0)0f ==, (2021)(58252)f f f =+⨯=(5)f =-(1)5=-,则(2020)(2021)(0)f f f f +=+(1)5=-, 故选:B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用,注意分析函数的周期性,属于基础题.题型战法三 由函数对称性求函数值典例3.如果函数()f x 对任意的实数x ,都有()1()f x f x +=-,且当12x ≥时,()()2log 31f x x =-,那么函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和为( )A .2B .3C .4D .-1【答案】C 【解析】根据()1()f x f x +=-,可知:()f x 关于12x =对称,根据对称性,要求函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和,即求函数()f x 在[]1,3上的最大值与最小值之和,代入即可得解. 【详解】根据()1()f x f x +=-,可知:()f x 关于12x =对称, 那么要求函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和, 即求函数()f x 在[]1,3上的最大值与最小值之和,因为()()2log 31f x x =-递增,所以最小值与最大值分别为:(1)1f =,(3)3f =, (1)(3)4f f +=,故答案为:C. 【点睛】本题考查了函数的对称性,考查了转化思想,计算量较小,思路要求较高,属于中档题.变式3-1.已知3()4f x ax bx =+-,若(2)6f =,则(2)f -=( ) A .-14 B .14 C .6 D .10【答案】A 【解析】 【分析】先计算(2)+(2)f f -,再代入数值得结果. 【详解】(2)+(2)8248248f f a b a b -=+----=-,又(2)6f =,所以(2)14,f -=-故选A 【点睛】本题考查函数性质,考查基本分析求解能力,属基础题.变式3-2.已知函数124xy a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的图象与指数函数x y a =的图象关于y 轴对称,则实数a 的值是 A .1B .2C .4D .8【答案】C 【解析】 【分析】指数函数xy a =关于y 轴对称的函数为1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,由此得到124a -与a 的关系,即可求解出a 的值. 【详解】因为两函数的图象关于y 轴对称,所以124a -与a 互为倒数, 所以124aa =-,解得4a =. 故选C. 【点睛】本题考查指数函数图象对称与底数之间关系,难度较易.关于y 轴对称的指数函数的底数互为倒数.变式3-3.设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称,则a 的值为 A .1- B .1 C .2 D .3【答案】D 【解析】 【详解】试题分析:因为函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称,所以点()()1,1f --与点()(),a f a ,关于直线1x =对称,11,32aa -+==,故选D.考点: 函数的图象与性质.变式3-4.已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称,则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )AB C .D【解析】 【分析】先由对称性求得a ,再将4π代入函数解析式即可求得答案.【详解】因为()f x 的图象关于直线3x π=对称,所以()203f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,即112=-,解得a =4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选:B题型战法四 由周期性与对称性求函数解析式典例4.设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数,已知[23]x ∈,时,()f x x =,则x ∈[-2,0]时,f (x )的解析式为f (x )=( ) A .4x + B .2x - C .31x -+ D .21x -+【答案】C 【解析】 【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性,结合[]2,3x ∈时,()f x x =,可得答案. 【详解】解:∵()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数,[]2,3x ∈时,()f x x =,∴[]21x ∈--,时, []20,1x +∈,[]42,3x +∈,此时()()44f x f x x =+=+,[]1,0x ∈-时,[]0,1x -∈,[]22,3x -∈,此时()()()22f x f x f x x =-=-=-, 综上可得:[]2,0x ∈-时,()31f x x =-+ 故选:C .本题考查函数解析式的求法,函数的周期性,函数的奇偶性,难度中档. 变式4-1.已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=,当(1,0)x ∈-时,有()2x f x =,则当x ①(-3,-2)时,()f x 等于( ) A .2x B .2x - C .22x + D .(2)2x -+-【答案】C 【解析】令(32)x ∈--,,则2(1,)x +∈-0,根据(1,0)x ∈-时,f (x )=2x ,可求得f (x +2)的解析式,再根据f (x +2)=f (x ),即可求得f (x )解析式. 【详解】令(32)x ∈--,,则2(1,)x +∈-0, ①当(1,0)x ∈-时,有()2x f x =, ①f (x +2)=2x +2, ①f (x +2)=f (x ),①f (x +2)=f (x )=2x +2,(32)x ∈--,. 故选:C . 【点睛】本题考查函数解析式的求法,求函数解析式常见的方法有:待定系数法,换元法,凑配法,消元法等,考查学生的计算能力,属于基础题.变式4-2.已知()f x 是定义在R 上周期为2的函数,当[]1,1x ∈-时,()||f x x =,那么当[]7,5x ∈--时()f x =( ) A .|3|x + B .|3|x -C .|6|x +D .|6|x -【答案】C 【解析】利用周期函数的定义求解即可. 【详解】设[]7,5x ∈--,则[]61,1x +∈-, 由题意知,()66f x x +=+,因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的函数, 所以()()6f x f x +=,即()6f x x =+.故选: C 【点睛】本题考查周期函数的性质;熟练掌握周期函数的定义是求解本题的关键;属于常考题.变式4-3.若函数()f x 与()3xg x =的图象关于直线3x =对称,则()f x =( )A .33x -B .33x -C .63x -D .63x -【答案】D 【解析】 【分析】先设出函数()f x 图像上任意点的坐标,再求出关于直线3x =对称的点,代入函数()g x 的解析式即可求解. 【详解】解:设函数()y f x =图像上的点为(,)M x y ,关于直线3x =对称的点为(6,)N x y -, 将点N 代入函数()y g x =的解析式可得:63x y -=, 故6()3x f x -=, 故选:D .变式4-4.下列函数中,其图象与函数2x y =的图象关于直线1x =对称的是( ) A .12x y -= B .22x y -= C .12x y += D .22x y +=【答案】B 【解析】 【分析】设所求函数图象上任意一点为(),x y ,由其关于直线1x =的对称点()2,x y -在函数2x y =的图象上可解得结果.【详解】设所求函数图象上任意一点为(),x y ,则其关于直线1x =的对称点()2,x y -在函数2x y =的图象上,所以22x y -=.故选:B.题型战法五 由周期性与对称性比较大小典例5.定义在R 上的函数()f x 满足:()()4f x f x +=成立且()f x 在[]2,0-上单调递增,设()6a f =,(b f =,()4c f =,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a b c >> B .a c b >> C .b c a >> D .c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】由()()4f x f x +=,得到()f x 是周期为4的周期函数,得到(6)(2),(4)(0)f f f f =-=,4)f f =,结合()f x 在[]2,0-上单调递增,得到(2)4)(0)f f f -<<,即可求解. 【详解】由题意,函数()f x 满足()()4f x f x +=,即函数()f x 是周期为4的周期函数,则(6)(68)(2),4),(4)(0)f f f f f f f =-=-==,又由函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增,可得(2)4)(0)f f f -<<,即(6)(4)f f f <<,所以c b a >>. 故选:D.变式5-1.已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数,且()()2f x f x +=-,若()f x 在区间[]0,1是减函数,则53f ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(1f ,112f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是( ) A .()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .()511132f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .()511132f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】根据已知等式判断出函数的周期性,再根据奇函数的性质和单调性进行判断即可. 【详解】()()()()()()22224f x f x f x f x f x f x +=-⇒++=-+⇒=+,由此可知函数()f x 的周期为4,函数()f x 是奇函数,()()2f x f x +=-,所以有:55771142333333f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,113311142222222f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-+=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为()f x 在区间[]0,1是减函数,11132<<, 所以()11132f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故选:B变式5-2.已知函数()f x 的定义域为 R ,且满足下列三个条件: ①对任意的[]12,4,8x x ∈ ,且 12x x ≠,都有()1212()0f x f x x x ->- ;①(8)()f x f x +=;①(4)y f x =+ 是偶函数;若(7),(11)a f b f =-=,(2020)c f =,则,,a b c 的大小关系正确的是( ) A .a b c << B .b a c << C .b c a << D .c b a <<【答案】D 【解析】由已知条件可知()f x 在[]4,8上单调递增,周期为8,对称轴为4x =.则()7a f =,()5b f =,()4c f =,再结合函数的单调性即可判断大小.【详解】解:由①知,()f x 在[]4,8上单调递增;由①知,()f x 的周期为8; 由①知,()f x 的对称轴为4x =;则()()()717a f f f =-==,()()()()1183835b f f f f =-==-=,()()202025284c f f =-⨯=,因为457<<,由函数的单调性可知,c b a <<. 故选:D. 【点睛】本题考查了函数的对称性,考查了函数的周期,考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的性质.变式5-3.定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件:①对于任意的实数x ∈R ,都有()()220f x f x ++-=成立;①函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称;①对任意的1x ,[]20,1x ∈,12x x ≠,都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ,()2022f ,()2023f 的大小关系为( )A .()()()202120232022f f f >>B .()()()202120222023f f f >>C .()()()202320222021f f f >>D .()()()202220212023f f f >>【答案】B 【解析】 【分析】由①①可得函数()f x 是周期为4的函数,且()f x 是奇函数,由①可得函数()f x 在[]0,1上单调递增,进而可得函数()f x 在[]1,1-上单调递增,从而利用周期性和单调性即可求解. 【详解】解:由题意,因为函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称,所以()()11f x f x +=-+, 所以()()2f x f x =-,所以函数()f x 的图象关于1x =对称,又()()220f x f x ++-=,所以()()20f x f x ++=,即()()2f x f x +=-, 因为()()()222f x f x f x ++=-+=⎡⎤⎣⎦,所以函数()f x 是周期为4的函数, 所以()()20211f f =,()()()202220f f f ==,()()20231f f =-, 因为()()2f x f x +=-,且()()2f x f x +=-,所以()()f x f x -=-, 所以函数()f x 为奇函数,又因为对任意的1x ,[]20,1x ∈,12x x ≠,都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立,即()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦, 所以函数()f x 在[]0,1上单调递增, 所以函数()f x 在[]1,1-上单调递增,因为101>>-,所以()()()202120222023f f f >>, 故选:B.变式5-4.已知定义在R 上的函数()f x 满足,①()()2f x f x +=,① ()2f x -为奇函数,①当[)0,1x ∈时,()()12120f x f x x x ->-()12x x ≠恒成立.则152f ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()4f 、112f⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系正确的是( ) A .()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据单调性的定义可得()f x 在0,1上单调递增,根据已知条件可得()f x 是周期为2的奇函数,根据周期性和单调性即可求解. 【详解】由()()2f x f x +=可得()f x 的周期为2, 因为()2f x -为奇函数,所以()f x 为奇函数, 因为[)0,1x ∈时,()()12120f x f x x x ->-,所以()f x 在0,1上单调递增,因为()f x 为奇函数,所以()f x 在1,0上单调递增, 所以()f x 在()1,1-上单调递增, 因为1515124222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()()44220f f f =-⨯=,1111123222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以()11022f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:C.题型战法六 由抽象函数周期性与对称性求函数值典例6.已知()f x 是定义域为R 的偶函数,()10f =,()5.52f =,()()()1g x x f x =-.若()1g x +是偶函数,则()0.5g -=( ) A .-3 B .-2 C .2 D .3【答案】D 【解析】 【分析】根据()1g x +得到()g x 关于1x =对称,得到()()2g x g x =-,结合()()()1g x x f x =-和()f x 为偶函数即可得()f x 周期为4,进而即得.【详解】因为()1g x +为偶函数,则()g x 关于1x =对称,即()()2g x g x =-. 即()()()()112x f x x f x -=--,即()()20f x f x +-=,()10f =也满足. 又()f x 是定义域为R 偶函数,关于y 轴对称,①()()2f x f x =--,()()()()()2,42f x f x f x f x f x +=-+=-+=, ①()f x 周期为4,①()()()()5.5 1.5 2.5 2.52f f f f ==-==, ①()()()0.5 2.5 1.5 2.53g g f -===. 故选:D.变式6-1.已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立,又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称,且(1)2022,f = 则(45)f =( )A .2021B .2021-C .2022D .2022-【答案】D 【解析】 【分析】首先利用赋值法求出()20f =,代入等式赋值得到(4)()f x f x +=-,即对称轴为2x =,再根据函数图象的平移规律判断函数为奇函数,进一步求得函数周期,进而得到(45)(3)(3)(1)f f f f =-=-=-.【详解】因为对任意x ∈R ,都有(3)(1)9(2),f x f x f +=-+ 令1,x =- 得(2)(2)9(2),f f f =+ 解得(2)0,f = 则(3)(1),f x f x +=- 即(4)(),f x f x +=- 所以函数()f x 的图象关于直线2x =对称.又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称,则函数()f x 的图象关于点(0,0)对称, 即函数()f x 为奇函数,所以(4)()(),f x f x f x +=-=-所以(8)(4)(),f x f x f x +=-+= 所以8是函数()f x 的一个周期, 所以(45)(683)(3)(3)(1)2022,f f f f f =⨯-=-=-=-=- 故选:D.变式6-2.若定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足()0f x >,1(2)()f x f x +=,对任意的x ∈R 恒成立,则()2021f =( ) A .4 B .3 C .2 D .1【答案】D 【解析】 【分析】根据题干条件得到()f x 为周期函数,最小正周期为4,进而得到()()20211f f =,利用()f x 是偶函数得到()()11f f -=,进而得到()211f =,结合()0f x >,得到()11f =.【详解】1(2)()f x f x +=,则1()(2)f x f x =-,所以1(2)(2)()f x f x f x +==-,即()()4f x f x +=,()f x 为周期函数,最小正周期为4,则()()()2021505411f f f =⨯+=,令1x =-得:1(12)(1)f f -+=-,即()()111f f =-,又因为()f x 为偶函数,所以()()11f f -=,故()()111f f =,即()211f =,因为()0f x >,所以()11f =.故选:D变式6-3.已知定义在R 上的函数()f x ,满足()()0f x f x ,(5)(5)f x f x -=+,且(1)2022f =,则(2020)(2021)f f -=( )A .2026B .4044C .2022-D .4044-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知函数是奇函数,进而推导()f x 的周期,然后求出函数值即可. 【详解】()()0f x f x -+=,()()f x f x ∴-=-,()f x ∴是奇函数,x R ∈,(0)=0f ∴.(5)(5)f x f x -=+,()(10)f x f x ∴-=+,由()()()(10)f x f x f x f x ,()(20)f x f x ∴=+,()f x ∴的周期为20T =.0(1)202()20=f f =,.(0)(1)020222022(2020)(2021)f f f f ∴-=-=--=.故选:C变式6-4.函数()f x 定义域为R ,且,(4)()2(2)x R f x f x f ∀∈+=+,若函数(1)f x +的图象关于1x =-对称,且(1)3f =,则(2021)f =( ) A .3 B .-3C .6D .-6【答案】A 【解析】 【分析】由题设可知()f x 为偶函数且(2)(2)2(2)f f f =-+,即可得(2)0f =,易知()f x 是周期为4的函数,利用周期性求(2021)f 即可. 【详解】①(1)f x +的图象关于1x =-对称, ①()f x 关于y 轴对称,即()f x 为偶函数,又(2)(2)2(2)f f f =-+,即(2)(2)0f f +-=,而(2)(2)f f =-, ①(2)(2)0f f =-=,故,(4)()x R f x f x ∀∈+=, ①()f x 是周期为4的函数,综上,(2021)(45051)(1)3f f f =⨯+==. 故选:A。
第四讲函数的周期性与对称性一.对称性(一)对称轴1.概念:如果一个函数的图像沿着一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称函数具备对称性中的轴对称,该直线称为函数的对称轴。
2.常见函数的对称轴①常数函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数:是轴对称,不是中心对称,其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数:既是轴对称又是中心对称,其中原点为它的对称中心,y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数:既不是轴对称,也不是中心对称⑥对数函数:既不是轴对称,也不是中心对称⑦幂函数:显然幂函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点;幂函数中的偶函数是轴对称,对称轴是y 轴;而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中(kπ,0)是它的对称中心,x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数:正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称,只需从ωx+φ=kπ中解出x,就是它的对称中心的横坐标,纵坐标当然为零;只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x,就是它的对称轴;需要注意的是如果图像向上向下平移,对称轴不会改变,但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中x=kπ是它的对称轴,(kπ+π/2,0)是它的对称中心⑾正切函数:不是轴对称,但是是中心对称,其中(kπ/2,0)是它的对称中心,容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是(kπ,0)⑿对号函数:对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称,原点是它的对称中心。
⒀三次函数:显然三次函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
⒁绝对值函数:这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。
2021年高考数学一轮复习专题2.4函数奇偶性与周期性练1.【xx辽宁沈阳东北育才学校模拟】若函数是奇函数,函数是偶函数,则A. 函数是奇函数B. 函数是奇函数C. 函数是奇函数D. 是奇函数【答案】B,是偶函数,故选项D不正确;综上,正确的只有选项B,故选B.2.【xx浙江模拟】已知,都是偶函数,且在上单调递增,设函数()()(1)()(1)F x f x g x f x g x=+----,若,则()A.且B.且C.且D.且【答案】A.【解析】由题意得,2(1),()(1) ()2(),()(1)g x f x g xF xf x f xg x-≥-⎧=⎨<-⎩,∴2(1),()()(1)()2(),()()(1)g a f a f a g aF af a f a f ag a+=-≥+⎧-=⎨-=-<+⎩,2(1),()(1)()2(),()(1)g a f a g aF af a f ag a-≥-⎧=⎨<-⎩,综上可知,同理可知,故选A.3.若函数是奇函数,则使成立的的取值范围为( )(A )( ) (B)() (C ) (D )【答案】【解析】由题意,即所以,,由得,故选.4.【xx 课标II 】已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则 ________.【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=5.【xx 山东】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当 时,,则f (919)= .【答案】【解析】由f (x +4)=f (x -2)可知,是周期函数,且,所以(919)(66531)(1)f f f =⨯+= .B 能力提升训练1.【xx 辽宁重点中学作协体模拟】 ),, ,则( ) A. B. C. 0 D. 不存在【答案】B奇函数,由可知,应选答案B 。
2.【xx 山西孝义模拟】已知函数,满足和是偶函数,且,设,则 ( )A. B. C. D.【答案】B3.已知函数为奇函数,则.【答案】-28【解析】由函数是奇函数,,当时,.4.设函数f(x)=(x+1)2+sin xx2+1的最大值为M,最小值为m.则M+m=________.【答案】2【解析】22221sin2sin()111x x x x xf xx x++++==+++,令,则,∴为奇函数,由奇函数图象的对称性知,故.5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数a满足,则a的取值范围是______.【答案】【解析】由题意在上递减,又是偶函数,则不等式或化为,则,,解得,即答案为.C 思维拓展训练1.【xx安徽淮北二模】已知函数()()20172017log3,0{log,0m x sinx xf xx nsinx x+>=-+<为偶函数,则()A. B. C. D.【答案】A2.【xx河南息县一中模拟】定义在上的偶函数满足:,在区间与上分别递增和递减,则不等式()((1))4161228f g f∴-=-=--=-的解集为()A. B.C. D.【答案】D【解析】∵偶函数()满足,∴,且在区间与上分别递增和递减,求即等价于求函数在第一、三象限图形的取值范围.即函数图象位于第三象限,函数图象位于第一象限.综上说述:的解集为,故选D.3.【xx安徽合肥一模】已知函数()()()22sin11f x x x x x=--++在上的最大值为,最小值为,则()A. 4B. 2C. 1D. 0 【答案】A4.设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,,10,()2,01,5x a xf xx x+-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中若,则的值是 . 【答案】【解析】51911123 ()()()()22222255f f f f a a-=-==⇒-+=-⇒=,因此32 (5)(3)(1)(1)155 f a f f f===-=-+=-5.已知定义在R上的奇函数满足,且时,,给出下列结论:①;②函数在上是增函数;③函数的图像关于直线x=1对称;④若,则关于x的方程在[-8,16]上的所有根之和为12.则其中正确的命题为_________.【答案】①④①④.。
第四节函数的奇偶性与周期性[备考方向要明了]考什么怎么考1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. 1.高考对函数奇偶性的考查有两个方面:一是函数奇偶性概念的应用,一般为求参数或求值,如2012年上海T9等,属于容易题;二是综合考查函数的性质(单调性、奇偶性等),如2012年陕西T2,福建T7等.2.高考对函数周期性的考查,题型主要以选择题或填空的形式出现,常涉及函数求值问题,且与函数的单调性、奇偶性相结合命题,如2012年山东T8等.[归纳·知识整合]1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称[探究] 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点?它是函数具有奇偶性的什么条件?提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件.2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0?如果是偶函数呢?提示:如果f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0;如果f(x)是偶函数时,f(0)不一定为0,如f(x)=x2+1.3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个?提示:存在,如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个.2.周期性 (1)周期函数:对于函数y =f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数y =f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.4.若T 为y =f (x )的一个周期,那么nT (n ∈Z )是函数f (x )的周期吗?提示:不一定.由周期函数的定义知,函数的周期是非零常数,当n ∈Z 且n ≠0时,nT 是f (x )的一个周期.[自测·牛刀小试]1.(教材习题改编)下列函数是奇函数的有( ) ①f (x )=2x 4+3x 2; ②f (x )=x 3-2x ;③f (x )=x 2+1x;④f (x )=x 3+1.A .1个B .2个C .3个D .4个解析:选B 首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称,然后由奇函数的定义逐个判断可知,②③为奇函数.2.(2013·郑州模拟)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )A .f (x )+|g (x )|是偶函数B .f (x )-|g (x )|是奇函数C .|f (x )|+g (x )是偶函数D .|f (x )|-g (x )是奇函数解析:选A ∵函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数,∴f (-x )=f (x ),g (-x )=-g (x ).令F (x )=f (x )+|g (x )|,F (-x )=f (-x )+|g (-x )|=f (x )+|-g (x )|=f (x )+|g (x )|=F (x ). 故F (x )为偶函数.即f (x )+|g (x )|是偶函数.3.设f (x )是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=2x (1-x ),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52=( )A .-12B .-14C.14D.12解析:选A ∵f (x )是周期为2的奇函数,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52-2 =-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=-2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12=-12.4.(2012·重庆高考)若f (x )=(x +a )(x -4)为偶函数,则实数a =________. 解析:f (x )=x 2+(a -4)x -4a 为二次函数,其图象的对称轴为x =-a -42,因为偶函数的图象关于y 轴对称,所以-a -42=0,解得a =4.答案:45.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x ,则满足f (x )>0的x 的取值范围是________.解析:∵当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x , ∴当x ∈(0,1)时,f (x )<0, 当x ∈(1,+∞)时,f (x )>0. 又∵函数f (x )为奇函数,∴当x ∈(-1,0)时,f (x )>0;当x ∈(-∞,-1)时,f (x )<0.∴满足f (x )>0的x 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞). 答案:(-1,0)∪(1,+∞)判断函数的奇偶性[例1] 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )= 3-x 2+ x 2-3; (2)f (x )=4-x2|x +3|-3;(3)f (x )=(x +1)1-x1+x. [自主解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3-x 2≥0,x 2-3≥0,得x =-3或x = 3.∴函数f (x )的定义域为{-3,3}. 又∵对任意的x ∈{-3,3}, -x ∈{-3,3},且f (-x )=-f (x )=f (x )=0. ∴f (x )既是奇函数,又是偶函数.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧4-x 2≥0,|x +3|≠3,∴-2≤x ≤2且x ≠0.∴函数f (x )的定义域关于原点对称. 又∵x +3>0,∴f (x )=4-x 2x +3-3=4-x 2x .又f (-x )=4--x2-x,∴f (-x )=-f (x ).∴f (x )为奇函数. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 1+x ≥0,1+x ≠0,得-1<x ≤1.∵f (x )的定义域(-1,1]不关于原点对称. ∴f (x )既不是奇函数,也不是偶函数.若将本例(1)改为“f (x )= 3-2x +2x -3”,试判断其奇偶性.解:∵函数f (x )= 3-2x +2x -3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32,不关于坐标原点对称,∴函数f (x )既不是奇函数,也不是偶函数.———————————————————判断函数奇偶性的方法(1)首先确定函数的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则既不是奇函数也不是偶函数.(2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断: ①定义判断:f (-x )=f (x )⇔f (x )为偶函数,f (-x )=-f (x )⇔f (x )为奇函数.②等价形式判断:f (-x )-f (x )=0⇔f (x )为偶函数,f (-x )+f (x )=0⇔f (x )为奇函数.或等价于f -x f x =1,则f (x )为偶函数;f -xf x=-1,则f (x )为奇函数.(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.(4)对于抽象函数奇偶性的判断,应充分利用定义,巧妙赋值,通过合理、灵活地变形配凑来判定.1.判断下列函数的奇偶性(1)f (x )=lg 1-x1+x ;(2)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x x >0,x 2-x x <0;(3)f (x )=lg 1-x2|x 2-2|-2 .解:(1)由1-x1+x >0⇒-1<x <1,定义域关于原点对称.又f (-x )=lg 1+x 1-x =lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 1+x -1=-lg 1-x 1+x =-f (x ),故原函数是奇函数.(2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 又当x >0时,f (x )=x 2+x ,则当x <0时, -x >0,故f (-x )=x 2-x =f (x );当x <0时,f (x )=x 2-x ,则当x >0时,-x <0,故f (-x )=x 2+x =f (x ),故原函数是偶函数.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2>0,|x 2-2|-2≠0,得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,∴f (x )=lg 1-x 2-x 2-2-2=-lg 1-x 2x 2. ∵f (-x )=-lg[1--x2]-x 2=-lg 1-x2x 2=f (x ),∴f (x )为偶函数.函数奇偶性的应用[例2] (1)(2012·上海高考)已知y =f (x )+x 2是奇函数,且f (1)=1.若g (x )=f (x )+2,则g (-1)=________.(2)(2012·新课标全国卷)设函数f (x )=x +12+sin xx 2+1的最大值为M ,最小值为m ,则M +m =________.[自主解答] (1)令H (x )=f (x )+x 2,则H (1)+H (-1)=f (-1)+1+f (1)+1=0,则f (-1)=-3,故g (-1)=f (-1)+2=-1.(2)将函数化简,利用函数的奇偶性求解.f (x )=x +12+sin x x 2+1=1+2x +sin xx 2+1, 设g (x )=2x +sin xx 2+1,则g (-x )=-g (x ),因此g (x )是奇函数,由奇函数图象的对称性知g (x )max +g (x )min =0, 则M +m =[g (x )+1]max +[g (x )+1]min =2+g (x )max +g (x )min =2. [答案] (1)-1 (2)2 ——————————————————— 与函数奇偶性有关的问题及解决方法(1)已知函数的奇偶性,求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组),从而得到f (x )的解析式.3已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值,常常利用待定系数法:利用f x ±f -x =0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解.4应用奇偶性画图象和判断单调性,利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.2.(1)设f (x )为定义在R 上的奇函数.当x ≥0时,f (x )=2x+2x +b (b 为常数),则f (-1)=( )A .-3B .-1C .1D .3(2)已知函数f (x )在区间[-5,5]上是奇函数,在区间[0,5]上是单调函数,且f (3)<f (1),则( )A .f (-1)<f (-3)B .f (0)>f (-1)C .f (-1)<f (1)D .f (-3)>f (-5)解析:(1)选A 因为f (x )为定义在R 上的奇函数,所以f (0)=20+2×0+b =0,解得 b =-1.所以当x ≥0时,f (x )=2x+2x -1,所以f (-1)=-f (1)=-(21+2×1-1)=-3.(2)选A 函数f (x )在区间[0,5]上是单调函数,又3>1,且f (3)<f (1),故此函数在区间[0,5]上是减函数.由已知条件及奇函数性质,知函数f (x )在区间[-5,5]上是减函数. 选项A 中,-3<-1,故f (-3)>f (-1). 选项B 中,0>-1,故f (0)<f (-1).同理选项C 中f (-1)>f (1),选项D 中f (-3)<f (-5).函数的周期性及其应用[例3] (1)(2012·山东高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x ).当-3≤x <-1时,f (x )=-(x +2)2;当-1≤x <3时,f (x )=x .则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 012)=( )A .335B .338C .1 678D .2 012(2)(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +1,-1≤x <0,bx +2x +1,0≤x ≤1,其中a ,b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,则a +3b 的值为________.[自主解答] (1)由f (x +6)=f (x )可知,函数f (x )的周期为6,所以f (-3)=f (3)=-1,f (-2)=f (4)=0,f (-1)=f (5)=-1,f (0)=f (6)=0,f (1)=1,f (2)=2,所以在一个周期内有f (1)+f (2)+…+f (6)=1+2-1+0-1+0=1,所以f (1)+f (2)+…+f (2 012)=f (1)+f (2)+335×1=1+2+335=338.(2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,且f (-1)=f (1),故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,从而12b +212+1=-12a +1,即3a +2b =-2.①由f (-1)=f (1),得-a +1=b +22,即b =-2a .②由①②得a =2,b =-4,从而a +3b =-10. [答案] (1)B (2)-10 ———————————————————函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x +T )=f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T ,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T 是函数的周期,则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期.3.(1)(2013·济宁模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数.若当x ∈[0,1)时,f (x )=2x-1,则f ⎝⎛⎭⎫log 126的值为( )A .-52B .-5C .-12D .-6(2)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数,且f (x +1)=-f (x ),若f (x )在[-1,0]上是减函数,那么f (x )在[1,3]上是( )A .增函数B .减函数C .先增后减的函数D .先减后增的函数解析:(1)选C ∵-3<log 126<-2,∴-1<log 126+2<0,即-1<log 1232<0.∵f (x )是周期为2的奇函数,∴f (log 126)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1232=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-log 1232=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232=-⎝⎛⎭⎫223log 2-1=-12. (2)选D 由f (x )在[-1,0]上是减函数,又f (x )是R 上的偶函数,所以f (x )在[0,1]上是增函数.由f (x +1)=-f (x ),得f (x +2)=f [(x +1)+1]=-f (x +1)=f (x ), 故2是函数f (x )的一个周期.结合以上性质,模拟画出f (x )部分图象的变化趋势,如下图.由图象可以观察出,f(x)在[1,2]上为减函数,在[2,3]上为增函数.2个特点——奇、偶函数的定义域及关系式的特点(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.5个性质——函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.(2)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).(3)若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f(0)=0.f(0)=0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件.(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”.(5)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,奇×偶=奇.3种方法——函数奇偶性的判断方法判断函数的奇偶性一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法.3条结论——关于函数周期性常用的结论(1)若满足f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以2a是函数的一个周期(a≠0);(2)若满足f(x+a)=1f x ,则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=1f x+a=f(x),所以2a是函数的一个周期(a≠0);(3)若函数满足f(x+a)=-1f x,同理可得2a是函数的一个周期(a≠0).创新交汇——与奇偶性、周期性有关的交汇问题1.函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命制试题,其中奇偶性多与单调性相结合,而周期性常与抽象函数相结合,并以结合奇偶性求函数值为主.2.根据奇偶性的定义知,函数的奇偶性主要体现为f (-x )与f (x )的相等或相反关系,而根据周期函数的定义知,函数的周期性主要体现为f (x +T )与f (x )的关系,它们都与f (x )有关,因此,在一些题目中,函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律,因此,在解题时,往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性来解决相关问题.[典例] (2012·辽宁高考)设函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=f (x ),f (x )=f (2-x ),且当x ∈[0,1]时,f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos(πx )|,则函数h (x )=g (x )-f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,32上的零点个数为( )A .5B .6C .7D .8[解析] 由题意知函数f (x )是偶函数,且周期是2.作出g (x ),f (x )的函数图象,如图.由图可知函数y =g (x ),y =f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,32图象有6个交点,故h (x )=g (x )-f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,32上的零点有6个.[答案] B [名师点评]1.本题具有以下创新点(1)命题方式创新:本题是以数学符号语言交代了函数f (x )的奇偶性及周期性,考查了自然语言与符号语言转化的能力.(2)考查内容创新:本题考查幂函数、三角函数及函数的交汇零点,且将数形结合思想融会其中,较好地考查了探究能力和逻辑推理能力.(3)解题方法创新:本题也可以通过巧妙转化,将x 3=x cos πx 转化为我们熟悉的二次函数与周期函数间的关系,即x >0时,x 2=|cos πx |而使问题得以简单解决.2.解决本题的关键有以下几点 (1)正确识别函数f (x )的性质;(2)注意到x =0是函数h (x )的一个零点,此处极易被忽视; (3)正确画出函数的图象,将零点问题转化为函数图象的交点问题. [变式训练]1.(2013·衡阳六校联考)已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x ≥0,都有f (x +2)=-f (x ),且当x ∈[0,2)时,f (x )=log 2(x +1),则f (-2 011)+f (2 012)=( )A .1+log 23B .-1+log 23C .-1D .1解析:选C ∵f (x )是(-∞,+∞)上的偶函数, ∴f (-2 011)=f (2 011).当x ≥0时,f (x +4)=-f (x +2)=f (x ),则f (x )是以4为周期的函数.注意到2 011=4×502+3,2 012=4×503,∴f (2 011)=f (3)=f (1+2)=-f (1)=-log 2(1+1)=-1,f (2 012)=f (0)=log 21=0.∴f (-2 011)+f (2 012)=-1.2.(2013·朝阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且对任意的x ∈R ,都有f (x +2)=f (x ).当0≤x ≤1时,f (x )=x 2.若直线y =x +a 与函数y =f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a 的值是( )A .0B .0或-12C .-14或-12D .0或-14解析:选D ∵f (x +2)=f (x ),∴T =2.又0≤x ≤1时,f (x )=x 2,可画出函数y =f (x )在一个周期内的图象如图.显然a =0时,y =x 与y =x 2在[0,2]内恰有两个不同的公共点.另当直线y =x +a 与y =x 2(0≤x ≤1)相切时也恰有两个不同公共点,由题意知y ′=(x 2)′=2x =1,∴x =12.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,14,又A 点在y =x +a 上,∴a =-14, 综上可知a =0或-14.一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.(2012·陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A .y =x +1 B .y =-x 3C .y =1xD .y =x |x |解析:选D 由函数的奇偶性排除A ,由函数的单调性排除B 、C ,由y =x |x |的图象可知当x ≥0时此函数为增函数,又该函数为奇函数.2.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足f (x +4)=f (x ),则f (8)=( ) A .0 B .1 C .2D .3解析:选A 由题意,f (x )是以4为周期的奇函数, 则f (4)=f (4+0)=f (0)=0,f (8)=f (4+4)=f (4)=0. 3.设偶函数f (x )在(0,+∞)上为减函数,且f (2)=0,则不等式f x +f -xx>0的解集为( )A .(-2,0)∪(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(0,2)C .(-∞,-2)∪(2,+∞)D .(-2,0)∪(0,2)解析:选B ∵f (x )为偶函数,∴f x +f -x x =2f xx>0,∴xf (x )>0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0,fx >0,或⎩⎪⎨⎪⎧x <0,fx <0.又f (-2)=f (2)=0,f (x )在(0,+∞)上为减函数,∴x ∈(0,2)或x ∈(-∞,-2).4.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1-2-x,x ≥0,2x-1,x <0,则该函数是( ) A .偶函数,且单调递增 B .偶函数,且单调递减 C .奇函数,且单调递增D .奇函数,且单调递减解析:选C 当x >0时,-x <0,f (-x )+f (x )=(2-x-1)+(1-2-x)=0;当x <0时,-x >0,f (-x )+f (x )=(1-2x)+(2x-1)=0,易知f (0)=0.因此,对任意x ∈R ,均有f -x +f (x )=0,即函数f (x )是奇函数.当x >0时,函数f (x )是增函数,因此函数f (x )单调递增.5.(2013·广州模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,则( )A .f (-25)<f (11)<f (80)B .f (80)<f (11)<f (-25)C .f (11)<f (80)<f (-25)D .f (-25)<f (80)<f (11)解析:选D 由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知f (x )在[-2,2]上递增,又f (x -4)=-f (x )⇒f (x -8)=-f (x -4)=f (x ),故函数f (x )以8为周期,f (-25)=f (-1),f (11)=f (3)=-f (3-4)=f (1),f (80)=f (0),故f (-25)<f (80)<f (11).6.函数f (x )是周期为4的偶函数,当x ∈[0,2]时,f (x )=x -1,则不等式xf (x )>0在[-1,3]上的解集为( )A .(1,3)B .(-1,1)C .(-1,0)∪(1,3)D .(-1,0)∪(0,1)解析:选C f (x )的图象如图.当x ∈(-1,0)时,由xf (x )>0得x ∈(-1,0); 当x ∈(0,1)时,由xf (x )<0得x ∈∅; 当x ∈(1,3)时,由xf (x )>0得x ∈(1,3). 故x ∈(-1,0)∪(1,3).二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)7.若函数f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数,定义域为[a -1,2a ],则a =________,b =________.解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a -1=-2a ,解得a =13.又函数f (x )=13x 2+bx +b +1为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得b =0.答案:138.若偶函数y =f (x )为R 上的周期为6的周期函数,且满足f (x )=(x +1)(x -a )(-3≤x ≤3),则f (-6)等于________.解析:∵y =f (x )为偶函数,且f (x )=(x +1)(x -a )(-3≤x ≤3), ∴f (x )=x 2+(1-a )x -a,1-a =0. ∴a =1.f (x )=(x +1)(x -1)(-3≤x ≤3).f (-6)=f (-6+6)=f (0)=-1.答案:-19.(2013·徐州模拟)设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数,若f (1)<1,f (2)=2a -1a +1,则a 的取值范围是________. 解析:∵f (x )是奇函数,∴f (1)=-f (-1)<1.∴f (-1)>-1.又∵f (x )的周期为3,∴f (-1)=f (2)=2a -1a +1>-1.即3aa +1>0,解得a >0或a <-1.答案:(-∞,-1)∪(0,+∞)三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分)10.函数y =f (x )(x ≠0)是奇函数,且当x ∈(0,+∞)时是增函数,若f (1)=0,求不等式f (x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12<0的解集. 解:∵y =f (x )是奇函数,∴f (-1)=-f (1)=0. 又∵y =f (x )在(0,+∞)上是增函数, ∴y =f (x )在(-∞,0)上是增函数,若f (x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12<0=f (1),∴⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12>0,x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12<1,即0<x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12<1,解得12<x <1+174或1-174<x <0. f (x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12<0=f (-1),∴⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12<0,x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12<-1.∴x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12<-1,解得x ∈∅.∴原不等式的解集是x 12<x <1+174或1-174<x <0.11.已知函数f (x )=x 2+a x(x ≠0,常数a ∈R ). (1)讨论函数f (x )的奇偶性,并说明理由;(2)若函数f (x )在x ∈[2,+∞)上为增函数,求实数a 的取值范围.解:(1)当a =0时,f (x )=x 2对任意x ∈(-∞,0)∪(0,+∞),f (-x )=(-x )2=x 2=f (x ).故f (x )为偶函数;当a ≠0时,f (x )=x 2+a x(x ≠0,常数a ∈R ), 取x =±1,得f (-1)+f (1)=2≠0;f (-1)-f (1)=-2a ≠0,即f (-1)≠-f (1),f (-1)≠f (1). 故函数f (x )既不是奇函数,也不是偶函数. (2)设2≤x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=x 21+a x 1-x 22-a x 2=x 1-x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1+x 2)-a ], 要使函数f (x )在x ∈[2,+∞)上为增函数,必须f (x 1)-f (x 2)<0恒成立, ∵x 1-x 2<0,∴x 1x 2(x 1+x 2)-a >0, 即x 1x 2(x 1+x 2)>a 恒成立.又∵x 1+x 2>4,x 1x 2>4,∴x 1x 2(x 1+x 2)>16. ∴a 的取值范围是(-∞,16].12.设f (x )是(-∞,+∞)上的奇函数,f (x +2)=-f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )=x . (1)求f (π)的值;(2)当-4≤x ≤4时,求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数f (x )的单调增(或减)区间. 解:(1)由f (x +2)=-f (x )得,f (x +4)=f [(x +2)+2]=-f (x +2)=f (x ),所以f (x )是以4为周期的周期函数,所以f (π)=f (π-4)=-f (4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f (x )是奇函数与f (x +2)=-f (x ),得f [(x -1)+2]=-f (x -1)=f [-(x -1)],即f (1+x )=f (1-x ).故知函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称.又0≤x ≤1时,f (x )=x ,且f (x )的图象关于原点成中心对称,则-1≤x ≤0时f (x )=x ,则f (x )的图象如图所示.当-4≤x ≤4时,设f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ,则S =4S △OAB =4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1=4.(3)函数f (x )的单调递增区间为[4k -1,4k +1](k ∈Z ), 单调递减区间为[4k +1,4k +3](k ∈Z ).1.若函数f (x )=3x +3-x 与g (x )=3x -3-x的定义域均为R ,则 A .f (x )与g (x )均为偶函数 B .f (x )为奇函数,g (x )为偶函数 C .f (x )与g (x )均为奇函数 D .f (x )为偶函数,g (x )为奇函数解析:选D ∵f (x )=3x+3-x,g (x )=3x -3-x,∴f (-x )=3-x +3x =f (x ),g (-x )=3-x -3x=-g (x ). ∴f (x )为偶函数,g (x )为奇函数.2.若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )+g (x )=e x,则g (x )等于( ) A .e x-e -xB.12(e x +e -x )C.12(e -x -e x) D.12(e x -e -x ) 解析:选D ∵f (x )为偶函数,g (x )为奇函数, ∴f (-x )=f (x ),g (-x )=-g (x ). ∴f (-x )+g (-x )=f (x )-g (x )=e -x. 又∵f (x )+g (x )=e x, ∴g (x )=e x -e-x2.3.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x <2时,f (x )=x 3-x ,则函数y =f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A .6B .7C .8D .9解析:选B ∵f (x )是最小正周期为2的周期函数, 且0≤x <2时,f (x )=x 3-x =x (x -1)(x +1),∴当0≤x <2时,f (x )=0有两个根, 即x 1=0,x 2=1.由周期函数的性质知,当2≤x <4时,f (x )=0有两个根, 即x 3=2,x 4=3;当4≤x <6时,f (x )=0有两个根, 即x 5=4,x 6=5,x 7=6也是f (x )=0的根.故函数f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴交点的个数为7. 4.定义在(-1,1)上的函数f (x ).(ⅰ)对任意x ,y ∈(-1,1)都有:f (x )+f (y )=f ⎝⎛⎭⎪⎫x +y 1+xy ;(ⅱ)当x ∈(-1,0)时,f (x )>0,回答下列问题. (1)判断f (x )在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数f (x )在(0,1)上的单调性,并说明理由;(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15=12,试求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫119的值. 解:(1)令x =y =0⇒f (0)=0,令y =-x ,则f (x )+f (-x )=0⇒f (-x )=-f (x )⇒f (x )在(-1,1)上是奇函数. (2)设0<x 1<x 2<1,则f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)+f (-x 2)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1-x 21-x 1x 2,而x 1-x 2<0,0<x 1x 2<1⇒x 1-x 21-x 1x 2<0,又x 1-x 21-x 1x 2-(-1)=1+x 11-x 11-x 1x 2>0,故-1<x 1-x 21-x 1x 2<0.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1-x 21-x 1x 2>0,即当0<x 1<x 2<1时,f (x 1)>f (x 2), ∴f (x )在(0,1)上单调递减.(3)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15 =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-15 =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-151-12×5=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13. 同理,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14, f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫119=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫119 =2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15=2×12=1.附:什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心,因此会出现很多过度焦虑。
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)第08讲函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性(精练)【A组在基础中考查功底】....【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性,再代入计算)π和2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值即可得到正确答案【详解】因为()()2cos cos sin f x x x x x f x -=+=,且函数定义域为R ,关于原点对称,所以是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除【分析】利用函数的奇偶性和对称性,得到函数的单调区间,利用单调性解函数不等式.【详解】因为()1f x -为偶函数,所以()1f x -的图像关于y 轴对称,则()f x 的图像关于直线=1x -对称.因为()f x 在[)1,-+∞上单调递增,所以()f x 在(],1-∞-上单调递减.因为()()127(5)xf f f -<-=,所以7125x -<-<,解得3x <.故选:A.11.(2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末)设()y f x =是定义在R 上的奇函数,且()()2f x f x +=-,又当[]0,1x ∈时,()2f x x =,则()25.5f 的值为______.【答案】1【分析】由已知可得函数的周期为4,然后根据函数解析式结合周期性奇偶性可求得结果.【详解】因为()()2f x f x +=-,所以()()42f x f x +=-+,所以()()4f x f x +=,所以()y f x =的周期为4,因为()y f x =是定义在R 上的奇函数,当[]0,1x ∈时,()2f x x =,所以()()25.546 1.5f f =⨯+()1.5f =()0.52f =-+()0.5f =--()0.5f =20.51=⨯=,故答案为:112.(2023·全国·高三对口高考)已知函数()y f x =,x ∈R ,()y f x =是奇函数,且当0x ≥【B 组在综合中考查能力】A .()sin 2e e x xx xf x -=-C .()cos 2e ex xx xf x -=-的取值范围是(1)=12.(2023·河北·高三学业考试)已知二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=且()01f =.(1)求()f x 的解析式;(2)若方程()f x ax =,[]2,3x ∈时有唯一一个零点,且不是重根,求a 的取值范围;(3)当[]1,1x ∈-时,不等式()2f x x m >+恒成立,求实数m 的范围.【答案】(1)()21f x x x =-+【C 组在创新中考查思维】一、单选题1.(2023·辽宁·校联考二模)设函数()f x 在(),-∞+∞上满足()()22f x f x -=+,()()55f x f x -=+,且在闭区间[]0,5上只有()()130f f ==,则方程()0f x =在闭区间[]2020,2020-上的根的个数().A .1348B .1347C .1346D .13455.(2023·全国·模拟预测)已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ,且满足在。
专题2.3函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】【新高考专用】1、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性本节是高考的重点、热点内容,函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容,从近几年的高考情况来看,重点关注单调性、奇偶性结合在一起,与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查,解题时要充分运用转化思想和数形结合思想.对于选择题和填空题部分,重点考查基本初等函数的单调性,利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等,难度较小;对于解答题部分,一般与导数结合,综合性强,考查难度较大.【知识点1函数的单调性与最值的求法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法.(2)函数y =f (g (x ))的单调性应根据外层函数y =f (t )和内层函数t =g (x )的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.3.求函数最值的三种基本方法:(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值:对于较复杂函数,可运用导数,求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;(2)判断f (x )与f (-x )是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )+f (-x )=0(奇函数)或f (x )-f (-x )=0(偶函数))是否成立.2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题.3.常见奇偶性函数模型(1)奇函数:①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()(1x x a f x m a -=+.②函数()()x x f x a a -=±-.③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1a a x m mf x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =或函数()log )a f x x =.(2)偶函数:①函数()()x x f x a a -=±+.②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-.③函数(||)f x 类型的一切函数.④常数函数.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1.函数的周期性常用结论(a 是不为0的常数)(1)若f (x +a )=f (x ),则T =a ;(2)若f(x+a)=f(x-a),则T=2a;(3)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;(4)若f(x+a T=2a;(5)若f(x+a)=T=2a;(6)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|(a≠b);2.对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x),则y=f(x)对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x).【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】【例1】(2024·全国·模拟预测)下列函数中,在区间0,+∞上是减函数的是()A.=−3+2B.=3C.=2−1D.=−1【解题思路】用函数单调性定义可判断得结果.【解答过程】选项A:任取1>20,则1−2=−31+2−−32+2=32−1,又2−1<0,所以1−2<0,即1<2,所以函数=−3+2在0,+∞为减函数,故A正确;选项B:任取1>2>0,则1−2=13−23=1−212+12+22,又1−2>0,12+12+22>0,所以1−2>0,即1>2,所以函数=3在0,+∞为增函数,故B错误;选项C:任取1>2>0,则1−2=12−1−22−1=12−22=1−21+2,又1−2>0,1+2>0,所以1−2>0,即1>2,所以函数=2−1在0,+∞为增函数,故C 错误;选项D:任取1>2>0,则1−2=−−−=1−212,又1−2>0,12>0,所以1−2>0,即1>2,所以函数=−1在0,+∞为增函数,故D错误;故选:A.【变式1-1】(2024·海南海口·模拟预测)函数op=2−4|U+3的单调递减区间是()A.(−∞,−2)B.(−∞,−2)和(0,2)C.(−2,2)D.(−2,0)和(2,+∞)【解题思路】将绝对值函数转化成分段函数,由二次函数的性质即可求【解答过程】=2−4+3=2−4+3, ≥02+4+3, <0,则由二次函数的性质知,当 ≥0时,=2−4+3=−22−1的单调递减区间为0,2;当<0,=2+4+3=+22−1的单调递减区间为−∞,−2,故的单调递减区间是(−∞,−2)和(0,2).故选:B.【变式1-2】(24-25高一上·北京丰台·期中)下列函数中,在区间(−∞,0)上单调递减的是()A.op=B.op=−1C.op=2+2D.op=|U【解题思路】根据一次函数,二次函数,反比例函数,绝对值函数及单调性定义判断.【解答过程】在(−∞,0)上,op=是增函数,op=−1是增函数,op=2+2在(−∞,−1)上是减函数,在(−1,0)上是增函数,<0时,op==−是减函数,故选:D.【变式1-3】(2024·江西·二模)已知函数=2−2,≥0,+3,<0,若=+3,则=B2+的单调递增区间为()A+∞B.−∞,C+∞D.【解题思路】先根据题目条件求出的值,再根据二次函数的性质求出op的单调递增区间【解答过程】解:依题意,+3=+32−2,<0≤+3,解得a=-1,故=−2+,可知在−∞,调递增,故选:D.【题型2利用函数的单调性求参数】【例2】(2024·广东揭阳·二模)已知函数=−2+B+1在2,6上不单调,则的取值范围为()A.2,6B.−∞,2∪6,+∞C.4,12D.−∞,4∪12,+∞【解题思路】根据给定条件,利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.【解答过程】函数=−2+B+1的图象对称轴为=2,依题意,2<2<6,得4<<12,所以的取值范围为4,12.故选:C.【变式2-1】(2024·全国·模拟预测)若函数op=4|−U+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范围是()A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,1)D.(−∞,1]【解题思路】先分析op的单调性,再列不等式即可求解.【解答过程】因为函数op=4|−U+3在(−∞,p上单调递减,在(s+∞)上单调递增.又函数在区间[1,+∞)上不单调,所以>1,故选:B.【变式2-2】(2024·天津河北·一模)设∈,则“>−2”是“函数=22+4B+1在2,+∞上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】根据题意,由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用,即可得到结果.【解答过程】函数=22+4B+1的对称轴为=−,由函数=22+4B+1在2,+∞上单调递增可得−≤2,即≥−2,所以“>−2”是“函数=22+4B+1在2,+∞上单调递增”的充分不必要条件.故选:A.【变式2-3】(23-24高三上·江西鹰潭·阶段练习)已知函数=−2+2B+4,N1,1,>1是−12,+∞上的减函数,则的取值范围是()A.−1,−B.−∞,−1C.−1,D.−∞,−1【解题思路】首先分析知,>1,函数单调递减,则N1也应为减函数,同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组,解出即可.【解答过程】显然当>1时,=1为单调减函数,<1=1当N1时,=−2+2B+4,则对称轴为−1=1=2+3若是−12,+∞上减函数,则≤−122+3≥1解得∈−1,−故选:A.【题型3函数的最值问题】【例3】(2024·安徽淮北·二模)当实数变化时,函数=2+,∈−4,4最大值的最小值为()A.2B.4C.6D.8【解题思路】先对内函数=2+对应的方程的根的情况分类讨论,得出≥0时,结果为16,对于<0时,求出两根,根据图象,就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑,利用函数单调性分析即得.【解答过程】若△=−4≤0,即≥0时,op=2+,其对称轴为=0,op max=+16,此时,因≥0,故op=+16的最小值为16;若<0,由=2+=0可得=±−,(Ⅰ)如图1,当−≤4时,即−16≤<0时,=2+在[−4,−−p上递减,在[−−s0]上递增,在[0,−p上递减,在[−s4]上递增,又o±4)=|+16|=+16,o0)=|U=−,①当−16≤≤−8时,+16≤−,故max=−,而op=−在[−16,−8]上单调递减,则此时,op min=o−8)=8;②当−8<<0时,+16>−,故max=+16,而ℎ(p=+16在(−8,0)上单调递增,则此时,op>ℎ(−8)=8.(Ⅱ)如图2,当−>4,即<−16时,=2+在[−4,0]上单调递增,在[0,4]上单调递减,则此时max=o0)=|U=−,而op=−在(−∞,−16)上单调递减,则op>o−16)=16.综上,函数=2+,∈−4,4最大值的最小值为8.故选:D.【变式3-1】(2024·江西鹰潭·三模)若=+2+3−的最小值是4,则实数的值为()A.6或−18B.−6或18C.6或18D.−6或−18【解题思路】分>−6,<−6,=−6三种情况,得出每种情况下的最小值,令其为4,解出的值.【解答过程】当>−6时,4+2−s≥3+2−2s−2<<3−2−4s≤−2,∴min==2+3=4,解得=6,符合题意;当<−6时,=4+2−s≥−22−−2,3<<−2−2−4s≤3,∴min=3=−3−2=4,解得=−18,符合题意;当=−6时,=4+2,∴min=−2=0≠4,舍掉.故选:A.【变式3-2】(2024·山西·模拟预测)已知函数op的定义域为(0,+∞),若对于任意的,∈(0,+∞),都有op+op=oB)+2,当>1时,都有op>2,且o3)=3,则函数op在区间[1,27]上的最大值为()A.2B.3C.4D.5【解题思路】令==1可得o1)=2,再令==3可得o9)=4,再令=3,=9即可得o27),再利用函数单调性定义可得该函数为单调递增函数,故o27)的值即为所求.【解答过程】令==1,则o1)=2,令==3有o3)+o3)=o9)+2,又o3)=3,所以o9)=4,令=3,=9,所以o3)+o9)=o27)+2,所以o27)=5,设2>1>0,则21>1,所以>所以1−2=1−1+−2=2−<0,则1<2,故op在(0,+∞)上单调递增,所以函数op在区间[1,27]上的最大值为o27)=5.故选:D.【变式3-3】(2024·全国·三模)已知函数=B−+33在−1,1上的最小值为−3,则实数的取值范围是()A.−∞,−4B.9,+∞C.−4,9D.−92,9【解题思路】由已知可得当−1≤I1时,可得B1+≥−32++1恒成立,通过分离变量,结合函数性质可求的取值范围【解答过程】因为1=−3,函数=B−+33在−1,1上的最小值为−3,所以对∀∈−1,1,≥−3恒成立,所以B−+33≥−3恒成立,即B1−2≥−31−3恒成立,当=1时,∈R,当−1≤I1时,可得B1+≥−32++1恒成立.当=0或J−1时,不等式显然成立;当0<<1时,≥31因为2+∈0,2,所以12+∈+∞,1+12+∈+∞,−31+∈−∞,所以≥−92;当−1<<0时,≤−31+因为2+∈−14,0,所以12+∈−∞,−4,1+12+∈−∞,−3,−31+∈9,+∞,所以≤9.综上可得,实数b的取值范围是−92,9.故选:D.【题型4函数的奇偶性及其应用】【例4】(2024·广东惠州·模拟预测)已知op在R上的奇函数,当>0时,op=2−2−1,则oo−1))=()A.2B.−2C.1D.−1【解题思路】利用函数奇偶性,由内向外求值即可.【解答过程】由题意o−1)=−o1)=2,所以oo−1))=o2)=−1.故选:D.【变式4-1】(2024·陕西安康·模拟预测)若函数op=ln r12(K1)+是奇函数,则实数的值是()A.2B.−2C.ln2D.−ln2【解题思路】根据o−p=−op得到的方程求解即可【解答过程】o−p=ln−r12(−K1)+=ln K12(r1)+是奇函数,所以有o−p=−op,ln K12(r1)+=−ln r12(K1)+,2=−ln r12(K1)+=−ln14=2ln2,因此=ln2,故选:C.【变式4-2】(2024·河南·模拟预测)已知是定义在上的偶函数,∀∈s4−=,当∈−2,0时,=2+4,则2023+2024+2025=()A.−2B.0C.−6D.−4【解题思路】根据题意,推得+4=,得到是周期为4的函数,结合∈−2,0时,函数的解析式,求得−1,0,1的值,进而求得2023+2024+2025的值,得到答案.【解答过程】因为是定义在上的偶函数,∀∈s4−=,可得4−==o−p,即+4=,所以函数是以4为周期的周期函数,可得2023+2024+2025=−1+0+1,又因为当∈−2,0时,=2+4,可得−1=1=−3,0=0,所以2023+2024+2025=−6.故选:C.【变式4-3】(2024·浙江绍兴·三模)已知函数满足:对任意实数,,都有+=+成立,且0=1,则()A.+1为奇函数B.+1为奇函数C.+D.op−1为偶函数【解题思路】由题意令==0,可得1=2,令=−,可得2=+−,可得=op关于(0,1)对称,据此逐项判断可得结论.【解答过程】令==0,则0=0+0,0=1,所以1=2,令=−,则0=+−,即1=+−,又2=+−,所以=op关于(0,1)对称,所以+1关于(−1,1)对称,故A不正确;op+1关于(0,2)对称,故B不正确;由A可知|+1|关于=−1对称,故C不正确;由A可知op−1关于(0,0)对称,故op−1为奇函数,所以|op−1|为偶数,故D正确.故选:D.【题型5函数的对称性与周期性综合】【例5】(2024·河北·模拟预测)已知函数的定义域为,且2+1为奇函数,2+4=2,则一定正确的是()A.的周期为2B.图象关于直线=1对称C.+1为偶函数D.+3为奇函数【解题思路】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可.【解答过程】2+1为奇函数,得2+1+−2+1=0,即+1+−+1=0,则+1为奇函数,故C错误;且图象关于点1,0中心对称,故B错误;2+4=2可知,函数周期为4,故A错误;=+4,又图象关于点1,0中心对称,知=−2−,所以+4=−2−,得关于点3,0对称,则+3关于点0,0对称,所以+3为奇函数,故D 正确.故选:D.【变式5-1】(2024·甘肃庆阳·一模)已知函数的定义域为R ,+=+,1=1,则下列结论错误的是()A .0=0B .是奇函数C .2024=2024D .0对称【解题思路】利用赋值法=1,=0可得0=0,即可判断A ,利用=−,即可根据奇函数的定义判断B ,利用+1−=+1−⇒1=+1−可判断即可判断D ,结合奇函数的性质,即可求解C.【解答过程】取=1,=0,则1=1+0,即1=1+0,得0=0,故A 正确;取=−,则−=+−,得0=+−=0,故是奇函数,B 正确;对任意的都有+1−=+1−,可得1=+1−,因此2D 错误;由于1=+1−且是奇函数,得1=−−1,即=−1+1,因此2=1+1=2,3=3+1=3,4=3+1=4,⋯,2024=2024,C 正确.故选:D.【变式5-2】(2024·山东菏泽·模拟预测)已知函数满足:++2++2=1,−1=0,则下列说法正确的有()A .是周期函数B .2024=0C .2+=2−D .图象的一个对称中心为0,1【解题思路】先证明+4=得到A 正确;再给出=0,∈4−1∈1,∈4+1∈2−1,∉2−1∈作为反例说明B ,C ,D 错误.【解答过程】对于A ,由于+1+2+1=1+++2++2=1+1=2,故+1+2+1=2.从而+2+1+4+1=2,这就得到+2+1+4+1=+1+2+1≠0,所以+4+1=+1,即+4=.所以是周期函数,故A 正确;对于B ,C ,D ,取=0,∈4−1∈1,∈4+1∈2−1,∉2−1∈,则满足条件,但2024=2−1,2−1=1=1≠0=3=2+1,同时由于−1=0,1=1,从而−1,0关于0,1的对称点1,2并不在函数图象上,故B ,C ,D 错误;故选:A.【变式5-3】(2024·陕西商洛·模拟预测)已知定义在上的函数满足2+6=−2,且−1++1=−2,=1,现有下列4个结论:①o2024)=1;②的图象关于直线=−3对称;③是周期函数;④J12025(−1) B =2025.其中结论正确的个数为()A .1B .2C .3D .4【解题思路】根据所给等式,结合赋值法推导出函数的对称轴及周期,再逐项分析即可.【解答过程】因为−1++1=−2,所以+1++3=−2,所以−1=+3,即=+4,所以是周期为4的周期函数,则③正确.令=−1,得−2+0=−2,则0=0,从而o2024)=o0)=0,故①错误;因为2+6=−2,所以+6=−,所以−=−6,所以的图象关于直线=−3对称,则②正确;易得的周期为4,且其图象关于直线=−3及=3对称,则直线=−3+4及=3+4∈均为图象的对称轴,从而−2=0=0,==1.令=3,得1+1=0,即=−则==1,故J12025(−1) B 2=−+2−3+4−⋯−2025=1−2−3+4+⋯+2021−2022−2023+2024+2025=2025,故④正确.故选:C.【题型6利用函数的性质比较大小】【例6】(2024·广东深圳·模拟预测)已知函数的定义域为R ,若对∀∈R 都有3+=1−,且在2,+∞上单调递减,则1,2与4的大小关系是()A .4<1<2B .2<1<4C .1<2<4D .4<2<1【解题思路】由3+=1−,得到1=3,利用单调性即可判断大小关系,即可求解.【解答过程】因为对∀∈R 都有+=1−,所以1=3−2=n1−(−2)]=3又因为在2,+∞上单调递减,且2<3<4,所以4<3<2,即4<1<2.故选:A .【变式6-1】(2024·河北·三模)已知=112−115,=115−118,=118−11,那么s s 的大小关系是()A .>>B .>>C .<<D .>>【解题思路】分子有理化,化简后根据函数=−3的单调性判断即可.【解答过程】由题意可知,=112−115==115−118==118−11==−3在0,+∞上单调递增可得<<,故选:C.【变式6-2】(24-25高一上·河北邯郸·期中)已知定义在上的函数满足1−=3+,且在−∞,2上单调递增,=π,=3,=0,则()A.<<B.<<C.<<D.<<【解题思路】由题意确定对称轴为=2,进而确定函数单调性,由单调性即可判断.【解答过程】由已知得函数的图象关于直线=2对称,所以在−∞,2上单调递增,在2,+∞上单调递减,所以0<3.又2<π<4,所以π>4=0.因为π−2>2−3,所以π<3.故0<π<3,即<<.故选:D.【变式6-3】(24-25高一上·宁夏银川·期中)函数=op为定义在R上的偶函数,且对任意1,2∈[0,+∞)1≠2都有12<0,则下列关系正确的是()A.o−3)>o−2)>o1)B.o−2)>o1)>o−3)C.o−3)>o1)>o−2)D.o1)>o−2)>o−3)【解题思路】由函数=op为定义在上的偶函数可得o−3)=3,o−2)=2,然后利用=op 的单调性可得答案.【解答过程】因为函数=op为定义在R上的偶函数,所以o−3)=3,o−2)=2,因为对任意1,2∈[0,+∞)(1≠2)都有o1)−o2)1−2<0,即有=op在[0,+∞)上单调递减,所以o−3)=3<o−2)=2<o1),故选:D.【题型7利用函数的性质解不等式】【例7】(2024·陕西商洛·一模)已知函数op=−23−3+2,若不等式2−1+o−−5)>4成立,则的取值范围是()A.(−∞,−2)∪(3,+∞)B.(−2,3)C.(−∞,−3)∪(2,+∞)D.(−3,2)【解题思路】构造函数op,验证其为奇函数,再将问题转化为2−1>o+5),然后由单调性解抽象函数不等式即可;【解答过程】设op=op−2=−23−3,则o−p=23+3=−op,故op是奇函数.不等式2−1+o−−5)>4等价于不等式2−1−2+o−−5)−2>0,即不等式2−1+o−−5)>0.因为op是奇函数,所以2−1>o+5).易证op是上的减函数,则2−1<+5,即2−−6<0,解得−2<<3.故选:B.【变式7-1】(2024·四川资阳·二模)若定义在R上的偶函数在0,+∞上单调递增,则不等式2+1−−1>−32−6的解集为()A.−∞,−2∪0,+∞B.−∞,−1∪0,+∞C.−2,0D.−1,0【解题思路】根据偶函数的性质,结合不等式特征构造新函数,利用新函数的单调性和奇偶性进行求解即可.【解答过程】由2+1−−1>−32−6,可得2+1+2+12>−1+−12.令=+2,因为是偶函数,且在0,+∞上单调递增,所以也是偶函数,且在0,+∞上单调递增,从而2+1>−1,解得<−2或>0.故选:A.【变式7-2】(2024·重庆·模拟预测)已知函数=op的定义域是−∞,0∪0,+∞,对任意的1,2∈0,+∞,1≠221>0,若函数=+1的图象关于点−1,0成中心对称,且1=4,则不等式>4的解集为()A.−1,0∪0,1B.−1,0∪1,+∞C.−∞,−1∪0,1D.−∞,−1∪1,+∞【解题思路】由题意,构造函数op=B(p,判断函数op的奇偶性和单调性,结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【解答过程】由函数=o+1)图象关于点(−1,0)中心对称,知函数op图象关于点(0,0)中心对称,所以op为奇函数.令op=B(p,则o−p=−B(−p=B(p=op,所以op为偶函数,对于∀1,2∈(0,+∞),有o2)−o1)2−1>0(1≠2),所以op在(0,+∞)上单调递增,所以op在(−∞,0)上单调递减.由o1)=4,得o1)=4,o−1)=4,当>0时,op>4变形为B(p>4,即op>o1),解得>1;当<0时,op>4变形为B(p<4,即op<o−1),解得−1<<0,综上,不等式op>4的解集为(−1,0)∪(1,+∞).故选:B.【变式7-3】(2024·广西柳州·三模)设函数是定义在R上的奇函数,且对于任意的x,∈R,都有−<−.若函数−=,则不等式2−2+−2<0的解集是()A.−1,2B.1,2C.−∞,−1∪2,+∞D.−∞,1∪2,+∞【解题思路】由op的奇偶性可判断op也为奇函数,然后结合|op−op|<|−U,及单调性的定义可判断op单调递增,结合单调性及奇函数的定义可求.【解答过程】∵op−op=,∴op=op+,由于是定义在R上的奇函数,即+−=0,∴o−p=o−p−=−op=−op,故为奇函数,∵对于任意的,∈R−op|<|−U,∴−op|−U,当≠时,<1,−1<1,∴0<op−op K<2,∴op单调递增,∵o2−2)+o−2)<0,∴o2−2)<−o−2)=o2−p,∴2−2<2−,整理可得,2−3+2>0,解可得,>2或<1,故选:D.【题型8抽象函数的性质综合】【例8】(2024·河南·模拟预测)已知函数的定义域为R,对于任意实数x,y满足++−=,且1=1,则下列结论错误的是()A.0=2B.为偶函数C.为奇函数D.2=−1【解题思路】由条件等式通过取特殊值求0,2由此判断A,D,再取特殊值确定op,o−p的关系结合函数的奇偶性的定义判断选项B,C.【解答过程】因为∀s∈R,++−=,取=1,=0可得1+1=10,又1=1,所以0=2;A对;取=0,=可得+−=0,因为0=2,所以−=,所以为偶函数,C 错,B对;取=1,=1可得2+0=11,又1=1,0=2;所以2=−1,D对;故选:C.【变式8-1】(2024·安徽·二模)已知函数=≠0满足B=+−1,当>1时,<1,则()A.为奇函数B.若2+1>1,则−1<<0C.若2=12,则1024=−4D.若=2,则1024=10【解题思路】根据赋值法可得1=1,−1=1,进而可得−=,即可判断A,根据函数单调性的定义可判断=≠0在0,+∞上为减函数,即可求解B,代值逐步求解即可判断CD.【解答过程】令=1,=−1,−1=1+−1−1,所以1=1;令J−1,=−1,1=−1+−1−1则−1=1.令=−1,得−=,故=≠0为偶函数.A错误,任取1,2∈0,+∞1<2,则21>1,则2=1+−11,故=≠0在0,+∞上为减函数.由已知2+1>1,可得+>1,故2+1<1,解得−1<<0,且≠−12.B错误,若2=12,则1024=210=29+2−1=102−9=−4,C正确,若==2−1==−1=5,=+−1=6,所以=2−1=11,故D错误,故选:C.【变式8-2】(2024·辽宁抚顺·一模)已知定义域为≠0的函数满足++=,1=2,且当∈0,+∞时,>0恒成立,则下列结论正确的是()A.3=6B.2=2C.为奇函数D.在区间0,+∞是单调递增函数【解题思路】赋值法可判断A,利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC,由函数的特例可判断D.【解答过程】令==1,则3+3=3所以22∈0,+∞时,>0,所以2=令=2,=13,所以1+即2+23=22=3,故A错误;由题意,函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,令=−2,则−2+−2=−2,即−+−2=−2令−代换s,则−−−+−=−−,即2−2−=−−,所以2−2=−,令−代换,所以22=,故B错误;由将2−2=−代入−+−2=−2,可得−+=−=−,所以op为奇函数,故C正确;令==1,则21+1=11,解得:2=1,1=2>2=1,故D错误.故选:C.【变式8-3】(2024·广西玉林·三模)函数对任意x,∈R总有+=+,当<0时,< 0,1=13,则下列命题中正确的是()A.是偶函数B.是R上的减函数C.在−6,6上的最小值为−2D.若+−3≥−1,则实数x的取值范围为3,+∞【解题思路】利用赋值法,结合函数奇偶性的定义,即可判断A;根据函数单调性的定义,结合条件,即可判断B;根据函数的单调性,和奇偶性,以及条件,即可判断C;不等式转化为2−3≥−3,利用函数的单调性,即可判断D.【解答过程】解:取=0,=0,则0=0+0,解得0=0,=−,则0=+−.即−=−,函数是奇函数,所以选项A错误;令1,2∈R,且1<2,则1−2<0,因为当<0时,<0,所以1−2<0.则1−2=1+−2=1−2<0.即1<2,函数是R上的增函数,所以选项B错误;因为函数是R上的增函数,所以函数在−6,6上的最小值为−6,−6=−3+−3=2−3,−3=−3,3=2+1=31=1.故−6=−2,在−6,6的最小值为-2,所以选项C正确;+−3≥−1,即2−3≥−3,因为函数是R上的增函数,所以2−3≥−3,所以≥0,所以实数x的取值范围为0,+∞,所以选项D不正确.故选:C.【题型9函数性质的综合应用】【例9】(2024·全国·模拟预测)已知定义在R上的函数满足+1=3,当∈−1,0时,=若∀∈−∞,,≥−18,则t的取值范围是()A+∞B C.D.【解题思路】根据题意可得当∈−1,0时,的单调性和最值,进而结合+1=3以及恒成立问题分析求解.【解答过程】由题意可知:当∈−1,0时,==∈−12,0∈−1,−,可知在−1,−上单调递减,在−12,0上单调递增,≤0且的最小值为−13;当∈0,1时,−1∈−1,0,=3−1=2−1−1≥−1;当∈1,2时,−2∈−1,0,=32−2=32−3−3≥−3;当∈2,3时,−3∈−1,0,=33−3=92−5−9≥−9;当∈3,4时,−4∈−1,0,=34−4=272−7−27≥−27.令272−7−27=−18,解得=103或=113,因为∀∈−∞,,≥−18,所以≤103,故选:D.【变式9-1】(2024·河南新乡·三模)设函数op的定义域为,满足o−2)=2op,且当∈(0,2]时,op= o2−若对任意∈[s+∞),都有op≤38成立,则的取值范围是()A2+∞B2+∞C.−∞,−D.−∞,−【解题思路】由题设条件画出函数的图象,由图象分析得出的取值范围.【解答过程】因为当∈(0,2]时,op=o2−p;o−2)=2op,所以op=12o−2),即若op在(0,2]上的点的横坐标增加2,则对应值变为原来的12;若减少2,则对应值变为原来的2倍.当∈(0,2]时,op=o2−p=−(−1)2+1,op max=o1)=1,故当<0时,对任意∈[s+∞),op≤38不成立,当∈(2,4]时,op=12o−2)=−12(−3)21∈同理当∈4,6时,op=−14(−5)2+14∈0,以此类推,当>4时,必有op≤38.函数和函数=38的图象如图所示:因为当∈(2,4]时,op=−12(−3)2+12∈0,令−12(−3)2+12=38,解得1=72,2=52(舍去),因为当∈s+∞时,op≤38成立,所以≥72.故选:A.【变式9-2】(2024·贵州·模拟预测)已知函数=−1−1,下列结论正确的是()A.是偶函数B.在0,+∞上单调递增C.的图象关于直线=1对称D.的图象与轴围成的三角形面积为2【解题思路】去掉绝对值,得到=−2,≥1−s<1,画出其图象,进而判断出四个选项.【解答过程】A选项,=−1−1=−2,≥1−s<1,画出其函数图象,如下:故不是偶函数,A错误;B选项,在0,1上单调递减,故B错误;C选项,的图象关于直线=1对称,C正确;D选项,的图象与轴围成的三角形面积为2×12=1,D错误.故选:C.【变式9-3】(2024·陕西安康·模拟预测)已知函数=是定义在R上的函数,1+=1−,函数+1的图象关于点−1,0对称,且对任意的1,2∈0,1,1≠2,均有131+232>132+ 231,则下列关于函数=的说法中,正确的个数是()①+2=−2;②<③函数=在2,4上单调递增;④不等式≥0的解集为4s4+2∈.A.1B.2C.3D.4【解题思路】根据题意可知函数是以4为周期的周期函数,且在−1,1上单调递增,在1,3上单调递减,3,5上单调递增,逐一判断选项即可.【解答过程】由函数+1的图象关于点−1,0对称,得的图象关于点0,0对称,即函数是奇函数,由1+=1−,得的图象关于直线=1对称,o+4)=n(+3)+1]=n1−(+3)]=o−−2)=−o+2)=−n(+1)+1]=−n1−(+1)]=−o−p=op,因此op是以4为周期的周期函数,①正确;对任意的1,2∈0,1,1≠2,均有131+232>132+231,不妨设1>2,则13−231>13−232,即1>2,因此在0,1上单调递增,o−132)=o−132+8)=o32)=o12),o263)=o263−8)=o23)>o12),②正确;由函数是R上的奇函数,在0,1上单调递增,得函数在−1,1上单调递增,在1,3上单调递减,3,5上单调递增,③错误;由o2)=o0)=0,在−1,1上单调递增,在1,3上单调递减,得当∈[−1,3]时,≥0,则有∈0,2,又函数是以4为周期的周期函数,因此不等式≥0的解集为4s4+2∈Z,④正确.故选:C.1.(2022·天津·高考真题)函数=)A.B.C.D.【解题思路】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在−∞,0上的函数值符号,结合排除法可得出合适的选项.【解答过程】函数==≠0,且−==−,函数为奇函数,CD选项错误;又当<0时,=≤0,B选项错误.故选:A.2.(2022·全国·高考真题)已知函数op的定义域为R,且o+p+o−p=opop,o1)=1,则J122 op=()A.−3B.−2C.0D.1【解题思路】法一:根据题意赋值即可知函数的一个周期为6,求出函数一个周期中的1,2,⋯,6的值,即可解出.【解答过程】[方法一]:赋值加性质因为++−=,令=1,=0可得,21=10,所以0=2,令=0可得,+−=2,即=−,所以函数为偶函数,令=1得,+1+−1= 1=,即有+2+=+1,从而可知+2=−−1,−1=−−4,故+2=−4,即=+6,所以函数的一个周期为6.因为2=1−0=1−2=−1,3=2−1=−1−1=−2,4=−2=2=−1,5=−1=1=1,6= 0=2,所以一个周期内的1+2+⋯+6=0.由于22除以6余4,所以J122 =1+2+3+4=1−1−2−1=−3.故选:A.[方法二]:【最优解】构造特殊函数由++−=,联想到余弦函数和差化积公式cos++cos−=2cosvos,可设=vosB,则由方法一中0=2,1=1知= 2,vos=1,解得cos=12,取=3,所以=2cos3,则++−=2cos+3+2cos−3=4cos3vos3=,所以=2cos3符合条件,因此op的周期=23=6,0=2,1=1,且2=−1,3=−2,4=−1,5= 1,6=2,所以o1)+o2)+o3)+o4)+o5)+o6)=0,由于22除以6余4,所以J122 =1+2+3+4=1−1−2−1=−3.故选:A.3.(2022·全国·高考真题)已知函数op,op的定义域均为R,且op+o2−p=5,op−o−4)=7.若=op的图像关于直线=2对称,o2)=4,则J122=()A.−21B.−22C.−23D.−24【解题思路】根据对称性和已知条件得到op+o−2)=−2,从而得到3+5+…+21=−10,4+6+…+22=−10,然后根据条件得到o2)的值,再由题意得到3=6从而得到1的值即可求解.【解答过程】因为=op的图像关于直线=2对称,所以2−=+2,因为op−o−4)=7,所以o+2)−o−2)=7,即o+2)=7+o−2),因为op+o2−p=5,所以op+o+2)=5,代入得op+7+o−2)=5op+o−2)=−2,所以3+5+…+21=−2×5=−10,4+6+…+22=−2×5=−10.因为op+o2−p=5,所以o0)+o2)=5,即0=1,所以o2)=−2−0=−3.因为op−o−4)=7,所以o+4)−op=7,又因为op+o2−p=5,联立得,2−++4=12,所以=op的图像关于点3,6中心对称,因为函数op的定义域为R,所以3=6因为op+o+2)=5,所以1=5−3=−1.所以22 J1op=1+2+3+5+…+21+4+6+…+22=−1−3−10−10=−24.故选:D.4.(2023·全国·高考真题)若=+ln2K12r1为偶函数,则=()A.−1B.0C.12D.1【解题思路】根据偶函数性质,利用特殊值法求出值,再检验即可.【解答过程】因为op为偶函数,则o1)=o−1),∴(1+pln13=(−1+pln3,解得=0,当=0时,=En2K12r1,2−12+1>0,解得>12或<−12,则其定义域为U>1或<−.−=−=−ln2r12K1=−=En2K12r1=,故此时为偶函数.故选:B.5.(2024·广东江苏·高考真题)已知函数op的定义域为R,op>o−1)+o−2),且当<3时op=,则下列结论中一定正确的是()A.o10)>100B.o20)>1000C.o10)<1000D.o20)<10000【解题思路】代入得到o1)=1,o2)=2,再利用函数性质和不等式的性质,逐渐递推即可判断.【解答过程】因为当<3时op=,所以o1)=1,o2)=2,又因为op>o−1)+o−2)则o3)>o2)+o1)=3,o4)>o3)+o2)>5,o5)>o4)+o3)>8,o6)>o5)+o4)>13,o7)>o6)+o5)>21,o8)>o7)+o6)>34,o9)>o8)+o7)>55,o10)>o9)+o8)>89,o11)>o10)+o9)>144,o12)>o11)+o10)>233,o13)>o12)+o11)>377o14)>o13)+o12)>610,o15)>o14)+o13)>987,o16)>o15)+o14)>1597>1000,则依次下去可知o20)>1000,则B正确;且无证据表明ACD一定正确.故选:B.6.(2024·上海·高考真题)已知=3+,∈,且是奇函数,则=0.【解题思路】根据奇函数的性质可求参数.【解答过程】因为是奇函数,故−+op=0即3++−3+=0,故=0,故答案为:0。
第四讲函数的周期性与对称性(一)对称轴1.概念:如果一个函数的图像沿着一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称函数具备对称性中的轴对称,该直线称为函数的对称轴。
2.常见函数的对称轴①常数函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数:是轴对称,不是中心对称,其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数:既是轴对称又是中心对称,其中原点为它的对称中心,y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数:既不是轴对称,也不是中心对称⑥对数函数:既不是轴对称,也不是中心对称⑦幂函数:显然幂函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点;幂函数中的偶函数是轴对称,对称轴是y 轴;而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中(kπ,0)是它的对称中心,x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数:正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称,只需从ωx+φ=kπ中解出x,就是它的对称中心的横坐标,纵坐标当然为零;只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x,就是它的对称轴;需要注意的是如果图像向上向下平移,对称轴不会改变,但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中x=kπ是它的对称轴,(kπ+π/2,0)是它的对称中心⑾正切函数:不是轴对称,但是是中心对称,其中(kπ/2,0)是它的对称中心,容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是(kπ,0)⑿对号函数:对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称,原点是它的对称中心。
⒀三次函数:显然三次函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
⒁绝对值函数:这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。
前者显然是偶函数,它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如y=│lnx│就没有对称性,而y=│sinx│却仍然是轴对称(二)中心对称1.概念:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心2.对称性的三个常用结论(1)若函数y =f(x +a)是偶函数,即f(a -x)=f(a +x),则函数y =f(x)的图象关于直线x =a 对称; (2)若对于R 上的任意x 都有f(2a -x)=f(x)或f(-x)=f(2a +x),则y =f(x)的图象关于直线x =a 对称; (3)若函数y =f(x +b)是奇函数,即f(-x +b)+f(x +b)=0,则函数y =f(x)关于点(b,0)中心对称. 二、.周期性(1)周期函数:对于函数y =f(x),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f(x +T)=f(x),那么就称函数y =f(x)为周期函数,称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.考向一 周期性【例1】(1)若函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x (1-x ),0≤x≤1,sin πx ,1<x≤2,则f ⎝⎛⎭⎫294+f ⎝⎛⎭⎫416=________. (2)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2)=2-3,且对任意的x 都有f(x +2)=1-f (x ),则f(2 020)=________.(3)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(x +4)=f(x -2).若当x ∈[-3,0]时,f(x)=6-x ,则f(919)=________ 【答案】(1)516(2)-2- 3 (3)6 【解析】(1)由于函数f(x)是周期为4的奇函数,所以f ⎝⎛⎭⎫294+f ⎝⎛⎭⎫416=f ⎝⎛⎭⎫2×4-34+f ⎝⎛⎭⎫2×4-76=f ⎝⎛⎭⎫-34+f ⎝⎛⎭⎫-76=-f ⎝⎛⎭⎫34-f ⎝⎛⎭⎫76=-316+sin π6=516. (2) 由f(x +2)=1-f (x ),得f(x +4)=1-f (x +2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2 020)=f(4).因为f(2+2)=1-f (2),所以f(4)=-1f (2)=-12-3=-2- 3.故f(2 020)=-2- 3.(3) ∵f(x +4)=f(x -2),∴f((x +2)+4)=f((x +2)-2),即f(x +6)=f(x), ∴f(x)是周期为6的周期函数,∴f(919)=f(153×6+1)=f(1). 又f(x)是定义在R 上的偶函数,∴f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.【举一反三】1.设定义在R 上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x +2);③当0≤x<1时,f(x)=2x -1,则f ⎝⎛⎭⎫12+f(1)+f ⎝⎛⎭⎫32+f(2)+f ⎝⎛⎭⎫52=________. 【答案】2-1【解析】依题意知:函数f(x)为奇函数且周期为2, 则f(1)+f(-1)=0,f(-1)=f(1),即f(1)=0. ∴f ⎝⎛⎭⎫12+f(1)+f ⎝⎛⎭⎫32+f(2)+f ⎝⎛⎭⎫52 =f ⎝⎛⎭⎫12+0+f ⎝⎛⎭⎫-12+f(0)+f ⎝⎛⎭⎫12 =f ⎝⎛⎭⎫12-f ⎝⎛⎭⎫12+f(0)+f ⎝⎛⎭⎫12 =f ⎝⎛⎭⎫12+f(0) =122-1+20-1 =2-1.2.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x 3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,f ⎝⎛⎭⎫x +12=f ⎝⎛⎭⎫x -12.则f(6)=( ) A.-2 B.-1C.0D.2【答案】D【解析】当x>12时,由f(x +12)=f(x -12),得f(x)=f(x +1),∴f(6)=f(1),又由题意知f(1)=-f(-1),且f(-1)=(-1)3-1=-2.因此f(6)=-f(-1)=2.答案 D3.定义在R 上的函数f(x)满足f(x +6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x +2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)等于( )A .336B .339C .1678D .2012 【答案】 B【解析】 ∵f(x +6)=f(x),∴函数f(x)的周期T =6. ∵当-3≤x<-1时,f(x)=-(x +2)2; 当-1≤x<3时,f(x)=x ,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, ∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1.∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)+f(2016)=1×20166=336.又f(2017)=f(1)=1,f(2018)=f(2)=2, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=339.故选B.4.设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ax +1,-1≤x<0,bx +2x +1,0≤x≤1,其中a ,b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12 =f ⎝⎛⎭⎫32,则a +3b 的值为________. 【答案】 -10【解析】 因为f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,所以f ⎝⎛⎭⎫32=f ⎝⎛⎭⎫-12且f(-1)=f(1), 故f ⎝⎛⎭⎫12=f ⎝⎛⎭⎫-12,从而12b +212+1=-12a +1,即3a +2b =-2.① 由f(-1)=f(1),得-a +1=b +22,即b =-2a.②由①②得a =2,b =-4,从而a +3b =-10.考向二 对称性【例2】(1)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x +6)=f(x),且y =f(x +3)为偶函数,若f(x)在(0,3)内单调递减,则下面结论正确的是( )A . f(−4.5)<f(3.5)<f(12.5)B . f(3.5)<f(−4.5)<f(12.5)C . f(12.5)<f(3.5)<f(−4.5)D . f(3.5)<f(12.5)<f(−4.5)(2)已知函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x),当(−∞,1]时,函数f(x)单调递减,设a =f(log 412),b =f(log 133),c =f(log 39),则a,b,c 的大小关系是( )A . a <b <cB . c <a <bC . a <c <bD . c <b <a(3)已知函数f(x −1)(x ∈R)是偶函数,且函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称,当x ∈[−1,1]时,f(x)=x −1,则f(2019)=( )A . −2B . −1C . 0D . 2 【答案】(1)B (2)B (3)D【解析】(1)由f(x +6)=f(x),可得T =6,又y =f(x +3)为偶函数, f(x)的图像关于x =3对称, 所以f(3.5)=f(2.5) f (−4.5)=f (1.5), f(12.5)=f(0.5).又f(x)在(0,3)内单调递减 ∴ f(3.5)<f(−4.5)<f(12.5).故选B.(2)根据题意,函数f (x )满足f (1−x )=f (1+x ),则函数f (x ) 关于直线x =1对称, 又由当(−∞,1]时,函数f (x )单调递减,则函数在[1,+∞)上单调递增,又由a =f (log 412)=f (−log 42)=f (−12)=f (52),b =f (log 133)=f (−1)=f (3),c =f (log 39)=f (2),则有c <a <b ,故选B.(3)根据题意,函数f(x −1)(x ∈R)是偶函数,则函数f(x)的对称轴为x =−1,则有f(x)=f(−2−x), 又由函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称,则f(x)=−f(2−x),则有f(−2−x)=−f(2−x),即f(x +4)=−f(x),变形可得f(x +8)=f(x),则函数是周期为8的周期函数,f(2019)=f(3+252×8)=f(3)=−f(−1)=−(−1−1)=2; 故选D .【举一反三】1.设函数f(x)的定义域为[0,4],若f(x)在[0,2]上单调递减,且f(x+2)为偶函数,则下列结论正确的是A.f(e)<f(√5)<f(1)B.f(1)<f(√5)<f(e)C.f(√5)<f(e)<f(1)D.f(√5)<f(1)<f(e)【答案】C【解析】f(x+2)为偶函数,则f(x+2)=f(−x+2),函数图像关于直线x=2对称,f(x)在[0,2]上单调递减,则f(x)在[2,4]上单调递增,由对称性可得f(1)=f(3),由于√5<e<3,故f(√5)<f(e)<f(3),即f(√5)<f(e)<f(1).本题选择C选项.2.定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件:①对于任意的x∈R,都有f(x+1)=f(x−1);②函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称;③对于任意的x 1,x 2∈[0,1],都有(f (x 1)−f (x 2))(x 1−x 2)>0 则f (32)、f(2)、f(3)从小到大的关系是( )A .f (32)>f(2)>f(3)B .f(3)>f(2)>f (32)C .f (32)>f(3)>f(2)D .f(3)>f (32)>f(2)【答案】D【解析】①对于任意的x ∈R ,都有f(x +1)=f(x −1),所以函数的周期为T=2; ②函数y =f(x +1)的图象关于y 轴对称,所以函数f(x)关于直线x=1对称;③对于任意的x 1,x 2∈[0,1],都有(f (x 1)−f (x 2))(x 1−x 2)>0,所以函数在(0,1)单调递增, 因为f(3)=f(1),f(32)=f(12),f(2)=f(0),1>12>0,所以f(3)>f (32)>f(2),故选:D3.已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f (1-x )=f (1+x ),f (1)=2,则f (-1)+f (3)=( ) A .4 B .0 C .−2 D .−4【答案】D【解析】根据题意,f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,且f (1)=2, 则f (-1)=-f (1)=-2,又由f (x )满足f (1-x )=f (1+x ),则函数f (x )的对称轴为x=1, 则f (3)=f (-1)=-f (1)=-2, 则(-1)+f (3)=-4; 故选:D .4.已知定义在R 上的函数f(x),g(x)满足g(x)=f (|x −1|),则函数y =g(x)的图象关于( ) A .直线x =−1对称 B .直线x =1对称 C .原点对称 D .y 轴对称【答案】B【解析】设函数h(x)=f(|x |), 所以有h(−x)=f(|−x |)=f(|x |) ∴h(x)=h(−x) 定义域为R ,所以函数h(x)是R 上的偶函数,图象关于y 轴对称,也就是关于直线x =0对称.而g(x)=f (|x −1|)的图象是由函数h(x)=f(|x |)向右平移一个单位长度得到的。