递归方程解的渐近阶的求法

循环渐进法循环渐进法，又称迭代法或递推法，是一种求解复杂问题的数学方法。

它的基本思想是将问题分解成一个个简单的子问题，逐步求解，最终得到整个问题的解。

循环渐进法适用于一些数学上的求解问题，如差分方程、递推序列等。

这些问题通常可以用一个递推公式来表示，即当前状态与前面状态之间的关系。

通过迭代计算，逐步推进，最终得到问题的解。

循环渐进法的核心在于迭代过程。

假设要求解某个问题的解，那么首先需要确定一个初始状态，即问题的起点。

然后根据问题的递推公式，计算出下一个状态，即问题的下一步。

重复这个过程，直到得到问题的最终解。

以求解斐波那契数列为例，其递推公式为f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(0)=0，f(1)=1。

从初始状态开始，依次计算出后续的状态，如下所示：f(0)=0f(1)=1f(2)=f(1)+f(0)=1f(3)=f(2)+f(1)=2f(4)=f(3)+f(2)=3f(5)=f(4)+f(3)=5f(6)=f(5)+f(4)=8……通过不断迭代计算，可以得到斐波那契数列的所有项。

这种方法的优点在于简单易懂，容易实现。

缺点则在于计算量较大，在求解复杂问题时会比较耗时。

除了递推序列外，循环渐进法还可以应用于求解一些几何问题，如曲线拟合、图形变形等。

在这些问题中，可以通过不断迭代，调整图形的形状，逐渐接近目标状态。

总体来说，循环渐进法是一种非常有用的数学工具，可以用于求解多种问题，并广泛应用于科学、工程等领域中。

对于掌握该方法的学生和研究人员，将有助于提高问题解决的能力和效率，从而更好地应对实际问题。

递归公式的渐进上下界定理解析
递归公式的渐进上下界是用来估计递归算法的时间复杂度的重
要工具。

该定理通过比较递归算法的递推公式与一些已知的递归关系，给出了递归算法时间复杂度的上下界。

递归公式的渐进上下界定理通常分为两个部分：渐进上界定理和渐进下界定理。

渐进上界定理：给定一个递归算法的递推公式，如果存在一个函数g(n)，使得递推公式的解f(n)满足f(n)<=g(n)，那么递推公式的时间复杂度的渐进上界为O(g(n))。

渐进下界定理：给定一个递归算法的递推公式，如果存在一个函数h(n)，使得递推公式的解f(n)满足f(n)>=h(n)，那么递推公式的时间复杂度的渐进下界为Ω(h(n))。

通过这两个定理，我们可以得到递归算法的时间复杂度的渐进界。

具体的做法是，通过求解递推公式的解，并找到合适的上界函数和下界函数，然后使用大O和Ω符号来表示递归算法的时间复杂度的上下界。

需要注意的是，渐进上界和渐进下界是针对最坏情况下的时间复杂度的估计。

在实际应用中，我们通常更关心的是平均情况下的时间复杂度，这就需要更加详细的分析和估计。

递归方程解的渐近阶的求法递归算法在最坏情况下的时间复杂性渐近阶的分析，都转化为求相应的一个递归方程的解的渐近阶。

因此，求递归方程的解的渐近阶是对递归算法进行分析的关键步骤。

递归方程的形式多种多样，求其解的渐近阶的方法也多种多样。

这里只介绍比较实用的五种方法。

1.代入法这个方法的基本步骤是先推测递归方程的显式解，然后用数学归纳法证明这一推测的正确性。

那么，显式解的渐近阶即为所求。

2.迭代法这个方法的基本步骤是通过反复迭代，将递归方程的右端变换成一个级数，然后求级数的和，再估计和的渐近阶；或者，不求级数的和而直接估计级数的渐近阶，从而达到对递归方程解的渐近阶的估计。

3.套用公式法这个方法针对形如：T (n)=aT (n / b)+f (n) 的递归方程，给出三种情况下方程解的渐近阶的三个相应估计公式供套用。

4.差分方程法有些递归方程可以看成一个差分方程，因而可以用解差分方程(初值问题)的方法来解递归方程。

然后对得到的解作渐近阶的估计。

5.母函数法这是一个有广泛适用性的方法。

它不仅可以用来求解线性常系数高阶齐次和非齐次的递归方程，而且可以用来求解线性变系数高阶齐次和非齐次的递归方程，甚至可以用来求解非线性递归方程。

方法的基本思想是设定递归方程解的母函数，努力建立一个关于母函数的可解方程，将其解出，然后返回递归方程的解。

本章将逐一地介绍上述五种方法，并分别举例加以说明。

本来，递归方程都带有初始条件，为了简明起见，我们在下面的讨论中略去这些初始条件。

递归方程组解的渐进阶的求法——代入法用这个办法既可估计上界也可估计下界。

如前面所指出，方法的关键步骤在于预先对解答作出推测，然后用数学归纳法证明推测的正确性。

例如，我们要估计T(n)的上界，T(n)满足递归方程：其中是地板(floors)函数的记号，表示不大于n的最大整数。

我们推测T(n)=O(n log n)，即推测存在正的常数C和自然数n0，使得当n≥n0时有：T(n)≤Cn log n事实上，取n0=22=4，并取那么，当n0≤n≤2n0时，成立。

求数列递归表达式常用的八种方法数列递归是数学中常见且重要的概念之一。

它通过每一项都依赖于前一项的方式进行定义。

本文将介绍八种常用的方法来求解数列递归表达式。

1. 迭代法：迭代法是一种基本且直观的求解数列递归的方法。

它通过循环的方式逐步计算每一项的值，并存储在一个数组或列表中。

迭代法的时间复杂度通常为O(n)，其中n为数列的项数。

迭代法：迭代法是一种基本且直观的求解数列递归的方法。

它通过循环的方式逐步计算每一项的值，并存储在一个数组或列表中。

迭代法的时间复杂度通常为O(n)，其中n为数列的项数。

2. 通项公式法：通项公式法是一种利用数列特点来求解数列递归的方法。

通过观察数列的规律和特点，可以推导出一个通项公式，从而直接计算任意项的值。

通项公式法的优势在于可以快速计算出数列的任意项，但前提是需要发现数列的规律。

通项公式法：通项公式法是一种利用数列特点来求解数列递归的方法。

通过观察数列的规律和特点，可以推导出一个通项公式，从而直接计算任意项的值。

通项公式法的优势在于可以快速计算出数列的任意项，但前提是需要发现数列的规律。

3. 递推关系法：递推关系法通过定义递推关系式来求解数列递归。

递推关系式是指数列的每一项与前一项之间的关系式。

通过逐项求解递推关系式，可以计算出数列的每一项的值。

递推关系法：递推关系法通过定义递推关系式来求解数列递归。

递推关系式是指数列的每一项与前一项之间的关系式。

通过逐项求解递推关系式，可以计算出数列的每一项的值。

4. 求和法：有些数列的递归关系可以通过求和公式来求解。

求和法通过将数列的每一项进行求和，从而得到数列的递归表达式。

这种方法常用于等差数列或等比数列。

求和法：有些数列的递归关系可以通过求和公式来求解。

求和法通过将数列的每一项进行求和，从而得到数列的递归表达式。

这种方法常用于等差数列或等比数列。

5. 向前递推法：向前递推法是通过已知数列的第一项和递推关系式来逐项计算数列的值。

递归方程的概念将原问题分解的数学表达式
递归方程是一种描述递归关系的数学表达式。

递归关系通常出现在那些可以将原问题分解为更小、更简单的子问题的情境中。

递归方程的基本形式通常如下：
f(n) = g(n) + f(n-1)
其中，f(n) 是我们要找的函数，g(n) 是一个已知的函数，而f(n-1) 是函数 f 在n-1 处的值。

这个方程描述了如何将问题f(n) 分解为更小的问题f(n-1)。

递归方程的关键在于，它允许我们将一个复杂的问题分解为一系列更小、更简单的子问题，而这些子问题可以用相同的方程来描述。

通过这种方式，我们可以逐步解决这些子问题，直到我们找到原问题的解。

例如，考虑斐波那契数列，这是一个非常经典的递归问题。

斐波那契数列的定义是：F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
这个方程就是一个递归方程，它描述了如何将斐波那契数列的第n 项分解为第n-1 项和第n-2 项的和。

通过不断应用这个方程，我们可以计算出斐波那契数列的任何一项。

总的来说，递归方程是一种强大的工具，它允许我们以一种系统的方式解决那些可以分解为更小子问题的复杂问题。

分治法简介对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

这种算法设计策略叫做分治法。

分治法的基本思想任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。

问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。

例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。

n=2时，只要作一次比较即可排好序。

n=3时只要作3次比较即可，…。

而当n较大时，问题就不那么容易处理了。

要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解，并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。

由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。

在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。

这自然导致递归过程的产生。

分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

分治法的适用条件分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：1.该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；2.该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

3.利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；4.该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心法或动态规划法。

递归方程组解的渐进阶的求法——套用公式法这个方法为估计形如：T(n)=aT(n/b)+f(n) (6.17)的递归方程解的渐近阶提供三个可套用的公式。

(6.17)中的a≥1和b≥1是常数，f (n)是一个确定的正函数。

(6.17)是一类分治法的时间复杂性所满足的递归关系，即一个规模为n的问题被分成规模均为n/b的a个子间题，递归地求解这a个子问题，然后通过对这a个子间题的解的综合，得到原问题的解。

如果用T(n)表示规模为n的原问题的复杂性，用f(n)表示把原问题分成a个子问题和将a个子问题的解综合为原问题的解所需要的时间，我们便有方程(6.17)。

这个方法依据的是如下的定理：设a≥1和b≥1是常数f (n)是定义在非负整数上的一个确定的非负函数。

又设T(n)也是定义在非负整数上的一个非负函数，且满足递归方程(6.17)。

方程(6.17)中的n/b可以是[n/b]，也可以是n/b。

那么，在f(n)的三类情况下，我们有T(n)的渐近估计式：1.若对于某常数ε>0，有，则；2.若，则；3.若对其常数ε>0，有且对于某常数c>1和所有充分大的正整数n有af(n/b)≤cf(n)，则T(n)=θ(f(n))。

这里省略定理的证明。

在应用这个定理到一些实例之前，让我们先指出定理的直观含义，以帮助读者理解这个定理。

读者可能已经注意到，这里涉及的三类情况，都是拿f(n)与作比较。

定理直观地告诉我们，递归方程解的渐近阶由这两个函数中的较大者决定。

在第一类情况下，函数较大，则T(n)=θ()；在第三类情况下，函数f(n)较大，则T(n)=θ(f (n))；在第二类情况下，两个函数一样大，则T(n)=θ()，即以n的对数作为因子乘上f(n)与T(n)的同阶。

此外，定理中的一些细节不能忽视。

在第一类情况下f(n)不仅必须比小，而且必须是多项式地比小，即f(n)必须渐近地小于与的积，ε是一个正的常数；在第三类情况下f(n)不仅必须比大，而且必须是多项式地比大，还要满足附加的“正规性”条件：af(n/b)≤cf(n)。

递归方程解的渐近阶的求法递归算法在最坏情况下的时间复杂性渐近阶的分析，都转化为求相应的一个递归方程的解的渐近阶。

因此，求递归方程的解的渐近阶是对递归算法进行分析的关键步骤。

递归方程的形式多种多样，求其解的渐近阶的方法也多种多样。

这里只介绍比较实用的五种方法。

1.代入法这个方法的基本步骤是先推测递归方程的显式解，然后用数学归纳法证明这一推测的正确性。

那么，显式解的渐近阶即为所求。

2.迭代法这个方法的基本步骤是通过反复迭代，将递归方程的右端变换成一个级数，然后求级数的和，再估计和的渐近阶；或者，不求级数的和而直接估计级数的渐近阶，从而达到对递归方程解的渐近阶的估计。

3.套用公式法这个方法针对形如：T (n)=aT (n / b)+f (n) 的递归方程，给出三种情况下方程解的渐近阶的三个相应估计公式供套用。

4.差分方程法有些递归方程可以看成一个差分方程，因而可以用解差分方程(初值问题)的方法来解递归方程。

然后对得到的解作渐近阶的估计。

5.母函数法这是一个有广泛适用性的方法。

它不仅可以用来求解线性常系数高阶齐次和非齐次的递归方程，而且可以用来求解线性变系数高阶齐次和非齐次的递归方程，甚至可以用来求解非线性递归方程。

方法的基本思想是设定递归方程解的母函数，努力建立一个关于母函数的可解方程，将其解出，然后返回递归方程的解。

本章将逐一地介绍上述五种方法，并分别举例加以说明。

本来，递归方程都带有初始条件，为了简明起见，我们在下面的讨论中略去这些初始条件。

递归方程组解的渐进阶的求法——代入法用这个办法既可估计上界也可估计下界。

如前面所指出，方法的关键步骤在于预先对解答作出推测，然后用数学归纳法证明推测的正确性。

例如，我们要估计T(n)的上界，T(n)满足递归方程：其中是地板(floors)函数的记号，表示不大于n的最大整数。

我们推测T(n)=O(n log n)，即推测存在正的常数C和自然数n0，使得当n≥n0时有：T(n)≤Cn log n事实上，取n0=22=4，并取那么，当n0≤n≤2n0时，成立。

递归方程求解方法综述作者：郭萌萌来源：《软件导刊》2011年第12期摘要：随着计算机科学的逐步发展，各种各样的算法相继出现，我们需要对算法进行分析，以选择性能更好的解决方案。

算法分析中计算复杂度常用递归方程来表达，因此递归方程的求解有助于分析算法设计的好坏。

阐述了常用的3种求解递归方程的方法：递推法、特征方程法和生成函数法。

这3种方法基本上可以解决一般规模递归方程的求解问题。

关键词：递归；递推法；特征方程；生成函数中图分类号：TP301文献标识码：A文章编号：（2011）作者简介：郭萌萌(1983- )，女，山东济南人，硕士，山东英才学院计算机电子信息工程学院讲师，研究方向为软件工程、算法分析与设计。

0引言寻求好的解决方案是算法分析的主要目的，问题的解决方案可能不只一个，好的方案应该执行时间最短，同时占有存储空间最小，故算法分析一般考虑时间复杂性、空间复杂性两方面的参数。

在算法分析时我们采用时间耗费函数来表示时间参数，用当问题规模充分大时的时间耗费函数的极限表示时间复杂度。

一般算法对应的时间耗费函数常用递归方程表示，找出递归方程的解，就可以表示其对应算法复杂度的渐进阶，从而比较算法的优劣。

因此研究递归方程的解法意义重大。

下文将分析并给出常用递归方程的3种解法。

1递归方程的解法递归方程是对实际问题求解的一种数学抽象,递归的本质在于将原始问题逐步划分成具有相同解题规律的子问题来解决,原始问题与子问题仅在规模上有大小区别,并且子问题的规模比原始问题的规模要小。

对于规模为n的原始问题,我们通常会寻找规模n的问题与规模n-1或者规模n/2的问题之间存在的联系,从而进一步推导出具有递归特性的运算模型。

根据递归方程的一般形式，常用的解法有三种，分别是递推法、公式法及生成函数法。

下面就分别来分析其求解过程。

1.1递推法当递归方程形式简单且阶数较低时，一般可以采用递推法求解，根据一步一步递推找到方程的递推规律，得到方程的解。

求数列递归公式常用的八种方法本文将介绍数列递归公式的常用方法，帮助读者更好地理解和应用数列递归公式。

1. 递推法递推法是一种基本的求递归公式的方法。

通过观察数列的规律，我们可以找到数列当前项与前几项之间的关系，并利用该关系式来递归求解数列。

2. 直接法直接法是一种直接求得递归公式的方法。

通过分析数列的特点和性质，我们可以直接得出数列的递归公式。

3. 特征根法特征根法适用于特定类型的数列，特别是线性递推数列。

通过求解数列的特征根，我们可以得到数列的通项公式。

4. 变项系数法变项系数法适用于一些复杂的数列，特别是递推系数为多项式的数列。

通过假设数列的通项公式为一个多项式，并依次确定多项式的系数，我们可以获得数列的递归公式。

5. 矩阵法矩阵法适用于一些特殊的数列，特别是线性递推数列。

通过将数列转化为矩阵形式，并求解特征矩阵，我们可以得到数列的递归公式。

6. 生成函数法生成函数法是一种基于形式幂级数的方法，适用于一些特殊的数列。

通过定义一个形式幂级数，并进行运算和求导，我们可以得到数列的递归公式。

7. 常系数法常系数法适用于一些特殊的数列，特别是线性递推数列。

通过解线性递推方程组，我们可以得到数列的递归公式。

8. 差分方程法差分方程法适用于一些连续函数的递推数列。

通过建立递推数列的差分方程，并求解差分方程，我们可以获得数列的递归公式。

这些方法是当前数学领域常用的求解数列递归公式的方法，对于数学研究和实际问题的求解有很大的帮助。

希望本文能够帮助读者更好地理解和运用这些方法。

用递归方法求n阶
递归是计算机编程中一个常见的技术，它可以让我们对同一件事情进
行有效的重复操作。

它已经被广泛地应用在计算机编程中，而且也可
以用来求解一些不容易解决的问题。

因此，学习如何使用递归方法是
很有必要的。

那么，如何使用递归方法求n阶呢？
首先要明确求n阶的意思：通常所说的“n阶”是指一种特殊函数的第
n次迭代求值的结果。

对于一个给定的特殊函数f(n)，如果可以这样
表达：f(n)=f(n-1)+f(n-2)，那么它就是一个递归函数。

接下来，我们就开始学习如何使用递归方法求n阶函数的结果。

1. 根据给定的函数f(n)，写出待求的n阶递归表达式。

2. 写出函数f(n)的基本条件，即当n=0或者n=1时，f(n)函数取何值。

3. 使用递归方法，分别计算f(n)，f(n-1)以及f(n-2)，并将结果相
加得出f(n)的结果。

4. 根据步骤3中计算出来的结果，重复第3步，直至得出f(n)的期望结果。

最后，利用递归方法求n阶函数就可以了，只要掌握了递归思想，这
对很多的数学问题，都十分有帮助。

c语言递归解决台阶问题摘要：一、问题的提出1.台阶问题的背景2.台阶问题的描述二、递归解决台阶问题的原理1.递归的定义2.递归解决台阶问题的基本思想三、C 语言实现递归解决台阶问题1.递归函数的定义2.递归调用过程3.递归结束条件四、台阶问题的C 语言递归解决方案1.代码实现2.运行结果五、递归解决台阶问题的优缺点分析1.优点2.缺点六、结论1.递归解决台阶问题的意义2.未来研究方向一、问题的提出在日常生活中，我们常常会遇到一些需要爬楼梯的问题。

假设有一个n 阶台阶，每次可以爬1 阶或者2 阶，那么有多少种不同的爬楼梯方法呢？这就是著名的台阶问题。

为了解决这个问题，我们可以采用递归的方法。

二、递归解决台阶问题的原理递归是一种编程技巧，它指的是在一个函数中调用自身。

递归解决台阶问题的基本思想是将问题不断缩小规模，直至达到最小的规模1，此时问题变得简单，可以直接求解。

三、C 语言实现递归解决台阶问题我们可以定义一个递归函数来解决这个问题。

递归函数的定义如下：```cvoid climbStairs(int n, int* ways) {if (n == 1 || n == 2) {ways[n] = 1;} else {ways[n] = ways[n - 1] + ways[n - 2];}}```在递归调用过程中，函数将不断调用自身，直到n 减小到1 或者2。

递归结束条件是当n 达到1 或2 时，此时ways 数组中已经存储了相应的四、台阶问题的C 语言递归解决方案以下是递归解决台阶问题的完整C 语言代码：```c#include <stdio.h>void climbStairs(int n, int* ways) {if (n == 1 || n == 2) {ways[n] = 1;} else {ways[n] = ways[n - 1] + ways[n - 2];}}int main() {int n;printf("请输入台阶数：");scanf("%d", &n);int ways[100];for (int i = 0; i <= n; i++) {ways[i] = 0;}climbStairs(n, ways);printf("共有%d种不同的爬楼梯方法", ways[n]);return 0;}```运行结果表明，当台阶数为n 时，共有ways[n] 种不同的爬楼梯方法。

递归方程求解方法综述递归方程是数学中常见的一种表示方式，它描述了一个数列或函数之间的递推关系。

递归方程求解方法是指寻找递归方程的解析解或近似解的过程。

在许多应用领域，递归方程都是非常重要的，例如在计算机科学、自然科学及经济学等各个领域。

本文将从递归方程的求解方法综述入手，介绍常见的求解方法，包括代入法、特征根法、母函数法等，并举例说明其应用。

一、代入法代入法是求解递归方程的常见方法之一、它的基本思想是通过猜测法求得递归方程的解的形式，然后通过代入递归方程验证该猜测解是否成立。

如果成立，我们就可以得到递归方程的解析解；如果不成立，我们需要修改猜测解的形式，重复上述过程直到找到正确的解。

例如，考虑递推关系式$f(n) = 2f(n-1) + 3$，其中$f(0)=1$。

我们首先猜测$f(n) = a\cdot 2^n + b$，代入递推关系式可得：$a\cdot 2^n + b = 2(a\cdot 2^{n-1} + b) + 3$。

整理得$a\cdot 2^n + b = 2a\cdot 2^{n-1} + 2b + 3$。

化简可得$a\cdot 2^{n-1} = 2b + 3$。

由此可知，$b = \frac{a\cdot 2^{n-1} - 3}{2}$。

将$b$的值代入原方程得到$a\cdot 2^n + \frac{a\cdot 2^{n-1} - 3}{2} = 2(a\cdot2^{n-1} + \frac{a\cdot 2^{n-1} - 3}{2}) + 3$。

进一步化简可得$a = 6$。

因此，递归方程的解析解为$f(n) =6\cdot 2^n + \frac{3}{2}(2^n - 1)$。

二、特征根法特征根法是求解线性递归方程的常用方法。

这种方法基于线性递归方程的特征方程和特征根的性质，通过求解特征方程的根来得到递归方程的解析解。

考虑递归关系式$f(n) = af(n-1) + b$，其中$f(0)=c$。

c语言递归解决台阶问题摘要：一、问题的提出1.台阶问题描述2.一般解法二、C 语言递归解决台阶问题1.递归函数定义2.递归函数实现3.主函数调用三、台阶问题案例演示1.具体台阶数量2.递归函数调用过程3.结果输出四、递归优缺点分析1.优点2.缺点五、总结正文：一、问题的提出在我们的日常生活中，经常会遇到一些台阶问题，比如楼梯、电梯等。

假设有一个上楼的过程，每次上1 级台阶，要付出一定的体力。

当台阶数较多时，直接计算出需要多少次上台阶以及总共需要消耗的体力会变得非常复杂。

为了解决这个问题，我们可以采用递归的方法进行求解。

二、C 语言递归解决台阶问题1.递归函数定义首先，我们定义一个递归函数，用于计算上台阶的次数和消耗的体力。

该函数接收两个参数，一个是当前台阶数（n），另一个是已经上过的台阶数（已上台阶数）。

函数的返回值是一个结构体，包含上台阶的次数和消耗的体力。

```cint climbStairs(int n, int haveClimbed) {// 递归出口if (n == 0 || n == 1) {return (struct { int times; int energy; });}// 计算上n 级台阶的次数和消耗的体力int times = haveClimbed + 1;int energy = (n - haveClimbed) * times / 2;// 递归调用int climbResult = climbStairs(n - 1, haveClimbed + times);// 返回结果return (struct { int times; int energy; }) {times, energy + climbResult.energy};}```2.递归函数实现在递归函数中，首先判断是否到达递归出口，即台阶数是否为0 或1。

如果到达出口，直接返回结果。

否则，计算上n 级台阶的次数和消耗的体力，并递归调用函数，传入n 减1 和已经上过的台阶数加1。

递归方程解的渐近阶的求法递归算法在最坏情况下的时间复杂性渐近阶的分析，都转化为求相应的一个递归方程的解的渐近阶。

因此，求递归方程的解的渐近阶是对递归算法进行分析的关键步骤。

递归方程的形式多种多样，求其解的渐近阶的方法也多种多样。

这里只介绍比较实用的五种方法。

1.代入法这个方法的基本步骤是先推测递归方程的显式解，然后用数学归纳法证明这一推测的正确性。

那么，显式解的渐近阶即为所求。

2.迭代法这个方法的基本步骤是通过反复迭代，将递归方程的右端变换成一个级数，然后求级数的和，再估计和的渐近阶；或者，不求级数的和而直接估计级数的渐近阶，从而达到对递归方程解的渐近阶的估计。

3.套用公式法这个方法针对形如：T (n)=aT (n / b)+f (n) 的递归方程，给出三种情况下方程解的渐近阶的三个相应估计公式供套用。

4.差分方程法有些递归方程可以看成一个差分方程，因而可以用解差分方程(初值问题)的方法来解递归方程。

然后对得到的解作渐近阶的估计。

5.母函数法这是一个有广泛适用性的方法。

它不仅可以用来求解线性常系数高阶齐次和非齐次的递归方程，而且可以用来求解线性变系数高阶齐次和非齐次的递归方程，甚至可以用来求解非线性递归方程。

方法的基本思想是设定递归方程解的母函数，努力建立一个关于母函数的可解方程，将其解出，然后返回递归方程的解。

本章将逐一地介绍上述五种方法，并分别举例加以说明。

本来，递归方程都带有初始条件，为了简明起见，我们在下面的讨论中略去这些初始条件。

递归方程组解的渐进阶的求法——代入法用这个办法既可估计上界也可估计下界。

如前面所指出，方法的关键步骤在于预先对解答作出推测，然后用数学归纳法证明推测的正确性。

例如，我们要估计T(n)的上界，T(n)满足递归方程：其中是地板(floors)函数的记号，表示不大于n的最大整数。

我们推测T(n)=O(n log n)，即推测存在正的常数C和自然数n0，使得当n≥n0时有：T(n)≤Cn log n (6.2)事实上，取n0=22=4，并取那么，当n0≤n≤2n0时，(6.2)成立。

递归方程组解的渐进阶的求法——迭代法用这个方法估计递归方程解的渐近阶不要求推测解的渐近表达式，但要求较多的代数运算。

方法的思想是迭代地展开递归方程的右端，使之成为一个非递归的和式，然后通过对和式的估计来达到对方程左端即方程的解的估计。

作为一个例子，考虑递归方程：接连迭代二次可将右端项展开为：由于对地板函数有恒等式：(6.10)式可化简为：这仍然是一个递归方程，右端项还应该继续展开。

容易看出，迭代i次后，将有（6.11）而且当时，(6.11)不再是递归方程。

这时：(6.13)又因为[a]≤a，由(6.13)可得：而由(6.12)，知i≤log4n，从而，代人(6.14)得：即方程(6.9)的解T(n)=O(n)。

从这个例子可见迭代法导致繁杂的代数运算。

但认真观察一下，要点在于确定达到初始条件的迭代次数和抓住每次迭代产生出来的"自由项"(与T无关的项)遵循的规律。

顺便指出，迭代法的前几步迭代的结果常常能启发我们给出递归方程解的渐近阶的正确推测。

这时若换用代入法，将可免去上述繁杂的代数运算。

图6-1 与方程(6.15)相应的递归树为了使迭代法的步骤直观简明、图表化，我们引入递归树。

靠着递归树，人们可以很快地得到递归方程解的渐近阶。

它对描述分治算法的递归方程特别有效。

我们以递归方程T(n)=2T(n/2)+n2 (6.15)为例加以说明。

图6-1展示出(6.15)在迭代过程中递归树的演变。

为了方便，我们假设n恰好是2的幂。

在这里，递归树是一棵二叉树，因为(6.15)右端的递归项2T(n/2)可看成T(n/2)+T(n/2)。

图6-1(a)表示T(n)集中在递归树的根处，(b)表示T(n)已按(6.15)展开。

也就是将组成它的自由项n2留在原处，而将2个递归项T(n/2)分别摊给它的2个儿子结点。

(c)表示迭代被执行一次。

图6-1(d)展示出迭代的最终结果。

图6-1中的每一棵递归树的所有结点的值之和都等于T(n)。

递归树求解递归方程递归树是一种用于求解递归方程的图形化工具。

递归方程是一种常见的数学模型，它描述了一个问题的解与其子问题的解之间的关系。

递归方程通常采用递归的方式定义，即将问题分解为更小的子问题，并通过子问题的解来求解原问题的解。

递归树可以帮助我们更好地理解递归方程的求解过程，从而更好地解决问题。

递归树的构建过程通常分为以下几个步骤：1. 将递归方程转化为递归树的形式。

递归方程通常描述了一个问题的解与其子问题的解之间的关系，而递归树则将这种关系以图形化的方式表示出来。

递归树的节点表示问题的解，而边表示问题的分解过程。

2. 根据递归方程的定义，确定递归树的根节点和子节点。

递归方程通常采用递归的方式定义，即将问题分解为更小的子问题，并通过子问题的解来求解原问题的解。

因此，递归树的根节点表示原问题的解，而子节点表示子问题的解。

3. 根据递归方程的定义，确定递归树的深度和宽度。

递归方程通常描述了一个问题的解与其子问题的解之间的关系，因此递归树的深度和宽度取决于问题的分解方式。

例如，如果问题的分解方式是将问题分解为两个子问题，则递归树的深度为2，宽度为2。

4. 根据递归方程的定义，确定递归树的叶节点。

递归方程通常描述了一个问题的解与其子问题的解之间的关系，因此递归树的叶节点表示子问题的解。

叶节点通常是递归树中最底层的节点，也是递归方程的基本情况。

通过递归树，我们可以更好地理解递归方程的求解过程。

例如，对于递归方程T(n) = 2T(n/2) + n，我们可以构建如下的递归树：```T(n)|/---------\T(n/2) T(n/2)| |/-----\ /-----\T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4)| | | |... ... ... ...| | | |T(1) T(1) T(1) T(1)```从递归树中可以看出，递归方程的求解过程可以分为两个阶段。

在第一阶段中，递归树的深度为logn，每个节点的代价为n。

递归求解n的阶乘1. 介绍在数学中，阶乘是一种非常常见的运算，用于计算一个正整数n与小于等于它的所有正整数的乘积。

通常用符号n!表示，其中n是一个非负整数。

例如，5的阶乘可以表示为5!，计算方法为：5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。

在本文中，我们将探讨如何使用递归的方法来求解n的阶乘，并解释递归的概念以及其在计算中的作用。

2. 递归的概念递归是一种在算法中使用函数自身的方法。

在递归过程中，函数将自己的调用作为一部分，并通过不断调用自身来解决问题。

递归函数通常包含两个部分： - 基本情况（也称为递归终止条件）：在这种情况下，函数不再调用自身，而是返回一个确定的值，结束递归过程。

- 递归情况：在这种情况下，函数调用自身以解决一个更小的子问题，然后将子问题的解合并为原问题的解。

递归的概念可以通过以下示例更好地理解。

3. 递归求解阶乘的方法要求解n的阶乘，可以使用递归的方法。

下面是求解n的阶乘的递归函数的伪代码：function factorial(n):if n == 0:return 1else:return n * factorial(n-1)让我们详细解释一下这段代码的工作原理。

首先，函数接收一个整数n作为参数。

然后，它检查基本情况：如果n等于0，那么函数直接返回1，因为0的阶乘定义为1。

如果n不等于0，那么函数将调用自身来解决一个更小的子问题。

它通过传递n-1作为参数来调用递归函数。

这样，问题就被转化为计算(n-1)的阶乘。

递归函数返回的值将与n相乘，得到n的阶乘的结果。

4. 递归求解阶乘的示例为了更好地理解递归求解阶乘的方法，让我们通过一个具体的示例来演示。

假设我们要求解5的阶乘（即5!）。

首先，我们调用递归函数factorial(5)。

函数检查基本情况，发现n不等于0，所以它调用自身来解决一个更小的子问题。

它调用函数factorial(4)来计算4的阶乘。