高中数学必修一必修四综合测试题二

全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必考考点训练单选题1、下列计算中结果正确的是（ ） A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确； 对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误； 对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误； 故选：A2、中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =Wlog 2(1+SN )，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN 从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ）（附：lg2≈0.3010） A ．20%B ．23%C ．28%D ．50% 答案：B分析：根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解. 将信噪比SN 从1000提升至5000时，C 大约增加了Wlog 2(1+5000)−Wlog 2(1+1000)Wlog 2(1+1000)=log 25001−log 21001log 21001≈lg5000lg2−lg1000lg2lg1000lg2=lg53=1−lg23≈0.23=23%.故选：B.3、设函数f (x )=lg (x 2+1)，则使得f (3x −2)>f (x −4)成立的x 的取值范围为（ ）A．(13,1)B．(−1,32)C．(−∞,32)D．(−∞,−1)∪(32,+∞)答案：D分析：方法一 :求出f(3x−2),f(x−4)的解析式,直接带入求解.方法二 : 设t=x2+1，则y=lgt，判断出f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数,由f(3x−2)>f(x−4)得|3x−2|>|x−4|，解不等式即可求出答案.方法一 :∵f(x)=lg(x2+1)∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>32.方法二 :根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，则f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数，f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x<−1或x>32，故选：D．4、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69答案：C分析：将t=t∗代入函数I(t)=K1+e−0.23(t−53)结合I(t∗)=0.95K求得t∗即可得解.∵I(t)=K1+e−0.23(t−53)，所以I(t∗)=K1+e−0.23(t∗−53)=0.95K，则e0.23(t∗−53)=19，所以，0.23(t∗−53)=ln19≈3，解得t∗≈30.23+53≈66.小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5、若2a +log 2a =4b +2log 4b ，则（ ） A ．a >2b B ．a <2b C ．a >b 2D ．a <b 2 答案：B分析：设f(x)=2x +log 2x ，利用作差法结合f(x)的单调性即可得到答案.设f(x)=2x +log 2x ，则f(x)为增函数，因为2a +log 2a =4b +2log 4b =22b +log 2b所以f(a)−f(2b)= 2a +log 2a −(22b +log 22b)= 22b +log 2b −(22b +log 22b) =log 212=−1<0，所以f(a)<f(2b)，所以a <2b .f(a)−f(b 2)= 2a +log 2a −(2b 2+log 2b 2)= 22b +log 2b −(2b 2+log 2b 2)= 22b −2b 2−log 2b ， 当b =1时，f(a)−f(b 2)=2>0，此时f(a)>f(b 2)，有a >b 2当b =2时，f(a)−f(b 2)=−1<0，此时f(a)<f(b 2)，有a <b 2，所以C 、D 错误. 故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题. 6、已知函数f(x)=3|x|+x 2+2，则f(2x −1)>f(3−x)的解集为（ ） A ．(−∞,43)B ．(43,+∞)C ．(−2,43)D ．(−∞,−2)∪(43,+∞)答案：D分析：根据函数奇偶性可得f(x)为偶函数，根据解析式直接判断函数在[0,+∞)上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.解：因为f(x)=3|x|+x 2+2，则x ∈R所以f(−x)=3|−x|+(−x)2+2=3|x|+x 2+2=f(x)，则f(x)为偶函数，当x ⩾0时，f(x)=3x +x 2+2，又y =3x ，y =x 2+2在[0,+∞)上均为增函数，所以f(x)在[0,+∞)上为增函数，所以f(2x −1)>f(3−x)，即|2x −1|>|3−x|，解得x <−2或x >43， 所以f(2x −1)>f(3−x)的解集为(−∞,−2)∪(43,+∞).7、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图象如图所示，直线x =14，x =12与y =x a ，y =x b 的图象分别交于A ､B ､C､D 四点，且|AB|=|CD|，则12a +12b =（ ）A ．12B ．1C ．√2D ．2答案：B分析：把|AB |=|CD |用函数值表示后变形可得．由|AB |=|CD |得(14)a−(14)b=(12)a−(12)b，即[(12)a−(12)b][(12)a+(12)b]=(12)a−(12)b≠0， 所以(12)a+(12)b=1，故选：B ．8、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（ ） A ．7B ．10C ．12D ．34 答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可. 因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12， 故选：C9、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，90050=18，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.10、已知实数a,b∈(1,+∞)，且log2a+log b3=log2b+log a2，则（）A．a<√b<b B．√b<a<b C．b<√a<a D．√a<b<a答案：B分析：对log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，结合y=x−1 x 的单调性判断b<a，同理利用换底公式得log2a−1log2a<log3b−1log3b，即log2a>log3b，再根据对数运算性质得log2a>log2√b，结合y=log2x单调性，a>√b，继而得解.由log2a+log b3=log2b+log a2，变形可知log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，由函数f(x)=x−1x在(0,+∞)上单调递增知，log2a<log2b，即a<b，排除C，D；其次，因为log2b>log3b，得log2a+log b3>log3b+log a2，即log2a−log a2>log3b−log b3，同样利用f(x)=x−1x的单调性知，log2a>log3b，又因为log3b=log√3√b>log2√b，得log2a>log2√b，即a>√b，所以√b<a<b.故选：B.填空题11、已知a=lg5，用a表示lg20=__________.答案：2−a分析：直接利用对数的运算性质求解因为a=lg5，所以lg20=lg1005=lg100−lg5=2−a，所以答案是：2−a12、函数y=a x+1(a>0,a≠1)恒过定点___________．答案：(−1,1)分析：利用指数型函数的特征，求解函数恒过的定点坐标.当x+1=0，即x=−1时，y=a0=1，所以y=a x+1(a>0,a≠1)恒过定点(−1,1).所以答案是：(−1,1)13、函数y＝log a(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．答案：(0，－2)分析：由对数函数的图象所过定点求解．解：依题意，x+1=1，即x＝0时，y＝log a(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．所以答案是：(0，－2)解答题14、已知a 12+a−12=3，求下列各式的值.(1)a+a−1；(2)a2+a−2；(3)a 32+a−32+2a2+a−2+3.答案：(1)7(2)47(3)25分析：(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得a+a−1的值；(2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得a2+a−2的值；(3)首先利用立方差公式可得a 32+a−32=(a12+a−12)(a−1+a−1)，然后结合(1)（2）的结果即可求得代数式的值.（1）将a 12+a−12=3两边平方，得a +a −1+2=9，所以a +a −1=7． （2）将a +a −1=7两边平方，得a 2+a −2+2=49， 所以a 2+a 2=47． （3）∵a 12+a −12=3，a +a −1=7，a 2+a 2=47， ∴a 32+a−32=(a 12)3+(a −12)3=(a 12+a −12)(a −1+a −1)=3×(7−1)=18，∴a 32+a−32+2a 2+a −2+3=18+247+3=25．15、已知函数f (x )=log a (a x −1)（a >0，a ≠1） （1）当a =12时，求函数f (x )的定义域；（2）当a =2时，存在x ∈[1,3]使得不等式f (x )−log 2(1+2x )>m 成立，求实数m 的取值范围. 答案：（1）(−∞,0)；（2）m <log 279,.分析：（1）利用真数大于0，即可求解定义域；（2）令g (x )=f (x )−log 2(1+2x )=log 2(2x −12x +1)，由题意可知m <g (x )max ，令t =2x −12x +1，求解t 的取值范围，然后可求g (x )max ，从而求出m 的取值范围.（1）当a =12时，f (x )=log 12(12x −1)，故：12x −1>0，解得：x <0，故函数f (x )的定义域为(−∞,0)；（2）由题意知，f (x )=log 2(2x −1)（a >1），定义域为x ∈(0,+∞)，易知f (x )为x ∈(0,+∞)上的增函数， 设g (x )=f (x )−log 2(1+2x )=log 2(2x −12x +1)，x ∈[1,3]，设t =2x −12x +1=1−22x +1，x ∈[1,3]，故2x +1∈[3,9]，t =1−22x +1∈[13,79]，因为g (x )=log 2t 单调递增，则g (x )∈[log 213,log 279].因为存在x ∈[1,3]使得不等式f (x )−log 2(1+2x )>m 成立故：m <g (x )max ,即m <log 279.。

高中数学必修一、必修四、必修二综合练习一． 选择题：1．函数()12x f x =-的定义域是 （ ）A ．(,0]-∞B ．[0,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,)-∞+∞2．下列四个命题中正确的是（ ）A ．lg 2lg3lg5⋅=B ．mn n m a a a =⋅C ．a a n n =D ．yxy x aa a log log log =- 3. cos300︒= （ ）(A)32-(B)-12 (C)12(D) 32 4．正三角形ABC 的边长为1，设=u u u rAB c ，=u u u r BC a ，=u u u r CA b ，那么a b b c c a ++g g g 的值是（ ） A ．32 B ．12 C ．32- D ．12- 5．在正项等比数列{}n a 中，若232a a +=，458a a +=，则56a a += （ ）A.16B. 32C. 36D. 646. 程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝40，那么判断框中应填入 A ．6k ≤ B ．5k ≤ C ．6k ≥ D ．5k ≥ 7．已知1x > ，则11y x x =+-的最小值为 （ ） A.1 B. 2 C. 22 D. 38.已知图1是函数()y f x =的图象，则图2中的图象对应的函数可能是 （ ）A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =--9．已知全集{}0,1,2U =，且{}2U C A =，则集合A 的子集共有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．为了得到函数cos(2)3y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度二、填空题（每小题5分，共20分）11．已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．12. 满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是________． 13．已知3cos()25πα-=，则cos2α= 14．对定义域是f D 、g D 的函数)(x f y =、)(x g y =，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈=g f gf g f Dx D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(,若函数11)(-=x x f ，2)(x x g =，则=+)2()1(h h 。

一、选择题1．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A ．1B ．25C ．5D ．32．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．323．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．64．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ） A ．21-B ．2C ．21+D ．22+5．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，14DF DA =，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ）A ．1B 6C 5D ．26．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦7．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A ．3B ．2C ．52D ．328．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ） A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦ C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣9．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定10．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b + B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +11．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．412．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．23二、填空题13．已知向量(9,6),(3,)a b x ==，若//a b ，则()b a b ⋅-=___________.14．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题： ①若1ABλ=，1ACμ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心； ③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上； ④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内． 其中真命题为______15．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________. 16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t的值为_____________.18．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.19．向量a ，b ，c 在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量a b λ+与c 共线，则||a b λ-=________．20．已知ABC ∆中，3AB =，5AC =，7BC =，若点D 满足1132AD AB AC =+，则DB DC ⋅=__________．三、解答题21．已知向量()sin ,cos a x x =，()3,1b =-，[]0,x π∈.（1）若a b ⊥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.22．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ⊥，求PA PB ⋅的值； （2）求PA PB ⋅的最小值.23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b -.24．已知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标； （2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+的值. 25．已知||1a =，||2b =.（1）若向量a 与向量b 的夹角为135︒，求||a b +及b 在a 方向上的投影； （2）若向量a b -与向量a 垂直，求向量a 与b 的夹角. 26．已知向量a 、b 的夹角为3π，且||1a =，||3b =. （1）求||a b +的值； （2）求a 与a b +的夹角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【解析】因为a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为θ，则cos cos 4cos 2cos 2a b πθθθθθ===⇒=，又由2()a b a b -=-且4,2a b ==，所以222()225a b a b a a b b -=-=-⋅+=，故选B.2．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =|，∴225AB OA OB =+= ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,255m n =-，，求得55m =， ∴452555D ⎛⎝⎭；则45254525,,5555OE OD λλλ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，45255,EA λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭； ∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354λλλ⎛⎫⎛⎫⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为()()45251,1ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 当34λ=时，551,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭；当14λ=时，35353,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A. 3．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.4．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=．∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=+=．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．5．C解析：C 【分析】以,AD AB 为一组基底，表示向量,AE BF ，然后利用12AE BF ⋅=-，求得2cos 3BAD ∠=，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】因为14AE AD DE AD AB =+=+，34BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133113444416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，223113cos 4416AD AB AD AB BAD =--⋅∠， 31117936cos 12448BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2cos 3BAD ∠=，∴25sin 1cos 3BAD BAD ∠=-∠=， ∴梯形ABCD 的高为sin 5AD BAD ⋅∠=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2234x y +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】由1MN =，可知OMN 为等边三角形，设Q 为MN 的中点，且3sin 602OQ OM ==，所以点Q 的轨迹为圆2234x y +=，又()3,4P ，所以，3322PO PQ PO -≤≤+，即3355PQ -≤≤+. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，因此2103,103PM PN PQ ⎡⎤+=∈-+⎣⎦.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7．D解析：D 【分析】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y ，易得1,2y x αβ==，则12x y αβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数12x y +在可行域BCD 内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则()()0,1,2,0C D ，如下图所示：设(),P x y ，∵ (,)OP OC OD R αβαβ=+∈， ∴()()(),0,12,0)2,(x y αββα=+=，∴2,x y βα==，即1,2y x αβ==，∴12x y αβ+=+， 令1,2z x y =+则12y x z =-+，其中z 为直线12y x z =-+在y 轴上的截距，由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为32， ∴αβ+的最大值为32． 故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 21,O 在BM 的延长线上时,OB 21． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy ac xy x y +≤++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.9．C解析：C 【分析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA≥，由垂线段最短可确定结论. 【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥，ABC ∴为直角三角形. 故选：C . 【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.10．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．C解析：C 【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos62b a b t aaπ⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin16b π=，从而可求出b 【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<，所以()g t 恒大于零， 所以当232cos622b b a b t aaaπ⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以2223332122bb bg a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =，所以2b =， 故选：C 【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题12．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ． 【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.二、填空题13．26【分析】先由求出求出再进行的计算【详解】因为所以解得所以故答案为：26【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化利用坐标运算比较简单解析：26 【分析】先由//a b 求出2x =，求出b ，再进行()b a b ⋅-的计算. 【详解】因为//a b ，所以9180x -=，解得2x =，所以(6,4),()362426a b b a b -=⋅-=⨯+⨯=.故答案为：26 【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．14．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④ 【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断. 【详解】①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.15．【分析】先利用平面向量的夹角为且解出然后求解的最值即可得到的最值【详解】因为所以而当且仅当时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的运用考查模长最值的求解难度一般【分析】先利用平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-解出2a b ⋅=，然后求解2a b -的最值即可得到a b -的最值. 【详解】因为1·cos 12a b a a b b θ⋅=⋅=-⋅=-，所以2a b ⋅=， 而2222222226a b a a b b a b a b -=-⋅+=++≥⋅+=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以6a b -≥. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运用，考查模长最值的求解，难度一般.16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心， 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心， 则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形， 由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-， 解得||2DA =，ABC∆的边长为4cos30︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B(3,3),C(3,D(2,0)-， 由||1AP=，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M为PC中点，即有3cos sin (,)22M θθ+， 则2223cos ||3=+2BM θ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝ 2(3cos )4θ-=+=3712sin 64πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=， 当sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494． 【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】利用向量的数量积公式向量垂直的性质直接直解【详解】非零向量满足=⊥解得故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式向量垂直的性质等基础知识考查运算能力属于中档题 解析：4-【分析】利用向量的数量积公式、向量垂直的性质直接直解． 【详解】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭,n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=, 解得4t =-， 故答案为：4- 【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，属于中档题.18．9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题解析：9 【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案. 【详解】解：根据题意，如图建立直角坐标系，∴ ()0,3A ()4,0B ，()0,0C ， ∴ ()4,3AB =-，()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-，[]0,1λ∈，∴ ()()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.故答案为：9 . 【点睛】本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题.19．【分析】建立平面直角坐标系从而得到的坐标这样即可得出的坐标根据与共线可求出从而求出的坐标即得解【详解】建立如图所示平面直角坐标系则：；与共线故答案为：【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表 13【分析】建立平面直角坐标系，从而得到,,a b c 的坐标，这样即可得出a b λ+的坐标，根据a b λ+与c 共线，可求出λ，从而求出a b λ-的坐标，即得解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则：(1,1),(0,1),(2,1)a b c ==-= ；(,1)a b λλλ∴+=-a b λ+与c 共线2(1)02λλλ∴--=∴=(2,3)a b λ∴-=22||2313a b λ∴-=+=13【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.20．【分析】根据以为一组基底由得到再由求解【详解】因为又因为所以所以故答案为：-12【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：12-【分析】 根据1132AD AB AC =+，以,AB AC 为一组基底，由2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅，得到152AB AC ⋅=-，再由2111()()3223⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB 求解.【详解】因为2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅ 又因为3AB =，5AC =，7BC = 所以152AB AC ⋅=-， 所以2111()()3223DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22211251521294244AB AC AB AC --+⋅=---=-. 故答案为：-12 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6x π=；（2）23x π=时，()f x 取到最大值2，0x =时，()f x 取到最小值1-.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可求得tan x =，结合x 的范围可求得x 的值； （2）将函数化简为()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据x 的范围可求得6x π-的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果. 【详解】解:（1）因为a b ⊥，所以sin co 30s b x x a =-=⋅，于是sin tan s 3co x x x ==， 又[]0,x π∈，所以6x π=；（2）()())sin ,1cos f x a x b x =⋅=⋅-cos x x =-2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 从而12sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭于是，当62x ππ-=，即23x π=时，()f x 取到最大值2； 当66x ππ-=-，即0x =时，()f x 取到最小值1-.【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.22．（1）223-；（2）2-. 【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB ∠=︒，120APB ∠=︒，再在POB 中，由余弦定理可求得62PB =-，然后根据平面向量数量积的定义cos PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有α的式子表示出PA PB ⋅，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解. 【详解】（1）当OA OP ⊥时，如图所示，∵120AOB ∠=︒，∴1209030POB ∠=︒-︒=︒，18030752OPB ︒-︒∠==︒，∴7545120APB ∠=︒+︒=︒， 在POB 中，由余弦定理，得222222cos 22222cos30843PB OB OP OB OP POB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=-∴84362PB =-=，又222PA OA ==，∴1cos 22622232PA PB PA PB APB ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯-=- ⎪⎝⎭（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB ∠=︒，2OB =，∴(3B -，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()22cos ,2sin 12cos 32sin PA PB αααα⋅=--⋅-- 2222cos 4cos 234sin αααα=--+-+2cos 2324sin 26πααα⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭. ∵20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,666πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴当62ππα+=，即3πα=时，PA PB ⋅取得最小值为2-.【点睛】 本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．23．（1）π3；（2）27 【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】（1）设向量a 与b 的夹角θ，()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=， 又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得： ()222a b a b -=-=2244a a b b -⋅+4123627-+=.【点睛】 本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）(2,4)-；（2）5-.【分析】（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标；（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．【详解】（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=+==2λ=-，故(2,4)b =-；（2）21(a =+=∴222221()(2)22||||cos105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭.【点睛】 本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．25．（1）1a b +=；-1；（2）45︒.【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律求出||a b +，再根据平面向量的几何意义求出b 在a 方向上的投影；（2）根据向量垂直，则数量积为零，即可得到1a b ⋅=，再根据夹角公式计算可得； 【详解】解：（1）由已知得2222()2121()212a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯-+=，∴1a b +=；b 在a 方向上的投影为||cos1352(12b =-=- （2）由已知得()0a b a -⋅=，即20a a b -⋅=∴1a b ⋅=，∴[]2cos ,,0,212a b a b a b a b π⋅===∈⨯，， ∴向量a 与b 的夹角为45︒.【点睛】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题.26．（12 【分析】（1）利用定义得出a b ⋅，再结合模长公式求解即可；（2）先得出()a a b ⋅+，再由数量积公式得出a 与a b +的夹角的余弦.【详解】（1）313cos 32a b π⋅=⨯⨯=2223()||2||122a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=+⨯=（2）235()||122a a b a a b ⋅+=+⋅=+= 5()2cos ,26113a ab a a b a a b ⋅+∴+===⨯⋅+ 【点睛】 本题主要考查了利用定义求模长以及求夹角，属于中档题.。

《第四章 指数函数与对数函数》测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f （x ）=log 2 (x 2-3x -4)的单调递减区间为（ ） A ．（-∞，-1）B ．（-∞，-1.5）C ．（1.5，+∞）D ．（4，+∞）2．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（ ） A ．且 B ．且 C ．且 D ． 3．函数为增函数的区间是（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知函数y =log a (3-ax )在[0，1]上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（1，3） C ．（0，3）D ．[3，+∞]5．若实数满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知定义域为R 的偶函数f (x )在（-∞，0]上单调递减，且f ( ) = 2，则不等式f (log 4x )>2的解集为（ ）A ．（0， ）∪（2，+∞）B .（2，+∞）C ．（0， ）∪（ ， + ∞ ）D ．（0， ）7．三个数，，之间的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．()21xy a =-x a 0a >1a ≠0a ≥1a ≠12a >1a ≠12a ≥2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭[)1,-+∞(],1-∞-[)1,+∞(],1-∞,a b 3412a b ==11a b+=121516120.3a =0.32b =2log 0.3c =a c b <<c a b <<c b a <<b c a <<2121222228．已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）A ．当时，的定义域为B ．一定有最小值C ．当时，的值域为D ．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列运算结果中，一定正确的是（ ） A ． B ．CD10．已知函数，下面说法正确的有（ ）A ．的图像关于原点对称B ．的图像关于轴对称C ．的值域为D ．对于任意的，且，恒成立11．若，，则（ ） A ． B ． C ．D ．12．已知函数f (x )=x 2-2x+a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是（ ） A ．a ＜1 B ．若x 1≠x 2，则= C ．f （-1）=f （3） D ．函数y=f （∣x ∣）有四个零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．()()2lg 1f x x ax a =+--0a =()f x R ()f x 0a =()f x R ()f x [)2,+∞a {}4|a a ≥-347a a a ⋅=()326a a -=a =π=-()2121x x f x -=+()f x ()f x y ()f x ()1,1-12,x x ∈R 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-104a =1025b =2a b +=1b a -=281g 2ab >lg 6b a ->2x 11x 1+a213．当_________． 14．函数的值域是________．15．若，则________．16．函数的定义域为______，最小值为______．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）解下列方程．（1）； （2（3）．18．（12分）求下列函数的定义域、值域．（1）； （2）．19．（12分）（1）求函数的单调区间；（2）求函数的单调区间．2x <3=23x y -=1232494log 7log 9log log a ⋅⋅=a =()()212log 23f x x x =--+32381x -=256550x x -⨯+=313x xy =+421x xy =-+261712x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20． 已知函数.（1）当时，求函数的零点；（2）若有零点，求的取值范围。

人教A版高中数学必修1全册练习题高中数学必修1练习题集第一章、集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示例1.用符号和填空。

⑴设集合A是正整数的集合，则0_______A，________A，______A；⑵设集合B是小于的所有实数的集合，则2______B，1+______B；⑶设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国_____A，美国_____A，印度_____A，英国____A例2.判断下列说法是否正确，并说明理由。

⑴某个单位里的年轻人组成一个集合；⑵1，，，，这些数组成的集合有五个元素；⑶由a，b，c组成的集合与b，a，c组成的集合是同一个集合。

例3.用列举法表示下列集合：⑴小于10的所有自然数组成的集合A；⑵方程x=x的所有实根组成的集合B；⑶由1～20中的所有质数组成的集合C。

例4.用列举法和描述法表示方程组的解集。

典型例题精析题型一集合中元素的确定性例1.下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值得全体，其中能构成集合的组数是（）A.2B.3C.4D.5题型二集合中元素的互异性与无序性例2.已知x{1，0，x}，求实数x的值。

题型三元素与集合的关系问题1.判断某个元素是否在集合内例3．设集合A={x∣x=2k,kZ}，B={x∣x=2k+1,kZ}。

若aA，bB，试判断a+b与A，B的关系。

2.求集合中的元素例4.数集A满足条件，若aA，则A，（a≠1），若A，求集合中的其他元素。

3.利用元素个数求参数取值问题例5.已知集合A={x∣ax+2x+1=0,aR}，⑴若A中只有一个元素，求a的取值。

⑵若A中至多有一个元素，求a的取值范围。

题型四列举法表示集合例6.用列举法表示下列集合⑴A={x∣≤2，xZ}；⑵B={x∣=0}⑶M={x+y=4，xN，yN}.题型五描述法表示集合例7.⑴已知集合M={xN∣Z}，求M；⑵已知集合C={Z∣xN}，求C.例8.用描述发表示图（图-8）中阴影部分（含边界）的点的坐标的集合。

高一数学必修一综合测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ） A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．1或1-或02、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ )A 、奇函数，且在(0,1）上是增函数B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数3。

已知b ax y x f B y A x R B A +=→∈∈==:,,,是从A 到B 的映射,若1和8的原象分别是3和10，则5在f 下的象是（ ）A .3B .4C 。

5D .6 4。

下列各组函数中表示同一函数的是( ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y , )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(, ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x fA 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸5．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,,且在[)+∞,0上是减函数，则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是（ ）A ．)23(-f >)252(2++a a f B ．)23(-f <)252(2++a a f C ．)23(-f ≥)252(2++a a f D ．)23(-f ≤)252(2++a a f6。

设⎪⎩⎪⎨⎧-=-)1(log 2)(231x ex f x )2()2(≥<x x 则[])2(f f =（ ） A 。

2 B .3 C .9 D 。

187．函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（ ）8。

人教版高中数学选择性必修第一册综合检测卷（原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，3)，(4，3＋3)，则此直线的倾斜角是()A.π6B.π4C.π3D.2π32．(2019·北京，理)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则()A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b3.如图，在三棱锥O －ABC 中，D 是棱AC 的中点，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则BD →＝()A.12a －b ＋12c B ．a ＋b －c C ．a －b ＋cD ．－12a ＋b －12c4．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段AB 的中点坐标是()A ．(2，6)B ．(3，2)C ．(6，4)D ．(4，6)5．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为()A ．a 2 B.14a 2C.12a 2 D.34a 26．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为()A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝07.四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，且AB ＝BC ＝2，AD ＝3，PA ⊥平面ABCD 且PA ＝2，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为()A.427B.77C.33D.638．(2019·课标全国Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为()A.2B.3C ．2 D.5二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是()A ．在两坐标轴上截距相等的直线可以用方程x a ＋ya＝1表示B ．存在实数m ，使得方程x ＋my －2＝0能表示平行于y 轴的直线C ．经过点P (1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ(x －1)D ．点(0，2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为(1，1)10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，则下列结论正确的是()A ．A 1C 1∥平面CEFB ．B 1D ⊥平面CEF C.CE →＝12DA →＋DD 1→－DC→D ．若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1边长为2，点B 1到平面CEF 的距离为111．已知P 是椭圆C ：x 26＋y 2＝1上的动点，Q 是圆D ：(x ＋1)2＋y 2＝15上的动点，则()A ．C 的焦距为5B ．C 的离心率为306C ．圆D 在C 的内部D ．|PQ |的最小值为25512．已知动点P 到两定点M (－2，0)，N (2，0)的距离乘积为常数16，其轨迹为C ，则()A ．C 一定经过原点B ．C 关于x 轴、y 轴对称C ．△MPN 的面积的最大值为43D ．C 在一个面积为64的矩形内三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________．14．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点A (4，2)，则线段AP 中点M 的轨迹方程是________________；点M 的轨迹与圆C 相交，则过交点的直线方程是________．(本题第一空2分，第二空3分)15．已知点F2为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx交双曲线C于A，B两点，若∠AF2B＝2π3，S△AF2B＝23，则双曲线C的虚轴长为________．16．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F1(1，0)，离心率为e.设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若0<k≤3，则e的取值范围为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知三角形的顶点A(2，3)，B(0，－1)，C(－2，1)．(1)求直线AC的方程；(2)从①，②这两个问题中选择一个作答．①求点B关于直线AC的对称点D的坐标．②若直线l过点B且与直线AC交于点E，|BE|＝3，求直线l的方程．18．(12分)已知圆C经过三点O(0，0)，A(1，3)，B(4，0)．(1)求圆C的方程；(2)求过点P(3，6)且被圆C截得弦长为4的直线的方程．19．(12分)(2019·课标全国Ⅱ，文)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．20.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是矩形，BC＝22，M为BC的中点．(1)求证：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小；(3)求点D到平面AMP的距离．21．(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠AA1C1＝60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D.(1)求证：BD⊥平面AA1C1；(2)设点E是直线B1C1上一点，且DE∥平面AA1B1B，求平面EBD与平面ABC1夹角的余弦值．22．(12分)已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP 到点N ，且PM →·PF →＝0，|PM →|＝|PN →|.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)直线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－4，且46≤|AB →|≤430，求直线l 的斜率k 的取值范围．1．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为()A.54B.52C.32D.542．已知四面体顶点A (2，3，1)，B (4，1，－2)，C (6，3，7)和D (－5，－4，8)，则顶点D 到平面ABC 的距离为()A ．8B ．9C ．10D ．113.如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2.下列结论中正确的是()A.SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0B.SA →－SB →＋SC →－SD →＝0C.SA →·SB →＋SC →·SD →＝0D.SA →·SC →＝04．已知A 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点，F 是抛物线C ：y 2＝－8ax 的焦点．若在双曲线的渐近线上存在点P ，使得AP →⊥FP →，则E 的离心率的取值范围是()A ．(1，2)，324D ．(2，＋∞)5.如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ，点M 为PA 的中点，BD →＝λBN →.若MN ⊥AD ，则实数λ为()A ．2B ．3C ．4D ．56．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的左、右焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝()A ．4B ．8C ．12D ．167．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点(异于点B )，则|PB ||PA |的最大值是()A ．2B ．4C.2D ．228．【多选题】若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则()A ．b ＋c ，b －c ，a 共面B ．b ＋c ，b －c ，2b 共面C ．b ＋c ，a ，a ＋b ＋c 共面D ．a ＋c ，a －2c ，c 共面9.【多选题】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，点P 为线段A 1C 上的动点，则下列结论正确的是()A ．当A 1C →＝2A 1P →时，B 1，P ，D 三点共线B ．当AP →⊥A 1C →时，AP →⊥D 1P→C ．当A 1C →＝3A 1P →时，D 1P ∥平面BDC 1D ．当A 1C →＝5A 1P →时，A 1C ⊥平面D 1AP10．【多选题】已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，且|AF |＝3|BF |，M 为AB 中点，则下列结论正确的是()A ．∠CFD ＝90°B ．△CMD 为等腰直角三角形C ．直线AB 的斜率为±3D ．△AOB 的面积为411．【多选题】a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，则下列结论正确的是()A ．直线AB 与a 所成角的最小值为π4B ．直线AB 与a 所成角的最大值为π3C ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π6D ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π312．【多选题】古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足|PA||PB|＝12.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是()A．轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得|PD||PE|＝1 2C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|13．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x－my－1＝0平行，则实数m的值为________，动直线l被圆C：x2＋y2＋2x－24＝0截得弦长的最小值为________．14．已知M(－2，0)，N(2，0)，点P(x，y)为坐标平面内的动点，满足|MN→|·|MP→|＋MN→·NP→＝0，则动点P的轨迹方程为________．15．已知直线l：4x－3y＋6＝0，抛物线C：y2＝4x上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为________，P到直线l距离的最小值为________．16．已知直线l：y＝－x＋1与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点为(1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2＋y2＝5上，求此椭圆的方程．17.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2.(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得二面角C－AF－P的余弦值是22318.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝3，∠ABC＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)求二面角A－A1C－B的正切值大小．19.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC ∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点．(1)求二面角O1－BC－D的大小；(2)求点E到平面O1BC的距离．20．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，若|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值及使得|PM|取得最小值的点P的坐标．21．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若OM→·ON→＝12，其中O为坐标原点，求△OMN的面积．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短轴长为2，椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为2＋ 3.过点P(m，0)作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，其中m>0，k>0，D是线段AB的中点，直线OD交椭圆C于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若m＝1，OM→＋3OD→＝0，求k的值；(3)若存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形，求m的取值范围．人教版高中数学选择性必修第一册综合检测卷（解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，3)，(4，3＋3)，则此直线的倾斜角是()A.π6B.π4C.π3D.2π3答案A解析设直线的倾斜角为α，则tan α＝3＋3－34－1＝33，∴α＝π6.故选A.2．(2019·北京，理)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则()A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b答案B 解析椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2.故选B.3.如图，在三棱锥O －ABC 中，D 是棱AC 的中点，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则BD →＝()A.12a －b ＋12c B ．a ＋b －c C ．a －b ＋c D ．－12a ＋b －12c答案A解析OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋12AC →＝OA →＋12(OC →－OA →)＝12OA →＋12OC →，因此BD →＝OD →－OB →＝12OA→－OB →＋12OC →＝12a －b ＋12c .4．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段AB 的中点坐标是()A ．(2，6)B ．(3，2)C ．(6，4)D ．(4，6)答案B解析设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．将y ＝x －1代入y 2＝4x ，整理得x 2－6x ＋1＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝6，则x 1＋x 22＝3，y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2，所以所求点的坐标为(3，2)．故选B.5．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为()A ．a 2 B.14a 2C.12a 2 D.34a 2答案B解析在正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，AE →＝AB →＋BE →，AF →＝12AD →，所以AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·12→＝12AB →·AD →＋12BE →·AD →.因为ABCD 是正四面体，所以BE ⊥AD ，∠BAD ＝π3，即BE →·AD →＝0，AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos π3＝12a 2，所以AE →·AF →＝14a 2.故选B.6．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为()A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案D解析由题意设圆心坐标为C (a ，0)(a >0)，∵圆C 与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，∴|3a ＋0＋4|9＋16＝2，解得a ＝2.∴圆心为C (2，0)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.故选D.7.四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，且AB ＝BC ＝2，AD ＝3，PA ⊥平面ABCD 且PA ＝2，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为()A.427 B.77C.33D.63答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0，0，2)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，3，0)．PB →＝(2，0，－2)，CD →＝(－2，1，0)，PD →＝(0，3，－2)．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，2x ＋y ＝0，y －2z ＝0.取x ＝1得n ＝(1，2，3)．cos 〈PB →，n 〉＝PB →·n |PB →||n |＝－422×14＝－77，可得PB 与平面PCD 所成角的正弦值为77.故选B.8．(2019·课标全国Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为()A.2B.3C ．2 D.5答案A解析如图，由题意知以OF ＋y 2＝c 24①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ |＝由|PQ |＝|OF |，得c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝ 2.故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是()A ．在两坐标轴上截距相等的直线可以用方程x a ＋ya ＝1表示B ．存在实数m ，使得方程x ＋my －2＝0能表示平行于y 轴的直线C ．经过点P (1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ(x －1)D ．点(0，2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为(1，1)答案BD 解析对于A ，若直线过原点，则在两坐标轴上的截距都为零，故不能用方程x a ＋ya＝1表示，所以A 错误；对于B ，当m ＝0时，平行于y 轴的直线方程为x ＝2，所以B 正确；对于C ，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，故不能用y －1＝tan θ(x －1)表示，所以C 错误；对于D y ＝x ＋1上，且(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以D 正确．故选BD.10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，则下列结论正确的是()A ．A 1C 1∥平面CEFB ．B 1D ⊥平面CEF C.CE →＝12DA →＋DD 1→－DC→D ．若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1边长为2，点B 1到平面CEF 的距离为1答案AC解析对于A ，因为E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，所以EF ∥A 1C 1，且EF ⊂平面CEF ，故A 1C 1∥平面CEF 成立，A 正确；对于B ，以点D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，设正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0，0，0)，C (0，2，0)，A (2，0，0，)，B 1(2，2，2)，D 1(0，0，2)，E (1，0，2)，F (0，1，2)，B 1D →＝(－2，－2，－2)，FC →＝(0，1，－2)，因为B 1D →·FC →＝0－2＋4＝2≠0，所以B 1D →与FC →不垂直，又CF ⊂平面CEF ，所以B 1D 与平面CEF 不垂直，B 错误；对于C ，12DA →＋DD 1→－DC →＝12(2，0，0)＋(0，0，2)－(0，2，0)＝(1，－2，2)，又CE →＝(1，－2，2)，所以CE →＝12DA→＋DD 1→－DC →成立，C 正确；对于D ，连接B 1E ，EF →＝(－1，1，0)，EC →＝(－1，2，－2)，设平面EFC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )·n ＝0，·n ＝0，x ＋y ＝0，x ＋2y －2z ＝0，令x ＝2，得n ＝(2，2，1)，又B 1E →＝(－1，－2，0)，所以点B 1到平面CEF 的距离d ＝|B 1E →·n ||n |＝63＝2，D 错误．故选AC.11．已知P 是椭圆C ：x 26＋y 2＝1上的动点，Q 是圆D ：(x ＋1)2＋y 2＝15上的动点，则()A ．C 的焦距为5B ．C 的离心率为306C ．圆D 在C 的内部D ．|PQ |的最小值为255答案BC解析∵x 26＋y 2＝1，∴a ＝6，b ＝1，∴c ＝a 2－b 2＝6－1＝5，则C 的焦距为25，e ＝ca＝56＝306.设P (x ，y )(－6≤x ≤6)，则|PD |2＝(x ＋1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋1－x 26＝＋45≥45>15，可知圆D 在C 的内部，且|PQ |的最小值为45－15＝55.故选BC.12．已知动点P 到两定点M (－2，0)，N (2，0)的距离乘积为常数16，其轨迹为C ，则()A ．C 一定经过原点B ．C 关于x 轴、y 轴对称C ．△MPN 的面积的最大值为43D ．C 在一个面积为64的矩形内答案BCD解析设点P 的坐标为(x ，y )，由题意可得（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝16.对于A ，将原点坐标(0，0)代入方程得2×2＝4≠16，故A 错误；对于B ，设点P 关于x 轴、y 轴的对称点分别为P 1(x ，－y )，P 2(－x ，y )，因为（x ＋2）2＋（－y ）2·（x －2）2＋（－y ）2＝（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝16，（－x ＋2）2＋y 2·（－x －2）2＋y 2＝（x －2）2＋y 2·（x ＋2）2＋y 2＝16，所以点P 1，P 2都在曲线C 上，所以曲线C 关于x 轴、y 轴对称，故B 正确；对于C ，设|PM |＝a ，|PN |＝b ，∠MPN ＝θ(0<θ<π)，则ab ＝16，由余弦定理得cos θ＝a 2＋b 2－162ab ＝a 2＋b 2－1632≥2ab －1632＝12，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立，则θ，π3，所以sin θ≤32，则△MPN 的面积S △MPN ＝12ab sin θ≤12×16×32＝43，故C正确；对于D ，由16＝（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2≥（x ＋2）2·（x －2）2＝|x 2－4|，可得－16≤x 2－4≤16，得0≤x 2≤20，解得－25≤x ≤25，由C 知，S △MPN ＝12|MN |·|y |＝12×4×|y |≤43，得|y |≤23，因为45×43＝1615<64，所以曲线C 在一个面积为64的矩形内，故D 正确．故选BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________．答案23a －13b ＋23c 解析PG →＝PB →＋BG→＝PB →＋23BD→＝PB →＋23(BA →＋BC →)＝PB →＋23[(PA →－PB →)＋(PC →－PB →)]＝PB →＋23(PA →－2PB →＋PC →)＝23PA →－13PB →＋23PC →＝23a －13b ＋23c .14．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点A (4，2)，则线段AP 中点M 的轨迹方程是________________；点M 的轨迹与圆C 相交，则过交点的直线方程是________．(本题第一空2分，第二空3分)答案(x －2)2＋(y －1)2＝12x ＋y －4＝0解析设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，＝x 1＋42，＝y 1＋22，1＝2x －4，1＝2y －2.因为x 12＋y 12＝4，所以(2x －4)2＋(2y －2)2＝4.整理得(x －2)2＋(y －1)2＝1.①又圆C ：x 2＋y 2＝4，②由①－②得2x ＋y －4＝0，即为所求直线方程．15．已知点F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx 交双曲线C 于A ，B两点，若∠AF 2B ＝2π3，S △AF 2B ＝23，则双曲线C 的虚轴长为________．答案22解析由题意知点B 与点A 关于原点对称，设双曲线的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1，由对称性可知四边形AF 1BF 2是平行四边形，所以∠F 1AF 2＝π3，设|AF 2|＝m ，不妨设点A 在点B 右侧，则|AF 1|＝2a ＋m .在△AF 1F 2中，由余弦定理可得4c 2＝m 2＋(m ＋2a )2－m (m ＋2a )，化简得4c 2－4a 2＝m 2＋2ma ，即4b 2＝m (m ＋2a )．又S △AF 2B ＝12m (m ＋2a )·32＝23，所以b 2＝2，所以2b ＝2 2.16．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 1(1，0)，离心率为e .设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k ，若0<k ≤3，则e 的取值范围为________．答案[3－1，1)解析设A (m ，n )，则B (－m ，－n )，则k ＝nm，因为原点O 在以线段MN 为直径的圆上，所以OM ⊥ON ，又因为M 为AF 1的中点，所以OM ∥BF 1，同理ON ∥AF 1，所以四边形OMF 1N 是矩形，即AF 1⊥BF 1，而AF 1→＝(1－m ，－n )，BF 1→＝(1＋m ，n )，所以(1－m )(1＋m )－n 2＝0，即m 2＋n 2＝1，又m 2a 2＋n 2b 2＝1，于是有m 2a 2＋n 2b 2＝m 2＋n 2，从而1a 2－11－1b 2＝n 2m 2＝k 2≤3，即1a 2＋3b2≥4，将b 2＝a 2－1代入上式，整理得4a 4－8a 2＋1≤0，解得2－32≤a 2≤2＋32，又a >c ＝1，所以4－23≤1a2<1，即3－1≤e <1.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知三角形的顶点A (2，3)，B (0，－1)，C (－2，1)．(1)求直线AC 的方程；(2)从①，②这两个问题中选择一个作答．①求点B 关于直线AC 的对称点D 的坐标．②若直线l 过点B 且与直线AC 交于点E ，|BE |＝3，求直线l 的方程．思路分析(1)由A (2，3)，C (－2，1)，可求出直线AC 的斜率，由点斜式即可写出直线的方程；(2)选①由对称点的性质即可求出；选②设出E ，12t ＋t 的值，根据B ，E 两点的坐标即可求出直线的方程．解析(1)因为直线AC 的斜率为k AC ＝12，所以直线AC 的方程为y －3＝12(x －2)，即直线AC 的方程为x －2y ＋4＝0.(2)选择问题①：设D 的坐标为(m ，n )，·12＝－1，2·n －12＋4＝0，＝－125，＝195.所以点D －125，选择问题②：设E，12t ＋|BE |＝33，解得t ＝0或t ＝－125.所以E 的坐标为(0，2)－125，所以直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＋4＝0.18．(12分)已知圆C 经过三点O (0，0)，A (1，3)，B (4，0)．(1)求圆C 的方程；(2)求过点P (3，6)且被圆C 截得弦长为4的直线的方程．解析(1)由题意，设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，＝0，＋9＋D ＋3E ＋F ＝0＋4D ＋F ＝0，＝－4，＝－2，＝0.所以圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5.(2)由(1)知圆心坐标为C (2，1)，半径为5，弦长为4时，圆心C 到直线的距离为1.①若直线斜率不存在，则直线方程为x ＝3，经检验符合题意；②若直线斜率存在，设直线斜率为k ，则直线方程为y －6＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋6＝0，则|5－k |1＋k 2＝1，解得k ＝125，所以直线方程为y －6＝125(x －3)，即12x －5y －6＝0.综上可知，直线方程为x ＝3或12x －5y －6＝0.19．(12分)(2019·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．解析(1)若△POF 2为等边三角形，则P ，±32c ，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得c 24a2＋3c 24b2＝1，解得e 2＝4±23，所以e ＝3－1(3＋1已舍去)．(2)由题意可得|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，因为PF 1⊥PF 2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，所以(|PF 1→|＋|PF 2→|)2－2|PF 1→|·|PF 2→|＝4c 2，所以2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以|PF 1→|·|PF 2→|＝2b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1→|·|PF 2→|＝b 2＝16，解得b ＝4.因为(|PF 1→|＋|PF 2→|)2≥4|PF 1→|·|PF 2→|，即(2a )2≥4|PF 1→|·|PF 2→|，即a 2≥|PF 1→|·|PF 2→|，所以a 2≥32，所以a ≥42，即a 的取值范围为[42，＋∞)．20.(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，且△PCD 是边长为2的等边三角形，四边形ABCD 是矩形，BC ＝22，M 为BC 的中点．(1)求证：AM ⊥PM ；(2)求二面角P －AM －D 的大小；(3)求点D 到平面AMP 的距离．解析以点D 为原点，分别以直线DA ，DC 为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D (0，0，0)，P (0，1，3)，A (22，0，0)，M (2，2，0)，PM →＝(2，1，－3)，AM →＝(－2，2，0)．(1)证明：∵PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2，0)＝0，即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .(2)设n ＝(x ，y ，z )为平面PAM 的法向量，·PM →＝0，·AM →＝0，y －3z ＝0，＋2y ＝0，取y ＝1，得n ＝(2，1，3)．取p ＝(0，0，1)，显然p 为平面ABCD 的一个法向量，∵cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝36＝22，∴二面角P －AM －D 的大小为45°.(3)设点D 到平面AMP 的距离为d ，由(2)可知n ＝(2，1，3)为平面AMP 的一个法向量，∴d ＝|DA →·n ||n |＝|22×2|2＋1＋3＝263，即点D 到平面AMP 的距离为263.21．(12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝BC 1＝2，∠AA 1C 1＝60°，平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，AC 1与A 1C 相交于点D .(1)求证：BD ⊥平面AA 1C 1；(2)设点E 是直线B 1C 1上一点，且DE ∥平面AA 1B 1B ，求平面EBD 与平面ABC 1夹角的余弦值．解析(1)证明：由已知得侧面AA 1C 1C 是菱形，D 是AC 1的中点．∵BA ＝BC 1，∴BD ⊥AC 1.∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，且BD ⊂平面ABC 1，平面ABC 1∩平面AA 1C 1C ＝AC 1，∴BD ⊥平面AA 1C 1C .(2)设点F 是A 1C 1的中点，连接DF ，EF ，∵点D 是AC 1的中点，∴DF ∥平面AA 1B 1B .又∵DE ∥平面AA 1B 1B ，∴平面DEF ∥平面AA 1B 1B .又∵平面DEF ∩平面A 1B 1C 1＝EF ，平面AA 1B 1B ∩平面A 1B 1C 1＝A 1B 1，∴EF ∥A 1B 1.∴点E 是B 1C 1的中点．如图，以D 为原点，以DA 1，DA ，DB 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由已知可得AC 1＝2，AD ＝1，BD ＝A 1D ＝DC ＝3，BC ＝6，∴D (0，0，0)，A (0，1，0)，A 1(3，0，0)，B (0，0，3)，C 1(0，－1，0)．设平面EBD 的法向量是m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥DB →，得3z ＝0⇒z ＝0.又DE →＝12(DC 1→＋DB 1→)＝12(DC 1→＋DB →＋AA 1→)1由m ⊥DE →，得(x ，y ，z10⇒32x －y ＝0.令x ＝1，得y ＝32，∴m ，32，∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，DA 1⊥AC 1，∴DA 1⊥平面ABC 1.∴DA 1→是平面ABC 1的一个法向量，DA 1→＝(3，0，0)．∴cos 〈m ，DA 1→〉＝31＋34×3＝277，∴平面EBD 与平面ABC 1夹角的余弦值是277.22．(12分)已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且PM →·PF →＝0，|PM →|＝|PN →|.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)直线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－4，且46≤|AB →|≤430，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析(1)由题意知P 为线段MN 的中点，设N (x ，y )，则M (－x ，0)，由PM →·PF →＝0x，∴(－x )·10，∴y 2＝4x (x ＞0)，∴点N 的轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．(2)设l 与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当l 与x 轴垂直时，则由OA →·OB →＝－4，得y 1＝22，y 2＝－22，|AB |＝42<46，不合题意．故l 与x 轴不垂直．可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则由OA →·OB →＝－4，得x 1x 2＋y 1y 2＝－4.由点A ，B 在抛物线y 2＝4x (x >0)上有y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，故y 1y 2＝－8.又2＝4x ，＝kx ＋b ，联立消x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0.∴4bk ＝－8，b ＝－2k.∴Δ＝16(1＋2k 2)，|AB |2y1－y 2)2∵46≤|AB |≤430，∴96480.解得直线l的斜率取值范围为－1，－12∪12，1.1．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为()A.54B.52C.32D.54答案B2．已知四面体顶点A(2，3，1)，B(4，1，－2)，C(6，3，7)和D(－5，－4，8)，则顶点D 到平面ABC的距离为()A．8B．9C．10D．11答案D解析设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则·AB→＝0，·AC→＝0，x，y，z）·（2，－2，－3）＝0，x，y，z）·（4，0，6）＝0.x－2y－3z＝0，x＋6z＝0＝2x，＝－23x，令x＝1，则n，2AD→＝(－7，－7，7)，故所求距离为|AD→·n||n|＝|－7－14－143|1＋4＋49＝11.3.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2.下列结论中正确的是()A.SA→＋SB→＋SC→＋SD→＝0B.SA→－SB→＋SC→－SD→＝0C.SA→·SB→＋SC→·SD→＝0D.SA→·SC→＝0答案B解析本题考查空间向量的加减运算和数量积．由题意易知A错误；因为SA→－SB→＋SC→－SD→＝BA→＋DC→＝0，所以B正确；因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA →·SB →＝2×2×cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2×2×cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →≠0，所以C 错误；连接AC ，在△SAC 中，SA ＝SC ＝2，AC ＝2，所以∠ASC ≠90°，所以cos ∠ASC ≠0，又SA →·SC →＝2×2×cos ∠ASC ，所以SA →·SC →≠0，所以D 错误．故选B.4．已知A 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点，F 是抛物线C ：y 2＝－8ax 的焦点．若在双曲线的渐近线上存在点P ，使得AP →⊥FP →，则E 的离心率的取值范围是()A ．(1，2)，324D ．(2，＋∞)答案B解析由题意得，A (－a ，0)，F (－2a ，0)，不妨设0，ba x AP →⊥FP →，得AP →·FP →＝0⇒0＋a ，b a x 0＋2a ，ba x 0⇒c 2a 2x 02＋3ax 0＋2a 2＝0.因为在双曲线E 的渐近线上存在点P ，所以Δ≥0，即9a 2－4×2a 2×c 2a 2≥0，9a 2≥8c 2⇒e 2≤98⇒－324≤e ≤324，又因为E 为双曲线，所以1<e ≤324.故选B.5.如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ，点M 为PA 的中点，BD →＝λBN →.若MN ⊥AD ，则实数λ为()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C解析连接AC 交BD 于点O ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA ＝AB ＝2，则A (2，0，0)，D (0，－2，0)，P (0，0，2)，0B (0，2，0)，∴BD →＝(0，－22，0)，设N (0，b ，0)，则BN →＝(0，b －2，0)．∵BD＝λBN →，∴－22＝λ(b －2)，∴b ＝2λ－22λ，∴N，2λ－22λ，，→－22，2λ－22λ，－AD →＝(－2，－2，0)，∵AD ⊥MN ，∴AD →·MN →＝1－2λ－4λ＝0，解得λ＝4.故选C.6．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的左、右焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝()A ．4B ．8C ．12D ．16答案B解析设MN 的中点为D ，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，如图，连接DF 1，DF 2.∵F 1是MA 的中点，D 是MN 的中点，∴F 1D 是△MAN 的中位线，∴|DF 1|＝12|AN |，同理|DF 2|＝12|BN |，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)．∵点D 在椭圆上，根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知，|DF 1|＋|DF 2|＝4，∴|AN |＋|BN |＝8.故选B.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点(异于点B )，则|PB ||PA |的最大值是()A ．2B ．4C.2D ．22答案A解析设点P (x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝2，所以|PB |2|PA |2＝（x 0－1）2＋（y 0＋1）2x 02＋（y 0＋2）2＝x 02＋y 02－2x 0＋2y 0＋2x 02＋y 02＋4y 0＋4＝－2x 0＋2y 0＋44y 0＋6＝－x 0＋y 0＋22y 0＋3，令λ＝－x 0＋y 0＋22y 0＋3，则λ≠0，x 0＋(2λ－1)y 0＋3λ－2＝0，由题意，知直线x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0与圆x 2＋y 2＝2有公共点，所以|3λ－2|1＋（2λ－1）2≤2，得λ2－4λ≤0，得0<λ≤4，所以|PB ||PA |的最大值为2.8．【多选题】若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则()A ．b ＋c ，b －c ，a 共面B ．b ＋c ，b －c ，2b 共面C ．b ＋c ，a ，a ＋b ＋c 共面D ．a ＋c ，a －2c ，c 共面答案BCD解析易知b ＋c ，b －c ，a 不共面；因为2b ＝(b ＋c )＋(b －c )，所以b ＋c ，b －c ，2b 共面；因为a ＋b ＋c ＝(b ＋c )＋a ，所以b ＋c ，a ，a ＋b ＋c 共面；因为a ＋c ＝(a －2c )＋3c ，所以a ＋c ，a －2c ，c 共面．故选BCD.9.【多选题】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，点P 为线段A 1C 上的动点，则下列结论正确的是()A ．当A 1C →＝2A 1P →时，B 1，P ，D 三点共线B ．当AP →⊥A 1C →时，AP →⊥D 1P→C ．当A 1C →＝3A 1P →时，D 1P ∥平面BDC 1D ．当A 1C →＝5A 1P →时，A 1C ⊥平面D 1AP答案ACD解析在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接AC ，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，所以AD ＝AA 1＝1，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，C (0，3，0)，C 1(0，3，1)，D 1(0，0，1)，D (0，0，0)，B (1，3，0)，则A 1C →＝(－1，3，－1)，D 1A →＝(1，0，－1)，DC 1→＝(0，3，1)，DB →＝(1，3，0)，A 1D 1→＝(－1，0，0)．当A 1C →＝2A 1P →时，P 为A 1C 的中点，根据长方体结构特征，可知P 为体对角线的中点，因此P 也为B 1D 的中点，所以B 1，P ，D 三点共线，故A 正确；当AP →⊥A 1C →时，AP ⊥A 1C ，由题意可得A 1C ＝1＋1＋3＝5，AC ＝1＋3＝2，因为S △A 1AC ＝12AA 1·AC ＝12A 1C ·AP ，所以AP ＝255，所以A 1P ＝55，即点P 为靠近点A 1的五等分点，所以，35，D 1P →，35，－AP →＝－15，35，D 1P →·AP →＝－425＋325－425＝－15≠0，所以AP →与D 1P →不垂直，故B 错误；当A 1C →＝3A 1P →时，A 1P →＝13A 1C →－13，33，－BDC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，·DC 1→＝0，·DB →＝0，＋z ＝0，＋3y ＝0，令y ＝1，可得n ＝(－3，1，－3)，又D 1P →＝A 1P →－A 1D 1→＝，33，－D 1P →·n ＝0，因此D 1P →⊥n ，所以D 1P →∥平面BDC 1，故C 正确；当A 1C →＝5A 1P →时，A 1P →＝15A 1C →－15，35，－所以D 1P →＝A 1P →－A 1D 1→，35，－所以A 1C →·D 1P →＝0，A 1C →·D 1A →＝0，因此A 1C ⊥D 1P ，A 1C ⊥D 1A ，又D 1P ∩D 1A ＝D 1，所以A 1C ⊥平面D 1AP ，故D 正确．故选ACD.10．【多选题】已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，且|AF |＝3|BF |，M 为AB 中点，则下列结论正确的是()A ．∠CFD ＝90°B ．△CMD 为等腰直角三角形C ．直线AB 的斜率为±3D ．△AOB 的面积为4答案AC解析如图，过点M 向准线l 作垂线，垂足为N ，F (1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为|AF |＝|AC |，所以∠AFC ＝∠ACF ，又因为∠OFC ＝∠ACF ，所以∠OFC ＝∠AFC ，所以FC 平分∠OFA ，同理可知FD 平分∠OFB ，所以∠CFD ＝90°，故A 正确；假设△CMD 为等腰直角三角形，则∠CFD ＝∠CMD ＝90°，则C ，D ，F ，M 四点共圆且圆的半径为12|CD |＝|MN |，又因为|AF |＝3|BF |，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝2|MN |＝4|BF |，所以|MN |＝2|BF |，所以|CD |＝2|MN |＝4|BF |，所以|CD |＝|AB |，显然不成立，故B 错误；设直线AB的方程为x ＝my ＋12＝4x ，＋1，所以y 2－4my －4＝01＋y 2＝4m ，1y 2＝－4，又因为|AF |＝3|BF |，所以y 1＝－3y 22y 2＝4m ，3y 22＝－4，所以m 2＝13，所以1m ＝±3，所以直线AB 的斜率为±3，故C 正确；取m ＝331＋y 2＝433，1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝833，所以S △AOB ＝12·|OF |·|y 1－y 2|＝12×1×833＝433D 错误．故选AC.11．【多选题】a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，则下列结论正确的是()A ．直线AB 与a 所成角的最小值为π4B ．直线AB 与a 所成角的最大值为π3C ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π6D ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π3答案AD解析由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC ＝1，AB ＝2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，BC 长为半径的圆，设CB 旋转到直线a 上时为CE ，旋转到直线b 上时为CD ，以C 为坐标原点，以CD 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则D (1，0，0)，A (0，0，1)，设B 点在运动过程中的坐标为(cos θ，sin θ，0)，其中θ为射线CD 绕端点C 旋转到CB 形成的角，θ∈[0，2π)，∴AB 在运动过程中对应的向量AB →＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB →|＝2，设AB 与a 所成的角为α，α∈0，π2，则cos α＝22|sin θ|∈0，22，∴α∈π4，π2，故A 正确，B错误；设AB 与b 所成的角为β，β∈0，π2，则cos β＝22|cos θ|，当AB 与a 所成的角为π3，即α＝π3时，|sin θ|＝2cos α＝2cos π3＝22，∵cos 2θ＋sin 2θ＝1，∴cos β＝22|cos θ|＝12，∵β∈0，π2，∴β＝π3，此时AB 与b所成的角为π3，故D 正确，C 错误．故选AD.12．【多选题】古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A (－2，0)，B (4，0)，点P 满足|PA ||PB |＝12.设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是()A ．轨迹C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得|PD ||PE |＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得|MO |＝2|MA |答案BC解析设P (x ，y )，则（x ＋2）2＋y 2（x －4）2＋y 2＝12，化简得(x ＋4)2＋y 2＝16，所以A 错误；假设在x轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得|PD ||PE |＝12，设D (m ，0)，E (n ，0)，则（x －n ）2＋y 2＝2（x －m ）2＋y 2，化简得3x 2＋3y 2－(8m －2n )x ＋4m 2－n 2＝0，由轨迹C 的方程为x 2＋y 2＋8x ＝0，可得8m －2n ＝－24，4m 2－n 2＝0，解得m ＝－6，n ＝－12或m ＝－2，n ＝4(舍去)，即在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使|PD ||PE |＝12，所以B 正确；当A ，B ，P 三点不共线时，由|OA ||OB |＝12＝|PA ||PB |，可得射线PO 是∠APB 的平分线，所以C 正确；假设在C 上存在点M ，使得|MO |＝2|MA |，可设M (x ，y )，则有x 2＋y 2＝2（x ＋2）2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋163x ＋163＝0，与x 2＋y 2＋8x ＝0联立，得x ＝2，不合题意，故不存在点M ，所以D 错误．故选BC.13．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x －my －1＝0平行，则实数m 的值为________，动直线l 被圆C ：x 2＋y 2＋2x －24＝0截得弦长的最小值为________．答案－1223解析由题得m ×(－m )－(－1)×1＝0，所以m ＝±1.当m ＝1时，两直线重合，舍去，故m ＝－1.因为圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －24＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝25，所以圆心为C (－1，0)，半径为5.由于直线l ：mx －y －1＝0过定点P (0，－1)，所以过点P 且与PC 垂直的弦的弦长最短，且最短弦长为2×52－（2）2＝223.14．已知M (－2，0)，N (2，0)，点P (x ，y )为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P 的轨迹方程为________．答案y 2＝－8x 解析由题意，知MN →＝(4，0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )．由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，化简整理，得y 2＝－8x .15．已知直线l ：4x －3y ＋6＝0，抛物线C ：y 2＝4x 上一动点P 到直线l 与到y 轴距离之和的最小值为________，P 到直线l 距离的最小值为________．答案134解析设抛物线C ：y 2＝4x 上的点P 到直线4x －3y ＋6＝0的距离为d 1，到准线的距离为d 2，到y 轴的距离为d 3，由抛物线方程可得焦点坐标为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，则d 3＝d 2－1，|PF |＝d 2，因此d 1＋d 3＝d 1＋d 2－1＝d 1＋|PF |－1，因为d 1＋|PF |的最小值是焦点F 到直线4x －3y ＋6＝0的距离，即|4＋6|42＋（－3）2＝2，所以d 1＋d 3＝d 1＋|PF |－1的最小值为2－1＝1；设平行于直线l 且与抛物线C ：y 2＝4x 相切的直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由x －3y ＋m ＝0，2＝4x ，得y 2－3y ＋m ＝0，因为直线4x －3y ＋m ＝0与抛物线C ：y 2＝4x 相切，所以Δ＝(－3)2－4m ＝0，解得m ＝94，因此该切线方程为4x －3y ＋94＝0，所以两平行线间的距离为6－9442＋（－3）2＝34，即P 到直线l 距离的最小值为34.16．已知直线l ：y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为(1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点在圆x 2＋y 2＝5上，求此椭圆的方程．解析(1)x ＋1，＋y 2b 2＝1，得(b 2＋a 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，∴Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)(a 2－a 2b 2)>0⇒a 2＋b 2>1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2a 2b 2＋a 2.∵线段AB ，∴2a 2b 2＋a 2＝43，得a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝2c 2，∴e ＝22.(2)设椭圆的右焦点为F (c ，0)，则点F 关于直线l ：y ＝－x ＋1的对称点为P (1，1－c )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝5上，∴1＋(1－c )2＝5，即c 2－2c －3＝0.∵c >0，∴c ＝3，又a 2＝2c 2且a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝32，b ＝3，∴椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.17.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE －BCF 和一个正四棱锥P －ABCD 组合而成的，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；(2)求正四棱锥P －ABCD 的高h ，使得二面角C －AF －P 的余弦值是223解析(1)证明：在直三棱柱ADE －BCF 中，AB ⊥平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以AB ⊥AD .又AD ⊥AF ，AB ∩AF ＝A ，AB ⊂平面ABFE ，AF ⊂平面ABFE ，所以AD ⊥平面ABFE .因为AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABFE .(2)由(1)知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB ，AE ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (0，0，0)，F (2，2，0)，C (2，0，2)，P (1，－h ，1)，AF →＝(2，2，0)，AC →＝(2，0，2)，AP →＝(1，－h ，1)．设平面AFC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，·AF →＝2x 1＋2y 1＝0，·AC →＝2x 1＋2z 1＝0，取x 1＝1，则y 1＝z 1＝－1，所以m ＝(1，－1，－1)．设平面AFP 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，·AF →＝2x 2＋2y 2＝0，·AP →＝x 2－hy 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝－1－h ，所以n ＝(1，－1，－1－h )．因为二面角C －AF －P 的余弦值为223，所以|cos 〈m ·n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝|1＋1＋1＋h |3×2＋（h ＋1）2＝223，解得h ＝1或h ＝－35(舍)，所以正四棱锥P －ABCD 的高h ＝1.18.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.。

高一数学必修一必修四综合测试二一、选择题（每小题4分）1．已知集合{}1,0,1-=A ，{}11<≤-=x x B 则AB 等于（ ）A ．{}0B ．{}1-C ．{}0,1-D ．{}1,0,1-2. 已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为（ ）A ．322B ．3152C ．－322D ．－31523．若,54cos ,53sin -==αα则在角α终边上的点是（ ） A ．)3,4(- B ．)4,3(- C ．)3,4(- D ．)4,3(- 4．为得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数)62sin(π+=x y 的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度5．若平面向量b 与a ＝(1，－2)的夹角为180°，且|b |＝35，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)6．已知)(x f 是偶函数，且0>x 时，ax x x f +=2)(，若2)1(=-f ，则)2(f 的值是（ ）A ．1-B ． 1C ． 3D ． 67．设平面上有4个互异的点,,,A B C D 已知(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-=,则ABC ∆的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．若函数)1(log )(++=x a x f a x在[]1,0上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值是（ ）A ．4B ．41C ．2D ．219．如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线,AB AC于不同的两点,M N ，若,,AB mAM AC nAN ==则m n +的值为（ ）． A ．1 B ．2C ．2-D ．9410．已知函数xxm x f sin 3sin log )(2+-=在R 上的值域为[]1,1-，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题4分） 11．对于函数()m f x x =，若21)41(=f ，则m =________. 12.已知向量2411a b ()()，，，==．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是．13．已知31)4cos(-=-απ，则)43cos(απ+的值为____ ____. 14．在下列结论中：①函数)sin(x k y -=π()k Z ∈为奇函数； ②函数44sin cos y x x =-的最小正周期是2π； ③函数cos(2)3y x π=+的图象的一条对称轴为23x π=-；④函数1sin(+)23y x π=在[22]ππ-，上单调减区间是52[2][2]33ππππ--，，. 其中正确结论的序号为 （把所有正确结论的序号都．填上）。

高中数学习题必修4及答案篇一：人教版高一数学必修四测试题(含详细答案)高一数学考试（必修4）（特别适合按14523顺序的省份）必修4第1章三角函数（1）一、选择题：1.如果a={第一象限角}，B={锐角}，C={角度小于90°}，那么a，B和C之间的关系是（）a．b=a∩cb．b∪c=cc．acd．a=b=c2sin21200等于（）?133c?d22223.已知sin??2cos?3sin??5cos5,那么tan?的值为b．2c．（）16164.在下列函数中，最小正周期为π的偶数函数为（）A.-223D.-23x1?tan2xa.y=sin2xb.y=cosc.sin2x+cos2xd.y=21?tan2x5.转角600的端边是否有点？？4，a那么a的值是（）04b?43c?43d6.得到函数y=cos(a．向左平移x?x?)的图象，只需将y=sin的图象（）242??个单位b.同右平移个单位22c、将装置向左移动D.将装置向右移动447．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向左平移?1个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=sinx的图象22Y=f（x）是（）a．y=1?1?sin(2x?)?1b.y=sin(2x?)?122221.1.c、 y=sin（2x？）？1d。

罪（2x？）？一万二千四百二十四8.函数y=sin(2x+5?)的图像的一条对轴方程是（）25.a、 x=-b.x=-c.x=d.x=42481，则下列结论中一定成立的是229.如果罪？？余弦？？（）罪恶？？2b.罪22罪？？余弦？？1d.罪？？余弦？？0c。

（）10.函数y?2sin(2x??3）形象a．关于原点对称b．关于点（－11.功能y？罪（x？a．[，0）对称c．关于y轴对称d．关于直线x=对称66?2x?r是（）??,]上是增函数b．[0,?]上是减函数22c、 [？，0]是减法函数D.[？，？]上限是一个减法函数12.功能y？（）3,2k？？a、 2k b、 2k？？，2k？？（k？z）（k？z）3.66??2??3.c、 2k3,2k（k？Z）d？2k23,2k2(kz)3二、填空：13.函数y?cos(x2)(x?[,?])的最小值是.863和2002年相同端边的最小正角度为_________015.已知sin??cos??1??,且,则cos??sin??.842如果设置一个？？x | kx?k???,k?z?，b??x|?2?x?2?，3?然后是a？b=_______________________________________三、解答题：17.认识辛克斯吗？Coxx？1和0？x？？。

第2章一元二次函数、方程和不等式（原卷版）本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题是真命题的是A ．若ac bc >．则a b >B ．若22a b >，则a b>C ．若a b >，则11a b<D ．若c d >，a c b d ->-，则a b>2．已知242,65,M x x N x x R =+-=-∈，下列关系正确的是A ．M N ≤B ．M N <C ．M N=D ．M N>3．已知正数a，b ，满足2a b +=A ．最小值1BC D ．最大值14．已知关于x 的不等式220ax ax -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是A ．()(),08,-∞+∞B ．(][),08,-∞+∞C ．[)0,8D ．()0,85．已知0a >，0b >，且228a b ab ++=，则2+a b 的最小值为A ．2B ．C ．4D ．66．不等式()4421m m >-，则实数m 的取值范围是A ．(),1-∞B ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭7．已知0x >，0y >且141x y+=，若不等式246x y m m +≥-对任意正数x ，y 恒成立，则实数m 的取值集合为A ．{|28}m m -≤≤B ．{|82}m m -≤≤C ．{|8m m ≤-或2}m ≥D ．{|2m m ≤-或8}m ≥8．若关于x 的不等式22840x x a --->在[1,4]内有解，则实数a 的取值范围是A ．(4,)-+∞B ．(,4)-∞-C ．(12,)-+∞D ．(,12)-∞-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知23x <<，23y <<，则下列说法正确的是A ．2x y +的取值范围为(6,9)B ．2x y -的取值范围为(2,3)C ．x y的取值范围为23(,)32D ．xy 的取值范围为(4,9)10．不等式20ax bx c ++≥的解集是122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，对于系数a ，b ，c ，下列结论正确的是A ．0a b c -+>B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>11．现有以下结论①函数1y x x=+的最小值是2②若,a b ∈R 且0ab >，则2b a a b+≥③y =2④函数423(0)y x x x =-->的最小值为2-其中，不正确的是A ．①B ．②C ．③D ．④12．关于x 的一元二次不等式x 2-6x +a ≤0(a ∈Z)的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值可以是A ．6B ．7C ．8D ．9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若方程()200ax bx c a ++=>有唯一的实数根－2，则不等式20ax bx c ++>的解集为________．14．已知正实数a ，b 满足196a b+=，则()()19a b ++的最小值是________．15．若关于x 的不等式223x x a -≥-+无解，则实数a 的取值范围是________．16．已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式()0f x <的解集是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）试比较()()15x x ++与()23x +的大小；（2）已知a b >，11a b<，求证：0ab >．18．（12分）已知二次函数2()3f x ax bx =++，且1,3-是函数()f x 的零点．（1）求()f x 的解析式；（2）解不等式()3f x ≤．19．（12分）求解下列各题：（1）求()23402x x y x x ++=<的最大值；（2）求()2811x y x x +=>-的最小值．20．（12分）今年10月份，学校从某厂家购进了A 、B 型电脑共250台，A 、B 两种型号电脑的单价分别为7000元、9000元，其中购进A 型、B 型电脑的总金额和为205万元．（1）求学校10月份购进A 、B 型电脑各多少台？（2）为推进学校设备更新进程，学校决定11月份在同一厂家再次购进A 、B 两种型号的电脑，在此次采购中，比起10月份进购的同类型电脑，A 型电脑的单价下降了a %，A 型电脑数量增加了4%5a ，B 型电脑的单价上升了503a 元，B 型电脑数量下降了4%5a ，这次采购A 、B 两种型号电脑的总金额为205万元，求a 的值．21．（12分）已知实数0,0x y >>，且()()222,,R xy x y a x y b a b =++++∈．（1）当0,0a b ==时，求4x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值：（2）当0,3a b ==时，求x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值（3）当1,02a b ==时，求x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值．22．（12分）若()0,a b ∈+∞，则2223a b a b a b +≤++．（1）若存在常数M ，使得不等式2222a b a bM a b a b a b a b+++≤≤+++对任意正数a ，b 恒成立，试求常数M 的值，并证明不等式：22a bM a b a b++≤+；（2）证明不等式：32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++．第2章一元二次函数、方程和不等式（解析版）本卷满分150分，考试时间120分钟。