一道期末调研解析几何题的研究

一道解析几何题的多种解法一道解析几何题的多种解法【摘要】新课程理念倡导学生自主探究,下面的题目是我的一次作业练习,在批阅之后,出现了意想不到的结果,现整理成文以飨读者。

【关键词】几何题；解法题目已知圆c:（x-1)2+(y+2)2=9,是否存在斜率为1的直线l，使以l被曲线c截得的弦ab为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．一、设而不求解设直线l的方程为y=x+b,直线l与曲线c的交点为a(x1,y1),b(x2,y2)。

由题意知oa⊥ob，则x1x2+y1y2=0。

（*）即x1x2+(x1+b)(x2+b)=0，2x1x2+b(x1+x2)+b2=0。

由y=x+b,(x-1)2+(y+2)2=9，消去y，得2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0。

δ=（2b+2)2-8(b2+4b-4)>0，即b2+6b-90。

所以存在斜率为1的直线l，使以l被曲线c截得的弦ab为直径的圆过原点，它们的方程为y=x+1或y=x-4．二、抓关键点——弦ab的中点直接法:设直线l的方程为y=x+b,ab的中点为d,则cd⊥ab,得kcd=-1,直线cd方程为x+y+1=0,由x+y+1=0,y=x+b，得d-b+12,b-12。

在rt△acd中,ac=3,cd=|3+b|2,ad=do=b+122+b-122。

由勾股定理,ac2=cd2+ad2。

即9=b+322+b+122+b-122,解得b=1或-4。

所以存在斜率为1的直线l，直线l的方程为y=x+1或y=x-4．间接法: 设直线l的方程为y=x+b, ab的中点d(a,b)。

由cd⊥ab,得b+2a-1=-1。

(1)在rt△acd中,ac=3,cd=(b+2)2+(a-1)2,ad=do=a2+b2。

由勾股定理,ac2=cd2+ad2,即9=(b+2)2+(a-1)2+a2+b2。

(2)联立(1)(2)解得a=-1b=0或a=32,b=-52。

www 中学数学教学参考（下旬〉2021年第4期@多解探究15妙归納—以_道解析几何题的探索为例邵明冠(河南省兰考县第一高级中学）摘要：直线与圆锥曲线的位置关系问题，新颖多样，能综合考查相关知识，具有较高的选拔性与区分度，备受命题者的青睐，通过深入探究与变式拓展、归纳总结，可达到综合提升的目的。

关键词：橢圆；直线；平行；四边形；最大值；弦长文章编号：1002-2171 (2021)4-0051-03直线与圆锥曲线的位置关系中，涉及最值或取值 范围的问题是高考和竞赛中的一个热点内容，形式新 颖，通过转化，利用平面几何中的三角形或四边形、平 面向量的线性关系或数量积、线段的乘积或比值等关 系式，以及直线的倾斜角或斜率等加以巧妙设置，能 综合考查相关知识，具有较高的选拔性与区分度，备 受命题者的青睐，通过进一步挖掘问题的潜在功能，为进一步的探究、拓展与归纳提供条件。

1问题呈现为 j c =A (:^，％ )，B (:c2，火），联立-m y—,|x2消元并整理可得（m2+4)y ——4+y=1,1=0,根据根与系数关系可得M+力!+4，而 I A B丨=\/l+m2 |y\一y2 \= \/l+w2 V(^1 +^2 )2—4^1 yi=\/\+rrf2\[3n2+4/m2+4(2020届河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学理科第16题）设F,,F2是椭圆C:^+/=l 的两个焦点，过P\，F2分别作直线，且A//2，若 G与橢圆C交于A，B两点，匕与椭圆C交于C，D两 点（点八，0在^轴上方），则四边形A B C D面积的最 大值为________。

该题涉及椭圆内接四边形的面积，点、线等元素 较多，离不开系统的逻辑推理与繁杂的代数运算，能 很好地激发学生和教师的解题兴趣。

2解法探究解法1:(弦长公式法）由题意可得a==2,6=l,当直线斜率不存在时，易得四边形A B C D 面积为2 W，当直线6斜率存在时，设直线A的方程4(l+m2)m2+4°又点〇到直线/,的距离为结合y i+m2A//&及椭圆的对称性，可知四边形A B C D是平行四边形，且点〇是A C与B D的交点，所以 ^C J A B C D=4S a〇4b = 4 X — |A B |= 4 X -r- X X/ Z m十4 V3 =8V3y i +m2=_______8^/3 〈y i T^w2+4~y i+^+—^、V l + m2—-—-—=^=4,当且仅当2 L/Y T^x-3V\/l+所2、3 ,,即m2=2,亦即m=士#时等号成立，所以V l+m2四边形A B C D面积的最大值为4。

一道解析几何题的研究与思考发表时间：2019-07-19T11:45:05.693Z 来源：《中国教师》2019年9月刊作者：李开成[导读] 解题的正确思路得出后，选择合理的解题方法才能使“思路”迅速、简捷. 训练解题方法的多样化，并从中评选出最佳方案，是提高解题速度、能力的有效方式. 平时应加强一题多解，一题多变的训练。

我以一道典型的解析几何题为例，对其进行解法研究和变式思考。

李开成浦江职业技术学校 322200【摘要】解题的正确思路得出后，选择合理的解题方法才能使“思路”迅速、简捷. 训练解题方法的多样化，并从中评选出最佳方案，是提高解题速度、能力的有效方式. 平时应加强一题多解，一题多变的训练。

我以一道典型的解析几何题为例，对其进行解法研究和变式思考。

【关键词】思维品质；一题多解；一题多变中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051（2019）09-188-02数学教学大纲在教学目的中提出，数学教学要“注意培养学生良好的思维品质”。

怎样更好地实现这个目标呢？我在教学中发现，采用一题多解和一题多变的教学方式是比较有效的途径。

所谓一题多解就是对同一问题从不同角度去分析、寻找不同的解题途径。

通过一题多解可以沟通各种知识的内在联系，使已学知识形成系统，同时，学生也学会从不同角度去观察思考问题，遇到问题时，能多向联想、随机应变，提高学生的应变能力和思维能力。

所谓一题多变，就是不断变换所提供的材料或问题呈现的形式，使事物的非本质特征时隐时现，而事物的本质特征却保持不变。

通过变式练习，可以使学生在全面、深刻的理解和掌握知识的同时，思维品质也获得良好的发展。

下面我以一个典型的解析几何题为例，对其进行解法研究和变式思考。

题目：在椭圆上求一点，使它与两焦点的连线互相垂直。

解法1（向量法）设点，由题设知为.∵，即（1）又点P在椭圆上，∴（2）联立（1）、（2），解得点P的坐标为（3，±4），（－3，±4）.解法2（交轨法）设点，∵，∴P点在以F1F2为直径的圆上，即，以下同解法1.解法3（应用斜率）设，∴，∴，即.以下同解法1.解法4（应用焦半径公式）设，∵，则，.∵，∴，∴.以下同解法1.解法5（面积法）设点，则.由椭圆定义知，∴ =180，又，∴，∴.∴，，以下同解法1.解法6（几何法）如图，以坐标原点O为圆心，以|F1F2|为直径画圆与椭圆交于A、B、C、D四点，由直径所对的圆周角是直角可知：当点P位于A、B、C、D四点时，∠F1PF2为直角，以下同解法2.比较上述六中解法，笔者认为第六种解法最直观，简洁，易懂，让学生能够很清楚地看到点P在什么位置时是直角，锐角，或者钝角,在下面的变式题目中也有很好的启示作用。

２０２３年９月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀开展 一题多解 ,探究 一题多变一道解析几何题的破解◉江苏省海安高级中学㊀朱函颍㊀㊀摘要: 一题多解 ,可以开阔解题思路㊁发散学生思维; 一题多变 ,可以拓展数学知识㊁聚合学生思维．合理解题探究与变式拓展可以很好提升解题效益,避免题海战术．结合一道抛物线问题实例,通过 一题多解 与 一题多变 ,在研究中寻找通法,在探究中升华能力,促使学生形成良好的数学品质．关键词:抛物线;准线;直线;斜率;变式㊀㊀根据现代思维的科学研究,问题是展开思维与应用的起点, 疑 是根本, 解疑 是目标,最容易引起定向探究反射与问题的深入思考．而在数学教学与数学学习过程中,更要合理培养与形成探究意识,从问题的内涵㊁问题的解法㊁问题的深入与问题的探究等多方面入手,合理拓展思维的深度与广度,进行必要合理创新应用,从而形成良好的数学品质．１问题呈现问题㊀ 燕博园２０２３届高三年级综合能力测试(C A T)数学(新高考Ⅰ卷)试卷 已知抛物线y２＝a x 的焦点为F,准线l交x轴于点Q,过点F的直线交抛物线于M,N两点,则直线Q M与直线Q N的斜率之和为．该题以抛物线为问题场景,对直线与抛物线的位置关系加以合理创设．借助过焦点的动直线的变化,以 动 态创设场景,利用两直线的斜率之和为常数,以 静 态形式设问,巧妙融合解析几何与平面几何中的相关知识,难度中等．利用圆锥曲线这一主干知识,抓住直线与圆锥曲线位置关系这一热点问题,合理创设,巧妙 动 与 静 变化, 数 与 形 融合,构建一幅完美的画卷．实际破解问题时,抓住问题内涵与实质,从问题根本入手,可以借助解析几何思维㊁平面几何思维与特殊情况思维等来展开,从不同的技巧方法视角来切入,实现问题的巧妙转化与应用．２问题破解２．１通性通法方法１:解析几何思维法．解析:依题知,焦点F(a４,０),准线方程为x＝－a４,Q(－a４,０)．设过焦点F的直线方程为x＝m y＋a４,M(x１,y１),N(x２,y２)．联立x＝m y＋a４,y２＝a x,{消去参数x,整理可得y２－a m y－a２４＝０,则y１＋y２＝a m,y１y２＝－a２４．于是有㊀k Q M＋k Q N＝y１x１＋a４＋y２x２＋a４＝x１y２＋x２y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝(my１＋a４)y２＋(m y２＋a４)y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２my１y２＋a２(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２mˑ(－a２４)＋a２ˑa m(x１＋a４)(x２＋a４)＝０．所以直线Q M与直线Q N的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中,最基本的 通性通法 就是解析几何思维法．通过设置相关的点的坐标㊁直线的方程㊁圆锥曲线的方程等,联立直线与圆锥曲线方程,结合函数与方程思维来进一步分析与转化,进而实现问题的解决．解析几何思维法的缺点之一就是数学运算量大,它也是制约部７７Copyright©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀分学生深入分析与应用的一个重要因素．２．２数形结合法方法２:平面几何思维法．图１解析:不失一般性,如图１所示,过M ,N 两点分别作准线l 的垂线,垂足分别为A ,B ,由于M A ʊF Q ʊN B ,因此可得|M F ||N F |＝|A Q ||B Q |．根据抛物线的定义,可得|M A |＝|M F |,且|N B |＝|N F |,则|M A ||N B |＝|A Q ||B Q |,可得әM A Q ʐәN B Q ,于是øM Q A ＝øN Q B ,所以øM Q F ＝øN Q F ．所以直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补,即直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:回归曲线的本质,结合平面几何图形的基本性质与特征,数形结合,逻辑推理,这是解决解析几何综合应用问题比较常用的一种技巧与方法,也是平面几何思维法处理的关键．２．３巧技妙法方法３:特殊情况法．解析:当过点F 的直线垂直于x 轴时,根据抛物线y ２＝a x 关于x 轴对称,可知点M ,N 关于x 轴对称,则知直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补．所以直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:结合矛盾的普遍性寓于特殊性之中,通过填空题这一特殊形式的设置,借助 动 直线在运动变化过程中的某一特殊情况,以特殊代替一般,又从特殊回归到一般,实现解决问题的 巧技妙法 ．特殊思维法在解决解析几何 运动 问题中经常用到,借助点㊁直线㊁角或相关元素的运动变化情况,以特殊代替一般,实现问题的普遍性与特殊性的辩证转化．３变式拓展３．１类比拓展圆锥曲线中的不同曲线之间具有一定的相似性与可类比性,在以上抛物线背景下,改变圆锥曲线的类型以及对应曲线的场景,借助其焦点与相应准线的位置关系,也有类似的变式问题．变式１㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)变式２㊀已知双曲线C :x ２a ２－y ２b ２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)以上两个变式问题的解析过程,可以参照原问题的方法１㊁方法３来展开,这里不多加赘述．当然,也可以将问题转化为探求两直线倾斜角的关系问题(两直线的倾斜角互补)进行探究．３．２逆向拓展在解题研究中,逆向思维也是变式拓展的一种基本思维方式．借助问题题设条件与结论之间的关系,通过数学思维的逆向操作与应用,合理加以探究与拓展,经常会有不错的收获．变式３㊀已知抛物线y ２＝a x 的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式４㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式５㊀已知双曲线C :x ２a ２－y２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式３~５的答案为:(－a ４,０),(a ２c ,０),(a２c,０)．以上三个变式问题的解析过程也可以参照原问题的方法１．４教学启示在解决一些典型的数学综合应用问题时,要合理引导学生深入挖掘,适当探究拓展,充分掌握问题的本质与内涵,剖析对应的数学基础知识与数学基本能力,从而实现 一题多解 一题多研 一题多变 ,不断提升与拓展破解数学问题的基本技能与策略,提高数学思维品质的变通性,真正达成 一题多练 一题多得 ．同时,有效调动学生数学解题的积极主动性与参与性,合理辨析概念㊁公式等的异同,深刻反思并有效拓展,努力培养发现问题的能力与深入质疑问题的探究精神．Z８７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

大学解析几何考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是解析几何的研究对象？A. 平面曲线B. 空间曲线C. 空间曲面D. 质点运动答案：D2. 在平面直角坐标系中，点P(x, y)关于原点的对称点的坐标是：A. (-x, -y)B. (x, -y)C. (-x, y)D. (y, x)答案：A3. 如果直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，那么它的斜率k等于：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B4. 椭圆的标准方程是：A. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1B. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1C. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 0D. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 0答案：A5. 一个圆的圆心在原点，半径为1，那么它的方程是：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 0C. x^2 + y^2 = 2D. x^2 + y^2 = -1答案：A6. 如果两条直线的方程分别为y = mx + b1和y = mx + b2，那么这两条直线：A. 相交B. 平行C. 重合D. 垂直答案：B7. 抛物线y^2 = 4ax的准线方程是：A. x = -aB. x = aC. y = -aD. y = a答案：A8. 双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程是：A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±(a/b)xD. y = ±(b/a)x答案：D9. 点A(3, 4)关于直线y = x的对称点B的坐标是：A. (4, 3)B. (2, 3)C. (3, 2)D. (4, 5)答案：A10. 直线x = 2y + 3与圆x^2 + y^2 = 25相交于两点，这两点的距离是：A. 2√5B. 4√5C. 5√2D. 10答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 在平面直角坐标系中，点P(2, -1)到原点的距离是_________。

思路探寻解析几何是高考中的重要考点.解析几何问题的命题方式有很多，如判断直线与圆锥曲线之间的位置关系、求曲线的离心率、求参数的取值范围、求夹角的取值范围等.其中求夹角的取值范围或证明夹角相等问题主要考查圆锥曲线的定义、简单的几何性质、直线的斜率、倾斜角以及直线与圆锥曲线之间的位置关系，属于综合性较强的问题.本文以2021年八省联考试题中的一道解析几何问题为例，着重探讨解答解析几何中夹角问题的思路.例题：如图，双曲线C x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上.当BF ⊥AF时，|AF |=|BF |.（1）求C 的离心率；（2）若B 在第一象限，证明：∠BFA =2∠BAF .分析：第一个问题较为简单，我们只需根据双曲线的方程分别求出A 、F 、B 的坐标以及|AF |、|BF |,建立a 、b 、c 的关系式，结合双曲线中关于a 、b 、c 的关系式b 2=c 2-a 2以及离心率公式e =ac，便可求得曲线C 的离心率.本文主要探讨第二个问题.由图可知，△ABF 为焦点三角形，而∠BFA 、∠BAF 成二倍关系，因此解答本题的思路有很多，如利用直线的斜率公式、平面向量的数量积公式、正余弦定理、三角形的角平分线的性质与定理、圆锥曲线的参数方程等求解.思路一：利用直线的斜率公式对于圆锥曲线中的夹角问题，我们首先会想到运用直线的斜率公式进行求解.在解题时，需先分别求出构成夹角的两条直线上的点坐标，然后利用直线的斜率公式分别求出各条直线的斜率，再利用公式k =tan α求出α，即倾斜角的值.证明：由题意知，A (-a ,0)，F (c ,0)，设曲线C 上动点B (x 1,y 1)(x 1>a )，由（1）知e =ca=2,即c =2a ,则y 21=3(x 21-a 2),|FB |=2x 1-a ，当BF ⊥AF 时，∠BFA =2∠BAF =90°，当BF ,AF 不垂直时，tan ∠BAF =y 1x 1+atan ∠BFA =则tan 2∠BAF =1tan ∠BFA ，又∠BAF ,∠BFA 为△ABF 的内角，所以∠BFA =2∠BAF .在运用直线的斜率公式解题时，要注意讨论斜率存在与不存在，即倾斜角为90o 和不为90o 的情况.运用分类讨论思想能有效地帮助我们理清解题的思路，提高解题的正确率.思路二：利用平面向量的数量积公式平面向量的数量积公式为a ⋅b =||a ||b cos θ，将该公式进行适当的变形即可得到两个向量a 、b 的夹角cos θ=a ⋅b ||a ||b ，若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ=<a ,b >，则cos θ=在求解圆锥曲线的夹角问题时，我们可以首先给夹角两边的线段赋予方向，求出其向量或向量坐标，然后利用平面向量的数量积公式来求其夹角.证明：由题意知，A (-a ,0)，F (c ,0)，设曲线C 上动点B (x 1,y 1)(x 1>a )，由（1）知e =ca=2，即c =2a ，则y 21=3(x 21-a 2)，|FB |=2x 1-a ，AB 2=(x 1+a )2+y 21=4x 21+22，则cos ∠BAF = AB ∙AO || AB |AO=cos ∠BFA = FO ∙FB || FO |FB=-(x 1-2a )2x 1-a ，而2cos 2∠BAF -1=cos ∠BFA ，又∠BAF ∈(0,π2),∠BFA ∈(0,π)，所以∠BFA =2∠BAF .这里由夹角联想到平面向量的数量积公式，在求出各个向量的坐标后，运用平面向量的数量积公式求得∠BAF 、∠BFA 的表达式，借助余弦的二倍角公式由一道题谈解答解析几何中夹角问题的思路朱静肖润军51思路探寻证明结论.思路三：利用正余弦定理正余弦定理是解答三角形问题的重要工具.在求解圆锥曲线的夹角问题时，我们要首先要构造三角形，求出三角形的两条边和一个角，然后运用正弦定理a sin A =b sin B =c sin C ，求出所求角的大小；或者求出三角形的三条边，然后运用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 、b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 、c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 来求其夹角.证明：由题意知，A (-a ,0)，F (c ,0)，设曲线C 上动点B (x 1,y 1)(x 1>a )，由（1）知e =c a =2，即c =2a ，则y 21=3(x 21-a 2)，|FB |=2x 1-a ，AB 2=(x 1+a )2+y 21=4x 21+2ax 1-2a 2，在△ABF 中，由正弦定理知sin ∠BFA sin ∠BAF =AB FB 2x +a 2x 1-a又cos ∠BAF =a +x 1AB 所以sin ∠BFA =2sin ∠BAF cos ∠BAF 又因为∠BAF ,∠BFA 为△ABF 的内角，所以∠BFA =2∠BAF .解答本题需首先求出AB 、FB 以及cos ∠BAF 的表达式，然后借助正弦定理以及二倍角公式来证明结论.思路四：利用三角形的角平分线的性质与定理三角形的角平分线的性质是：角平分线上的点到角两边的距离相等.常用的三角形的角平分线定理是：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.当题目中出现某个角的半角或者二倍角时，我们可以作出三角形的角平分线，寻找角平分线上的点到角两边的距离、平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应的比例，然后利用三角形的角平行线的性质、定理来解题.证明：作∠BFA 的角平分线FC ，交AB 于点C ，由三角形的角平分线定理知FA FB =AC BC，所以BC =AB ∙FB FA +FB，由题意知A (-a ,0)，F (c ,0)，设曲线C 上动点B (x 1,y 1)(x 1>a )，由（1）知e =ca=2，即c =2a ，则y 21=3(x 21-a 2)，|FB |=2x 1-a ，AB 2=(x 1+a )2+y 21=4x 21+2ax 1-2a 2，所以FB 2-BC ∙AB =FB ∙(FB -AB 2FA +FB)=FB FA +FB [FB ∙(FA +FB )-AB 2]=FB FA +FB[(2x 1-a )(a +c +2x 1-a )-4x 21+2ax 1-2a 2]=0，故FB 2=BC ∙AB ，因为∠FBC =∠ABF ，所以ΔFBC ∽ΔABF ，所以∠BAF =∠BFC =12∠BFA ，即∠BFA =2∠BAF .运用此方法解题要求同学们熟练掌握三角形的角平分线定理及相似三角形的知识.思路五：利用圆锥曲线的参数方程每个曲线都有与其对应的参数方程，如过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为ìíîx =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α,(t 为参数)；椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程为ìíîx =a cos φ,y =b sin φ,(φ为参数)；双曲线的参数方程为ìíîïïx =a cos α,y =b tan α,(φ为参数)；等等.在求解圆锥曲线的夹角问题时，我们可以用曲线的参数方程将曲线上的点表示出来，再将其代入直线的斜率公式中进行求解、化简，便能快速求出夹角.证明：由题意知A (-a ,0)，F (c ,0)，设曲线C 上动点B (x 1,y 1)(x 1>a )，由（1）知e =ca=2，即c =2a ，b =3a ，设曲线C 上动点B (a sec θ,3a tan θ)(θ∈(-π2,π2)且θ≠±π3,0)，则tan ∠BFA =，tan ∠BAF =，tan 2∠BAF =23sin θ(1+cos θ)(1+cos θ)2-3sin 2θ==tan ∠BFA ，又因为∠BAF ,∠BFA 为△ABF 的内角，所以∠BFA =2∠BAF.运用圆锥曲线的参数方程解题，要求同学们熟练掌握圆锥曲线的参数方程及三角恒等变换的技巧.在解题时，同学们要注意讨论参数的取值范围.因为参数的取值直接影响着曲线的方程以及夹角的取值.圆锥曲线中的夹角问题较为复杂，但是我们如果从不同的角度进行思考、联想，就可以找到多种不同的解题思路.在解答圆锥曲线中的夹角问题时，同学们要注意运用发散思维展开联想，将向量、平面几何、解析几何、解三角形等知识融会贯通，灵活运用数学思想方法，这样才能有效地优化解题的方案.(作者单位:湖南省怀化市铁路第一中学)52。