2019年9月云南省陆良县2020届高三毕业班第一次教学质量摸底考试数学(理)试题及答案

2020届高三毕业班摸底考试理科数学试题卷（考试时间：120分钟；全卷满分：150分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合2{|1},{|20},A x x B x x x =<=-<则A B =U （ ）A. {|1}x x <B. {|2}x x <C. {|01}x x <<D. {|02}x x <<{|12}x x << 2. 复数21ii-++在复平面内表示的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 已知{}n a 为等差数列，若34812a a a ++=，则9S =（ ） A. 24B. 27C. 36D. 544．已知双曲线2213y x m-=的离心率为233，则m 的值为 （ ）A. 1错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

B.65错误!未找到引用源。

C.3 D. 9 错误!未找到引用源。

5.向如图的正方形内随机投掷一质点，则该质点落在阴影部分的概率为（ ） A ．12 B ．13 C ．23D ．4π6.已知向量a 与向量b 的夹角为60︒，1||=a ，23-=b a ，则=b （ ）A ．1B ．2C ． 22D ．127. 62()x x-的展开式中的常数项是( )A. -120B.-60C.60D. 120第5题图8. 将函数()cos f x x =的图像横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移6π个长度单位，得到的函数图像的一条对称轴为（ ） A ．3x π= B ．512x π= C ．712x π= D ．23x π=9. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 为37，则判断框中应填（ ）A. 5?i ≤B. 5?i ≥C. 7?i ≤D. 7?i ≥10. 已知函数=)(x f 21,02,0x e x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值范围是（ ）A. (1,-∞-)),2(+∞YB. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1(Y )11. 若:,sin 2p x R x a ∃∈=-，:q 函数321()3f x x x ax =-+在R 上是增函数，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，1290F PF ∠=︒。

第4题图正视图侧视图俯视图第7题2019-2020年高三摸底考试数学(理)一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答卷相应的位置上） 1．若，则一定不属于的区间是 ( ) A ．B ．C ．D ．2．等差数列{a n } 中，a 3 =2，则该数列的前5项的和为( )A ．10B ．16C ． 20D ．323．设表示平面，表示直线，给定下列四个命题：①；②;③;④. 其中正确命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )A ．1B ．C ．D ．5．已知函数，则函数的图像可能是( )6．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任班长， 其中至少有1名女生当选的概率是A ．B ．C ．D ． 7．右图给出的是计算的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是( )A ．i ＞10B ．i <10C ．i ＞20D ．i <208．定义两种运算：，，则函数为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

请将正确答案填在答卷相应的位置上） 9．在极坐标系中，O 是极点，，则△AOB 的形状为 ． 10．在中，的面积为，则的值为 ．ABCD EA 1B 1C 1D 111．已知、，则不等式组所表示的平面区域的面积是 ． 12．的展开式中项的系数是 ．（用数字作答）13．F 1、F 2是椭圆的左、右两焦点，P 为椭圆的一个顶点，若△PF 1F 2是等边 三角形，则a 2= ． 14．若，且，则的值是 ．三．解答题（本大题共6小题，共80分.） 15．（本题满分12分）设，解不等式. 16．（本题满分12分）长方体中， ，，是侧棱的中点. （1）求证：直线平面； （2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的平面角的余弦值. 17．（本题满分14分）知函数（周期为. 求：当时的取值范围.18．（本题满分14分）已知数列的前n 项和. （Ⅰ）求数列的通项公式; （Ⅱ）设,求数列的前n 项和.19．（本题满分14分） 已知实数有极大值32. （1）求函数的单调区间； （2）求实数的值.20．（本题满分14分）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径为圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称. （1）求双曲线C 的方程；（2）若Q 是双曲线C 上的任一点，F 1、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点，从F 1引∠F 1QF 的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程.（3）设直线y=m x +1与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，另一直线L 经过M （－2，0）及AB 的中点，求直线L 在y 轴上的截距b 的取值范围.理科数学参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，共50分。

2020年云南省曲靖市陆良县高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2+x-2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∪B等于（）A. {x|x＞-2}B. {x|0＜x＜1}C. {x|x＜1}D. {x|-2＜x＜1}2.已知i为虚数单位，则复数的虚部是（）A. -1B. 1C. iD. -i3.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A. 8πcm2B. 12πcm2C. 16πcm2D. 20πcm24.已知，则sin2x的值为（）A. B. C. D.5.二项式（x+1）n（n∈N*）的展开式中x3项的系数为10，则n=（）A. 8B. 6C. 5D. 106.假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）A. B. C. D.7.函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（）A. 关于直线x=对称B. 关于直线x=对称C. 关于点（，0）对称D. 关于点（，0）对称8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A.B.C.D.9.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A. 18B. 24C. 36D. 4810.某程序框图如图所示，若运行该程序后输出（）A.B.C.D.11.已知F2、F1是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A. 3B.C. 2D.12.已知函数f（x）=ln（|x|+1）+，则使得f（x）＞f（2x-1）的x的取值范围是（）A. B.C. （1，+∞）D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知不共线向量、，=t-（t∈R），=2+3，若A、B、C三点共线，则实数t等于______．14.若x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为______．15.△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，则c的值为______．16.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为____.三、解答题（本大题共8小题，共94.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+n，n∈N*．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*，求数列{a n•b n}的前n项和T n．18.甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发50个红包，每个红包金额为x元，x∈[1，5]．已知在每轮游戏中所产生的50个红包金额的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求a的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数；（Ⅱ）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中金额在[1，2）的红包个数为X，求X的分布列和期望．19.如图四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在线段PD上．（1）求证：AB⊥PC．（2）若二面角M-AC-D的大小为45°，求BM与平面PAC所成的角的正弦值．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx-2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．21.已知函数f（x）=ln x，g（x）=x-1．（1）求函数y=f（x）图象在x=1处的切线方程；（2）证明：f（x）≤g（x）；（3）若不等式f（x）≤ag（x）对于任意的x∈（1，+∞）均成立，求实数a的取值范围．22.如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．23.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．24.设函数f（x）=|2x+2|-|x-2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）x∈R，f（x）≥t2-t恒成立，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵集合A={x|x2+x-2＜0}={x|-2＜x＜1}，B={x|x＞0}，∴集合A∪B={x|x＞-2}．故选：A．利用并集的性质求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．2.答案：A解析：解：===-i．∴复数的虚部是-1．故选：A．利用复数的代数形式的乘除运算，求得=-i．由此能求出复数的虚部．本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：B解析：【分析】由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积．本题是基础题，考查正方体的外接球的不面积的求法，解题的根据是正方体的对角线就是外接球的直径，考查计算能力，空间想象能力．【解答】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，R=，S=4πR2=12π故选：B．4.答案：D解析：解：法1：由已知得，两边平方得，求得；法2：令，则，所以．故选：D．解法1：利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，然后将化简后的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2x的值；解法2：令，求出x，原式变形为sinα的值为，把x的值代入所求式子中，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sinα的值代入即可求出值．此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5.答案：C解析：解：由二项式（x+1）n（n∈N*）的展开式的通项T r+1=x n-r得：令n-r=3，得r=n-3，所以==10，所以n（n-1）（n-2）=60，解得n=5，故选：C．由二项式定理得：==10，所以n（n-1）（n-2）=60，解得n=5，得解．本题考查了二项式定理，属中档题．6.答案：C解析：解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x-y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x-y=2和y-x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25，阴影部分的面积25-2×（5-2）2=16，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为．故选：C．根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．7.答案：D解析：解：由于函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x+），当x=时，f（x）=0，故该函数图象关于点（，0）对称，故选：D．由条件根据函数y=A sin（ωx+φ）的周期为，求得ω的值，再根据正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=A sin（ωx+φ）的周期为，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.答案：B解析：解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为23-×22×1=．故选：B．由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案．本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等”．9.答案：C解析：解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=-∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P在准线上∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP•AB）=×6×12=36故选：C．首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．10.答案：D解析：【分析】本题主要考查了循环结构的当型循环，同时考查了程序框图的应用，属于基础题.模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n＞5时退出循环，输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1；不满足条件n＞5，S=1+，n=2；不满足条件n＞5，S=1++，n=3；不满足条件n＞5，S=1+++，n=4；不满足条件n＞5，S=1++++，n=5；不满足条件n＞5，S=1+++++，n=6；满足条件n＞5，退出循环，输出S的值．由于S=1+++++=．故选：D．11.答案：C解析：解：由题意，F1（0，-c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2-a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：C．首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12.答案：A解析：解：∵函数f（x）=ln（|x|+1）+为定义域R上的偶函数，且在x≥0时，函数单调递增，∴f（x）＞f（2x-1）等价为f（|x|）＞f（|2x-1|），即|x|＞|2x-1|，两边平方得x2＞（2x-1）2，即3x2-4x+1＜0，解得＜x＜1；∴使得f（x）＞f（2x-1）的x的取值范围是（，1）．故选：A．判断函数f（x）是定义域R上的偶函数，且在x≥0时单调递增，把不等式f（x）＞f（2x-1）转化为|x|＞|2x-1|，求出解集即可．本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．13.答案：解析：【分析】本题考查了向量共线定理、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用向量共线定理、向量基本定理即可得出．【解答】解：∵=t-（t∈R），=2+3，A、B、C三点共线，∴存在实数k使得，t-=k（2+3），化为（t-2k）+（-1-3k）=，∵向量、不共线，∴，解得t=-．故答案为：-．14.答案：9解析：解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x-y有最大值9．首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x-z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x-z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x-y中即可．本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．15.答案：解析：解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，∴由正弦定理可得：，解得：a=3，∴利用余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A，可得：9=4+c2-2c，即c2-2c-5=0，∴解得：c=1+，或1-（舍去）．故答案为：．由已知及正弦定理可解得a，利用余弦定理可得：c2-2c-5=0，解方程即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．16.答案：A解析：【分析】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为A．17.答案：解：（1）当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，．经检验，n=1时，上式成立．∴a n=4n-1，n∈N*．（2）∵a n=4log2b n+3=4n-1，∴b n=2n-1．∴，n∈N*．∴，①①×2得：，②∴．故．解析：（1）根据a n=解出；（2）求出b n，使用错位相减法求和．本题考查了数列的通项公式的解法，数列求和，属于中档题．18.答案：解：（I）由频率分布直方图可得：（0.18+0.2+0.32+a）×1=1，解得a=0.3．众数为2.5．（II）由频率分布直方图可得，红包金额在[1，2）的概率为，则X～B，∴X的取值为0，1，2，3．利用P（X=k）=，（k=0，1，2，3），可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．∴X的分布列为：X0123P∴E（X）=3×=．解析：（I）由频率分布直方图的性质可得：（0.18+0.2+0.32+a）×1=1，解得a．众数为2.5．（II）由频率分布直方图可得，红包金额在[1，2）的概率为，则X～B，X的取值为0，1，2，3．利用P（X=k）=，（k=0，1，2，3），可得分布列，进而定点数学期望．本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的计算公及其数学期望与方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：（1）证明：设E为BC的中点，连接AE，则AD=EC，AD∥EC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE⊥BC∵AE=BE=EC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PA∵AC∩PA=A，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC．（2）设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，则MN∥PA，由PA⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC，∵NG⊥AC，MN∩NG=N，∴AC⊥平面MNG，∴AC⊥MG，∴∠MGN是二面角M-AC-D∠MGN=45°设MN=x，则NG=AG=x，∴AN=ND=x，可得M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，由（1）AB⊥平面PAC，∴∠BHA是BM与平面PAC所成的角在△ABM中，AB=4，AM=PD=，BM=3，∴cos∠ABM=，∵∠BHA与∠ABM互余，∴BM与平面PAC所成的角的正弦值为．解析：（1）设E为BC的中点，连接AE，证明AB⊥PC，只需证明AB⊥平面PAC，只需证明AB⊥AC，AB⊥PA．（2）设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，证明∠MGN 是二面角M-AC-D的平面角，即∠MGN=45°，M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，证明∠BHA是BM与平面PAC所成的角，即可求BM与平面PAC所成的角的正弦值．本题考查线面垂直，线线垂直，考查面面角，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．20.答案：解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2，解得a=3，c=，所以b2=a2-c2=3，所以椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）由得（1+3k2）x2-12kx+3=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k2-12（1+3k2）＞0解得．设A（x1，y1），B（x2，y2）则，，，所以，A，B中点坐标E（，），因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即k PE•k AB=-1，所以•k=-1解得k=±1，经检验，符合题意，所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y+2=0．解析：（Ⅰ）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx-2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和焦距的概念，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，由两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．21.答案：解：（1）∵，∴f'（1）=1．又由f（1）=0，得所求切线l：y-f（1）=f'（1）（x-1），即所求切线为y=x-1．（2）设h（x）=f（x）-g（x）=ln x-x+1，则，令h'（x）=0，得x=1，得下表：x（0，1） 1（1，+∞）h（x）单调增函数极大值单调减函数∴h（x）≤h（x）max=h（1）=0，即f（x）≤g（x）．（3）∀x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．（ⅰ）当a≥1时，f（x）≤g（x）≤ag（x）；（ⅱ）当a≤0时，f（x）＞0，g（x）≤0不满足不等式；（ⅲ）当0＜a＜1时，设φ（x）=f（x）-ag（x）=ln x=a（x-1），，令φ'（x）=0，得．得下表：x（0，）（，+∞）φ（x）增函数极大值减函数φ'（x）+ 0-∴．即不满足不等式．综上，a≥1．解析：（1）求出导函数，求出切线的斜率，然后求解函数y=f（x）图象在x=1处的切线方程；（2）求出函数的导数，求解f（x）的最大值，函数g（x）的最小值即可；（3）∀x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．通过（ⅰ）当a≥1时，（ⅱ）当a≤0时，判断是否满足题意；（ⅲ）当0＜a＜1时，设φ（x）=f（x）-ag（x）=ln x=a（x-1），，利用函数的导数的符号判断函数的单调性求解函数的极值，推出结果．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．22.答案：（1）证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（2）解：∵DF2=DB•DA，DB=2，DF=4．∴DA=8，从而AB=6，则OC=3．又由（1）可知，DE=DF=4，∴BE=2，OE=1．从而在Rt△COE中，．解析：（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理证明DE2=DB•DA，即可求出DE．（2）求出BE=2，OE=1，利用勾股定理求CE的长．本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于中档题．23.答案：解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x-y+=0的距离d=＞1．∴直线l与曲线C相离；（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y=sinθ+cosθ=，∴x+y的取值范围是．解析：（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y的取值范围．本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了由点到直线的距离判断直线和圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用，是基础题．24.答案：解：（1）函数f（x）=|2x+2|-|x-2|=，当x＜-1时，不等式f（x）＞2，即-x-4＞2，求得x＜-6，∴x＜-6;当-1≤x＜2时，不等式f（x）＞2，即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2;当x≥2时，不等式f（x）＞2，即x+4＞2，求得x＞-2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜-6}；（2）由f（x）的单调性可得f（x）的最小值为f（-1）=-3，若∀x∈R，f（x）≥t2-t恒成立，只要-3≥t2-t，即2t2-7t+6≤0，∴求得≤t≤2．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．（1）求出函数f（x）的分段函数，分类讨论，求得f（x）＞2的解集．（2）由f（x）的单调性求得f（x）的最小值为f（-1）=-3，再根据f（-1）≥t2-t，求得实数t的取值范围．。

2020届云南省曲靖市陆良县高三第一次摸底数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =I （ ）A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C【解析】解不等式简化集合A 的表示，用列举法表示集合B ，最后根据集合交集的定义求出A B I . 【详解】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤Q ，{}23A x x ∴=≤≤， 又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C. 【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键. 2．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】利用复数的四则运算以及几何意义即可求解. 【详解】 解：()()()21212222555i i i i z i i i i +-+====-+--+， 则复数2i z i =-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.3．“2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +-+=互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】利用两条直线互相平行的条件进行判定 【详解】当2a =时，直线方程为2210x y +-=与20x y ++=，可得两直线平行；若直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行，则()12a a -=，解得12a =，21a =-，则“2a =”是“直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行”的充分不必要条件，故选A 【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题．4．二项式2nx x ⎛- ⎝⎭的展开式中第7项是常数项，则n 的值是（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】B【解析】利用二项展开式的通项公式，得第7项x 的指数，利用指数为零，求出n 的值． 【详解】二项式2nx x ⎛- ⎝⎭的展开式中第7项为()6666666696+131=222n n n n n n n n T C x C x C x x x -----⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭， 由于第7项为常数项，则n ﹣9＝0，解得n ＝9 故选：B ． 【点睛】本题考查二项展开式的通项公式的理解与应用，属于基础题．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=α（ ）A ．3B ．13C ．13-D ．3-【答案】B【解析】先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(1)P，所以cosα==，因此21cos22cos13=-=αα.故选B【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型. 6．已知差数列1，1a，2a，3成等差数列，1，123,,b b b, 4成等比数列，则122a ab+的值为（）A．2 B．2-C．2±D．54【答案】A【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式以及性质，转化求解即可．【详解】因为1，a1，a2，3成等差数列，得a1+a2＝4，又因为1，b1，b2，b3，4成等比数列，可得b22＝4，且1，b2，4同号，所以b2＝2，∴1222a ab+=，故选：A．【点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质与思维的严谨性，属于基础题．7．若x，y满足约束条件2220x yx yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y=-的最小值为（）A．2-B．2 C．6-D．6【答案】A【解析】作出约束条件的可行域，将目标函数转化为122zy x=-，利用线性规划即可求解.【详解】解：由2z x y=-得122zy x=-，作出x ，y 满足约束条件02220x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩对应的平面区域如图（阴影部分ABC ）：平移直线122z y x =-， 由图象可知当直线122zy x =-过点A 时，直线122zy x =-的截距最大，此时z 最小，222x x y =⎧⎨-=⎩，解得()2,2A . 代入目标函数2z x y =-， 得2222z =-⨯=-，∴目标函数2z x y =-的最小值是2-. 故选：A. 【点睛】本题考查了简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，属于基础题. 8．某几何体的三视图如图所示(单位：cm ) ，则该几何体的表面积(单位：cm 2)是( )A．16 B．32 C．44 D．64【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA⊥底面ABC．然后由直角三角形面积公式求解．【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA⊥底面ABC．⊥．则BC PC∴该几何体的表面积1(34543445)32S=⨯+⨯+⨯+⨯=．2故选：B．【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9．阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A ．14B ．20C ．30D ．64【答案】C【解析】根据程序框图依次写出每步中的,S i ，满足判断框中的条件，跳出循环即可求解. 【详解】解：10S =Q ，11i =；21S =，22i =； 35S =，33i =； 414S =，44i =； 530S =，54i =>退出循环， 故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构，读懂流程图是关键，属于基础题.10．已知三棱锥A BCD -中，CD ⊥平面ABC ，Rt ABC ∆中两直角边5AB =，3BC =，该三棱锥的外接球的表面积为50π，则三棱锥的体积为（ ） A ．10 B ．20C ．30D ．40【答案】A【解析】根据题意把三棱锥A BCD -补形为长方体，长方体过一个顶点的三条棱长分别为3，5，CD ，长方体的对角线即为外接球的直径，利用球的表面积公式以及三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】解：如图，CD ⊥面ABC ，CD Q 平面CDB ，则平面CDB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，AB ∴⊥平面BCD ，则把三棱锥A BCD -补形为长方体，长方体过一个顶点的三条棱长分别为3，5，CD ， 设三棱锥的外接球的半径为R ，则2450R ππ=，则522R =. ∴长方体的对角线长为52. 由()22225235CD =++，得4CD =.∴三棱锥的体积为113541032⨯⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了多面体的外接球问题，同时考查了球的表面积公式以及三棱锥的体积公式，属于基础题. 11．如图图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中为直角三角形，四边形为它的内接正方形，已知，，在上任取一点，则此点取自正方形的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】设，由可得，解得，利用几何概型概率公式可得结果.【详解】 设，因为，所以， 即，解得，设在任取一点，则此点取自正方形的事件为，由几何概型概率公式可得，.故选A.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积. 12．已知()f x 是奇函数，且对任意实数()()1212,0f x f x x x x ->-.设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3log 7b f =，()30.8c f =-，则（ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】B【解析】根据题意可知函数()f x 在R 上为增函数，利用指数函数与对数函数的单调性比较出3330.8log 72-<<，结合函数的单调性即可求解. 【详解】解：根据题意，()f x 对于1x 、2x ，满足()()12120f x f x x x ->-，则函数()f x 在R 上为增函数，又由33233330.80log 3log log 72-<<==<，则c a b <<； 故选：B. 【点睛】本题考查了单调性定义、指数函数、对数函数的单调性以及利用单调性比较函数的大小，属于基础题.二、填空题13．已知向量()2,1a =-r ，()6,b x =r ，且a b ⊥r r，则x =______.【答案】12.【解析】利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 解：a b ⊥r rQ ，120a b x ∴⋅=-=r r，解得12x =.故答案为：12. 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，需熟记向量垂直，数量积等于零，属于基础题.14．已知函数())3lg3f x x x =+，若()2019f a =，则()f a -=______.【答案】2019【解析】利用函数的奇偶性定义以及对数的运算性质判断函数()f x 为R 上的偶函数，根据函数为偶函数即可求解. 【详解】解：依题意，显然()f x 的定义域为R ，又()())()2233lg3lg 3x f x x x x ⎡⎤--=-⋅+=-⋅+()))()33lg3lg3x x x x f x ⎡⎤=-⋅-+=⋅+=⎢⎥⎣⎦，()f x ∴为R 上的偶函数，所以()()2019f a f a -==. 故答案为：2019. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义以及对数的运算性质，属于基础题.15．已知抛物线24y x =与双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线的交点为M ，F 为抛物线的焦点，若3MF=，则该双曲线的离心率为______.【解析】设(),M m n ，利用抛物线的定义可求出点M ，将点代入渐近线方程即可求解. 【详解】解：设(),M m n ，则由抛物线的定义可得13MF m =+=，2m ∴=，242n∴=⨯，n ∴=±将点(2,M ±代入双曲线的渐近线方程by x a=±， b a ∴=2222c a a -∴=， e ∴=. 【点睛】本题考查了抛物线的定义、双曲线的渐近线方程以及双曲线的离心率，需熟记双曲线的几何性质，属于基础题.16．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若cos cos (cos )0A B C C +-=．且1b =，则a c +的取值范围为_____.【答案】2⎤⎦【解析】【详解】因为()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+,所以()cos cos cos 0A B C C +=可化为：sin sin sin 0B C B C ⋅⋅=又sin 0C ≠，所以sin B B =，所以tan B =3B π=由正弦定理得：2sin sin sin a b cR A B C===，又1b =所以a A =，c C =所以2sin sin 3333a c A C C C π⎡⎤⎛+=⎫+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦223sin cos cos sin sin cos sin 333322C C C C C ππ⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭2sin 6C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在锐角ABC ∆中，,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以2,633C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以2sin 3C π⎛⎫⎤+∈ ⎪⎦⎝⎭.所以a c +的取值范围为2⎤⎦【点睛】本题主要考查了三角恒等变形及正弦定理，还考查了两角和的正弦公式，考查计算能力及三角函数的性质，属于中档题．三、解答题17．已知正项等比数列{}n a 满足3112S S -=，21214S S +=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记2212211log log n n n b a a +-=，求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =（2）21n nT n =+ 【解析】（1）根据等比数列的通项公式即可求解. （2）根据对数的运算性质以及裂项求和法即可求解. 【详解】解：（1）设正项等比数列{}n a 的公比为0q >.3112S S -=Q ，21214S S +=.()2112a q q ∴+=，113214a a q +=，联立解得：12q a ==，2n n a ∴=.（2）()()22122111111log log 212122121n n n b a a n n n n +-⎛⎫===- ⎪+--+⎝⎭∴数列{}n b 的前n 项和11111111112335212122121n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭L . 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、裂项求和法以及对数的运算性质，属于基础题.18．为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏， 从中部选择河北. 湖北，从西部选择宁夏， 从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记． 由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验． 在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：（1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”； （3）以频率作为概率， 某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为 X ， 写出 X 的分布列，并求 X 的期望值．附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）分层抽样，简单随机抽样均可；（2）利用联列表求出2k ，然后判断即可；（3）推出X 可取0，1，2，3，4．求解概率，然后求解分布列，得到期望即可． 【详解】（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）. (2）将列联表中的数据代入公式计算得()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++ ()22004050100101406050150⨯-⨯=⨯⨯⨯ 3.175 2.706≈>，所以，有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”． （3）以频率作为概率，从该小区随机选择1家企事业单位作为普查对象，入户登记 顺利的概率为45，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为23． X 可取0，1，2，3，4．()3111053135P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()32134112110153533135P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()221233421121362533533135P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()23234211256353353135P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()34232453135P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭． X 的分布列为：X 0 1234P113510135361355613532135()11036563214012341351351351351355E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望以及分布列，独立检验思想的应用，考查计算能力，属于中档题. 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，ABC ∆是边长为2的正三角形，13AA =，D ，E 分别为AB ，BC 的中点.（1）求证：CD ⊥平面11AA B B ； （2）求二面角1B AE B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（210【解析】（1）利用线面垂直的性质可得1AA CD ⊥，再由CD AD ⊥，根据线面垂直的判定定理即可证出. （2）以D 为原点，以,,DA DF DC 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，求出平面1AB E 的一个法向量， 平面BAE 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】解：（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，因为1AA ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以1AA CD ⊥.又ABC ∆为等边三角形，D 为AB 的中点，所以CD AD ⊥. 因为1AB AA A =I ，所以CD ⊥平面11AA B B .（2）解：取11A B 中点F ，连结DF ，则因为D ，F 分别为AB ，11A B 的中点， 所以DF AB ⊥.由（1）知CD AB ⊥，CD DF ⊥， 如图建立空间直角坐标系D xyz -，由题意得()1,0,0A ，()1,0,0B -，(C ，()11,3,0A =，()11,3,0B -，(1C ，()0,0,0D，32E ⎛- ⎝⎭，132AE ⎛=- ⎝⎭u u u u r ，()12,3,0AB =-u u u r ，设平面1AB E 的法向量(),,n x y z =r，32⎛=- ⎝⎭u u u r AE ，()12,3,0AB =-u u u r，则13022230n AE x z n AB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，令1x =，则21,3n ⎛= ⎝r . 平面BAE 法向量()10,3,0AA =u u u r.因为111cos ,10AA n AA n AA n⋅==⋅u u u r ru u u r r u u u r r .【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理以及空间向量法求二面角，属于中档题.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F 3C 上的一点P 到1F ，2F 的距离之和等于4.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）设()3,0P，过椭圆C 的右焦点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若满足PA PB m ⋅≤u u u r u u u r恒成立，求m的最小值.【答案】（1）2214x y +=（2）5【解析】（1）利用椭圆的定义以及离心率求出,,a b c ，进而可写出椭圆的方程. （2）由（1）可知()23,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用向量数量积的坐标运算可得()12121239PA PB x x y y x x ⋅=+-++u u u r u u u r，分类讨论设出直线方程，当直线l 与x 轴垂直或直线l 不与x 轴垂直时，将直线与椭圆联立，利用韦达定理可将PA PB ⋅u u u r u u u r用k 的式子表示，然后再利用函数的单调性即可求解. 【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意可得，222324c e a a a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=；（2）由（1）可知)2F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()113,PA x y =-u u u r ，()223,PB x y =-u u u r，()()()12121212123339PA PB x x y y x x y y x x ∴⋅=--+=+-++u u u r u u u r，①当直线l 与x 轴垂直时，直线l的方程为x =12x x ==代入得112y =，212y =-，或112y =-，212y =，则474PA PB ⋅=-u u u r u u u r ， ②当直线l 不与x轴垂直时，设直线的方程为(y k x =，联立(2214x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得()2222141240k x x k +-+-=，由韦达定理得212214x x k+=+，212212414k x x k -=+，)221212122314k y y k x x x x k ⎡⎤∴=++=-⎣⎦+，(22222247512439141414k k k PA PB k k k-+-∴⋅=--+=+++u u u r u u u r 令214k +，1t ≥，则214k t -=，(14754744t PA PB t --⋅+⎛∴⋅==-+⎝u u u r u u u r ， 又因函数()274f t t=在[)1,+∞上是减函数，4727544PA PB -∴⋅≤-=u u u r u u u r ，综上：m 的最小值为5. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及向量的数量积的坐标表示，考查了学生的计算能力，属于中档题.21．已知函数()()221xf x e ax e x =-+--，且曲线()y f x =在1x =处的切线方程为0y =.（1）求a 的值；（2）证明：当0x >时，()0f x ≥. 【答案】（1）1a =（2）证明见解析【解析】（1）根据导数的运算法则以及基本初等函数的导数求出导函数，再根据导数的几何意义即可求解. （2）由（1）知()()221xf x e x e x =-+--，()22xf x e x e '=-+-，令函数()()x f x ϕ'=，则()2x x e ϕ'=-，从而求出()f x '的单调性，进而求出()f x 的单调区间，然后即可求出()()010f f ==，根据单调性即可得出()0f x ≥. 【详解】解：（1）()()221xf x e ax e x =-+--的导数为()22xf x e ax e '=-+-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为0y =，可得()121f e a e =-+--，且()1220f e a e '=-+-=， 解得1a =；（2）证明：由（1）知()()221xf x e x e x =-+--，()22x f x e x e '∴=-+-，令函数()()x f x ϕ'=，则()2x x e ϕ'=-，当0ln 2x <<时，()0x ϕ'<，()f x '单调递减； 当ln 2x >时，()0x ϕ'>，()f x '单调递增，又()030f e '=->，()10f '=，0ln 21<<，()ln 20f '<， 所以，存在()00,1x ∈，使得()0f x '=， 当()()00,1,x x ∈⋃+∞时，()0f x '>； 当()0,1x x ∈，()0f x '<，故()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 又()()010f f ==，()()2210x f x e x e x ∴=----≥，当且仅当1x =时取等号.故当0x >时，()0f x ≥. 【点睛】本题考查了导数的几何意义以及导数在不等式中的应用，综合性比较强，难度较大. 22．曲线C的极坐标方程为3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，直线l经过点)1P -，倾斜角3πα=.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）若M 为曲线C 上的一个动点，当M 到l 的距离最大时，求点M 的坐标.【答案】（1）(()22312x y ++=；1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）（2）3,3M-【解析】（1）根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩即可将极坐标方程转化为普通方程，利用参数的几何意义即可写出参数方程.（2）利用参数设出圆上M 的坐标，利用点到直线的距离公式表示出距离，再根据辅助角公式以及三角函数的性质即可求解. 【详解】解：（1）C的极坐标方程为3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，转换为直角坐标方程为(()22312x y ++=，直线l经过点)1P -，倾斜角3πα=.直线l的参数方程为：121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.（2）M 为曲线C上的一个动点，设),3Mθθ-+，由题意知直线l40y --=.所以点M 到直线/的距离d ==当sin 13⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πθ时，距离的最大值为1+，即116πθ=， 点3,3M-.【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的互化，参数方程的求法，以及圆上的点到直线距离中的最值问题，同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，但难度不大. 23．已知函数()12f x x x =-++. （1）求不等式()30f x x --≤的解集；（2）设函数()()22g x f x x =-+，若存在x 使()22g x λλ≥-成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）[]0,2；（2）[]1,3-.【解析】(1)分类讨论x 的值，去掉绝对值，即可求解该不等式；(2)根据绝对值三角不等式求出()g x 的最大值，解出不等式223λλ-≤的解集即可得出λ的取值范围. 【详解】（1）当2x <-时，原不等式可化为340x --≤，无解； 当21x -≤≤时，原不等式可化为0x -≤，从而01x ≤≤； 当1x >时，原不等式可化为20x -≤，从而12x <≤. 综上，原不等式的解集为[]0,2.（2）由()22g x λλ≥-得()2max 2g x λλ≥-，又()()22123g x f x x x x =-+=--+≤， 所以223λλ-≤，即2230λλ--≤，解得13λ-≤≤，所以λ的取值范围为[]1,3-. 【点睛】本题主要考查了不等式选讲的内容，解决含绝对值的不等式是一般采用零点分段法，去掉绝对值来求解，属于中档题.。

2019-2020年高三教学质量检测（一模）数学（理）试题 含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{1,0,1},{||10}A B x x =-=+>，那么A ．B ．C ．D ．2、已知复数，则A ．B ．1C ．D ．-13、沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为4、已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是A ．求的值B ．求的值C ．求的值D ．求的值5、已知平面向量满足11,(2)()2a b a b a b ==+-=-， 则与与的夹角为A ．B ．C ．D ．6、在正项等比数列中，232629log log log 3a a a ++=，则的值是A ．16B ．8C ．4D ．27、在二项式的展开式中，含的项的系数为A ．-10B ．10C ．-5D ．58、某城市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2548名有车人中有1560名持反对意见，2452名无车人中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否有关系时，用什么方法最有说服力A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．独立性检验D ．概率9、焦点在y 轴上的双曲线G 的下焦点为F ，上顶点为A ，若线段FA 的中垂线与双曲线G 有公共点，则双曲线G 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10、已知()[)[]211,010,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列函数的图象正确的是A ．的图象B ．的图象C ．的图象D ．的图象11、若直线20(0,0)ax by a b -+=>>过圆22:2410C x y x y ++-+=的圆心，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．12、定义域为R 的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上恰有三个零点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

理科数学试题卷（考试时间：120分钟；全卷满分：150分）一、选择题:（本大题共12小题.每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合}51|{},065|{2<<∈=≤+-=x Z x B x x x A ，则=⋂B A （ ）A. []32，B. []5,1C. {}3,2D. {}43,2， 2．在复平面内，复数2ii-（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．“2=a ”是“直线012=-+y ax 与02)1(=+-+y a x 互相平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件4．二项式nx x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2的展开式中第7项是常数项，则n 的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 115．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点)1,2(-P ，则=α2cos （ ） A.322-B. 322C. 31-D. 31 6．已知1，1a ，2a ，3成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则=+221b a a （ ） A. 2± B. 2- C.23D. 2 7．若x ，y 满足约束条件02220x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A.2-B.2C.6-D.68．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）是（ ） A.8 B.16 C.32 D.449．阅读上面的程序框图，则输出的=S （ ）A ．14B ．20C ．30D ．5510．已知三棱锥BCD A -中，ABC CD 平面⊥，ABC Rt ∆中两直角边5=AB ,3=BC ，该三棱锥的外接球的表面积为π50，则三棱锥的体积为（ ）A. 10B. 20C. 30D. 40 11．右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图 中△ABC 为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，已知BC=2，AC=4， 在△ABC 内任取一点，则此点取自正方形DEFC 内的概率为（ ）A ．12 B ．59 C ．29 D ．4912.已知)(x f 是奇函数，且0)()(2121>--x x x f x f 对任意R x x ∈21,且21x x ≠都成立，设)23(f a =，)7(log 3f b =，)8.0(3-=f c ，则（ ）A. c a b <<B. b a c <<C. a b c <<D. b c a <<二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共20分.）13．已知向量)1,2(-=a ρ，),6(x b =ρ，且b a ρρ⊥，则=x __________．14．已知函数3)1lg()(23+++=x x x x f ，若2019)(=a f ，则=-)(a f __________．15．已知抛物线x y 42=与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线的交点为M ，F为抛物线的焦点，若3=MF ，则该双曲线的离心率为__________．16．在锐角ABC ∆中，角A,B,C 所对的边为c b a ,,，若0)sin 3(cos cos cos =-+C C B A ，且1=b ，则c a +的取值范围为__________．三、解答题:（解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知正项等比数列}{n a 满足1213=-S S ，14212=+S S . (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)记122122log log 1-+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行,国家统计局从东部选择江苏,从中部选择河北， 湖北，从西部选择宁夏,从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区,然后再逐级确定普查区域,直到基层的普查小区.在普查过程中首先要进行宣传培训,然后确定对象,最后入户登记.由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利,这为正式普查提供了宝贵的试点经验.在某普查小区,共有家企事业单位,150家个体经营户,普查情况如下表所示:(1)根据列联表判断是否有%90的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；(2)以频率作为概率,某普查小组从该小区随机选择1家企事业单位,3家个体经营户作为普查对象,入户登记顺利的对象数记为X ,写出X 的分布列,并求X 的期望值. 附:.19.（本小题满分12分）如图,在三棱柱111C B A ABC -中,⊥1AA 底面ABC ，ABC ∆是边长为2的正三角形，31=AA ，D,E 分别为AB,BC 的中点.(1)求证：B B AA CD 11平面⊥； (2)求二面角1B AE B --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆12222=+by a x C ：（0>>b a ）的左右焦点分别为1F ,2F ,离心率为,椭圆上的一点到,的距离之和等于.(1)求椭圆的标准方程； (2)设,过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于,两点,若满足恒成立,求的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数,且曲线在处的切线方程为.(1)求的值；(2)证明:当时,.选做题：考生在第22题，23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清题号，（本题满分10分）22．曲线的极坐标方程为,直线经过点,倾斜角.(1)求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；(2)若为曲线上的一个动点,当到的距离最大时,求点的坐标.23．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)设函数,若存在使成立,求实数 的取值范围.理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A B D D A C C A D B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分）13 14 15 1612 2019 3(3,2⎤⎦三、解答题17. 解析(1)设数列的公比为,由已知,由题意得,..........2分所以,解得, .........4分.因此数列的通项公式为. .........6分(2)由(1)知,, .........8分∴ .........12分18.解析(1)将列联表中的数据代入公式计算得,所以,有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”..........5分(3)以频率作为概率,从该小区随机选择家企事业单位作为普查对象,入户登记顺利的概率为,随机选择家个体经营户作为普查对象,入户登记顺利的概率为........6分可取,,,,.,,,,的分布列为:.......10分........12分19.解析(1)证明:在三棱柱中,因为底面,平面,所以.又为等边三角形,为的中点,所以.因为, 所以平面; .........6分(2)取中点,连结,则因为,分别为,的中点,所以.由(1)知,,如图建立空间直角坐标系. .........7分由题意得,,,,,,,,,. .........8分设平面,法向量,,,则即令,则,.即.平面法向量.因为,,,所以, .........11分由题意知二面角为锐角,所以它的余弦值为. .........12分20.解析(1)由椭圆的离心率为,椭圆上的一点到,的距离之和等于,即,得,,所以椭圆的标准方程为. .........4分(2)设,, 则,,.........5分所以, .........6分当直线与轴垂直时,直线方程为,得, ,或,,; .........7分当直线不与轴垂直时,设直线, 联立得,, 得到,,,.........9分22222222415)32447(9414138341412k k k k k k k k ++-=++-++⨯-+-=⋅令t k =+241，1≤t ，则412-=t k ，所以tt t kk 427324)36447(541)32447(415)32447(22-+-=+--=++-=⋅，又因函数t t f 427324)(-=在[)∞+，1上是减函数，所以427324)1()(max -==f t f ，542732436447=-+-≤⋅PB PA所以m 的最小值为5. .........12分21.解析：(1)由题设得, .........1分 ∴,解得. .........4分 (2)由(1)知, ∴,令函数,则, 当时,,单调递减;当时,, 单调递增, .........6分 又,,,,所以,存在,使得, 当时,; 当,,故在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增. .........10分 又,∴,当且仅当时取等号.故当时,, .........12分22.解析：（1）曲线的直角坐标方程为， .........2分 直线的参数方程为：（为参数）. .........5分 （2）设（），由题意知直线的一般方程为， .........6分 所以距离， .........8分最大值为，此时，，点. .........10分23.解析：(1)当时,原不等式可化为,无解; .........1分 当时,原不等式可化为,从而; .........2分 当时,原不等式可化为,从而. .........3分 综上,原不等式的解集为. .........5分 （2）由得, .........6分 又, .........8分所以,即,解得,所以的取值范围为. ....10分。

2019-2020年高三9月摸底考试 数学理答案 含答案一、选择题：A 卷： BCAA DABC BDDCB 卷： ABCD DBAC CDAB二、填空题： （13）y ＝1e x（14）2 （15）(0，＋∞)（16）2n －n －1三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由正弦定理，得sin C sin A ＝3sin A cos C ，因为sin A ≠0，解得tan C ＝3，C ＝ π3．…6分（Ⅱ）由sin C ＋sin(B －A )＝3sin2A ，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin2A ， 整理，得sin B cos A ＝3sin A cos A ．若cos A ＝0，则A ＝π2，cb ＝tanπ3，b ＝213，△ABC 的面积S ＝ 1 2bc ＝736． …8分 若cos A ≠0，则sin B ＝3sin A ，b ＝3a ．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，解得a ＝1，b ＝3．△ABC 的面积S ＝ 1 2ab sin C ＝334．综上，△ABC 的面积为736或334． …12分 （18）解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为 0.0050×20×40＋0.0075×20×60＋0.0075×20×80＋0.0150×20×100 ＋0.0125×20×120＋0.0025×20×140＝92． …5分（Ⅱ）样本中成绩不低于90分的频率为0.0150×20＋0.0125×20＋0.0025×20＝0.6，所以从该校高三学生中随机抽取1人，分数不低于90分的概率为0.6． …7分由题意，X ～B (3，0.6)，P (X ＝k )＝C k 30.6k 0.43－k（k ＝0，1，2，3）， 其概率分布列为：…10分 X 的期望为E (X )＝3×0.6＝1.8．…12分（Ⅱ）由题意，AB 、AD 、AF 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立空间直角坐标系A -xyz ．设BC ＝1，则C (2，1，0)，D (0，2，0)，E (0，1，2)，G (1，0，2)． 设平面CED 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·CE →＝0，m ·CD →＝0，又CE →＝(－2，0，2)，CD →＝(－2，1，0)，所以⎩⎨⎧x －z ＝0，2x －y ＝0，取m ＝(1，2，1)．同理，得平面CEG 的一个法向量为n ＝(－1，－1，－1)．因为cos 〈m ，n 〉＝m ·n _______|m |·|n |＝－223，又二面角G -CE -D 为钝角，所以二面角G -CE -D 的余弦值－223．…12分（20）解：（Ⅰ）在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin 60︒＝433，得|MF 1||MF 2|＝163．由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 60︒＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|(1＋cos 60︒)，从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝22，从而b ＝2，故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …6分 （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k (x ＋1)，得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0． …8分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－4k (k －2)1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k1＋2k 2．从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋(k －4)(x 1＋x 2)x 1x 2， ＝2k －(k －4)4k (k －2)2k 2－8k＝4． …11分当直线l 的斜率不存在时，得A (－1，142)，B (－1，－142)，得k 1＋k 2＝4．综上，恒有k 1＋k 2＝4．…12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝2－axx ，x ＞0．若a ≤0，f '(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上递增；若a ＞0，当x ∈(0， 2a )时，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈( 2a ，＋∞)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a ≤0，f (x )在(0，＋∞)上递增， 又f (1)＝0，故f (x )≤0不恒成立．若a ＞2，当x ∈(2a ，1)时，f (x )递减，f (x )＞f (1)＝0，不合题意．若0＜a ＜2，当x ∈(1， 2a )时，f (x )递增，f (x )＞f (1)＝0，不合题意． 若a ＝2，f (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减， f (x )≤f (1)＝0，合题意．故a ＝2，且ln x ≤x －1（当且仅当x ＝1时取“＝”）．…8分当0＜x 1＜x 2时，f (x 2)－f (x 1)＝2ln x 2x 1－2(x 2－x 1)＋2＜2(x 2x 1－1)－2(x 2－x 1)＋2＝2(1x 1－1)(x 2－x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜2(1x 1－1)．…12分（22）证明：（Ⅰ）连结AM ，则∠AMB ＝90︒． 因为AB ⊥CD ，所以∠AEF ＝90︒．所以∠AMB ＋∠AEF ＝180︒，即A 、E 、F 、…5分（Ⅱ）连结AC ，CB ．由A 、E 、F 、M 所以BF ·BM ＝BE ·BA ． 在Rt △ACB 中，BC 2＝BE ·BA ，AC 2＋CB 2＝所以AC 2＋BF ·BM ＝AB 2． …10分（23）解：（Ⅰ）由ρsin 2θ＝8cos θ，得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， 即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x ．…5分（Ⅱ）将直线l 的方程代入y 2＝8x ，并整理得，3t 2－16t －64＝0，t 1＋t 2＝163，t 1t 2＝－643．所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝323．…10分（24）解：（Ⅰ）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2．…2分当x≤－1时，f(x)≥2不成立；当－1＜x＜2时，由f(x)≥2，得2x－1≥2，解得32≤x＜2；当x≥2时，f(x)≥2恒成立．所以不等式f(x)≥2的解集为{x|x≥32}．…5分（Ⅱ）因为f(x)＝|x＋1|－|x－2|≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以|a－2|≥3，解得a≥5，或a≤－1，所以a的取值范围是(－∞，－1]∪[5，＋∞)．…10分。

2020年云南省曲靖市陆良县第一中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，，，，则（A）（B）（C）（D）参考答案：C本题主要考查了诱导公式、同角三角函数基本关系式以及三角恒等变换公式等，难度中等。

由于cos（+α）=，cos（－）=，又0<α<，－<β<0，则<+α<，<－<，则sin（+α）==，sin（－）==，故cos（α+）=cos[（+α）－（－）]=；2. 设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A 函数的定义域为，不等式，即，两边除以，则,注意到直线：恒过定点，函数图象上恰有两个横坐标为整数的点落在直线的上方，由图象可知，这两个点分别为，所以直线的斜率的取值范围为，即.故选：A点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．3. 在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系，记为“＞＞”.定义如下：对于任意两个向量当且仅当“”或“”.按上述定义的关系“＞＞”，给出如下四个命题：①若；②若；③若，则对于任意；④对于任意向量.其中正确命题的个数为A、1个B、2个C、3个D、4个参考答案：C4. 若P为棱长为1的正四面体内的任一点，则它到这个正四面体各面的距离之和为______.A. B. C. D.参考答案：D5. 若正实数x，y满足，则x+y的最小值是（）（A）15 （B）16 （C）18 （D）19参考答案：A6. 圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A．2=1 B．2=1 C．2=2 D．2=2参考答案：D【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为2=2．故选：D．【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．7. 定义域为R的函数,若对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”，现给出如下函数：①②③④其中为“H函数”的有（）A.①②B.③④C.②③D.①②③参考答案：C略8. 方程的根的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个参考答案：C略9. 在中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且，则一定是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形参考答案：C10. 设a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面．下列命题中，正确的是( ) A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若a⊥α，a∥β，则α⊥βD．若a∥α，b∥β，则a∥b参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，当两个平面垂直时，一条直线与一个平面垂直，则这条直线与另一个平面的关系都有可能，当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，得到结论．【解答】解：当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，故A不正确，当两个平面垂直时，一条直线与一个平面垂直，则这条直线与另一个平面的关系都有可能，故B不正确，当一条直线与一个平面垂直，与另一个平面平行，则这两个平面之间的关系是垂直，故C正确，当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，故D不正确，故选C．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的关系，对于这种问题中错误的结论只要找一个反例说明一下就可以得到结论是错误的．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，AB＝BC＝，AC＝2，P是△ABC内部一点，且满足，则|PA|+|PB|+|PC|＝_．参考答案：【分析】根据等比的性质可得，利用三角形的面积公式以及向量的乘法公式化简，即可得到，由此可得与各个内角大小，利用正弦定理即可求得。

云南省曲靖市陆良县2020届高三数学第一次模拟试题 文（考试时间：120分钟；全卷满分：150分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|x ≤1}，B={x|0≤x ≤1}，则A ∩B=（ ）A ．{x|x ≤﹣1}B ．{x|﹣1≤x ≤0}C ．{x|0≤x ≤1}D ．{x|1≤x ≤2} 2. 复数z=（1﹣i ）（4﹣i ）的虚部为（ ）A ．﹣5iB ．5iC ． 5D ．-5 3. 已知命题“”，则为 （ ）A. 0000,1x x e x ∃>≤+ B. 0000,1x x e x ∃≤>+ C. 0000,1x x e x ∃≤≤+ D.4．函数sin()3y x π=+的图像如何变化得到sin y x =的图像（ ）A ．左移3π个单位 B ．右移3π个单位 C ．左移6π个单位 D ．右移6π个单位 5. 设变量x ，y 满足约束条件，则z=3x ﹣y 的最大值为（ ）A ．﹣2B ．C ．6D ．146. 已知直线1:210l ax y +-=与直线04)1:2=+-+ay x a l （垂直，则a 为（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．0或17.在空间中，a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β B ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥α C ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥α8. 设a=60.7，b=log 70.6，c=log 0.60.7，则（ ） A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b9. 执行如图所示的程序框图，输出的i 为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5（第9题图） （第10题图）10.如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的直径为（ ）A ．10B ．C ．5D ．11．双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A ． 3 B ．6 C ．2 D ．312. 已知函数()y f x =对一切实数x ，满足(2)()f x f x +=，当 ]1,1x ⎡∈-⎣时，2()f x x =，那么函数()y f x =的图像与ln y x =的图像的交点个数为（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分13. 在区间(0,1)内任取一个实数，则这个实数小于0.8的概率是 . 14. 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=2，则|﹣|= ．15. 若直线1(0,0)ax by a b +=>>（a ＞0，b ＞0）过定点)(1,1，则12a b+的最小值为 ．16. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a b c b c a b c -+=+-，则b ca+的取值范围是 ．三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知等比数列{a n }的公比q ＞1，a 2，a 3是方程x 2﹣6x+8=0的两根． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和S n ．18．(本小题满分12分) 某市从参加广场活动的人员中随机抽取了1000名，得到如下表：市民参加广场活动项目与性别列联表广场舞球、棋、牌总计男100 200 300女300 400 700总计400 600 1000（Ⅰ）能否有99.5%把握认为市民参加广场活动的项目与性别有关？（Ⅱ）以性别为标准，用分层抽样的方法在跳广场舞的人员中抽取4人，再在这4人中随机确定两名做广场舞管理，求这两名管理是一男一女的概率．附参考公式和K2检验临界值表：K2=，n=a+b+c+d，P（K2≥k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819.(本小题满分12分) 如图，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．（1）证明：PE⊥DE；（2）已知PE=，求A到平面PED的距离．20.（本小题满分12分）已知函数f（x）=lnx+x2．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣3x的极值；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围．21.（本小题满分12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（，1），且焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=k（x+1）与椭圆C相交于不同的两点A、B，定点P的坐标为（，0），证明： •+是常数．二选一，请考生在第22、23、二题中任选一题做答.并时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）已知直线l ：（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为ρ=2cosθ． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程； （2）设点M 的直角坐标为（5，），直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|•|MB|的值．23.（本小题满分10分）已知不等式()1,,(1)0f x m x m R f x =--∈+≥且的解集为]1,1⎡-⎣。