正交实验_方差分析法

实验设计的方差分析与正交试验一、实验设计中的方差分析方差分析（analysis of variance，ANOVA）是一种统计方法，用于比较不同组之间的均值差异是否具有统计学上的显著性。

在实验设计中，方差分析主要被用来分析因变量（dependent variable）在不同水平的自变量（independent variable）中的变化情况。

通过比较不同组之间的方差，判断是否存在显著差异，并进一步分析差异的原因。

1. 单因素方差分析单因素方差分析是最简单的方差分析方法，适用于只有一个自变量的实验设计。

该方法通过比较不同组之间的方差来判断各组均值是否有差异。

步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和自变量。

（2）设计实验，确定各组的样本个数。

（3）进行实验，并收集数据。

（4）计算各组的平均值和总平均值。

（5）计算组内方差和组间方差。

（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。

2. 多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上，增加了一个或多个自变量的情况下进行的。

这种方法可以用来分析多个因素对因变量的影响，并判断各因素的主效应和交互效应。

步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和多个自变量。

（2）设计实验，确定各组的样本个数。

（3）进行实验，并收集数据。

（4）计算各组的平均值和总平均值。

（5）计算组内方差、组间方差和交互方差。

（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。

二、正交试验设计正交试验设计是一种设计高效实验的方法，可以同时考虑多个因素和各个因素之间的交互作用，并通过较少的试验次数得到较准确的结果。

1. 正交表的基本原理正交表的设计是基于正交原理，即每个因素和其他所有因素的交互效应都是独立的。

通过正交表设计实验，可以确保各因素和交互作用在样本中能够均匀地出现，从而减少误差来源，提高实验结果的可靠性。

2. 正交试验设计的步骤（1）确定要研究的因素和水平。

Hubei Automotive Industries Institute
试验优化设计
主讲：刘建永
材 料 工 程 系 Department of Materials Engineering
第三章 正交试验设计
正交试验数据 方差分析与贡献率分析
正交试验结果的方差分析
1.离差平方和的计算
总离差平方和：
项目 因素A 因素B 因素C 误差 总和
平方和SS SSA SSB SSC SSE SST
自由度DF a－ 1 a－ 1 a－ 1 a－ 1 n－1
纯平方和 SSA－ fA×MSE SSB－ fB×MSE SSC－ fC×MSE fT×MSE SST
贡献率 ρA ρB ρC ρE
其中： 纯平方和＝ SS因－ f因×MSE 贡献率ρ因等于纯平方和与SST的比值 贡献率最大的几个因素是重要因素，与误差贡献率差不多的认为不 重要。
μ 3.2 的 1 − α 置信区间为： μ 3.2± t1−α / 2 ( f e′)σ / ne ˆ ˆ
′ ˆ 这里 σ = S e / f e′ ， ′ S e = S e + 不显著因子的平方和， f e′ = f e + 不显著因子的自由度，
ne = 试验次数 1 + 显著因子自由度之和
n e = 9 /( 1 + f A + f C ) = 9 / 5 = 1 . 8 ， ′ S e = S e + S B=132 ， f ′ = f + f =4 ，
y 31 54 38 53 49 42 57 62 64 T=450 yi2 =23484 ST=984
∑
方差分析表 把上述计算表中得到的平方和与自由度移至一张方差分 析表中继续进行计算。 例 3.3 的方差分析表 来源 平方和 S 自由度 f 均方和 MS 因子 A 因子 B 因子 C 误差 e T 618 114 234 18 984 2 2 2 2 8 309 57 117 9 F比 34.33 6.33 13.00

1（50） 1（6.5） 1（2.0） 1 1 2 2 2（7.0） 2（2.4） 3（7.5） 3（2.8 2 3 1 3 2 3
2（55） 1
3（58） 1
8பைடு நூலகம்
9 K1j
3
3 15.76
2
3 25.18
1
2 22.65
3
1 20.74
10.9
8.95
T 65.58
K2j
K3j K1j2 K2j2 K3j2
n
对上式做如下变换
SST ( X ij X ) 2 ( X ij X i. X i. X ) 2
i 1 j 1 i 1 j 1
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2 (X ij X i. )( X i. X )
各式的物理意义
X
所有数据的平均值称为总平均 值 第i个水平的数据平均值称为组平均值 随机误差，又称为组内离差平方和
X i.
SSE 表示每一个数据与其组平均值的离差平方和，反映了实验中的
SS A
表示组平均值与总的平均值得离差平方和，反映了由于因素不同水平引 起的差异又称为组间离差平方和
再稍做整理
X 总和 2 2 SST ( X ij X ) ( X ij ) N i 1 j 1 i 1 j 1 X 总和 校正项CF N
2 2 i 1 j 1 r n i 1 j 1 r n i 1 j 1
r
n
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2
2 i 1 j 1 i 1 j 1

0.415
（2）显著性检验
根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，结果见表10-24
变异来源
A B C△ 误差e 误差e△ 总和
平方和 45.40 6.49 0.31 0.83 1.14 53.03
自由度 2 2 2 2 4
表10-24 方差分析表
均方 F值
Fa
22.70 79.6 F0.05(2,4) =6.94
油温℃A 1 1 2 2 3 3 4 4
1.8 4.5 9.8 6.8 3.24 20.25 96.04 46.24
表10-27 试验方案及结果分析
含水量％B 油炸时间s C
1
1
空列 1
2Hale Waihona Puke 2211
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2 11.4
1 10.2
1 12.1
11.5
12.7
10.8
空列 1 2 2 1 2 1 1 2
3.24 11.4 F0.01(2,4)=18.0
0.16
0.41
0.285
显著水平 ** *
因素A高度显著，因素B显著，因素C不显著。 因素主次顺序A-B-C。
（3）优化工艺条件的确定
本试验指标越大越好。对因素A、B分析，确定优 水平为A3、B1；因素C的水平改变对试验结果几乎无影
响，从经济角度考虑，选C1。优水平组合为A3B1C1。 即温度为58℃，pH值为6.5，加酶量为2.0%。
K2k2 SST＝QT CT
…
Kmk2 SSk
Q
＝
j
1 r

2
1 1 2 2 1 10.12 10.09 0.03
2
1 2 1 1 2 10.19 10.02 0.17
2.66
2.58 2.36 2.4 2.79 2.76
0.0055 0.0078 0.0091 0.0001 0.0036
返回15
链接
（2）显著性检验
变异来源 A 平方和 自由度 0.0210 1
0.575
1.845 0.11 12.745
1
1 2 7
0.575
1.845 0.055
10.455
33.545 *
根据F值的大小排出因子的主次： 主 次
A×B、A、B×C、B、（A×C、 C）
A×B的重要性排在A、B的前面，挑选A、B的最优水平时 要从A×B的最优搭配来考虑,同理C的最优水平也应以B×C为 主. A×B的最优搭配的选取是通过A、B搭配效果表决定的。 A、B搭配效果表
B与C的最优搭配：B1C2 从A×B和B×C的最优搭配中,B因素的最优水平矛盾, 但是A×B的重要性排在B×C的前面,所以,从A×B来考选B2, 当B因素选B2时,由B×C的搭配表C选C1,综合考虑其最优工 艺为：A2B2C1. 因为,本例三个因素的所有搭配就是正交表中的8次试 验,从表中试验数据也可以看到,A2B2C1是第7号试验,不匀率 为3.17是8次试验中最小的,即为最优组合（最优工艺）。
它用多水平正交表安排水平数较少的因素的一种方法
例：在高效液相色谱法测定食品中胡萝卜素 的研究中，欲通过正交试验选择柱层析法净 化条件，试验指标为胡萝卜素回收率，不考 虑交互作用，试验因素水平表见表4-35。
表4-35 因素水平表
1
活化温度 ℃ A 100

正交试验设计2正交试验数据方差分析和贡献率分析正交试验设计是一种实验设计方法，通过选择适当的试验水平组合和设置统计模型，以减少试验阶段的试验次数和工作量，提高试验的效率和准确性。

正交设计通过对变量进行排列组合，使各变量的效应独立出现并减少副效应的影响，从而使实验结果更加可靠。

正交设计数据分析方法方差分析(ANOVA)是一种统计方法，用于测试在不同因素水平下的平均值是否相等。

在正交试验中，方差分析可以用于测试各个因子对试验结果的影响是否显著。

方差分析通常包括总体均值检验、各因子的效应检验以及误差项的检验。

通过方差分析可以确定哪些因子对试验结果的影响是显著的，进而确定最佳的试验条件。

贡献率分析是一种用于确定各个因子对试验结果的贡献程度的方法。

贡献率分析可以通过计算各个因子的均方根(RMS)值来确定各个因子的贡献程度。

贡献率可以用来排除一些不显著的因子，从而进一步优化试验条件。

1.节省试验次数和工作量：由于正交设计能够减少变量之间的相关性，可以通过较少的试验次数得到可靠的结果。

2.减少误差项：正交设计通过考虑副效应的影响，减少了试验误差的可能性，提高了数据的可靠性。

3.确定关键因素：正交设计通过方差分析和贡献率分析，可以确定对试验结果有着显著影响的关键因素，从而进行进一步优化。

4.灵活性：正交设计可以根据实验需求进行灵活的调整和改变，以适应多样的试验条件和目标。

总结正交试验设计是一种有效的实验设计方法，可用于减少试验次数和工作量，提高试验效率和准确性。

方差分析和贡献率分析是对正交设计数据进行进一步分析和总结的重要工具，可以帮助确定关键因素和优化试验条件。

正交试验设计能够在实验设计的早期阶段对各个因子进行全面考虑，从而为实验结果的有效性和可靠性打下基础。

方差分析（ANOVA）是一种统计技术， 用于比较三个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。
目的
通过方差分析，可以确定不同组之间 的平均值差异是否由随机误差引起， 还是由处理因素或自变量引起。
方差分析的数学模型
数学模型
方差分析使用数学模型来描述数据之间的关系，特别是不同组之间的平均值差异。模型通常包括组间差异和组内 差异两部分。
医学研究
通过正交试验设计中的方差分析，研究不同治疗方案、药物剂量等因素对疾病治疗效果的影响，为临床 治疗提供科学依据。
方差分析的局限性
04
方差分析对数据的要求
独立性
数据必须是相互独立的，不存 在相互关联或依赖关系。
正态性
数据应符合正态分布，才能保 证统计推断的准确性。
同方差性
各组数据的方差应相等，否则 可能导致误判。
制定试验方案
根据正交表设计试验方案，确定每个因素的每个 水平。
实施试验
按照试验方案进行试验，记录每个试验的结果。
方差分析
利用方差分析法对试验结果进行分析，确定各因 素对试验结果的影响程度和显著性。
优化方案
根据方差分析结果，优化试验方案，进行下一步试验。
方差分析的基本原理
02
方差分析的定义与目的
定义
拉丁方设计方差分
析
适用于需要控制试验条件的试验， 通过拉丁方设计平衡试验条件和 试验误差。
正交试验设计中的方差分析步骤
确定试验因素和水平
根据研究目的和实际情况确定试验因 素和水平。
制定正交表
根据试验因素和水平选择合适的正交 表。
安排试验
按照正交表进行试验，记录试验数据。
方差分析
对试验数据进行方差分析，包括自由 度、离均平方和、均方、F值等计算。

r
i 表示组内理论均值, eij 表示随机误差, eij ~ N (0, 2 ), i 称为效应值. ni i 0.
单因素方差分析的数学模型为 : Yij i eij (i 1, 2, , r; j 1, 2, , ni ) 2 e ~ N ( 0 , ), eij 互相独立; ij n n 0. i i i 1
•步骤2:表头设计.见下表:一般至少安排有一个空列.
17
结束
•步骤3:制订试验方案, 见下表:
18
结束
•步骤4:作试验得到得率 yi .填入表中.作试验时采用随机顺序. •步骤5:计算统计量,填入表5.4.5中.
水平数r 3, 每水平在 1列中出现次数 m 3, 试验数n rm 9, 试验结果为Y1 , Y2 , , Yn , K jl为j列中水平为l (l 1,2, , r )的试验结果之和 . 这里K11 y1 y2 y3 , K 23 y3 y6 y9 . 记K K jl , 显然, K Yi , 与j无关.
l 1 i 1 n 1 2 1 r 2 2 2 P K , Q j K jl , S j Q j P, Q Yi 2 , ST Q P. n m l 1 i 1 r n
S Yi Y
2 T j 1
r


2
1 2 2 2 2 S , Y K , 这里, ST S12 S 2 S3 S4 . n j 1
EYi i , EY ,
2 总离差平方和 ST Yij Y , r ni 2 i 1 r j 1
组间差平方和 S 组内差平方和 S

0.381 0.487
125
0.174
11
0.553 0.684
26
0.374 0.478
150
0.159
12
0.532 0.661
27
0.367 0.470
200
0.138
13
0.512 0.641
28
0.361 0.463
300
0.113
14
0.497 0.623
29
0.355 0.456
400
652 4.922819 0.035945 4.256495
9
132.4444
总计
2496
11
设α=0.05，则 F1-0.05(2,9)=4.26 拒绝原假设
13
第一节 方差分析
水平
数据
课堂练习： A1 6
5
7
A2 2
1
3
方差分析：单因素方差分析
SUMMARY
组
观测数 求和
A1
3
18
A2
3
6
方差分析
0.095
15
0.482 0.606
30
0.349 0.449 1000 0.062
1%
0.418 0.393 0.372 0.354 0.325 0.302 0.283 0.267 0.254 0.228 0.208 0.181 0.143 0.123 0.081
21
第二节 回归分析
(三) 一元线性回归方程——定量分析
i1 j 1
16
第一节 方差分析
水平
A1：原结构 A2：改进方案1 A3：改进方案2

0.86
0.89 收率/％ 0.91 0.90 平均值/％ 0.8900
0.80
0.83 0.88 0.84 0.8375
0.83
0.90 0.94 0.85 0.8800
0.76
0.81 0.84 0.82 0.8075
0.96
0.95 0.93 0.94 0.9450
因素：催化剂； 水平：5种 指标：收率
偶然误差：每种催化剂下所得结果的标准差s
系统误差：各催化剂下所得平均值的差异
2019/5/3
第四章 方差分析
2.2 单因素方差分析
研究单一因素对试验结果的影响。此时，方差分析的目 的是考察一个因素的m个水平对实验结果是否存在显著影响。 数学模型：xij=µ +ai+rij 式中，µ ：总体平均值； ai ： i 水平（ i=1,2,…,ni,ni 为水平重复数）对结果的影响， 即i水平下的系统误差； rij：随即误差（j=1,2,…,m,m为水重复平数）。
(x
i＝1 m
m
i
x ) ( xij x )
j 1
ni
所以
(x
i＝1
i
x )( xij ni xi ) 0
j 1
ni
2019/5/3
第四章 方差分析
令： Q m ( x x ) 2 ij i e
i 1 j 1
ni
U1 ( xi x) 2
表明自由度具有加和性
2019/5/3
第四章 方差分析
（2）方差
令 s 2、se2和s12 分别为总方差、组内方差和组间方差，则有： Q Q s2 f n 1
Qe Qe s fe n m

引言概述正交实验设计与方差分析是一种常用于实验设计和数据分析的统计方法。

这种方法能够帮助研究人员系统地设计实验、收集数据，并通过方差分析对数据进行统计分析。

正交实验设计适用于多因素实验设计，能够探究多个因素对结果变量的影响，并确定各个因素对结果变量的相对重要性。

方差分析则是用来比较不同组别之间的均值差异是否显著，并推断这些差异是否由于随机因素引起。

正文内容1.正交实验设计的基本原理1.1.因素和水平1.2.正交实验设计的完备性和平衡性1.3.主效应和交互效应的概念1.4.正交表和正交实验设计的选择1.5.正交实验设计的优点和局限性2.正交实验设计的建立步骤2.1.确定要研究的因素和水平2.2.选择适当的正交表2.3.构建试验方案2.4.进行实验和数据收集2.5.数据分析和结果解释3.方差分析的基本原理3.1.单因素方差分析3.2.多因素方差分析3.3.方差分析中的假设检验3.4.方差分析的效应量和效应大小3.5.方差分析结果的解释和报告4.正交实验设计与方差分析的应用领域4.1.医学研究4.2.工程设计4.3.农业实验4.4.社会科学研究4.5.生产过程优化5.正交实验设计与方差分析的案例分析5.1.一个药物疗效评价的正交实验设计案例5.2.一个工程设计的正交实验设计案例5.3.一个农业实验的正交实验设计案例5.4.一个社会科学研究的正交实验设计案例5.5.一个生产过程优化的正交实验设计案例总结正交实验设计与方差分析是一种重要的统计方法，在实验设计和数据分析中具有广泛的应用。

通过正交实验设计，研究人员能够系统地探究多个因素对结果变量的影响，并确定各个因素的相对重要性。

方差分析则用于比较不同组别之间的均值差异，并推断这些差异是否显著。

正交实验设计与方差分析能够帮助研究人员有效地设计实验、收集数据并进行统计分析，为科学研究和应用提供有力支持。

在不同领域，如医学研究、工程设计、农业实验、社会科学研究和生产过程优化等方面都有广泛的应用。

4.2.3 正交试验的方差分析简单地说，方差分析是把试验观测数据分解为各个影响因素的波动和误差波动，然后将它们的平均波动进行比较。

其中心点是把试验观测数据总的波动分解为反映因素水平变化引起的波动和反映试验误差引起的波动两部分。

前者是由于因素本身的离散性而存在的方差，简称为产品方差，它是产品所固有的；后者是由于试验误差(也称残差)二引起的方差，简称为试验方差，它是由试验中的随机因素所引起的。

方差分析亦即把观测数据的总的偏差平方和(S T)分解为反映必然性的各个因素的偏差平方和(S A、S B、…S N)与反映偶然性的误差偏差平方和(S e)，并计算比较它们的平均偏差平方和，以找出对试验观测数据起决定性影响的因素(即显著性或高度显著性因素)作为进行定量分析判断的依据。

前面讲过的直观分析法虽然简单明了，计算工作量少，便于普及推广，但它不能把试验过程中试验条件改变所引起的数据波动与试验误差引起的数据波动区分开，同时对影响试验结果的各因素的重要程度，不能给以精确的数量估计。

而方差分析能够为分析提供一个标准，判断各因素的作用是否显著，从而弥补了直观分析法的不足。

为了考察某个因素对指标的作用，必须将总误差分解为条件误差和试验误差，并比较之，作出因素对指标的作用是否显著的结论。

这种分析方法称为方差分析法。

由于试验过程中误差的影响，不能直接测得试验结果的真值，但可以用同一条件下试验结果的平均值来代替真值，这样可近似反映出误差的大小。

同时，对误差来说，它们的正负是没有意义的。

主要的是知道它们的绝对值在什么范围内波动，所以，取它们的差值的平方和就可得到。

F值的大小，可以用来判断因素水平对考察指标影响的显著性。

F值接近1，说明因素水平改变对考察指标的影响在误差范围内，即水平间无显著差异；F值越大，说明因素水平的改变对指标的影响，超过了试验误差造成的影响，即条件误差相对试验误差大得多。

正交试验结果的方差分析方法计算公式和项目试验指标的加和值=,试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的(1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和(2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和(3)……(4) k j——同一水平出现的次数。

等于试验的次数除以第j列的水平数.(5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均”(6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值(7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节(8)偏差平方和(4-1)(9) fj ——自由度.fj第j列的水平数－1.(10）Vj——方差.Vj =Sj/fj(4-2)（11）Ve——误差列的方差。

(4-3)（12）Fj——方差之比(4-4)（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。

显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。

（14）总的偏差平方和(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。

即(4-6) 式中，m为正交表的列数。

若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和应引出的结论。

与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。

在数理统计上，这是一个很重要的问题。

显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。

如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。

因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。

有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。