正交试验结果的方差分析方法
计算公式和项目
试验指标的加和值=,试验指标的平均值和表4-13一样，第j列的
(1) Ij ”水平所对应的试验指标的数值之和
(2) IIj——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和
(3)……
(4) kj——同一水平出现的次数。等于试验的次数除以第j列的水平数.
(5)Ij/kj——“水平所对应的试验指标的平均 ”
(6)IIj/kj——“2”水平所对应的试验指标的平均值
(7)……以上各项的计算方法，和“极差法”同，见4.1.7节
(8)偏差平方和
(4-1)
(9) fj——自由度.fj第j列的水平数－1.
(10）Vj——方差.
Vj=Sj/fj (4-2)
（11）Ve——误差列的方差。
(4-3)
（12）Fj——方差之比
(4-4)
（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。显著性检验结果的具体表示方法和第3章相同。
（14）总的偏差平方和
(4-5)
（15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。即
(4-6)
式中，m为正交表的列数。
若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和Se等于5个单列的偏差平方和之和,即：Se=Se1+Se2+Se3+Se4+Se5；也可用Se= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和
应引出的结论。
和极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。在数理统计上，这是一个很重要的问题。显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列和原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。
方差分析方法使用举例
例4-6 为了提高猪发酵饲料的营养和猪爱吃的程度，选择了四个因素进行正交试验，其因素水平见表4-18。
表4-18 例4-6的因素水平表
因素 发酵温度/℃ 发酵时间/h 初始的PH值 投曲量/ %
符号 x1 x2 x3 x4
水平
1 10 12 7 5
2 20 24 6 10
3 30 48 5
4 50 72 4
试验指标（y）为成品的总酸度。要求写出使用正交试验设计方法的全过程，用方差分析方法分析正交试验的结果。
解：
试验的目的：为改善猪发酵饲料的品质，寻找适宜的发酵条件。
试验指标（y）：成品的总酸度
因素水平表：见表4-18。
理论和经验都不知道有应该考虑的交互作用。
四个因素的水平数不完全相同，所以应选择混合水平正交表。因为3个因素是4水平，1个因素是2水平，所以选L16（43×26）正交表，见表4-19（a）
表头设计：见表4-19（a）
表中数据的计算举例：（以第3列为例）
I3=y1+y6+y11+y16=6.36+5.39+8.03+16.54=36.32
II3=y2+y5+y12+y15=7.43+8.66+12.45+9.80=38.34
III3=y3+y8+y9+y14=10.36+19.53+12.08+10.77=52.74
IV3=y4+y7+y10+y13=11.56+15.50+13.13+13.49=53.68
k3=4
I3/k3=36.32/4=9.08
II3/k3=38.34/4=9.59
III3/k3=52.74/4=13.19
IV3/k3=53.68/4=13.42
极差D3=13.42－9.08=4.34
218.35
表4-19(a) 使用正交表L16（43×26）的正交试验数据表
列号 1
x1 2
x2 3
x3 4
e 5
e 6
e 7
e 8
e 9
x4 总酸度/ %
y 试验号
1 1
(10) 1
(12) 1
(7) 1 1 1 1 1 1
(5) 6.36
2 1
(10) 2
(24) 2
(6) 1 1 2 2 2 2
(10) 7.43
3 1
(10) 3
(48) 3
(5) 2 2 1 1 2 2
(10) 10.36
4 1
(10) 4
(72) 4
(4) 2 2 2 2 1 1
(5) 11.56
5 2
(20) 1
(12) 2
(6) 2 2 1 2 1 2
(10) 8.66
6 2
(20) 2
(24) 1
(7) 2 2 2 1 2 1
(5) 5.39
7 2
(20) 3
(48) 4
(4) 1 1 1 2 2 1
(5) 15.50
8 2
(20) 4
(72) 3
(5) 1 1 2 1 1 2
(10) 19.53
9 3
(30) 1
(12) 3
(5) 1 2 2 2 2 1
(5) 12.08
10 3
(30) 2
(24) 4
(4) 1 2 1 1 1 2
(10) 13.13
11 3
(30) 3
(48) 1
(7) 2 1 2 2 1 2
(10) 8.03
12 3 4 2 2 1 1 1 2 1 12.45
(30) (72) (6) (5)
13 4
(50) 1
(12) 4
(4) 2 1 2 1 2 2
(10)
13.49
14 4
(50) 2
(24) 3
(5) 2 1 1 2 1 1
(5)
10.77
15 4
(50) 3
(48) 2
(6) 1 2 2 1 1 1
(5) 9.80
16 4
(50) 4
(72) 1
(7) 1 2 1 2 2 2
(10) 16.54
表4-19(b) [上接表4-19(a)]
列号 1
x1 2
x2 3
x3 4
e 5
e 6
e 7
e 8
e 9
x4 名称
Ij 35.71 40.59 36.32 83.91
IIj 49.08 36.72 38.34 97.17
IIIj 45.69 43.69 52.74
IVj 50.60 60.08 53.68
kj 4 4 4 8 8 8 8 8 8
Ij/ kj 8.93 10.15 9.08 10.49
IIj/ kj 12.27 9.18 9.59 12.15
IIIj/
kj 11.42 10.92 13.19
IVj /kj 12.65 15.02 13.42
极差Dj 3.72
③ 5.84
① 4.34
② 1.66
④
偏差平方和Sj 33.57③ 79.19① 63.67
② Se=
30.9 11.02
④ 218.35
自由度fj 3 3 3 fe=5 1
方差Vj 11.19 26.40 21.22 Ve=
6.18 11.02
方差比Fj 1.81 4.27 3.43 1.78
F0。25 1.88 1.88 1.88 1.69
F0.10 3.62 3.62 3.62 4.06
F0.05 5.41
F0.01
显著性 0*
(0.25) 2*
(0.10) 1*
(0.25) 1*
(0.25)
偏差平方和
=4(9.08－11.32)2+4(9.59－11.32)2+4(13.19－11.32)2+4(13.42－11.32)2
=63.67
自由度f3=4－1=3
方差
Se= S总－(S1+S2+ S3+ S9)=218.35－(33.57+79.19+63.67+11.02)=30.9
fe=(16-1)－(3+3+3+1)=5
查F分布数据值表得：
F(α=0.01, f1=3, f2=5)=12.06> F3
F(α=0.05, f1=3, f2=5)=5.41> F3
F(α=0.10, f1=3, f2=5)=3.62> F3
F(α=0.25, f1=3, f2=5)=1.88< F3
所以，第3列对试验指标的影响在α=0.25水平上显著。
其它列的计算结果见表4-19(b)。
用方差分析方法分析正交试验结果，应该引出如下几点结论：
（1）关于显著性的结论
发酵时间（x2）对指标的影响在α=0.10水平上显著；初始的PH值（x3）和投曲量（x4）在α=0.25水平上显著；发酵温度(x1)在α=0.25水平上仍不显著。
(2)试验指标随各因素的变化趋势：见图4-6
图4-6是用表4-18及表4-19（b）中的Ⅰj/kj, Ⅱj/kj, Ⅲj/kj, Ⅳj/kj值来标绘的。
（3）适宜的操作条件
在确定适宜操作条件时，对于F检验中α=0.25不显著的因素，如本例中的因素x1, 一方面因为图4-6 (a) 所示的“规律”不可靠，不能作为确定x1适宜水平的依据。另一方面，F检验不显著，Fj太小，可能是因为Ve太大，误差太大；也可能是因为Vj太小，该因素对指标影响太小。所以，对于F检验不显著的因素，适宜的水平可以是任意的。如本例，可认为x1=（20~50）℃即可，不必非50℃
