2017年考研数学阶段测试卷_三)数学一V2.0

2017年数三考研真题_附答案解析2017年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学三试题及参考答案⼀、选择题：1～8⼩题，每⼩题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.若函数1,0(),0x f x axb x ?->?=??≤?在0x =处连续，则（）(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =2.⼆元函数(3)z xy x y =--的极值点（）(A)(0,0)(B)(0,3)(C)(3,0)(D)(1,1)3.设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（）(A)()()11f f >-(B)()()11f f <-(C)()()11f f >-(D)()()11f f <-4.若级数2111n sin kln n n ∞=??--∑收敛，则k =()(A)1(B)2(C)-1(D)-25.设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则()(A)T E αα-不可逆(B)T E αα+不可逆(C)2T E αα+不可逆(D)2T E αα-不可逆6.已知矩阵200021001A=??210020001B =??100020002C ??=，则()(A)A 与C 相似，B 与C 相似(B)A 与C 相似，B 与C 不相似(C)A 与C 不相似，B 与C 相似(D)A 与C 不相似，B 与C 不相似7.设A B 、、C 为三个随机事件，且A 与C 相互独⽴，与C 相互独⽴，则A B ?与C 相互独⽴的充要条件是()(A)A 与B 相互独⽴(B)A 与B 互不相容(C)AB 与C 相互独⽴(D)AB 与C 互不相容8.设12,......(2)n X X X n ≥来⾃总体(,1)N µ的简单随机样本，记11nii X X n ==∑则下列结论中不正确的是()(A)21()ni i X µ=-∑服从2χ分布(B)212()n X X -服从2χ分布(C)21()n ii XX =-∑服从2χ分布(D)2()n X µ-服从2χ分布⼆、填空题：9～14⼩题，每⼩题4分，共24分。

2017年考研数学一二三真题绝密★启用前2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）（科目代码301）考生注意事项1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。

不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。

3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。

超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=?≤?在0x =处连续，则（） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（）()12()6()4()2A B C D（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（）()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆（6）设矩阵200210100021,020,020*********A B C ===??????,则（） ()()(),,(),,A A C B C B A C B C C A C B C D A C B C 与相似与相似与相似与不相似与不相似与相似与不相似与不相似（7）设,A B 为随机概率，若0()1,0()1P A P B <<<<，则()()P A B P A B >的充分必要条件是（）()()()()()()()()()()()()A PB A P B A B P B A P B AC P B A P B AD P B A P B A ><><（8）设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（）()()22221122221()()2()()()()ni n i ni i A X B X X C X X D n X μχχχμχ==----∑∑服从分布服从分布服从分布服从分布二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 已知函数21()1f x x=+，则(3)(0)f =__________ (10) 微分方程'''230y y y ++=的通解为y =_________(11) 若曲线积分221L xdx aydy x y -+-?在区域{}22(,)|1D x y x y =+<内与路径无关，则 a =__________(12) 幂级数111(1)n n n nx ∞--=-∑在区间(1,1)-内的和函数()S x =________（13）设矩阵101112011A ??= ? ???，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,A A A ααα的秩为_________（14）设随机变量X 的分布函数为4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =_________三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题．．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求0x dydx=，22x d y dx=（16）（本题满分10分）求21limln 1nn k k k n n →∞=??+ ∑ （17）（本题满分10分）已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值（18）（本题满分10分）设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且0()(1)0,lim 0x f x f x+→><，证明： ()I 方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；()∏方程2''()()(())0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。

)(B 21-=ab 。

)(C 0=ab 。

D (2=ab 。

【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。

（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（ ）)(A )0,0(。

)(B )3,0(。

)(C )0,3(。

)(D )1,1(。

【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。

（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。

)(B )1()1(-<f f 。

)(C |)1(||)1(|->f f 。

)(D |)1(||)1(|-<f f 。

【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。

2017年考研数学真题一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定的位置上. (1)若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在x =0连续，则 (A)12ab =(B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab =【答】应选（A ）【解】由连续的定义可知：0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==，其中0(0)lim ()x f f x b -→==，20001112lim ()lim lim 2x x x f x ax ax a +++→→→-===，从而12b a =，也即12ab =，故选（A ）。

(2) 二元函数(3)z xy x y =--的极值点（ ）(A)(0,0) (B)(0,3) (C)(3,0) (D)(1,1) 【答】应选(D).【解】(3)(32)xz y x y xy y x y '=---=-- (3)(32)y z x x y xy x x y '=---=--2xx z y ''=-，322xy z x y ''=--，2yy z x ''=-验证可得（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个选项均满足00x yz z '=⎧⎨'=⎩,其中(D)选项对应(1,1)2xx A z ''==-，(1,1)1xy B z ''==-，(1,1)2yy C z ''==-满足230AC B -=>，所以该点为极值点.(3) 设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则(A)()()11f f >- (B)()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <-【答】应选(C).【解】令2()()F x f x =，则有()2()()F x f x f x ''=，故()F x 单调递增，则(1)(1)F F =-，即22[(1)][(1)]f f >-，即(1)(1)f f >-，故选C .(4) 若级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛,则()k =(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2【答】（C ） 【解】由332211111111sinln(1)()()62k k o k o n n n n n n n n--=-++++232111(1)()26k k o n n n n=++-+，又211[sinln(1)]n k n n∞=--∑收敛，故有10k +=，即1k =-，故选C 。

2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ）2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x x xy y ∂=--∂，2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k nn ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2TE αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T TE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）． 7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．3(sin x dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰．10．差分方程122tt t y y +-=的通解为 ．【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =； 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，t x u dt du -=⎰⎰02limlim limlim 3t x u u x x x x dt e du du ++++--→→→→====计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =与x 轴为边界的无界区域． 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数（1）证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ lim1!n n n n ρ=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数nn n a x∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x -=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他． （1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。

2017全国研究生入学考试考研数学三试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若函数0,(),0,x f x b x >=⎪≤⎩在0x =，处连续，则（ ）（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =（2）二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0)（B ）(0,3)（C ）(3,0)（D ）(1,1)（3）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>，则（ ） （A ）(1)(1)f f >- （B ）(1)(1)f f <-（C ）(1)(1)f f >- （D ）(1)(1)f f <-（4）设级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1（B ）2（C ）1-（D ）2-（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 （A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆（D ）2TE αα-不可逆（6）设矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 （A ）A 与C 相似，B 与C 相似（B ）A 与C 相似，B 与C 不相似 （C ）A 与C 不相似，B 与C 相似（D ）A 与C 不相似，B 与C 不相似（7）设,,A B C 为三个随机事件，且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是（A ）A 与B 相互独立（B ）A 与B 互不相容（C ）AB 与C 相互独立（D ）AB 与C 互不相容（8）设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是 （A ）21()nii Xμ=-∑服从2χ分布（B ）212()n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2χ分布二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）3(sin x dx ππ-=⎰_______。

1 2017年考研数学三真题一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数1cos ,0(),0xx f x ax b x ì->ï=íï£î在0x =处连续，则（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】00011cos 12lim ()lim lim 2x x x x x f x ax ax a+++®®®-===，0lim ()(0)x f x b f -®==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =Þ=．所以应该选（A ）2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0)（B ）03(,)（C ）30(,)（D ）11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x ¶=---=--¶，232z x x xy y¶=--¶，2222222,2,32z z z z y x xxyx yy x¶¶¶¶=-=-==-¶¶¶¶¶¶解方程组22320320z y xy y xz x x xy y¶ì=--=ï¶ïí¶ï=--=¶ïî，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x ¢>，则（A ）(1)(1)f f >-（B ）11()()f f <-（C ）11()()f f >-（D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ¢¢=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-Þ>-，所以应该选（C ）4．若级数211sin ln(1)n k nn ¥=éù--êúëûå收敛，则k =（）（A ）1（B ）2（C ）1-（D ）2-【详解】iv n ®¥时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n æöæöæöæö--=---+=++ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设a 为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则阶单位矩阵，则（A ）T E aa -不可逆不可逆 （B ）TE aa +不可逆不可逆（C ）2TE aa +不可逆不可逆 （D ）2TE aa -不可逆不可逆【详解】矩阵Taa 的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T TE E E E aa aa aa aa -+-+的特征值分别为0,1,1,1 ；2,1,1,,1 ；1,1,1,1,1,1,,,1- ；3,1,1,,1 ．显然只有TE aa -存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A æöç÷=ç÷ç÷èø，210020001B æöç÷=ç÷ç÷èø，100020002C æöç÷=ç÷ç÷èø，则，则 （A ）,A C 相似，,B C 相似相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似相似 （D ）,A C 不相似，,B C不相似不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1l l l ===．是否可对解化，只需要关心2l =的情况．的情况．对于矩阵A ，0002001001E A æöç÷-=-ç÷ç÷èø，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2l =存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -æöç÷-=ç÷ç÷èø，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2l =只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（条件是（ ）（A ）,A B 相互独立相互独立 （B ）,A B 互不相容互不相容 （C ）,AB C 相互独立相互独立 （D ）,AB C 互不相容互不相容 【详解】【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ³ 为来自正态总体(,1)N m 的简单随机样本，若11n i i X X n ==å，则下列结论中不正确的是（正确的是（ ）（A ）21()ni i X m =-å服从2c 分布分布 （B ）()212nX X -服从2c 分布分布 （C ）21()ni i X X =-å服从2c 分布分布（D ）2()n X m -服从2c 分布分布 解：（1）显然22()~(0,1(0,1))()~(1(1),),1,2,iiX N X i n m m c -Þ-= 且相互独立，所以21()nii X m =-å服从2()n c 分布，也就是（A ）结论是正确的；）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)ni i n S X X n S n c s=--=-=-å，所以（C ）结论也是正确的；）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N n X N n X nm m m c Þ-Þ-，所以（D ）结论也是正确的；）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：221111()~(0,2)~(0,1)()~(1)22n n n X X X X N N X X c --ÞÞ-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） 9．322(sin )x x dx ppp -+-=ò．解：由对称性知332222(sin )22xx dxx dx ppppp p -+-=-=òò． 10．差分方程122tt t y y +-=的通解为的通解为 ． 【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =；设122t t tyy +-=的特解为2tty at =，代入方程，得12a =；所以差分方程122tt t y y +-=的通解为12 2.2t t y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e-=+，其中产量为Q ，则边际成本为，则边际成本为 . 【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为，从而边际成本为()1(1).QC Q Q e -¢=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A æöç÷=ç÷ç÷èø，123,,a a a 为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A a a a 的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A æöæöæöç÷ç÷ç÷=®®ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø，知矩阵A 的秩为2，由于123,,a a a 为线性无关，所以向量组123,,A A A a a a 的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-´+´+´=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题三、解答题15．（本题满分10分）分）求极限03lim xtx x te dtx+®-ò【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，xxtx ux te dtuedu --=òò3332limlim lim lim 332xxxtxuuxx x x x x te dt eue du ue du xexxxx ++++---®®®®-====òòò计算积分3242(1)Dydxdy xy ++òò，其中D 是第一象限中以曲线y x =与x 轴为边界的无界区域．轴为边界的无界区域．【详解】【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)11121411282xDxyydxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x p +¥+¥+¥=++++++=++æöæö=-=-ç÷ç÷ç÷++èøèøòòòòòòò 17．（本题满分10分）分）求21lim ln 1nn k k k n n ®¥=æö+ç÷èøå 【详解】由定积分的定义【详解】由定积分的定义 120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx ®¥®¥==æöæö+=+=+ç÷ç÷èøèø=+=ååòò18．（本题满分10分）分） 已知方程11ln(1)k x x -=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x =-Î+，则，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-¢=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ¢¢=+-+-= 2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-¢¢=<Î+，所以()g x ¢在(0,1)上单调减少，上单调减少，由于(0)0g ¢=，所以当(0,1)x Î时，()0)0g x g ¢¢<=，也就是()g x ()g x ¢在(0,1)上单调减少，当(0,1)x Î时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x Î时，()0f x ¢<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．上单调减少．0011ln(1)1lim()lim lim ln(1)ln(1)2x x xx x f x x x x x +++®®®æö-+=-==ç÷++èø，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+ ，()S x 为幂级数nnn a x ¥=å的和函数的和函数（1）证明nn n a x ¥=å的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-，并求出和函数的表达式．，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+Þ+=++也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n nn n aa n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=´´´=-----+ 也就得到111(1),1,2,(1)!nn n aa n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n nnn k aaa aa aa ak +++-==-+-++-+=-å111lim lim lim 12!3!!nnnn n n n a e n r ®¥®¥®¥=£+++£= ，所以收敛半径1R ³（2）所以对于幂级数nnn a x ¥=å， 由和函数的性质，可得11()n n n S x na x¥-=¢=å，所以，所以111111011111110(1)()(1)(1)((1))()n n nn n nn n n n n n nn n nn n n nn nn nnn n n x S x x na xna xna xn a x na x a n a na xa x a xx a x xS x ¥¥¥--===¥¥+====¥+=¥¥¥+-===¢-=-=-=+-=++-====ååååååååå也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-．解微分方程(1)()()0x S x xS x ¢--=，得()1xCeS x x-=-，由于0(0)1S a ==，得1C = 所以()1xeS x x-=-．设三阶矩阵()123,,A a a a =有三个不同的特征值，且3122.a a a =+（1）证明：()2r A =；（2）若123,b a a a =+，求方程组Ax b =的通解．的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ³．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ³，又因为31220a a a -+=，也就是123,,a a a 线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220a a a -+=，所以基础解系为121x æöç÷=ç÷ç÷-èø；又由123,b a a a =+，得非齐次方程组Ax b =的特解可取为111æöç÷ç÷ç÷èø；方程组Ax b =的通解为112111x k æöæöç÷ç÷=+ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèø，其中k 为任意常数．为任意常数．21．（本题满分11分）分） 设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x a x x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y l l +，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141Aa -æöç÷=-ç÷-èø因为二次型的标准形为221122y y l l +．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A l l l l l l l ---=+=+--- 令0E A l -=得矩阵的特征值为1233,6,0l l l =-==．通过分别解方程组()0i E A x l -=得矩阵的属于特征值13l =-的特征向量111131x æöç÷=-ç÷ç÷èø，属于特征值特征值26l =的特征向量211021x -æöç÷=ç÷èø，30l =的特征向量311261x æöç÷=÷çèø， 所以()12311132612,,036111326Q x x x æö-ç÷ç÷ç÷==-ç÷ç÷ç÷ç÷èø为所求正交矩阵．为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<ì=íî其他．（1）求概率P Y EY £（）； （2）求Z X Y =+的概率密度．的概率密度．【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy+¥-¥===òò所以{}230242.39P Y EYP Y ydy ìü£=£==íýîþò（2）Z X Y =+的分布函数为的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z YY F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =£=+£=+£=++£===£+=£-=£+£-=+-故Z X Y =+的概率密度为的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,ZZf z F z f z f z z z z z ¢==+-££ìï=-£<íïî其他23．（本题满分11分）分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量m 是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N m s 该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n m =-= ，利用12,,,n Z Z Z 估计参数s ． （1）求i Z 的概率密度；的概率密度；（2）利用一阶矩求s 的矩估计量；的矩估计量； （3）求参数s 最大似然估计量．最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P m m ss ì-ü=£=-£=£íýîþ当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ³时，{}{}()21i Z i i X z z F z P Z z P X z P m m s s sì-üæö=£=-£=£=F -íýç÷èøîþ； 所以i Z 的概率密度为2222,0()()20,0z Z Z e z f z F z z s ps-ì³ï¢==íï<î．（2）数学期望22222()22z iEZ z f z dzze dzss psp-+¥+¥===òò， 令11ni i EZ Z Z n ===å，解得s 的矩估计量12222ni i Z Z np ps ===å．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >= 时 似然函数为2211212()(,)(2)n ii nnz i n i L f z ess s ps =-=å==Õ，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22ni i n L n n z s p s s ==---å令231ln ()10ni i d L n z d s s s s ==-+=å，得参数s 最大似然估计量为211ni i z n s ==å．。

2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a+++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x ∂=---=--∂，232zx x xy y∂=--∂， 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2TE αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1 ；2,1,1,,1 ；1,1,1,,1- ；3,1,1,,1 ．显然只有TE αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）．8．设12,,,(2)n X X X n ≥ 为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-= 且相互独立，所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．3(sin x dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰．10．差分方程122tt t y y +-=的通解为 ． 【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =； 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122tt t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)Q Q e -+-．平均成本()1Q C Q e -=+，则总成本为()()Q C Q QC Q Q Qe -==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)y f x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)y f x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 33xt x u u x x x x x dt e du du ++++---→→→→====计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域． 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+ ，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数 （1）证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!nn n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+ 也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑1n n n ρ=≤≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数nn n a x∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x -=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ． 【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a = 114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他． （1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-= ，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ． （1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >= 时似然函数为21121()(,)ni i n nz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。

2017年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题一、选择题:1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab = （B ）12ab =- （C ）0ab = （D ）2ab = 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <-（C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-4． 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）T E αα-不可逆 （B ）T E αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆 （D ）2T E αα-不可逆6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似（C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容（C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()n i i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()n i i X X =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．3(sin x dx ππ-+=⎰ ．10．差分方程122t t t y y +-=的通解为 ．11．设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =13．设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→16．（本题满分10分） 计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =与x 轴为边界的无界区域．17．（本题满分10分） 求21lim ln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数 （1）证明0n n n a x ∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式．设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+（1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他．（1）求概率P Y EY ≤（）； （2）求Z X Y =+的概率密度．某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量；（3）求参数σ最大似然估计量．2017年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题答案一、选择题:1—8小题．每小题4分，共32分．1．解：0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．解：2(3)32z y x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x x xy y ∂=--∂， 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．解：设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4．解：iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）． 5．解：矩阵T αα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．解：矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．解：(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+- 显然，A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）．8．解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()n ii X μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的； （2）222221(1)()(1)~(1)n i i n S X X n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．解：由对称性知330(sin 22x dx ππππ-+==⎰⎰．10．解：齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2x y C =； 设122t t t y y +-=的特解为2t t y at =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2t ty C t =+11．解：答案为1(1)Q Q e -+-．平均成本()1Q C Q e -=+，则总成本为()()Q C Q QC Q Q Qe -==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．解：(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)y f x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)y f x y xye =．13．解：对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2． 14．解：显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）解：令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，0t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 3t x u u x x x x dt e du du ++++--→→→→==== 16．（本题满分10分）解：33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分） 解：由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 解：设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<． 19．（本题满分10分） 解：（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a aa a a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+ 也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ lim 1!n n n n ρ=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数0nn n a x ∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n n n S x na x ∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x-=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．20．（本题满分11分）解：（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥． 假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）解：二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分） 解：（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分） 解：（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量122ni i Z Z nσ===∑．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。

考研数学真题及解析= = - ∂z n =2 2017 年考研数学三真题一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．⎧1- co 1. 若函数 f (x ) = ⎪, x > 0在 x = 0 处连续，则 ⎨ ax ⎩⎪ b , x ≤ 0 （A ） ab = 1 （B ） ab = - 1（C ） ab = 0 （D ） ab = 2【详解】 lim 2 f (x ) = lim2 1 x = lim 2 =1 ， limf (x ) = b = f (0) ，要使函数在 x = 0 处连续， x →0+x →0+ ax x →0+ ax 2a x →0-1必须满足 2a = b ⇒ ab = 1 ．所以应该选（A ） 22. 二元函数 z = xy (3 - x - y ) 的极值点是（）（A ） (0, 0)（B ） (0, 3)（C ） (3, 0)（D ） (1,1)【详解】∂z= y (3 - x - y ) - xy = 3y - 2xy - y 2 ， ∂z= 3x - x 2 - 2xy ，∂2z = - ∂x 2∂x 2 y , ∂2 z∂y 2 = -2x ,∂2 z ∂x ∂y∂y ∂2 z ∂y ∂x 3 2x⎧∂z= 3y - 2xy - y 2 = 0 ⎪∂x 解方程组 ⎨⎪ = 3x - x 2 - 2xy = 0⎪⎩∂y，得四个驻点．对每个驻点验证 AC - B 2，发现只有在点(1,1) 处满足AC - B 2 = 3 > 0 ，且 A = C = -2 < 0 ，所以(1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（D ）3. 设函数 f (x ) 是可导函数，且满足 f (x ) f '(x ) > 0 ，则（A ） f (1) > f (-1)（B ） f (1) < f (-1) （C ） f (1) > f (-1)（D ） f (1) < f (-1)【详解】设 g (x ) = ( f (x ))2 ，则 g '(x ) = 2 f (x ) f '(x ) > 0 ，也就是 ( f (x ))2是单调增加函数．也就得到( f (1))2> ( f (-1))2⇒ f (1) > f (-1) ，所以应该选（C ）∞⎡ 1 1 ⎤ 4.若级数∑ ⎢⎣sin n - k ln(1- n )⎥⎦ 收敛，则k = （ ）（A ）1（B ） 2（C ） -1（D ） -2s x 1- cos x⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎪ ⎝ ⎭1 1 1 ⎛ 1 1 ⎛ 1 ⎫2⎫ ⎛ 1 ⎫ 1 k 1 ⎛ 1 ⎫【详解】iv n → ∞ 时sin n - k ln(1- n ) = n - k - - ⎪ ⎪ + o n 2 ⎪ = (1+ k ) + 2 o n 2 ⎪ ⎝n 2 ⎝ n ⎭ ⎭ ⎝ ⎭ 1n 2 n ⎝ ⎭ 显然当且仅当(1+ k ) = 0 ，也就是 k = -1 时，级数的一般项是关于 n（C ）．5. 设α 为n 单位列向量， E 为n 阶单位矩阵，则的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（A ） E - αα T不可逆（B ） E + αα T不可逆（C ） E + 2αα T不可逆（D ） E - 2αα T不可逆【详解】矩阵αα T的特征值为1和 n -1个 0 ，从而 E - αα T, E + αα T, E - 2αα T, E + 2αα T的特征值分别为0,1,1, 1； 2,1,1, ,1 ； -1,1,1, ,1； 3,1,1, ,1 ．显然只有 E - αα T存在零特征值，所以不可逆， 应该选（A ）．6.已知矩阵 A = ⎪ 0 0 1 ⎪ ⎪ 0 0 1 ⎪，则 0 0 2 ⎪（A ） A , C 相似， B , C 相似（B ） A , C 相似， B , C 不相似（C ） A , C 不相似， B , C 相似（D ） A , C 不相似， B , C 不相似【详解】矩阵 A , B 的特征值都是λ1 = λ2 = 2, λ3 = 1．是否可对解化，只需要关心λ = 2 的情况．⎛ 0 0 0 ⎫ 对于矩阵 A ， 2E - A =0 0 -1⎪ ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值λ = 2 存在两个线性无关的⎪ 0 0 1 ⎪ 特征向量，也就是可以对角化，也就是 A ~ C ．⎛ 0 -1 0 ⎫对于矩阵 B ， 2E - B = 0 0 0 ⎪ ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值λ = 2 只有一个线性无关的0 0 1 ⎪ 特征向量，也就是不可以对角化，当然 B , C 不相似故选择（B ）．7. 设 A , B ， C 是三个随机事件，且 A , C 相互独立， B , C 相互独立，则 A B 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ） A , B 相互独立（B ） A , B 互不相容（C ） AB , C 相互独立 （D ） AB , C 互不相容【详解】⎛ 2 0 0 ⎫ ⎛ 2 1 0 ⎫ ⎛ 1 0 0 ⎫0 2 1 ⎪ ， B = 0 2 0 ⎪ ， C =0 2 0 ⎪ ⎪≥ μ = n ∑ n 1 π ππt +1 t t +1 t 3π nP (( A B )C ) = P ( AC + AB ) = P ( AC ) + P (BC ) - P ( ABC ) = P ( A )P (C ) + P (B )P (C ) - P ( ABC )P ( A B )P (C ) = (P ( A ) + P (B ) - P ( AB ))P (C ) = P ( A )P (C ) + P (B )P (C ) - P ( AB )P (C )显然， A B 与C 相互独立的充分必要条件是 P ( ABC ) = P ( AB )P (C ) ，所以选择（C ）．1 n8.设 X 1, X 2 , , X n (n 2) 为来自正态总体 N ( ,1) 的简单随机样本，若 X X i ，则下列结论中不i =1正确的是（）（A ） ∑( X i - μ) i =1服从χ 2 分布 （B ） 2 ( X - X )2服从χ 2 分布n（C ） ∑( X i i =1- X )2服从χ 2分布 （D ） n ( X - μ)2服从 χ 2分布解：（1）显然 ( X i - μ) ~ N (0,1) ⇒ ( X i - μ)2~ χ 2(1), i = 1, 2, n 且相互独立，所以∑( X i =1- μ)2服从χ 2 (n ) 分布，也就是（A ）结论是正确的；n22(n -1)S 22（2） ∑( X i - X ) i =1= (n -1)S =σ 2~ χ (n -1) ，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意 X ~ N (μ, 1) ⇒ nn ( X - μ) ~ N (0,1) ⇒ n ( X - μ)2 ~ χ 2 (1) ，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）： ( X - X ) ~ N (0, 2) ⇒X n - X 1 ~ N (0,1) ⇒ 1( X - X )2 ~ χ 2 (1) ，所以（B ）结n1论是错误的，应该选择（B ）2 n 1二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9．⎰-π(sin 3 x + π 2 - x 2 )dx = ．解：由对称性知⎰-π(sin x +)dx = 2⎰03 dx = ．210.差分方程 y - 2 y = 2t的通解为．【详解】齐次差分方程 y - 2 y = 0 的通解为y = C 2x；设 y t +1 - 2 y t = 2t的特解为 y = at 2t，代入方程，得a = 1 ； 2所以差分方程 y t +1 - 2 y t= 2t 的通解为 y = C 2t + 1 t 2t . 211.设生产某产品的平均成本C (Q ) = 1+ e-Q，其中产量为Q ，则边际成本为.n2π 2 - x 2π 2 - x 2t2i⎝ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭lim = 0⎰ 【详解】答案为1+ (1- Q )e -Q ．平均成本C (Q ) = 1+ e-Q，则总成本为C (Q ) = QC (Q ) = Q + Qe-Q，从而边际成本为C '(Q ) = 1+ (1- Q )e -Q .12.设函数 f (x , y ) 具有一阶连续的偏导数，且已知 df (x , y ) = ye y dx + x (1+ y )e y dy ， f (0, 0) = 0 ，则f (x , y ) =【详解】df (x , y ) = ye ydx + x (1+ y )e ydy = d (xye y) ，所以 f (x , y ) = xye y+ C ，由 f (0, 0) = 0 ，得C = 0 ，所以 f (x , y ) = xye y ．⎛ 1 0 1 ⎫ 13 ． 设矩阵 A = 1 1 2 ⎪ ， α ,α ,α 为线性无关的三维列向量， 则向量组 A α , A α, A α 的秩⎪ 0 1 1 ⎪为．1 2 3⎛ 1 0 1 ⎫ ⎛ 1 0 1⎫ ⎛ 1 0 1 ⎫123【详解】对矩阵进行初等变换 A = 1 1 2 ⎪ → 0 1 1⎪ → 0 1 1 ⎪ ，知矩阵 A 的秩为 2，由于0 1 1 ⎪ 0 1 1⎪ 0 0 0 ⎪ α1,α2 ,α3 为线性无关，所以向量组 A α1, A α2 , A α3 的秩为 2．14．设随机变量 X 的概率分布为 P {X = -2} = 1， P {X = 1} = a ， P {X = 3} = b ，若 EX = 0 ，则2DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知a + b + 1= 12EX = -2 ⨯ 1 +1⨯ a + 3⨯ b = a + 3b -1 = 0 ，解得a = 1 , b = 12 4 4EX 2 = 2 + a + 9b = 9 ， DX = EX 2 - E 2 ( X ) = 9．2 2三、解答题15．（本题满分 10 分）求极限 lim⎰0x →0+x - te t dt x 3【详解】令 x - t = u ，则t = x - u , dt = -du ，⎰x - te t dt = ⎰ xue x -u du lim⎰0x - t e t dt e x = limue -u du = lim ⎰0 ue -udu = xe - x 2 x →0+x →0+x →0+x →0+3 x 32x 3x 3x 3x xx x xx ⎰⎰D∑ n 1 1 1y 3计算积分24 2dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线 y 与 x 轴为边界的无界区域．D【详解】y 3+∞xy 3⎰⎰ (1+ x2+ y 4 )2dxdy = ⎰dx ⎰0(1+ x 2+ y 4 )2dy1 +∞x d (1+ x 2 + y 4)4 ⎰0dx ⎰0(1+ x 2+ y 4 )2 = 1 +∞ ⎛ 1 -1 ⎫dx = π ⎛1- 2 ⎫ 4 ⎰0 1+ x 2 1+ 2x 2 ⎪8 2 ⎪17．（本题满分 10 分）⎝ ⎭ ⎝ ⎭nk⎛ k ⎫求 lim n →∞ k =1 n 2 ln 1+ ⎪ ⎝ ⎭【详解】由定积分的定义lim ∑k ln ⎛1+ k ⎫ = lim 1 ∑nk ln ⎛1+ k ⎫ =x ln(1+ x )dxn →∞n2n⎪ n →∞n nn ⎪⎰k =1⎝⎭k =1⎝⎭ = 1 ⎰1 ln(1+ x )dx 2 = 118．（本题满分 10 分）112 0 4已知方程ln(1+ x ) - = k 在区间(0,1) 内有实根，确定常数k 的取值范围． x【详解】设 f (x ) =- , x ∈(0,1) ，则 ln(1+ x ) x' 1 1(1+ x ) ln 2 (1+ x ) - x 2f (x ) = - + (1+ x ) l n 2(1+ x ) x 2x 2(1+ x ) ln 2 (1+ x )令 g (x ) = (1+ x ) ln 2(1+ x ) - x 2，则 g (0) = 0, g (1) = 2 ln 22 -1g '(x ) = ln 2 (1+ x ) - 2 ln(1+ x ) - 2x , g '(0) = 0 g '(x ) =2(ln(1+ x ) - x )< 0, x ∈(0,1) ，所以 g '(x ) 在(0,1) 上单调减少，1+ x由于 g '(0) = 0 ，所以当 x ∈(0,1) 时，g '(x ) < g '0) = 0 ，也就是 g (x ) g '(x ) 在(0,1) 上单调减少，当 x ∈(0,1)时， g (x ) < g (0) = 0 ，进一步得到当 x ∈(0,1) 时， f '(x ) < 0 ，也就是 f (x ) 在(0,1) 上单调减少．lim f (x ) = lim ⎛1- 1 ⎫ = lim x - ln(1+ x ) = 1 ， f (1) =1 -1 ，也就是得到 1 -1 < k < 1 ．++ ⎪ +x →0x →0 ⎝ ln(1+ x ) x ⎭ x →0 x ln(1+ x ) 2ln 2 ln 2 2 = n=∞ （1）证明∑ a x 的收敛半径不小于1．nnnn ∞∞∞a = 1, a = 0, a= 1 (na + a )(n = 1, 2, 3 ), S (x ) ∑ a x n设 01n +1 n +1n n -1 ， 为幂级数n n =0的和函数∞n n n =0（2）证明(1- x )S '(x ) - xS (x ) = 0(x ∈(-1,1)) ，并求出和函数的表达式．【详解】（1）由条件a n +1 =1(na n +1n + a n -1 ) ⇒ (n +1)a n +1 = na n + a n -1 也就得到(n +1)(a - a ) = -(a - a ) ，也就得到a n +1 - a n = - 1, n = 1, 2, n +1 n n n -1 a - a n +1a n +1 - a n = a n +1 - a n ⨯a n - a n -1 n n -1⨯ ⨯ a 2 - a 1 = (-1)n 1a 1 - a 0 a n - a n -1 a n -1 - a n -2 a 1 - a 0(n +1)!也就得到a n +1 - a n = (-1)n +11 (n +1)!, n = 1, 2,nk +11a n +1 = (a n +1 - a n ) + (a n - a n -1 ) + + (a 2 - a 1 ) + a 1 = ∑(-1)k =2ρ = lim n →∞ ≤ lim n →∞ ≤ lim n →∞= 1 ，所以收敛半径 R ≥ 1∞∞（2）所以对于幂级数∑ a xn， 由和函数的性质，可得 S '(x ) =∑ n a xn -1，所以n n =0nn =1(1- x )S '(x ) = (1- x )∑ n a xn -1 = ∑ n a xn -1 - ∑ n a x nn =1n =1 ∞∞n =1= ∑(n +1)a + x n - ∑ n a x nn =0∞n 1nn =1= a 1 + ∑((n +1)a n +1 n =1- na )x n= ∑ a x n = ∑ a x n +1 = x ∑ a x n = xS (x )n =1n -1n =0nnn =0也就是有(1- x )S '(x ) - xS (x ) = 0(x ∈(-1,1)) ．'Ce- x 解微分方程(1- x )S (x ) - xS (x ) = 0 ，得 S (x ) = 1- x，由于 S (0) = a 0 = 1 ，得C = 1e - x 所以 S (x ) =．1- x∞∞∞ na n n1 + 1 + 2! 3! + 1 n ! n e k !⎪ -1 1 -1 1 ⎪ ⎪ 设三阶矩阵 A = (α1,α2 ,α3 ) 有三个不同的特征值，且α3 = α1 + 2α2 . （1）证明： r ( A ) = 2 ；（2）若 β = α1 + α2 ,α3 ，求方程组 Ax = β 的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是r ( A ) ≥ 1．假若 r ( A ) = 1 时， 则 r = 0 是矩阵的二重特征值， 与条件不符合， 所以有 r ( A ) ≥ 2 ， 又因为α3 - α1 + 2α2 = 0 ，也就是α1 ,α2 ,α3 线性相关， r ( A ) < 3 ，也就只有 r ( A ) = 2 ．（2）因为r ( A ) = 2 ，所以 Ax = 0 的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于α3 - α1 + 2α2 = 0 ，所⎛ 1 ⎫以基础解系为 x = 2 ⎪；⎪ ⎝ ⎭又由 β = α + α ,α ⎛1⎫ ，得非齐次方程组 Ax = β 的特解可取为 1⎪ ；123⎪ ⎪ ⎝ ⎭⎛ 1 ⎫ ⎛1⎫方程组 Ax = β 的通解为 x = k 2 ⎪ + 1⎪，其中k 为任意常数．⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭21．（本题满分 11 分）设 二 次 型 f (x , x , x ) = 2x 2- x 2+ ax 2+ 2x x - 8x x + 2x x在 正 交 变 换 x = Qy下 的 标 准 形 为1231231 21 32 3λ y 2 + λ y 2 ，求a 的值及一个正交矩阵Q ．1 12 2⎛ 2 1-4 ⎫ 【详解】二次型矩阵 A =1 -1 1 ⎪⎪ -4 1 a ⎪ ⎝ ⎭因为二次型的标准形为λ y 2 + λ y 2．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以 A = 0 ，故a = 2.1 12 2λ -1 -1 4λ E - A = 1 λ +11 = λ(λ + 3)(λ - 6)4-1λ - 2令 λ E - A = 0 得矩阵的特征值为λ1 = -3, λ2 = 6, λ3 = 0 ．1 ⎪1 ⎪ 1 ⎪ ⎨ ⎩⎩ =通过分别解方程组(λ E - A )x = 0 得矩阵的属于特征值λ = -3 的特征向量ξ =⎛ 1 ⎫ 1 -1⎪ ，属于特征值特 i⎛ -1⎫ 1 1⎛ 1 ⎫3 ⎪ ⎝ ⎭ 征值λ = 6 的特征向量ξ = 1 0 ⎪， λ = 0 的特征向量ξ =1 2 ⎪ ，2 2 2 ⎪ 3⎝ ⎭ 36 ⎪ ⎝ ⎭⎛ 1 - 11 ⎫ 32 6 ⎪ ⎪ 所以Q = (ξ ,ξ ,ξ ) = -10 2 ⎪为所求正交矩阵． 1 2 3 36 ⎪⎪ 1 1 1 ⎪ 3 2 6 ⎪ ⎝⎭22．（本题满分 11 分）设随机变量 X ,Y 相互独立， 且 X 的概率分布为 P {X = 0} = P {X = 2} = 1， Y 的概率密度为2f ( y ) = ⎧2 y , 0 < y < 1．⎨0, 其他（1） 求概率 P （Y ≤ EY ）；（2）求 Z = X + Y 的概率密度． 【详解】（1） EY = +∞122 yf ( y )dy2 y dy = . ⎰-∞ Y⎰0 3 ⎧ 2 ⎫24 所以 P {Y ≤ EY } = P ⎨Y ≤ ⎬ = ⎰ 32 ydy = .⎩ 3 ⎭ 09 （2） Z = X + Y 的分布函数为F Z (z ) = P {Z ≤ z } = P {X + Y ≤ z } = P {X + Y ≤ z , X = 0} + P {X + Y ≤ z , X = 2}= P {X = 0,Y ≤ z } + P {X = 2,Y ≤ z - 2}= 1 P {Y ≤ z } + 1P {Y ≤ z - 2} 2 2 = 1[F (z ) + F (z - 2)]2 YY故 Z = X + Y 的概率密度为f (z ) = F '(z ) = 1[ f (z ) + f (z - 2)] Z Z2⎧z , 0 ≤ z ≤ 1 = ⎪z - 2, 2 ≤ z < 3 23．（本题满分 11 分）⎪0, 其他 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量 μ 是已知的，设X i - μX i - μ 2π 2π Z n1 ∑ n z2 ii =1 1 2 nZ= = n ∑ σ σ = 2σ2 2σ nn nn 次测量结果 X , X , , X 相互独立且均服从正态分布 N (μ,σ 2). 该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 Z i = X i - μ , (i = 1, 2, , n ) ，利用 Z 1 , Z 2 , , Z n 估计参数σ ．（1） 求 Z i 的概率密度；（2） 利用一阶矩求σ 的矩估计量； （3） 求参数σ 最大似然估计量．【详解】（1）先求 Z i 的分布函数为F (z ) = P {Z ≤ z } = P { X- μ ≤ z } = P⎧ ≤z ⎫Zii⎨σσ ⎬当 z < 0 时，显然 F Z (z ) = 0 ；⎩⎭⎧ z ⎫ ⎛ z ⎫当 z ≥ 0 时， F Z (z ) = P {Z i ≤ z } = P { X i - μ ≤ z } = P ⎨ σ ≤ σ ⎬ = 2Φ σ⎪ -1 ； ⎩ ⎭ ⎝ ⎭ ⎧ - z 2 所以 Z 的概率密度为 f (z ) = F ' (z ) = ⎪⎩+∞+∞2σ 2, z ≥ 0 ． 0, z < 02-z 22σ（2）数学期望 EZ i = ⎰ z f (z )dz = ⎰ ze 2σ 2dz = ，0 01 n令 EZ Z Z i ，解得 的矩估计量 i =1 ∑ Z i ． i =1（3）设 Z 1, Z 2 , , Z n 的观测值为 z 1 , z 2 , , z n ．当 z i > 0, i = 1, 2, n 时n12似然函数为 L (σ ) = ∏ f (z i ,σ ) = i =1 - 2 ∑ z ii =1 ，n 1 n 2取对数得： ln L (σ ) = n ln 2 - ln(2π ) - n ln σ - 2 ∑ z ii =1d ln L (σ )n 1n2令= - + d σσ σ 3 ∑ z ii =1 = 0 ，得参数σ 最大似然估计量为σ = ．2πσ 2πσ 2π ( 2πσ )n2n。

2017数学三考研真题2017年数学三考研真题第一部分一、选择题1. 若实数 x 满足方程 $2^x - 2 \cdot 2^{\frac{x}{2}} = 2 - x$，则 x 的值为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 42. 设 A 为规范广义矩阵，B 为n阶主子式不全为零的矩阵，若 AB = I，则 A 的秩为（）。

A. nB. n-1C. n+2D. n+1二、填空题1. 函数 $f(x) = e^x \sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上的最大值为（）。

2. 设 E 为一 N 到 N 的线性变换，E 的矩阵为$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$则 E 的特征值为（）。

三、计算题1. 证明：若 A 是 n 阶矩阵，则 $A + A^T$ 是对称矩阵。

2. 计算极限 $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1})$。

第二部分一、解答题1. 设 X 是二维随机变量，其概率密度函数为$f(x, y) = \begin{cases} kxy, & 0 < x < 1, 0 < y < 2 \\ 0, & othervise \end{cases}$(1) 求常数 k 的值；(2) 求 P(0 < X < 1, 0 < Y < 2) 的概率。

2. 已知函数 $f(x) = x^3$ 在区间 [0, 1] 上的 Fourier 级数展开为 $f(x) \approx \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{(n\pix)}+b_n\sin{(n\pi x)})$，求 $a_0$、$a_n$、$b_n$ 的值。

17年考研数三真题2017年考研数学三真题分为两节，第一节为选择题，第二节为填空题。

本文将对这两部分进行详细分析和解答。

一、选择题解析选择题共15道，涵盖了数学三各个知识点，包括概率论、随机变量、极限等。

下面将分析其中几道典型题目。

1. 题目描述：设随机变量X与Y的概率密度函数分别为fX(x), fY(y)，fX(x) > 0, fY(y) > 0；若对任意函数g(z)有E[g(X)h(Y)] = E[h(Y)]E[g(X)]对任意可测函数h(y)成立，则下列结论正确的是（）。

(A) 随机变量X与Y独立(B) X与Y的相关系数为0(C) fX(x)是常数(D) fY(y)是常数解析：根据题目描述，E[g(X)h(Y)] = E[h(Y)]E[g(X)]，可以得到E[Xh(Y)] = E[h(Y)]E[X]，这满足协方差的定义。

所以X与Y是不相关的，即选项B正确。

2. 题目描述：已知α_1, α_2, α_3是一组两两不相等的实数，设f(x)为下列随机变量的概率密度函数，其中α_i ( i = 1, 2, 3) 为已知常数，则常数a的值为........................（）(A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 16解析：根据题目描述，积分求和必须等于1。

根据已知条件，可列出方程f(x) = a(x - α_1)(x - α_2)(x - α_3) = ax^3 - a(α_1 + α_2 + α_3)x^2 + a(α_1α_2 + α_1α_3 + α_2α_3)x - aα_1α_2α_3。

将上式积分求和，得到∫f(x)dx = a(1/4)x^4 - a(α_1 + α_2 + α_3) / 3 * x^3 + a(α_1α_2 + α_1α_3 + α_2α_3) / 2 * x^2 - aα_1α_2α_3 * x = 1。

根据积分求和结果，可以得到方程组:1/4 = 1- (α_1 + α_2 + α_3) / 3 = 0(α_1α_2 + α_1α_3 + α_2α_3) / 2 = 0-aα_1α_2α_3 = 0解方程组得到α_1α_2α_3 = 0，将其带入最初方程组得到1/4 = 1，解得a = 4。

2017数三考研真题2017数学三考研真题（正文开始）一、选择题考点：数列与级数1. 设等差数列 {$a_n$} 初项为 3，公差为2. 若 $a_9=10$，则$S_{10}+$ 为（）A. 35B. 37C. 40D. 45解析：根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 可知，$a_n=3+2(n-1)=2n+1$。

所以 $a_9=2 \cdot 9 + 1=19$。

由于 $S_n=n(a_1+a_n)/2$，代入公式可得 $S_{10}=10(3+19)/2=110$，所以 $S_{10}+$ 为 $110+10=120$，故选项为 D。

2. 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$，则 $f(x-1)-f(x)$ 的值为（）A. 1B. $x$C. $\dfrac{1}{x}$D. $\dfrac{1}{x(x-1)}$解析：将 $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$ 带入得 $f(x-1)-f(x)=\dfrac{1}{1-(x-1)}-\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{x}$，故选项为 C。

考点：微分3. 曲线 $y=x^3$ 在点 $(2,8)$ 的切线方程为（）A. $y=4x-8$B. $y=4x$C. $y=2x-2$D. $y=2x+4$解析：根据切线的定义，其斜率等于曲线在该点的导数值。

求导得$y'=3x^2$，将 $x=2$ 带入得 $y'=12$。

因此，曲线在点 $(2,8)$ 的切线斜率为 12。

由点斜式得出切线方程为 $y-8=12(x-2)$，即 $y=12x-16$，故选项 A。

考点：概率论与数理统计4. 设随机变量 $X$ 的期望 $E(X)=3$，方差 $Var(X)=4$，则 $E[(X-2)^2-(X+1)^2]$ 的值为（）A. 10B. 11C. 12D. 13解析：根据数理统计的知识，$E(X-2)^2=E(X^2-4X+4)=E(X^2)-4E(X)+4=E(X^2)-12+4=E(X^2)-8$。