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9．2 用样本估计总体班级姓名一、学习目标：(1)了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差及方差．(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．(4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题．二、学习建议：(1)统计图表是统计中的主要工具，学会从图表中提取有关的数据信息、进行统计推断的方法．(2)加强运算能力的培养，统计的数字计算较繁，要有良好的运算习惯，通过统计的复习提高运算能力．三、自主预习1．从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，8.知识链接1：列频率分布表、画频率分布直方图的步骤(1)计算极差，即计算一组数据中的差；(2)决定与；(3)将数据分组；(4)列表；(5)画频率分布直方图．注：①频率分布直方图是用小长方形的来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示的比值，即小长方形面积＝×＝频率；②各组频率的和等于，即所有长方形面积的和等于；③频率分布表在数量表示上比较，但不够、，不利于分析数据分布的；④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的，但是从直方图本身得不出．2．连接频率分布直方图中各个小长方形上端的，就得到频率分布折线图．随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条曲线，统计中称这条曲线为______密度曲线．总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息．2．某公司甲、乙两名职员，自进入公司以来的阶段考核成绩如下：甲的得分：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107；乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.画出两人考核成绩的茎叶图，请根据茎叶图对两人的成绩进行比较．知识链接2：茎叶图的制作方法将所有的两位数的位数字作为茎(若是三位数，则将数字作为茎)，位数字作为叶，若是两组数据，则共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下排列，共茎的叶一般按从大到小或从小到大同行列出．在制作茎叶图时，重复的数字要记录，不能遗漏，特别是叶的部分，同一数据出现几次，就要在图中列出几次3．为了检查一批手榴弹的杀伤半径，抽取了其中20颗做试验，得到这20颗手榴弹的杀伤半径，并列表如下：(1)在这个问题中，总体、个体、样本和样本容量各是什么？(2)求出这20颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数，并估计这批手榴弹的平均杀伤半径．42）其中产量比较稳定的小麦品种是．知识链接3：众数、中位数与平均数(1)众数：一组数据中出现最多的数据叫做众数；(2)中位数：将一组数据从小到大(或从大到小)依次排列，把数据(或的平均数)叫做中位数，中位数把样本数据分成了相同数目的两部分；(3)平均数：x1，x2，…，x n的平均数x＝___________________________注：由于众数仅能刻画某一数据出现的次数较多，对极端值不敏感，而又受极端值左右，因此这些因素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确性．标准差与方差考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝____________________________________________四、当堂检测区1．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(kg )数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图(如图)．根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg 属于偏胖，低于55 kg 属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25,0.20，0.10，0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为 ( ) A ．1000,0.50 B ．800,0.50 C ．800,0.60 D ．1000,0.602用上表分组资料计算病人平均等待时间的估计值3．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为 ( )A .65 B .65C . 2D ．24．观看下面两名选手全垒打数据的茎叶图，对他们的表现进行比较．1961年扬基队外垒手马利斯打破了鲁斯的一个赛季打出60个全垒打的记录．下面是扬基队的历年比赛中的鲁斯和马利斯每年击出的全垒打的比较图：鲁斯 马利斯0 81 3 4 6 52 23 6 8 54 3 3 9 9 7 6 6 1 1 49 4 4 50 6 15．为检测,某种产品的质量,抽取了一个容量为30的样本,检测结果为一级品5件,而极品8件,三级品13件,次品14件.（1）列出样本频率分布表;（2）画出表示样本频率分布的条形图;（3）根据上述结果,估计辞呈商品为二极品或三极品的概率约是多少6．某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的40名学生的身高，其结果如下（单位：cm）（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据落在［150，170］范围内的概率．五、课堂小结：1．众数、中位数、平均数的异同(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，是最重要的量．(2) 的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起的变动，而中位数和众数都不具备此性质．(3)众数考查各数据出现的，当一组数据中有不少数据多次出现时，众数往往更能反映问题．(4)中位数仅与数据的有关，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．2．茎叶图刻画数据的优点(1)所有数据信息都在茎叶图中看到．(2)茎叶图便于记录和表示，且能够展示数据的分布情况．3．利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的相等，由此可以估计中位数的值．(2)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于图中．(3)众数：在频率分布直方图中，众数是的横坐标．9．2 用样本估计总体班级 姓名一、学习目标：(1)了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差及方差．(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．(4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题．二、学习建议：(1)统计图表是统计中的主要工具，学会从图表中提取有关的数据信息、进行统计推断的方法． (2)加强运算能力的培养，统计的数字计算较繁，要有良好的运算习惯，通过统计的复习提高运算能力． 三、自主预习1．从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)： [40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，8.知识链接1：列频率分布表、画频率分布直方图的步骤(1)计算极差，即计算一组数据中__最大值与最小值______的差；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×频率组距＝频率；②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1；③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势；④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．2．连接频率分布直方图中各个小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为______密度曲线．总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息．2．某公司甲、乙两名职员，自进入公司以来的阶段考核成绩如下：甲的得分：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107； 乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.画出两人考核成绩的茎叶图，请根据茎叶图对两人的成绩进行比较．从这个茎叶图上可看出，乙的得分情况是大致对称的，中位数是98；甲的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是88.因此乙成绩比较稳定，总体得分情况比甲好．知识链接2：茎叶图的制作方法将所有的两位数的十位数字作为茎(若是三位数，则将百位，十位数字作为茎)，个位数字作为叶，若是两组数据，则共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下排列，共茎的叶一般按从大到小或从小到大同行列出．在制作茎叶图时，重复的数字要重复记录，不能遗漏，特别是叶的部分，同一数据出现几次，就要在图中列出几次3．为了检查一批手榴弹的杀伤半径，抽取了其中20颗做试验，得到这20颗手榴弹的杀伤半径，并列表如下：(1)在这个问题中，总体、个体、样本和样本容量各是什么？(2)求出这20颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数，并估计这批手榴弹的平均杀伤半径． 解析： (1)总体是要检查的这批手榴弹的杀伤半径的全体；个体是每一颗手榴弹的杀伤半径；样本是所抽取的20颗手榴弹的杀伤半径；样本容量是20．(2)在20个数据中，10出现了6次，次数最多，所以众数是10（米）．20个数据从小到大排列，第10个和第11个数据是最中间的两个数，分别为9（米）和10（米），所以中位数是21（9+10）=9.5（米）． 样本平均数4.9)112311610495817(201=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x （米）所以，估计这批手榴弹的平均杀伤半径约为9.4米．2）其中产量比较稳定的小麦品种是 甲 ．解析：x ¯甲 = 1 5( 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0，x ¯乙 = 1 5( 9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7 + 9.8) = 10.0； s 2甲 = 1 5( 9.82 + … + 10.22) – 102 = 0.02，s 2甲 = 1 5( 9.42 + … + 9.82) – 102= 0.244 > 0.02 ．知识链接3：众数、中位数与平均数(1)众数：一组数据中出现_次数_最多的数据叫做众数；(2)中位数：将一组数据从小到大(或从大到小)依次排列，把_中间_数据(或___中间两数据__的平均数)叫做中位数，中位数把样本数据分成了相同数目的两部分；(3)平均数：x 1，x 2，…，x n 的平均数x ＝___________________________注：由于众数仅能刻画某一数据出现的次数较多，中位数对极端值不敏感，而平均数又受极端值左右，因此这些因素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确性．标准差与方差考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝____________________________________________注：由于众数仅能刻画某一数据出现的次数较多，中位数对极端值不敏感，而平均数又受极端值左右，因此这些因素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确性．四、当堂检测区1．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(kg )数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图(如图)．根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg 属于偏胖，低于55 kg 属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25,0.20，0.10，0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为 ( D ) A ．1000,0.50 B ．800,0.50 C ．800,0.60 D ．1000,0.60[思路] 先求第二小组的频率，结合其频数，就可以得出男生总数，正常体重学生所占频率为第二和第三小组频率之和．[解析] 据题意，得第二小组的频率为1－(0.25＋0.20＋0.10＋0.05)＝0.40，且其频数为400，设高三年级男生总数为n ，则有400n ＝0.40，∴n ＝1000.体重正常的学生所占的频率为第二和第三小组频率之和，即0.20＋0.40＝0.60.2[解答] 等待时间在[0,5)内的4个人的等待总时间的估计值为0＋52×4＝10；等待时间在[5,10)内的8个人的等待总时间的估计值为5＋102×8＝60；同理，其余三个时间段等待总时间的估计值分别为62.5，35,22.5.所以病人平均等待时间的估计值为10＋60＋62.5＋35＋22.54＋8＋5＋2＋1＝9.5(分钟)．3．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为 ( D )A .65 B .65C . 2D ．2 [解析] 由题意知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a ＝－1，所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故选D.4．观看下面两名选手全垒打数据的茎叶图，对他们的表现进行比较．1961年扬基队外垒手马利斯打破了鲁斯的一个赛季打出60个全垒打的记录．下面是扬基队的历年比赛中的鲁斯和马利斯每年击出的全垒打的比较图：鲁斯 马利斯0 81 3 4 6 52 23 6 8 54 3 3 9 9 7 6 6 1 1 49 4 4 50 6 1解析：鲁斯的成绩相对集中，稳定在46左右；马利斯成绩相对发散，成绩稳定在26左右． 5．为检测,某种产品的质量,抽取了一个容量为30的样本,检测结果为一级品5件,而极品8件,三级品13件,次品14件.（1）列出样本频率分布表;（2）画出表示样本频率分布的条形图;（3）根据上述结果,估计辞呈商品为二极品或三极品的概率约是多少(2)样本频率分布的条形图为：(3)此种产品为二极品或三极品的概率约为0.27+0.43=0.7． 点评：条形图中纵坐标一般是频数或频率．6．某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的40名学生的身高，其结果如下（单位：cm ） （1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据落在［150，170］范围内的概率． 解析：（1）根据题意可列出频率分布表： （2）频率分布直方图如下：（3）数据落在［150，170］范围内的概率约为0.825．五、课堂小结：1．众数、中位数、平均数的异同(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动，而中位数和众数都不具备此性质．(3)众数考查各数据出现的频率，当一组数据中有不少数据多次出现时，众数往往更能反映问题．(4)中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．2．茎叶图刻画数据的优点(1)所有数据信息都可以在茎叶图中看到．(2)茎叶图便于记录和表示，且能够展示数据的分布情况．3．利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．(2)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标．。
用样本估算总体
◎ 用样本估算总体的定义
用样本估计总体的两个手段：
（1）用样本的频率分布估计总体的分布；
（2）用样本的数字特征估计总体的数字特征，需要从总体中抽取一个质量较高的样本，才能不会产生较大的估计偏差，且样本的容量越大，估计的结果也就越精确。
◎ 用样本估算总体的知识扩展
用样本估计总体的两个手段：
（1）用样本的频率分布估计总体的分布；
（2）用样本的数字特征估计总体的数字特征，需要从总体中抽取一个质量较高的样本，才能不会产生较大的估计偏差，且样本的容量越大，估计的结果也就越精确。
◎ 用样本估算总体的教学目标
1、通过实例，体会用样本估计总体的思想。
2、能够根据统计结果作出合理的判断和推测，能与同学进行交流，用清晰的语言表达自己的观点。
3、根据有关问题查找资料或调查，用随机抽样的方法选取样本，能用样本的平均数和方差，从而对总体有个体有个合理的估计和推测。
◎ 用样本估算总体的考试要求
能力要求：了解
课时要求：40
考试频率：选考
分值比重：2。
用样本估计总体要用样本估计总体的平均数和方差，首先需要了解一些基本概念和方法。
这篇文章将从样本、总体、样本估计等方面进行讨论，并介绍一些常见的样本估计方法。
1.样本与总体：样本是指从总体中选取的一部分观察值，总体是指研究对象的全部观察值的集合。
通常情况下，我们无法直接获得总体的所有观察值，但可以通过选取一部分样本来对总体进行估计。
2.样本估计：样本估计是通过对样本数据进行分析，得出对总体的一些参数的估计值。
常见的参数包括总体的平均数、方差、比例等。
3.样本的选择：为了保证样本的代表性，需要采用一定的抽样方法。
简单随机抽样是常用的抽样方法之一，它的特点是每个样本被选中的概率相等。
其他常用的抽样方法包括等距抽样、分层抽样等。
4.样本均值的估计：样本均值是用来估计总体均值的一个重要指标。
样本均值的估计值可以通过计算样本观察值的平均数得到。
假设样本的观察值为x1, x2, ..., xn，样本均值的估计公式为：样本均值的估计值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n。
其中，n表示样本容量。
5.样本方差的估计：样本方差是用来估计总体方差的一个重要指标。
样本方差的估计值可以通过计算样本观察值与样本均值之差的平方的平均数得到。
假设样本的观察值为x1, x2, ..., xn，样本方差的估计公式为：样本方差的估计值= ((x1 - 样本均值的估计值)^2 + (x2 - 样本均值的估计值)^2 + ... + (xn - 样本均值的估计值)^2) / (n - 1)。
其中，n表示样本容量。
6.置信区间：在样本估计中，通常需要给出一个区间估计来反映估计值的准确程度。
置信区间是一个包含总体参数真值的区间，置信度表示该区间包含总体参数真值的概率。
置信区间的计算需要考虑样本容量、样本分布以及所选的置信水平等因素。
综上所述，通过样本对总体的平均数和方差进行估计是统计学中常见的问题。
根据样本均值的估计和样本方差的估计公式，可以计算出相应的估计值。
授课主题用样本估计总体教学目标1．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．3．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．4．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题．教学内容1.频率分布直方图（1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；②决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且=极差组距组数；③将数据分组：通常对组内数值所在区间区左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多取一位小数分组．④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以频率组距的值为纵坐标绘制直方图。
（2）频率分布直方图的特点：①==⨯频率小长方形的面积组距频率组距，②个小长方形的面积等于1，③1==频率小长方形的高，所有小长方形的高的和组距组距．（3）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．（4）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线()y f x=来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地n；n①众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量；x的平均数为x，则一组数,,n的平均数为用样本的标准差估计总体的标准差）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述；定义样本方差为222212()()()n x x x x x x s n-+-++-=；简化公式：22222121[()]n s x x x nx n=+++-=2222121()n x x x x n+++-（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方）（4）样本的标准差是方差的算术平方根．样本标准差22212()()()0n x x x x x x s s n-+-++-=≥，．标准差越大数据离散程度越大，数据家分散；标准差越小，数据集中在平均数周围． （5）方差相关结论：①如果一组数12,,,n x x x 的方差为2s ，则一组数12,,,n x a x a x a +++的方差为2s ；②如果一组数12,,,n x x x 的方差为2s ，则一组数12,,,n kx kx kx 的方差为22k s 。
用样本估计总体一、基础知识1．频率分布直方图(1)纵轴表示频率组距，即小长方形的高＝频率组距；(2)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率；(3)各个小方形的面积总和等于1 . 2．频率分布表的画法第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．3．茎叶图茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．4．中位数、众数、平均数的定义(1)中位数将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．(2)众数一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．(3)平均数一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，x n的平均数x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)．5．样本的数字特征如果有n个数据x1，x2，…，x n，那么这n个数的(1)平均数x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)．(2)标准差s＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2].(3)方差s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]．二、常用结论1．频率分布直方图中的常见结论(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．2．平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，…，x n的平均数为x，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mx n＋a的平均数是m x＋a.(2)若数据x1，x2，…，x n的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b 的方差为a2s2.考点一茎叶图[典例](优质试题·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为()A．3,5B．5,5C．3,7 D．5,7[解析]由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它们的平均值相等，所以15×[56＋62＋65＋74＋(70＋x )]＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x ＝3.[答案] A[解题技法] 茎叶图的应用(1)茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．(2)给定两组数据的茎叶图，比较数字特征时，“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．[专题训练]1.在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图可知该组数据的极差为48－20＝28，则该组数据的中位数为61－28＝33，易得被污染的数字为2.2.甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的原始记录如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均得分分别为x 甲，x 乙，则下列结论正确的是( )A.x 甲＜x 乙；乙比甲得分稳定B.x 甲＞x 乙；甲比乙得分稳定C.x 甲＞x 乙；乙比甲得分稳定D.x 甲＜x 乙；甲比乙得分稳定解析：选A因为x甲＝2＋7＋8＋16＋225＝11，x乙＝8＋12＋18＋21＋255＝16.8，所以x甲＜x乙且乙比甲成绩稳定．考点二频率分布直方图[典例]某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数．[解](1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，解得x＝0.007 5.即直方图中x的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5)×20＝0.7＞0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内．设中位数为a，则0.45＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位数为224.[变透练清]1．某校随机抽取20个班，调查各班有出国意向的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以5为组距将数据分组为[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，所作的频率分布直方图是()解析：选A以5为组距将数据分组为[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，各组的频数依次为1,1,4,2,4,3,3,2，可知画出的频率分布直方图为选项A中的图．2.(变结论)在本例条件下，在月平均电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取________户．解析：月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)．同理可得月平均用电量在[240,260)的用户有15户，月平均用电量在[260,280]的用户有10户，月平均用电量在[280,300]的用户有5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝1 5.所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．答案：53．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]6组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万．理由如下：由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000＝3.6(万)．考点三样本的数字特征考法(一)样本的数字特征与频率分布直方图交汇[典例](优质试题·辽宁师范大学附属中学模拟)某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是()A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8[解析]第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为25＋x，则x×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，∴x＝1.25，∴中位数为26.25，故A错误；第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故B 错误；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，∴超过30次的人数为400×0.2＝80，故C正确；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，∴1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为400×0.1＝40，故D错误．故选C.[答案] C[解题技法]频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．考法(二)样本的数字特征与茎叶图交汇[典例]将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为________.[解析] 由茎叶图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367. [答案] 367[解题技法]样本的数字特征与茎叶图综合问题的注意点(1)在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．(2)茎叶图既可以表示两组数据，也可以表示一组数据，用它表示的数据是完整的数据，因此可以从茎叶图中看出数据的众数(数据中出现次数最多的数)、中位数(中间位置的一个数，或中间两个数的平均数)等．考法(三) 样本的数字特征与优化决策问题交汇[典例] (优质试题·周口调研)甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示．(1)请填写下表(写出计算过程)：(2)①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．[解]由题图，知甲射击10次中靶环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.将它们由小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射击10次中靶环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.将它们由小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.(1)x甲＝110×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7(环)，x乙＝110×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7(环)，s2甲＝110×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝110×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，s2乙＝110×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝110×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.填表如下：(2)①∵平均数相同，s2甲＜s2乙，∴甲成绩比乙稳定．②∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些．③∵甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，∴乙更有潜力．[解题技法]利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．[专题训练]1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本中的中位数、众数、极差分别是()A．46,45,56B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53解析：选A样本共30个，中位数为45＋472＝46；显然样本数据出现次数最多的为45，故众数为45；极差为68－12＝56，故选A.2．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：() A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选C由表格中数据可知，乙、丙平均环数最高，但丙方差最小，说明成绩好，且技术稳定，选C.3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个进行检测，如图是根据抽样检测得到的零件的质量(单位：克)绘制的频率分布直方图，样本数据按照[80,82)，[82,84)，[84,86)，[86,88)，[88,90)，[90,92)，[92,94)，[94,96]分成8组，将其按从左到右的顺序分别记为第一组，第二组，……，第八组．则样本数据的中位数在第________组．解析：由题图可得，前四组的频率为(0.037 5＋0.062 5＋0.075 0＋0.100 0)×2＝0.55，则其频数为40×0.55＝22，且第四组的频数为40×0.100 0×2＝8，故中位数在第四组．答案：四[课时跟踪检测]A级1．一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,60)内的数据个数为()A．14B．15C．16 D．17解析：选B由题意，样本中数据在[20,60)上的频数为30×0.8＝24，所以估计样本在[40,60)内的数据个数为24－4－5＝15.2．(优质试题·长春质检)如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D①由图可知一班每次考试的平均成绩都在年级平均成绩之上，故①正确．②由图可知二班平均成绩的图象高低变化明显，可知成绩不稳定，波动程度较大，故②正确．③由图可知三班平均成绩的图象呈上升趋势，并且图象的大部分都在年级平均成绩图象的下方，故③正确．故选D.3．(优质试题·贵阳检测)在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是()A．15 B．18C．20 D．25解析：选A根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，∵频数是40，∴样本容量是400.4＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A.4.优质试题年4月，泉州有四处湿地被列入福建省首批重要湿地名录，某同学决定从其中A，B两地选择一处进行实地考察．因此，他通过网站了解上周去过这两个地方的人对它们的综合评分，并将评分数据记录为右图的茎叶图，记A，B两地综合评分数据的均值分别为x A，x B，方差分别为s2A，s2B.若以备受好评为依据，则下述判断较合理的是()A．因为x A＞x B，s2A＞s2B，所以应该去A地B．因为x A＞x B，s2A＜s2B，所以应该去A地C．因为x A＜x B，s2A＞s2B，所以应该去B地D．因为x A＜x B，s2A＜s2B，所以应该去B地解析：选B因为x A＝16×(72＋86＋87＋89＋92＋94)≈86.67，x B＝16×(74＋73＋88＋86＋95＋94)＝85，s 2A ≈16[(72－86.67)2＋(86－86.67)2＋(87－86.67)2＋(89－86.67)2＋(92－86.67)2＋(94－86.67)2]≈50.56，s 2B ＝16[(74－85)2＋(73－85)2＋(88－85)2＋(86－85)2＋(95－85)2＋(94－85)2]＝76，所以x A ＞x B ，s 2A ＜s 2B (A 数据集中，B 数据分散)，所以A 地好评分高，且评价稳定．故选B.5．(优质试题·青岛三中期中)已知数据x 1，x 2，…，x n 的平均数x ＝5，方差s 2＝4，则数据3x 1＋7,3x 2＋7，…，3x n ＋7的平均数和标准差分别为( )A ．15,36B ．22,6C ．15,6D ．22,36解析：选B ∵x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为5，∴x 1＋x 2＋…＋x n n ＝5，∴3x 1＋3x 2＋…＋3x n n ＋7＝3(x 1＋x 2＋…＋x n )n＋7＝3×5＋7＝22.∵x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为4，∴3x 1＋7,3x 2＋7,3x 3＋7，…，3x n ＋7的方差是32×4＝36，故数据3x 1＋7,3x 2＋7，…，3x n ＋7的平均数和标准差分别为22,6，故选B.6．(优质试题·江苏高考)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．解析：这5位裁判打出的分数分别是89,89,90,91,91，因此这5位裁判打出的分数的平均数为89＋89＋90＋91＋915＝90. 答案：907．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．解析：设被抽查的美术生的人数为n，因为后2个小组的频率之和为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5,15,25，所以n＝5＋15＋250.75＝60.答案：608．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．解析：由题意知这组数据的平均数为10，方差为2，可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8得t2＝4，所以|x－y|＝2|t|＝4.答案：49．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；。
