振动频谱中一倍频振动增大的原因分析据统计有19%的设备振动来

100种常用计量单位换算系数表一、长度S1基本单位：米（m）1（市）尺=1/3 m1埃= 10-10 m1费密= 10-15 m1码= 9.144000 × 10-1 m1英寸= 2.540000 × 10-2 m1英尺= 3.048000 × 10-1 m1英里= 1.609344 × 103 m1海里= 1.852000 × 103 m1光年= 9.46055 × 1015 m1µ = 10-6 m1密耳= 2.540000×10-5 m二、面积S1导出单位：平方米（m2）1公亩= 102 m21公顷= 104 m21靶恩= 10-28 m21英亩= 4.04686 × 103m21平方码= 8.361274 × 10-1 m2三、体积、容积S1导出单位：立方米（m3）1升= 10-3 m31桶（石油业）= 1.589873 × 10-1 m31蒲式耳（美）= 3.523907 × 10-2 m31加仑（英）= 4.546092 × 10-3m31加仑（美）= 3.785412 × 10-3m31液盎司（美）= 2.957353 × 10-5m31液盎司（英）= 2.841307 × 10-5m31立方英寸= 1.638706 × 10-5m31立方英尺= 2.831685 × 10-2 m31立方码= 7.645549 × 10-1 m3四、质量、重量S1基本单位：千克（公斤）（kg）1（市）斤= 0.5 kg1吨= 103 kg1原子质量单位≈ 1.66 × 10-27kg1（米制）克拉= 2 × 10-4kg1盎司（常衡）= 2.834952 × 10-2kg1盎司（金衡、药衡）= 3.110348 × 10-2kg1磅（常衡）= 4.535920 × 10-1kg1磅（金衡、药衡）= 3.732417 × 10-1kg1斯勒格= 1.459390 × 10 kg1英吨（长）= 1.016047 × 103kg1英吨（短）= 0.9071847 × 103kg五、时间S1基本单位：秒（S）1分= 60 S1（小）时= 3600 S1 天= 86400 S以上秒、分、时、天均以平均太阳日计算。

四年级（下）兴趣班第一讲定义新运算班级姓名得分一、讲解例题例1、“☉”表示一种新的运算，它是这样定义的：a☉b＝a×b－（a＋b）。

求：（1）3☉5；（2）（3☉4）☉5。

例2、如果m、n分别表示两个数，定义m△n＝（m＋n）÷5，那么5△（10△15）等于多少呢？例3、若a◇b表示当a大于b时是用2a减去b，当a小于b时是用2b减去a。

求（6◇9）◇（10◇5）。

二、思考与练习1．设a*b＝4×a－5×b，求：（1）7*5；（2）（5*3）*22．如果a*b表示a×b－a＋b，计算2*（4*6）*8的值。

3．定义新运算，x□y为：x和y加起来再除以4，求：(1)19□17的值；(2)2□（3□5）的值。

4．对于数x、y定义运算☉及△如下：x☉y＝3×x＋2×y，x△y＝3×x×y，求（2☉3）△4。

5.假设5※2＝5×4,7※4＝7×6×5×4，求10※5的值。

6.两个整数a和b，a除以b的余数记为a⊕b。

例如，13⊕5＝3。

根据这样定义的运算，（26⊕9）⊕4等于几？7.规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5＝5,3 5＝3。

请计算下式：[（70 3）△5]×[5 （3△7）]。

8.有A、B、C、D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。

装置A：将输入的数加上5；装置B：将输入的数除以2；装置C：将输入的数减去4；装置D：将输入的数乘3。

这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3。

输入9，经过A·B·C·D，输出几？。

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数字推理1--12第一期：【1】1/2，1，1，()，9/11，11/13A.2B.3C.1D.7/9【2】95，88，71，61，50，()A.40B.39C.38D.37【3】4，2，2，3，6，()A.6B.8C.10D.15【4】1，7，8，57，()A.123B.122C.121 D、120【5】4，12，8，10，()A.6B.8C.9D.24参考答案：【1】1/2，1，1，(C)，9/11，11/13 A.2 B.3 C.1 D.7/91/25/57/79/1111/13【2】95，88，71，61，50，( A )A.40B.39C.38D.3795-9-5=8188-8-8=7271-7-1=6361-6-1=5450-5-0=4540-4-0=36【3】4，2，2，3，6，(D)A.6B.8C.10D.15B/A=1/213/225/2【4】1，7，8，57，( C )A.123B.122C.121 D、1202 A^2+B=C 【5】4，12，8，10，( C )A.6B.8C.9A+B)/2=C第二期：1. 157 ，65 ，27 ，11 ，5，（）A．4 B.3 C.2 D.12. -26，6，2，4，６，（）A．8 B. 12 C. 20 D. 103. 0，1，4，15，56，（）A.203B.205C.207D.2094.3/2 , 8/11 , 27/35 ，( )A. 89/116B. 75/116C. 39/74D. 105/745.1234，1360,1396，2422, 2458，( )A.2632B. 2584C.2864D.2976参考答案：1.Ｄ解析：第一项等于第二项乘以２加第三项，依次类推。

（选自08年国考第41题。

）2.Ｄ解析：多次方数列变式。

(-3)3+1=-26(-2)2+2=6(-1)3+3=202+4=422+6=（10）3. C解析：(1-0)×5-1=4，(4-1) ×5+0=15，（15-4) ×5+1=56，(56-15) ×5+2=207另解：1*4-0=44*4-1=1515*4-4=5656*4-15=209有的同学是这么算的，个人认为是可以的，故做一个补充。

GB/T 1.1-2009 标准化工作导则第1部分：标准的结构和编写（摘要）6.1.1 封面封面为必备要素，它应给出标示标准的信息，包括：标准的名称、英文译名、层次（国家标准为“中华人民共和国国家标准”字样）、标志、编号、国际标准分类号（ICS号）、中国标准文献分类号、备案号（不适用于国家标准）、发布日期、实施日期、发布部门等。

如果标准代替了某个或几个标准，封面应给出被代替标准的编号；如果标准与国际文件的一致性程度为等同、修改或非等效，还应按照GB/T 20000.2的规定在封面上给出一致性程度标识。

标准征求意见稿和送审稿的封面显著位置应按附录C中C.1的规定，给出征集标准是否设计专利的信息。

6.1.2 目次目次为可选要素。

为了显示标准的结构，方便查阅，设置目次是必要的。

目次所列的各项内容和顺序如下：a) 前言；b) 引言；c) 章；d) 带有标题的条（需要时列出）；e) 附录；f) 附录中的章（需要时列出）；g) 附录中的带有标题的条（需要时列出）；h) 参考文献；i) 索引；j) 图（需要时列出）；k) 表（需要时列出）；目次不应列出“术语和定义”一章中的术语。

电子文本的目次应自动生成。

6.1.3 前言前言为必备要素，不应包含要求和推荐，也不应包含公示、图和表。

前言应视情况依次给出下列内容：a)标准结构的说明。

对于系列标准或分部分标准，在第一项标准或第1部分中说明标准的预计结构；在系列标准的每一项标准或分部分标准的每一部分中列出所有已经发布或计划发布的其他标准或其他部分的名称。

b)标准编制所依据的起草规则，提及GB/T 1.1。

c)标准代替的全部或部分其他文件的说明。

给出被代替的标准（含修改单）或其他文件的编号和名称，列出与前一版本相比的主要技术变化。

d)与国际文件、国外文件关系的说明。

以国外文件为基础形成的标准，可在前言中陈述或相应文件的关系。

与国际文件的一致性程度为等同、修改或非等效的标准，应按照GB/T 20000.2的有关规定陈述与对应国际文件的关系。

高等数学同济第八版第一章考试试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y = √(9 - x^2) + (1)/(√(x - 1))的定义域是（）A. (1,3]B. [ - 3,3]C. (1,9]D. [1,3]2. 设f(x)=<=ft{begin{array}{ll}x^2,x≤slant 0 sin x,x > 0end{array}right.，则f(0)等于（）A. 0.B. 1.C. -1D. 不存在。

3. 函数y = (1)/(x - 1)在区间(1,2)内是（）A. 单调递增且有界。

B. 单调递增且无界。

C. 单调递减且有界。

D. 单调递减且无界。

4. lim_x→1frac{x^2-1}{x - 1}=（）A. 0.B. 1.C. 2.D. 不存在。

5. lim_x→∞(1+(1)/(x))^2x=（）A. eB. e^2C. (1)/(e)D. (1)/(e^2)6. 当x→0时，与x是等价无穷小的是（）A. sin^2xB. tan xC. ln(1 + x)D. 1-cos x7. lim_x→0(sin 3x)/(kx)= 2，则k=（）A. (3)/(2)B. (2)/(3)C. (1)/(2)D. (1)/(3)8. 函数y = f(x)在点x = a处连续是f(x)在点x = a处可导的（）A. 充分必要条件。

B. 充分非必要条件。

C. 必要非充分条件。

D. 既非充分也非必要条件。

9. 设y = lncos x，则y^′=（）A. tan xB. -tan xC. cot xD. -cot x10. 设y = x^e+e^x+ln x + e，则y^′=（）A. ex^e - 1+e^x+(1)/(x)B. x^e+e^x+(1)/(x)C. ex^e+e^x+(1)/(x)D. e^x+e^x+(1)/(x)二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数y = (√(x + 1))/(x - 1)的间断点是______。

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系（第1课时）一、教学目标【知识与技能】掌握直线和圆的三种位置关系及其数量间的关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法.【过程与方法】通过生活中的实例，探求直线和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想.【情感态度与价值观】在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.二、课型新授课三、课时第1课时，共3课时。

四、教学重难点【教学重点】直线与圆的三种位置关系及其数量关系.【教学难点】通过数量关系判断直线与圆的位置关系.五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？（出示课件2）解决这个问题要研究直线和圆的位置关系．（板书课题）（二）探索新知探究一用公共点个数判断直线与圆的位置关系教师问：如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？（出示课件4）学生交流，回答问题：有三种位置关系.教师问：如图，在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环移动的过程中，它与直线l的公共点的个数吗？（出示课件5）学生交流，回答问题：0个，1个，2个.教师问：请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？（出示课件6）学生交流，回答问题：公共点个数最少时0个，公共点个数最多时2个.出示课件7：教师展示切割钢管过程，学生观察并填表.出示课件8：填一填：（教师引导学生构建并填写表格，帮助学生理清知识脉络）教师归纳：（出示课件9）直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.练一练：判断正误.（出示课件10）（1）直线与圆最多有两个公共点.（2）若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.（3）若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切.（4）若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离.（5）直线a和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交.学生独立思考后口答：⑴√⑵×⑶×⑷×⑸×探究二用数量关系判断直线与圆的位置关系教师问：同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？（出示课件11）学生讨论，归纳总结答案，并由学生代表回答问题.教师问：怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？（出示课件12）学生讨论，归纳总结答案后教师归纳：根据直线和圆相交、相切、相离的定义：直线和⊙O d＜r；直线和⊙O d＞r；直线和⊙O d = r.教师演示：根据直线和圆相切的定义，经过点A用直尺近似地画出⊙O的切线.（出示课件13）学生根据教师演示进行操作.教师归纳：（出示课件14）直线和⊙O d＜r 两个直线和⊙O d＞r 0个直线和⊙O d=r 1个位置关系公共点个数出示课件15-17：例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2cm；(2)r=2.4cm；(3)r=3cm．教师分析：要了解AB 与⊙C 的位置关系，只要知道圆心C 到AB 的距离d 与r 的关系．已知r ，只需求出C 到AB 的距离d.师生共同解决如下：解：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D.在△ABC 中，==5（cm ）.根据三角形的面积公式有1122CD AB AC BC ⨯=⨯.∴342.4(cm),5AC BC CD AB ⨯⨯===即圆心C 到AB 的距离d=2.4cm.所以(1)当r=2cm 时,有d>r,因此⊙C 和AB 相离.(1) （2） （3） （2）当r=2.4cm 时,有d=r ，因此⊙C 和AB 相切. （3）当r=3cm 时，有d<r ，因此⊙C 和AB 相交. 巩固练习：（出示课件18-20）1.Rt △ABC,∠C=90°AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心画圆，当半径r 为何值时，圆C 与直线AB 没有公共点？学生独立思考后独立解答.解：当0cm＜r＜2.4cm或r＞4cm时,⊙C与线段AB没有公共点.2.Rt△ABC,∠C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？学生独立思考后独立解答.解：当r=2.4cm或3cm＜r≤4cm时,⊙C与线段AB有一个公共点.当2.4cm＜r≤3cm时,⊙C与线段AB有两公共点.3.圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是（1）4.5cm ；（2）6.5cm；（3）8cm；那么直线与圆分别是什么位置关系？有几个公共点？学生独立思考后一生板演.解：如图所示.（1）圆心距d=4.5cm＜r=6.5cm时，直线与圆相交，有两个公共点；（2）圆心距d=6.5cm=r=6.5cm时，直线与圆相切，有一个公共点；（3）圆心距d=8cm＞r=6.5cm时，直线与圆相离，没有公共点.出示课件21：例2 如图，Rt △ABC 的斜边AB=10cm,∠A=30°.学生独立思考后师生共同解答. 解：过点C 作边AB 上的高CD. ∵∠A=30°，AB=10cm,15cm.2BC AB ==在Rt △BCD 中，有1 2.5cm,2BD BC CD ====时，AB 与☉C 相切. 巩固练习：（出示课件22）如图，已知∠AOB=30°，M 为OB 上一点，且 OM=5cm ，以M 为圆心、r 为半径的圆与直线OA 有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2cm ；(2)r=4cm ；(3)r=2.5cm.学生思考后自主解答.解：(1)相离；(2)相交；(3)相切. （三）课堂练习（出示课件23-29）1.已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O 的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定2.已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为________．3.看图判断直线l与☉O的位置关系？4.直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（）A.r<5B.r>5C.r=5D.r≥55.☉O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与☉O______.6.☉O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与☉O的位置关系是（）A.相交或相切B.相交或相离C.相切或相离D.上三种情况都有可能7.如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为( )A．(－1，－2) B．(1，2)C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)8.已知☉O的半径r=7cm,直线l1//l2,且l1与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.参考答案：1.B2.13m0<<23.解:⑴相离；⑵相交；⑶相切；⑷相交；⑸相交.4.B5.相离6.A7.A8.解：（1）l2与l1在圆的同一侧：m=9-7=2cm；（2）l2与l1在圆的两侧：m=9+7=16cm.（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（24.2.2第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课从生活中的常见情况引出了直线和圆的位置关系，并且从两个不同方面去判定直线与圆的三种关系，让学生讨论并归纳总结常用的直线和圆位置关系的判定方法，让学生领会该判定方法的实质是看直线到圆心的距离与半径的大小.对于该判定方法，学生一般能够熟记图形，以数形结合的方法理解并记忆.。

圆周角、圆内接四边形【十大题型】【题型1 圆周角的运用】 ................................................................................................................................... 2 【题型2 圆内接四边形的运用】........................................................................................................................ 6 【题型3 利用圆的有关性质求值】 ................................................................................................................... 11 【题型4 利用圆的有关性质进行证明】 ...........................................................................................................16 【题型5 翻折中的圆的有关性质的运用】 .......................................................................................................24 【题型6 利用圆的有关性质求最值】 ...............................................................................................................29 【题型7 利用圆的有关性质求取值范围】 .......................................................................................................34 【题型8 利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】 ....................................................................................38 【题型9 利用圆的有关性质判断多结论问题】 ................................................................................................46 【题型10 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】 . (52)【知识点1 圆周角定理及其推论】O 的直径AB 所对的圆周角O 的直径【题型1 圆周角的运用】【例1】（2023春·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，⊙O的直径是AB，∠BPQ=45°，圆的半径是4，则弦BQ的长是（）．A．4√3B．4√2C．2√3D．2√2【答案】B【分析】如图：连接AQ，由圆周角定理可得∠BAQ=∠BPQ=45°、∠AQB=90°，然后再说明AQ=QB，最后根据勾股定理即可解答．【详解】解：如图：连接AQ，∵∠BPQ=45°，∴∠BAQ=∠BPQ=45°，∵⊙O的直径是AB，圆的半径是4，∴∠AQB=90°，AB=8∴∠ABQ=90°−∠QAB=45°，∴∠ABQ=∠QAB=45°，∴AQ=QB,∵AB=√AQ2+BQ2=√2BQ2，∴8=√2BQ2，解得：BQ=4√2．故选B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理成【变式1-1】（2023春·广西玉林·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，已知AB=4，CD=1，∠B=55°，∠C=65°，则BC=．【答案】√13【分析】连接BD，先由三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据直径所对圆周角为直角，进而求出∠ABD= 30°，即有AD=1AB=2，灵活运用勾股定理即可作答．2【详解】解：连接BD，如图，∵在△ABC中，∠B=55°，∠C=65°，∴∠A=60°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠CDB=90°，∴在△ABD中，∠ABD=30°，∵AB=4，AB=2，∴AD=12∴在Rt△ABD中，BC=√CD2+BD2=√13，故答案为：√13．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理，含30°角直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理【变式1-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，△ABC内接于☉O，AC=BC，连接OB，若∠C=52°，则∠OBC的度数为．【答案】26°/26度【分析】延长BO交⊙O于点E，连接CE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ECB=90°，从而可得∠ECA= 48°，进而利用同弧所对的圆周角相等可得∠ECA=∠EBA=48°，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A=∠ABC=64°，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．【详解】解：延长BO交⊙O于点E，连接CE，如图，∵BE是⊙O的直径，∴∠ECB=90°，∵∠ACB=52°，∴∠ECA=∠ECB−∠ACB=38°，∴∠EBA=∠ECA=38°，∵AC=BC，（180°−∠ACB）=64°，∴∠A=∠ABC=12∴∠OBC=∠ABC−∠ABE=64°−38°=26°，故答案为：26°．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助【变式1-3】（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，AB为半圆的直径，AB=10，点O到弦AC的距离为4，点P从出发沿BA方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP，当△APC为等腰三角形时，点P运动的时间是()A．145或4B．145或5C．4或5D．145，4或5【答案】D【分析】过点O作OD⊥AC于点D，根据垂径定理，以及勾股定理求得AC的长，然后分三种情形讨论，分别求得PB的长，即可求解．【详解】解：如图所示，过点O作OD⊥AC于点D，∴AD=DC，在Rt△ADO中，AO=5,OD=4，∴AD=√AO2−DO2=3，∴AC=2AD=6，①当CP=CA时，如图，过点C作CE⊥AB于点E，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵D是AC的中点，O是AB的中点，∴BC=2OD=8∴CE =AC×BC AB=6×810=245，在Rt △ACE 中，AE =√AC 2−CE 2=185，∵AE =PE ， ∴BP =AB −2AE =145，∴t =145(s)，②当PA =PC 时，则点P 在AC 的垂直平分线上，所以点P 与点O 重合，PB =5，此时t =5(s)； ③当AP =AC =6时，PB =AB −AP =4，此时t =4(s)， 综上所述，t =145或4或5，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，垂径定理、等腰三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．【知识点2 圆内接四边形】 【题型2 圆内接四边形的运用】【例2】（2023春·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，在△ABC 中，AB =AC ．⊙O 是△ABC 的外接圆，D 为弧AC 的中点，E 为BA 延长线上一点．(1)求证：∠B =2∠ACD ；(2)若∠ACD =35°，求∠DAE 的度数．四边形O 的内接四边形︒(2)∠DAE =105°【分析】（1）证明AC⌢=2AD ⌢，可得∠B =2∠ACD ； （2）先求解∠B =70°，可得∠BCD =70°+35°=105°，再利用圆的内接四边形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵D 为弧AC 的中点， ∴AD⌢=CD ⌢，AC ⌢=2AD ⌢， ∴∠B =2∠ACD ；（2）∵∠ACD =35°，∠B =2∠ACD ， ∴∠B =2×35°=70°， ∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB =70°， ∴∠BCD =70°+35°=105°， ∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴∠BAD =180°−∠BCD =75°， ∴∠EAD =180°−75°=105°．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质，熟记圆周角定理与圆的内接四边形的性质并灵活应用是解本题的关键．【变式2-1】（2023春·陕西西安·ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 是⊙O 的直径，连接AE ，若∠BCD =2∠BAD ，若连接OD ，则∠DOE 的度数是（ ）A ．30°B ．35°C ．45°D ．60°【答案】D【分析】根据内接四边形的性质，得到∠BCD +∠BAD =180°，进而得到∠BAD =60°，再根据圆周角定理得到∠BOD =120°，即可求出∠DOE 的度数．∵∠BCD=2∠BAD，∴∠BAD=60°，∴∠BOD=120°，∴∠DOE=180°−∠BOD=60°，故选D．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握内接四边形的对角互补，以及一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题关键．【变式2-2】（2023春·浙江·九年级期中）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E=α，∠F=β，且α≠β，则∠A=（用含有a、β的代数式表示）．.【答案】180°−α−β2【分析】连接EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2∠A+∠AEB+∠AFD+∠1+∠2=180°,即2∠A+α+β= 180°，再解方程即可．【详解】解：连接EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∴∠A=180°−α−β．2.故答案为：180°−α−β2【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【变式2-3】（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于D且OD∥BC，⊙O交BC于点E．(1)求证：CD=DE；(2)若AB=12，AD=4，求CE的长度．【答案】(1)证明见解析(2)83【分析】（1）由四边形ABED内接于⊙O，得出∠DEC=∠A，根据已知OD∥BC，得出∠C=∠ADO，又OA=OD，得出∠A=∠ADO，等量代换得出∠C=∠DEC，根据等角对等边，即可得证；（2）根据AB为直径，得出∠AEB=90°，根据已知以及（1）的结论，得出AC=2AD=8，AB=BC=12，设CE=x，则BE=12−x，在Rt△ACE,Rt△ABE中，根据AE相等，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠DEB+∠A=180°，又∠DEB+∠DEC=180°∴∠DEC=∠A，∴∠C=∠ADO，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠C=∠DEC，∴CD=DE；（2）解：如图所示，连接AE，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∴∠CAE+∠C=90°，∠AED+∠DEC=90°，由（1）CD=DE，∠C=∠DEC，∴∠CAE=∠AED，∴AD=DE，∴AD=DC，∴AC=2AD=8，由（1）可得∠BAC=∠ADO，∠C=∠ADO，则∠C=∠BAC，∴AB=BC=12，设CE=x，则BE=12−x，∵AC2−CE2=AB2−BE2，，∴82−x2=122−(12−x)2，解得：x=83∴CE=8．3【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性质与判【题型3 利用圆的有关性质求值】【例3】（2023春·四川德阳·九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F．连接BF，CF，若∠EDC=135°，AE=2，BE=4，则CF的值为（）．A．√10B．2√2C．2√3D．3【答案】A【分析】由四边形BCDE内接于⊙O知∠EFC=∠ABC=45°，据此得AC=BC，由EF是⊙O的直径知∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°及∠BCF=∠ACE，再根据四边形BECF是⊙O的内接四边形知∠AEC=∠BFC，从而证△ACE≌△BCF得AE=BF，根据Rt△ECF是等腰直角三角形知EF2=20，继而可得答案．【详解】∵四边形BCDE内接于⊙O，且∠EDC=135°，∴∠EFC=∠ABC=180°−∠EDC=45°，∵∠ACB=90°，∴△ABC是等腰三角形，∴AC=BC，又∵EF是⊙O的直径，∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，∴∠BCF=∠ACE，∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，∴∠AEC=∠BFC，∴△ACE≅△BFC(ASA)，∴AE=BF，Rt△BEF中，EF2=BF2+BE2=BE2+AE2=42+22=20，Rt△ECF中，∠EFC=45°，∴CE=CF，∴CE2+CF2=2CF2=EF2=20，∴CF2=10，∴CF=√10，故选:A．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质及勾股定理．【变式3-1】（2023春·湖南长沙·九年级统考期末）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠B=50°，则∠D的度数为（）A．20°B．50°C．40°D．25°【答案】A【分析】连接OC【详解】连接OC，∵OA⊥BC，∠B=50°，∴∠AOB=90°−50°=40°，∠AOB=∠AOC=40°，∴∠D=1∠AOC=20°，2故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握定理是解题的关键．【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期中）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD⊥BC，垂足为点D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连接BE．(1)求证：BE=BF；(2)若AB=10，BF=5，求EF:AF的值．【答案】(1)见解析(2)2:3【分析】（1）根据圆心角定理得到∠ABE=90°，根据等角的余角相等证明结论；（2）过点B作BH⊥EA，根据勾股定理求出AE，根据三角形面积公式求出BH，根据勾股定理计算即可．【详解】（1）∵直径AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∠ABE=90°∴∠BAE+∠AEB=90°，∵AD⊥BC，∴∠DAE+∠AFD=90°，∴∠AEB=∠AFD∵∠AFD=∠BFE，∴∠BFE=∠BEF，∴BE=BF．（2）过点B作BH⊥EA，在RtΔEBA中，根据勾股定理得EA=√BE2+BA2=5√5∵BE⋅BA2=EA⋅BH2∴BH=2√5在RtΔBHE中，根据勾股定理得EH=√BE2−BH2=√5∵BE=BF，BH⊥EA∴EF=2√5∴AF=3√5∴EF:AF=2:3．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和勾股定理，掌握圆周角定理，等腰三角形的知识是解题的关键．【变式3-3】（2023春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图1，四边形ADBC内接于⊙O，E 为BD延长线上一点，AD平分∠EDC.(1)求证：AB=AC；(2)若△ABC为等边三角形，则∠EDA=度；（直接写答案）(3)如图2，若CD为直径，过A点作AE⊥BD于E，且DB=AE=2，求⊙O的半径.【答案】(1)见解析(2)60(3)√5【分析】（1）根据角平分线的定义∠EDA=∠ADC，再根据圆内接四边形的任一外角等于它的内对角以及圆周角定理证得∠ABC=∠ACB，进而利用等腰三角形的判定可得结论；（2）根据等边三角形的性质和圆内接四边形的任一外角等于它的内对角得到∠EDA =∠ACB 即可求解；（3）先根据等弦对等弧和垂径定理的推论得到AH ⊥BC ，BH =CH ，再证明四边形AEBH 是矩形，得到BH =AE ，进而求得BC =4，在Rt △DBC 中利用勾股定理求得CD =2√5可求解．【详解】（1）证明：∵AD 平分∠EDC ，∴∠EDA =∠ADC ，∵四边形ADBC 是圆⊙O 内接四边形，∴∠EDA =∠ACB ，又∠ADC =∠ABC ，∴∠ABC =∠ACB ，∴AB =AC ；（2）解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ACB =60°,又∵四边形ADBC 是圆⊙O 内接四边形，∴∠EDA =∠ACB =60°，故答案为：60；（3）解：在图2中，连接AO 延长交BC 于H ，交⊙O 于K ，∵AB =AC ，∴AB ⌢=AC ⌢，则BK ⌢=CK ⌢，∴AH ⊥BC ，BH =CH ，∵CD 为直径，∴∠DBC =90°，又AE ⊥BD ，∴∠AEB =∠EBC =∠AHB =90°，∴四边形AEBH 是矩形，∴BH=AE，∵DB=AE=2，∴BH=2，则BC=2BH=4，在Rt△DBC中，CD=√BD2+BC2=√22+42=2√5，∴⊙O的半径为√5．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理的推论、圆内接四边形的性质、等弦对等弧、等边三角形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义、勾股定理等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识的联系与运用是解答的关键．【题型4 利用圆的有关性质进行证明】【例4】（2023春·广东广州·九年级广东广雅中学校考期末）如图，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，∠ECB=120°．⌢所对圆心角的度数；(1)求AB(2)连DB，DA，求证：DA=DB；(3)探究线段CD，CA，CB之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)120°(2)见解析(3)CB=CD+CA，证明见解析【分析】（1）先由邻补角的定义可得∠ACB=60°，再由同弧所对的圆周角相等可推出∠ADB=∠ACB=60°，最后利用圆周角定理即可求解；（2）根据角平分线的定义可得∠DCB=1∠ECB=60°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠DCB=∠DAB=260°，得出△ADB是等边三角形，即可得证；（3）延长CD 至F ，使DF =CA ，连接BF ，证明△CAB ≌△FDB (SAS )，继而得出△CBF 是等边三角形，即可得出结论．【详解】（1）解：如图，连接OA,OB ，∵∠ECB =120°，∴∠ACB =180°−120°=60°，∵AB⌢=AB ⌢， ∴∠ADB =∠ACB =60°，∴AB⌢所对圆心角∠AOB =2∠ADB =120°； （2）证明：∵CD 是△ABC 的外角∠ECB 的角平分线，∠ECB =120°，∴∠DCB =12∠ECB =60°， ∵DB⌢=DB ⌢， ∴∠DCB =∠DAB =60°，又∠ADB =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴DA =DB ；（3）CB =CD +CA ，证明：如图，延长CD 至F ，使DF =CA ，连接BF ，∵四边形ABDC是圆内四边形，∴∠CDB+∠CAB=180°,∵∠CDB+∠FDB=180°，∴∠FDB=∠CAB,由（2）知△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∴△CAB≌△FDB(SAS)，∴∠ACB=∠F=60°，CB=BF,∴△CBF是等边三角形，∴CF=BC=CD+DF=CD+AC,即CB=CD+CA．【点睛】本题考查了圆周角定理，内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．【变式4-1】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．证明：E是OB的中点．【答案】证明见解析【分析】先利用垂径定理证得AC=AD=CD，进而证得△ACD是等边三角形，则∠FCD=30°，根据含30度角的直角三角形的性质得到OE=1OC即可证得结论．2【详解】证明：连接AC，如图，∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ，∴AC⌢=AD ⌢， ∴AC =AD ，∵过圆心O 的CF ⊥AD ，∴AC⌢=CD ⌢ ∴AC =CD ，∴AC =AD =CD ．则△ACD 是等边三角形，又CF ⊥AD ，∴∠FCD =12∠ACD =30°， ∴在Rt △COE 中，OE =12OC ，∴OE =12OB ， ∴点E 为OB 的中点．【点睛】本题考查垂径定理、等弧所对的弦相等、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握垂径定理和等边三角形的判定与性质是解答的关键．【变式4-2】（2023春·山西长治·九年级统考期末）阅读材料，解答问题：关于圆的引理10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题：如图1，AB 是⊙O 的弦，点C 在⊙O 上，CD ⊥AB 于点D ，在弦AB 上取点E ，使DE =AD ，点F 是BĈ上的一点，且CF̂=CA ̂，连接BF ，则BF =BE ． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：证明：如图2，连接CA ，CE ，CF ，BC ，∵CD ⊥AB 于点D ，DE =AD ，∴CA =CE ．∴∠CAE =∠CEA ．∵ CF̂=CA ̂， ∴CF =CA （依据1），∠CBF =∠CBA ．∵四边形ABFC 内接于⊙O ，∴∠CAB +∠CFB =180°．（依据2）……(1)上述证明过程中的依据1为 ，依据2为 ；(2)将上述证明过程补充完整．【答案】(1)在同圆中相等的弧所对的弦相等，圆内接四边形的对角互补(2)见解析【分析】（1）利用等腰三角形的判定和圆内接四边形的性质解答即可；（2）在原题的基础上利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论．【详解】（1）解：上述证明过程中的依据1为：在同圆中相等的弧所对的弦相等，依据2为：圆内接四边形的对角互补．（2）解：证明：如图2，连接CA ，CE ，CF ，BC ，∵CD ⊥AB 于点D ，DE =AD ，∴CA =CE ．∴∠CAB =∠CEA ．∵ CF̂=CA ̂， ∴CF =CA ，∴∠CBF=∠CBA．∵四边形ABFC内接于⊙O，∴∠CAB+∠CFB=180°，∵∠CEA+∠CEB=180°，∴∠CFB=∠CEB，在ΔCFB和ΔCEB中，{∠CFB=∠CEB∠CBF=∠CBABC=BC，∴ΔCFB≅ΔCEB(AAS),∴BF=BE．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆心角、弦、弧之间的关系定理、三角形全等的判定和性质以及线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．【变式4-3】（2023春·江苏泰州·九年级校考期末）已知⊙O为△ACD的外接圆，AD=CD．(1)如图1，延长AD至点B，使BD=AD，连接CB．①求证：△ABC为直角三角形；②若⊙O的半径为4，AD=5，求BC的值；(2)如图2，若∠ADC=90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，连接QC，试猜想QA,QC,QD三者之间的数量关系并给予证明．【答案】(1)①见解析；②254(2)QC2=2QD2+QA2，证明见解析【分析】（1）①根据已知条件结合等边等角，三角形内角和定理可得∠ACB=90°，即可证明△ABC为直角三角形；；②连接OA,OD，利用垂径定理得到OD⊥AC且AH=CH，设DH=x，则OH=4−x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC=2DH；（2）延长QA 交⊙O 于点F ，连接DF,FC ，由已知可得∠DAC =∠DCA =45°；利用同弧所对的圆周角相等，得到∠DFA =∠E =∠DCA =45°,∠DFC =∠DAC =45°，由于△ADQ 与△ADE 关于AD 对称，于是∠DQA =∠E =45°，则得△DQF 为等腰直角三角形，△QFC 为直角三角形；利用勾股定理可得：QC 2=QF 2+CF 2,QF 2=2DQ 2；利用△QDA≌△FDC 得到QA =FC ，等量代换可得结论．【详解】（1）①证明：∵AD =CD,BD =AD ，∴DB =DC ．∴∠DAC =∠DCA,∠DCB =∠DBC∵∠BAC +∠ACB +∠B =180°∴ ∠DAC +∠DCA +∠DCB +∠DBC =180°∴∠DCA +∠DCB =90°即∠ACB =90°∴△ABC 为直角三角形；②解：连接OA,OD ，如图，∵AD =CD ，∴AD⌢=CD ⌢， ∴OD ⊥AC 且AH =CH ，∵⊙O 的半径为4，∴OA =OD =4．设DH =x ，则OH =4−x ，∵AH 2=OA 2−OH 2，AH 2=AD 2−DH 2，∴52−x 2=42−(4−x )2．解得：x =258． ∴DH =258．由①知：BC ⊥AC ，∵OD⊥AC，∴OD∥BC．∵AH=CH，∴BC=2DH=254．（2）解：QC2=2QD2+QA2，证明如下：延长QA交⊙O于点F，连接DF,FC，如图，∵∠ADC=90°,AD=CD，∴∠DAC=∠DCA=45°．∴∠DFA=∠E=∠DCA=45°,∠DFC=∠DAC=45°．∴∠QFC=∠AFD+∠DFC=90°．∴QC2=QF2+CF2．∵△ADQ与△ADE关于AD对称，∴∠DQA=∠E=45°，∴∠DQA=∠DFA=45°，∴DQ=DF．∴∠QDF=180°−∠DQA−∠QFD=90°．∴DQ2＋DF2=QF2．即QF2=2DQ2．∵∠QDF=∠ADC=90°，∴∠QDA=∠CDF．在△QDA和△FDC中，{∠QAD=∠DCF∠DQA=∠DFC=45°DA=DC，∴△QDA≌△FDC．∴QA=FC．∴QC2=2QD2+QA2．【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．【题型5 翻折中的圆的有关性质的运用】【例5】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，将⊙O 上的BC⌢沿弦BC 翻折交半径OA 于点D ，再将BD ⌢沿BD 翻折交BC 于点E ，连接DE ． 若AD ＝2OD ，则DE AB 的值为（ ）A ．√36B ．√63C ．√33D ．√66 【答案】D【分析】如图，连接AC ，CD ，OC ，过点C 作CH ⊥AB 于H ．设OA ＝3a ，则AB ＝6a ．首先证明AC ＝CD ＝DE ，求出AC （用a 表示），即可解决问题．【详解】解：如图，连接AC ，CD ，OC ，过点C 作CH ⊥AB 于H ．设OA ＝3a ，则AB ＝6a ．∵在同圆或等圆中，∠ABC 所对的弧有AC⌢，CD ⌢，DE ⌢， ∴AC ＝CD ＝DE ，∵CH ⊥AD ，∴AH ＝DH ，∵AD ＝2OD ，∴AH ＝DH ＝OD ＝a ，在Rt△OCH中，CH＝√OC2−OH2=√(3a)2−(2a)2=√5a，在Rt△ACH中，AC＝√AH2+CH2=√a2+(√5a)2=√6a，∴DE AB =ACAB=√6a6a=√66．故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．【变式5-1】（2023春·湖北恩施·九年级期末）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（）A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°【答案】B【分析】如图，取AB⌢中点M，连接OM，连接DB、OB、OA、AM，由题意知OM⊥AB，且O、D、M在一条直线上，AD=AM=BD，OA==OC，知∠MOC=90°，根据圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等可求∠MAC，∠BAC，∠BOC，∠OAC，∠OBA，∠OBC的值，进而求解∠ABC的值．【详解】解：如图，取AB⌢中点M，连接OM，连接DB、OB、OA、AM由题意知OM⊥AB，且O、D、M在一条直线上，AD=AM=BD，OA=OB=OC∴∠MOC=90°∴∠MAC=12∠MOC=45°∵AD=AM=BD，OM⊥AB∴∠MAB=∠DAB=1∠MAD=22.5°2∴∠BOC=2∠BAC=45°∵OC∥AB∴∠OAC=∠OCA=∠DAB∴∠OAB=∠OBA=∠OAC+∠DAB=45°=67.5°∴∠OBC=∠OCB=180°−∠BOC2∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=112.5°故选B．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角，等边对等角，三角形内角和定理，折叠性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA=．【答案】40°【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻⌢所对的圆周角，进一步计算即可得解．折的性质得到ABC【详解】解：如图，连接BC，∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠BAC +∠B =90°，∵∠BAC =25°，∴∠B =90°−∠BAC =90°−25°=65°，根据翻折的性质弧AC 所对的圆周角为∠B ，ABC⌢所对的圆周角为∠ADC ， ∴∠ADC +∠B =180°，∵∠ADC +∠CDB =180°，∴∠B =∠CDB =65°，∴∠DCA =∠CDB −∠BAC =65°−25°=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．【变式5-3】（2023春·浙江金华·九年级浙江省义乌市稠江中学校考期中）在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD ．(1)如图1，若点D 与圆心O 重合，AC =√3，求⊙O 的半径r ；(2)如图2，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC =20∘，请求出∠DCA 的度数．(3)如图2，如果AD =6，DB =2，求AC 的长．【答案】(1)1(2)∠DCA =50∘(3)2√14【分析】（1）设点D 关于弦AC 的对称点为F ，连接DF ，交AC 于点E ，则DE =EF,DF ⊥AC,AE =EC ，根据勾股定理，得r 2−(r 2)2=(√32)2计算即可．（2）设点D 关于弦AC 的对称点为F ，连接AF ，CB ，得CB =CF =CD ，因为AB 为直径，所以∠ACB =90∘,∠B =∠CDB =70∘，利用∠DCA =∠CDB −∠BAC 计算．（3）连接OC ，CB ，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，确定BG =DG =12DB =1，AB =AD +DB =6+2=8，从而得到所以r ，计算CG ，AG ，AC =√AG 2+CG 2．【详解】（1）设点D 关于弦AC 的对称点为F ，连接DF ，交AC 于点E ，则DE =EF,DF ⊥AC,AE =EC ，因为AC =√3，所以AE =EC =√32， 设DE =EF =r 2，则AD =DF =r ，根据勾股定理，得r 2−(r 2)2=(√32)2，解得r =1，故圆的半径r 为1．（2）设点D 关于弦AC 的对称点为F ，连接AF ，CB ，根据题意，得∠BAC =∠FAC =20∘，CD =CF ，所以CB =CF =CD ，所以∠B =∠CDB ；因为AB 为直径，所以∠ACB =90∘,∠B =∠CDB =70∘，所以∠DCA =∠CDB −∠BAC =70∘−20∘=50∘．（3）如图，连接OC，CB，过点C作CG⊥AB于点G，根据（2）得到CB=CD，所以BG=DG，因为AD=6，DB=2，DB=1，AB=AD+DB=6+2=8，所以BG=DG=12所以r=OC=1AB=4，2所以OD=AD−OB=6−4=2，OG=OD+DGB=1+2=3，所以CG=√OC2−DG2=√42−32=√7，AG=AD+DG=6+1=7，所以AC=√AG2+CG2=√72+(√7)2=2√14．【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握圆的性质，勾股定理是解题的关键．【题型6 利用圆的有关性质求最值】【例6】（2023春·浙江衢州·△ABC中，AB=2√3，∠ACB=75°，∠ABC=60°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB，AC于E，F，连接EF，则∠BAC=；EF的最小值为．【答案】45°/45度3√22【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC，连接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如图，根据圆周角定理得到∠EOF＝90°，再计算出EF＝√2OE，则OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长最小，利用垂线段最短得到AD的长度最小值为AN的长，接着计算出AN，从而得到OE的最小值，然后确定EF长度的最小值．【详解】解：∵△ABC中，∠ACB=75°，∠ABC=60°，∴∠BAC=180°−75°−60°=45°连接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如图，∵∠EOF＝2∠BAC＝2×45°＝90°，而OE＝OF，OM⊥EF，∴∠OEM＝45°，EM＝FM，在Rt△OEM中，EF＝√2OE，当OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长最小，即AD的长最小，∵AD的长度最小值为AN的长，AN=√32AB=√32×2√3=3∴OE的最小值为32，∴EF长度的最小值为32√2，故答案为：32√2．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形，推出EF＝√2OE是解题的关键．【变式6-1】（2023春·北京密云·九年级统考期末）如图，⊙O的弦AB长为2，CD是⊙O的直径，∠ADB= 30°,∠ADC=15°．①⊙O的半径长为．②P是CD上的动点，则PA+PB的最小值是．【答案】 2 2√3【分析】①连接OA,OB，易证△AOB是等边三角形，弦AB长为2，OA=OB=2，即可得到答案；②先证∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°，延长BO交⊙O于点E，连接AE交CD于点P，连接BP,则此时PA+ PB=PA+PE=AE，即PA+PB的最小值是AE的长，再用勾股定理求出AE即可．【详解】解：①连接OA,OB，∵∠ADB=30°,∴∠AOB=60°,∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∵弦AB长为2，∴OA=OB=2，即⊙O的半径长为2，故答案为：2②∵∠ADC=15°，∴∠AOC=2∠ADC=30°,∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°，延长BO交⊙O于点E，连接AE交CD于点P，连接BP,则此时PA+PB=PA+PE=AE，即PA+PB的最小值是AE的长，∵∠BAO=60°，∴∠OAE=∠AEB=30°，∴∠BAE=∠BAO+∠OAE=90°，∴AE=√BE2−AB2=√42−22=2√3，即PA+PB的最小值是2√3．故答案为：2√3【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、轴对称最短路径等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键．【变式6-2】（2023春·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，以边CD为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，EF⊥DA于点F，EP⊥AB于点P，设EF=x，EP=y，则√x2+y2的最小值是（）A．2√3−1B．4−2√3C．2√5−1D．2√5−2【答案】D【分析】由题意，四边形AFEP为矩形，x2+y2=AE2，所以当AE最小时，即O,E,A三点共线时，x2+y2最小，利用勾股定理进行计算，即可得解．【详解】解：连接OE，AE，AO∵四边形ABCD为正方形，AB=4，CD为圆O直径，∴∠BAD=∠CDA=90°,CD=AB=AD=4,OD=2，∵EF⊥DA，EP⊥AB，∴四边形AFEP为矩形，∵OE+AE≥AO∴当O,E,A三点共线时，x2+y2最小，OE=OD=2，则：OA=√OD2+AD2=√22+42=2√5，∴AE=AO−OE=2√5−2，∴√x2+y2=AE=2√5−2，故选：D．【点睛】本题考查圆上的动点问题，正方形的性质，矩形的判定和性质．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键．【变式6-3】（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC 中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC=6，则CD的最小值为．【答案】3√5−3【分析】如图所示，连接AB，AC，以AB为斜边作等腰直角三角形AB O′，则∠AO′B=90°，得出点D在以点⌢上运动，因为两点之间线段最短，即为最短CD，连接B O′，因为BC=6，所O′为圆心，A O′长为半径的AB以B O′=3，由勾股定理有O′C=√BO′2+BC2=3√5，CD=O′C−O′D=3√5−3．【详解】解：如图所示，连接AB，AC，以AB为斜边作等腰直角三角形AB O′，则∠A O′B=90°，∵BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，∴∠BPA=45°，△ABC是等腰直角三角形，∵BC=6，∴AB=3√2,∴O′B=O′A=3，又∵AD⊥AP，∴∠DAP=90°，∴∠PDA=45°，∠ADB=135°，⌢上运动，∴点D在以点O′为圆心，A O′长为半径的AB⌢为点D，此时CD为最短，连接O′C交AB∵∠O′BA=45°,∠ABC=45°，∴∠O′BC=90°，在△BCO′中，BO′=3,BC=6，O′C=√BO′2+BC2=3√5∴CD=O′C−O′D=3√5−3．故答案为：3√5−3【点睛】本题考查了圆的综合问题，求动点最值时，首先找到动点轨迹，再结合两点之间线段最短找出最小值是解题的关键．【题型7 利用圆的有关性质求取值范围】【例7】（2023春·湖北武汉·九年级校考期末）如图，△ABC的两个顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为2，∠BAC=90°，AB=AC，若动点B在⊙O上运动，OC=m，则m的取值范围是．【答案】2√2−2≤m≤2+2√2【分析】连接OA，作∠NAO=90°，且AN=AO=2，连接OB，ON，CN，证明△ABO≌△ACN(SAS)得到CN= OB=2，再根据勾股定理求得ON=2√2，然后根据两点之间线段最短求解即可．【详解】解：如图，连接OA，作∠NAO=90°，且AN=AO=2，连接OB，ON，CN，∵∠BAC=∠NAO=90°，∴∠BAO=∠CAN，在△ABO 和△ACN 中，{AB =AC∠BAO =∠CAN AN =AO∴△ABO ≌△ACN (SAS )，∴CN =OB =2，在Rt △AON 中，ON =√OA 2+AN 2=2√2，根据两点短得ON −CN ≤OC ≤ON +OC ，∴2√2−2≤m ≤2+2√2，故答案为：2√2−2≤m ≤2+2√2．【点睛】本题主要考查了圆的有关概念、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、等角的余角相等，添加辅助线构造全等三角形求解是解答的关键．【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，弧BE 是半径为6的圆D 的14圆周，C 点是BE⌢上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是（ ）A ．12＜P ≤18B ．18＜P ≤24C ．18＜P ≤18＋6√2D ．12＜P ≤12＋6√2【答案】C【详解】∵△ABD 是等边三角形，∴AB +AD +CD =18，得P ＞18，∵BC 的最大值为当点C 与E 重合的时刻，BE =√62+62=6√2，∴P 的取值范围是18＜P ≤18+6√2．故选C ．【变式7-2】（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，⊙O 的直径为10，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个动点，且AB ＝6，CD ＝8，若点E 、F 分别是弦AB 、CD 的中点，则线段EF 长度的取值范围是（）A ．1≤EF ≤7B ．2≤EF ≤5C ．1＜EF ＜7D ．1≤EF ≤6【答案】A【分析】连接OE 、OF 、OA 、OC ，由垂径定理得OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，AE=12AB=3,CF=12CD=4，由勾股定理得OE =4，OF =3，当AB ∥CD 时，E 、O 、F 三点共线EF 取最值，其中当AB 、CD 位于O 的同侧时，线段EF 的长度最短，此时EF =OE -OF=1，，当AB 、CD 位于O 的两侧时，线段EF 的长度最长，此时EF =OE+OF=7，即可得出结论．【详解】连接OE 、OF 、OA 、OC ，如图所示：∵⊙O 的直径为10，∴OA =OC =5，∵点E 、F 分别是弦AB 、CD 的中点，AB =6，CD =8，∴OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，AE=12AB =3，CF=12CD=4，∴OE=√OA 2-AE 2=√52-32=4，OF =√OC 2-CF 2=√52-42=3当AB ∥CD 时，E 、O 、F 三点共线，EF 取得最值：①当AB 、CD 位于O 的同侧时，线段EF 的长度最短，此时EF =OE -OF=1，②当AB 、CD 位于O 的两侧时，线段EF 的长度最长，此时EF =OE+OF=7，∴线段EF 的长度的取值范围是1≤EF ≤7，故选：A ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．【变式7-3】（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径是1．过⊙O 上一点P 作等边三角形PDE ，使点D ，E 分别落在x 轴、y 轴上，则PD 的取值范围是 ．【答案】√3−1≤PD ≤√3+1【分析】找到最大值与与最小值位置，分别进行解题求出取值范围的临界值即可．【详解】解：如图，过点P 作PM ⊥DE 于点M ，连接OM ，设DP =DE =a ，∵△PDE 为等边三角形，PM ⊥DE ，∴∠DPE =60°,∠DPM =30°，M 为DE 中点，∴DM =12a,OM =12a ， 根据勾股定理可得PM =√DP 2−DM 2=√a 2−14a 2=√32a ， ∵PM +OM ≥1，∴√32a +12a ≥1，解得：a ≥√3−1；如图，过点P 作PM ⊥DE 于点M ，连接OM ，。

2021最新⼯伤赔偿标准（1-10级）⼀、⼯伤不够伤残等级赔偿标准1、医疗费：以医院发票⾦额为准(社保⽀付80%左右，单位⽀付20%）2、住院伙⾷补助费：住院天数×50元/天3、护理费：住院天数×50-100元/天（单位⽀付）4、交通费：300-1000元（社保⽀付）5、停⼯留薪⼯资：本⼈⼯资×停⼯留薪期（劳动局鉴定为准）（单位⽀付）⼆、⼯伤⼗级伤残赔偿标准1、医疗费：以医院发票⾦额为准(社保⽀付80%左右，单位⽀付20%）2、住院伙⾷补助费：住院天数×50元/天3、交通费：300-1000元（社保⽀付）4、停⼯留薪⼯资：本⼈⼯资×停⼯留薪期（劳动局鉴定为准）（单位⽀付）5、护理费：住院天数×50-100元/天（单位⽀付）6、⼀次性伤残补助⾦：本⼈⼯资×7个⽉（社保⽀付）7、⼀次性医疗补助⾦：本⼈⼯资×1个⽉（社保⽀付）8、⼀次性伤残就业补助⾦：本⼈⼯资×4个⽉（单位⽀付）三、⼯伤九级伤残赔偿标准1、医疗费：以医院发票⾦额为准(社保⽀付80%左右，单位⽀付20%）2、住院伙⾷补助费：住院天数×50元/天3、交通费：300-1000元（社保⽀付）4、停⼯留薪⼯资：本⼈⼯资×停⼯留薪期（劳动局鉴定为准）（单位⽀付）5、护理费：住院天数×50-100元/天（单位⽀付）6、⼀次性伤残补助⾦：本⼈⼯资×9个⽉（社保⽀付）7、⼀次性医疗补助⾦：本⼈⼯资×2个⽉（社保⽀付）8、⼀次性伤残就业补助⾦：本⼈⼯资×8个⽉（单位⽀付）四、⼯伤⼋级伤残赔偿标准1、医疗费：以医院发票⾦额为准(社保⽀付80%左右，单位⽀付20%）2、住院伙⾷补助费：住院天数×50元/天3、交通费：300-1000元（社保⽀付）4、停⼯留薪⼯资：本⼈⼯资×停⼯留薪期（劳动局鉴定为准）（单位⽀付）5、护理费：住院天数×50-100元/天（单位⽀付）6、⼀次性伤残补助⾦：本⼈⼯资×11个⽉（社保⽀付）7、⼀次性医疗补助⾦：本⼈⼯资×4个⽉（社保⽀付）8、⼀次性伤残就业补助⾦：本⼈⼯资×15个⽉（单位⽀付）五、⼯伤七级伤残赔偿标准1、医疗费：以医院发票⾦额为准(社保⽀付80%左右，单位⽀付20%）2、住院伙⾷补助费：住院天数×50元/天3、交通费：300-1000元（社保⽀付）4、停⼯留薪⼯资：本⼈⼯资×停⼯留薪期（劳动局鉴定为准）（单位⽀付）5、护理费：住院天数×50-100元/天（单位⽀付）6、⼀次性伤残补助⾦：本⼈⼯资×13个⽉（社保⽀付）7、⼀次性医疗补助⾦：本⼈⼯资×6个⽉（社保⽀付）8、⼀次性伤残就业补助⾦：本⼈⼯资×25个⽉（单位⽀付）六、⼯伤六级伤残赔偿标准1、医疗费：以医院发票⾦额为准(社保⽀付80%左右，单位⽀付20%）2、住院伙⾷补助费：住院天数×50元/天3、交通费：300-1000元（社保⽀付）4、安装辅助器具：截肢才可以赔偿，以假肢公司意见为准,有购买社保的每四年到社保局申请更换，没有购买社保的⼀次性赔偿⾄70周岁（社保⽀付）5、停⼯留薪⼯资：本⼈⼯资×停⼯留薪期（劳动局鉴定为准）（单位⽀付）6、护理费：住院天数×50-100元/天（单位⽀付）7、伤残津贴：本⼈⼯资×60%×到解除劳动关系时（单位⽀付）8、⼀次性伤残补助⾦：本⼈⼯资×16个⽉（社保⽀付）9、⼀次性医疗补助⾦：本⼈⼯资×8个⽉（社保⽀付）10、⼀次性伤残就业补助⾦：本⼈⼯资×40个⽉（单位⽀付）七、⼯伤五级伤残赔偿标准1、医疗费：以医院发票⾦额为准(社保⽀付80%左右，单位⽀付20%）2、住院伙⾷补助费：住院天数×50元/天3、交通费：300-1000元（社保⽀付）4、安装辅助器具：截肢才可以赔偿，以假肢公司意见为准,有购买社保的每四年到社保局申请更换，没购买社保的⼀次性赔偿⾄70周岁（社保⽀付）5、停⼯留薪⼯资：本⼈⼯资×停⼯留薪期（劳动局鉴定为准）（单位⽀付）6、护理费：住院天数×50-100元/天（单位⽀付）7、伤残津贴：本⼈⼯资×70%×到解除劳动关系时（单位⽀付）8、⼀次性伤残补助⾦：本⼈⼯资×18个⽉（社保⽀付）9、⼀次性医疗补助⾦：本⼈⼯资×10个⽉（社保⽀付）10、⼀次性伤残就业补助⾦：本⼈⼯资×50个⽉（单位⽀付）⼋、⼯伤四级伤残赔偿标准1、医疗费：以医院发票⾦额为准(社保⽀付80%左右，单位⽀付20%）2、住院伙⾷补助费：住院天数×50元/天3、交通费：300-1000元（社保⽀付）4、安装辅助器具：截肢才可以赔偿，以假肢公司意见为准,有购买社保的每四年到社保局申请更换，没购买社保的⼀次性赔偿⾄70周岁（社保⽀付）5、停⼯留薪⼯资：本⼈⼯资×停⼯留薪期（劳动局鉴定为准）（单位⽀付）6、护理费：住院天数×50-100元/天（单位⽀付）7、长期护理费：需鉴定需要护理依赖才可以赔偿，按当地年度职⼯⽉平均⼯资，计发10年。

宁夏2024年中考数学试卷一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列各数中，无理数是（）A．-1B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．小明与小亮要到科技馆参观.小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（）A．南偏东方向B．北偏西方向C．南偏东方向D．北偏西方向4．某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩(单位：次)如下表：成绩171及以下172173174175及以上人数38652则本次测试成绩的中位数和众数分别是（）A．172和172B．172和173C．173和172D．173和1735．用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（）A．①号位置B．②号位置C．③号位置D．④号位置6．已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程（）A．B．C．D．8．如图，在Rt中，，点在直线上，点B，C在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为.下列结论：①当时，四边形ABCP的周长是10cm；②当t=4s时，点到直线的距离等于5cm；③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大；④若点D，E分别是线段PB，PC的中点，在点运动过程中，线段DE的长度不变.其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)9．地球上水（包括大气水、地表水和地下水）的总体积约为14.2亿km3.请将数据1420000000用科学记数法表示为.10．为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：移植总4015030050070010001500数成活数351342714516318991350成活的频率0.8750.8930.9030.9020.9010.8990.900估计这种幼苗移植成活的概率是(结果精确到0.1).11．某水库警戒水位为29.8米，取警戒水位作为0点.如果水库水位为31.4米记作+1.6米，那么水库水位为28米记作米.12．若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是.13．如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则°.14．在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为(写出一个即可).15．观察下列等式：第1个：第2个：第3个：第4个：……按照以上规律，第个等式为.16．如图1是三星堆遗址出土的陶盉(hè)，图2是其示意图.已知管状短流，四边形BCDE是器身，.器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为cm(结果精确到0.1cm).(参考数据：)三、解答题(本题共10小题,其中17~22题每小题6分,23、24题每小题8分,25、26题每小题10分,共72分)17．解不等式组18．先化简，再求值：，其中.19．如图，在中，点是边BC的中点，以AB为直径的经过点，点是边AC上一点(不与点A，C重合).请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法.⑴过点A作一条直线，将分成面积相等的两部分；⑵在边AB上找一点，使得.20．中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力.某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件.（1）某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件?（2）中国的天问一号探测器、奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐.该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘(转盘被分为5个大小相同的扇形).凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个(指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形).一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少?21．如图，在中，点M，N在AD边上，，连接CM并延长交BA的延长线于点，连接BN并延长交CD的延长线于点F.求证：.小丽的思考过程如下：参考小丽的思考过程，完成推理.22．尊老敬老是中华民族的传统美德，爱老是全社会的共同责任.为了解某地区老年人的生活状况，随机抽取部分65岁及以上的老年人进行了一次问卷调查.调查问卷以下问题均为单选题，请根据实际情况选择(例：岁表示大于等于65岁同时小于70岁).1.您的年龄范围()A.岁B.岁C.岁D.80岁及以上2.您的养老需求（）A.医疗服务B.社交娱乐C.健身活动D.餐饮服务 E.其他3.您的健康状况()A.良好B.一般C.较差将调查结果绘制成如下统计图表.请阅读相关信息，解答下列问题：健康状况统计表岁岁岁80岁及以上良好65%58%50%40%一般25%30%35%40%较差10%12%15%20%（1）参与本次调查的老年人共有人，有“医疗服务”需求的老年人有人；（2）已知该地区65岁及以上的老年人人口总数约为6万人，估计该地区健康状况较差的老年人人口数；（3）根据以上信息，针对该地区老年人的生活状况，你能提出哪些合理化的建议?(写出一条即可) 23．在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到.依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究.【动手操作】列表：…-5-4-3-2-112345……-1-221……-5-4-3-20123……-1-2-4421…（1）描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象.（2）【探究发现】①将反比例函数的图象向平移个单位长度得到函数的图象.②上述探究方法运用的数学思想是 A.整体思想B.类比思想C.分类讨论思想（3）【应用延伸】①将反比例函数的图象先，再得到函数的图象.②函数图象的对称中心的坐标为.24．如图，是的外接圆，AB为直径，点是的内心，连接AD并延长交于点，过点作的切线交AB的延长线于点.（1）求证：；（2）连接CE，若的半径为，求阴影部分的面积(结果用含的式子表示). 25．综合与实践如图1，在中，BD是的平分线，BD的延长线交外角的平分线于点.（1）【发现结论】结论1：；结论2：当图1中时，如图2所示，延长BC交AE于点，过点作AF的垂线交BF于点，交AC的延长线于点.则AE与EG的数量关系是.（2）【应用结论】求证：；（3）在图2中连接FH，AG，延长AG交FH于点，补全图形，求证：. 26．抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过作轴于点，交直线BC于点.设点的横坐标为，当时，求的值；（3）如图2点，连接CF并延长交直线PD于点，点是轴上方抛物线上的一点，在(2)的条件下，轴上是否存在一点，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形.若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】A9．【答案】1.42×10910．【答案】0.911．【答案】-1.812．【答案】13．【答案】8114．【答案】（要求即可）15．【答案】16．【答案】34.117．【答案】解：解不等式①得，.解不等式②得，所以不等式组的解集为.18．【答案】解：原式当时，原式19．【答案】解：⑴过A，D两点画直线AD.则直线AD为所求作直线.⑵连接BP交AD点E，连接CE并延长，交AB于点P'.则点P'为所求作点.20．【答案】（1）解：设销售扎染x件，刺绣y件.根据题意得，所以，因为x，y均为非负整数.所以，当时，（舍去）；当时，（舍去）；当时，；当时，（舍去）.答：该店销售扎染3件.刺绣2件.（2）解：转动一次转盘所有等可能结果共5种，指针指向有纪念品的扇形(记为事件A)的结果有3种.所以，答：该顾客获得纪念品的概率是21．【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形同理可得，又即又22．【答案】（1）1200；660（2）解：根据题意得，答：估计该地区健康状况较差的老年人有7650人.（3）解：根据养老需求统计图可知，医疗服务需求占比大，因此建议提高本地区老年人的医疗服务质量（只要建议合理即可).23．【答案】（1）如图所示：（2）左；1；B（3）右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度；（2，-1）24．【答案】（1）证明：连接OE，交BC于点G∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA又∵D为△ABC的内心∴∠OAE=∠CAE∴∠OEA=∠CAE∴OE//AC又∵AB为☉O的直径∴∠ACB=90°∴∠BGO=90°又∵EF为☉O的切线且OE为☉O的半径∴∠FEO=90°∴∠BGO=∠FEO∴BC//EF.（2）解：连接BE，.25．【答案】（1）；相等（2）证明：在中，在中，在和中（3）证明：补全图形如图所示.证明：在Rt中，又又26．【答案】（1）解：(1)把点代入得，即抛物线的解析式为.（2）解：把代入得，解得，.点的坐标为.当时，点的坐标为.根据题意得，点D的坐标为.把代入得点的坐标为.设直线BC的解析式为，把代入得，解得直线BC的解析式为：.当时，点的坐标为.又轴轴又解得，(舍去).（3）存在.点的坐标为或或或.提示：设直线CF的解析式为，把代入得，解得的解析式为：.当时，点的坐标为.又点是轴上方抛物线上的一点当时，解得，.点的坐标为或.当点的坐标为时，点的坐标为或.当点的坐标为时，点的坐标为或.综上所述，点的坐标为或或或.。