(通用版)2018年高考数学二轮复习第一部分专题四概率与统计教学案理

专题四概率与统计[研高考²明考点]第一讲 小题考法——排列、组合与二项式定理[典例感悟][典例] (1)(2016²全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A ．24B ．18C ．12D ．9(2)(2017²全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种(3)(2017²长春质检)某班主任准备请2018届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．(用数字作答)[解析] (1)由题意可知从E 到F 有6条最短路径，从F 到G 有3条最短路径，由分步乘法计数原理知，共6³3＝18条最短路径，故选B.(2)因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C 24C 12C 11A 22＝6种，再分配给3个人，有A 33＝6种，所以不同的安排方式共有6³6＝36(种)．(3)若甲、乙同时参加，不同的发言顺序有2C 26A 22A 22＝120种；若甲、乙有一人参加，不同的发言顺序有C 12C 36A 44＝960种．由分类加法计数原理知，共有120＋960＝1 080种不同的发言顺序．[答案] (1)B (2)D (3)1 080[方法技巧]1．解答排列组合问题的4个角度解答排列组合问题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．2．解决分组分配问题的3种策略(1)不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．(2)整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A nn (n 为均分的组数)，避免重复计数．(3)部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．[演练冲关]1．两个三口之家约定星期日乘“奥迪”、“奔驰”两辆轿车结伴郊游，他们共有4个大人，2个小孩，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数为( )A ．40B ．48C ．60D ．68解析：选B 由题意得，只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的乘坐奔驰车即可，需要分三类：若奥迪车上没有小孩，则有C 24＋C 34＝10种乘车方法；若有一个小孩，则有C 12³(C 14＋C 24＋C 34)＝28种乘车方法；若有两个小孩，则有C 14＋C 24＝10种乘车方法．故不同的乘车方法种数为10＋28＋10＝48.2．2名男生、1名男教师和3名女生站成一排，若男教师不站两端，任意两名女生都不相邻，则不同的排法种数为( )A．120 B．96C．84 D．36解析：选A 首先将2名男生和1名男教师安排好，有A33＝6种情况，排好后有4个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有A34＝24种情况，则2名男生、1名男教师和3名女生站成一排，任意两名女生都不相邻的排法有6³24＝144(种)．其中男教师站在两端的情况有2A22A33＝24(种)，则男教师不站两端，任意两名女生都不相邻的不同的排法种数为144－24＝120.3．(2017²天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C14C35A44＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A45＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．答案：1 0804．(2017²浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答) 解析：法一：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C48－C46＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55³12＝660种不同的选法．法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．答案：660[典例感悟][典例] (1)(2015²全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A．10 B．20 C．30 D．60(2)(2017²南昌模拟)在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，xy3项的系数为________．(3)(2015²全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.[解析] (1)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3²y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4²x＝C13x5.所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.(2)在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，通项为C r 6(2x )r ²C m 5y m，其中r ＝0,1，…，6，m ＝0,1，…，5.令r ＝1，m ＝3，得xy 3项的系数为C 16³2³C 35＝120.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)³24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2³32， 解得a ＝3.[答案] (1)C (2)120 (3)3[方法技巧]求解二项式定理相关问题的常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．[演练冲关]1．在二项式(1－2x )n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )A ．－960B ．960C ．1 120D ．1 680解析：选C 根据题意，2n －1＝128，解得n ＝8，则(1－2x )8的展开式的中间项为第5项，且T 5＝C 48(－2)4x 4＝1 120x 4，即展开式的中间项的系数为1 120.2．(2017²全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35解析：选C (1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1³C 26＋1³C 46＝30.3．(2017²合肥质检)在⎝⎛⎭⎪⎫x －1x－14的展开式中，常数项为________．解析：易知⎝⎛⎭⎪⎫x －1x－14＝－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4的展开式的通项T r ＋1＝C r 4(－1)4－r²⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x r .又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x r 的展开式的通项R m ＋1＝C m r xr －m(－x －1)m ＝C mr (－1)m xr －2m，∴T r ＋1＝C r 4(－1)4－r²C m r ²(－1)m xr －2m，令r －2m ＝0，得r ＝2m ，∵0≤r ≤4，∴0≤m ≤2，∴当m ＝0,1,2时，r ＝0,2,4，故常数项为T 1＋T 3＋T 5＝C 04(－1)4＋C 24(－1)2²C 12(－1)1＋C 44(－1)0²C 24(－1)2＝－5.答案：－5[必备知能²自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．排列、组合数公式 (1)排列数公式A mn ＝n (n －1)²…²(n －m ＋1)＝n ！ n －m ！.(2)组合数公式C m n＝A mn A m m ＝n n －1 ²…² n －m ＋1 m ！＝n ！m ！ n －m ！.2．二项式定理 (1)二项式定理 (a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n.(2)通项与二项式系数T k ＋1＝C k n a n －k b k，其中C k n (k ＝0,1,2，…，n )叫做二项式系数．(二) 二级结论要用好 1．各二项式系数之和 (1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n. (2)C 1n ＋C 3n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋…＝2n －1.2．二项式系数的性质 (1)C rn ＝C n －rn ，C rn ＋C r －1n ＝C rn ＋1. (2)二项式系数最值问题当n 为偶数时，中间一项即第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项的二项式系数C n2n 最大；当n 为奇数时，中间两项即第n ＋12，n ＋32项的二项式系数Cn －12，Cn ＋12相等且最大．[针对练] 若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45解析：选B 依题意知n ＝10， ∴T r ＋1＝C r10(x )10－r²2x 2r＝C r 102r²x 5－52r ，令5－52r ＝0，得r ＝2，∴常数项为C 21022＝180.(三) 易错易混要明了二项式(a ＋b )n与(b ＋a )n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分．还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时要明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同．[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017²云南统考)在⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 10的二项展开式中，x 4的系数为( )A ．－120B ．－60C ．60D ．120解析：选A ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式的通项T r ＋1＝C r 10x 10－r ²⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 10x 10－2r，令10－2r ＝4，得r ＝3，所以该二项展开式中x 4的系数为－C 310＝－120.2．(2017²长沙调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．20解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r ²(－2y )r ＝C r 5²⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ²(－2)r ²x 5－r ²y r，令r ＝3，得x 2y 3的系数为C 35²⎝ ⎛⎭⎪⎫122²(－2)3＝－20.3．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方案有( )A ．24种B ．18种C ．16种D ．10种解析：选D 若甲景区在最后一个体验，则有A 33种方案；若甲景区不在最后一个体验，则有A 12A 22种方案．所以小李旅游的方案共有A 33＋A 12A 22＝10(种)．4．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( )A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种解析：选B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法有C 34种；其次将获得同一道题目的2位教师选出，选法有C 24种；最后将选出的3道题目分配给3组教师，分配方式有A 33种．由分步乘法计数原理，知满足题意的情况共有C 34C 24A 33＝144(种)．5．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A ．30种B ．36种C ．60种D ．72种解析：选A 甲、乙两人从4门课程中各选修2门有C 24C 24＝36种选法，甲、乙所选的课程中完全相同的选法有C 24＝6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36－6＝30(种)．6．(x 2－2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x 5的展开式中x －1的系数为( )A ．60B ．50C ．40D ．20解析：选A 依题意，⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5²2r ²x －r ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 5的展开式中含x －1(当r ＝1时)，x －3(当r ＝3时)项的系数分别为2C 15，23C 35，所以(x 2－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 5的展开式中x－1的系数为23C 35－2³2C 15＝60.7.⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x －1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( )A ．－20B ．－10C ．10D ．20解析：选C 令x ＝1，可得a ＋1＝2，所以a ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x －1)5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x －1)5，则展开式中常数项为2C 45(－1)4＝10.8．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有( )A ．70种B ．140种C ．840种D ．420种解析：选D 从9名同学中任选3名分别到A ，B ，C 三地进行社会调查有C 39A 33种安排方法，3名同学全是男生或全是女生有(C 35＋C 34)A 33种安排方法，故选出的同学中男女均有的不同安排方法有C 39A 33－(C 34＋C 35)A 33＝420(种)．9．已知(x ＋2)15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，则a 13的值为( ) A ．945 B ．－945 C ．1 024D ．－1 024解析：选B 由(x ＋2)15＝[3－(1－x )]15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，得a 13＝C 1315³32³(－1)13＝－945.10．(2017²合肥质检)已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6的展开式中所有项系数之和为( )A ．－1B ．1C ．32D ．64解析：选D 由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧C 26a 4b 2＝135，C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，令x ＝1，得(ax ＋b )6的展开式中所有项的系数之和为(a ＋b )6＝64，故选D.11．(2017²全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：选C 当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25³23－C 35³22＝10³(8－4)＝40.12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．484解析：选C 由题意，不考虑特殊情况，从16张卡片中任取3张共有C 316种取法，其中取出的这三张卡片是同一种颜色有4C 34种取法，取出2张红色卡片有C 24²C 112种取法，故所求的取法共有C 316－4C 34－C 24²C 112＝472(种)，故选C.二、填空题13．(2018届高三²湘中名校联考)设1＋x 5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 5(x －1)5，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.解析：令x ＝2，得1＋25＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝33. 答案：3314．(2017²浙江高考)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.解析：由题意知a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23³12³C 22³22＋C 33³13³C 12³2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33³13³C 22³22＝4.答案：16 415．“污染治理”“延迟退休”“楼市新政”“共享单车”“中印对峙”成为现在社会关注的5个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“共享单车”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的调查顺序有________种．解析：先从“污染治理”“延迟退休”“楼市新政”“中印对峙”这4个热点中选出3个，有C 34种不同的选法，在调查时“共享单车”安排的顺序有A 13种可能情况，其余3个热点安排的顺序有A 33种可能情况，故有C 34A 13A 33＝72种不同的调查顺序．答案：7216.编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A 球不能放在4号，5号，B 球必须放在与A 球相邻的盒子中，则不同的放法的种数为________．解析：根据A 球所在的位置可分三类情况：①若A 球放在1号盒子内，则B 球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有A 33＝6种不同的放法；②若A 球放在3号盒子内，则B 球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有A 33＝6种不同的放法；③若A 球放在2号盒子内，则B 球可以放在1号，3号，4号中的任何一个盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有C 13²A 33＝18种不同的放法．综上可得不同的放法共有6＋6＋18＝30(种)．答案：30B 组——能力小题保分练1．若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x2 018，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C 令x ＝0，得a 0＝1. 令x ＝12，得1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝0.则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1. 2．(2017²武昌调研)若⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项为( )A ．－270B ．270C ．－90D ．90解析：选C ⎝⎛⎭⎪⎫3x －3x n 的展开式中所有项系数的绝对值之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n的展开式中所有项系数之和．令x ＝1，得4n＝1 024，∴n ＝5.则⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x 5，其通项T r ＋1＝C r 53x 5－r²(－3x )r ＝C r 5²35－r ²(－1)r²x r －52＋r 3，令r －52＋r 3＝0，解得r ＝3，∴该展开式中的常数项为T 4＝C 35²32²(－1)3＝－90，故选C.3．(2016²全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个解析：选C 由题意知：当m ＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a 1＝0，a 8＝1.不考虑限制条件“对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C 36＝20(种)，其中存在k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数少于1的个数的情况有：①若a 2＝a 3＝1，则有C 14＝4(种)；②若 a 2＝1，a 3＝0，则a 4＝1，a 5＝1，只有1种；③若a 2＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.4．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 5展开式中的常数项为－40，则a ＝________.解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r²⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 525－r x 5－2r ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x 2x ＋1x5的展开式中的常数项为－40，所以ax C 3522x －1＋1xC 2523x ＝－40，即40a ＋80＝－40，解得a ＝－3.答案：－35．福州大学的8名学生准备拼车去湘西凤凰古城旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分乘甲、乙两辆汽车．每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有________种．解析：可分两类：第一类，大一的孪生姐妹乘坐甲车，则可再分三步：第一步，从大二、大三、大四三个年级中任选两个年级，有C 23种不同的选法；第二步，从所选出的两个年级中各抽取一名同学，有C 12C 12种不同的选法；第三步，余下的4名同学乘乙车有C 44种不同的选法，根据分步乘法计数原理，可知有C 23C 12C 12C 44种不同的乘坐方式．第二类，大一的孪生姐妹乘坐乙车，则可再分三步：第一步，从大二、大三、大四三个年级中任选一个年级(此年级的2名同学乘甲车)，有C 13种不同的选法；第二步，余下的两个年级中各抽取一名同学，有C 12C 12种不同的选法；第三步，余下的2名同学乘乙车有C 22种不同的选法，根据分步乘法计数原理，可知有C 13C 12C 12C 22种不同的乘坐方式．根据分类加法计数原理，满足要求的乘坐方式种数为C23C12C12C44＋C13C12C12C22＝24.答案：246．(2017²陕西质检)从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．解析：依题意共有8类不同的和声，当有k(k＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C k10种不同的和声，则和声总数为C310＋C410＋C510＋…＋C1010＝210－C010－C110－C210＝1 024－1－10－45＝968.答案：968第二讲小题考法——概率、统计、统计案例[典例感悟][典例] (1)(2016²全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(2)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④(3)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,10B ．200,10C ．100,20D ．200,20[解析] (1)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20℃的月份有2个，故D 错误．(2)∵x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x 甲<x 乙．又s 2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s 2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s 甲>s 乙．故可判断结论①④正确．(3)易知样本容量为(3 500＋4 500＋2 000)³2%＝200；抽取的高中生人数为2 000³2%＝40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为40³50%＝20.[答案] (1)D (2)B (3)D[方法技巧]1．方差的计算与含义(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算． (2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大． 2．与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．[演练冲关]1．(2017²全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 解析：选A 根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A 错误．由图可知，B 、C 、D 正确．2．(2017²山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A ．3,5B ．5,5C ．3,7D ．5,7解析：选A 由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以15³[56＋62＋65＋74＋(70＋x )]＝15³(59＋61＋67＋65＋78)，解得x ＝3.3．某电子商务公司对10 000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．解析：(1)由0.1³1.5＋0.1³2.5＋0.1a ＋0.1³2.0＋0.1³0.8＋0.1³0.2＝1，解得a ＝3.(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1³1.5＋0.1³2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6³10 000＝6 000. 答案：(1)3 (2)6 000[典例感悟][典例] (1)(2017²兰州诊断)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，则表中m 的值为( )A ．45B ．50C ．55D ．60(2)(2017²南昌模拟)设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg [解析] (1)x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝30＋40＋50＋m ＋705＝190＋m5.∵当x －＝5时，y －＝6.5³5＋17.5＝50， ∴190＋m5＝50，解得m ＝60. (2)因为回归直线方程y ^＝0.85x －85.71中x 的系数为0.85>0，因此y 与x 具有正线性相关关系，所以选项A 正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解可知回归直线过样本点的中心(x －，y －)，所以选项B 正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，所以若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ，所以选项C 正确，选项D 不正确．[答案] (1)D (2)D[方法技巧]求回归直线方程的关键及实际应用(1)求回归直线方程的关键是正确理解b ^，a ^的计算公式和准确地求解．(2)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．[演练冲关]1．(2018届高三²湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如表所示(单位：万元)：由上表可得回归方程为y ＝10.2x ＋a ，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为( ) A ．101.2万元 B ．108.8万元 C ．111.2万元D ．118.2万元解析：选C 根据统计数据表，可得x －＝15³(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y －＝15³(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y ^＝10.2x ＋a ^经过样本点的中心(4,50)，∴50＝10.2³4＋a ^，解得a ^＝9.2，∴回归方程为y ^＝10.2x ＋9.2.当x ＝10时，y ＝10.2³10＋9.2＝111.2，故选C.2．(2018届高三²湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >3.841，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )C ．99.5%D ．95%解析：选D 由表中数据可得，当k >3.841时，有0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的机率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.[典例感悟][典例] (1)(2016²全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115 D.130(2)(2017²全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4(3)(2018届高三²湖北五市十校联考)在矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2AD ，在CD 上任取一点P ，△ABP 的最大边是AB 的概率为( )A.22 B.32C.2－1D.3－1[解析] (1)∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.(2)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S 黑＝12S 圆＝π2，故此点取自黑色部分的概率P ＝π24＝π8.(3)分别以A ，B 为圆心，AB 的长为半径画弧，交CD 于P 1，P 2，则当P 在线段P 1P 2间运动时，能使得△ABP 的最大边是AB ，在Rt △P 2BC中，BP 2＝2，BC ＝1，故CP 2＝3，DP 2＝2－3，同理CP 1＝2－3，所以P1P2＝2－(2－3)³2＝23－2，所以P 1P 2CD＝3－1，即△ABP 的最大边是AB 的概率为3－1. [答案] (1)C (2)B (3)D[方法技巧]1．利用古典概型求概率的关键及注意点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识．(2)对于较复杂的题目条件计数时要正确分类，分类时应不重不漏． 2．几何概型的适用条件及求解关键(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．(2)求解关键是寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．[演练冲关]1．(2018届高三²湖北七市(州)联考)从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为( )A.225B.13125C.18125D.9125解析：选A 从5个数字中任意抽取3个数字组成一个三位数，并且允许有重复的数字，这样构成的数字有53＝125个．则各位数字之和等于12且没有重复数字，则该数只能含有3,4,5三个数字，可构成A 33＝6个三位数；若三位数的各位数字均重复，则该数为444；若三位数中有2个数字重复，则该数为552,525,255，有3个．因此，所求概率为P ＝6＋1＋3125＝225，故选A.2．(2017²长春质检)如图，扇形AOB 的圆心角为120°，点P 在弦AB上，且AP ＝13AB ，延长OP 交弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为( )A.14B.13C.27D.38解析：选A 设OA ＝3，则AB ＝33，AP ＝3，由余弦定理可求得OP ＝3，则∠AOP ＝30°，所以扇形AOC 的面积为3π4，又扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为3π43π＝14.3．某班班会，准备从包括甲、乙两人的7名学生中选取4名学生发言，要求甲、乙两人至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为________．解析：若无限制条件则有A 47种情况；若甲、乙两人都不被选中则有A 45种情况，因此甲、乙两人至少有1人被选中有A 47－A 45种情况．甲、乙两人都被选中且发言时不相邻共有A 25²A 23种情况，故所求概率为P ＝A 25²A 23A 47－A 45＝120840－120＝16.答案：16[典例感悟][典例] (1)(2015²全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312(2)(2017²武昌调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29B.13C.49D.59(3)某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．[解析] (1)3次投篮投中2次的概率为P (X ＝2)＝C 23³0.62³(1－0.6)＝0.432，投中3次的概率为P (X ＝3)＝0.63＝0.216，所以该同学通过测试的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.432＋0.216＝0.648.(2)小赵独自去一个景点共有4³3³3³3＝108种情况，4个人去的景点不同有A 44＝。