1981年全国高考数学试题及其解析

1981年高考作文篇一：1981年全国高考数学试题及其解析1981年全国高考数学试题及其解析文史类一．（本题满分6分）设a表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设a={有理数}，B={无理数}，试写出：1.a∪B,2.a∩B.二．（本题满分8分）化简：[?a7b23(a?b)2]?[2a2?b2a2a2(b?a)3]?[]24三．（本题满分6分）在a、B、c、d四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共四．（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx在区间（-π，π五．（本题满分10分）六．（本题满10分）已知正方形aBcd的相对顶点a（0，-1）和c（2，5），求顶点B和d 七．（本题满分17分）设1980年底我国人口以10（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？八．（本题满分15分）aBcd-a1B1c1d1为一正四棱柱，过a、c、B1三点作一截面，求证：截面acB1⊥对角面dBB1d九．（本题满分18分）1．设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为3，求k2．以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形9时，求P理工农医类一、设a表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设a={有理数},B={无理数},试写出:(1)a∪B,(2)a∩B.二、在a、B、c、d四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.三、下表所列各小题中,指出a是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.五、解不等式(x为未知数):六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点a和点B.已知点a和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段aB=10.(1)求直线aB和棱a所成的角;(2)求直线aB和平面Q所成的角.(1)过点a(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.十、附加题:计入总分.已知以aB为直径的半圆有一个内接正方形cdEF,其边长为1(如图).设ac=a,Bc=b,作数列U=a-b,1U2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,Uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;求证:un=un-1+un-2(n≥3).文史类参考答案及解析一、解：1.a∪B={实数},2.a∩B=Φ二、解：原式=83(b?a)b三、解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：aB、ac、ad、Bc、Bd、cd、Ba、ca、da、cB、dB、2.选举种数c43=4（种）所有可能的选举结果：aBc、aBd、acd、四、解：4是f(x)的一个周期的定义区间,故f(x)在这个区间上取得最大值2.f(x)?2sin(x??),所以f(x)以2为振幅,以2?为周期,区间(??,?)恰好五、答：sinasinBsinc??.abc证：引ad垂直Bc于d;引BE垂直ca的延长线于设△aBc的面积为S，则S??11ac?BE?bcsin(180??a)221bcsina;211Bc?ad?acsinB2211S?Bc?ad?absinc22111?S?bcsina?acsinB?absinc2221sinasinBsinc将上式除以abc,得：??.2abc又S?六、解：设ac中点为m（x,y）,则有x?0?2?1?5?1,y??2.?m(x,y)?m(1,2)22篇二：1981年高考数学全国卷(理科)及其参考答案1981年高考数学全国卷（理科）及其参考答案一．（本题满分6分）设a表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设a={有理数}，B={无理数}，试写出：1.a∪B,2.a∩B.解：1.a∪B={实数},2.a∩B=Φ二．（本题满分6分）在a、B、c、d四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：aB、ac、ad、Bc、Bd、cd、Ba、ca、da、cB、dB、2.选举种数c43=4（种）所有可能的选举结果：aBc、aBd、acd、三．（本题满分8分）下表所列各小题中，指出a是B的充分条件，还是必要条件，还1四．（本题满分8分）写出余弦定理（只写一个公式即可）证二：解析法：以a为原点，射线aB为x轴正向，建立直角坐标系，则得a(0,0),B(c,0),c(bcosa,bsina).由两点距离公式得：a2=|Bc|2=(c-bcosa)2+(-bsina)2=b2+c2-2bccosa.五．（本题满分10分）解不等式（x为未知数）：x?aa?abx?bb?cc?0.x?c解：右式=x2(x-a-b-c)>0原不等式解是x≠六．（本题满分10分）用数学归纳法证明等式2cosxxxx?cos2?cos3??cosn?2222sinxx2sinn2n对一切自然数n七．（本题满分15分）设1980年底我国人口以10（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.八．（本题满分17分）在1200的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点a和点a和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段aB=10，1．求直线aB和棱a 所成的角;2．求直线aB和平面Q解：1.在平面P内作直线ad⊥a于点d;在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，Fdc从点d作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点∴∠aBc等于aB 和a∠adc为两面角P-a-Q的平面角，∴∠adc=1200ad=2，BcdE为矩形，∴连接ac，由余弦定理得ac?27. 又因ad⊥a,cd⊥a,所以a垂直于△acdBc∥a得知Bc垂直于△acd所在的平面，∴Bc⊥在直角△aBc中，sin?aBc?ac7?,aB54??aBc?arcsin752．在△acd所在的平面内，作aF⊥cd交cd的延长线于点因为△acd 所在的平面⊥平面Q，∴aF⊥平面在△adF中，∠adF=600，ad=2，∴aF=2sin60??3连结BF，于是∠aBF是aB和平面Q所成的角，而△aBF为直角三角形，所以sin?aBF?aF33?.?aBF?arcsin.aB1010九．（本题满分17分）y2给定双曲线x??1.221．过点a（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P2．过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程;解：设直线L的方程为y=k(x-2)+1,(1)将（1）式代入双曲线方程，得：(2?k2)x2?(4k2?2k)x?4k2?4k?3?0(2)又设P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(,),则x1,x2必须是（2）的两个实根，所以有4k2?2k2x1?x2?2(k?2?0).k?25篇三：高考优秀作文(81)20XX年天津卷高考满分作文评析：愿景文题诠释]天津卷去年考查了开放性很强的命题作文――“留给明天”，今年依旧是命题作文，选用了新词汇“愿景”作为题目。

2．（8 分）（1981•北京）化简：
考点： 专题： 分析：
方根与根式及根式的化简运算． 计算题． 利用指数幂的运算法则，把原式转化为料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B, 2.A∩B.解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ二．（本题满分6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD三．（本题满分8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是解：见上表四．（本题满分8分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明证二：解析法：以A 为原点，射线AB 为x 轴正向，建立直角坐标系，则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA). 由两点距离公式得：a 2=|BC|2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2 =b 2+c 2-2bccosA.五．（本题满分10分） 解不等式（x 为未知数）：.0>-----cx bac b x a c b a x解：右式=x 2(x-a-b-c)>0 原不等式解是x ≠0,x>a+b+c六．（本题满分10分） 用数学归纳法证明等式Ynnn xx x x x x 2sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 32=⋅⋅⋅对一切自然数n 都成立证：略七．（本题满分15分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？解：1.所求人口数x （亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12， （1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2. 即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略八．（本题满分17分）在1200的二面角P-a-Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B A 和点B 到棱a 的距离分别为2和4，且线段AB=10， 1．求直线AB 和棱a 所成的角; 2．求直线AB 和平面Q 所成的角解：1.在平面P 内作直线AD ⊥a 于点D;在平面Q 内，作直线BE ⊥a 于点E ，从点D 作a 的垂线与从点B 作a 的平行线相交于点C∴∠ABC 等于AB 和a 所成的角∠ADC 为两面角P-a-Q 的平面角，∴∠ADC=1200又AD=2，BCDE 为矩形，∴CD=BE=4连接AC ，由余弦定理得.72=AC又因AD ⊥a,CD ⊥a,所以a 垂直于△ACD 所在的平面再由BC ∥a 得知BC 垂直于△ACD 所在的平面，∴BC ⊥AC在直角△ABC 中，,57sin ==∠AB AC ABCF D C57arcsin=∠∴ABC 2．在△ACD 所在的平面内，作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F 因为△ACD 所在的平面⊥平面Q ，∴AF ⊥平面Q在△ADF 中，∠ADF=600，AD=2，∴AF=360sin 2=︒连结BF ，于是∠ABF 是AB 和平面Q 所成的角，而△ABF 为直角三角形，所以.103arcsin .103sin =∠==∠ABF AB AF ABF 九．（本题满分17分）给定双曲线.1222=-y x1．过点A （2，1）的直线L 与所给的双曲线交于两点P 1及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程2．过点B （1，1）能否作直线m ，使m 与所给双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由解：设直线L 的方程为y=k(x-2)+1, (1) 将（1）式代入双曲线方程，得：(2) 0344)24()2(2222=-+--+-k k x k k x k又设P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),),,(y x P 则x 1,x 2必须是（2）的两个实根，所以有).02(22422221≠---=+k k k k x x按题意，.22),(212221--=∴+=k kk x x x x 因为),(y x 在直线（1）上，所以.2)12(21)222(1)2(222--=+---=+-=k k k k k k x k y再由y x ,的表达式相除后消去k 而得所求轨迹的普通方程为,17)21(47)1(822=---y x 这就是所求的轨迹方程 2．设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程，整理得(3) 032)22()2(2222=-+--+-k k x k k x k设21222111,),,(),,(x x y x Q y x Q 则必须是（3）的两个实根，即.2222221--=+k k k x x 如果B 是Q 1Q 2的中点，就有121=+x x ，即221=+x x ，所以有.222222=--k kk 综合起来，k 应满足 ⎪⎩⎪⎨⎧=--≥-+----.2222,0)32)(2(4)22()(222222k k k k k k k k I由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I)无解故满足题设中条件的直线不存在十．（附加题，本题满分20分，计入总分）已知以AB 为直径的半圆有一个内接正方形CDEF ，其边长为1（如图）设AC=a ，BC=b ，作数列u 1=a-b ，u 2=a 2-ab+b 2, u 3=a 3-a 2b+ab 2-b 3,…………，u k =a k -a k-1b+a k-2b 2-……+(-1)k b k ; 求证：u n =u n-1+u n-2(n ≥3) 证：通项公式可写成u k =a k-a k-1b+a k-2b 2-……+(-1)kb k=ba b a k k k +--+++111)1(因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1, ab=AC ·BC=CD 2=11112111n 11n 111112(1)(1) aba (1) ,(1)(1)()a (1)(1) (1)n n n n n n n n nn n n n n nn n n n n n n n n n a b u a ba b a bb ab a ba b a b u a b a b a b a b ab b a ba u u ---------+++++----=+--=+--=+----==-++-----=+--+=故得于是有11.n n b u a b+=+古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

高考数学普通高等学校招生全国统一考试81第I 卷（选择题 共50分）一、选择题1、设集合{4|41|9,}A x x R =-≥∈，{|0,}3xB x x R x =≥∈+，则A B = A 、(32]-- B 、5(32][0,)2--C 、5(0,3][,)2-+∞D 、5(0,3)[,)2-+∞2、若复数312a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为A 、-2B 、4C 、-6D 、6 3、给出下列三个命题 ① 若1a b ≥>-，则11a ba b≥++ ② 若正整数m 和n 满足m n ≤()2n m n n -≤③ 设()11,P x y 是圆221:9O x y +=上的任意一点，圆2O 以(),Q a b 为圆心，且半径为1。

当()()22111a x b y -+-=时，圆1O 与2O 圆相切其中假命题的个数为A 、0B 、1C 、2D 、34、设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则m β⊥的一个充分条件是 A 、,,l m l αβαβ⊥=⊥ B 、,,m αγαγβγ=⊥⊥C 、,,m αγβγα⊥⊥⊥D 、,,n n m αβα⊥⊥⊥5、设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐进线的斜率为 A 、2± B 、43±C 、12±D 、34± 6、从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22221x y m n+=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是 A 、43 B 、72 C 、86 D 、907、某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为 A 、81125 B 、54125 C 、36125 D 、271258、要得到2y x =的图象，只需将函数224y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的A 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动π个单位长度C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动π个单位长度D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动π个单位长度 9、设()1f x -是函数()()()112xx f x a a a -=->的反函数，则使()11f x ->成立的x 的取值范围为A 、21(,)2a a -+∞B 、21(,)2a a --∞C 、21(,)2a a a- D 、(,)a +∞10、若函数()()()3log 0,1a f x x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调递增，则a 的取值范围是A 、1[,1)4 B 、3[,1)4 C 、9(,)4+∞ D 、9(1,)4第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上。