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作业 1 1 动态规划练习为保证某一设备的正常运转，需备有三种不同的零件 E 1 , E 2, E 3。
若增加备用零件的数量，可提高设备正常运转的可靠性，但增加了费用，而投资额仅为8000 元。
已知备用零件数与它的可靠性和费用的关系如表1 所示。
现要求在既不超出投资额的限制，又能尽量提高设备运转的可靠性的条件下，问各种零件的备件数量应是多少为好？要写出计算程序。
解设投资顺序为 E1，E2，E3，阶段编号逆向编号，即第一阶段计算给E3 投资的效果。
设ks 为第 k 阶段的剩余款，kx 为第 k 阶段的拨款额，状态转移方程为k k kx s s 1，目标函数为 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( max3 2 1P P P f ,其中1P ，2P ，3P 分别为 E1，E2，E3 增加的可靠性第一阶段对 E3 的投资效果决策表s1\x1 0 2 3 4 *1xf1 0 10 1 1 10 1 2 1 12 13 1 1 23 24 1 1 2 7 4 75 1 1 2 7 4 76 1 1 27 4 7 7 1 1 2 7 4 78 1 1 2 7 4 7第二阶段，对 E2 的投资效果由于 E1 最多只需 3000，故 52 s 千决策表s2\x2 0 3 5 6 *2xf2 5 7 32 55 567 44 5 9 6 9 7 7 04 65 9 3 048 7 04 8 09 6 09 第三阶段对 E1 的投资效果决策表: s3\x3 0 2 3 4 *3xR3 8 09 09 8 0.7 0,2 09 回溯有两组最优解(1)x3=0,x2=3,x1=2,maxf=09 (2)x3=1,x2=3,x1=0,maxf=092 2 层次分析法练习你已经去过几家主要的摩托车商店，基本确定将从三种车型中选购一种，你选择的标准主要有价格、耗油量大小、舒适程度和外观美观情况。
经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较判断矩阵。
动态规划练习题[题1] 多米诺骨牌（DOMINO）问题描述：有一种多米诺骨牌是平面的,其正面被分成上下两部分,每一部分的表面或者为空，或者被标上1至6个点。
现有一行排列在桌面上: 顶行骨牌的点数之和为6+1+1+1=9;底行骨牌点数之和为1+5+3+2=11。
顶行和底行的差值是 2.这个差值是两行点数之和的差的绝对值。
每个多米诺骨牌都可以上下倒置转换，即上部变为下部，下部变为上部.现在的任务是，以最少的翻转次数，使得顶行和底行之间的差值最小.对于上面这个例子，我们只需翻转最后一个骨牌，就可以使得顶行和底行的差值为0，所以例子的答案为1.输入格式：文件的第一行是一个整数n(1〈=n<=1000〉，表示有n个多米诺骨牌在桌面上排成一行。
接下来共有n行，每行包含两个整数a、b(0〈=a、b〈=6，中间用空格分开〉。
第I+1行的a、b分别表示第I个多米诺骨牌的上部与下部的点数（0表示空）.输出格式：只有一个整数在文件的第一行。
这个整数表示翻动骨牌的最少次数，从而使得顶行和底行的差值最小。
[题2］Perform巡回演出题目描述:Flute市的Phlharmoniker乐团2000年准备到Harp市做一次大型演出,本着普及古典音乐的目的，乐团指挥L.Y。
M准备在到达Harp市之前先在周围一些小城市作一段时间的巡回演出,此后的几天里，音乐家们将每天搭乘一个航班从一个城市飞到另一个城市,最后才到达目的地Harp市（乐团可多次在同一城市演出）.由于航线的费用和班次每天都在变,城市和城市之间都有一份循环的航班表，每一时间,每一方向，航班表循环的周期都可能不同。
现要求寻找一张花费费用最小的演出表。
输入：输入文件包括若干个场景.每个场景的描述由一对整数n（2〈=n〈=10)和k(1〈=k<=1000）开始,音乐家们要在这n个城市作巡回演出,城市用1..n标号,其中1是起点Flute市，n是终点Harp市,接下来有n*(n-1）份航班表,一份航班表一行，描述每对城市之间的航线和价格，第一组n—1份航班表对应从城市1到其他城市(2，3，..。
动态规划习题Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】动态规划专题分类视图数轴动规题：题1.2001年普及组第4题--装箱问题【问题描述】有一个箱子容量为V(正整数,0≤V≤20000),同时有n个物品(0<n≤30),每个物品有一个体积（正整数）。
要求从n个物品中,任取若干个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。
【输入格式】输入文件box.in有若干行。
第一行：一个整数，表示箱子容量V；第二行：一个整数，表示物品个数n；接下来n行，分别表示这n个物品的各自体积。
【输出格式】输出文件box.out只有一行数据，该行只有一个数，表示最小的箱子剩余空间。
【输入样例】2468312797【输出样例】题2.1996年提高组第4题--砝码秤重__数据加强版【问题描述】设有n种砝码,第k种砝码有Ck 个,每个重量均为Wk,求：用这些砝码能秤出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况。
【输入格式】输入文件weight.in的第一行只有一个数n,表示不同的砝码的种类数.第2行至第n+1行,每行有两个整数.第k+1行的两个数分别表示第k种砝码的个数和重量.【输出格式】输出文件weight.out中只有一行数据:Total=N。
表示用这些砝码能秤出的不同重量数。
【输入样例】22223【输出样例】Total=8【样例说明】重量2,3,4,5,6,7,8,10都能秤得【数据限制】对于100%的数据,砝码的种类n满足:1≤n≤100;对于30%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤20;对于100%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤100;对于所有的数据,砝码的总重量W满足:1≤W≤400000;题3.石子归并-szgb.pas【问题描述】有一堆石头质量分别为W1,W2,…,Wn.(Wi≤10000),将石头合并为两堆,使两堆质量的差最小。
【输入】输入文件szgb.in的第一行只有一个整数n(1≤n≤50),表示有n堆石子。
动态规划算法作业动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法。
在这种方法中，我们将问题划分为多个子问题，并通过解决这些子问题来求解原始问题的最优解。
动态规划可以应用于各种领域，如经济学、制造业、计算机科学等，在优化问题中经常被使用。
1.状态定义：确定问题的子问题以及每个子问题的状态。
状态是问题的关键属性，这些属性在问题的不同阶段保持不变。
2.状态转移方程：表示问题的子问题之间的关系。
它描述了如何从一个子问题转移到下一个子问题。
通过状态转移方程，我们可以推导出子问题的最优解。
3.初始条件：定义问题的起始状态。
这通常是问题的边界条件，如在第一个阶段的子问题中，我们需要定义初始状态。
4.最优解的计算：通过迭代计算，我们可以逐步解决子问题，并最终求解出原始问题的最优解。
这通常通过填充一个表或者使用递归函数来实现。
为了更好地理解动态规划算法的应用，我们可以考虑以下两个经典问题。
1.背包问题：有一个容量为C的背包和一组物品。
每件物品有一个重量和价值。
我们的目标是选择物品，使其总重量不超过背包的容量，同时价值最大化。
我们可以使用动态规划来解决这个问题。
我们定义一个二维表，其中每一行表示一个物品，每一列表示背包的容量。
通过填充这个表，我们可以计算出每个子问题的最优解，并最终得出最优解。
2.最长公共子序列问题：给定两个字符串，求它们的最长公共子序列。
子序列在原字符串中不一定是连续的，但保持原有顺序。
我们可以使用动态规划来解决这个问题。
我们定义一个二维表，其中每个单元格表示两个字符串的子问题。
通过填充这个表，我们可以逐步计算出更长子序列的最优解，并最终得出最长公共子序列。
动态规划算法的优点是可以减少问题的重复计算，并且可以避免使用递归导致的堆栈溢出。
然而，这种算法也存在一些局限性。
首先，动态规划算法需要定义子问题以及状态转移方程，这在一些问题中可能会很困难。
其次，动态规划算法的时间复杂度通常较高，特别是对于一些大规模问题。
动态规划作业1、1、设某工厂自国外进口一部精密机器，由机器制造厂至出口港有三个港口可供选择，而进口港又有三个可供选择，进口后可经由两个城市到达目的地，其间的运输成本如图中所标的数字，试求运费最低的路线?把A看作终点，该问题可分为4个阶段。
f k(S k)表示从第K阶段点S k到终点A的最短距离。
f4(B1)=20，f4(B2)=40，f4(B3)=30f3(C1)=min[d3(C1,B1)+ f4(B1), d3(C1,B2)+ f4(B2), d3(C1,B3)+ f4(B3) ]=70，U3(C1)= B2 或B3f3(C2)=40 ，U3(C2)= B3f3(C3)=80 ，U3(C3)= B1或B2 或B3f2(D1)=80 ，U2(D1)= C1f2(D2)=70 ，U2(D2)= C2f1(E)=110 ，U1(E)= D1或D2所以可以得到以下最短路线，E→D1→C1→B2 / B3→AE→D2→C2→B3→A2、习题4－2解：1)将问题按地区分为三个阶段，三个地区的编号分别为1、2、3；2)设Sk表示为分配给第k个地区到第n个地区的销售点数，Xk表示为分配给第k个地区的销售点数，S k＋1＝S k－X kPk(Xk)表示为Xk个销售点分到第k个地区所得的利润值fk(Sk)表示为Sk个销售点分配给第k个地区到第n个地区的最大利润值3)递推关系式：fk(Sk)＝max[ Pk(Xk)+ f k+1(S k－X k) ] k=3,2,1f4(S4)＝04）从最后一个阶段开始向前逆推计算第三阶段：设将S3个销售点（S3＝0,1,2,3,4）全部分配给第三个地区时，最大利润值为：f3(S3)＝max[P3(X3)] 其中X3＝S3＝0,1,2,3,4表1第二阶段：设将S2个销售点（S2＝0,1,2,3,4）分配给乙丙两个地区时，对每一个S2值，都有一种最优分配方案，使得最大盈利值为：f2(S2)＝max[ P2(X2)+ f3(S2－X2) ]其中，X2＝0,1,2,3,4表2第一阶段：设将S1个销售点（S1＝4）分配给三个地区时，则最大利润值为：f1(S1)＝max[ P1(X1)+ f2(4－X1) ]其中，X1＝0,1,2,3,4表3然后按计算表格的顺序反推，可知最优分配方案有两个：最大总利润为531）由X1*＝2，X2*＝1，X3*＝1。
23.（11分）请用动态规划逆序求解法求解下列问题：求出下图中从A到E的最短路线及长度。
在图中标出每个点到终点的最短距离。
24. （11分）一个旅行者从A点出发，经过B、C、D等处，到达E。
各地间距离如图中所示。
问该旅行者应选择哪一条路线，使从A到E的总路程最短？（可直接在图上标号，最后给定答案）
24.一个旅行者从A点出发，经过B、C、D等处，到达E。
各地间距离如图中所示。
问该旅行者应选择哪一条路线，使从A到E的总路程最短？（可直接在图上标号，最后给定答案）（11分）
解：此为动态规划之“最短路问题”，可用逆向追踪“图上标号法”解决如下：
最佳策略为：A →B 2→C 1→D 1→E 或A →B 3→C 1→D 1→E 此时从A 到E 的总路程的最短距离都是11
23. 请用动态规划逆序求解法求解下列问题：
各点标号依次为：A:8, B1：7，B2:6, B3:8, C1：5， C2：4，D1：3，D2：1，D3：5.
25. 某厂生产C B A ,,三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表。
要求：建立模型，并用单纯形法计算，确定获利最大的产品生产计划。
解：（1）设C B A ,,
各生产321,,x x x 件。
有
32143min x x x z ++=
st.⎪⎩⎪
⎨⎧=≥≤++≤++)3,2,1(,03054345
536321321j x x x x x x x j
（4分）
获利最大的生产计划是C B A ,,各生产5件、0件、3件，最大利润为273453=⨯+⨯=z 元。
（15分）。
1
第五章 动态规划作业题及答案
1．用动态规划法求解求最短路径
从起点A 到终点E 之间各点的距离如图所示。
求A 到E 的最短路径。
B A
C B
D B C D E
C 21
23
12
31
2
5
11214
10610
41312113
96
5810
5
2
2．用动态规划法求解资源分配问题
有资金4万元，投资A 、B 、C 三个项目，每个项目的投资效益与投入该项目的资金有关。
三个项目A 、B 、C 的投资效益（万吨）和投入资金（万元）的关系见下表：
用动态规划法求解对三个项目的最优投资分配，使总投资效益最大。
3．用动态规划法求解生产库存问题
一个工厂生产某种产品，1～7月份生产成本和产品需求量的变化情况如下表：
为了调节生产生产和需求，工厂设有一个产品仓库，库容量H=9。
已知期初库存量为2，要求期末（七月低）库存量为0。
每个月生产的产品在月末入库，月初根据当月需求发货。
求七个月的生产量，能满足各月的需求，并使生产成本最低。
4．用动态规划法求解背包问题
第i 种每件价值c 1=65，c 2=85，c 3=40元; 第i 种物品每件重量为:w 1=2，w 2=3，w 3=1公斤;现有一只可装载重量为5公斤的背包，求各种物品应各取多少件放入背包，使背包中物品的价值最高。
动态规划专项练习（1）动态规划专项练习(1)1、警卫安排（security.pas/c/cpp）一个重要的基地被分为n个连通的区域。
出于某种神秘的原因，这些区域以一个区域为核心，呈一颗树形分布。
在每个区域安排警卫所需要的费用是不同的，而每个区域的警卫都可以望见其相邻的区域，只要一个区域被一个警卫望见或者是安排有警卫，这个区域就是安全的。
你的任务是：在确保所有区域都是安全的情况下，找到安排警卫的最小费用。
输入数据第一行n，表示树中结点的数目。
接下来的n行描述了n个区域的信息，每一行包含的整数依次为：区域的标号i(0<i<=n)，在区域i安排警卫的费用k，区域i的子结点数目m，接下来m个数为区域i p="" 的子结点编号。
<=""> 输出数据一行一个整数，为最小的安排费用。
样例输入:security.in61 30 323 42 16 2 5 63 5 04 4 05 11 06 5 0输出security.out25数据范围对于所有的数据，0<n<=720。
< p="">2、最长上升子序列（LIS.pas/c/cpp）LIS问题是最经典的动态规划基础问题之一。
如果要求一个满足一定条件的最长上升子序列，你还能解决吗？给出一个长度为N整数序列，请求出它的包含第K个元素的最长上升子序列。
例如：对于长度为6的序列<2,7,3,4,8,5>，它的最长上升子序列为<2,3,4,5>，但如果限制一定要包含第2个元素，那么满足此要求的最长上升子序列就只能是<2,7,8>了。
输入数据第一行为两个整数N,K，如上所述。
接下来是N个整数，描述一个序列。
输出数据请输出一个整数，即包含第K个元素的最长上升子序列长度。
样例输入8 665 158 170 299 300 155 207 389输出4数据范围对于所有的数据，满足0<n<=200000，0<k<=n< p="">3、最短回文串（palindrome.pas/c/cpp）如果一个字符串正过来读和倒过来读是一样的，那么这个字符串就被称作回文串。
动态规划作业1、1、设某工厂自国外进口一部精密机器，由机器制造厂至出口港有三个港口可供选择，而进口港又有三个可供选择，进口后可经由两个城市到达目的地，其间的运输成本如图中所标的数字，试求运费最低的路线?把A看作终点，该问题可分为4个阶段。
f k(S k)表示从第K阶段点S k到终点A的最短距离。
f4(B1)=20，f4(B2)=40，f4(B3)=30f3(C1)=min[d3(C1,B1)+ f4(B1), d3(C1,B2)+ f4(B2), d3(C1,B3)+ f4(B3) ]=70，U3(C1)= B2 或B3f3(C2)=40 ，U3(C2)= B3f3(C3)=80 ，U3(C3)= B1或B2 或B3f2(D1)=80 ，U2(D1)= C1f2(D2)=70 ，U2(D2)= C2f1(E)=110 ，U1(E)= D1或D2所以可以得到以下最短路线，E→D1→C1→B2 / B3→AE→D2→C2→B3→A2、习题4－2解：1)将问题按地区分为三个阶段，三个地区的编号分别为1、2、3；2)设Sk表示为分配给第k个地区到第n个地区的销售点数，Xk表示为分配给第k个地区的销售点数，S k＋1＝S k－X kPk(Xk)表示为Xk个销售点分到第k个地区所得的利润值fk(Sk)表示为Sk个销售点分配给第k个地区到第n个地区的最大利润值3)递推关系式：fk(Sk)＝max[ Pk(Xk)+ f k+1(S k－X k) ] k=3,2,1f4(S4)＝04）从最后一个阶段开始向前逆推计算第三阶段：设将S3个销售点（S3＝0,1,2,3,4）全部分配给第三个地区时，最大利润值为：f3(S3)＝max[P3(X3)] 其中X3＝S3＝0,1,2,3,4表1第二阶段：设将S2个销售点（S2＝0,1,2,3,4）分配给乙丙两个地区时，对每一个S2值，都有一种最优分配方案，使得最大盈利值为：f2(S2)＝max[ P2(X2)+ f3(S2－X2) ]其中，X2＝0,1,2,3,4表2第一阶段：设将S1个销售点（S1＝4）分配给三个地区时，则最大利润值为：f1(S1)＝max[ P1(X1)+ f2(4－X1) ]其中，X1＝0,1,2,3,4表3然后按计算表格的顺序反推，可知最优分配方案有两个：最大总利润为531）由X1*＝2，X2*＝1，X3*＝1。
即得第一个地区分得2个销售点，第二个地区分得1个销售点，第三个地区分得1个销售点。
2）由X1*＝3，X2*＝1，X3*＝0。
即得第一个地区分得3个销售点，第二个地区分得1个销售点，第三个地区分得0个销售点。
3、某施工单位有500台挖掘设备，在超负荷施工情况下，年产值为20万元/台，但其完好率仅为0.4，在正常负荷下，年产值为15万元/台，完好率为0.8。
在四年内合理安排两种不同负荷下施工的挖掘设备数量，使第四年年末仍有160台设备保持完好，并使产值最高。
试求出四年内使得产值最高的施工方案和产值数。
解：1）该问题分成四个阶段，k 表示年度，k ＝1,2,3,4 2）设Sk 表示为分配给第k 年初拥有的完好挖掘设备数量， Uk 表示为第k 年初分配在超负荷下施工的挖掘设备数量， Dk (Sk)={ Uk|0≤Uk ≤Sk }Sk －Uk 表示为第k 年初分配在正常负荷下施工的挖掘设备数量。
状态转移方程：S k ＋1＝0.4Uk +0.8(Sk －Uk)， S1＝500台 3）设vk(sk,uk)为第k 年度的产量，则 vk ＝20Uk +15(Sk －Uk) 故指标函数为V1,4= f k (Sk)表示由资源量Sk 出发，从第k 年开始到第4年结束时所生产的产量最大。
4）递推关系式：f k (Sk)＝MAX{20 Uk +15(Sk －Uk)+ f k+1[0.4Uk +0.8(Sk －Uk)]} k=1,2,3,4 5）从第4阶段开始，向前逆推计算 当k ＝4时，∑=41k )U ,(S V k k kS5=160, 0.4U4 +0.8(S4－U4)=160 2S4-U4=400 U4=2S4-400 f4(S4)＝MAX{20 U4 +15(S4－U4)+ f5[0.4U4 +0.8(S4－U4)]} ＝MAX{5 U4 +15S4}=25S4-2000当k＝3时，f3(S3)＝MAX{20 U3 +15(S3－U3)+ f4[0.4U3 +0.8(S3－U3)]} = MAX{5U3+15S3+25(0.8S3-0.4U3)-2000}＝MAX{-5U3 +35S3-2000}故得最大解U3*＝0所以f3(S3)＝35 S3-2000依次类推，可求得：U2*＝0，f2(S2)＝43S2-2000U1*＝0，f1(S1)＝49.4S1-2000因为S1＝500台，故f1(S1)＝22700台最优策略为U1*＝0，U2*＝0，U3*＝0，U4*＝112已知S1＝500，S2＝0.4U1 *+0.8(S1－U1*)＝0.8S1＝400S3＝0.4U2 *+0.8(S2－U2*)＝0.8S2＝320S4＝0.4U3 *+0.8(S3－U3*)＝0.8S3＝256U4=2S4-400=112 S4-U4=256-112=144即前三年应把年初全部完好的挖掘设备投入正常负荷下施工，第四年应把年初112台全部完好的挖掘设备投入超负荷下施工，144台投入正常负荷下施工。
这样最高产量为22700台。
4、某电视机厂为生产电视机而需生产喇叭，生产以万只为单位。
根据以往记录，一年的四个季度需要喇叭分别是3万、2万、3万、2万只。
设每万只存放在仓库内一个季度的存储费为0.2万元，每生产一批的装配费为2万元，每万只的生产成本费为1万元。
问应该怎样安排四个季度的生产，才能使总的费用最小？再生产点性质，Xi Xi hi Xi nXi Xi Xi Ci 2.0)(00,2,12)(=⎩⎨⎧==+= C(1,1)=C(3)+h(0)=5 C(1,2)=C(5)+h(2)=7.4 C(1,3)=C(8)+h(5)+h(3)=11.6 C(1,4)=C(10)+h(7)+h(5)+h(2)=14.8C(2,2)=C(2)+h(0)=4 C(2,3)=C(5)+h(3)=7.6 C(2,4)=C(7)+h(5)+h(2)=10.4C(3,3)=C(3)+h(0)=5 C(3,4)=C(5)+h(2)=7.4 C(4,4)=C(2)+h(0)=4f0=0 f1=f0+ C(1,1)=5 j(1)=1f2=min{f0+ C(1,2),f1+ C(2,2)}=min{0+7.4,5+4}=7.4 j(2)=1 f3= min{f0+ C(1,3),f1+ C(2,3),f2+ C(3,3)} =min{0+11.6,5+7.6,7.4+5}=11.6 j(3)=1F4= min{f0+ C(1,4),f1+ C(2,4),f2+ C(3,4), f3+ C(4,4)} =min{0+14.8,5+10.4,7.4+7.4,11.6+4}=14.8 j(4)=1,3 当j(4)=1，X1=d1+d2+d3+d4=10,X2=0,X3=0,X4=0当j(4)=3,X3=d3+d4=5,X4=0,X1=d1+d2=5,X2=0。
5、某工厂生产三种产品，各产品重量与利润关系如下表所示，现将此三种产品运往市场出售，运输能力总重量不超过6吨。
问如何安排运输使总利润最大。
解：(){}{()}()()}{2180,60max 3463180max )2130180max(3180max 62221,036343f f x f x x x x f x x ++=-+=++==≤(){}{()}()()()}{}{01260260,210,240max 0260,3130,60max 2362130max )180max(2130max 611112,1,026232===+++=-+=+==≤x f f f x f x x x f x x (){}{()}()118022322130max )180max(2130max 211022232===-+=+==≤x f x f x x x f x x()}{13,02,1103,22,01260260,260max 63========x x x x x x f6、某工厂在一年进行了A、B、C三种新产品试制，由于资金不足，估计在年内这三种新产品研制不成功的概率分别为0.40、0.60、0.80，因而都研制不成功的概率为0.4×0.6×0.8=0.l92。
为了促进三种新产品的研制，决定增援2万元的研制费，并要资金集中使用，以万元为单位进行分配。
其增援研制费与新产品不成功的概率如下表所示。
试问如何分配费用，使这三秤新产品都研制不成功的概率为最小。
解:1) （1分）将问题按产品A、B、C分为三个阶段，k=1、2、3；2) （6分）设Sk表示第k阶段可分配给第k个产品到第n个产品的研制费，S1＝2Xk设为决策变量，表示第k阶段分配给第k个产品的研制费。
状态转移方程为Sk＋1＝Sk－Xk允许决策集合：Dk(Sk)＝{ Xk∣0≤Xk≤Sk，Xk为整数}Pk(Xk)表示为第k个产品失败的概率fk(Sk)表示为Sk万元研制费分配给第k个产品到第n个产品的最小的失败概率3)（4分）递推关系式：f k(Sk)＝min[ Pk(Xk)×f k+1(Sk－Xk) ] k=3,2,1边界条件： f4(S4)＝14）（11分）从最后一个阶段开始向前逆推计算第三阶段：设将S3万元研制费（S3＝0,1,2）全部分配给C产品时，最小的失败概率为：f3(S3)＝min[P3(X3)] 其中X3＝S3＝0,1,2X3*表示使得f3(S3)为最大值时的最优决策。
第二阶段：设将S2万元研制费（S2＝0,1,2）分配给B、C产品时，最小的失败概率为：f2(S2)＝min[ P2(X2)×f3(S2－X2) ]其中，X2＝0,1,2第一阶段：设将S1万元研制费（S1＝2）分配给三个产品时，最小的失败概率为：f1(S1)＝min[ P1(X1)×f2(S1－X1) ]其中，X1＝0,1,25）即分配给A产品1万元，B产品0万元，C产品1万元，可使三个小组都失败的概率减小到0.060。
