微分算子法

微分算子法中D 的运算D ：微分的意思，如Dx 2=2x ， D 3x 2=0D 1:积分的意思，如D 1x=2x 2*******************************************************************************定理1：)()(F k F e e D kx kx = 注意使用公式时的前后顺序例： x x x x e e k e e D 22222225)12()1()1(=+=+=+推论：)(1)(F 1k F e e D kxkx = （F(k)≠0）例：xe y y 2=+''x e y D 22)1(=+ x xx e e e D y 22222*51121)1(1=+=+=******************************************************************************定理2：)(sin sin )(F 22a F ax ax D -⋅=)(c o s c o s )(F 22a F ax ax D -⋅= 注意使用公式时的前后顺序推论：)(1sin sin )(F 122a F ax ax D -⋅= （F(-a 2) ≠0）例：xy y 3cos 24=+）（x y D 3c o s 2)1(4=+xx x x D x D y 3cos 4113cos 82121)3(13cos 23cos 1)(123cos )1(1222224*=⋅⋅=+-⋅⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=遇到sinax,cosax 时，要凑出D 2来。

F(D)里有D 2，即可代换为-a 2，代换后继续算F(D)。

*******************************************************************************定理3： )()()()(F x v k D F e x v e D kxkx += 注意使用公式时的前后顺序推论：)()(1)()(F 1x v k D F e x v e D kx kx +=例：xe x y y 22y 44⋅=+'-''x e x y D D 222)44(⋅=+- 42222222222*1211)2)2((1)2(1x e x D e x D e x e D y x x x x ⋅=⋅⋅=⋅-+=⋅-=例：x e y y y =-'+''-'''y 33x e y D =-3)1( xe D y 3*)1(1-=此时不能用定理1，故3333*61111)1)1((1x e D e D e D e y x x x x⋅⋅=⋅=⋅=-+= ******************************************************************************例： xy y e 4=-）（x e D e D e eD e D e D D e D D D e D y x x x x x x x x ⋅==-+⋅=-⋅=+⋅⋅⋅-=⋅⋅+⋅-=⋅+⋅-⋅+=⋅-=411411114111411112111211111111111)1(12224*例：22+-=+''x x y y2)1(22+-=+x x y D )2()1(122*+-+=x x D y 用长除法：按幂次增加排列，至得出的D 的最高幂次与x 的最高幂次相同。

高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法是一种特殊的数值解法，用于求解高阶常系数非齐次线性微分方程。

它利用算子方法（operator method）来求解这类方程，即将微分方程转化为
一个算子方程，然后再使用数值方法求解算子方程。

首先，将高阶常系数非齐次线性微分方程转化为算子方程，即：
$\mathcal{L}y=f$
其中，$\mathcal{L}$是一个算子，$y$是待求解的函数，$f$是
方程的右端项。

接下来，使用数值方法求解算子方程。

常用的方法有有限差分法（finite difference method）和有限元法（finite element method）等。

有限差分法是将算子方程转化为一组线性方程组，然后使用数值解法（如Gauss-Seidel法）求解。

有限元法是将空间上的算子方程转化为一组有限元方程，然后使用数值解法（如Galerkin法）求解。

最后，根据求解的结果，得到算子方程的解，即高阶常系数非齐次线性微分方程的解。

一、概念精髓1、概念精髓：积分变微分对大多数人来说，积分难于上青天，微分三下五除二。

微分算子法正是将积分的难转化为微分的易。

这也正是引入微分算子法的最大最好的理由依据2、概念正误分辨说明D是微分，1/D 是积分。

在其前的都是因式，其后的都是待微分或积分的分辨x(1/D)e x=(1/D)xe x=e x(1/D)x ? 错，因为顺序不一样，待积分的项也不一样，分别为e x，xe x，xsinxD(e x) =e x D(sinx) ? 错，因为待微分的项分别为e x,sinx总之，在有微分算子的式子中不要以为就像普通的因式相乘一样可以前后交换因式。

但是，它以算子为分界，只分前后两部分，如xe x sinx(1/D)x3cos4x前面的因式中xe x sinx是可交换的相乘，后面的待微积分的x3cos4x也可交换(是因式)。

二、方法单纯项这是基础，要牢记若f(x)含常数系数，直接保留不变。

这适合所有算子公式。

1、f(x)=e kx (纯幂函数)直接代入系数如y”+2y’+3y=4e5x→ y*=(1/D2+2D+3)4e5x=(1/(25+10+3))4e5x=4/38e5x=2/19e5x2、f(x)=v(x)=a0x m+a1x m-1+…a m-1x+a m (纯多项式)用长除法如y”+2y’+3y=4x2+5x+6 → y*=(1/D2+2D+3)4x2+5x+6长除法就是仅对1/(D2+2D+3)的除法用小学的除法计算式来算。

限于文本方式无法直观示出。

本例中先以1除以3得商1/3，要减的乘积为1+2/3D+1/3D2，余数为-2/3D-1/3D2。

再除以3得商-2/9D，要减的乘积为-2/3D-4/9D2-2/9D3，余数为1/9D2。

此时3次方项不必再写出，因为此多项式的最高次为2。

再除以3得商1/27D2，至此计算结束，即1/(D2+2D+3)= 1/3-2/9D+1/27D2。

∴y*=(1/3-2/9D+1/27D2)4x2+5x+6 (上面是积分，现已变为微分)=(4/3x2+5/3x+6/3)+(-2/9*8x-2/9*5)+(1/27*8)=4/3x2-1/9x+32/27这算是一个较复杂的例子，但若用待定系数法应该会更复杂。

陈文登考研数学一里面的微分算子法的推导撰写1.定义 引进记号因此，n 阶常系数线性非齐次方程令111()n n n n F D D a D a D a --=++++，则： 方程 *1()()()()F D y f x y f x F D ⇒=⇒= 注意：D 表示求导，1D 表示积分，如2111,cos sin 2x x x x D D==，不用带常数。

2.1()F D 性质 性质1 11,()0()()kx kx e e F k F D F k =≠，若k 为()F k 的m 重根，则： 性质22211sin sin ()()ax ax F D F a =- 若2()0F a -=，不妨设2()a -为2()0F a -=的m 重根，则性质3 11()()()()kx kx e f x e f x F D F D k =+ 性质41111111()()()()p p p p p p p p x b x b x b Q D x b x b x b F D ----++++=++++ 其中()Q x 为1除以()F D ，按升幂排列1()n n n a a D D -+++所得商式，其最高次数为p 。

3.推导：关于性质1、2、3的推导详看我在豆丁上传的微分算子法下面主要看性质4性质4 我们用例题来说明它到底是什么意思例 求26535x y y y e x '''-+=-+解 显然12()()()y x y x y x =+其中1211()(3)(3)65(1)(5)x x y x e e D D D D =-=--+-- 今有 1111131313()(3)(3)1151154144x x x x x y x e e e e xe D D D D D =-=-===----- 最后得 注：2()y x 用上面蓝色的解法当然是很好的一种方法。

但有更一般的解法，即是性质4 令 2201221()(5)65g x x a x a x a D D ==++-+(注意x 的最高次幂要相同) 则 2222012(65)(())(65)()5D D g x D D a x a x a x -+=-+++= 根据同幂系数相等的原则有方程组010210151205620a a a a a a =⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩解得： 1011251205a a a -=⇒= 即：2222012211262()()(5)65525y x g x x a x a x a x x D D ===++=++-+ 以后所有高次的多项式都可以应用此法进行求解了。

常系数非齐次线性微分方程的解法有很多，例如笔者的教材（《高等数学第六版》）所述的待定系数法和接下来给出的称之为“算子法”以及另一种同样使用算子的方法。

1、首先介绍一种使用算子求解的方法：考察二阶常系数非齐次线性微分方程d2x/dt2＋a1dx/dt＋a0x＝b(t)相应的齐次方程的通解是已知的，所以只须求出方程的一个特解（由微分方程解的结构给出）。

设该方程的特征多项式q(λ)＝λ2＋a1λ＋a0分解为q(λ)＝(λ－λ1) (λ－λ2)则算子多项式q(D)也分解为q(D)＝(D－λ1) (D－λ2)则原微分方程可写成 (D－λ1) (D－λ2)＝b(t)依次解以下两个方程(D－λ2) x1＝b(t)(D－λ1) x＝x1就可求得方程的特解。

（其中x1看成是中间变量，只要通过求解x1来求解x）对于λ1和λ2是共轭虚数的情形，按上述步骤求得的方程特解有可能是一个复值函数z(t)＝x(t)＋iy(t)。

这时应有恒等式d2z(t)/dt2＋a1dz(t)/dt＋a0z(t)＝b(t)比较上式两边的实部，我们得到d2x(t)/dt2＋a1dx(t)/dt＋a0x(t)＝b(t)这样，不论λ1和λ2是实数或者是共轭虚数，我们都可能够求出方程在实数范围内的特解，从而完全解决了这方程的求解问题。

给出教材上一个例子:求微分方程y``－5y`＋6y＝xe2x.（《高等数学》P343）解：该微分方程的算子多项式分解为 q(D)＝(D－2) (D－3)设y1＝(D－2)y，代入知(D－3)y1＝xe2x（该式子是一阶常系数微分方程），易求得y1＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x（其中C为任意常数）.所以 (D－2)y＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x.得y＝C1e2x＋C2e3x－(x2＋2x) e2x／2.2、下面来说另一种更简便的方程，也就是“算子法”。

不过在使用算子法的时候，很多性质是必须了解的，在这里不作说明。

“算子法”是一个能直接求出常系数非齐次线性微分方程的特解的一个简单的方法，也就是得到我们需要求的y*。

二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法常系数线性微分方程是常微分方程中的重点内容之一，其求解方法通常是先求对应的齐次 线性方程的通解，再求一特解。

前者用特征方程法容易得到，难点是特解的求法。

多数教材中采用的是待定系数法求其特解, 这不仅要根据非线性项的不同情况做相应的处理, 而且计算过程中需要求导运算和求解线性方程组。

因此, 微分算子法成为求解不同类型的常系数非齐次线性微分方程特的有效方法, 基于上述考虑, 文章针对非线性项的不同情况, 给出微分算子法求 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式, 具有记忆方便, 计算简单的特点。

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为()y py qy f x '''++=， （1）其中,p q 为常数.为了文中需要，我们给出通常教材中所给出的求特解的待定系数法 见下表表中()n R x 为待定的n 次多项式，()k R x , ()k S x 为系数待定的k 次多项式，max k ={},n m .引入微分算子,dD dx= 222,d D dx =则有,dyy Dy dx'== 222,dy y D y dx ''==于是式（1）可化为()()2D pD q y f x ++= （2）令()2,F D D pD q =++称为算子多项式，则式（2）即为()()F D y f x =，其特解为()()1,y f x F D =这里，()1F D 称为逆算子.1．算子多项式1.1 算子多项式的性质引理[]61 设算子多项式()F D 如上定义，()f x ,()g x 为可微函数，则有 (1)()()()()()()()F D f x g x F D f x F D g x αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦; (2) 设 ()()()12F D F D F D =; 则有()()()()()()1221F D F D f x F D F D f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(3) 设()()()12F D F D F D =+， 则有()()()()()()12F D f x F D f x F D f x =+.证明略.1.2算子多项式的公式引理[]72 设算子多项式()F D 如上定义，,k a 为任意实数, ()v x 为二阶可导函数，则有下列结论成立（1） ()()kx kx F D e e F k =；（2） ()()22sin sin F D ax axF a =-； ()()22cos cos F D ax axF a =-； （3） ()()()()kx kx F D e v x e F D k v x =+; （4）()()()()()()F D xv x xF D v x F D v x '=+. 证明略.1.3逆算子多项式的性质引理[]73 设算子多项式()F D 如上定义，,R αβ∈，()f x ,()g x 为可微函数，则有 （1）()()()()1F D f x f x F D =； （2）()()()()()()()111f xg x f x g x F D F D F D αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦ ； （3）设 ()()()12F D F D F D =， 则有()()()()()()()()122111111f x f x f x F D F D F D F D F D ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.2. 特解公式利用上述性质，可以得到下面的特解公式。

高等数学中用微分算子法求常微分方程的特解的问题微分算子法是解决常微分方程特解的一种重要方法，近年来在数学科学领域内凭借其特有的优势，被越来越多地用于各类理论研究和实践应用。

首先，《高等数学》中微分算子法用于求解常微分方程的特解，比如作为幂微分方程的特解的计算，依靠它来进行方程的解算可以极大简化计算过程，可以提高处理效率。

其具体的基本步骤如下：
1. 将拟合函数的特解的基本思想转换为形如导数的数学模型；
2. 将该模型转换为微分方程，在此步骤中，可以采用不同的算子，例如偏微分算子h和k，将存在微分方程中的求解变量独立化；
3. 通过微积分的定义公式，结合已知参数及边界条件，将求解变量的表达式转化为实际的函数表达式，从而得到常微分方程特解。

微分算子法有很多特点，例如它有着高精度的数值解计算，反应灵敏，运算简单。

在该方法中，所需要解决的参数数目少，微分计算量小，求解效率高，容易于理解，易于运用，可以抽象出满足不同条件的不同微分算子，使用多元或多变量分析技术，从而改变方程维度，帮助数学研究者解决复杂的问题。

总而言之，微分算子法是一种求解常微分方程特解的有效方法，其在常微分方程的解决中扮演着重要角色。

因此，在解决复杂的常微分方程特解问题时，可以采用微分算子的计算方法，以降低运算复杂度，提高求解效率，增加研究的可视性，从而得到准确、有效的解。

二阶常系数微分方程的微分算子法求特解二阶常系数非齐次微分方程求特解，在一般的本科教材中均采用设特解再用待定系数法求出待定的系数，计算量往往偏大，考生若掌握了微分算子法，则可以起到事半功倍的效果。

具体做法如下：引入微分算子222222d d d d d d ,,,,,,d d d d d d ====== nn n n n n y y y D Dy D D y D D y x x x x x x因此，n 阶常系数线性非齐次方程()(1)11()−−′++++= n n n n y a y a y a y f x()111()−−⇒++++= n n n n D a D a D a y f x令111()n n n n F D D a D a D a −−=++…++称为算子多项式，则 方程*1()()()()⇒=⇒=F D y f x y f x F D【评注】D 表示求导，1D 表示积分.如()21111,cos 2sin 222==x x x x D D ，不要常数.类型1 ()=e kx f x1.若()0F k ≠，则()()11e e ∗==kx kx y F D F k , 2.若()=0F k ，k 为()0F k =的m 重根，则 ()()()()11e e ∗==m kx m kx m m y x x F D F k ,【例1】求223e x y y y ′′′+−=的一个特解【解析】()2222221111e e e e 2322235x x x x y F D D D ∗====+−+×−【例2】求323e x y y y −′′′+−=的一个特解【解析】由与()3=0F −，3−为()0F k =的单根， ()()()3333311111e e e e e 222324∗−−−−−=====−′+×−+x x x x x y x x x x F D F D D ,【例3】求2+e xy y y ′′′−=的一个特解【解析】由于()1=0F ，1为()0F k =的二重根， ()()2221111e e =e e 22∗===′′x x x x y x x x F D F D .类型2 ()=cos f x ax 或()=sin f x ax1.若2()0F a −≠，则()()2211sin sin y ax ax F D F a ∗==− 或()()2211cos cos y ax ax F D F a ∗==−2.若2()=0F a −，则()()2211sin sin y ax x ax F D F D ∗==′ 或()()2211cos cos ∗==′y ax x ax F D F D【评注】()()212211111sin sin cos n n n ax ax ax D D a a a + ==− −− ()()212211111cos cos sin n n n ax ax ax D D a a a +==−− 由此()()11sin cos ax ax F D F D ，可求，例如 221111sin sin sin 2112121x x x D D D D ==+−−+−− ()()21111sin =1sin cos sin 2144D x D x x x D +=−+=−+−【例4】求+4+5sin 2y y y x ′′′=的一个特解【解析】()22111sin 2sin 2sin 245245y x x x F D D D D ∗===++−++ ()21411sin 2sin 28cos 2sin 24116165D x x x x D D −===−−+−【例5】求+4cos 2y y x ′′=的一个特解【解析】()220F −=()21111cos 2cos 2cos 2sin 24222x y x x x x x F D D D ∗====+类型三 ()()=m f x P x 即自由项为x 的m 次多项式 ()()()()1m m y P x Q D P x F D ∗==，其中()Q D 为1除以()F D 按升幂()1n n n aa D D −+++ （即从低次往高次排列）所得商式，其最高次为m 次，超过m 次的求导后全为零，故略去.【例6】求232231y y y x x ′′′−+=−+的一个特解【解析】()()21231y x x F D ∗=−+()22137231248D D x x =++−+ ()()2137231+434248x x x −+−+×23724x x =++ ()()()2221123123132∗=−+=−+−+y x x x x F D D D ()2211231312122−+ −− x x D D()222231311123122222 =+−+−+−+D D D D x x ()222319112312242=+−++−+ D D D x x ()223711231242=+++−+ D D x x ，下同【例7】求233y y x ′′′−=−的一个特解【解析】1）()()()()22113=33y x x F D D D ∗=−−− ()222111111225=3=39273927D D x x x D D −−−−−+−321125=+9927x x x −−2）()()()()()222111113=33333∗ =−−=−− −− y x x x F D D D D D ()()()22223111111133133939393313=−−−−=−++−−−−D D x x x x x D D 2332122111251253393933927981 =−−++−−=−+−+x x x x x x x【评注】数字1除以23D D −是没法直接除的，因为分母没有最低次常数项.类型四 ()()=e kx f x u x ,其中()u x 为x 的多项式或()sin cos ax ax 【移位定理】()()()()11e =e kx kx v x v x F D F D k +【例8】求+32e sin 2x y y y x −′′′−=的一个特解【解析】()()()211e sin 2=e sin 21312x x y x x F D D D ∗−−=−+−− 2211+8=e sin 2e sin 2e sin 24864x x x D x x x D D D D −−−==+−−−()()11e 2cos 28sin 2e cos 24sin 26834x x x x x x −− =−+=−+【例9】求+3+2ex y y y x −′′′=的一个特解【解析】()()()211e =e 1+312∗−−=−−+x x y x x F D D D ()21111=e e e 11−−−==−++xx x x x D x D D D D D ()211e 1e 2−− −=− xx x x x D类型五 ()()=sin m f x P x ax 或()cos m P x ax【评注】此种情况考试考到的概率几乎为零. （可以不看）. 为不加重考生负担，仅讨论()=m P x x ，且()20F a −≠否则，要用到欧拉公式，且计算量不比待定系数法简单！ 记()()sin cos u x ax ax =，则()()()()()()11F D x u x x u x F D F D F D ′⋅=−【例10】求+cos 2y y x x ′′=的一个特解【解析】()211cos 2cos 21y x x x x F D D ∗==+2222112cos 2cos 21131D D x x x xD D D=−=−− +++1214cos 2+cos 2cos 2sin 233339Dx x x x x x=−⋅=−+−。

微分算子法和拉普拉斯变换大家好，今天咱们聊聊两个在数学中既神秘又实用的工具：微分算子法和拉普拉斯变换。

听上去是不是有点儿晦涩？别担心，我会把这些复杂的概念变得简单易懂，就像给你们讲个有趣的故事一样。

1. 微分算子法：数学中的超级英雄1.1 微分算子是啥？首先，咱们得了解一下微分算子。

微分算子其实就像是数学中的超级英雄，它的任务就是用微分的方法来解决各种问题。

简单来说，微分就是在观察一个函数的变化速度，好比你在看一辆车的速度表，想知道车跑得快不快。

微分算子就是数学中的“速度表”，它可以帮我们找到函数在某一点的“速度”。

1.2 微分算子的实际应用那么，微分算子在实际问题中怎么用呢？比如说，你想知道一个物体在运动中的加速度。

如果你知道物体的速度函数，微分算子就能帮你找到加速度函数。

就像你有了一本菜谱，微分算子就是把菜谱中的步骤细化到每一步，让你做菜的时候能更精准。

而且，微分算子还经常被用在物理、工程等领域，比如在分析电路中的电流变化，或者在控制系统中设计更稳定的系统。

总的来说，它是一个非常实用的工具，帮我们解决了不少实际问题。

2. 拉普拉斯变换：把难题变成简单题2.1 拉普拉斯变换的神奇之处拉普拉斯变换，听上去是不是很高深？但别担心，它其实就像是把复杂问题化繁为简的魔法。

它的作用是将一个在时间域中的函数转换到一个新的域——频率域。

在频率域里，很多看似复杂的问题变得简单多了，仿佛问题被施了魔法一样。

2.2 拉普拉斯变换的实际应用我们可以举个例子来说明拉普拉斯变换的强大。

假设你在研究一个电路的响应，你可能会遇到很多复杂的方程。

如果你使用拉普拉斯变换，将这些方程转换到频率域，你会发现它们变得更简单了。

就像你用显微镜看问题，把细节放大之后，更容易找到解决方案。

拉普拉斯变换不仅在工程学中有用，在控制系统、信号处理等领域也是个得力助手。

它能帮助工程师们设计出更高效的系统，解决各种实际问题。

可以说，它是数学中的一位全能选手。

微分算子法微分算子法分类小结一、n阶微分方程1、二阶微分方程：將+p(x)半+q(x)y=f(x)2、n阶微分方程：y(n)+aiyZ+a2yZ)+a3yg3)+ … +a n y=f(x)二、微分算子法1、定义符号：D表示求导，如Dx3=3x2, D"y表示y对1 一illx 求导n次；万表不积分，如士xpx? , —x表示对x积分n次，不要常数。

2、计算将n阶微分方程改写成下式：D n y+aiD n_1y+a2D n_2y+a3D n_3y+ ... +a n_1Dy+a n y=f(x)即(Dn+QiDii+^DZ+QsDi* ... +a n_1D+a n)y=f図记F(D)=D n+a1D n_1+a2D n_2+a3D n'3+ ... +an」D+Qn* 1规定特解：y二而/(力3、冒环的性质1 1 lz-V⑴性质一：而e二丽e (F(k)不等于0)注：若k为特征方程的ni重根时，有丄e1<X = X111 1占=x m—尹F(D) F lm)(D) F,m)(k)1 V-v 1⑵性质二丽e v(x)= e而石v(x)⑶性质三：特解形如語sin(ax)和^-cos(ax)1 1 o Ve ‘L考察该式(该种形式万能解法)：而利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部作为原方程的特解■注：欧拉公式e iax= cos(ax)+isin(ax)虚数i2= -11 1ii•若特解形如而可sin(ax)和丽石cos(ax),也可按以下方法考虑：若F(-a2)0,则^sin(ax)=^sin(ax) 胡cos(ax戶右cos(ax)若F(-a2)= 0，则按i・进行求解,或者设-亡为F(-a2) 的m重根，则詁sin (ax) =x ln严；小)sin(胡1 1^^cos(ax)=x m^r^cos(ax)⑷性质四(多项式)：X+bix p_1+b2x p'24-... +bp_必+bp) =Q(D) (x p+bix p_ 1+b2x p_2+... +b p_ix+b p)注：Q(D)为商式，按D的升幕排列，且D的最高次幕为p 0⑸性质五(分解因式)：—— f(X)= ------- 1------ f(x) = --------- ! ----- /(X)F(D)J耳(口巴(》)丿F2(D)・F|(D)丿⑹性质六：丄-(/i 0) + AW)=」一A (兀)+」一F(D) F(D) F(D)三.例题练习例1・ ^+4y=e Xi（D2+4）y=e x，特解y=^e x=^e x=|e x（性质一）例2、y(4)+y=2cos(3x),则(D4+l)y= 2cos(3x)特解矿=万訂2COS(3X) = 2 万—COS(3X)二2 2； [ cos(3x) = -1- cos(3x)(性质三)(-3 ) +1 41例3、螟一4竺+4y= x2e2x，则(D2-4D+4)y= x2e2x dx" dxn * 1 oz>2x c2x 1 o 特解y 一^_4D+4 X~e = e (D+2-2)2 X=e2x4-x2 = -^-x4e2xD-12 （性质二）例4. 等-3罟+3》- y=e X ,WJ(D3-3D2+3D-l)y=e X亠一* 1 cX cX 1 •.特解y二时e =e莎石亍1i=7x3e x(性质二) O例5、-y=sinx ,Jj1lJ(D3-l)y=sinx，特解y*=y^「sinx1 1 ]・1 ■ 1・1 Q IX— ________________ Q IX—_L_ Q IX ----------------------- Q IX_ i3-i e _ i+l° - 2 e _i-l=(cosx+isinx)J_ 丄=- 5 (cosx+sinx)+i (cosx- sinx)取虚部为特解y*= 7 （cosx-sinx）（性质一、三）d2y * 1例6、Z?+y=cosx，则QF)y=cosx '特解y=5^cosx] pix—. ------ i ----- pix= ] pixD2 +1 C(D・ i)(D +i)匕(D ・ i)(D +i)'1 • • 1 , e ix=e ix2it(£)+ii) 1_ i ix_ 1 1=-亍xC = — xsinx-i — xcosx取实部为特解y = $xsinx （性质一、二、三）例7、^r-y=e x ,则(D4-i)y= e x特解y 一(r>-l)(D +1)(D2 +1) e护詁品x（性质一*二.五)j 2例 & ^-r+y=X2-X+2 ,则(D2+l)y= X2-X+2特解y僅万打(X2-X+2)=(I-D2) (x2 -x+2)=x2 -x (性质四)例9、+2 +2y=X2e'X?lj1iJ(D2+2D+2)y=X2e_X特解y = (D+l)2+l x2e X=e X(D_ 1+1)2 +1 X?=e_x^r^x2=e_x(i-D2)x2=e_x(x2-2) (性质二、四)d2y例10、-4 +y=xcosx ,则(D2+l)y=xcosx ,特解y=^xcosxXe _e (D+i・i)(D+i+i)X—pix 1D(D+2i)x 2 J=(cosx+isinx) (—x)x=—(xcosx+x2sinx)+i — (xsinx-x2cosx)取实部为特解£= * (xcosx+x2sinx)(性质二、三、四）。

谈谈算子SCIbird适当的引入一些算子可以简洁地展现出数学结构，比如差分算子Δ定义为：()(1)()f x f x f x Δ=+−，2:()f x Δ=ΔΔ，再定义移位算子()(1)Ef x f x =+，以及恒等算子()()If x f x =，则差分算子满足()()()f x E I f x Δ=−，即E I Δ=−容易发现()()mE f x f x m =+，所以00()()()(1)()(1)()n n k n n k n k n k k f x E I f x E f x f x k −−==⎛⎞⎟⎜Δ=−=−=−+⎟⎜⎜⎟⎝⎠∑∑ 类似地，()()()()f x If x E f x ==−Δ，()n n I I E ==−Δ 思考题：令()n f x x =，问()?n f x Δ=，1()?n f x −Δ=以微积分的观点看，利用拉格朗日中值定理，得1()(1)()()f x f x f x f ξ′Δ=+−=然后再利用一次，得12()()()f x f f ξξ′′′ΔΔ=Δ=，这样()()(),(,1)n n n n f x f x x ξξΔ=∈+可惜n ξ的位置不知道，不过对()n f x x =有()()!n f x n =是一个常数。

以拉格朗日中值定理为桥梁，将差分与微分联系起来了。

实际上还可以进一步挖掘联系。

算子的引入很多时候是形式算子，但发现特别好用，莫非是巧合。

深入研究后发现，数学中其实没有那么多巧合，“巧合”后面往往有深层含义。

这方面最具代表性的要数Laplace 变换了，抛开这个吓人的专有名词，先看一个例子。

考虑微分方程：(),(0)0y f x y ′==. 直接利用牛顿莱布尼茨积分公式，得()()x y x f t dt =∫ 英国工程师海维塞德思考上述方法后，提出了一个形式微分算子法，定义算子d D dx =， 则微分方程可写成()Dy f x =，于是移项得：1()y f x D= 对比上面的积分过程可知01x D =∫，于是002111x x D D D ==∫∫等等。

二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法原 迦摘 要 微分算子法是求解常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法, 基于算子多项式的理论, 针对二阶常系数线性微分方程, 论文给出了非线性项为指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数的微分算子特解公式, 实例表明特解公式在解题中具有可应用性、有效性和简捷性。

关键词 线性微分方程 常系数 微分算子 特解常系数线性微分方程是常微分方程中的重点内容之一，其求解方法通常是先求对应的齐次 线性方程的通解，再求一特解。

前者用特征方程法容易得到，难点是特解的求法。

多数教材中采用的是待定系数法求其特解, 这不仅要根据非线性项的不同情况做相应的处理, 而且计算过程中需要求导运算和求解线性方程组。

因此, 微分算子法成为求解不同类型的常系数非齐次线性微分方程特的有效方法, 基于上述考虑, 文章针对非线性项的不同情况, 给出微分算子法求 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式, 具有记忆方便, 计算简单的特点。

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为()y py qy f x '''++=， （1）其中,p q 为常数.为了文中需要，我们给出通常教材中所给出的求特解的待定系数法 见下表表中()n R x 为待定的n 次多项式，()k R x , ()k S x 为系数待定的k 次多项式，max k ={},n m .引入微分算子,dD dx= 222,d D dx =则有,dyy Dy dx'== 222,dy y D y dx ''==于是式（1）可化为()()2D pD q y f x ++= （2）令()2,F D D pD q =++称为算子多项式，则式（2）即为()()F D y f x =，其特解为()()1,y f x F D =这里，()1F D 称为逆算子.1．算子多项式1.1 算子多项式的性质引理[]61 设算子多项式()F D 如上定义，()f x ,()g x 为可微函数，则有 (1)()()()()()()()F D f x g x F D f x F D g x αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦; (2) 设 ()()()12F D F D F D =; 则有()()()()()()1221F D F D f x F D F D f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(3) 设()()()12F D F D F D =+，则有()()()()()()12F D f x F D f x F D f x =+.证明略.1.2算子多项式的公式引理[]72 设算子多项式()F D 如上定义，,k a 为任意实数, ()v x 为二阶可导函数，则有下列结论成立（1） ()()kx kx F D e e F k =；（2） ()()22sin sin F D ax axF a =-； ()()22cos cos F D ax axF a =-； （3） ()()()()kx kx F D e v x e F D k v x =+; （4）()()()()()()F D xv x xF D v x F D v x '=+. 证明略.1.3逆算子多项式的性质引理[]73 设算子多项式()F D 如上定义，,R αβ∈，()f x ,()g x 为可微函数，则有 （1）()()()()1F D f x f x F D =； （2）()()()()()()()111f xg x f x g x F D F D F D αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦ ； （3）设 ()()()12F D F D F D =， 则有()()()()()()()()122111111f x f x f x F D F D F D F D F D ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.2. 特解公式利用上述性质，可以得到下面的特解公式。

新微分算子法
首先，什么是微分算子？简单来说，微分算子是用来描述能够反映某个函数怎么变化的数学工具。

通常用符号“d”表示微分算子，表示某个函数对自变量的微小变化。

传统的微分算子主要是对连续和光滑的函数进行微分运算，而对于非光滑的函数，就没有很好的处理方法了。

然而，近年来出现了一种新的微分算子法——“新微分算子法”，它可以对非光滑的函数进行微分运算。

首先，它使用了一种新的数学模型，比传统的微积分模型更加灵活。

同时，它还使用了一些新的算法方法，比如说基于多项式逼近的方法、基于稀疏表示的方法等等。

通过这些方法的应用，新微分算子法能够处理包括分段平滑函数、分段常数函数、分段多项式函数在内的各种非光滑函数。

接下来，我们来看一些新微分算子法的具体步骤。

首先，我们需要定义函数的分段区间，并在每个分段内对函数进行逼近和表示。

然后，我们可以使用一些数学工具来对这些分段函数的导数进行求解。

最终，我们可以将每个分段的导数拼接起来，得到整个函数的导数，从而完成微分算子的运算。

总的来说，新微分算子法的出现，为非光滑函数的微分运算提供了一种全新的解决方案。

虽然新微分算子法仍然处于发展过程中，但相信它将会在更广泛的领域中发挥作用，为科学研究和工程应用带来更多的便利。