高考数学第一轮.1046三角函数的图象

g3.1046三角函数的图象一、知识回顾（一）熟悉.三角函数图象的特征：y ＝tanxy ＝cotx（二）三角函数图象的作法： 1.几何法（利用三角函数线）2. 描点法：五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.3.利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等，重点掌握函数y ＝Asin （ωx ＋φ）+B 的作法．函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的物理意义：振幅|A|，周期2||T πω=，频率1||2f Tωπ==，相位;x ωϕ+初相ϕ（即当x ＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号）， （1）振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ）由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象.（2）周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx 替换x )由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x的图象.（3）相位变换或叫做左右平移．(用x ＋φ替换x )由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（4）上下平移（用y+(-b)替换y ）由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象.注意：由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）+B （A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。

二、基本训练1、为了得到函数)63sin(π+=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象 （ ）A 、向左平移6πB 、向左平移18πC 、向右平移6π D 、向右平移18π2、函数|2|sin 2)(π-=x x f 的部分图象是 （ ）3、函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象一个对称中心的坐标是 （ ）A 、)0,83(πB 、)1,83(πC 、)1,8(π D 、)1,8(--π4、（00）函数y=-xcosx 的部分图象是5、已知函数a x x x f -++-=1cos 4sin 4)(2，当]32,4[ππ-∈x 时)(x f ＝0恒有解，则a 的范围是＿＿＿＿＿＿。

6、方程)3sin(||lg π+=x x 有＿＿＿个实数根。

三、例题分析例1、已知函数)32sin(2π+=x y 。

（1）求它的振幅、周期和初相； （2）用五点法作出它的图象；（3）说明)32sin(2π+=x y 的图象可由x y sin =的图象经过怎样的变换而得到？例2、把函数x x y sin cos 3-=的图象向左平移)0(>m m 个单位，所得的图象关于y 轴对称，求m 的最小值。

例3、如图为)sin(ϕω+=x A y (0,0,||)2A πωϕ<><的图象的一段，求其解析式。

OO2 2AB例4、受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；缺货后落潮时返回海洋。

某港口水的深度y （米）是时间t （240≤≤t ，单位：时）的函数，记作)(t f y =，下面是该港口在某季节每天水深的数据：经长期观察，(1) 根据以上数据，求出函数)(t f y =的近似表达式；(2) 一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米。

如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)？例5.（00） 已知函数（I ）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（II ）该函数的图象可由y=sinx （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？四、作业 同步练习g3.1046三角函数的图象1、若函数)sin(3)(ϕω+=x x f 对任意实数x ，都有)4()4(x f x f -=+ππ，则)4(πf 等于A 、0B 、3C 、－3D 、3或－32、把函数)32cos(3π+-=x y 的图象向右平移)0(>m m 个单位，设所得图象的解析式为)(x f y =，则当)(x f y =是偶函数时，m 的值可以是A 、3πB 、6πC 、4πD 、12π3、（05福建卷）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==4、（05天津卷）函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为）（A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y（C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)48sin(4π+π=x y5、函数)62sin(3π+=x y 与y 轴距离最近的对称轴是＿＿＿＿＿＿.6、将函数)(sin )(R x x x f y ∈⋅=的图象向右平移4π个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 可以是＿＿＿＿＿＿＿。

7、给出下列命题：①存在实数α，使1cos sin =αα；②存在实数α，使23cos sin =+αα；③)225sin(x y -=π是偶函数；④8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程；⑤若α、β是第一象限角，且αβ>，则βαtan tan >。

其中正确命题的序号是＿＿＿＿＿＿＿。

（注：把你认为正确命题的序号都填上）8、（05上海卷）函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________。

9、（05湖南卷）设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝sinn x 在[0，nπ]上的面积为n 2（n ∈N * ），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 34 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 .10、已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=。

（1）求它的振幅、周期和初相； （2）用五点法作出它的图象；（3）说明)cos (sin sin 2)(x x x x f +=的图象可由x y sin =的图象经过怎样的变换而得到？11、若函数)(x f y =的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后将所得图象先向左平移2π 个单位，再向下平移1个单位，得到的曲线与x y cos 21=的图象相同，求)(x f y =的表达式。

12、函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 在)32,0(π∈x 内只取到一个最大值和一个最小值，且当12π=x 时，函数的最大值为3，当127π=x 时，函数的最小值为－3，试求此函数的解析式。

13、设函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><，给出以下四个论断：①它的图象关于直线12π=x 对称；②它的图象关于点)0,3(π对称； ③它的周期是π； ④它在区间]0,6[π-上是增函数。

以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中一个命题加以证明。

参考答案：基本练习：1、B 2、C 3、B 4、D 5、[-4, 5] 6、6例题分析：例1（1）振幅2，周期π，初相3π；（2）略；（3）把x y sin =的图象上所有的点左移3π个单位，得到)3sin(π+=x y 的图象，再把)3sin(π+=x y 的图象上的点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到)32sin(π+=x y 的图象，最后把)32sin(π+=x y 图象上点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到)32sin(2π+=x y 的图象 例2、65π例3、)3y x π=+ 例4(1) 3sin 10(024)6y t t π=+≤≤；(2) 该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口至多停留16小时 作业：1—4、DBCA5、直线6x π= 6、()2cos f x x = 7、③④ 8、13k << 9、32+π10、振幅2，周期π，初相3π；（2）略；（3）把x y sin =的图象上所有的点右移4π个单位，得到sin()4y x π=-的图象，再把sin()4y x π=-的图象上的点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到sin(2)4y x π=-的图象，然后最把sin(2)4y x π=-图象上点的纵坐标伸长到原来的，得到)4y x π=-的图象，最后把)4y x π=-的图象向上平移1个单位，即可得到)14y x π=-+的图象，即)cos (sin sin 2)(x x x x f +=的图象11、1sin 212y x =+ 12、)32sin(3π+=x y13、①③⇒②④；②③⇒①④。