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圆周运动问题分析【专题分析】圆周运动问题是高考中频繁考查的一种题型，这种运动形式涉及到了受力分析、牛顿运动定律、天体运动、能量关系、电场、磁场等知识，甚至连原子核的衰变也可以与圆周运动结合（衰变后在磁场中做圆周运动）。
可见，圆周运动一直受到命题人员的厚爱是有一定原因的。
不论圆周运动题目到底和什么知识相联系，我们都可以把它们分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种。
同时，也可以把常用的解题方法归结为两条。
1、匀速圆周运动匀速圆周运动的规律非常简单，就是物体受到的合外力提供向心力。
只要受力分析找到合外力，再写出向心力的表达式就可解决问题。
2、竖直面内的非匀速圆周运动物理情景：在重力作用下做变速运动，最高点速度最小，最低点速度最大，所以最高点不容易通过。
特点：在最高点和最低点都满足“合外力等于向心力”， 其他位置满足“半径方向的合外力等于向心力”， 整个过程中机械能守恒。
注意：上面所述“半径方向的合外力等于向心力”实际上适用于一切情况。
另外，涉及的题目可能不仅仅是重力改变速率，可能还有电场力作用，此时，应能找出转动过程中的速率最大的位置和速率最小的位置。
基本解题方法：1、涉及受力，使用向心力方程；2、涉及速度，使用机械能守恒定律或动能定理。
【题型讲解】题型一 匀速圆周运动问题例题1：如图所示，两小球A 、B 在一漏斗形的光滑容器的内壁做匀速圆周运动，容器的中轴竖直，小球的运动平面为水平面，若两小球的质量相同，圆周半径关系为r A >r B ，则两小球运动过程中的线速度、角速度、周期以及向心力、支持力的关系如何？（只比较大小）解析：题目中两个小球都在做匀速圆周运动，其向心力由合外力提供，由受力分析可知，重力与支持力的合力提供向心力，如图3-2-2所示，由几何关系，两小球运动的向心力相等，所受支持力相等。
两小球圆周运动的向心力相等，半径关系为r A >r B ，由公式rvmF 2=向，可得v A >v B ； 由公式2ωmr F =向，可得ωA <ωB ； 由公式ωπ2=T ，可得T A >T B ；A B图3-2-1A B 图3-2-2［变式训练］如图3-3-3所示，三条长度不同的轻绳分别悬挂三个小球A 、B 、C ，轻绳的另一端都固定于天花板上的P 点。
圆周运动的临界问题结论总结圆周运动的临界问题结论总结在物理学中，圆周运动是一种非常重要的运动形式，特别是在机械运动、天体运动等方面有着广泛的应用。
而圆周运动的临界问题则是圆周运动中的一个极为重要的问题，它在实践中有着非常广泛的应用。
通过对圆周运动的临界问题进行总结，我们可以更好地理解这一重要的物理概念。
1. 圆周运动的基本概念圆周运动是物体在圆周轨道上运动的一种形式，它在自然界和工程技术中有着广泛的应用。
在圆周运动中，物体不断地向心加速，这使得它能够绕着圆周轨道运动。
2. 临界问题的概念所谓圆周运动的临界问题，是指在圆周运动当中，当增大或减小某个因素（比如转速、半径等）时，会引发系统性质的变化，甚至改变运动的状态的问题。
临界问题的研究对于理解圆周运动和应用于实际中具有十分重要的意义。
3. 临界问题的实际意义临界问题在现实生活中有着广泛的应用，比如在汽车转弯时的侧倾问题、工程中的旋转机械的稳定性问题等，都与临界问题有着密切的联系。
研究圆周运动的临界问题不仅可以帮助我们更好地理解物理规律，还能够指导我们更好地应用这些规律进行工程设计。
4. 圆周运动的临界问题结论总结通过对圆周运动的临界问题进行深入研究，我们可以得出一些结论：- 当圆周运动的速度达到一定临界值时，会发生状态的变化，比如从稳定运动到不稳定运动。
- 圆周运动的临界问题受到多种因素的影响，比如半径、转速、质量等，它们之间有着复杂的关系。
- 圆周运动的临界问题不仅存在于理论研究中，也存在于实际生活和工程中。
5. 个人观点和理解从我的个人观点来看，圆周运动的临界问题是一个非常复杂而有趣的物理问题。
通过深入研究和总结，我们可以更好地理解圆周运动的规律，也可以更好地应用这些规律到实际生活和工程中。
我认为，对临界问题的研究还有很多有待探索的地方，希望能够有更多的人投入到这一领域的研究当中。
总结回顾：通过本文的阐述，我们对圆周运动的临界问题有了更深入的认识。
圆周运动易错题归纳总结圆周运动是物理学中一个重要的概念，理解和掌握圆周运动的规律对于学生来说是至关重要的。
然而，在学习过程中，我们常常会遇到一些易错的题目，这些题目往往涉及到一些细微的概念误解或者计算错误。
为了帮助大家更好地理解和掌握圆周运动，本文将对一些常见的易错题进行归纳总结，并提供解题的思路和方法。
一、加速度的方向在圆周运动中，物体的速度方向会不断改变，因此加速度是必不可少的。
然而，我们常常会出现对加速度方向的判断错误的情况。
一般来说，物体在圆周运动中的加速度的方向指向圆心。
这是由于物体受到一个向心的力的作用，向心力的方向恰好指向圆心。
例如，当一个物体以一定的速度绕着一个固定的圆周轨道运动时，我们需要判断其加速度的方向。
可以通过以下步骤进行判断：1.确定物体运动的方向：物体在圆周运动中的运动轨迹可以确定其运动的方向。
2.确定物体的速度方向：物体在某一刻的速度方向可以通过切线的方向确定，切线与轨迹的切点处相切。
3.确定向心力的方向：向心力的方向指向圆心。
4.确定加速度的方向：加速度的方向与向心力的方向相同。
二、向心力与重力的关系在一些题目中，我们需要比较圆周运动中的向心力与重力的大小或者判断向心力与重力的方向。
向心力与重力在圆周运动中起着不同的作用。
向心力是使物体保持圆周运动的力，它的方向指向圆心。
向心力的大小可以通过以下公式计算：向心力 = 质量 ×加速度其中，加速度为物体在圆周运动中的加速度，质量为物体的质量。
而重力则是物体受到的地球引力，它始终指向地心。
重力的大小可以通过以下公式计算：重力 = 质量 ×重力加速度其中，重力加速度为地球引力的大小。
在圆周运动中，向心力与重力往往会产生平衡。
当物体受到的向心力等于重力时，物体就能够保持稳定的圆周运动。
如果向心力大于重力，物体将会向内偏离轨道；如果向心力小于重力，物体将会向外偏离轨道。
三、速度与半径的关系速度与半径之间存在着一定的关系，这在一些题目中经常会考察到。
力学中的圆周运动问题解析圆周运动是力学中的一个重要概念，涉及到物体在固定半径上做匀速或变速运动的情况。
本文将对圆周运动的基本原理、运动学和动力学等方面进行深入解析。
一、圆周运动的基本原理圆周运动是一种约束性运动，其基本原理可由以下两个关键要点来概括：1. 物体在圆周运动过程中会受到向心力的作用，向心力的大小与物体的质量和半径有关，表示为F = mω²r，其中m为物体的质量，ω为角速度，r为半径。
2. 物体在圆周运动过程中会产生向心加速度，向心加速度的大小与角速度的平方和半径有关，表示为a = ω²r。
二、圆周运动的运动学分析圆周运动的运动学分析主要包括角度、速度和加速度等方面的研究：1. 角度：圆周运动可以用角度来描述，物体在单位时间内所经过的角度称为角速度。
角速度的单位通常为弧度/秒，记作rad/s。
2. 速度：圆周运动的速度分为线速度和角速度。
线速度v表示物体在圆周轨道上的实际移动速度，其大小为v = ωr，其中r为圆周的半径。
角速度ω表示单位时间内物体角度的变化速率。
3. 加速度：圆周运动的加速度分为线加速度和角加速度。
线加速度a表示物体在圆周轨道上的实际加速度，其大小为a = ω²r。
角加速度α表示单位时间内角速度的变化速率。
三、圆周运动的动力学分析圆周运动的动力学分析主要涉及到向心力和转动惯量等方面的研究：1. 向心力：圆周运动身体所受的向心力与质量和半径的乘积成正比。
向心力的方向指向圆心，使物体沿着圆周轨道做匀速运动。
向心力的大小可通过F = mω²r来计算。
2. 转动惯量：圆周运动的物体具有转动惯量，其大小与物体的质量分布和转动轴的位置有关。
转动惯量的计算可通过I = mR²来求解，其中m为物体的质量，R为转动轴到物体质心的距离。
四、圆周运动的应用举例圆周运动在物理学和工程学等领域有着广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：1. 机械振动：许多机械装置中都存在圆周运动，如发动机的曲轴、风力发电机的叶片等。
高中物理圆周运动问题解题方法研究高中物理中，圆周运动是一个重要的章节，也是一个较为复杂的内容。
对于圆周运动的问题，我们可以分为两种不同的情况进行讨论：匀速圆周运动和加速圆周运动。
一、匀速圆周运动的问题解题方法匀速圆周运动是指在圆轨道上的物体匀速运动，其解题方法主要涉及以下几个方面：1.角度和弧长的关系在圆周运动中，我们通常用角度来描述物体在圆周上的位置。
角度的单位有弧度(rad)和度(deg)两种，它们之间的关系为：2π rad = 360°。
另外，还需要了解角度和弧长的关系式：S = rθ，其中S为弧长，r为半径，θ为对应的角度。
2.转速和周时的关系在匀速圆周运动中，我们还经常接触到转速和周时的概念。
转速是指单位时间内通过的角度，用n表示，单位为弧度每秒(rad/s)。
周时是指转一周所用的时间，用T表示，单位为秒(s)。
这两者之间的关系为：n = 2π/T。
3.线速度和角速度的关系在匀速圆周运动中，物体的线速度可以用线速度公式v = rω计算得到，其中v为线速度，r为半径，ω为角速度。
角速度表示单位时间内通过的角度，用ω表示，单位为弧度每秒(rad/s)。
线速度与角速度的关系式为：v = rω。
4.等速圆周运动的第一定律在匀速圆周运动中，物体的线速度大小保持不变，但方向不断改变。
根据等速圆周运动的第一定律，物体的线速度大小不变，但线速度方向不断改变的物体所受的合外力必定指向圆心。
5.圆周运动的力学问题在匀速圆周运动中，如果物体受到一个向心力，那么其大小和方向可以由离心力计算出来。
向心力和离心力之间的关系式为：F = mv2/r = mrω²，其中m为质量，v为线速度，r为半径，ω为角速度。
二、加速圆周运动的问题解题方法加速圆周运动是指在圆轨道上的物体具有加速度，其解题方法相对较复杂，主要涉及以下几个方面：1.角度和时间的关系在加速圆周运动中，物体的角度随时间的变化可以由角度-时间关系式计算得到，其中角度θ的变化与时间t的关系为：θ = ω0t + 1/2 αt²，其中θ为角度，ω0为初始角速度，α为角加速度，t为时间。
答题思路：高中物理圆周运动问题的解析圆周运动是高中物体中一种常见的运动。
下面就谈一下处理圆周运动的方法及应注意的问题。
一、明确研究对象在处理圆周运动问题时，如果涉及到两个或两个以上的物体时，首先得明确研究对象，这是研究问题的关键。
二、确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向。
例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图1所示，小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的点，而不在球心O。
图1注意：圆周运动的圆心一定和物体做圆周运动的轨道在同一平面内。
三、对物体进行受力分析，找出向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，不是一种新的性质的力。
向心力可以由某一个力充当，也可以由某个力的分力或几个力的合力充当。
对物体进行受力分析后，找出沿着轨道半径，指向圆心方向的合力。
这个合力就是向心力。
四、根据牛顿第二定律列方程将牛顿第二定律用于圆周运动，即得：，式中F与a，存在瞬时对应关系。
F为向心力，则a为向心加速度。
下面通过几个例子来看一下，圆周运动问题的处理方法。
例1. 如图2所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（）图2A. 球A的线速度必定大于球B的线速度B. 球A的角速度必定小于球B的角速度C. 球A的运动周期必定小于球B的运动周期D. 球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力解析：对A、B球进行受力分析可知，A、B两球受力一样，它们均受重力mg和支持力N，则重力和支持力的合力提供向心力，受力图如图3所示。
则可知筒壁对小球的弹力，而重力和弹力的合力，由牛顿第二定律可得：图3则可得：由于A球运动的半径大于B球运动的半径，由可知球A的角速度必定小于球B的角速度；由可知球A的线速度必定大于球B的线速度；由可知球A的运动周期必定大于球B的运动周期；由可知球A对筒壁的压力一定等于球B对筒壁的压力。
力学中的圆周运动问题详解力学中，圆周运动是一种常见的物体运动方式。
本文将详细介绍圆周运动的概念、基本原理和相关问题。
一、圆周运动概述圆周运动是指物体沿着一个确定半径的圆路径运动的过程。
在圆周运动中，物体的速度、加速度和力都存在着特殊的关系。
二、圆周运动基本原理1. 圆周运动的速度在圆周运动中，物体在单位时间内沿着圆周运动路径走过的弧长称为线速度。
圆周运动的线速度与半径的乘积称为线速度的大小，即v = rω，其中v为线速度，r为半径，ω为角速度。
2. 圆周运动的加速度与线速度类似，圆周运动也具有一种称为角加速度的物理量。
角加速度表示单位时间内角速度的变化率。
圆周运动的加速度与半径的乘积称为加速度的大小，即a = rα，其中a为加速度，α为角加速度。
3. 圆周运动的力学原理根据牛顿第二定律，物体所受合力等于其质量乘上加速度。
在圆周运动中，合力的方向指向圆心，称为向心力。
向心力与物体的质量和加速度的乘积相等，即F = ma = mrα。
三、圆周运动相关问题1. 圆周运动的周期圆周运动的周期是指物体完成一次完整圆周运动所需的时间。
周期的大小与角速度的倒数成反比关系，即T = 2π/ω，其中T表示周期。
通过周期，我们可以确定物体在圆周运动中的时间特性。
2. 圆周运动的频率圆周运动的频率是指单位时间内完成的圆周运动的次数。
频率的大小与周期的倒数成正比关系，即f = 1/T，其中f表示频率。
频率可以用来描述物体在圆周运动中的频繁程度。
3. 圆周运动的离心力离心力是指物体在圆周运动中所受的与圆心指向外部的力。
离心力的大小与物体的质量、线速度和半径的平方成正比，即Fc = mv^2/r，其中Fc表示离心力。
离心力的作用使物体朝离圆心方向运动，保持圆周运动的稳定性。
4. 圆周运动的向心力向心力是指物体在圆周运动中所受的朝向圆心的力。
向心力的大小与物体的质量、角速度和半径的乘积成正比，即Fc = mrω^2，其中Fc 表示向心力。
匀速圆周运动典型问题剖析1．物体做匀速圆周运动的条件：匀速圆周运动的运动条件：做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变，方向总是和速度方向垂直并指向圆心。
2．描述圆周运动的运动学物理量（1）圆周运动的运动学物理量有线速度v 、角速度ω、周期T 、转速n 、向心加速度a 等。
它们之间的关系大多是用半径r 联系在一起的。
如：T r r v πω2=⋅=，22224Tr r r v a πω===。
要注意转速n 的单位为r/min ，它与周期的关系为nT 60=。
（2）向心加速度的表达式中，对匀速圆周运动和非匀速圆周运动均适用的公式有：ωωv r rv a ===22，公式中的线速度v 和角速度ω均为瞬时值。
只适用于匀速圆周运动的公式有：224T ra π= ，因为周期T和转速n 没有瞬时值。
例题1．在图3－1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r 。
b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r 。
c 点和d 点分别于小轮和大轮的边缘上。
若在传动过程中，皮带不打滑。
则（ ） A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 3．描述圆周运动的动力学物理量———向心力（1）向心力来源：向心力是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。
向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种特殊的性质力。
向心力可以是某一个性质力，也可以是某一个性质力的分力或某几个性质力的合力。
例如水平转盘上跟着匀速转动的物体由静摩擦力提供向心力；带电粒子垂直射入匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力；电子绕原子核旋转由库仑力提供向心力；圆锥摆由重力和弹力的合力提供向心力。
做非匀速圆周运动的物体，其向心力为沿半径方向的外力的合力，而不是物体所受合外力。
（2）向心力大小：根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小为：22224Tr m r m r v m F πω=== 其中r 为圆运动半径。
圆周运动问题运动是物质存在的基本属性之一，而圆周运动则是我们生活中常见的一种运动形式。
无论是地球围绕太阳的公转，还是自行车车轮的转动，都能体现出圆周运动的特点。
在本文中，我将对圆周运动问题展开探讨，从不同的角度解读这一有趣而复杂的现象。
一、圆周运动的定义和特点圆周运动是物体在一条固定轨道上以恒定速度进行的运动。
在圆周运动中，物体与轨道的一点之间的距离相等，我们称之为半径。
而物体完成一次圆周运动所需的时间称之为周期，用T表示。
根据速度和半径的关系，我们可以得到圆周运动的角速度ω。
圆周运动具有以下几个特点：1. 物体做圆周运动时，其速度方向与加速度方向垂直。
由于加速度的方向改变了，但大小不变，所以圆周运动中的加速度称为向心加速度，用a表示。
2. 向心加速度的大小与半径成反比，即向心加速度a与半径r满足关系：a = v²/ r，其中v为物体的速度。
3. 由于向心加速度的存在，使得物体受到一个向轨道中心的力，称为向心力。
向心力的大小与质量m、向心加速度a成正比，即Fc = m * a。
二、圆周运动的应用圆周运动不仅是物理学中的基本概念，而且广泛应用于我们的日常生活和科学研究中。
1. 离心力的应用离心力是由于圆周运动中向心加速度产生的力。
它具有很多应用，例如离心机。
离心机是一种利用离心力的装置，可用于分离杂质、浓缩液体、提取样品等。
应用离心力可以有效提高工作效率和实现物质的分离。
2. 自行车转弯骑自行车转弯时，我们会感受到一个向内的力将我们往中心点推。
这是因为转弯时，自行车会产生向心加速度，从而产生向心力。
如果我们骑得很快，转弯半径较小，向心力就越大，我们会感受到明显的向内压力。
这也是为什么我们需要倾斜身体来平衡自行车的原因。
3. 文艺复兴时期的圆周画在文艺复兴时期，圆周运动概念的应用不仅体现在科学研究中，还体现在艺术作品中。
画家们将人物摆放在圆周轨道上，通过角度、距离等方式，使画面更加生动、和谐。
圆周运动的临界问题结论总结引言圆周运动是物理学中一个重要的研究对象，它广泛应用于机械、电子、核物理等领域。
在圆周运动中，存在着临界问题，即在达到一定条件下，系统会出现特殊的运动状态。
本文将对圆周运动的临界问题进行总结和讨论，探究其背后的原理和应用。
圆周运动简介圆周运动是物体绕着一个固定点以相同的速度做匀速运动的过程。
在圆周运动中，我们经常涉及到的几个重要概念包括角速度、圆周位移、向心加速度等。
圆周运动的临界问题在圆周运动中，当某些条件达到一定数值时，系统会出现特殊的运动状态，即临界状态。
以下是几个常见的圆周运动的临界问题：1. 临界速度临界速度是指物体在圆周运动中的最小速度，即达到这个速度后，物体将能够保持圆周运动而不会脱离。
临界速度的计算可以通过向心加速度和半径之间的关系得到。
2. 临界半径临界半径是指物体在圆周运动中最大的半径，即当半径超过这个值时，物体将无法保持圆周运动。
临界半径的计算可以通过向心加速度和速度之间的关系得到。
3. 同步转速同步转速是指当一个物体在圆周运动中与另一个物体由于某种相互作用而达到相同的转速。
同步转速常见于机械传动系统中，应用于传感器、电机等设备。
4. 切向加速度的临界条件在圆周运动中，物体的切向加速度也扮演着重要的角色。
临界条件是切向加速度的大小是否足够让物体保持圆周运动，当切向加速度小于临界值时，物体将离开圆周运动。
圆周运动的应用圆周运动的临界问题在实际应用中具有重要意义。
以下是几个典型的应用：1. 离心力的利用离心力是圆周运动中一种重要的力，它的大小与向心加速度成正比。
在很多设备中，我们会利用离心力进行分离、过滤、加速等操作。
2. 地球绕太阳的运动地球绕太阳做圆周运动，正是由于地球的临界速度和太阳的引力，地球才能在太阳系中稳定运动。
3. 卫星轨道维持人造卫星在轨道上运行时，需要使用推进器进行修正，使卫星维持在临界半径内，避免脱离圆周运动。
4. 强化材料的测试在材料科学中，可以通过使材料在高速旋转的离心机中达到临界速度，来测试材料的强度和耐久性。
圆周运动问题分析【专题分析】圆周运动问题是高考中频繁考查的一种题型，这种运动形式涉及到了受力分析、牛顿运动定律、天体运动、能量关系、电场、磁场等知识，甚至连原子核的衰变也可以与圆周运动结合<衰变后在磁场中做圆周运动）。
可见，圆周运动一直受到命题人员的厚爱是有一定原因的。
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同时，也可以把常用的解题方法归结为两条。
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只要受力分析找到合外力，再写出向心力的表达式就可解决问题。
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特点：在最高点和最低点都满足“合外力等于向心力”，其他位置满足“半径方向的合外力等于向心力”，整个过程中机械能守恒。
注意：上面所述“半径方向的合外力等于向心力”实际上适用于一切情况。
另外，涉及的题目可能不仅仅是重力改变速率，可能还有电场力作用，此时，应能找出转动过程中的速率最大的位置和速率最小的位置。
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【题型讲解】题型一 匀速圆周运动问题例题1：如图所示，两小球A 、B 在一漏斗形的光滑容器的内壁做匀速圆周运动，容器的中轴竖直，小球的运动平面为水平面，若两小球的质量相同，圆周半径关系为rA>rB ，则两小球运动过程中的线速度、角速度、周期以及向心力、支持力的关系如何？<只比较大小）5PCzVD7HxA 解读：题目中两个小球都在做匀速圆周运动，其向心力由合外力提供，由受力分析可知，重力与支持力的合力提供向心力，如图3-2-2所示，由几何关系，两小球运动的向心力相等，所受支持力相等。
jLBHrnAILg 两小球圆周运动的向心力相等，半径关系为rA>rB ， 由公式，可得vA>vB ； 由公式，可得ωA<ωB ；图3-2-1图3-2-2由公式，可得TA>TB；［变式训练］如图3-3-3所示，三条长度不同的轻绳分别悬挂三个小球A、B、C，轻绳的另一端都固定于天花板上的P点。
令三个小球以悬点下方的O点为圆心，在水平面内做匀速圆周运动。
则三个小球摆动周期的关系如何？xHAQX74J0X<答案：）[思考与总结]题型二重力作用下的竖直面内的圆周运动例题2：用一根长为L的轻绳将质量为m的小球悬挂在O点，使小球处于静止状态，现在最低点给小球一个水平向右的冲量I0，使小球能在竖直平面内运动，若小球在运动的过程中始终对细绳有力的作用，则冲量I0应满足什么条件？LDAYtRyKfE解读：小球受到水平冲量后，获得水平向右的速度，之后小球在竖直面内运动，且绳上始终有拉力，包括两种情况。
Zzz6ZB2Ltk 第一种情况：小球做完整的圆周运动，即小球可以通过最高点。
在最高点，由向心力方程，可知小球由最低点运动到最高点的过程中，由动能定理在小球受到瞬时冲量时，由动量定理由以上三式可得第二种情况：小球做不完整的圆周运动，由于绳子不能松弛，所以只能在O点下方来回摆动，其最高点不能超过O点，并且不能包括O点，因为刚好摆到O点时，小球速率为零，由向心力方程可知，拉力为零。
dvzfvkwMI1小球在O点下方摆动。
刚好能摆到与O点等高时，由动能定理在小球受到瞬时冲量时，由动量定理由以上两式可得因此，冲量I0应满足的条件为或。
［变式训练］内侧光滑的3/4圆弧轨道AB竖直放置，半径为R，如图3-2-4所示。
一小球自A点正上方由静止释放。
为使小球由A点进入轨道后能到达B点，小球下落的高度h至少为多少？ rqyn14ZNXI(答案：h=1.5R>[思考与总结]题型三天体的圆周运动例题3：<06广东）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力图3-2-4作用。
已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。
设每个星体的质量均为。
EmxvxOtOco<1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
<2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？解读：<1）第一种形式下，三星共线，中央星不动，边缘星受到其它两星的万有引力做圆周运动。
由万有引力定律和牛顿第二定律，得：SixE2yXPq5<2）第二种形式下，三颗星组成等边三角形，转动的圆心在三角形的中心，向心力由其它两星对其的合力提供，如图3-2-5所示。
设三角形的边长为l，由万有引力定律和牛顿第二定律，得：6ewMyirQFL°＝图3-2-5星体之间的距离为：［变式训练］我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。
设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。
已知月球的质量约为地球质量的错误!，月球的半径约为地球半径的错误!，地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s ，则该探月卫星绕月运行的速率约为 [ ] kavU42VRUs A ．0.4km/s B ．1.8km/sC ．11km/sD ．36km/s(答案：B>[思考与总结]题型四 电场中的圆周运动例题4：竖直面内有一光滑圆环轨道，轨道半径为R ，处于水平向右的匀强电场中。
一质量为m 带+q电量的小球以初速度v0由圆环最低点开始运动，如图所示。
若小球所受电场力为重力的0.75倍。
求：若令小球能做完整的圆周运动，则小球的初速度v0的最小值为多少？运动过程中速度的最小值为多少？y6v3ALoS89解读： 小球在运动过程中，同时受到重力和电场力作用，当两力的合力与小球所在位置对应的半径共线时，其运动的速度为最大值或最小值，如图3-2-7所示，小球在B 点速度最小。
所以小球能做完整的圆周运动，需要能够过B 点。
电场力为重力的0.75倍，由几何图3-2-6图3-2-7关系可知θ=37°。
当小球刚好能经过B 点时，环对小球的弹力为零，有M2ub6vSTnP此时小球在最低点所需的速度v0为最小值，对小球从最低点运动到B 点应用动能定理两式联立可得［变式训练］如图3-2-8所示，由长度为L的轻绳系一质量为m 的小球，将小球拉至轻绳处于水平位置A 时释放，整个装置处于水平向右的匀强电场，小球能摆到竖直方向左侧且轻绳与竖直方向夹角为θ的B 点，则当小球从B 摆到C点时，绳上的拉力大小为多少？0YujCfmUCw (答案：> [思考与总结]题型五 正交的电磁场中的圆周运动例题5：如图所示是匀强电场和匀强磁场组成的复合场，电场方向竖直向下，场强为E ，磁场的方向水平指向纸内、磁感应强度为B 。
在该复合场中有两个带电小球A 和B 都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动<两个小球间的库仑力可图3-2-8 × × × × × B图3-2-9以忽略），运动轨迹如图。
已知两个带电小球A和B的质量关系为，运动轨迹半径的关系为。
eUts8ZQVRd<1）试说明小球A和B分别带那种电荷？它们所带的电荷量之比等于多少？<2）设带电小球A和B在轨道最低点P相碰撞，若碰撞后，原在小圆轨道上运动的带电小球B恰好能沿大圆轨道运动，求带电小球A碰撞后的轨道半径<设碰撞过程中电量不发生转移）。
sQsAEJkW5T 解读：<1）带点小球受到恒定的电场力和重力作用，同时受到洛伦兹力，只有在重力与电场力等大反向时，才能做匀速圆周运动。
由图电场方向向下，可知，两小球一定带负电。
GMsIasNXkA所以<2）小球在P点所受洛伦兹力向上，由左手定则可判断小球的运动均为顺时针方向，即两小球在P点相撞前，速度方向相同。
TIrRGchYzg对小球，洛伦兹力提供向心力半径关系可得碰撞后，原在小圆轨道上运动的带电小球B 恰好能沿大圆轨道运动，即其运动半径加倍，可得B 碰后其速度加倍，碰撞过程中，由动量守恒定律可得所以A 球碰后运动半径[变式训练] 如图3-2-10所示，MN 为相距30cm 的光滑平行金属导轨，ab 为电阻r 等于0.3Ω的金属棒，且可以紧贴平行导轨运动，相距为27cm 的水平放置的金属板A 、B 与导轨相连，图中R 为0.1Ω的定值电阻，导轨的电阻忽略不计，整个装置处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中，当ab 杆沿导轨向右匀速运动时，一带电粒子刚好能在AB 板间以与ab 杆相同的速率做半径为11.1cm 的匀速圆周运动，试求金属杆向右匀速运动的速度<取整数答案）.7EqZcWLZNX (答案：v = 2m/s >[思考与总结]【强化训练】1、如图3-2-11所示，将完全相同的两小球A 、B ，用长L=0.8 m 的细绳悬于以v=4m/s 向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比FB ∶FA 为(取g=10 m/s2><）lzq7IGf02E图3-2-10 图3-2-11A ．1∶1B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶42、如图3-2-12所示，在光滑的水平面上钉相距40cm 的两个钉子A 和B ，长1m 的细绳一端系着质量为0.4kg 的小球，另一端固定在钉子A上．开始时，小球和钉子A 、B 在同一直线上，小球始终以2m/s 的速率在水平面上做匀速圆周运动．若细绳能承受的最大拉力是4N ，那么，从开始到细绳断开所经历的时间是( >zvpgeqJ1hk A ．0.9s B ． 1.8sC ． 1.6sD ．0.8s3．用m 表示地球通信卫星<同步卫星）的质量，h 表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则通信卫星所受的地球对它的万有引力的大小等于 < ）NrpoJac3v1A ．0 B ．C ．D ．以上都不正确4、如图3-2-13所示，质量为m ，带电量为q<q >0）的小球，用一长为L 的绝缘细线系于一匀强电场中的O 点，电场方向竖直向上，电场强度为E ，试讨论小球在最低点要以多大的水平速度图3-2-12 EL 图3-2-13v0运动，才能使带电小球在竖直平面内绕O 点做完整的圆周运动？ 1nowfTG4KI 5、如图3-2-14所示， 两个质量均为0.1kg的小球用长为1m 的不可伸长的轻线相连，将轻线水平拉直，并让两球静止开始同时自由下落，下落h 高度后，线的中点碰到水平的钉子O 上，如果轻线能承受的最大拉力为19N ，要使轻线能被拉断，h 至少应为多大？ <g=10m/s2）fjnFLDa5Zo6、在质量为M 的电动机上，装有质量为m 的偏心轮，其示意图如图3-2-15所示。
