二次根式的乘除练习题

16.2.2 二次根式的乘除——除法练习题一、选择题1. 化简√2Rℎ12Rℎ2的结果是( )A. √ℎ1ℎ2B. √ℎ1√ℎC. √ℎ1ℎ2ℎ2D. √ℎ1ℎ2ℎ12. 下列式子中，属于最简二次根式的是( )A. √9B. √7C. √20D. √133. 下列二次根式√1.2；5√x+y；√4a3；√x2−4；√15；√28．其中，是最简二次根式的有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4. 下列计算正确的是( )A. √23=13√2 B. √29=13√2 C. √3÷√27=3 D. √a÷√a2=a√a5. 能使等式√x+5x−3=√x+5√x−3成立的x的取值范围是( )A. x≥3B. x≥−5C. x>3D. −5<x<36. 若a<0，b>0，则√−a3b化简得( )A. −a√−abB. −a√abC. a√−abD. a⋅√ab7. 计√18÷√34×√43的结果为( )A. 3√2B. 4√2C. 5√2D. 6√28. 已知√5=m，√50=n，则√0.05等于( )A. 10nB. n10C. 10m D. m10二、填空题（共5小题）9. 计算：（1）√18√2=；（2）√13÷√25=；10. 若2√6x=√12，则x=．11. √x3y÷√xy（x>0，y>0）=．12. 若√7a m b n为最简二次根式，则m=，n=．13. 矩形的面积为18，一边长为2√3，则其邻边为．三、解答题（共7小题）14. 化简：（1）√3（2）√48√72（3）√113÷√112（4）√12xy÷(23√xy)15. 化简：（1）√364（2）√25y 9x2 （3）√9x 564y 2（4）√1.516. 把下列二次根式化成最简二次根式．（1）√32 （2）√3⋅√2√27（3）√2.5 （4）√18x 4y 3(x >0,y >0)17. 计算：（1）√27×√50÷√6 （2）√312×(−16√147)÷(14√512)18. 已知 √2≈1.414，求 √12 与 √8 的近似值．19. 自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式√a√a−3中实数 a 的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“√a√a−3”，而是 √aa−3，刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正 a 和 a −3 都在根号内．试问：刘敏说得对吗?就是说，按照 √a √a−3解题和按照 √aa−3 解题的结果一样吗?答案1. C2. B3. B4. B5. C6. A7. B8. D9. 3，√30610. √2211. x12. 1，113. 3√314. （1）√3（2）√63（3）2√23（4）3√3y；15. （1）√38√y；（2）53x；（3）3x2√x8y．（4）√6216. （1）4√2．（2）−√2．3．（3）√102（4）3x2y√2y．17. （1）15；（2）−23．18. ∵√2≈1.414，∴√12=12√2≈12×1.414=0.707，即√12≈0.707．∵√2≈1.414，∴√8=2√2≈2×1.414=2.828，即√8≈2.828．19. 刘敏说得不对，结果不一样．按√aa−3计算，则a≥0，a−3>0或a≤0，a−3<0，解得，a>3或a≤0；而按√a√a−3计算，则只有a≥0，a−3>0，解得，a>3．。

二次根式乘除计算练习一．选择题（共7小题）1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．2．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②•=1，③÷=﹣b，其中正确的是（ ）A．①②B．②③C．①③D．①②③3．下列等式不一定成立的是（ ）A．=（b≠0）B．a3•a﹣5=（a≠0）C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）D．（﹣2a3）2=4a64．使式子成立的条件是（ ）A．a≥5B．a＞5C．0≤a≤5D．0≤a＜55．若，且x+y=5，则x的取值范围是（ ）A．x＞B．≤x＜5C．＜x＜7D．＜x≤76．下列计算正确的是（ ）A．×=B．x8÷x2=x4C．（2a）3=6a3D．3a5•2a3=6a67．化简的结果是（ ）A．B．C．D．二．填空题（共1小题）8．若和都是最简二次根式，则m= ，n= ．三．解答题（共32小题）9．．10．（1）÷3×5；（2）﹙﹣﹚÷（）．11．．12．2×÷5．13．计算：．14．（1）（2）（3）．15．（1）化简：•（﹣4）÷（2）已知x=﹣1，求x2+3x﹣1的值．16．计算：2×．17．计算：（2+4）×18．．19．计算：2÷•．20．计算：4÷（﹣）×．21．（1）计算：•（÷）；（2）已知实数x、y满足：+（y﹣）2=0，求的值．22．．23．计算：（）2﹣（2016）0+（）﹣1．24．已知x、y为正数，且（+）=3（+5），求的值．25．计算：．26．自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“”，而是“”，刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a﹣3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？就是说，按照解题和按照解题的结果一样吗？27．计算：．28．计算：．29．（x＞0，y＞0）30．化简：3a•（﹣）（a≥0，b≥0）31．计算：（1）（2）．32．计算：2×÷10．33．计算：×（）÷．34．计算：．35．计算：（）﹣||36．化简与计算：（1）÷；（2）3a•（﹣）（b≥0）．37．计算：（1）9×3﹣2+20160﹣×（2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2．38．化简：4x2．39．计算：（a≥0，b≥0）．40．计算：×（﹣2）÷．二次根式乘除计算练习参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2015•锦州）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．【分析】A、B选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．【解答】解：A、不是最简二次根式，故本选项错误；B、不是最简二次根式，故本选项错误；C、不是最简二次根式，故本选项错误；D、是最简二次根式，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了对最简二次根式定义的应用，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．2．（2014•济宁）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②•=1，③÷=﹣b，其中正确的是（ ）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】由ab＞0，a+b＜0先求出a＜0，b＜0，再进行根号内的运算．【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0①=，被开方数应≥0，a，b不能做被开方数，（故①错误），②•=1，•===1，（故②正确），③÷=﹣b，÷=÷=×=﹣b，（故③正确）．故选：B．【点评】本题是考查二次根式的乘除法，解答本题的关键是明确a＜0，b＜0．　3．（2015•烟台）下列等式不一定成立的是（ ）A．=（b≠0）B．a3•a﹣5=（a≠0）C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）D．（﹣2a3）2=4a6【分析】分别利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质和平方差公式以及积的乘方运算法则化简求出即可．【解答】解：A、=（a≥0，b＞0），故此选项错误，符合题意；B、a3•a﹣5=（a≠0），正确，不合题意；C、a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b），正确，不合题意；D、（﹣2a3）2=4a6，正确，不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及负整数指数幂的性质和平方差公式以及积的乘方运算法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键．4．（2010•黄山校级一模）使式子成立的条件是（ ）A．a≥5B．a＞5C．0≤a≤5D．0≤a＜5【分析】根据分式有意义分母不为0及二次根式的被开方数为非负数可得出答案．【解答】解：由题意得：，解得：a＞5．故选B．【点评】本题考查二次根式及分式有意义的条件，难度不大，注意掌握分式有意义分母不为0及二次根式的被开方数为非负数．5．（2016•萧山区模拟）若，且x+y=5，则x的取值范围是（ ）A．x＞B．≤x＜5C．＜x＜7D．＜x≤7【分析】直接利用二次根式有意义的条件，得出y的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵，∴y+2≥0，2x﹣1＞0，解得：y≥﹣2，x＞，∵x+y=5，∴＜x≤7．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，得出y的取值范围是解题关键．6．（2016•长沙）下列计算正确的是（ ）A．×=B．x8÷x2=x4C．（2a）3=6a3D．3a5•2a3=6a6【分析】直接利用二次根式乘法运算法则以及结合同底数幂的乘除运算法则分别化简求出答案．【解答】解：A、×=，正确；B、x8÷x2=x6，故此选项错误；C、（2a）3=8a3，故此选项错误；D、3a5•2a3=6a8，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式乘法运算以及结合同底数幂的乘除运算、积的乘方运算等知识，正确掌握相关性质是解题关键．7．（2014•新泰市模拟）化简的结果是（ ）A．B．C．D．【分析】先判断出a的符号，再把二次根式进行化简即可．【解答】解：由可知，a＜0，原式=﹣=﹣．故选C．【点评】将根号外的a移到根号内，要注意自身的符号，把符号留在根号外，同时注意根号内被开方数的符号．二．填空题（共1小题）8．（2013春•阳谷县期末）若和都是最简二次根式，则m=　1　，n=　2　．【分析】由于两二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值．【解答】解：由题意，知：，解得：；因此m的值为1，n的值为2．故答案为：1，2．【点评】本题考查的最简二次根式的定义．当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．三．解答题（共32小题）9．（2015春•宁城县期末）．【分析】首先把乘除法混合运算转化成乘法运算，然后进行乘法运算即可．【解答】解：原式=3×（﹣）×2=﹣3××2×=﹣=﹣×10=﹣．【点评】本题考查了分式的乘除混合运算，正确转换成乘法运算是关键．10．（2013秋•云梦县校级期末）（1）÷3×5；（2）﹙﹣﹚÷（）．【分析】（1）利用二次根式的乘除运算法则将除法变为乘法，根号内的和根号内部相乘除，根号外的与根号外部相乘除，进而化简得出即可；（2）利用二次根式的乘除运算法则将除法变为乘法，根号内的和根号内部相乘除，根号外的与根号外部相乘除，进而化简得出即可．【解答】解：（1）÷3×5=×5=；（2）﹙﹣﹚÷（）=﹣××3=﹣=﹣9x2y．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．11．（2014春•苏州期末）．【分析】因为两个因式的第一项完全相同，第二、三项互为相反数，符合平方差公式的特点，按平方差公式计算即可．【解答】解：原式==2﹣9+2=．【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及平方差公式的应用．运用平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．12．（2016春•乌拉特前旗期末）2×÷5．【分析】本题需先根据二次根式的乘除法的法则分别进行计算，即可求出答案．【解答】解：2×÷5=4×==．【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，在解题时要根据二次根式的乘除法的法则进行计算是本题的关键．13．（2015春•湖北校级期中）计算：．【分析】首先化简二次根式，进而利用二次根式的乘除运算法则求出即可．【解答】解：原式=3×5×=15．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．14．（2014春•赵县期末）（1）（2）（3）．【分析】（1）先将各二次根式化为最简，再运用乘法分配律进行运算，然后再进行二次根式的加减．（2）运用平方差公式进行计算即可．（3）直接进行开方运算即可得出答案．【解答】解：（1）原式=6×（3﹣5﹣2）=18﹣60﹣12，=6﹣60，（2）原式=﹣，=18﹣75，=﹣57；（3）==．【点评】本题考查二次根式的乘除运算，难度不大，注意在运算时公式的运用，更要细心．15．（2011秋•东台市校级期中）（1）化简：•（﹣4）÷（2）已知x=﹣1，求x2+3x﹣1的值．【分析】（1）根据二次根式的定义和已知求出x、y都是负数，先化成最简根式，再根据二次根式的乘除法法则进行计算即可．（2）把代数式化成（x+1）2+x﹣2，代入后根据二次根式的混合运算法则进行计算即可．【解答】（1）解：原式=﹣•（）÷，=（••），=﹣8x2y．（2）解：x=﹣1，∴x2+3x﹣1，=x2+2x+1+x﹣2，=（x+1）2+x﹣2，=+﹣1﹣2，=2+﹣3，【点评】本题考查了二次根式的性质和定义，代数式求值，二次根式的乘除法法则等知识点的应用，解此题的关键是把根式化成最简根式，注意：从题中得出x、y都是负数，=﹣x，=﹣y，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．16．（2014春•曲阜市期末）计算：2×．【分析】根据二次根式的乘除法法则，系数相乘除，被开方数相乘除，根指数不变，如：2×÷3，÷，计算后求出即可．【解答】解：原式=（2××），=．【点评】本题考查了二次根式的乘除法的应用，关键是能熟练地运用法则进行计算，题目比较典型，难度适中，此题是一道容易出错的题目．17．（2014春•沅陵县校级期末）计算：（2+4）×【分析】用和分别去乘括号里的每一项，然后再进行加法运算，即可得出结果．【解答】解：原式==．【点评】解答本题关键是要掌握二次根式的混合运算的运算法则．18．（2016春•吉林期末）．【分析】运用（a≥0，b＞0）直接进行计算．也可以先分子做减法运算，再分子、分母做除法运算．【解答】解：原式===3﹣2=1．【点评】对于二次根式的乘除法，应结合给出的算式的特点灵活进行计算．　19．（2015秋•闸北区期中）计算：2÷•．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：原式=2×6=12=8．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．20．（2014秋•门头沟区期末）计算：4÷（﹣）×．【分析】根据二次根式的乘法法则和除法法则求解．【解答】解：原式=﹣2÷×=﹣×=﹣．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则和除法法则．21．（2014春•孝义市期末）（1）计算：•（÷）；（2）已知实数x、y满足：+（y﹣）2=0，求的值．【分析】（1）利用二次根式的乘除法法则求解；（2）利用算术平方根和一个数的平方等于0求出x，y，再求的值．【解答】解：（1）•（÷）=•===；（2）由+（y﹣）2=0，可知，=0且（y﹣）2=0，即，解得．所以==．【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，非负数的性质及算术平方根，解题的关键是利用算术平方根和一个数的平方等于0求解．22．（2013秋•岳麓区校级期末）．【分析】先化简，再根据二次根式的乘法进行计算即可．【解答】解：原式=÷×3=××3=9．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，化简二次根式是解此题的关键．23．（2016•福建模拟）计算：（）2﹣（2016）0+（）﹣1．【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质和负整数指数幂的性质化简求出答案．【解答】解：原式=5﹣1+3=7．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及零指数幂的性质和负整数指数幂的性质，正确有关掌握运算法则是解题关键．24．（2016春•宿城区校级期末）已知x、y为正数，且（+）=3（+5），求的值．【分析】要求代数式的值，要首先将分子分母的字母统一成一种，因此要整理已知条件，设法将其中一种字母用另一种表示，然后代入代数式中，约分即可．【解答】解：由已知条件得x﹣2﹣15y=0，∴（+3）（﹣5）=0，∵+3＞0，∴﹣5=0，∴，x=25y，∴==2．【点评】能够对所给条件适当的变形是解题的关键，对条件的变形没有规律可循，要根据题目需要，运用所学知识适当变形．25．（2016•厦门校级模拟）计算：．【分析】根据有理数的乘方、去括号法则、二次根式的乘法法则分别计算，再合并即可．【解答】解：原式=﹣1﹣2+5+4=6．【点评】本题考查了二次根式的乘法法则，有理数的乘方，去括号法则的应用，能求出各个部分的值是解此题的关键．26．（2015春•赵县期中）自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“”，而是“”，刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a﹣3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？就是说，按照解题和按照解题的结果一样吗？【分析】本题需注意的是，被开方数为非负数，按计算，则a和a﹣3可为同号的两个数，即同为正，或同为负；而按计算，只有同为正的情况．【解答】解：刘敏说得不对，结果不一样．按计算，则a≥0，a﹣3＞0或a≤0，a﹣3＜0解之得，a＞3或a≤0；而按计算，则只有a≥0，a﹣3＞0解之得，a＞3．【点评】二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．27．（2014春•博湖县校级月考）计算：．【分析】先将带分数化为分数，然后然后根据×=进行二次根式的乘法运算即可．【解答】解：原式=××==×4=3．【点评】本题考查了二次根式的乘除法运算，难度不大，将带分数化简为分数是很关键的一步．28．（2016春•夏津县校级月考）计算：．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则直接求出即可．【解答】解：=3×（﹣）×2=﹣×5=﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，熟练应用运算法则是解题关键．29．（2014春•淮阴区校级月考）（x＞0，y＞0）【分析】根据二次根式的乘除法把根号外的相乘除，根号里的相乘除再化简即可．【解答】解：原式=﹣=﹣，∵x＞0，y＞0，∴原式=﹣=﹣3xy．【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．30．（2013秋•玄武区期末）化简：3a•（﹣）（a≥0，b≥0）【分析】根据二次根式的乘法运算法则直接得出即可．【解答】解：原式=﹣2a，=﹣12ab．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．31．（2016春•咸丰县校级月考）计算：（1）（2）．【分析】（1）根据二次根式的乘法，可得答案；（2）根据二次根式的乘除法，可得答案．【解答】解：（1）原式=﹣12=﹣12×9=﹣108；（2）原式=÷×==1．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，•=，÷=．32．（2016春•端州区期末）计算：2×÷10．【分析】先化简二次根式，再用乘法和除法运算即可．【解答】解：2×÷10=2×2××=【点评】此题是二次根式的乘除法，主要考查了二次根式的化简，分母有理化，解本题的关键是分母有理化的运用．33．（2012秋•上海期中）计算：×（）÷．【分析】根据二次根式乘除法及分母有理化的知识解答即可．【解答】解：原式=b2×（﹣a）÷3=2b×（﹣a）×=﹣a2b．【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟悉二次根式乘除法的法则是解题的关键．34．（2014春•张家港市校级期中）计算：．【分析】首先利用二次根式除法以及乘法法则转化成一个二次根式，然后对二次根式进行化简即可．【解答】解：原式===×2a=．【点评】本题考查了二次根式的乘除运算，正确理解法则，正确化简二次根式是关键．35．（2016春•罗定市期中）计算：（）﹣||【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简进而利用绝对值的性质化简，再合并求出答案．【解答】解：原式=3﹣﹣（2﹣）=3﹣﹣2+，=1．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法以及绝对值的性质，正确掌握运算法则是解题关键．36．（2014春•吴中区期末）化简与计算：（1）÷；（2）3a•（﹣）（b≥0）．【分析】（1）利用二次根式除法运算法则求出即可；（2）利用二次根式乘法运算法则求出即可．【解答】解：（1）÷=×=；（2）3a•（﹣）（b≥0）=3a×（﹣）=﹣2a=﹣12ab．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式乘除运算法则是解题关键．37．（2016•海南模拟）计算：（1）9×3﹣2+20160﹣×（2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2．【分析】（1）先根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义化简乘方，再算乘法，然后计算加减；（2）利用平方差公式与完全平方公式计算乘法与乘方，再去括号合并同类项即可．【解答】解：（1）9×3﹣2+20160﹣×=9×+1﹣4=1+1﹣4=﹣2；（2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2=（a2﹣4）﹣（a2﹣2a+1）=a2﹣4﹣a2+2a﹣1=2a﹣5．【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，负整数指数幂、零指数幂的意义，二次根式的乘除法，掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．38．（2016春•潮南区月考）化简：4x2．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：4x2=4x2÷12×3=x2=xy．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算法则，正确化简二次根式是解题关键．实用文档文案大全　39．（2013秋•南京期末）计算：（a≥0，b≥0）．【分析】根据二次根式的乘法法则求解．【解答】解：原式=2=2=6a ．【点评】本题考查了二次根式的乘法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则=．40．（2014秋•闵行区校级期中）计算：×（﹣2）÷．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出即可．【解答】解：×（﹣2）÷=×（﹣2）×=﹣=﹣=﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．。

八年级数学下册二次根式乘除练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．下列式子正确的是（ ）．A=B ．2C ．3= D ．=2．若23m <<，则5m - ） A ．3 B ．-3C ．2D ．-2 3．一个正方形的面积为8cm 2，则它的对角线长为（ ）A．2cm B ．cm C ．4cm D ．3cm4．下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；①若﹣1＜m ＜0，则21m m m <<；①若a +b ＜0，且0b a>，则33a b a b +=--；①若m 是有理数，则|m |+m 是非负数；①若c ＜0＜a ＜b ，则(a ﹣b )(b ﹣c )(c ﹣a )＞0；其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5）A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间6．把 ）A B C D7．在函数y =x 的取值范围是（ ） A ．3x > B ．1x C ．1x 且3x ≠ D ．3x ≠8．下列计算错误的是（ ）A = BC 2=D 9．下列计算正确的是（ ）．A =B =C 4=D 3=-10．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22022a b -+的值是（ ）A ．2026B ．2024C ．2022D ．2020 二、填空题11．规定a b ⊗a ab +b ，2*a b ab b =-，则()24⊗___． 12．已知a =b =，则22a b -的值是______．13)1sin 602-︒，结果是________.14．计算的结果等于________．152(12)0b +=，则-a b 的立方根是____________．16．已知1x =，求22x x -的值．三、解答题17．请阅读下列材料：问题：已知2x =，求代数式247--x x 的值．小敏的做法是：根据2x =得2(2)5x -=，2445x x ∴-+=，得：241x x -=．把24x x -作为整体代入：得247176--=-=-x x ．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：(1)已知2x =，求代数式2410+-x x 的值；(2)已知x =321x x -+的值． 18．化简：(1)⨯(2)（a ＋2）2－（a ＋1）（a －1）19．计算：10|3(5)π----．20．计算：(2)．2122．阅读理解：对于任意正实数a ，b ，①20≥，①0a b -≥，①a b +≥①当a b =时，a b +有最小值根据上述内容，回答下列问题(1)若0m >，只有当m =_______时，1m m+有最小值_______；若0m >，只有当m =_______时，82m m +有最小值_________；(2)疫情需要为解决临时隔离问题，检测人员利用一面墙（墙的长度不限）和63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图设每间隔离房的面积为S （米2）．问：当每间隔离房的长宽各为多少时，使每间隔离房面积S 最大？最大面积是多少？23)(21． 24．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：11OA =；2OA ==； 1111122S =⨯⨯=；3=OA 2112S ==4=OA ； 3112S == (1)请用含有n （n 为正整数）的等式表示上述变化规律：2nOA =______，n S =______．(2)若一个三角形的面积是(3)求出22221239S S S S +++⋅⋅⋅+的值．参考答案：1．D【分析】利用二次根式的加减运算法则分别判断得出答案．【详解】解：A 235+=，故此选项不合题意；B 、2+C 、=D 、=故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．A【分析】根据二次根式和绝对值的性质化简即可．【详解】解：①2<m <3 ，①原式=|m −5|+|m -2|=5-m+m -2=3．故选：A ．【点睛】本题考查二次根式和绝对值的综合应用，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题关键．3．C【分析】由正方形的面积可得其边长，再由其边长，进而可得其对角线的长．【详解】解：①正方形的面积为8cm 2，①=，①4=cm ，故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，要熟练掌握正方形的性质．4．C【分析】根据绝对值的性质，倒数的性质，不等式的性质，有理数的运算法则依次判断即可．【详解】①0没有倒数，①①错误．①﹣1＜m ＜0，①1m ＜0，2m ＞0， ①①错误．①a +b ＜0，且0b a＞，①a ＜0，b ＜0，①a +3b ＜0，①|a +3b |＝﹣a ﹣3b ．①①正确．①|m |≥﹣m ，①|m |+m ≥0，①①正确．①c ＜0＜a ＜b ，①a ﹣b ＜0，b ﹣c ＞0，c ﹣a ＜0，①（a ﹣b ）（b ﹣c ）（c ﹣a ）＞0正确，①①正确．故选：C ．【点睛】本题考查绝对值，倒数，不等式的性质，有理数的运算法则，正确掌握相关法则是求解本题的关键．5．B3，而45，所以13＜2，故选：B ．【点睛】本题考查无理数的估算，二次根式的运算，掌握二次根式的计算方法和无理数估算方法是得出正确结论的关键．6．C【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可．【详解】解：由题意可知：0a ＞，① 故选：C ．【点睛】此题主要考查了复合二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键．7．C【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案．【详解】解：由题意得：10x -≥且30x -≠，解得：1≥x 且3x ≠，故选：C ．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．8．B【分析】根据二次根式的意义和运算法则解答．【详解】解：A ==，正确；BC 2=，正确；D =故选B ．【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的意义和运算法则是解题关键．9．B【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及二次根式的性质分别化简即可．【详解】解：=B.=C.=D. 3=，此选项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟知运算法则以及二次根式的性质是解本题的关键．10．A【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a 2+a =3，a +b =−1，将其代入即可求出结论．【详解】解：①a ，b 是方程x 2+x −3=0的两个实数根，①a 2+a =3，a +b =−1，①b =-a -1，22022a b ∴-+()212022a a =---+212022a a =+++312022=++=2026故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程的解及根与系数的关系是解决本题的关键．11．2##2-+【分析】利用定a b ⊗a ab +b 计算24⊗，利用2*a b a b =-计算()24⊗【详解】解：①42⊗=2= 3=，①()423⊗23=，2=．故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，关键是理解新定义运算规则，利用规则转化为四则运算．12．-【分析】先对a 、b 分母有理化，然后将22a b -因式分解，最后将a 、b 的值代入计算即可．【详解】解：①ab =，①22()()a b a b a b -=+-=⎡⎤⎡⎤+-⎣⎦⎣⎦ (-故答案为：-【点睛】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，正确的对a 、b 因式分解是解答本题的关键．13．32【分析】先根据二次根式的运算法则运算，再将sin 60︒的值代入计算即可．【详解】解：)1sin 602-︒=32． 【点睛】本题考查了二次根式的运算和特殊角的三角函数值，掌握二次根式的运算的运算法则是解答本题的关键．14．19【分析】根据平方差公式可以解答本题．【详解】解：-223=-19=，故答案为：19．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 15．3【分析】根据非负数的性质求得,a b 的值，继而求得代数式的值，求立方根即可求解．【详解】解：2(12)0b +=，①15,12a b ==-，()151227a b ∴-=--=，27的立方根是3故答案为：3．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，求一个数的立方根，代数式求值，求得,a b 的值是解题的关键．16．4【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：当1x =时，原式()2x x =-)11= =5-1=4【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法以及平方差公式，本题属于基础题型．17．(1)9-；(2)0．【分析】（1）先将原式配方变形后，将x 的值代入计算即可求出值；（2）先求出2x 的值，原式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．（1） 解：52x =-，2x ∴+则原式2(44)14x x =++-2(2)14=+-x214=-514=-9=-；（2） 解：52x -=，22x ∴==， 则原式2(2)1x x =-+2)1+1 1514-=+ 11=-+0=．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则．18．(1)2(2)45a +【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式即可求解；（2）利用平方差公式和完全平方公式进行展开后，进行合并同类项即可．（1）解：原式=22- =75-=2；（2） 解：原式=()()22441a a a ++--=22441a a a ++-+=45a +．【点睛】本题主要考查利用平方差公式进行二次根式的运算以及利用平方差公式和完全平方公式进行整式的运算，掌握乘法公式是解题的关键．19．23【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂进行计算即可求解．【详解】解：原式＝113- 23= 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂是解题的关键．20．(1)(2)4【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并二次根式即可；（2）先运用平方差公式展开，然后再根据二次根式的性质解答即可．(1)==(2)解：=22-=6-2=4．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．21．2-+ 【分析】先分母有理化和化简二次根式，再依据运算法则计算即可．【详解】解：原式=2-=2-【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式的运算法则进行计算．22．(1)1，2，2，8(2)每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为14716米2【分析】（1）根据a b +≥（a b ，均为正实数），分别对1m m +和82m m+进行化简，求最小值即可； （2）设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，根据题意得出91263x y +=，然后根据题干提供的方法求S 的最大值即可．（1）解：①20≥， 又①0m >①12m m +≥=， ①当1m m =，即1m =时，1m m +有最小值，最小值为2；①0≥， 又①0m >，①828m m +≥=，①当82m m =，即2m =时，82m m+有最小值，最小值为8． 故答案为：1，2，2，8．（2）解：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，依题意得：91263x y +=，即3421x y +=，①34x y +≥，即21≥ ①14716xy ≤， 即14716S ≤， 当34x y =时， max 14716S =， 此时，721,28x y ==， 即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为14716米2 ． 【点睛】本题考查了完全平方式和二次根式的运用，解题的关键是能灵活运用题中的结论，求出最小值．23 【分析】首先根据分母有理化法则、多项式乘多项式法则进行运算，再进行二次根式的加减运算，即可求得结果．【详解】解：原式32=-+()5=5=． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握和运用二次根式相关运算法则是解决本题的关键．24．(1)n (2)它是第32个三角形；(3)11.25．【分析】（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解；（2）利用（1）的规律代入Sn n 即可；（3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．（1）解：因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：OA 1OA 2OA 3…，O An所以OAn 2=n ．Sn =12故答案为：n（2）解：当Sn 时，有：，解之得：n =32，即：说明它是第32个三角形；（3）解：S 12+S 22+S 32+…+S 92 =14+24+…+94=454=11.25．即：S 12+S 22+S 32+…+S 92的值为11.25．【点睛】本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．。

专题12.6 二次根式的乘除（巩固篇）（专项练习）一、单选题1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 2. 下列实数中是无理数是（ ）A. B. C. D. ()03π-3. A. 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间4. 若0,0mn m n >+<=（ ）A. m B. -m C. n D. -n5. （ ）A.B. C. D.6. 已知1a b ==+，则,a b 的关系是（ ）A. a b = B. 1ab =- C. 1a b = D. a b=-7. 设a ，b ，用含a ，b （ ）A. 0.3abB. 0.6abC. 2abD. 22a b 8. 已知226a b ab +=，且0a b >>，则a b a b +-的值为（ ）A. C. 2D. 2±9. 下列说法中正确的是（ ）A. 有意义的是x ＞﹣3B. 是正整数的最小整数n 是3C. 若正方形的边长为cm ，则面积为30cm 2D. 计算的结果是310. 在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例称为黄金分割数．设a =b =11111S a b =+++，2221111S a b =+++，3331111S a b=+++，…，1001001001111S a b =+++，则123100S S S S +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A. B. C. 100 D. 5050二、填空题11. 的倒数是______．12. 已知实数1a =，则a 的倒数为________．13. 都是最简二次根式，则m +n ＝_____．14. 已知最简二次根式与0b ≠，则=a ________.15. 不等式0< 的解集是_________．16. 已知m ___________．17.米为单位长度建立数轴，线段AB =17米，点A 在原点，点B 在数轴的正半轴，估计点B 位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是______．18. 将1按右侧方式排列.若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.三、解答题19. （1）计算：()2023 1-+（220. 比较下列各数的大小（1）（2）3π-21. 计算：（1）)2+-；（22 --；（3）((1 20212022221-+--22. 先化简，再求值：2222a b ab baa a⎛⎫--÷-⎪⎝⎭，其中3,3a b=+=．23. ===，….(1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子(至少写3个)；(2)请你将发现的规律用含自然数()1n n ≥的等式表示出来，并给出证明．24. 的大小过程：因为211=，224=，所以12<<；因为21.4 1.96=，21.5 2.25=，所以1.4 1.5<<；因为21.41 1.9881=，21.42 2.0164=，所以1.41 1.42<<；因为21.414 1.999396=，21.415 2.002225=，所以1.414 1.415<<；……的更加精确的近似值．（1的大致范围？（精确到0.01）（2）填空：①比较大小：“>、<或=”）②若a 、b 均为正整数，a >b <a b +的最小值是______．（3）现有一块长4.1dm ，宽为3dm 的长方形木板，要想在这块木板上截出两个面积分别为22dm 和25dm 的正方形木板，张师傅准备采用如图的方式进行，请你帮助分析一下，他的方法可行吗？专题12.6 二次根式的乘除（巩固篇）（专项练习）一、单选题【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】A ==合题意；B =，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；C 是最简二次根式，本选项符合题意；D 、==选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．【2题答案】【答案】B【解析】32===4=，()031π-=，是无理数，其余的都是有理数，是无理数．故选：B ．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，最简二次根式、立方根、零指数幂，理解相关运算法则是解答关键．【3题答案】【解析】=4+∵3＜4，∴7＜2+8+7和8之间．故选：C．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．【4题答案】【答案】B【解析】【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．【详解】解：由已知条件可得：m<0，n<0，∴原式=|m|=-m，故选：B．【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．　【答案】C【解析】【分析】三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高．【详解】直角三角形中，两直角边长的乘积等于斜边长与斜边上的高（h ）的乘=，∴h ==．故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键．【6题答案】【答案】D【解析】【分析】根据a 和b 的值去计算各式是否正确即可．【详解】A. 1a b -=-==B. 1ab =≠-，错误；C. 1ab =≠，错误；D. 10a b +=++==，正确；故答案为：D ．【点睛】本题考查了实数的运算问题，掌握实数运算法则是解题的关键．【7题答案】【答案】B【解析】【分析】根据已知求出ab 的值，即可求出答案．【详解】∵a =b =∴ab ，==2×0.13⨯==0.6ab ．故选B ．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，键，是一道基础题．【8题答案】【答案】A【解析】【分析】已知226a b ab +=，变形可得28a b ab +=（），24a b ab -=（），可以得出a b +（）和a b -（）的值，即可得出答案．【详解】解：∵226a b ab +=，∴28a b ab +=（），24a b ab -=（），∵0a b >>，∴a b +=a b -=，∴a b a b +==-，故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．【9题答案】【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案．【详解】A 有意义的是x≥﹣3，故此选项错误；B 是正整数的最小整数n 是3，故此选项正确；C 、若正方形的边长为cm ，则面积为90cm 2，故此选项错误；D 、的结果是1，故此选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算，正确掌握相关定义是解题的关键；【10题答案】【答案】C【解析】【分析】先计算1S ，2S ，3S 的值，找出规律，然后求解即可．【详解】解：a = ，b =，1ab ∴=，11111S a b=+++ (111)1)(b a a b =+++++21a ba b ab++=+++22a b a b++=++1=，2221111S a b =+++222211(1)(1)b a a b +++=++22222221a b a b a b ++=+++2222211a b a b ++=+++222222a b a b ++=++1=，3331111S a b =+++333311(1)(1)b a a b +++=++33333321a b a b a b ++=+++33333321a b a b a b ++=+++3333211a b a b ++=+++333322a b a b ++=++1=，⋯⋯1111n n nS a b =+++1(1)(1)n nn n b a a b ++=++21n nn n n na b a b a b ++=+++211n nn n a b a b ++=+++22n nn na b a b ++=++1=，1001S ∴=，123100S S S S ∴+++⋯+111100=++⋯⋯+=，故选：C【点睛】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运算规律是解题的关键．二、填空题【11题答案】【解析】【分析】根据倒数的定义解答即可．【详解】∵1=，【点睛】本题考查了实数的性质以及倒数，熟记互为倒数的两个数的乘积为1是解题的关键．【12题答案】【解析】【分析】直接利用倒数的定义结合二次根式的性质化简得出答案．【详解】解：∵实数1a=-，∴a=．【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．【13题答案】【答案】﹣6．【解析】【分析】由于二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值．【详解】由题意可得：31 211mm n+=⎧⎨-+=⎩解得：24 mn=-⎧⎨=-⎩∴m +n ＝﹣6故答案：﹣6．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．【14题答案】【答案】3【解析】【分析】确定与.【详解】解：由题意得3b ab =，解得3a =，故答案为3.【点睛】本题考查了二次根式的概念，明确最简二次根式的被开方数是解题的关键.【15题答案】【答案】>1x 【解析】【分析】根据一元一次不等式的解法及二次根式的除法即可求得．【详解】解：由原不等式得： 解得>1x 故答案为：>1x ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法及二次根式的化简与除法，熟练掌握和运用一元一次不等式的解法及二次根式的化简与除法是解决本题的关键．【16题答案】【答案】2【解析】【分析】根据题意知m -1，将所求式子进行通分化简，再将m 的值代入即可求解．【详解】解：由题意，知m -1，当m -1时，原式=2．故答案为2．【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的化简求值．解题的关键是掌握二次根式的性质．【17题答案】【答案】9和10【解析】【分析】先计算17【详解】17=∵9=10=∴910<<∴这两个相邻整数是9和10．故答案为：9和10．【点睛】此题考查了无理数的估算，正确估算出17÷的大小是解题的关键．【18题答案】【答案】【解析】【详解】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4，∴(5，4)与(9，4)．故答案为三、解答题【19题答案】【答案】（1）8；（2）0【解析】【分析】（1）原式先计算乘方和二次根式乘法，然后再算加法即可得到答案；（2）原式先计算二次根式的除法，再合并即可得到答案．【详解】解：（1）计算：()20231-=1-+=19-+=8；（2-+-=0．【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，解答本题的关键是熟练掌握二次根式相关的运算法则．【20题答案】【答案】（1）<（2）3π<-【解析】【分析】（1）根据实数比较大小的方法求解即可；（2）根据实数比较大小的方法求解即可．【小问1详解】解：∵((221218=<=，∴<；【小问2详解】解：∵222254544363936πππ⎛⎛⎫==>-== ⎪⎝⎭⎝，∴3π<-．【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．【21题答案】【答案】（1）5-；（2）1-；（3【解析】【分析】（1）本题首先需要将二次根式化简，之后进行计算，去括号注意符号变化；（2）先对二次根式进行化简，去括号利用完全平方公式进行运算在进行合并；（3）利用平方差公式对括号进行化简，之后针对绝对值，判断绝对值内符号的正负，再去绝对值，之后进行合并运算．【详解】（1）原式155552=⨯-=-=-；（2）原式(423451=-+-=--+=-；（3）原式((202122221⎛⎡⎤=-+--- ⎣⎦⎝22=+=【点睛】本题重点考查的是二次根式的混合运算，需要用到简便运算，熟练掌握二次根式的化简及运算方法是解此类题型的关键．【22题答案】【答案】a b a b +-【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：原式=()()222a b a b a ab b aa+--+÷()()()2a b a b aa ab +-⨯-=a ba b+-，∴当33a b ==-，时，原式=【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键 ．【23题答案】【答案】=，=，=(答案不唯一)；(2)(1n =+，证明见解析.【解析】【分析】（1）此题应先观察列举出的式子，再根据式子的特点书写.（2）先找出它们的一般规律，用含有n 的式子表示出来即可．【详解】(1)===.(2)(1n =+.==(1n =+【点睛】本题主要考查学生把特殊归纳到一般的能力及二次根式的化简，解题的关键是仔细观察，找出各式的内在联系解决问题．【24题答案】【答案】（1）2.23 2.24<<；（2）①>；②4；（3）他的方法可行，理由见解析．【解析】【分析】（1可；（2）①将两个数进行平方，平方后再进行比较即可；②要使得a b + 有最小值，只需要求得a 和b 的最小值，再进行计算即可得到答案；（3 4.13的大小即可得到答案.【详解】解：（1）∵224=，239=，∴23<<；∵22.2 4.84=，22.3 5.29=，∴2.2 2.3<<；∵22.23 4.9729=，22.24 5.0176=，∴2.23 2.24<<，（2）①∵(218=，(212=∴((22>∴>故答案为：＞.②∵224=，239=，∴23<<；∵a >a 为正整数∴a 的最小值为3∵311=，328=，∴12<<∵b <b 为正整数∴b 的最小值为1∴a b +的最小值为4；（3）∵两个正方形的面积分别为2dm 、5dm<<< 2.2431.42+<+=<2.24 1.423.664.1∴这个方法可行【点睛】本题主要考查了无理数的估值和比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。

二次根式的乘除练习题一、选择题1．下列式子中，不是二次根式的是（） A． B． C． D．2．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）B. ．以上皆不对3.使式子有意义的未知数x有（）个． A．0 B．1 C．2 D．无数4．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．15．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=06．的值是（）． A．0 B． C．4 D．以上都不对7．a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．A．=≥- B．>>-C．<<- D．->=8．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，•那么此直角三角形斜边长是（）A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm9．化简a的结果是（）． A． B． C．- D．-10．等式成立的条件是（）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-111．下列各等式成立的是（）．A．4×2=8 B．5×4=20C．4×3=7 D．5×4=2012．计算的结果是（）A． B． C． D．13．阅读下列运算过程：，数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（）． A．2 B．6 C． D．14．如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不对15．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（）．A． B． C．- D．-16．在下列各式中，化简正确的是（）A．=3 B．=±C．=a2 D． =x17．化简的结果是（） A．- B．- C．- D．-二、填空题1．若+有意义，则=_______． 2．（-）2=________．3．已知有意义，那么是一个_______数． 4．-=________．5．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．6．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．7．分母有理化:(1) =_________;(2) =________;(3) =______.8．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．9．化简=_________．（x≥0）10．a化简二次根式号后的结果是_________．三、计算1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）24．（）2 5.（）2（）27.（）2 8.（-3）2四、综合提高题1、在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-32、当x是多少时，+在实数范围内有意义？3、已知y=++5，求的值．4、若+=0，求a2004+b2004的值．5、当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？6、已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．7．已知+=0，求x y的值．8. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。

二次根式的乘除练习题 一、认认真真，书写快乐1．假设6 2.449=，那么54= 〔精确到0.01〕． 2．计算188= ．3．计算：25(4)(169)9-⨯⨯-= ，计算：0.04640.25169⨯=⨯ ． 4．一个直角三角形的斜边21c =，一条直角边4b =，那么另一条直角边a = ．5．计算：322113÷= ． 6．三角形的一边长为2xy ，这边上的高为1xy ，那么这个三角形的面积是 ． 二、仔仔细细，记录自信7．如果3(3)xx x x -=-，那么〔 〕 A ．0x ≥B ．3x ≥C ．03x ≤≤D ．x 为一切实数 8．能使等式22x x x x =--成立的x 的取值范围是〔 〕 A ．2x ≠B ．0x ≥C ．2x >D ．2x ≥ 9．将1m m--根号外的因式移到根号里面正确的选项是〔 〕 A ．m - B ．2m - C ．m - D ．m10．以下根式中最简二次根式的个数有〔 〕22x y ，2ab ，35xy ，22y c ，225()a b -，3375x y ，22x y +． A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个 11．以下计算正确的选项是〔 〕A ．51533=B ．824=C ．142a a b b = C ．51542= 12．估算50232+的值〔 〕 A ．在4和5之间 B ．在5和6之间C ．在6和7之间D ．在7和8之间 三、平心静气，展示智慧13．计算：311294524543⎛⎫÷⨯- ⎪⎝⎭．14．计算：533455156y xy x y x ⎛⎫⎛⎫÷-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．15．假设直角三角形的面积是218cm ，一条直角边长3cm ，求另一条直角边长及斜边上的高线长．计了一个长方形图片，长方形的长是140cm π，宽是35cm π．他又想设计一个面积与其相等的圆，参考答案：一、1．7.352．12 3．1303，1665 4．517 5．32244 6．3二、7．B 8．C9．C 10．A 11．D 12．D 三、13．306-． 1422158x y xy 15．26，63， 1670r ，那么214035r π=ππ，70r =。

专题2.5 二次根式的乘除【十大题型】【北师大版】【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】 (1)【题型2 二次根式的乘除混合运算】 (3)【题型3 把根号外的因数（式）移到根号内】 (6)【题型4 判断最简二次根式】 (8)【题型5 化为最简二次根式】 (9)【题型6 根据最简二次根式的概念求值】 (11)【题型7 分母有理化及其应用】 (13)【题型8 比较二次根式的大小】 (15)【题型9 应用二次根式的乘除运算解决实际问题】 (18)【题型10 二次根式乘除法中的新情境题】 (20)【知识点1二次根式的乘除法则】①≥0,b≥0)；②≥0,b≥0)；③=≥0,b>0)；④≥0,b>0).【题型1二次根式乘除法法则成立的条件】【例1】（2023·上海闵行·八年级校考期中）那么m的取值范围是_____________【答案】m＞4.【分析】根据二次根式除法法则和分式有意义的条件，列出不等式组即可解答.【详解】∴2m-1≥0，m-4＞0，解得：m＞4，故答案为m＞4.【点睛】此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则.【变式1-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）⋅x的取值范围为（）A．x≤3B．x≥2C．2<x<3D．2≤x≤3【答案】D【分析】根据二次根式的意义得到x-2≥0，3-x≥0，从而求出x的范围．【详解】解：⋅∴x-2≥0，3-x≥0，∴x≥2，x≤3，∴2≤x≤3，故选D．【点睛】本题主要考查对二次根式的定义，二次根式的乘法等知识点的理解和掌握，能根据法则得出x-2≥0和3-x≥0是解此题的关键．【变式1-2】（2023春·山东泰安·x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．【详解】由题意可知：x−3≥0x+1>0,解得：x⩾3,故选：B．【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.【变式1-3】（2023春·辽宁朝阳·=x的取值范围是______．【答案】0⩽x⩽2．【分析】根据二次根式的性质和绝对值法则列不等式即可求出答案．【详解】解：==∴|x|=x ，∴x⩾02−x⩾0 ，解得：0⩽x⩽2；故答案为：0⩽x⩽2．【点睛】本题考查二次根式的性质，绝对值法则，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件和绝对值的法则列不等式．【题型2 二次根式的乘除混合运算】【例2】（2023春·八年级上海市进才实验中学校考期中）计算:（1）÷×（2）×（3）>0,b >0)【答案】（1）2）−154；（3【分析】（1）根据二次根式乘除法法则计算即可；（2）根据二次根式乘除法法则计算即可；（3）根据二次根式乘除法法则计算即可．【详解】（1）原式=3×23×=2×=（2）原式3×(−18)×=−34×5=−154；（3）原式=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，主要考查学生的化简能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．【变式2-1】（2023春·福建龙岩·八年级校联考期中）计算(1)2(2)1)2−【答案】(1)(2)6+【分析】（1）先计算括号里的乘法运算，相除化简即可得到结果；（2）运用完全平方公式、平方差公式化简，计算即可得到结果．【详解】（1）解原式＝÷＝＝（2）解原式=7 =7+=6+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式等相关知识，解题关键是熟练掌握运算法则．【变式2-2】（2023春·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）计算：⋅÷−【答案】【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可．【详解】解：=32÷(−34=32×(−43=x >0，y >0，∴原式=【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握二次根式的乘除运算法则是关键，最后二次根式要化成最简二次根式．【变式2-3】（2023春·黑龙江鸡西·八年级统考期中）（1）计算：2−+(2（2）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：++第一步×第二步第三步第四步①以上化简步骤中第一步化简的依据是：______；②第______步开始出现错误，请写出错误的原因______；③该运算正确结果应是______.【答案】（1）−7+2）①a≥b，b>0）；②二，括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；③【分析】（1）根据平方差公式，完全平方公式化简计算即可．（2）①a≥b，b>0），即可得到答案；②括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号．③根据二次根式的性质和运算法则，正确运算即可．【详解】（1）2−(2=(4−5)−(2)=−1−6+−7+（2）①a≥b，b>0），a≥b，b>0）；②第二步开始出现错误，错误的原因为：括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；故答案为：二，括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；×+==2=2=该运算正确结果应是故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和性质，熟练掌握二次根式运算的法则是解题的关键．【题型3把根号外的因数（式）移到根号内】【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）把(2−x____________．【答案】【分析】根据二次根式被开方数是非负数且分式分母不为零，将根号外的因式转化成正数形式，然后进行计算，化简求值即可．>0，【详解】解：∵1x−2∴x−2>0；(2−x====故答案为：【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式计算，灵活运用二次根式的性质是解题关键．【变式3-1】（2023春·山东·八年级统考期中）若把﹣A B．C．D【答案】C【分析】把4【详解】解：﹣＝故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，以及二次根式的化简，解题的关键是避免出现符号错误的问题．【变式3-2】（2023春·江苏南通·八年级阶段练习）把）B．C．DA【答案】A【详解】试题分析：因为a＜0，所以==A．考点：二次根式的化简．【变式3-3】（2023春·河北唐山·八年级校考期末）把下列根号外的因式移到根号内.(1)(2)xy x-y·x>y>0);(3)a<b).【答案】（1（2（3【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可知a>0，利用二次根式的乘法法则化简；（2）(3)利用二次根式的乘法法则求解即可．>0,∴a>0,a∴【详解】(1)∵1a(2)∵x>y>0,∴x-y>0,xy>0,即xy x-y>0.∴xy x-y=·=∴xy(3)∵0<a<b,∴ab>0, b-a＞0,∴ab∴【点睛】本题考查了二次根式的化简，正确确定a、b和x的范围是关键．【知识点2最简二次根式】我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【题型4判断最简二次根式】【例4】（2023春·山东泰安·八年级统考期中）在二次根式④最简二次根式是（）A．①②B．③④C．①③D．①④【答案】C【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】=①③是最简二次根式．故选C．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【变式4-1】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）下列式子中，为最简二次根式的是( )A B C D【答案】B【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，判断即可．【详解】解：A.原式A不符合题意．B符合题意．C.原式=C不符合题意．D.原式=3，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式，本题属于基础题型．【变式4-2】（2023春·广东汕头·x的值可能是（）A．11B．13C．21D．27【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方式非负，列出不等式得到解集后，再由最简二次根式定义代值逐项验证即可得到答案．【详解】解：∵∴x−3≥0，解得x≥3，A、当x=11B、当x=13C、当x=21D、当x=27故选：B．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件及最简二次根式定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解决问题的关键．【变式4-3】（2023春·安徽铜陵·）A．它是一个无理数B．它是一个正数C．它是最简二次根式D．它有最小值为3【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．3，当时x=0A错误；故选A.【点睛】考查了最简二次根式，利用最简二次根式的性质是解题关键．【题型5化为最简二次根式】【例5】（2023春·全国·八年级专题练习）下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是()BAC D【答案】D【分析】利用二次根式的性质将选项中的二次根式化成最简二次根式然后比较被开方数即可．【详解】解：ABC3abD故选D．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，将选项中的二次根式化成最简二次根式是解决此题的关键．【变式5-1】（2023春·重庆·_____．=3，然后再开方即可．【点睛】本题考查了二次根式的性质和最简二次根式，关键是理解最简二次根式的定义和能化成最简二次根式，最简二次根式定义满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数．【变式5-2】（2023春·浙江杭州·a=b，用含a,b________．【答案】3ab10a，b即可．===a b，3ab10故答案为：3ab10．型．【变式5-3】（2023春·八年级单元测试）把下列根式化成最简二次根式．（1）（2）（3>0)（4<0)【答案】（1）23）4）【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．【详解】解：（1）5×（2）=6×6×=（3>0)=（4<0)=nm×=【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键，二次根式开出来的数一定为非负数．【题型6根据最简二次根式的概念求值】【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）m+n＝_____．【答案】﹣6．【分析】由于二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值．【详解】由题意可得：m+3=1 2m−n+1=1解得：m=−2 n=−4∴m+n＝﹣6故答案：﹣6．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．【变式6-1】（2023春·湖北襄阳·a=_________.【答案】5“被开方数相同”列方程求解．6；a+1，故有：a+1=6，则a=5．故答案为：5．【点睛】本题考查最简二次根式的化简以及对二次根式概念的理解，需注意化简原则为被开方数不含分母,也不含能开的尽方的因数或因式．【变式6-2】（2023春·全国·八年级专题练习）若a a的最小值为______.【答案】3【分析】直接利用最简二次根式的定义进行分析即可得.【详解】∵a∵a为1，a为2a为3∴a最小为3，故答案为：3.【点睛】本题考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题的关键.【变式6-3】（2023·江苏·八年级假期作业）我们把形如b（a，b2是（ ）A B C D【答案】B【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式=12+【详解】解：2=2+=12+所以2故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．【知识点3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型7分母有理化及其应用】【例7】（2023春·四川巴中·八年级校联考期中）阅读下列材料，然后回答问题：=−1．以上这种化简过程叫做分母有理化．= 1．请任用其中一种方法化简：【答案】；②【分析】（1进行分母有理化即可；（2）根据题意分子分母同时乘以.【详解】解：==5（2−2=.【点睛】分母有理化是本题的考点，能够运用平方差公式把分母中的根号去掉是解题的关键.【变式7-1】（2023春·甘肃平凉·八年级统考期中）分母有理化:【答案】+2，然后化简即可.故答案为【点睛】此题考查的是分母有理化，找出分母的有理化因式是解决此题的关键.【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）下列各组中互为有理化因式的是（ ）AB ．C+D 【答案】C【分析】根据有理化因式的定义判断即可.【详解】A.−+,不符合题意;B.( )=−)2,不符合题意;C. + )=)2=2a 2−3 ,符合题意;D.,不符合题意;故选C.【点睛】本题考查有理化因式得定义,关键在于掌握定义化简判断.【变式7-3】（2023春·河南开封·八年级统考阶段练习）【阅读材料】−2=1⋅a (a ≥0)=b−1(b ≥0)两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， ，与【解决问题】（13的有理化因式为；（2）化简：（3）已知正整数a，ba，b的值．【答案】（1；（2）3）a=3，b=10【分析】（1）根据题意，理解有理化因式的概念，即可求解；（2）对式子分别进行有理化，然后运算求解即可；（3）对式子分别进行有理化，对应系数相等，列二元一次方程组，即可求解．【详解】解：（13；（22（3=(a−12b)a=可得：a−12b=−2a=3，解得b=10a=3所以，a=3，b=10【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化，理解题意掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键．【题型8比较二次根式的大小】【例8】（2023·全国·【答案】＞【详解】=1=2故答案为：＞．【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小．【变式8-1】（2023·上海·八年级假期作业）若a=2020×2022−2020×2021,b==a，b，c的大小关系是（）A．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．b>c>a【答案】A【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论．【详解】解：∵a=2020×2022−2020×2021=2020×(2022−2021)=2020，∴a2=20202，∵b=c=∴b2=20232−4×2022=(2022+1)2−4×2022=(2022−1)2=20212，c2=20212+1，∵20202<20212<20212+1，即c2>b2>a2，∵a、b、c都是大于0的实数，∴c>b>a，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键．【变式8-2】（2023春·全国·八年级专题练习）计算：（1（2）求y=的最大值．【答案】（12【分析】（1）当x=1（2）分子有理化，y+3．【详解】（1（2）∵x +1≥0，x−1≥0，∴x ≥1，∵y =，当x =1∴y =+3．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件以及分子有理化在二次根式中的应用，此类问题掌握分子、分母有理化的方法是解题关键．【变式8-3】（2023·全国·八年级专题练习）先观察解题过程，再解决以下问题：的大小．解：+=1，=1，=+<（1（2【答案】（12【分析】（11的数，再比较大小即可；（21的式子，再比较大小即可．【详解】（1）∵+=1，=1，=又+（2）∵，，==又【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数或式子，是解题的关键．【题型9应用二次根式的乘除运算解决实际问题】【例9】（2023春·八年级课时练习）站在竖直高度ℎm的地方，看见的水平距离是dm，它们近似地符合公式d=某一登山者登上海拔2000m的山顶，那么他看到的水平距离是________m.【答案】160【分析】把h=2000代入公式d=.【详解】解：把h=2000代入公式d=d=8×20=160所以答案是：160.【点睛】本题考查了二次根式的计算.熟练掌握二次根式的性质是运算的关键.【变式9-1】（2023春·八年级单元测试）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符号公式为d=h米处登上海拔2ℎ米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？【分析】由题意知d和h的关系式，则由海拔h米处登上海拔2ℎ米高的山顶，那么他看到的水平线的距离之比可以得到．=【详解】解：登山者看到的原水平线的距离为d1=d2=，d2d1【变式9-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为ℎ，观测者视线能达到的最远距离为d，则d≈R是地球半径，约等于6400 km．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度ℎ为0.02km，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求d的值为_____km．【答案】16【分析】根据d≈R≈6400km，ℎ=0.02km，由此即求解．【详解】解：根据题意得，d≈R≈6400km，ℎ=0.02km，∴d≈=80×0.2=16(km)，故答案是：16．【点睛】本题主要考查的是代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键．【变式9-3】（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、(a>b>c>0)，若木块对桌面的最大压强为p1，最小压强为p2，则p1p2的值等于______．【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可．【详解】解：如图，a>b>c，∵最大压强是前面向下放置，∴p1=∵最小压强是面积最大的面向下，∴p2=∴p 1p 2=【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除法运算是解本题的关键．【题型10 二次根式乘除法中的新情境题】【例10】（2023春·八年级课时练习）老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面的一道题作为练习：a b ，用含a ，b 小豪、小麦两位同学跑上讲台，板书了下面两种解法：==ab10．ab ，=7a b．老师看罢，提出下面的问题：(1)两位同学的解法都正确吗？(2)请你说明理由．【答案】(1)都正确(2)见解析【分析】（1）仔细阅读两同学的解题过程，然后判断；（2）证明两人所得结果可以互相转换即可．(1)解：都正确．(2)解：理由如下：观察两位同学的解答过程可知，均符合二次根式运算法则，所得结果可以互相转换，ab10=7a b．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，灵活运用二次根式运算法则是解题的关键．【变式10-1】（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）请阅读材料，并解决实际问题：海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p=a b c2，那么这个三角形的面积S=式．秦九韶（约1202—1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S=学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式．问题：在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=7，用海伦—秦九韶公式求△ABC的面积为____．【答案】【详解】∵在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=7，∴AC AB BC2=5672=9，∴△ABC=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的几何应用，正确理解海伦—秦九韶公式是解题关键．【变式10-2】（2023春·福建福州·八年级统考期中）⋅(a≥0,b≥0)≥0,b>0)，那么二次根式加法是否具有类似性质呢？请同学们根据下列问题开启探索之旅：(1)+≥0,b≥0)的大小，并提出猜想；(至少举3例，举例要全面哦)(2)利用学过的知识证明你的猜想．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意列举出三个具体数据的实例进行计算得出结论；（2）利用两个非负数平方的大小，来比较这两个非负数的大小的方法进行证明即可．【详解】（1）例如：1+++++ 3.652<3，+……（2）∵+2=a+b+2=a+b，而≥0，【点睛】本题考查二次根式的乘除法，掌握二次根式乘除法的计算方法是正确解答的前提．【变式10-3】（2023春·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：在学习完实数的相关运算之后，小明同学提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方的积存在有什么样的关系？小明用自己的方法进行了验证：==1052，5×2=10×回答以下问题：×(1)结合材料猜想，当a≥0，b≥0(2)运用以上结论，计算：①②(3)【答案】=(2)①20；②104(3)16【分析】（1）根据阅读材料中的例题，即可解答；（2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答，②利用（1）的结论，进行计算即可解答；（3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答．(1)解：当a≥0，b≥0×(2)解：×=4×5=20；==8×13=104；(3)解：由题意得：长方形的面积=×=16，∴长方形的面积为16．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则进行计算即可解答．。

二次根式的乘除练习题-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1二次根式的乘除（一）1.使等式ab =b a •成立的条件是（ ）>0，b>0 <0，b<0 ≥0，b≥0 ≥02.计算32•的结果是（ ） A.5 B.6 C.32 D.233.下列各式成立的是（ ） A.585254=⨯ B.5202435=⨯ C.572334=⨯ D.6202435=⨯4.化简二次根式6)2(-2⨯的结果是（ ） A.62 B.62-5.化简545⨯的结果是（ ） A.52 C.2 D.52 6.下列各式计算正确的是（ ） A.525±= B.127-33= C.9218=⨯ D.62324=⨯7.在下列各数中，与3的积为有理数的是（ ） A.2 B.13+ C.3- D.68.计算：218⨯= . 9.化简：=⨯1832 ;=⨯)27(-)15(- .10.计算下列各式：（1）82⨯; （2）123⨯; （3）2162⨯;（4）12149⨯; （5）y 4; （6）3216c ab ;（7）10253⨯; （8）15106⨯⨯; (9)54332⨯⨯.11.若等式33)3)(3(-⨯+=-+x x x x 成立，则x 的取值范围是 . 12计算22)2-3()23(⨯+的结果是（ ） C.2-3 D.23+13.将aa 1根号外的部分移到根号内，正确的是（ ） A.a B.a - C.a - D.a --14.设矩形的长和宽分别为a 、b ，根据下列条件求面积S. (1)8,12==b a ; (2)4821,243==b a .15.比较下列各组中两个数的大小.（1）2472和 （2）2332--和.16.计算：（1）3122y x xy • （2）nm m n m 223233•17.先化简，再求值：12)113(2--÷--+x x x x x , 其中23=x .18.已知101=+aa ，求a a 1-的值. 二次根式的乘除（二）1.下列根式中：1,2,12,21,22+-x x ，最简二次根式的个数为（ ） 个 个 个 个2.下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A.9 B.7 C.20 D.31 3.下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A.a 4 B.4a C.4a D.4a 4.下列运算中错误的是（ ） A.2222=⨯ B.632=⨯ C.228=÷ D.3)3(-2=5.下列计算错误的是（ ） A.6319632== B.x x x x x==21 C.a ab a ab a b 339332== D.x x x x x 6396322== 6.327的相反数是 ；5的倒数是 .7.计算：=⨯÷3333 ；=÷x x 1 . 8.计算：（1）;818÷ （2）;8121÷ （3）;32241÷（4）;648 （5）;2723- （6）;322xy y x（7）;x y xy ÷（8）;1003 （9）;2775（10）;65027÷⨯ （11）;531322311⨯÷ （12）.43215021122⨯÷ 9.使等式725725--=--x x x x 成立的条件是（ ）A.27<x ≤5 B .27≤ x ≤5 C .x > 27 D .x ≤5 10.若,2381=⨯a ，则a 的值为（ ）. A .12 B .32 C .163 D .43 11.化简 （1）;23x y xy ÷ （2）;227818÷÷ （3）.23ba ab a b ⨯÷12.先化简，再求值:)131(12--+÷--x x x x ，其中23-=x .13.某建筑施工图纸上有一直角三角形的面积为21410cm ，一条直角边长为274cm ，求另一条直角边的长.14.已知2,3=-=+ab b a ，求代数式b a a b +的值.。

.5.4 二次根式的乘除法第二课时教学内容a =a（a≥0，b>0），反过来a=a（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化b b bb简．教学目标理解a=a（a≥0，b>0）和a=a（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．bb bb利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键a a a a1．重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥ 0，b>0）及利用它们进行计b b b b算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1）（2）（3）（4）916163641636819=________，1616=________，364=________，1636=________，81=；=；=；=．99161644规律：______；______；_______；161636361616 3636_______．81813．利用计算器计算填空:（ 1）322=______，（ 4）7．=，（ 2）=，（ 3）=4358规律：33222277 ______；_______；_____；_____。

44335588每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：a a=（a ≥0， b>0 ），b ba a反过来，=（a≥0，b>0）b b下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例 1．计算：（1）12311164（ 2）（ 3）4（ 4）328168a a分析：上面 4 小题利用=（a≥ 0，b>0）便可直接得出答案．b b解：（ 1）12124 =2==33（ 2）3 1 =31383 4 = 3 ×=2 328282（ 3）11= 1 1116 = 4 =2 4164164（ 4）64648 =22==88例2．化简：364b29x5x （ 1）（ 2 ）（3 ）（4 ）649a264 y2169y2a a分析：直接利用=（a≥ 0，b>0）就可以达到化简之目的．b b解：（ 1）3 3 3=64864（ 2）64b 2=64b 28b 9a 2 9a 23a（ 3）9 x= 9 x3 x 64y 2 64 y 2 8 y5x5x 5x（ 4）169y 2=169 y 213y三、巩固练习 教材 P135练习 2 ．四、应用拓展9 x 9 x ，且 x 为偶数，求（ x 25x 4例 3． 已知6x 61+x ）2的值．x x1a a 分析： 式子= ，只有 a ≥ 0， b>0 时才能成立．bb因此得到 9-x ≥ 0 且 x-6>0 ，即 6<x ≤ 9，又因为 x 为偶数，所以 x=8 ．9 x 0x 9解：由题意得6 0，即6x x ∴ 6<x ≤ 9∵ x 为偶数∴ x=8( x 4)( x 1) ∴原式 = （1+x ）( x 1)(x 1)x 4 =（ 1+x ）x 1x 4 (1 x)( x 4)=（ 1+x ）=(x 1)∴当 x=8 时，原式的值 = 4 9 =6 ．五、归纳小结本节课要掌握a a a a =（ a ≥0，b>0 ）和=（ a ≥ 0， b>0 ）及其运用．bbbb六、布置作业.1．教材 P 135 习题 5.5 2、 习题 5.6 1 、 22．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 一、选择题1．计算11211 2的结果是（ ）．3352 5B ．2 C ．22A ．7D ．772 ．阅读下列运算过程：1 3 32 2 52 53333，5 5552 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是6（ ）．A ． 2B ． 61 6D ． 6C ．3二、填空题1．分母有理化 :(1)1110 =_________;(2)=________;(3)2 =______.321252．已知 x=3 ， y=4 ， z=5 ，那么 yzxy 的最后结果是．三、综合提高题1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为3 ： 1， ? 现用直径为3 15 cm 的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算nn1n 3n3 （ m>0 ， n>0 ）（ 1）3 （· -m 3）÷2m m 2mm（ 2） -33m 2 3n 23 m na 2 2a 2÷（a 2 ）×（a>0 ）2m n答案 :一、 1． A 2． C3 3 ;(3)10 2 5 2二、 1． (1);(2)52 52662.15 2．3三、 1．设：矩形房梁的宽为x （ cm ），则长为3 xcm ，依题意，得：（2223 x ） +x = （3 15 ） ，2×15， x=34x =9 15 （ cm ），2213523 x ·x= 3 x =4 3 （ cm ）．2 ．（1 ）原式＝ - nn 4n=- nn 4 2m 3 m22m 5÷2m 3 m 22m 5nn n 3 n nn 2n=-m 2m 2 m n =-m 2m 33(m n)( m n)a 2 a 23a 2 （ 2）原式 =-22a 2mn m=-2=- 6 an221.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念， 并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程 一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）3 ，（ 2）3 2 ，（ 3）81．计算（ 1）272a53 15 3 26 8 2 a老师点评：=，27=，2a =a5532．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是 h 1km ，h 2km ，? 那么.它 的 播半径的比是．它 的比是2Rh1．2Rh 2二、探索新知 察上面 算1 的最后 果，可以 些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我 把 足上述两个条件的二次根式，叫做最 二次根式．那么上 中的比是否是最 二次根式呢？如果不是，把它 化成最 二次根式． 学生分 ，推荐 3～ 4 个人到黑板上板 ．老 点 ：不是．2Rh 1 2Rh 1h 1 h 1 h 2 =.2Rh 22Rh 2h 2h 2例 1． (1) 35 ; (2) x 2 y 4 x 4 y 2 ; (3) 8x 2 y 312例 2．如 ，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，AC=2.5cm ， BC=6cm ，求 AB 的 ．ABC2 2 2解：因 AB =AC +BC26 25236169 169 13 所以 AB= 2.5= ( )44=6.5 （ cm ）22因此 AB 的 6.5cm ． 三、巩固 教材 P 14 2、 3四、 用拓展例 3 ． 察下列各式，通 分母有理数，把不是最 二次根式的化成最 二次根式：1 =1 (2 1)2 12 -1 ，2 1 2 1)( 21) 2 =( 11 =1 ( 32) 32 3 - 2 ，3(32)(32)3=2 2同理可得：1 =4 -3 ，⋯⋯43从 算 果中找出 律，并利用 一 律 算1+1+112002 +1）的．（12+ ⋯⋯2002）（23432001分析：由意可知，本所的是一分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化的目的．解：原式 = （ 2 -1+ 3 - 2 + 4 - 3 +⋯⋯+ 2002 -2001 ）×（2002 +1）=（2002 -1 ）（2002+1 ）=2002-1=2001五、小本掌握：最二次根式的概念及其运用．六、布置作1．教材 P1521．23、 7、 10．2．用作．第三作一、1．如果x（ y>0 ）是二次根式，那么，化最二次根式是（）．yA．xB．xy（ y>0 ）xy（ y>0 ）D．以上都不（ y>0 ）C．y y2．把（ a-1 ）1）．中根号外的（ a-1 ）移入根号内得（a1A． a 1B．1 a C． - a 1D． - 1 a 3．在下列各式中，化正确的是（）A．5B．112 =3 15= ±322C．a4b =a b D．x3x2=x x 124．化32）的果是（27A． -22C．-6D． -2 3B． -33二、填空1．化x4x2 y2=．（ x≥ 0）a 1．2． a化简二次根式号后的结果是a 2三、综合提高题1．已知 a 为实数，化简：a 3 -a1 ，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？a若不正确， ? 请写出正确的解答过程：解：a 32．若 x 、y 答案 :一、 1． C-a1 a 1a = （ a-1 ） a=a-a ·aa为实数，且 y=x 244 x 21y g x y 的值．x 2，求 x2． D3.C4.C二、 1． xx 2y 22． -a 1三、 1．不正确，正确解答：a 3 0 因为1 ，所以 a<0 ，a 02a =a · a2aa +a =(1-a)a原式＝aga-a ·2 -a ·=-aaa 2x 2 4 0 12 ．∵x 2 0 ∴ x-4=0 ，∴ x= ±2，但∵ x+2 ≠ 0，∴ x=2 ， y=44∴ x y x yx 2y 241 63 .164。

专题16 二次根式的乘除知识解读1.二次根式相关法则 （1）乘法法则：ab ab =a ≥0，b ≥0）.a bc abc =a ≥0，b ≥0，c ≥0）.（2）除法法则：a ab b=（a ≥0，b ≥0）. （3）积的算术平方根：ab a b =⋅（a ≥0，b ≥0）.（4）商的算术平方根：a ab b=（a ≥0，b ＞0）. 2.分母有理化（1）分母形如a x 的二次根式，可分子、分母同时乘x .（2）分母形如a x b y +的式子，可利用平方差公式，分子、分母同时乘a x b y -，就可以化去分母中的根号. 3.最简二次根式（1）被开方数不含分式，也就是被开方数是整数或者是整式；（2）被开方数的每一个因数或者因式的指数都小于根指数2，即每个因数或者因式的指数都是1.培优学案典例示范一、二次根式的乘法 例1 计算：（1）0436..⨯； （2）32545223⨯. 【提示】可将系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，最后将二次根式化简. 【解答】【技巧点评】二次根式变形的最后结果必须是最简二次根式，最简二次根式要求：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 跟踪训练 1.计算：（12330554a b .bc （2320((211548)3⨯.二、二次根式的除法 例2 计算：（1）1327()108÷； （2）(24118854)33÷⨯-.【提示】有括号的先算括号里面的，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转化为乘法再进行计算. 【解答】【技巧点评】两个二次根式相除，把根号前面的系数与系数对应相除，根号内的部分对应相除，被开方数对应相除时也可以用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行约分化简. 跟踪训练 2.计算：(23213022)232⨯÷-.三、分母有理化 例3 化简下列各式：（172 （22x y +； （353-； （4232332-； （5x y +.【提示】（12；（2x y +；（3）将分子、分母同时乘53+；（4）将分母提取6；（5）由于x y +的有理化因式x y -可能为零，所以不能将分子分母同乘x y -，可考虑将x y -利用平方差公式因式分解.【解答】 跟踪训练3.将下列各式分母有理化：（1）3540； （2）101280⨯； （3）233a a -+； （4）74323++.四、二次根式的化简 例4 化简:1232＝________. 【技巧点评】二次根式化简的思路很多，只要应用的法则有根有据就行. 跟踪训练 4.化简312aab＝________.【拓展延伸】 例5 比较大小：（1）323 （27582； （351-05.； （4）12m m ++与23m m ++； （5）213与327+； （6）148-与82-【提示】（1）可把前面的系数乘到根号内，然后比较被开方数的大小；（2）可比较两数平方的大小；（3）将两数相减，看差是正数还是负数；（4）将两数相除，比较商与1的大小；（5）可用估值法；（6）将148-与82-看作1481-与821-，然后分子、分母分别同时乘148+和82+.【解答】跟踪训练 5.比较大小：（1）43与34； （2）611+与143+； （3）332+与531-；（4102652； （531-21-； （615141413【竞赛链接】例6 （希望杯试题）322322+-的结果是 ( ) A .3 B . 12 C . 22+D . 22 【提示322322+-. 跟踪训练6.（希望杯试题）如果7352x y +=-，7253x y -=-，那么xy 的值是 （ ）A . 3332+B . 3332-C . 7352-D . 7253-培优训练直击中考 1.★化简13232-+-的值是 （ ） A .0 B . 23 C . 23- D . 4 2.★计算35210⨯的结果应该是 （ ） A .300 B . 302 C . 605 D . 300 3.★y ＞0时，3x y -= （ ） A . x xy - B . x xy C . x xy -- D . x xy -4.★计算：3427a b ＝________；3239()x y x y +＝________. 5.★计算： （1）273； （2）(23418)58÷-.6.★计算： （13022043.； （2320((211548)3-⨯.7.★比较下列各式大小：（1）21135 （2）2736 （3148115；（4）62-与2； （5）237-与73-.8.★当a ＝-3，b ＝-2时，求322442b a a b ab a b b-+-的值.挑战竞赛1. ★★把二次根式1a a-化为最简二次根式是 （ ） A . a B . a - C . a -- D . a - 2.★★（希望杯试题）设11n n x n n+=++11n ny n n +=+-，n 为正整数，如果22221922015x xy y ++=成立，那么n 的值为 （ ） A . 7 B . 8 C . 9 D . 10114142.≈≈________（精确到0.01，22141422222.==≈≈⨯________（精确到0.01）. （2）在下列各题的横线上填上最简单的二次根式，使它们的积不含根号： 3×________； ②26×________； 32________；22a ________； 38x ________1x -×________；（3）根据以上问题解答过程所得到的启发求下列各式的值（精确到0.01）： ①63； ②2105； ③63214； ④15..中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网。