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清华大学考研试题及答案模拟试题：清华大学考研数学试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = e^xC. y = |x|D. y = cos(x)答案：B2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在区间（-∞，-3]上的单调性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 不确定答案：B3. 已知数列{an}满足a1 = 1，an + 1 = 2an + 1，该数列是：A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 几何数列答案：C4. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 12x + 5在点（2，12）处的切线斜率为：A. -1B. 0C. 1D. 2答案：D5. 以下哪个选项是正确的？A. ∫(0 to 1) x dx = 1/2B. ∫(0 to 1) x^2 dx = 1/3C. ∫(0 t o 1) x^3 dx = 1/4D. 以上都是答案：D6. 方程x^2 - 4x + 3 = 0的根是：A. 1, 3B. -1, 3C. 2, 2D. -2, 2答案：A7. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(1 to ∞) (1/n)^2B. ∑(1 to ∞) (1/n)C. ∑(1 to ∞) (-1)^n / nD. ∑(1 to ∞) n答案：A8. 以下哪个矩阵是可逆的？A. | 1 2 || 2 4 |B. | 1 0 || 0 1 |C. | 2 0 || 0 2 |D. | 0 1 || 1 0 |答案：B9. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，P(X=k)的表达式为：A. (λ^k / k!) * e^(-λ)B. λ^k / k!C. e^(-λ) * λ^kD. k * (λ^k / k!)答案：A10. 以下哪个命题是错误的？A. 两个连续函数的乘积仍然是连续函数B. 有界数列必有收敛子列C. 闭区间上连续函数必定一致连续D. 以上都是答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim (x->0) [sin(x)/x] 的值为 _______ 。
清华考研辅导班-2021清华大学670教育学基础综合考研经验真题参考书清华大学670教育学基础综合考试科目，2020年初试时间安排为12月22日上午8:30-11:30进行考试，考试时间为3小时一、适用院系专业：清华大学103教育研究院040100教育学二、考研参考书目清华大学670教育学基础综合有官方指定的考研参考书目，盛世清北整理如下：《教育学基础》(第三版) 教育科学出版社全国十二所重点师范大学联合编写《当代教育心理学》(第三版) 2019年北京师范大学出版社陈琦刘儒德《管理学——原理与方法》(第六版) 复旦大学出版社周三多陈传明鲁明泓《概率论与数理统计》出版时间:2016-07-01 清华大学出版社王信峰李承耕盛世清北建议参考书阅读方法：目录法：先通读各本参考书的目录，对于知识体系有着初步了解，了解书的内在逻辑结构，然后再去深入研读书的内容。
体系法：为自己所学的知识建立起框架，否则知识内容浩繁，容易遗忘，最好能够闭上眼睛的时候，眼前出现完整的知识体系。
问题法：将自己所学的知识总结成问题写出来，每章的主标题和副标题都是很好的出题素材。
尽可能把所有的知识要点都能够整理成问题。
三、重难点知识梳理清华大学670教育学基础综合2020年暂未提供考试大纲，但盛世清北的课程中总结了复习的大体方向，考试重难点知识梳理内容如下：(一)教育学原理教育学原理在教育学考研中的分值约100分，占到了教育学考研总分的三分之一，因此它是教育学考研的核心。
教育学原理的内容比较庞杂，理论化知识多，这就要求考生在复习备考时应以理解为主，在理解基础上重点记忆。
考生要对教育学原理有一个总体性、框架性的了解，复习要大面积撒网，因为历年真题中知识点的覆盖面很广。
建议考生正确记忆教育学的基本事实和基本概念，准确理解教育学的基本理论和基本问题;适当关注当前教育理论的发展前沿动态和教育实践中的热点重点问题;能够运用教育学的基本理论分析教育的实际问题，具有分析问题和解决问题的能力。
清华强基校测试题2023全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：清华大学强基计划是为了选拔具有优秀学术潜力和创新能力的高中生，培养未来科学家和领导人才而设立的项目。
清华大学每年都会举行强基校测试，以挑选出最有潜力的学生进行培养和培训。
以下是2023年清华强基校测试题的一部分：一、数学部分1. 某商店在一周内每天的销售额分别为500元、600元、700元、800元、900元、1000元、1100元，请问这七天的平均销售额是多少？2. 已知一个正方形的边长为3米，计算其面积和周长。
3. 某班级共有40名学生，其中有25%是男生，请问这个班级中男生的人数是多少？4. 已知三角形的底边长为5厘米，高为4厘米，求其面积。
5. 求解方程：2x + 3 = 7。
二、物理部分1. 已知一个质量为2千克的物体静止在桌面上，施加一个力为10牛的水平推力，请问物体受到的摩擦力是多少？2. 一个物体以5米每秒的速度运动，如果施加一个5牛的力使其减速，求物体在1秒内的速度变化量。
3. 一根长为2米，质量为2千克的杆，在一个端点挂上一个1千克的物体，求此时杆的杆心位置。
4. 一块木块质量为5千克，放在斜面上，斜面的倾角为30度，请问木块下滑时的加速度是多少？5. 已知一个电路中有一个3欧姆的电阻，通过5伏的电压，求电路中的电流强度。
以上是2023年清华大学强基校测试题的一部分内容，希望能帮助广大考生更好地了解测试内容，并做好准备。
清华大学一直秉承严谨求实的学风，希望每一位参加测试的学生都能够全力以赴，展现自己的潜力和才华。
祝愿大家都能取得优异的成绩，顺利进入清华大学强基计划！第二篇示例：2023年清华大学强基校测试题清华大学一直以来都是中国教育界的顶尖学府，其所设立的强基校更是备受瞩目。
2023年的清华强基校测试题更是备受学生们期待和挑战。
以下是2023年清华大学强基校测试题的一部分。
一、数学部分1. 某数列前5项分别是1，3，5，7，9，若从第6项开始，每一项都比前一项多2，求第10项是多少？2. 已知正整数x，y，z满足x+y+z=10，且x<=y<=z，求满足条件的x，y，z的组合有几种？3. 已知三角形ABC的三条边长分别是3，4，5，求三角形ABC 的面积。
清华考研辅导班-2020清华大学962数学-数据方向基础综合考研经验真题参考书目清华大学962数学-数据方向基础综合考试科目，2020年初试时间安排为12月22日下午14:00-17:00业务课二进行笔试，清华大学自主命题，考试时间3小时。
一、适用院系及专业清华大学伯克利深圳学院0812J3数据科学与信息技术清华大学伯克利深圳学院0830J2环境科学与新能源技术二、考研参考书目清华大学962数学-数据方向基础综合有官方指定的考研参考书目，盛世清北整理如下：《数据结构》(C语言版) 清华大学出版社严蔚敏、吴伟民盛世清北建议：（1）参考书的阅读方法目录法：先通读各本参考书的目录，对于知识体系有着初步了解，了解书的内在逻辑结构，然后再去深入研读书的内容。
体系法：为自己所学的知识建立起框架，否则知识内容浩繁，容易遗忘，最好能够闭上眼睛的时候，眼前出现完整的知识体系。
问题法：将自己所学的知识总结成问题写出来，每章的主标题和副标题都是很好的出题素材。
尽可能把所有的知识要点都能够整理成问题。
（2）学习笔记的整理方法A:通过目录法、体系法的学习形成框架后，在仔细看书的同时应开始做笔记，笔记在刚开始的时候可能会影响看书的速度，但是随着时间的发展，会发现笔记对于整理思路和理解课本的内容都很有好处。
B:做笔记的方法不是简单地把书上的内容抄到笔记本上，而是把书上的关键点、核心部分记到笔记上，关上书本，要做到仅看笔记就能将书上的内容复述下来，最后能够通过对笔记的记忆就能够再现书本。
三、重难点知识梳理2020年清华大学深圳国际研究生院962 《数学-数据方向基础综合》考研考试大纲：考试内容：1.1什么是数据结构1.2基本概念和术语1.3抽象数据类型的表示与实现1.4算法和算法分析1.4.1算法1.4.2算法设计的要求1.4.3算法效率的度量1.4.4算法的存储空间需求2 线性表2.1线性表的类型定义2.2线性表的顺序表示和实现2.3线性表的链式表示和实现2.3.1线性链表2.3.2循环链表2.3.3双向链表2.4一元多项式的表示及相加3栈和队列3.1栈3.1.1抽象数据类型栈的定义3.1.2栈的表示和实现3.2栈的应用举例3.2.1数制转换3.2.2括号匹配的检验3.2.3行编辑程序3.2.4迷宫求解3.2.5表达式求值3.3栈与递归的实现3.4队列3.4.1抽象数据类型队列的定义3.4.2链队列——队列的链式表示和实现3.4.3循环队列——队列的顺序表示和实现3.5离散事件模拟4 串4.1串类型的定义4.2串的表示和实现4.2.1定长顺序存储表示4.2.2堆分配存储表示4.2.3串的块链存储表示4.3串的模式匹配算法4.3.1求子串位置的定位函数Index（S，T，pos）4.3.2模式匹配的一种改进算法4.4串操作应用举例4.4.1文本编辑4.4.2建立词索引表5 数组和广义表5.1数组的定义5.2数组的顺序表示和实现5.3矩阵的压缩存储5.3.1特殊矩阵5.3.2稀疏矩阵5.4广义表的定义5.5广义表的存储结构5.6m元多项式的表示5.7广义表的递归算法5.7.1求广义表的深度5.7.2复制广义表5.7.3建立广义表的存储结构6 树和二叉树6.1树的定义和基本术语6.2二叉树6.2.1二叉树的定义6.2.2二叉树的性质6.2.3二叉树的存储结构6.3遍历二叉树和线索二叉树6.3.1遍历二叉树6.3.2线索二叉树6.4树和森林6.4.1树的存储结构6.4.2森林与二叉树的转换6.4.3树和森林的遍历6.5树与等价问题6.6赫夫曼树及其应用6.6.1最优二叉树（赫夫曼树）6.6.2赫夫曼编码6.7回溯法与树的遍历6.8树的计数7 图7.1图的定义和术语7.2图的存储结构7.2.1数组表示法7.2.2邻接表7.2.3十字链表7.2.4邻接多重表7.3图的遍历7.3.1深度优先搜索7.3.2广度优先搜索7.4图的连通性问题7.4.1无向图的连通分量和生成树7.4.2有向图的强连通分量7.4.3最小生成树7.4.4关节点和重连通分量7.5有向无环图及其应用7.5.1拓扑排序7.5.2关键路径7.6最短路径7.6.1从某个源点到其余各顶点的最短路径7.6.2每一对顶点之间的最短路径8 动态存储管理8.1概述8.2可利用空间表及分配方法8.3边界标识法8.3.1可利用空间表的结构8.3.2分配算法8.3.3回收算法8.4伙伴系统8.4.1可利用空间表的结构8.4.2分配算法8.4.3回收算法8.5无用单元收集8.6存储紧缩9 查找9.1静态查找表9.1.1顺序表的查找9.1.2有序表的查找9.1.3静态树表的查找9.1.4索引顺序表的查找9.2动态查找表9.2.1二叉排序树和平衡二叉树9.2.2B树和B+树9.2.3键树9.3哈希表9.3.1什么是哈希表9.3.2哈希函数的构造方法9.3.3处理冲突的方法9.3.4哈希表的查找及其分析10 内部排序10.1概述10.2插入排序10.2.1直接插入排序10.2.2其他插入排序10.2.3希尔排序10.3快速排序10.4选择排序10.4.1简单选择排序10.4.2树形选择排序10.4.3堆排序10.5归并排序10.6基数排序10.6.1多关键字的排序10.6.2链式基数排序10.7各种内部排序方法的比较讨论11 外部排序11.1外存信息的存取11.2外部排序的方法11.3多路平衡归并的实现11.4置换一选择排序11.5最佳归并树12 文件12.1有关文件的基本概念12.2顺序文件12.3索引文件12.4ISAM文件和VSAM文件12.4.1ISAM文件12.4.2VSAM文件12.5直接存取文件（散列文件）12.6多关键字文件12.6.1多重表文件12.6.2倒排文件四、考研真题2009年，教育部出台了严格管理院校自主命题专业考试科目相关资料、限制专业课辅导的规定，很多学校从那时起不再公布和出售真题，并不再提供专业课参考书目。
【清华考研辅导班】五道口金融学院考研考试科目考研参考书复试分数线考研经验启道清华考研辅导班，为考生提供全面得清华考研信息，包含招生目录，考试科目及考研参考书，招生简章，报考条件，考研经验，考研分数线与报录比，考研真题及答案等，欢迎来砸窗！一、【清华考研辅导班】-五道口金融学院简介清华大学五道口金融学院诞生于2012年3月29日，由中国人民银行与清华大学合作，在中国人民银行研究生部的基础上建设而成，是清华大学第十七个学院。
学院以“培养金融领袖，引领金融实践，贡献民族复兴，促进世界和谐”为使命，遵循国际最先进的金融学科和商学院高等教育模式办学，锐意打造国内领先、国际一流的金融高等教育平台和金融学术、政策研究平台。
学院实行理事会领导下的院长负责制。
理事会搭建起学界与业界的沟通桥梁，为学院在人才培养和学术研究方面引领与契合行业需求奠定了坚实的基础。
高端咨询机构“学术顾问委员会”和“战略咨询委员会”汇聚学界与业界的智慧和资源，为学院的学科建设、课程体系建设、学术研究等工作提出指导意见与建议。
学院依托先进的办学模式、借助优质教育资源，开设金融学博士、金融专业硕士、本科辅修、双学位金融MBA、金融EMBA、全球金融GFD以及高管教育等项目，培养高层次、创新型、国际化的金融人才。
学院延揽国际一流全职教师，巩固业界兼职师资优势。
一批享有国际声望的知名教授陆续加盟或来院讲学，鼎力构筑学院雄厚的教学基础和科研实力。
学院继承和发扬导师外聘、紧贴金融实务的传统，聘请更多政府和业界资深人士担任兼职导师和授课教师。
截至2017年4月，全职师资数量达到21名，兼职教授数量达到17名，兼职硕士生导师142名。
二、【清华考研辅导班】-五道口金融学院考研考试科目三、【清华考研辅导班】-五道口金融学院考研参考书1、《投资学》博迪机械工业出版社2012年第九版2、《公司理财》罗斯机械工业出版社2012年第九版3、《货币银行》易纲格致出版社2014版4、《金融学》黄达中国人民大学出版社第2版5、《金融市场学》马君璐、陈平科学出版社6、《金融市场学》陈雨露中国人民大学出版社7、《公司财务》刘力北京大学出版社四、【清华考研辅导班】-五道口金融学院考研复试分数线金融学单科≥ 60（100分制）；≥ 90（150分制）总分≥ 388分五、【清华考研辅导班】-五道口金融学院考研经验启道清华专业课辅导，专注清华考研辅导，专业辅导清华热门专业课，内部师资辅导，经验丰富，夯实基础，选启道，直击清华!考研经验——文科考研如何备考？很多人或许都会认为，文科性考研的知识学习就是死记硬背就够了。
清华考研辅导班-2020清华大学912计算机专业基础综合考研经验真题参考书目清华大学912计算机专业基础综合考试科目，2020年初试时间安排为12月22日下午14:00-17:00业务课二进行笔试，清华大学自主命题，考试时间3小时。
一、适用院系及专业清华大学计算机科学与技术系081200计算机科学与技术清华大学网络科学与网络空间研究院083900网络空间安全清华大学深圳国际研究生院085400电子信息专业学位清华大学清华大学全球创新学院0812J3数据科学和信息技术二、考研参考书目清华大学912计算机专业基础综合没有官方指定的考研参考书目，盛世清北根据专业老师指导及历年考生学员用书，推荐使用如下参考书目：《数据结构》第三版清华大学出版社邓俊辉《计算机网络》第五版清华大学出版社特南鲍姆《计算机组成软件硬件接口》第四版机械工业出版社帕特森《操作系统精髓与设计原理》第八版机械工业出版社威尔逊盛世清北建议：（1）参考书的阅读方法目录法：先通读各本参考书的目录，对于知识体系有着初步了解，了解书的内在逻辑结构，然后再去深入研读书的内容。
体系法：为自己所学的知识建立起框架，否则知识内容浩繁，容易遗忘，最好能够闭上眼睛的时候，眼前出现完整的知识体系。
问题法：将自己所学的知识总结成问题写出来，每章的主标题和副标题都是很好的出题素材。
尽可能把所有的知识要点都能够整理成问题。
（2）学习笔记的整理方法A:通过目录法、体系法的学习形成框架后，在仔细看书的同时应开始做笔记，笔记在刚开始的时候可能会影响看书的速度，但是随着时间的发展，会发现笔记对于整理思路和理解课本的内容都很有好处。
B:做笔记的方法不是简单地把书上的内容抄到笔记本上，而是把书上的关键点、核心部分记到笔记上，关上书本，要做到仅看笔记就能将书上的内容复述下来，最后能够通过对笔记的记忆就能够再现书本。
三、重难点知识梳理清华大学912计算机专业基础综合2019年暂未提供考试大纲，但盛世清北的课程中总结了复习的大体方向，考试重难点知识梳理内容如下：计算机组成原理部分一、整体要求1.理解单处理器计算机系统中各部件的内部工作原理、组成结构以及相互连接方式，具有完整的计算机系统的整机概念；2.理解计算机系统层次化结构概念，掌握以MIPS为代表的RISC指令集体系结构的基本知识，能对MIPS汇编程序设计语言的相关问题进行分析；3.理解计算机存储系统的层次化结构，掌握层次化存储系统的设计、分析和性能计算；4.能根据指令语义进行单周期、多周期或流水线MIPS处理器的数据通路及其控制器的分析和简单设计；5.理解并掌握输入输出系统的基本知识。
清华考研辅导班-2021清华大学914软件工程基础综合考研经验真题参考书清华大学914软件工程基础综合考试科目，2020年初试时间安排为12月22日下午14:00-17:00进行考试，考试时间为3小时一、适用院系专业：清华大学410软件学院083500软件工程清华大学410软件学院085400电子信息专业学位二、考研参考书目清华大学914软件工程基础综合没官方指定的考研参考书目，盛世清北根据专业老师指导及历年考生学员用书，推荐使用如下参考书目：《数据结构习题解析》邓俊辉著《数据结构》严蔚敏，吴伟明著《数据结构精讲与习题详解》殷人昆著《计算机操作系统》汤子瀛著《操作系统概念》 Abraham Silberschatz，Peter Bear Galvin，Greg Gagne 著《软件工程》（美）弗里格（加）阿特利著，杨卫东译盛世清北建议参考书阅读方法：目录法：先通读各本参考书的目录，对于知识体系有着初步了解，了解书的内在逻辑结构，然后再去深入研读书的内容。
体系法：为自己所学的知识建立起框架，否则知识内容浩繁，容易遗忘，最好能够闭上眼睛的时候，眼前出现完整的知识体系。
问题法：将自己所学的知识总结成问题写出来，每章的主标题和副标题都是很好的出题素材。
尽可能把所有的知识要点都能够整理成问题。
三、重难点知识梳理清华大学914软件工程基础综合2020年暂未提供考试大纲，但盛世清北的课程中总结了复习的大体方向，考试重难点知识梳理内容如下：⑴数据类型：常量、变量、数组、字符串、指针，变量的初始化、变量存储类型;⑵运算符与表达式：运算符的运算规则和优先级、表达式、类型转换;⑶程序的控制：程序的三种基本结构、语句、数据的输入输出;⑷函数：函数的定义、函数的调用、参数传递、带参数的主函数、函数的递归;⑸结构与联合：构造数据类型的概念、结构的定义与引用、联合的定义与引用、链表;⑹文件：文件的概念、文件指针、文件的打开、关闭及操作;四、考研真题数据结构5×3分填空题广义表head tail表示出99，霍夫曼最小路径权重，高度为八的平衡树最少节点，4×5分的解答题，一道选择置换算法和三路归并8分挖空的深度遍历7分算法左右子树互换操作系统10分选择题10分填空题10分的五问段式内存管理10分的五问pv操作盛世清北建议：认真分析历年试题，做好总结，对于考生明确复习方向，确定复习范围和重点，做好应试准备都具有十分重要的作用。
清华大学考研辅导班:清华大学五道口金融学院考研经验分享我是 2016年考研的,这一路走来有困惑、有迷茫,也有过挣扎,幸运的是, 经历了一年努力, 辛勤的付出最终还是结出了累累硕果, 我非常幸运地被清华五道口录取了, 这都是启道清华大学考研辅导班的功劳。
考研的过程是艰辛, 相信每个正在准备考研或正在考研的人内心或多或少都是迷茫的。
2.这篇文章算是自己一点心得吧。
如果能帮到一点点之后考五道口的同道中人, 我就会很开心。
在开头, 我想声明一下, 我是跨专业考, 原来是工科生 (但数学只大一时学过高数,所以我的复习方法,包括看书的遍数,做题的遍数都是启道清华考研辅导班根据我自己的情况来帮我制定的, 大家根据自己的情况酌情参考。
虽是五道口, 但我更想表达一些共通的东西。
方法虽然很重要, 但我觉得不论哪种方法, 最重要的还是两个字:践行。
学习的过程也是不断找到适合自己节奏和习惯的过程, 细节的工作还是要自己做, 而我的方向和复习是清华考研辅导班老师帮我规划的。
下面进入正题。
一、初试我想先说一下参考书的问题。
不管哪一门, 充分利用手中材料很重要, 不需要多少书, 但每一本都要吃透, 相信很多人都说过这一点。
很多研友在最初会纠结用哪一本书, 其实用大家通常用的就不会太错, 因为这是经过考试检验的。
书与书之间不会差许多,排除那些编的很差的。
关键在于看书的人。
事实也证明, 考完后你会发现你通过各种途径搜刮来的内部题目、课件什么的其实在考试中并没有多大用途, 你用的最多的, 还是平时的积累。
完全掌握一本书,再说下一本。
掌握知识是根本。
下面我分科目说一下自己的复习心得。
(一先说专业课我用的书有(清华考研辅导班老师推荐的:公司理财:罗斯,中文第八版 &配套金圣才课后习题答案;投资学:博迪,中文第七版&配套金圣才课后习题答案;CPA《财务成本管理》教材和轻松过关一;国际金融:姜波克,复旦三版;货币银行学:易纲(主要+胡庆康(辅助;启道考研的 MF 习题精编;还有一些从清华考研辅导班得到的一些资料。
清华考研数学试题及答案一、单项选择题（每题4分，共40分）1. 极限的定义中，当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于该点的极限值，这个极限值是唯一的。
（）A. 正确B. 错误答案：A2. 在二维平面上，若直线L的方程为y=2x+3，则该直线的斜率为2。
（）A. 正确B. 错误答案：A3. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是单调递增的。
（）A. 正确B. 错误答案：B4. 已知函数f(x)=sin(x)，则f(π)=0。
（）A. 正确B. 错误答案：A5. 微分方程dy/dx=2y的通解为y=Ce^(2x)，其中C为常数。
（）A. 正确B. 错误答案：A6. 矩阵A=[1,2;3,4]的行列式为-2。
（）A. 正确B. 错误答案：B7. 概率论中，若事件A和事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。
（）A. 正确B. 错误答案：A8. 函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处取得极小值。
（）A. 正确B. 错误答案：B9. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，其顶点坐标为(2,0)。
（）A. 正确B. 错误答案：A10. 圆的方程为x^2+y^2=1，表示以原点为中心，半径为1的圆。
（）A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-6x+8，则f(3)=____。
答案：-12. 已知矩阵A=[1,0;0,2]，B=[2,1;1,2]，则AB=____。
答案：[2,2;2,4]3. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的导数为f'(x)=____。
答案：3x^2-6x+24. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5=____。
答案：95. 圆心在(1,2)，半径为3的圆的标准方程为(x-1)^2+(y-2)^2=____。
答案：9三、解答题（每题10分，共40分）1. 求极限lim(x→0)(x^2sin(1/x))。
答案：02. 求函数f(x)=ln(x)的不定积分。
清华考研数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。
A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A2. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求a_5的值。
A. 13B. 11C. 9D. 7答案：A3. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx的值。
A. 2B. -2C. 0D. π答案：C4. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求A的行列式值。
A. -2B. 2C. 5D. 7答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g'(x)的值。
答案：3x^2 - 6x6. 已知等比数列{b_n}的首项b_1 = 2，公比q = 3，求b_3的值。
答案：187. 计算极限lim (x→0) [(sin(x) - x) / x^3]的值。
答案：1/68. 设矩阵B = [[5, -1], [2, 3]], 求B的逆矩阵。
答案：[[3/7, 1/7], [-2/7, 5/7]]三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调区间。
解答：首先求导数h'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令h'(x) > 0，解得x < 1或x > 3。
令h'(x) < 0，解得1 < x < 3。
因此，函数h(x)在(-∞, 1)和(3, +∞)上单调递增，在(1, 3)上单调递减。
10. 已知数列{c_n}满足c_1 = 1，c_2 = 2，且c_n = 2c_(n-1) +c_(n-2)，求c_5的值。
解答：根据递推公式，c_3 = 2c_2 + c_1 = 2*2 + 1 = 5，c_4 = 2c_3 + c_2 = 2*5 + 2 = 12，c_5 = 2c_4 + c_3 = 2*12 + 5 = 29。
北京清华大学研究生入学考试数学真题（正文开始）研究生入学考试数学真题一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求 f(-1) 的值。
2. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，B = {3, 4, 5}，C = {2, 4}，求A ∩(B ∪ C) 的结果。
3. 若a ≠ 0，且 a^2 + 1 = 3a，求 a 的值。
4. 设 AB 是一条半径为 r 的圆上一条弧，若 A、B两点之间的弧度为2π/3，则弧长 AB 等于多少？5. 已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn = 3n^2 + 2n，求 a1 的值。
二、填空题1. 若 a:b = 2:3，b:c = 4:5，则 a:c = ______。
2. 设函数 f(x) = 3x^2 + 4x - 1，求 f'(2) 的值。
3. 若函数 f(x) = mx + 3 在点 (1, 5) 处的切线方程为 y = 2x - 1，求 m 的值。
4. 设 A = {1, 2, 3, 4}，集合 A 的幂集的大小为 ______。
5. 若二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像与 x 轴交于两个点 (-1, 0) 和(3, 0)，求 a、b、c 的值。
三、计算题1. 已知等差数列 {an} 的通项公式为 an = 3n - 5，求 n = 10 时，数列的和 Sn 的值。
2. 若 a^n = b，且 log(a) 3 = 2，求 log(b) 27 的值。
3. 已知三角形 ABC 的边长分别为 a = 4，b = 7，c = 9，若角 A 的余弦值为 cos(A) = 1/3，求三角形的面积 S。
4. 已知函数 f(x) = ax^2 + 6x + 9 在闭区间 [1, 3] 上的最大值为 16，求 a 的值。
5. 某小组共有 n 个成员，若要将成员分为两个小组，每个小组至少有一个人且每个小组的人数不超过10 人，求满足条件的分组方法总数。
基础专题练习（二）一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．在平面直角坐标系中，点A （3，-4）关于原点对称的点的坐标是（A ）（3，4） （B ）（3，-4） （C ）（-3，-4） （D ）（-3，4） 2．下列事件中，是不可能事件的是（A ）一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有1-6的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8 （B ）射击运动员射击一次，命中靶心 （C ）通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰（D ）在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行3．在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（A ）1个 （B ） 2个 （C ）3个 （D ）4个 4．如图，AB 是⊙O 的弦，若⊙O 的半径OA=5，圆心O 到弦AB 的距离OC=3， 则弦AB 的长为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）105．不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片有1张，写有“人工种子”的卡片有5张 ．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为 （A ） 61 （B ）51 （C ）31 （D ）216．把抛物线23x y =向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为 （A ）2)5(32+−=x y （B ）2)5(32++=x y（C ）5)2(32++=x y（D ）5)2(32+−=x y7． 在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD 绕某一点旋转某一角度得到四边形A'B'C'D'，（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M ，N ，P ，Q 中，可能是旋转中心的是 （A ）点M（B ）点N （C ）点P（D ）点Q二、填空题（共16分，每题2分）9．方程x 2-9=0的根是 ．10．⊙O 的直径为15cm ，若圆心O 与直线l 的距离为7.5cm ，则l 与⊙O 的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）．11．抛物线422+=x x y -的顶点坐标是 ．12．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点E ，∠AEC =74°，∠ABD =36°，则∠BOC 的度数为 ．第12题图 第14题图13．某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据：估计这批产品合格的产品的概率为 ．14．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆O 绕点A 逆时针旋转30°，点B 的对应点为B '，连接A B '，若AB＝8，则图中阴影部分的面积是_______.15．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h ，初速度v ，抛出后所经历的时间t ，这三个量之间有如下关系：221gt vt h −=（其中 g 是重力加速度，g 取10m/s 2）．将一物体以v=21m/s 的初速度v 向上抛，当物体处在离抛出点18m 高的地方时，t 的值为 ．16．已知函数y 1＝kx ＋4k －2（k 是常数，k ≠0），y 2＝ax 2＋4ax －5a （a 是常数，a ≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，则a的取值范围是_______.三、解答题17．解方程x2-1 =6x．18．关于x的一元二次方程x2-(m+4)x+3(m+1)=0 ．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一根小于0，求m的取值范围．20．如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC =90°，D 是BC 边上任意一点（不与B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接CE ，DE . （1）求∠ECD 的度数；（2）若AB =4，BD =√2，求DE 的长.21．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同.有两辆汽车经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况. （1）列举出所有可能的情况；（2）求出至少有一辆车向左转的概率.22．小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立. 他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证. 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=180º． 求证：点A ，B ，C ，D 在同一个圆上．他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点A，B，C的⊙O，再证明第四个顶点D也在⊙O上.具体过程如下：步骤一作出过A，B，C三点的⊙O.如图1，分别作出线段AB，BC的垂直平分线m，n，设它们的交点为O，以O为圆心，OA的长为半径作⊙O.连接OA，OB，OC，∴OA=OB ，OB=OC（①）．（填推理依据）∴OA=OB=OC．∴点B，C在⊙O上．步骤二用反证法证明点D也在⊙O上.假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或⊙O外．ⅰ如图2，假设点D在⊙O内．延长CD交⊙O于点D1，连接AD1，∴∠B+∠D1=180º（②）．（填推理依据）∵∠ADC是△ADD1的外角，∴∠ADC=∠DAD1+∠D1（③）．（填推理依据）∴∠ADC＞∠D1．∴∠B+∠ADC＞180º．这与已知条件∠B+∠ADC=180º矛盾．∴假设不成立．即点D不在⊙O内．ⅱ如图3，假设点D在⊙O外．设CD与⊙O交于点D2，连接AD2，∴∠B+∠AD2C=180º．∵∠AD2C是△AD2D的外角，∴∠AD2C=∠DAD2+∠ADC.∴∠ADC＜∠AD2C．∴∠B+∠ADC＜180º．这与已知条件∠B+∠ADC=180º矛盾．∴假设不成立．即点D不在⊙O外．综上所述，点D在⊙O上．∴点A，B，C，D在同一个圆上.阅读上述材料，并解答问题：（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；（2）填写推理依据：①，②，③．图1图2图323．某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分.本次比赛一共进行了210场，用时两天完成.下表是第一天比赛结束后部分队员的积分表：（1）本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？（2）如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34，那么他最多负场.基础练习专题二答案一、选择题（共16分，每题2分）二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．解：方程化为 x 2 -6x =1．x 2 -6x+9 =10．1032=−）（x ．103±=−x ．1031+=x ，1032−=x ． 18．（1）证明:依题意，得∆=[-(m +4)]2-4×3(m +1) =(m -2)2．∵(m -2)2≥0， ∴0≥∆∴该方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得x =(m +4)±(m -2)2．∴x 1= m +1，x 2=3． 依题意，得m +1<0． ∴m <-1．19．解：（1）根据题意，设该二次函数的解析式为 y 2=a (x -1)2+4．当x =0时，y 2 =3∴a =-1．∴y 2=-x 2+2x +3． （2）0＜x ＜3．20．解：（1）∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC =∠ACB =45°，AB =AC ．∵∠BAC =∠DAE=90°，∴∠BAD =∠CAE ． ∵AD =AE ，∴△ABD ≌△ACE ． ∴∠B =∠ACE=45°． ∵∠ECD =∠ACE +∠ACB ，∴∠ECD =90°． （2）由（1）可知，BD =CE =√2． ∵AB =AC =4，∴BC =4√2． ∴CD =3√2．在Rt △CDE 中，根据勾股定理，DE =√CE 2+CD 2=2√5．21．解：（1）两辆车分别记为车1，车2，可以用表格列举出所有可能出现的情况.（2）由（1）可知，所有可能出现的情况共有9种，它们出现的可能性相等，至少有一辆车向左转的情况有5种．所以P （至少有一辆车向左转）＝59.22．（1）补全图1，如图.（2） ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②圆内接四边形的对角互补.③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.23. 解：（1）设参加本次比赛的队员共x人.由题意可知，x(x-1)2=210.解方程，得x1=21，x2=-20（舍去）.所以参加本次比赛的队员共21人，每个人都需要进行20场比赛.根据题意，可知胜一场积2分，负一场积1分.所以该名队员在本次比赛中的积分是2×19+1×1=39（分）.答：该名队员本次比赛中的积分是39分.（2）6.。
清华大学数学系硕士生入学考试试题准考证号系别考试日期 2003.01 专业考试科目数学分析试题内容：一、（15分）设（20分）设y)f(x,在R 2\)}y ,{(x 00上定义，0),(lim y y x x y x f →→=A ,且?ρ>0使得当0＜｜y -y 0｜＜ρ 时，=→0),(lim x x y x f Ф(y)存在。
求证：A y x f x x y y =→→00,)],(lim[lim二、（20分）设半径为r 的球面∑的球心在一固定球面∑ˊ：x 2+y 2+z 2=a 2(a>0) 上，问当r 取何值时，球面∑含在球面∑ˊ内部的部分面积最大？三、（20分）设f 0(x)C ∈[﹣a,a](a>0), f n (x)=?xfn-1(t)dt,(n=1,2,…).求证：{f n (x) }在[﹣a,a]上一致收敛于0.四、（20分）设f (x,y ）在R 2上二阶连续可微，f (x,2x ）=x, 'f x (x,2x ）=x 2, 且''f xx (x,y)=''f yy (x,y),R y x ∈?),(2.求：'f y (x,2x ）, ''f yy (x,2x) 及''f xy (x,2x). 五、（25分）设'f (0）存在，f (0)=0,x n =)/(12∑=nk nk f .求证：n n x ∞→lim 存在，且n n x ∞→lim ＝)0(f '/2.六、（25分）设f (x)]1,0[C ∈且在(0,1)上可导，且f (1)=?2/10)(2dx x xf .求证：存在)1,0（∈ξ，使得'f （ξ）= -f (ξ)/ξ 七、（25分）设f ，g 在R 上连续， f οɡ(x)= ɡοf (x);R x ∈?, 并且f (x)≠ɡ(x) ,R x ∈?.求证：f οf (x)≠ ɡοɡ(x) R x ∈?准考证号系别数学科学系考试日期 2003.01 专业考试科目高等代数试题内容：一、（20分）设f （X ）=(X+1)4(X-1)3为复方阵A 的特征多项式，那么A 的Jordan 标准型J 有几种可能？（不计Jordan 块的次序）二、（20分）设方阵A ＝012326113－－－－－A 在实数域R 上是否相似域对角形（即有实方阵P 使P -1AP 为对角形）？在复数域C 上呢？给出证明。
综合能力试题-1-（共1
页）第二部分逻辑推理与问题求解
四、问题求解：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
每题所给出的A 、B 、
C 、
D 四个选项中，只有一项是正确的。
请将所选答案编序字母写在答题本上。
16.一种货币贬值20%，一年后又增值________才能保持原币值。
A.20%
B.20.25%
C.22.50%
D.25%
17.某自来水公司的水费计算方法如下：每户每月用水量不超过5吨的，每吨收费4元，超过5吨的，每吨收取较高的费用。
已知上个月张家的用水量比李家的用水量多50%，张家和李家的水费分别是90元和55元。
则用水量超过5吨的收费标准是________元/吨。
A.7
B.6
C.5
D.8
18.一商店把商品按照标价的九折出售，仍可获利20%，若该商品的进价为每件24元，则该商品每件的标价为________。
A.26元
B.28元
C.30元
D.32元
19.如图1，若相邻点的水平距离与竖直距离都是1，则多
边形ABCDE 的面积为________。
A.7
B.8
C.9
D.10
20.某公司欲按1/2:1/3:1/9的比例，将136万元分给下属甲、乙、丙三部门进行奖金分配，则甲部门应得________。
A.16万元
B.48万元
C.72万元
D.88万元
图1。
经管人考研机构考研公共课专项训练系列 追求卓越 唯有业精于专2008 年清华大学考研公共课数学第一轮复习专项训练二重积分 题目:ex +y ex +y dσ .求证. I = 2 ∫∫ dσ . 1.设 R > 0 , I = ∫∫ 2 2 2 1 + xy 2 2 2 1 + xy x + y ≤R x + y ≤R2 22 2x ≥02.设f (t ) =x 2 + y 2 ≤t 22 2 ∫∫ 1 cos x + y dσ[()].当 t→ 0 + 时, f (t ) 是 t 的几阶无穷小?3. 变换积分次序 (1) I (2) I (3) I= ∫ 0 dx ∫ x f ( x , y ) dy1x2= ∫ 0 dx ∫ 0 f ( x, y )dy + ∫1 dx ∫ 01 2x22 xf ( x , y ) dy2 x= ∫ 0 dx ∫ 012 x x2f ( x, y )dy + ∫1 dx ∫ 02f ( x, y )dy4. 把下列各题中的积分化为极坐标形式的二次积分: (1) ∫02Rdy ∫0R2 Ry y 2f ( x, y )dxR(2) ∫0 1+ R 2y Rx R dx ∫0 f ( )dy + ∫ x21dx ∫0R2 x21+ R 2y f ( ) dy x5.计算 ∫∫D ( x 6.计算+ y 2 ) 2 dxdy ,其中 D 为矩形 0 ≤ x, y ≤ a .∫∫Dx y dxdy , 其中 D 为圆域 {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 2 y} .nn 7.设 P0 ∈ R 为定点.对于任意的 P ∈ R ,令 f ( P ) = d ( P, P0 ) .在任一点 P ≠ P0 求f (P ) 的梯度与微分.8.求由等式 lim n xn →∞ 2n+ y 2 n + z 2 n = 1 确定的 ( x, y, z ) 的集合.9. f ( x, y ) =| x |α+ | y | β + | xy |γ .讨论: α , β , γ 满足什么条件时,① f ( x, y ) 在原点连续?② f ( x, y ) 在原点可微?10.已知2z = y , z ( x,0) = 1 . z′y ( x,0) = x 则 z ( x, y ) = ( y 2) .1经管人考研机构考研公共课专项训练系列 追求卓越 唯有业精于专′ *11.若连续可微函数 f ( x, y ) 在原点之外处处满足不等式 xf x′ + yf y > k x + y ( k > 0 ) ,2 2则原点是 f ( x, y ) 的惟一极值点.并且当x 2 + y 2 → ∞ 时, f ( x, y ) → +∞ .提示:在从原点出发的任一条射线上, f ( x, y ) 的方向导数大于一个正常数.2经管人考研机构考研公共课专项训练系列 追求卓越 唯有业精于专答案:ex +y ex +y dσ .求证. I = 2 ∫∫ dσ . 1.设 R > 0 , I = ∫∫ x 2 + y 2 ≤ R 2 1 + xy x 2 + y 2 ≤ R 2 1 + xy2 2 2 2x ≥0证明思路:域 D : x + y ≤ R 关于原点对称,将其在第 i 象限的部分记为 Di (i=1,2,3,4)2 2 2可以证明 证明:∫∫D1= ∫∫ , ∫∫ = ∫∫ .D3 D2 D4ex +y ∫∫ 1 + xy dσ = D12 2∫π2 0dθ ∫2R0t =π + re r dr = 1 + r 2 cos θ sin θ2∫π3π 2dt ∫R0re r dr 1 + r 2 cos( t π ) sin( t π )2=∫π3π 2dt ∫R0re r dr = 1 + r 2 cos t sin tex +y ∫∫ 1 + xy dσ , D32 2同理可证∫∫D2= ∫∫D4ex +y dσ . ,所以, I = 2 ∫∫ 2 2 2 1 + xy x + y ≤R2 2x ≥02.设f (t ) =2x + y ≤t22 2 ∫∫ 1 cos x + y dσ2[()].当 t→ 0 + 时, f (t ) 是 t 的几阶无穷小?t解:f (t ) =x 2 + y 2 ≤t 2t2 2 2 ∫∫ 1 cos x + y dσ = ∫0 dθ ∫0 (1 cos r )rdr[()]2π= 2π ∫ (1 cos r 2 ) rdr ,0显然,当 t→ 0 + 时, f ( t ) → 0 .f ′( t ) = 2π (1 cos t 2 ) t ,当 t → 0 + 时, 1 cos t 2 = Ο( t 4 ) ,所以,f (t ) 是 t 的 6 阶无穷小.3. 变换积分次序 (1) I= ∫ 0 dx ∫ x f ( x , y ) dy1x2解:求曲线 y= x 2 与直线 x = 1 及直线 x = 1 与直线 y = x 的交点坐标,y = x2 x = 1 y = x x = 1 由 得 ;由 得 x = 1 y = 1 x = 1 y =13经管人考研机构考研公共课专项训练系列 追求卓越 唯有业精于专因此, (2) II = ∫ 1 dy ∫ y f ( x, y )dx + ∫ 0 dy ∫0 1 11yf ( x, y )dx .= ∫ 0 dx ∫ 0 f ( x, y )dy + ∫1 dx ∫ 01 2x22 xf ( x , y ) dy解:求曲线 y 由= x 2 与直线 x = 1 及直线 x = 1 与直线 y = 2 x 的交点坐标,x = 1 y = 2 x x = 1 ;由 得 , y =1 x =1 y =12 y yy = x2 x =1得因此, I = (3) I∫1 0dy ∫f ( x, y ) dx= ∫ 0 dx ∫ 012 x x2f ( x, y )dy + ∫1 dx ∫ 021 2 y 1 y 22 xf ( x, y )dy解:改变积分次序得I = ∫ 0 dy ∫ 1f ( x, y )dx .4. 把下列各题中的积分化为极坐标形式的二次积分: (1) ∫02Rdy ∫0R2 Ry y 2f ( x, y )dxR(2) ∫0 1+ R 2y Rx R dx ∫0 f ( )dy + ∫ xπ2 R sin θdx ∫0R2 x21+ R 2y f ( ) dy x[解] (1) ∫02 dθ ∫0 (2) ∫0arctan Rf (r cosθ , r sin θ )rdr ,dθ ∫0 f (tan θ )rdrR5.计算 ∫∫D ( x2+ y 2 ) 2 dxdy ,其中 D 为矩形 0 ≤ x, y ≤ a .1解:由于 D 关于直线 y = x 对称,∫∫D( x 2 + y 2 )1/ 2 dxdy = 2 ∫∫ ( x 2 + y 2 )1/ 2 dxdy .其中D1D1 = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ x}∫∫=D( x 2 + y 2 ) 2 dxdy = 2 ∫ 4 dθ ∫ cos θ r 2 dr =1πa002a 3 3∫π40dθ cos3 θ2a 3 1 1 [ + ln(1 + 2)] 3 2 26.计算∫∫Dx y dxdy , 其中 D 为圆域 {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 2 y} .解: ∫∫D | x y | dxdy =∫∫D1( x y)dxdy + ∫∫ ( y x )dxdy .D2其中 D1 = {( r , θ ) | 0 ≤ θ ≤π4,0 ≤ r ≤ 2 sin θ } , D2 = {( r , θ ) |π4≤ θ ≤ π ,0 ≤ r ≤ 2 sin θ }π /4 2 sin θ π /4 2 sin θ 2 ∫∫D1 ( x y )dxdy = ∫0 dθ ∫0 r (cos θ sin θ )rdr = ∫0 (cos θ sin θ )dθ ∫0 r dr4经管人考研机构考研公共课专项训练系列 追求卓越 唯有业精于专=8 π /4 5 π 3 ∫0 (cos θ sin θ ) sin θdθ = 6 4 3∫∫D2 ( y x)dxdy =所以∫ππ/4dθ ∫2 sinθ0r (sin θ cos θ )dr =∫∫Dx y dxdy =n5 π + . 3 25 3π + 6 4n 7.设 P0 ∈ R 为定点.对于任意的 P ∈ R ,令 f ( P) = d ( P, P0 ) .在任一点 P ≠ P0 求f (P ) 的梯度与微分.答案:梯度 P0 P / P0 P . 8.求由等式 lim n xn →∞22n+ y 2 n + z 2 n = 1 确定的 ( x, y, z ) 的集合.2 2解:设 a = max{ x , y , z } ,由夹逼定理可得, lim n xn→∞1 12n+ y 2n + z 2n = a .(a ≤nx2n+y2n+z2nx2n + y 2n + z 2n n = a[ ] ≤ a 3 n ,而 lim n 3 = 1 ) n→ ∞ an2 2 2所以 ( x, y , z ) 应满足 max{ x , y , z } = 1 ,即, ( x, y , z ) 在由 x = 1, y = 1, z = 1 所围成的区 域的边界曲面上. 9. f ( x, y ) =| x |α+ | y | β + | xy |γ . α , β , γ 满足什么条件时,① f ( x, y ) 在原点连续?②f ( x, y ) 在原点可微?解:① f ( 0,0 ) = 0 ,当 α , β , γ 都大于零时, f ( x, y ) 在原点连续.α② f ( x ,0 ) = x , lim +x →0x 0 xα= lim x +x →0α 1, lim x →0x 0 xα= lim ( 1)α x α 1 x →0当 α > 1 , f x′ ( 0,0) = 0 ,同理,当 β > 1 , f y′ ( 0,0 ) = 0 , 当 α > 1 , β > 1 时,有 0 ≤f ( x , y) x 2 + y2≤ xα 1+ yβ 1+1 1 γ xy 2 , 2所以,当 α > 1 , β > 1 , γ > 当α > 1 , β > 1 ,γ >1 f ( x, y) 时, lim = 0 ,即, x →0 2 x 2 + y2 y→ 01 时, f ( x, y ) 在原点可微. 210.已知1 2z = y , z ( x,0) = 1 . z′y ( x,0) = x 则 z ( x, y ) = ( y 3 + xy + 1 ) 2 6 y5经管人考研机构考研公共课专项训练系列 追求卓越 唯有业精于专解:对于z 1 2 1 2z = y + f ( x) , 再 积 分 得 到 z = y 3 + yf ( x) + g ( x) . 由 = y 积分得到 2 y 2 6 y1 3 1 y + yf ( x) + 1 , z ′y = y 2 + f ( x ) .再由 z′y ( x,0) = x 得到 2 6z ( x,0) = 1 得到 g ( x ) = 1 ,于是 z =f ( x) = x .′ *11.若连续可微函数 f ( x, y ) 在原点之外处处满足不等式 xf x′ + yf y > k x + y ( k > 0 ) ,2 2则原点是 f ( x, y ) 的惟一极值点.并且当x 2 + y 2 → ∞ 时, f ( x, y ) → +∞ .提示:在从原点出发的任一条射线上, f ( x, y ) 的方向导数大于一个正常数. (1)反证法证明在 (0, 0) 外的任何一点,都不可能是极值点; (2)利用中值定理证明 f (0, 0) 是 最小值点.也就是极值点.同时证明当x 2 + y 2 → ∞ 时, f ( x, y ) → +∞ 1 (θxf x′ + θyf y′ ) (θx ,θy )f ( x , y ) = f ( 0,0) + ( xf x′ + yf y′ ) (θx ,θy ) = f ( 0,0 ) +θ> f ( 0, 0 ) +1θk (θx ) 2 + (θy ) 2 = f ( 0,0 ) + k x 2 + y 2所以 f (0, 0) 是最小值点.也就是极值点.同时当x 2 + y 2 → ∞ 时, f ( x, y ) → +∞6。
清华大学硕士生入学考试试题专用纸高等数学
准考证号 系别 数学科学系 考试日期 2001.1 专业 考试科目高等数学
试题内容：
1、(1)叙述并证明关于整数系数多项式不可约性的“艾森斯坦（Eisenstein ）判别法”。
（2）此判别法有哪些推广？尽量多地叙述之。
（20分）
2、设A 为域F 上的n 阶方阵（n>2）,试求（A ﹡）﹡(用A 表示，这里A ﹡表示A 的古典伴随方
阵，即A ﹡的（i,j ）位元素是A 的（j,i ）位元素的代数余子式)。
（20分）
3．设V 1,V 2,V 3均为域F 上有限维线性空间，ϕ：V 1→V 2和ψ：V 1→ V 3是两个线性映射，试给出ψ对ϕ可分解的充分必要条件，并加以证明，（“对可分解“是指：存在线性映射σ：V 2→ V 3使得ψ＝0为ϕ和σ的复合）（20分）
4．（1）设方阵A 满足A 2
=A(幂等方阵)，则存在可逆方阵P 使 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001
R I AP P （2）设方阵A 满足A 2=I(对合方阵)，则可取可逆方阵P 使P －1AP 为何种最简形式？证明之。
（3）设方阵A 满足A 2=0（幂零方阵），则可取可逆方阵P 使P －1AP 为何种最简形式？证明之。
（20分）
5．设V 是2维酉空间，τ是V 的酉变换且其行列式det τ=1.证明：
（1）τ+τ-1=Tr(τ)为数乘变换.
（2）对任意α∈V ，内积<α
，τα>的实部只依赖于α的长度α，即)(,2τατααTr e >=<ℜ/2.
（注：τ的行列式det τ和迹Tr(τ)分别是指其方阵表示T 的行列式detT 和迹Tr(T)(共20分)。
