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对勾函数的图象与性质

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c , 、 2n c ,0 ，






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c , 、 ,2n c ，单





2
c t
c 时为单调增函数， 0 t c 时为
单调递减函数，而 t = x2 在（0，+∞）为单调增函数，在（－∞，0）上为单调减函数，
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所以由复合函数单调性知在 解得 x 4 c和 4 c x 0, 即 y x2 当
x 2 c x 2 c c 和 时y x 2 2 均单调递增， x x 0 x 0
1 ． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性； （3）单调 x
性如何？（只要给出判断，不必证明） 注：设计这个变式，目的是为了既缓和学生的思维强度，又训练学生思维的灵活性，同 时也为学生总结作铺垫． （2）你能对函数 f ( x ) x
a 的定义域、奇偶性、单调性作一个总结吗？ x
c 的单调增区间为 4 c , 、 4 c ,0 . x2



x 2 c x 2 c c 和 时y x 均单调递减，解得 0 x 4 c和x 4 c x x 0 x 0
c 的单调减区间为 0, 4 c 、 , 4 c . 2 x a a 2 （3）由函数 y x 和y x 2 的性质将这种类型的函数推广如下： x x




（3）增区间为
10 10 , ，减区间为 0, ，最小值是 2 10 ，无最大值． 2 2
【课后提升】
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1 1． 已知函数 f ( x) x ， 求函数在 x [a,)(a 0) 的值域， 若 x [a, b](0 a b) 呢？ x
1．教师引导，学生合作探求
我们已经知道 f ( x) x 么你能解决下列问题吗？
1 的图象和在定义域上的奇偶性、单调性及其最值情况，那 x
4 的单调区间． x 9 （2）求函数 f ( x) x 的单调区间． x a （3）求函数 f ( x) x (a 0) 的单调区间？并给出证明． x
答案： （1）
5 5 5 17 13 17 （2） , 2 ； （3） 2, ； （4） , , ． , ； 2 2 2 4 6 4
2 ( x (2,0) (0,1) ； x
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第 37 课时 对勾函数
【学习目标】
1． 理解并掌握对勾函数 f ( x) x 2． 通过对勾函数 f ( x) x
a f ( x) x ( x 0) 的图像与性质 x
a ( x 0) 的图像与性质； x
a ( x 0) 的图像与性质的研究，体会与感悟函数的研究方法． x 1 （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性； （3）证 x
b
a (a 0) 性质知，当 x > 0 时， x a 时函数取最小值 2 a . x
所以对于函数 y x 2 , 当x 2 b 时取最小值2 2 b , 所以 2 2 b 6,2 b 9, ∴b = log29. x （2）设 t x , (t 0)则y t 由条件知在t
解：因为 x [a,)(a 0) ， 当 a 1 时，函数的值域是 2, ； 当 a 1 时，函数的值域是 a 若 x [a, b](0 a b) ， 当 b 1 时，函数的值域是 b

1 , ． a

即函数 y x 2 ①当 n 为偶数时（n>0）函数 y x n cn (c 0) 的单调增区间为 x 单调减区间为 0, 2n c 、 ,2n c . ； ②当 n 为奇数时（n>0）函数 y x n cn (c 0) 的单调增区间为 x 调减区间为 2n c ,0 、 0, 2n c , ．
提升能力 a 若函数 f ( x) x (a 0) 在 (0, 2 ] 上是减函数．在 [ 2 ,) 上是增函数，求 a 的值． x
注：这是利用逆向思维设计问题，目的是为了让学生先猜想后证明，再次体验数学发现， 激发学生的兴趣．
3．归纳总结，拓展创新
（1）已知函数 f ( x) x
注：设计这个问题目的是为了帮助学生回顾本节课所研究的问题，完成对数学问题的探 究，使问题得到圆满的解决，同时回答本题需要对 a 讨论，有助于训练学生思维的全面性． 三．理解数学： 1．已知函数 f ( x) x
1 ，分别求函数在以下定义域上的值域： x 2 （1） x (2,4] ； （2） x [1, ] ； 3 1 1 （3） x [ ,4] ； （4） x (2,0) (0, ) ． 2 2
2．求下列函数的单调区间和最值： （1） f ( x) x
x2 3 ( x [1,3]) ； （2） f ( x) x
（3） f ( x) 2 x
5 ( x 0) ． x
答案： （1）增区间为 2, 0 , 0,1 ，无最值； （2）增区间为 3,3 ，减区间为 1, 3 ，最小值是 2 3 ，最大值是 4；
c (常数c 0) 在定义域内的单调性，并说明理由； x2 a a 2 （3）对函数 y x 和y x 2 (常数a 0) 作出推广，使它们都是你所推广的函数 x x
（2）研究函数 y x
2
的特例. 研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明） ． 解： （1）由所给函数 y x
解：由函数 f ( x) x 3．已知函数 y x
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ a 0 的单调性可知， a 3, a 9 ． x
a 有如下性质：如果常数 a>0，那么该函数在 (0, a ] 上是减函数,在 x
[ a ,) 上是增函数.
2b ( x 0) 的值域为 [6,) ，求 b 的值； （1）如果函数 y x x
1 1 ,a ； b a 1 1 ,b ； a b
当 a 1 时，函数的值域是 a
当 a 1 b 时，函数的值域是 2, max f a , f b ．


x 2 2x a 2．已知函数 f ( x ) 在 (0,3] 是减函数，在 [3,) 是增函数，求的 a 值． x
（1）求函数 f ( x) x （1）和（2）可以让学生分组讨论．探求，交流发言，形成共识后解决（3） ． 设计这个问题串是为了给学生提供一个合作探究的平台，训练观察、分析、解决问题的 能力，让学生尝试数学发现之路即：观察、分析、归纳、猜想、证明．
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2．变式探究
【课前导学】
【问题情境】已知函数 f ( x) x
明函数在 (0,1] 上是减函数，在 [1,) 上是增函数．
【课堂活动】
一．建构数学： 问题 （1） 你能用我们学过的函数知识证明该函数 f ( x) x
1 在 (0,) 的最小值为 f (1) x
吗？ 答略． 问题（2）你能画出该函数在定义域上的大致图象吗，怎样画？ 提示：描点作图：先画出在 (0,) 上的图象，再由奇偶性画出在 (,0) 上的图象（有条 件的情况下可用 Excel 软件作图） 问题（3）你能知道该函数在 (,0) 上的最值情况吗？能说明理由吗？ 答略． 问题（4）你能知道该函数在 (,0) 上的单调性吗？能说明理由吗？ 说明：设计这个问题串目的是为了全面复习函数的主干知识，全面检测学生对函数的基础 知识和基本方法的掌握情况． 二．应用数学：

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对勾函数

对勾函数

对勾函数图象性质对勾函数 :数学中一种常见而又特殊的函数。

如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一 ) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ （接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当 a≠0， b≠0时， f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x 叠“加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当 a ， b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y＝ ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ ab 同号）当 a ，b 异号时， f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）对勾函数的图像（ab 异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0 ， b>0 。

之后当a<0，b<0 时，根据对称就很容易得出结论了。

1(二 ) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当 x>0 时，。

当 x<0 时，。

即对勾函数的定点坐标：(三 ) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四 ) 对勾函数的单调性y(五 ) 对勾函数的渐进线O Xy=ax由图像我们不难得到：(六 ) 对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、类耐克函数性质探讨函数y ax b，在 a0或b0时为简单的单调函数，不予讨论。

对勾函数图象性质

对勾函数图象性质

对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图一、对勾函数f(x)=ax+bx的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+bx（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，f (x )=ax +bx ≥2√ab (当且尽当ax =bx 时取等号)，此时x =√ba 。

当x<0时，f (x )=ax +bx ≤−2√ab (当且尽当ax =bx 时取等号)，此时x =−√ba 。

(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，二、类对勾函数性质探讨 函数xbax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。

对勾函数

对勾函数

对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，yXOy=ax。

对勾函数详细分析

对勾函数详细分析

对勾函数详细分析对勾函数是一种经典的激活函数，在人工神经网络中被广泛使用。

它的主要特点是非线性，能够接受任意实数作为输入，输出范围在0和1之间。

在本文中，我们会详细分析对勾函数的定义、数学性质、应用以及优缺点。

对勾函数的定义为 f(x) = 1 / (1 + exp(-x))，其中 exp(x) 表示自然指数函数。

这个函数的图像是在x轴上下限分别为负无穷大和正无穷大，y轴上下限分别为0和1的S形曲线。

当 x 趋近正无穷大时，f(x) 趋近于1；当 x 趋近负无穷大时，f(x) 趋近于0。

对勾函数的主要数学性质如下：1.非线性：对勾函数是一种非线性函数，这是它被广泛使用的主要原因之一、它可以通过增加网络的复杂度来学习复杂的非线性模式。

2.可微性：对勾函数是连续可导的函数，这使得它可以与其他函数进行组合，形成复杂的神经网络结构。

对勾函数的导数f'(x)可以通过对f(x)进行求导得到，其表达式为f'(x)=f(x)(1-f(x))。

3.单调性：对勾函数是单调递增的，这意味着当输入值增加时，输出值也会增加。

这种单调性有助于网络的学习过程。

对勾函数在人工神经网络中的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.模式识别：对勾函数可以用于二分类问题的模式识别。

例如，在人脸识别中，可以使用对勾函数作为分类器来判断输入图像是人脸还是非人脸。

2.概率估计：对勾函数可以将实数映射到概率值的范围（0到1之间）。

这在机器学习中经常用于估计事件发生的概率。

3.深度学习：对勾函数是目前最流行的神经网络模型，深度神经网络中的常用激活函数。

它可以通过复杂的网络结构来学习高级的非线性模式。

虽然对勾函数有许多优点，但它也有一些缺点。

1.饱和性：当输入值较大或较小时，对勾函数的导数值会趋近于0，导致梯度消失的问题。

这会导致网络训练过程中的梯度更新过小，使得学习过程变得缓慢。

2.输出范围限制：对勾函数的输出范围为0和1之间，这意味着对勾函数不能表示负数的情况。