高考物理一轮复习热点题型专题3.6带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题(1)学案

九、带电粒子在有界电场、磁场中临界问题带电粒子在有界电场、磁场中的临界问题是带电粒子在电磁场中运动问题的难点与易错点,分析解答此类问题的关键在于正确找出临界点,具体方法:分析带电粒子在电场、磁场中运动轨迹与电场、磁场边界的关系。

1.带电粒子在有界电场中的临界问题典例1 (多选)如图所示,水平放置的平行板电容器与某一电源相连,它的极板长L=0.4 m,两板间距离d=4×10-3 m,有一束由相同带电微粒组成的粒子流以相同的速度v 0从两板中央平行极板射入,开关S 闭合前,两极板不带电,由于重力作用,微粒能落到下极板的正中央。

已知微粒质量m=4×10-5 kg,电荷量q=+1×10-8 C,则下列说法正确的是( )A.微粒的入射速度v 0=10 m/sB.电容器上极板接电源正极时微粒有可能从平行板电容器的右边射出电场C.电源电压为180 V 时,微粒可能从平行板电容器的右边射出电场D.电源电压为100 V 时,微粒可能从平行板电容器的右边射出电场答案 AC 开关S 闭合前,两极板不带电,微粒落到下极板的正中央,由d 2=12gt 2,L2=v 0t,得v 0=10 m/s,A 正确;电容器上极板接电源正极时,微粒的加速度更大,竖直方向运动时间更短,水平位移将更小,还将打在下极板,B 错误;设微粒恰好从平行板右边缘下侧飞出时的加速度为a,微粒所受电场力竖直向上,则d 2=12at 2,L=v 0t,mg-Uqd =ma,得U=120 V,同理微粒在平行板右边缘上侧飞出时,可得U=200 V,所以平行板上板带负电,电源电压为120 V≤U≤200 V 时微粒可以从平行板电容器的右边射出电场,C 正确,D 错误。

反思总结本题中当微粒与电场右侧上、下边界相切是解题的临界点,由此可以找出电压的变化范围。

2.带电粒子在有界磁场中的临界问题典例2 (多选)如图所示,一粒子发射源P 位于足够长绝缘板AB 的上方d 处,能够在纸面内向各个方向发射速率为v 、比荷为k 的带正电的粒子,空间存在垂直纸面的匀强磁场,不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。

2025高考物理 带电粒子在有界磁场中运动的临界和极值问题一、多选题1．如图所示，直角三角形ABC 区域内有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AC 边长为l ，∠B ＝o 30，一群比荷为q m的带正电粒子以相同速度在CD 范围内垂直AC 边射入，从D 点射入的粒子恰好不从AB 边射出。

已知从BC 边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t ，粒子在磁场中运动的最长时间为53t ，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，则（ ）A ．磁感应强度大小为m qtπ BC D ．粒子在磁场中扫过的面积为()2349l π2．如图所示，长方形abcd 长ad =0.6m ，宽ab =0.3m ，O 、e 分别是ad 、bc 的中点，以ad 为直径的半圆内有垂直于纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度B =0.25T 。

一群不计重力、质量m =3×10－7kg 、电荷量q =+2×10－3C 的带电粒子以速度v =5×102m/s 沿垂直ad 方向且垂直于磁场射入磁场区域（ ）A ．从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边B ．从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边C ．从Od 边射入的粒子，出射点分布在be 边D ．从aO 边射入的粒子，出射点分布在ab 边和be 边3．如图所示，竖直平面内两条虚线是匀强磁场的上下边界，宽度0.2m d =，磁场的磁感应强度0.1T B =，在磁场下边界P 点有粒子源，可以向磁场各个方向发射速度30 1.010m /sv =⨯带正电的粒子，粒子比荷42.510C /kg q m=⨯，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）A ．粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为0.4mB ．粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为0.5mC ．粒子在磁场中运动的最长时间是4810s 3π-⨯ D ．粒子在磁场中运动的最长时间是4110s 3π-⨯二、单选题4．如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的平面感光板MN ，点a 为MN 与水平直线ab 的交点，MN 与直线ab 的夹角为53θ=︒，ab 间的距离为10cm d =。

高考物理一轮总复习考点突破：考点1 带电粒子在磁场中运动的临界问题(能力考点·深度研析) 1．问题概述带电粒子在有界匀强磁场中运动时，由于受到磁场边界的约束，经常会考查求解粒子在磁场中运动的最长或最短时间、粒子运动区域等临界问题。

2．解题思路(1)先不考虑磁场边界，假设磁场充满整个空间，根据题给条件尝试画出粒子可能的运动轨迹圆。

(2)结合磁场边界找出临界条件。

(3)根据几何关系、运动规律求解。

根据粒子射入磁场时的特点，分析临界条件的常用技巧有三种：动态圆放缩法、定圆旋转法、平移圆法。

3．分析临界、极值问题常用的四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

(2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。

(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场区域圆直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。

►考向1 动态圆放缩法界定 方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法(多选)如图所示，矩形OMPN 空间内存在垂直于平面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。

有大量速率不同的电子从O 点沿着ON 方向进入磁场。

已知电子质量为m ，电荷量为e ，OM 长度为3d ，ON 长度为2d ，忽略电子之间的相互作用，电子重力不计。

下列说法正确的是( BC )A ．电子速率越小，在磁场里运动的时间一定越长B ．电子在磁场里运动的最长时间为πmeBC ．MP 上有电子射出部分的长度为3dD ．MP 上有电子射出部分的长度为(2－3)d[解析] 电子在磁场中做匀速圆周运动，则evB ＝m v 2r，则运动周期T ＝2πr v ＝2πm Be ，运动时间t ＝θ2πT ＝θmBe，由此可知电子运动时间与运动的圆心角有关，当电子速度较小时从OM 边射出，圆心角均为π，且此时对应的圆心角最大，故运动时间最长为t ＝πmeB，A 项错误，B 项正确；随着速度增大，电子运动半径逐渐增大，轨迹如图所示，由图可知MP 边有电子射出的范围为BM 长度，当电子轨迹与上边界相切时半径为2d ，由几何关系可知BM ＝2d2－d 2＝3d ，C 项正确，D 项错误。

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题作业题作业题目难度分为3档：三星☆☆☆（基础题目）四星☆☆☆☆（中等题目）五星☆☆☆☆☆（较难题目）本套作业题目1-10题为三星,11-15为四星。

1.某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的3倍．若电子电荷量为e 、质量为m ，磁感应强度为B ，不计重力，则电子运动的角速度可能是()☆☆☆A.4Bem B.3Bem C.2Bem D.Bem答案解析：当洛伦兹力方向和电场力方向相同时，有ωmu r v m evB F ==+2电，又因为evB F 3=电，可得m eB 4=ω，当洛伦兹力和电场力方向相反时，有：ωmv evB F =-电，得meB 2=ω，故A 、C 正确。

2.如图示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S.某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC 射出磁场．已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T/2(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的时间可能为()☆☆☆A.T 3B.T 4C.T 6D.T 8答案解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，出射点和入射点的连线为轨迹的弦，初速度大小相同，轨迹半径qBmv R =相同，设d OS =，当射出点D 与S 点连线垂直于OA 时，DS 弦最长，轨迹对应的圆心角α最大，根据qvB rv m =2，有m qBr v =，则周期qB m v r T ππ22==周期恒定，粒子的运动时间T t πα2=，此时粒子运动时间最长为2T ，当出射点E 与S 点的连线垂直于OC 时，弦ES 最短，轨迹所对的圆心角最小，则粒子在磁场中运动的时间最短，由几何关系，得︒=60θ，所以最短时间为T 61，故粒子在磁场中运动时间范围为26T t T ≤≤，运动时间不可能为8T ，故A 正确。

高三物理一轮复习资料【带电粒子在匀强磁场中的运动】 [考点分析]1．命题特点：带电粒子在匀强磁场中的运动是等级考命题的热点问题，对此部分内容的考查以带电粒子在各类有界匀强磁场中的运动为主，题型有选择也有计算，难度中等偏上．2．思想方法：对称法、图解法、模型法等．[知能必备]1．单边界磁场问题的对称性带电粒子在单边界匀强磁场中的运动一般都具有对称性，可总结为：单边进出(即从同一直线边界进出)，等角进出，如图所示．2．缩放圆法的应用技巧当带电粒子以任一速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们的速度v0越大，在磁场中做圆周运动的轨道半径也越大，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP′上，此时可以用“缩放圆法”分析——以入射点为定点，圆心位于直线PP′上，将半径缩放作粒子的运动轨迹，从而探索出临界条件．3．带电粒子在磁场中运动产生多解的原因[真题再练]1. (多选)如图所示，在Oxy 平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B 的匀强磁场．一带电粒子从y 轴上的M 点射入磁场，速度方向与y 轴正方向的夹角θ＝45°.粒子经过磁场偏转后在N 点(图中未画出)垂直穿过x 轴．已知OM ＝a ，粒子电荷量为q ，质量为m ，重力不计．则( )A ．粒子带负电荷B ．粒子速度大小为qBamC ．粒子在磁场中运动的轨道半径为aD ．N 与O 点相距(2＋1)a解析：AD 由左手定则，分析粒子在M 点受的洛伦兹力，可知粒子带负电，选项A 正确；粒子的运动轨迹如图所示，O ′为粒子做匀速圆周运动的圆心，其轨道半径R ＝2a ，选项C 错误；由q v B ＝m v 2R ，可求出v ＝2qBa m ，选项B 错误；由图可知，ON ＝a ＋2a ＝(2＋1)a ，选项D 正确．2.如图，在0≤x ≤h ，－∞<y <＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B 的大小可调，方向不变．一质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子以速度v 0从磁场区域左侧沿x 轴进入磁场，不计重力．(1)若粒子经磁场偏转后穿过y 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值B m ；(2)如果磁感应强度大小为B m2，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场．求粒子在该点的运动方向与x 轴正方向的夹角及该点到x 轴的距离．解析：(1)由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里．设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R ，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有q v 0B ＝m v 20R①由此可得R ＝m v 0qB②粒子穿过y 轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y 轴正半轴上，半径应满足R ≤h ③由题意，当磁感应强度大小为B m 时，粒子的运动半径最大，由此得B m ＝m v 0qh④ (2)若磁感应强度大小为B m2，粒子做圆周运动的圆心仍在y 轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为R ′ ＝2h ⑤粒子会穿过图中P 点离开磁场，运动轨迹如图所示．设粒子在P 点的运动方向与x 轴正方向的夹角为α，由几何关系sin α＝h 2h ＝12⑥即α＝π6⑦由几何关系可得，P 点与x 轴的距离为 y ＝2h (1－cos α)⑧联立⑦⑧式得y ＝ (2－3)h ⑨ 答案：(1)磁场方向垂直于纸面向里 m v 0qh(2)π6(2－3)h带电粒子在匀强磁场中运动问题的解题流程[精选模拟]视角1：带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值问题1．(多选)如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN 垂直于纸面，在纸面内的长度L ＝9.1 cm ，中点O 与S 间的距离d ＝4.55 cm ，MN 与SO 直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B ＝2.0×10－4 T ，电子质量m ＝9.1×10－31kg ，电荷量e ＝1.6×10－19C ，不计电子重力，电子源发射速度v ＝1.6×106 m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l ，则( )A ．θ＝90°时，l ＝9.1 cmB ．θ＝60°时，l ＝9.1 cmC ．θ＝45°时，l ＝4.55 cmD ．θ＝30°时，l ＝4.55 cm解析：AD 电子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力：e v B ＝m v 2R ，R ＝m v Be＝4.55×10－2 m ＝4.55 cm ＝L2，θ＝90°时，击中板的范围如图甲，l ＝2R ＝9.1 cm ，选项A 正确；θ＝60°时，击中板的范围如图乙所示，l ＜2R ＝9.1 cm ，选项B 错误；θ＝30°，如图丙所示，l ＝R ＝4.55 cm ，当θ＝45°时，击中板的范围如图丁所示，l ＞R (R ＝4.55 cm)，故选项D 正确，选项C 错误．2.如图所示，竖直线MN ∥PQ ，MN 与PQ 间距离为a ，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，O 是MN 上一点，O 处有一粒子源，某时刻放出大量速率均为v (方向均垂直磁场方向)、比荷一定的带负电粒子(粒子重力及粒子间的相互作用力不计)，已知沿图中与MN 成θ＝60°角射入的粒子恰好垂直PQ 射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长时间为( )A.πa3v B ．23πa 3vC.4πa 3vD ．2πa v解析：C 当θ＝60°时，粒子的运动轨迹如图甲所示，则a ＝R sin 30°，即R ＝2a .设带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为α，则其在磁场中运行的时间为t ＝α2πT ，即α越大，粒子在磁场中运行时间越长，α最大时粒子的运行轨迹恰好与磁场的右边界相切，如图乙所示，因R ＝2a ，此时圆心角αm 为120°，即最长运行时间为T 3，而T ＝2πR v ＝4πav ，所以粒子在磁场中运动的最长时间为4πa3v，C 正确．3．如图是某屏蔽高能粒子辐射的装置，铅盒左侧面中心O 有一放射源可通过铅盒右侧面的狭缝MQ 向外辐射α粒子，铅盒右侧有一左右边界平行的匀强磁场区域．过O 的截面MNPQ 位于垂直磁场的平面内，OH 垂直于MQ .已知∠MOH ＝∠QOH ＝53°.α粒子质量m ＝6.64×10－27kg ，电量q ＝3.20×10－19C ，速率v ＝1.28×107m/s ；磁场的磁感应强度B＝0.664 T ，方向垂直于纸面向里；粒子重力不计，忽略粒子间的相互作用及相对论效应，sin 53°＝0.80，cos 53°＝0.60.(1)求垂直于磁场边界向左射出磁场的粒子在磁场中运动的时间t ；(2)若所有粒子均不能从磁场右边界穿出，达到屏蔽作用，求磁场区域的最小宽度d . 解析：(1)粒子在磁场内做匀速圆周运动，则T ＝2πmqB垂直于磁场边界向左射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为：t ＝T2代入数据解得：t ＝π32×10－6 s ≈9.81×10－8 s.(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，q v B ＝m v 2R沿OQ 方向进入磁场的粒子运动轨迹与磁场右边界相切，则所有粒子均不能从磁场的右边界射出，如图所示，由几何关系可得：d ＝R ＋R sin 53° 代入数据可得：d ＝0.72 m. 答案：(1)9.81×10－8 s (2)0.72 m视角2：带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题4．(多选)长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，板间距离也为l ，板不带电，现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )A ．使粒子的速度v ＜Bql4mB ．使粒子的速度v ＞5Bql4mC ．使粒子的速度v ＞BqlmD ．使粒子的速度v 满足Bql 4m ＜v ＜5Bql4m解析：AB 带电粒子刚好打在极板右边缘，有r 21＝⎝⎛⎭⎫r 1－l 22＋l 2，又因r 1＝m v 1Bq ，解得v 1＝5Bql 4m ；粒子刚好打在极板左边缘，有r 2＝l 4＝m v 2Bq ，解得v 2＝Bql4m，故A 、B 正确．。

高考必考题突破讲座8 带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题1．如图所示，左右边界分别为PP ′、QQ ′的匀强磁场的宽度为d ，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里，一个质量为m 、电荷量为q 的微观粒子，沿图示方向以速度v 0垂直射入磁场，欲使粒子不能从边界QQ ′射出，粒子入射速度v 0的最大值可能是( BC )A ．BqdmB ．＋2BqdmC ．－2BqdmD ．2Bqd2m解析： 粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R ＝mv 0qB知，粒子的入射速度v 0越大，R 越大．当粒子的径迹和边界QQ ′相切时，粒子刚好不从QQ ′射出，此时其入射速度v 0应为最大．若粒子带正电，其运动轨迹如图甲所示(此时圆心为O 点)，容易看出R 1sin 45°＋d ＝R 1，将R 1＝mv 0qB代入得v 0＝＋2Bqdm，选项B 正确．若粒子带负电，其运动轨迹如图乙所示(此时圆心为O ′点)容易看出R 2cos 45°＋R 2＝d ，将R 2＝mv 0qB 代入得v 0＝2－2mBqd ，C 正确．2．(多选)(2016·四川卷)如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN 垂直于纸面，在纸面内的长度L ＝9.1 cm ，中点O 与S 间的距离d ＝4.55 cm ，MN 与SO 直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B ＝2.0×10－4T ．电子质量m ＝9.1×10－31kg ，电荷量e ＝－1.6×10－19C ，不计电子重力．电子源发射速度v ＝1.6×106m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l ，则( AD )A ．θ＝90°时，l ＝9.1 cmB ．θ＝60°时，l ＝9.1 cmC ．θ＝45°时，l ＝4.55 cmD ．θ＝30°时，l ＝4.55 cm解析：如图所示，根据“用滚圆法求解磁场中粒子源射出粒子打在屏上范围”的模型，图中圆O 1、O 2均为半径为R 的圆，圆O 1分别交MN 及其延长线于P 、C 两点，SC 为圆O 1的直径，圆O 2与MN 相切于Q 点，∠SQN ＝α.若屏的大小无限制，则电子应当打在图中C 、Q 之间，而由于MN 长度的限制，电子只能打在N 、Q 之间．据题意，R ＝mv|e |B＝4.55 cm ，可见SO ＝NO ＝OM ＝O 2Q ＝R ，由几何知识可得2R sin αsin α＝R sin θ，则sin α＝12sin θ，l ＝NQ ＝NP ＋PQ ＝R (1－cos θ)＋2R sin αcos α＝(1－cos θ＋2sin θ＋sin 2θR ，分别将θ＝90°、60°、45°、30°代入公式即可确定，A 、D 项正确，B、C 项错误．3．如图所示，△ABC 为与匀强磁场垂直的边长为a 的等边三角形，比荷为e m的电子以速度v 0从A 点沿AB 边入射，欲使电子经过BC 边，磁感应强度B 的取值为( D )A ．B >2mv 0aeB ．B <2mv 0aeC ．B >3mv 0aeD ．B <3mv 0ae解析：由题意得，电子正好经过C 点，如图所示，此时圆周运动的半径R ＝a2cos 30°＝a3，要使电子从BC 边经过，电子做圆周运动的半径要大于a3，由带电粒子在磁场中运动的公式r ＝mv qB有a 3<mv 0eB，即B <3mv 0ae ，选D ．4．(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O 点是cd 边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0后刚好从c 点射出磁场．现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是( AC )A ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t 0，则它一定从cd 边射出磁场B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t 0，则它一定从ad 边射出磁场C ．若该带电粒于在磁场中经历的时间是54t 0，则它一定从bc 边射出磁场D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t 0，则它一定从ab 边射出磁场解析：如图所示，作出刚好从ab 边射出的轨迹①、刚好从bc 边射出的轨迹②、从cd 边射出的轨迹③和刚好从ad 边射出的轨迹④.由从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0后刚好从c 点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t 0.可知，从ad 边射出磁场经历的时间一定小于13t 0；从ab 边射出磁场经历的时间一定大于等于13t 0，小于56t 0；从bc 边射出磁场经历的时间一定大于等于56t 0，小于43t 0；从cd 边射出磁场经历的时间一定是53t 0.5．(2016·四川宜宾质检)如图所示，在0≤x ≤a 、0≤y ≤a2范围内有垂直于xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，坐标原点O 处有一个粒子源．在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a2到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时：(1)速度的大小：(2)速度方向与y 轴正方向夹角的正弦值.解析：设粒子的发射速度为v ，粒子做圆周运动的轨道半径为R ，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，得qvB ＝m v 2R解得R ＝mv qB ，当a2<R <a 时，在磁场中运动时间最长的粒子，其对应圆心角最大，其轨迹是圆心为C 的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示．设粒子在磁场中运动的时间为t ，依题意．t ＝T 4，∠OCA ＝π2设最后离开磁场的粒子的发射方向与y 轴正方向的夹角为α，由几何关系可得R sin α＝R －a2R sin α＝a －R cos α又sin 2α＋cos 2α＝1 解得R ＝(2－62)a ，v ＝(2－62)aqB m ，sin α＝6－610. 答案：(1)(2－62)aqB m (2)6－610。

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题带电粒子在匀强磁场中的临界问题可以通过“放缩法”解决。

当速度方向一定，大小不同时，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。

通过以入射点为定点，将半径放缩作轨迹，探索出临界条件。

另一种解决有界磁场中的临界问题的方法是“旋转法”。

当速度大小一定，方向不同时，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同。

圆心在以入射点为圆心、半径为mv/qB的圆上。

通过旋转圆心，将问题转化为无界磁场中的问题。

旋转法”是一种探索临界条件的方法，它通过让圆绕着入射点旋转来实现。

在一个真空室内，存在一个垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B=0.60 T。

在磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行。

距离ab为l=16cm处有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射速度为v=3.0×10m/s的α粒子。

已知α粒子的比荷为5.0×10C/kg，现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab板上被α粒子打中区域的长度。

解题思路是过S 点作ab的垂线，根据左侧最值相切和右侧最值相交计算。

由于带电粒子的电性不确定，可能带正电荷，也可能带负电荷。

在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解。

在一个宽度为d的有界匀强磁场中，磁感应强度为B，MM′和NN′是磁场左右的两条边界线。

现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。

要使粒子不能从右边界NN′射出，需要求粒子入射速率的最大值。

由于粒子电性不确定，所以分成正、负粒子讨论，不从NN′射出的临界条件是轨迹与NN′相切。

题目描述：一个正方形的匀强磁场区域abcd，e是ad的中点，f是cd 的中点，如果在a点沿对角线方向以速度v射入一带负电的粒子，恰好从e点射出，则（）。

解题思路：根据题目描述，可以画出如下示意图：image.png](/upload/image_hosting/ed6v3v6v.png)由于粒子带负电，所以在磁场中会受到洛伦兹力的作用，从而偏转方向垂直于速度方向和磁场方向的方向。