平曲线要素计算公式给学生用的

⾼中数学曲线公式⼤全 圆锥曲线公式：椭圆 1、中⼼在原点，焦点在x轴上的椭圆标准⽅程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b² 2、中⼼在原点，焦点在y轴上的椭圆标准⽅程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b² 参数⽅程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π) 圆锥曲线公式：双曲线 1、中⼼在原点，焦点在x轴上的双曲线标准⽅程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b². 2、中⼼在原点，焦点在y轴上的双曲线标准⽅程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b². 参数⽅程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数) 圆锥曲线公式：抛物线 参数⽅程:x=2pt²;y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0 直⾓坐标:y=ax²+bx+c(开⼝⽅向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开⼝⽅向为x轴，a≠0) 离⼼率 椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统⼀的定义：平⾯上，到定点的距离与到定直线的距离的⽐e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

且当01时为双曲线。

圆锥曲线公式知识点总结 圆锥曲线椭圆双曲线抛物线 标准⽅程 x²/a²+y²/b²=1(a>b>0) x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0) y²=2px(p>0) 范围 x∈[-a,a] x∈(-∞，-a]∪[a,+∞) x∈[0,+∞) y∈[-b,b] y∈R y∈R 对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称 顶点 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 焦点 (c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0) 【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】 准线 x=±a²/c x=±a²/c x=-p/2 渐近线 —————— y=±(b/a)x ————— 离⼼率 e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1 焦半径∣PF₁∣=a+ex ∣PF₁∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2 ∣PF₂∣=a-ex ∣PF₂∣=∣ex-a∣ 焦准距 p=b²/c p=b²/c p 通径 2b²/a 2b²/a 2p 参数⽅程 x=a·cosθ x=a·secθ x=2pt² y=b·sinθ，θ为参数 y=b·tanθ，θ为参数 y=2pt,t为参数 过圆锥曲线上⼀点 x0·x/a²+y0·y/b²=1 x0x/a²-y0·y/b²=1 y0·y=p(x+x0) (x0,y0)的切线⽅程 斜率为k的切线⽅程 y=kx±√(a²·k²+b²) y=kx±√(a²·k²-b²) y=kx+p/2k。

（2）曲线主点桩号计算：ZH(桩号)=JD(桩号)-T HY(桩号)=ZH(桩号)+ls QZ(桩号)=HZ(桩号)-L/2 YH(桩号)=HY(桩号)+L y HZ(桩30-3 336629-3 4028)-(3 )(227-3 2sec )(26-3 225-3 2ls 180)2(m 18024)-(3 2)(23)-(3 9022)-(3 23842421)-(3 )( 24023420230034223m Rl R l y m R l l x m L T J m R p R E m l L L R l R L m q tg p R T Rl m R l R l p m R l l q s s sss Y s s s s s s -=-=-=-⋅+=-=+⋅⋅-=+⋅⋅=+⋅+=︒⋅︒=-=-=απβααπαπβ第三节竖曲线纵断面上两个坡段的转折处，为方便行车，用一段曲线来缓和，称为竖曲线。

可采用抛物线或圆曲线。

一、竖曲线要素的计算公式相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。

2.竖曲线诸要素计算公式竖曲线长度或竖曲线半径R: （前提：ω很小）L=Rω竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2竖曲线上任一点竖距h：竖曲线外距：[例1]、某山岭区二级公路，变坡点桩号为K5+030.00，高程为427.68m，i1=+5%，i2=-4%，竖曲线半径R=2000m。

试计算竖曲线诸要素以及桩号为K5+000.00和K5+100.00处的设计高程。

解：1.计算竖曲线要素ω= |i2-i1|= |-0.04-0.05| =0.09，为凸型。

曲线长L=Rω=2000×0.09=180m切线长T=L/2=180/2=90m外距E=T2/2R=902/2×2000=2.03m2.计算设计高程竖曲线起点桩号=（K5+030.00）-90=K4+940.00竖曲线起点高程=427.68-90×0.05=423.18竖曲线终点桩号=（K5+030.00）+90=K5+120.00竖曲线终点高程=427.68-90×0.04=424.08桩号K5+000.00处：横距K5x 1=（K5+ 000.00）-（K4+940.00）=60m 竖距h 1=x 12/2R=602/2×2000=0.90m 切线高程=427.68-（90-60）×0.05=426.18m 423.18+60×0.05=426.18设计高程=426.18-0.90=425.28m 桩号K5+100.00处：横距x 2=(K5+120.00)-(K5+100.00)=20m 竖距h 2=x 22/2R=202/2×2000=0.1m切线高程=427.68-（90-20）×0.04=424.88m 设计高程=424.88-0.1=424.78m 横距x 2=(K5+100.00)-(K4+940.00)=160m 竖距h 2=x 22/2R=1602/2×2000=6.4m 切线高程=423.18+160×0.05=431.18m 设计高程=431.18-6.40=424.78m[例2]平原区某二级公路有一弯道，偏角α右=15°28′30″，半径R=600m ，缓和曲线长度Ls=70m ， JD=K2+536.48。

一、公路平曲线坐标计算公式1、缓和曲线：Lb1 0{K,D}①T=A2/R ②L=J（K-O）+T ③B=T2 /2/A2 *180/π④M=（L-T）-（L5-T5）/40/A4+（L9-T9）/3456/A8-（L13-T13）/599040/A12+（L17-T17）/17542600/A165.N=(L3-T3)/6/A2-(L7-T7)/336/A6+(L11-T11)/42240/A10-(L15-T15) /9676800/A14+(L19-T19)/3530097000/A18⑥I=(L2-T2)*180/2/A2/π⑦X=C+Mcos(Q-ZB)-ZNsin(Q-ZB)+Dcon(Q+ZI+S)◢⑧Y=F+Msin(Q-ZB)+ZNcos(Q-ZB)+Dsin(Q+ZI+S)◢Goto 0注：A：缘和曲线参数 R：起点半径 J：曲率半径判定值（当曲率半径由小到大取1,否则取-1）（当起点半径到终点半径是由大或无穷大到小取+1，反之则取-1） K：欲求点里程 O：缘和曲线起点里程 C：缘和曲线起点X坐标Q：起始方位角（当J=-1时，方位角应+180。

） Z：偏角判定值(当J=1时，左偏为-1，右偏为1；当J=-1时，左偏为1，右偏为-1) D：距中桩的距离 S：斜交角度 F：缘和曲线起点Y坐标2、圆曲线Lb1 0{K,D}①L=K-0②X=C+R[sin(Q+L/R*180/π)-sinQ]+Dcos(Q+L/R*180/π+S)◢③Y=F-R[cos(Q+L/R*180/π)-cosQ]+Dsin(Q+L/R*180/π+S)◢ Goto 0注：K：欲求点里程 O：圆曲线起点里程 C：圆曲线起点X坐标 R：圆曲线半径 (左偏为负) Q：起始方位角 D：距中桩的距离 S：斜交角度 F：圆曲线起点Y坐标3、直线Lb1 0{K,D}①L=K-0②X=C+LcosQ+Dcos(Q+S)◢③Y=F+LsinQ+Dsin(Q+S)◢Goto 0注：K：欲求点里程 O：直线起点里程 C：直线起点X坐标 Q：起始方位角 D：距中桩的距离 S：斜交角度 F：直线起点Y坐标二、竖曲线计算公式Lb1 0①{K} ②L=K-（0-T）③H=M-IT+LI-ZL2 /2/R◢ Goto 0 注：K：欲求点里程;O：顶点里程;T：切线长;M：顶点高程;I：坡度;Z：竖曲线判定值三、预拱度计算公式Lb1 0①{K} ②H=D-(4D÷B2)×(B/2-(K-O)) 2◢ Goto 0注：D：跨中最大设计预拱度 H：要计算的预拱度 K：欲求点里程桩号（距支座的距离） O：起点桩号 B：本跨净长。

公路基本型平曲线（回旋缓和曲线）要素及计算公式（FYL ）缓和曲线：在直线与圆曲线之间加入一段半径由无穷大逐渐变化到圆曲线半径的曲线，这种曲线称为缓和曲线。

缓和曲线的主要曲线元素有ZH 、HY 、QZ 、YH 、HZ 5个主点。

由此可得：圆曲线内移值P ： ()m R L P S 242=切线增长值q ： )(240223m R L L q S S -= 缓和曲线切线长： q P R q T T h ++=+=2tan)(α 缓和曲线外矢距： R P R E h -+=2sec )(α缓和曲线中曲线总长： s h L R L 2180)2(0+-=πβα 缓和曲线中圆曲线长度：180)2(0R L y πβα-=缓和曲线与圆曲线区别： 1. 因为缓和曲线起始端分别和直线与圆曲线顺滑的相接，因此必须将原来的圆曲线向内移动一段距离才能够接顺，故曲线发生了内移（即设置缓和曲线后有内移值P 产生）2. 缓和曲线的一部分在直线段，另一部分插入了圆曲线，因此有切线增长值q;3. 由于有缓和曲线的存在，因此有缓和曲线角0β：R L S 2/0=β(弧度)=RL S π90 (度) S L －缓和曲线两端各自的缓和曲线长。

R －缓和曲线中的主圆曲线半径α－偏转角缓和曲线主点桩号：ZH 桩号=JD 桩号-h THY 桩号=ZH 桩号+S LQZ 桩号=HY 桩号+2yLYH 桩号=QZ 桩号+2yLHZ 桩号=ZH 桩号+h L另外、QZ 桩号、YH 桩号、HZ 桩号还可以用以下方式推导：QZ 桩号=ZH 桩号+2hLYH 桩号=HZ 桩号-S LHZ 桩号=YH 桩号+S L切线支距法计算坐标：缓和曲线段内坐标计算如式： 22540SPp L R L L -=X sPRL L Y 63=进入净圆曲线段内坐标计算如式： ⎥⎦⎤•⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛⎢⎣⎡+=R L L R q X s p π1802sin ⎭⎬⎫⎥⎦⎤•⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛⎢⎣⎡-⎩⎨⎧+=R L L R P Y s p π1802cos 1 上述公式还可以简化为：αsin R q X +=()αcos 1-+=R P Y+-=R L L s p πα)180（0βR L S 2/0=β(弧度)=R L Sπ90 (度)。

平曲线计算公式
【实用版】
目录
1.引言
2.平曲线的定义和分类
3.平曲线计算公式的推导
4.平曲线计算公式的应用
5.结论
正文
【引言】
平曲线是工程测量和地理信息系统中常用的一种曲线，可以用来描述地面的高程变化或者其他连续变化的现象。

在实际应用中，对平曲线的计算和分析具有重要意义。

本文将介绍平曲线计算公式及其应用。

【平曲线的定义和分类】
平曲线是指在平面上，通过一系列控制点，使得曲线上每一点的切线与某一指定方向的夹角保持不变的曲线。

根据夹角的变化情况，平曲线可以分为两类：一类是凸平曲线，即夹角单调递增的曲线；另一类是凹平曲线，即夹角单调递减的曲线。

【平曲线计算公式的推导】
为了计算平曲线，我们需要首先确定一个基准方向，然后通过计算每个控制点的切线与基准方向的夹角来确定曲线上每个点的坐标。

设基准方向为α，控制点为 P1、P2、...、Pn，对应的切线与基准方向的夹角分别为α1、α2、...、αn，则平曲线的计算公式可以表示为：x = x0 + ∑(n-i)(αi-αn) * y0
y = y0 + ∑(n-i)(αi-αn) * x0
其中，(x0, y0) 为基准点，(xi, yi) 为曲线上第 i 个控制点，i 从
1 到 n。

【平曲线计算公式的应用】
平曲线计算公式在实际应用中有广泛的应用，例如在地理信息系统中，可以用来根据给定的控制点和基准方向生成等高线；在道路设计中，可以用来计算道路的纵断面，使得道路在行驶过程中保持平稳。

【结论】
平曲线计算公式是描述平曲线的一种重要方法，通过对控制点和基准方向的计算，可以得到平曲线上每个点的坐标。

第三讲公路平面坐标计算1、平曲线认识道路是一个三维空间的工程结构物，它的中线是一个空间曲线，叫路线，其在水平面的投影就是平面线形。

道路平面线形由于受到沿线地形、地质、水文、气候等自然条件和人为条件的制约而改变方向。

在路线平面方向的转折处为满足行车要求，需要用适当的曲线把前、后直线连接起来，这种曲线称为平曲线。

平曲线包括圆曲线和缓和曲线。

①圆曲线要素主点桩号计算：ZY点里程=JD点里程-TQZ点里程=ZY点里程+L/2 YZ点里程=ZY点里程+LJD里程=QZ里程+D/2（校核）②缓和曲线要素切线长： 外距：曲线长：()s s 18022180l aR l a R L h +=+-=πβπ切线加长：q =/2－3/(240R2)圆曲线相对切线内移量：p = 2/(24R)切曲差 Dh = 2T －Lh上式中：α 为线路转向角；β0为缓和曲线角； 其中q 、p 、β0缓和曲线参数。

ZH 桩号 = JD 桩号－T HY 桩号 = ZH 桩号＋QZ 桩号 = HY 桩号＋L/2YH 桩号 = QZ 桩号＋L/2 = HY 桩号＋L = ZH 桩号＋＋LHZ 桩号 = YH 桩号＋= ZH 桩号＋LhJD 桩号 = ZY 桩号－Th ＋Dh （检核）m)2)(（q tgp R T ++=α）（m 2sec)(R p R E -+=αLs Ls Ls Ls Ls Ls注意：上面计算需要大家掌握主点桩号计算，五大主点：ZH、HY、QZ、YH、HZ，还会遇到一些特殊点例如起点QD、终点ZD、公切点GQ。

可以判断下图即可。

重点知识必须掌握（线元法基础）：直线：曲率为0，起终点半径无穷大。

圆曲线：具有一定曲率半径的圆弧，半径为固定值。

缓和曲线：在直线与圆曲线之间或两个不同半径的圆曲线之间设置的曲率连续变化的曲线（指从直线上半径无穷大到圆曲线的定值之间曲率半径逐渐变化的过渡段），我国公路缓和曲线的形式采用回旋线。

（曲率为半径的倒数）A1,A2——缓和曲线参数R——圆曲线半径Ls1,Ls2——缓和曲线长度一段完整缓和曲线满足公式：A²=R x Ls1，A²=R x Ls2入缓和曲线：从ZH点到HY点，A固定不变，随着Ls1的增大，半径从∞减小到R出缓和曲线：从YH点到HZ点，A固定不变，随着Ls2的减小，半径从R增大到∞如果A²≠R x Ls，那么这段缓和曲线是不完整的，叫做不完整缓和曲线。

平曲线计算公式（原创版）目录1.引言2.平曲线计算公式的定义与分类3.平曲线计算公式的应用4.平曲线计算公式的优缺点5.结论正文1.引言平曲线是道路工程中常见的一种曲线形式，它是指在道路的纵断面上，道路中心线在水平方向上呈平滑变化的曲线。

平曲线的计算对于道路的设计与施工具有重要意义，而平曲线计算公式则是实现这一目标的关键工具。

本文将详细介绍平曲线计算公式的定义与分类、应用、优缺点等方面的内容。

2.平曲线计算公式的定义与分类平曲线计算公式是指在道路工程中，用来计算道路中心线在纵断面上呈平滑变化的曲线公式。

根据计算方法的不同，平曲线计算公式可以分为以下几类：（1）基于矢量的计算公式：这类公式主要利用矢量的运算来计算平曲线，如计算曲线的曲率、切线角等。

（2）基于参数的计算公式：这类公式主要通过参数方程来描述平曲线，如用弧长、半径等参数来表示曲线。

（3）基于几何图形的计算公式：这类公式主要通过几何图形的性质来计算平曲线，如通过椭圆、抛物线等几何图形来表示曲线。

3.平曲线计算公式的应用平曲线计算公式在道路工程中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：（1）道路设计：通过计算平曲线，可以得到道路中心线在纵断面上的形状，从而满足道路的安全、舒适、经济等设计要求。

（2）道路施工：在道路施工过程中，需要根据平曲线计算公式来控制道路中心线的形状，以保证道路的施工质量。

（3）道路维护：在道路维护过程中，通过对平曲线的计算与分析，可以及时发现道路的不良状况，为道路的维护提供依据。

4.平曲线计算公式的优缺点平曲线计算公式具有以下优点：（1）计算简便：平曲线计算公式具有明确的计算步骤和简单的计算方法，便于工程技术人员掌握和使用。

（2）适用性强：平曲线计算公式适用于各种类型的道路，无论是直线、曲线还是复合曲线，都可以采用相应的公式进行计算。

然而，平曲线计算公式也存在一定的缺点：（1）计算精度受限：由于公式本身的局限性，平曲线计算公式的计算精度受到一定的限制，可能无法满足某些高精度计算的需求。

第三讲公路平面坐标计算1、平曲线认识道路是一个三维空间的工程结构物，它的中线是一个空间曲线，叫路线，其在水平面的投影就是平面线形。

道路平面线形由于受到沿线地形、地质、水文、气候等自然条件和人为条件的制约而改变方向。

在路线平面方向的转折处为满足行车要求，需要用适当的曲线把前、后直线连接起来，这种曲线称为平曲线。

平曲线包括圆曲线和缓和曲线。

①圆曲线要素主点桩号计算：ZY点里程=JD点里程-TQZ点里程=ZY点里程+L/2 YZ点里程=ZY点里程+LJD里程=QZ里程+D/2（校核）②缓和曲线要素切线长： 外距：曲线长：()s s 18022180l aR l a R L h +=+-=πβπ切线加长：q =/2－3/(240R2)圆曲线相对切线内移量：p = 2/(24R)切曲差 Dh = 2T －Lh上式中：α 为线路转向角；β0为缓和曲线角； 其中q 、p 、β0缓和曲线参数。

ZH 桩号 = JD 桩号－T HY 桩号 = ZH 桩号＋QZ 桩号 = HY 桩号＋L/2YH 桩号 = QZ 桩号＋L/2 = HY 桩号＋L = ZH 桩号＋＋LHZ 桩号 = YH 桩号＋= ZH 桩号＋LhJD 桩号 = ZY 桩号－Th ＋Dh （检核）m)2)(（q tgp R T ++=α）（m 2sec)(R p R E -+=αLs Ls Ls Ls Ls Ls注意：上面计算需要大家掌握主点桩号计算，五大主点：ZH、HY、QZ、YH、HZ，还会遇到一些特殊点例如起点QD、终点ZD、公切点GQ。

可以判断下图即可。

重点知识必须掌握（线元法基础）：直线：曲率为0，起终点半径无穷大。

圆曲线：具有一定曲率半径的圆弧，半径为固定值。

缓和曲线：在直线与圆曲线之间或两个不同半径的圆曲线之间设置的曲率连续变化的曲线（指从直线上半径无穷大到圆曲线的定值之间曲率半径逐渐变化的过渡段），我国公路缓和曲线的形式采用回旋线。

（曲率为半径的倒数）A1,A2——缓和曲线参数R——圆曲线半径Ls1,Ls2——缓和曲线长度一段完整缓和曲线满足公式：A²=R x Ls1，A²=R x Ls2入缓和曲线：从ZH点到HY点，A固定不变，随着Ls1的增大，半径从∞减小到R出缓和曲线：从YH点到HZ点，A固定不变，随着Ls2的减小，半径从R增大到∞如果A²≠R x Ls，那么这段缓和曲线是不完整的，叫做不完整缓和曲线。