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一、曲线要素计算已知：JDZH 、JDX 、JDY 、R 、L S1、L S2、L H 、T 、A 1、A 2（L H =L S1+L S2+圆曲线长）1、求ZH 点（或ZY 点）坐标及方位角⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=11sin cos AT JDY ZHY A T JDX ZHX TJDZH ZHZH 2、求HZ 点（或YZ 点）坐标及方位角⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+-=22sin cos AT JDY HZY A T JDX HZX L T JDZH HZZH H3、求解切线长T 、外距E 、曲线长L（1）圆曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-==180/)1)2/cos(/1()2/tan(απααR L R E R T （2）缓圆曲线 )2/(2/)2/cos(/)(2180/)21()2/tan()(020R l l l Rl l R p R E l R L qp R T s s s HsH H ===⎪⎩⎪⎨⎧-+=+⨯-=+⨯+=ββαπβα时当其中 二、直线上各桩号坐标及方位角计算 已知：ZH 、X 、Y 、A ⎪⎩⎪⎨⎧+=+==-=A L Y DY A L X DX A T ZH DZH L sin cos 三、第一缓和曲线上各桩号点坐标及方位角计算 已知：ZHZH 、ZHX 、ZHY 、A 1、R 、L S1、i （Z+1Y-1） ⎪⎩⎪⎨⎧⨯-+=⨯++=⨯⨯-==-=-=1111121132125cos sin sin cos /180)2/()6/()40/(Ay i A x ZHY DY A y i A x ZHX DX Rl l i A T Rl L y l R L L x ZHZH DZH L s s s π四、圆曲线上各桩号点坐标及方位角计算已知：ZHZH 、ZHX 、ZHY 、A 1、R 、L S1、i （Z+1Y-1）⎪⎩⎪⎨⎧⨯-+=⨯++=⨯+⨯-=⎪⎩⎪⎨⎧=-==++-=-++=--=1111121231110211231111cos sin sin cos /180)/2/(24/240/2/2/24/)]/2/cos(1[240/2/)/2/sin(Ay i A x ZHY DY A y i A x ZHX DX R L R l i A T R l p R l l q R l R l R L R l R y R l l R L R l R x ls ZHZH DZH L s s s s s s s s s s πβ其中五、第二缓和曲线上个桩号坐标及方位角计算 已知：HZZH 、HZX 、HZY 、A2、R 、L S2、i （Z+1Y-1） ⎪⎩⎪⎨⎧⨯--=⨯+-=⨯⨯+==-=-=2222222232225cos sin sin cos /180)2/()6/()40/(Ay i A x HZY DY A y i A x HZX DX Rl l i A T Rl L y l R L L x DZHHZZH L s s s π六、边桩坐标求解 已知：DZH 、X 、Y 、T 、BZJL （Z+Y-）、DLJJ 、N （距中桩距离，左正右负）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=T N Y BDY T N X BDX T T sin cos α七、纵断面高程计算（1） 直线段上高程计算 已知：直线上任一点桩号（ZH ）、高程（H ）、纵坡（i ）)(*ZH DZH i H DH -+=（2） 竖曲线上高程计算已知：竖曲线起点桩号（ZH ）、起点高程（H ）、竖曲线半径R 、起点坡度（i ）、k （凸曲线+1、凹曲线-1） )2/(2R l k il H DH ZHDZH l ⨯-+=-=注：JDZH 、JDX 、JDY ：交点桩号、交点X 、Y 坐标R 、L S1、L S2：半径、缓和曲线1、缓和曲线2LH ：缓和曲线1长 +圆曲线长+ 缓和曲线2长 A1、A2：方位角1、方位角2 T ：在曲线要素中代表切线长；在坐标计算中代表被求解点的坐标方位角。
第二章圆曲线要素及计算公式
如图2-1所示，两相邻直线偏角（线路转向角）为，选定其
图 2-1
连接曲线圆曲线的半径为R，这样，圆曲线和两直线段的切点位置ZY点、YZ点便被确定下来，我们称为对圆曲线相对位置起控制作用的直圆点ZY、圆直点YZ和曲中点QZ为圆曲线三主要点。
我们称R、α以及具体体现三主要点几何位置的切线长T、曲线长L、外矢距E和切曲差（切线长和曲线长之差）D为曲线6要素。
只要知道了曲线6要素，便可于实地测放出圆曲线。
现将圆曲线的元素列下：
：转向角（实地测出）
R：曲率半径（设计给出）
T：切线长（计算得出）
L：曲线长（计算得出）
D：切曲差（计算得出）
偏角是在线路祥测时测放出的，圆曲线半径R是在设计中根据线路的等级以及现场
地形条件等因素选定的，其余要素可根据以下公式计算：。
圆曲线要素计算公式
1圆曲线要素
圆曲线是一种比较复杂的曲线，一般表示一个圆曲线就需要四组参数，它们分别是锚点、大小、旋转角度和方向。
2圆曲线计算公式
圆曲线(or圆弧)曲线在数学上表示为:(x-Cx)^2+(y-Cy)^2= r^2。
这个公式中，Cx和Cy分别是圆心横纵坐标，r代表半径，可以通过计算得出圆曲线。
3圆曲线应用
圆曲线在计算机图形学中有重要的应用，它把平面上的点连接起来，形成一条由点变王的曲线。
这条曲线往往用于表示更复杂的几何体，如圆、椭圆、三角形、多边形等等。
4圆曲线的优势
圆曲线的优势在于它的计算精度高，圆曲线上的每个点处，都可以接近圆形。
而且，由于圆曲线本身就很接近于圆，而且它又具有良好的扩展性，所以可以用来做不同程度圆形的几何体。
5结论
圆曲线能够把一个平面上的点连接成一条曲线，而且可以通过圆曲线的计算公式更好的表示几何体的形状与形态，它在数学计算以及计算机图形学中有着重要的应用。
一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反xZ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反xZ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)③变坡点桩号：SZ④变坡点高程：HZ⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x 求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：注：sgn(x)函数是取符号函数，当x<0时sgn(x)=-1，当x>0时sgn(x)=1，当x=0时sgn(x)=0。
圆曲线偏角计算公式90L/（∏R）L为置镜点到测点的距离缓和曲线偏角计算公式：573L2/（RLs60）L为置镜点（ZH，HZ）到测点的距离，Ls为缓和曲线总长HY，YH点的切线方向是：两倍的缓和曲线总偏角后视ZH，或HZ点曲线要素：切线长T=Rtg（a/2）a为转折角曲线长L=∏Ra/180 a为转折角，R为半径外矢距E=R/cos（a/2）-R a为转折角，R为半径切曲差q=2T-L竖曲线：曲线长L=R（i2-i1）i2i1分别为交点相邻两边的纵坡度切线长T= R（i2-i1）/2外矢距E=T2/（2R）前进方向坐标计算公式：（坐标增量）：X1=X+Dcosa D为距离ａ为方位角Y1=Y+Dsina后退方向坐标计算公式;Cx=X-DcosａCy=Y-Dsinａ直线段右侧坡脚点坐标计算公式：Ax1=AX+Dcos(ａ+90) Y 值同样直线段左侧坡脚点坐标计算公式：Ax1=AX+Dcos(ａ-90) Y值同样有已知两个坐标点计算方位角：例：A点坐标（X，Y），B点坐标（X1，Y1）A点方位角：tan-1a=（Y1-Y）/（X1-X）A，B两点间的距离AB=√（X-X1）2+（Y-Y1）2( 一).导线坐标计算的基本公式1.以纵坐标X的北端按顺时针方向到一直线的角度，称为该直线的方位角，通常以ａ表示。
有例说明，ａAB表示直线AB方向的坐标方位角，ａBA表示直线BA方向的坐标方位角，一般以直线的前进方向称为正方向，反之，称为反方向，直线AB的正、反方向的坐标方位角有如下关系：ａBA=ａAB加减180度2.坐标方位角的传递已知直线AB的方位角为ａAB，在B点测得到直线B1的折角￡左（或￡右），直线B1的方位角ａB1为：取左角￡左时，ａB1=ａAB+￡左—180度取右角￡右时，ａB1=ａAＢ—￡右＋１８０度若计算的ａB1<０度时应加３６０度若计算的ａB1>３６０度时应减３６０度３坐标的正运算设Ａ为已知点，其坐标ＸA、YA为已知，B是待定点。
一般平面曲线是按“直线+缓和曲线+圆曲线+缓和曲线+直线”的顺序连接组成完整的线形。
平面曲线最基本的是圆曲线和缓和曲线，其他曲线是由其派生而成曲线。
一、圆曲线二、有缓和曲线的圆曲线三、回头曲线四、复曲线五、立交曲线一、圆曲线（一）圆曲线要素及其计算JD——路线转角点，称交点；ZY——圆曲线起点，称直圆点；YZ——圆曲线终点，称圆直点；QZ——圆曲线中点，称曲中点。
T——切线长；L——曲线长；E——外矢距；q——切曲差；R ——圆曲线半径；α——路线的转角。
YZZYEROTL主点曲线要素TQZJD一、圆曲线（一）圆曲线要素及其计算2tanα⋅=R T 曲线长：0180παR L =外矢距：)12(sec -=αR E 切曲差：LT q -=2切线长：2αYZ ZYαEROTLTQZJDR一、圆曲线（一）圆曲线要素及其计算例题——某圆曲线的半径，转向角，试计算该圆曲线的曲线要素。
52100'=α解：切线长：曲线长：外矢距：切曲差：m R 800=m R T 92.722tan =⋅=αmR L 44.145180==παmR E 32.3)12(sec =-=αmL T q 40.02=-=OYZZYJDQZαERTLR一、圆曲线（二）圆曲线主要点里程的计算☞ZY里程= JD里程–切线长T☞YZ里程= ZY里程+ 曲线长L☞QZ里程= YZ里程–L/2检核：JD里程= QZ里程+ q/2QZ里程= JD里程-切线长T + 曲线长L –L/2= JD里程-（T-L/2）切曲差q = 2T -LJDYZ ZYEROTLTQZR一、圆曲线（二）圆曲线主要点里程的计算例题——设上例中的交点里程为K11 + 295.78，求各主点里程曲线要素：切线长：T=72.92m；曲线长：L=145.44m外矢距：E=3.32m；切曲差：q=0.40m一、圆曲线（二）圆曲线主要点里程的计算JDK11+295.78-T)72.92ZY+222.86+L)145.44YZ+368.30-L/2)72.72QZ+295.58+q/2)0.20JD+295.78检核无误切线长：T=72.92m 曲线长：L=145.44m 外矢距：E=3.32m 切曲差：q=0.40m☞ZY 里程= JD 里程–切线长T☞YZ 里程= ZY 里程+ 曲线长L ☞QZ 里程= YZ 里程–L/2 JD 里程= QZ 里程+ q/2二、有缓和曲线的圆曲线（一）缓和曲线列车在曲线上行驶会产生离心力，所以在曲线上要用外轨超高的方法来克服离心力。
曲线坐标计算一、圆曲线圆曲线要素：a -------------- 曲线转向角R -------------- 曲线半径根据a及R可以求出以下要素：T --------------- 切线长L -------------- 曲线长E -------------- 外矢距q -------------- 切曲差（两切线长与曲线全长之差）各要素的计算公式为:L R180（弧长）E RRsec 1）2（sec a =cos a 的倒数）圆曲线主点里程：ZY=J[> TQZ=ZY + L/2 或QZ=JD —q /2YZ=QZ + L/2 或YZ=JD + T—qJD=QZ + q/2 （校核用）1、基本知识里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离。
表示方法：DK26＋284.56 。
“+”号前为公里数，即26km，“ +”后为米数，即284.56m CK ——表示初测导线的里程。
DK ——表示定测中线的里程。
K ——表示竣工后的连续里程。
铁路和公路计算方法略有不同。
2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法）已知条件：起点、终点及各交点的坐标。
1）计算ZY、YZ 点坐标通用公式：2）计算曲线点坐标①计算坐标方位角i 点为曲线上任意一点li为i点与ZY点里程之差当曲线左转时用“-”，右转时用“ +”② 计算弦长③ 计算曲线点坐标此时的已知数据为：ZY ( xZY , yZY 、？ZY- i 、C 。
根据坐标正算原理：切线支距法 这种方法是以曲线起点ZY 或终点YZ 为坐标原点，以切线为X 轴，以过原点的半径为丫轴，则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得： 利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得: 式中：a 为ZY(YZ)点沿线路前进方向的切线方位角。
当起点为ZY 时“土”取“ + ”，XO=X(ZY),YO=Y(ZY),曲线为左偏时应以yi=-yi 代入；当起点为YZ 时，“土”取“ -”，XO=X(YZ), YO=Y(YZ), 曲线为左偏时应以yi 二yi 代入；弧长所对的圆心角弦切角弦的方位角注：1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半2、切线性质圆的切线与过切点的半径相垂直3、弦切角定理弦切角等于它所夹弧上的圆周角4、弧长公式由L/ n R=n /180 °得L=n°n R/ 180 °=n n R/180二、缓和曲线(回旋线)缓和曲线主要有以下几类：A:对称完整缓和曲线(基本形)------切线长、Is1与ls2都相等。
《坐标计算》一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反xZ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反xZ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)③变坡点桩号：SZ④变坡点高程：HZ⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：。
圆曲线要素及计算公式前言《礼记》有云：大学之道，在明德，在亲民。
在提笔撰写我的毕业设计论文的时候，我也在向我的大学生活做最后的告别仪式。
我不清楚过去的一切留给现在的我一些什么，也无从知晓未来将赋予我什么，但只要流泪流汗，拼过闯过，人生才会少些遗憾！非常幸运能够加入水利工程这个古老而又新兴的行业，即将走向工作岗位的时刻，我仿佛感受到水利行业对我赋予新的历史使命，水利是一项以除害兴利、趋利避害，协调人与水、人与大自然关系的高尚事业。
水利工作，既要防止水对人的侵害，更要防止人对水的侵害；既要化解自然灾害对人类生命财产的威胁，又要善待自然、善待江河、善待水，促进人水和谐，实现人与自然和谐相处。
这种使命，更让我用课堂中的知识用于实际生产中来。
特别是这两个月来的毕业设计，我越发感觉到学会学精测量基础知识对于我贡献水利是多么的重要。
所以，我越发不愿放弃不多的大学时光，努力提高自己的实践动手能力，而本学期的毕业设计，为我提供了绝好的机会，我又怎能放弃？刚刚从老师那里得到毕业设计的题目和任务时，我的心里真的没底。
作为毕业设计的主体工作，我们主要运用电子水准仪对某幢建筑物进行变形观测与计算，布设控制点进行平面控制测量和高程控制测量；用全站仪进行了中心多边行角度和距离的测量，并用条件平差原理进行平差，通过控制点的放样来计算土的挖方量，还有圆曲线的计算与测设。
而我研究的毕业课题是圆曲线测设。
大学的最后一个学期过得特别快，几乎每天扛着仪器，奔走在校园的每个角落，生活亦很有节奏。
今天我提笔写毕业论文，我的毕业设计也接近尾声。
不管成果如何，毕竟心里不再是没底了，挑着两个多月的辛苦换来的数据和成果，并不断的完善他们，心里感觉踏实多了。
在本次毕业设计论文的设计中要感谢水利系为我们的工作提供了测量仪器，还有各指导老师的教导和同学的帮助。
摘要：在公路、铁路的路线圆曲线测设中，一般是在测设出曲线各主点后，随之在直圆点或圆直点进行圆曲线详细测设。
根据给的要素，核算切线长、曲线长等，然后推算出各主点的里程，根据交点的坐标可以算出方位角，然后可以推算出直缓点的坐标，缓和曲线段就根据偏角法求出偏角和弦长，求出坐标增量，根据前面的点推算就可以了。
带缓和曲线的圆曲线的主元素及计算公式：
切线长Th = q＋(R＋p)·tan(α/2)
曲线长Lh = 2l0＋R·(α－2β0)·π/180°
外矢距Eh = (R＋p)·sec(α/2)－R
切线加长q = l0/2－l03/(240R2)
圆曲线相对切线内移量p = l02/(24R)
扩展资料：
曲线要素，道路工程术语；是曲线的几个技术指标：如半径、缓和曲线、转角、圆曲线长、平曲线长、切线长、外距、切曲差、曲线的主点（变坡点）桩号。
曲线要素广泛应用于道路桥梁设计、施工测量中。
曲线要素又分为平曲线要素、竖曲线要素。
圆曲线各要素计算公式：
T=Rtan(A÷2)
L=π÷180(RA)
E0=R÷Cos(A÷2) -R
Q=2T-L。
曲线坐标计算一、 圆曲线圆曲线要素：α---------------曲线转向角R---------------曲线半径根据α及R 可以求出以下要素：T----------------切线长L----------------曲线长E----------------外矢距q----------------切曲差两切线长与曲线全长之差 各要素的计算公式为：︒⋅=180παR L 弧长)12(sec -=αR E sec α=cos α的倒数圆曲线主点里程：ZY=J D －TQZ=ZY ＋L ／2 或 QZ=JD －q /2YZ=QZ ＋L ／2 或 YZ=JD ＋T －qJD=QZ ＋q ／2校核用1、基本知识◆ 里程：由线路起点算起,沿线路中线到该中线桩的距离; ◆ 表示方法：DK26＋284.56;“+”号前为公里数,即26km,“+”后为米数,即284.56m;CK ——表示初测导线的里程;DK ——表示定测中线的里程;Ｋ——表示竣工后的连续里程;铁路和公路计算方法略有不同;2、曲线点坐标计算偏角法或弦切角法已知条件：起点、终点及各交点的坐标;1计算ZY、YZ点坐标通用公式：2计算曲线点坐标①计算坐标方位角i 点为曲线上任意一点;li 为i 点与ZY点里程之差;弧长所对的圆心角弦切角弦的方位角当曲线左转时用“-”,右转时用“+”;②计算弦长③计算曲线点坐标此时的已知数据为：ZY x ZY,y ZY、 ZY- i、C;根据坐标正算原理：切线支距法这种方法是以曲线起点ZY或终点YZ为坐标原点,以切线为X轴,以过原点的半径为Y轴,则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：利用坐标平移和旋转,该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：式中：α为ZYYZ点沿线路前进方向的切线方位角;当起点为ZY时,“±”取“＋”,X0=XZY, Y0=YZY, 曲线为左偏时应以y i=-y i 代入；当起点为YZ时,“±”取“-”,X0=XYZ, Y0=YYZ, 曲线为左偏时应以y i=-y i代入；注：1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半2、切线性质圆的切线与过切点的半径相垂直3、弦切角定理弦切角等于它所夹弧上的圆周角4、弧长公式由L/πR=n°/180°得L=n°πR/ 180°=nπR/180 二、缓和曲线回旋线缓和曲线主要有以下几类：A：对称完整缓和曲线基本形------切线长、ls1与ls2都相等;B: 非对称完整缓和曲线---------------切线长、ls1与ls2都不相等C: 非完整缓和曲线卵形曲线----连接两个同向、半径不等的圆的缓和段所组成的卵形曲线D: 回头曲线------------回头曲线是一种半径小、转弯急、线型标准低的曲线形式,其转角接近、等于或大于180度;1、基本形缓和曲线基本公式：ρ=A2/l A=√Rlsρ为缓和曲线上任意点的曲率半径A为回旋线参数l为缓和曲线上任意点到起点ZH的距离弧长ls为缓和曲线的全长切线角公式：缓和曲线直角坐标任意一点P 处取一微分弧段ds ,其所对应的中心角为d β x dx=dscos β xdy=dssin β x缓和曲线常数主曲线的内移值p 及切线增长值q内移值：p=Y s-R1-cosβs=l s2/24R切线增长值：q=X s-Rsinβs=l s/2-ls3/240R2缓和曲线的总偏角及总弦长总偏角：βs=l s/2R • 180／Π总弦长：C s=l s-l s3/90R2缓和曲线要素计算切线长外距曲线长圆曲线长切线差平曲线五个基本桩号：ZH ——HY ——QZ ——YH ——HZ缓和曲线主点里程：ZH=JD-T HY=ZH+Ls YH=HY+Ly HZ=YH+LsQZ=ZH+L总/2=HZ-L总/2 JD=QZ+q/2校核缓和曲线上任意点坐标计算切线支距法：以缓和曲线起点ZHHZ点为坐标原点,起点的切线为x 轴,过原点的垂直于切线的垂线为y轴建立坐标系,则缓和曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：利用坐标平移和旋转,该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：式中：α为ZHHZ点沿线路前进方向的切线方位角;当起点为ZH时,“±”取“＋”,X0=XZH, Y0=YZH, 曲线为左偏时应以y i=-y i 代入；当起点为HZ时,“±”取“-”,X0=XHZ, Y0=YHZ, 曲线为左偏时应以y i=-y i代入；曲线上任意点的方位角αi=αZH或HZ±ββ为切线角±为右转“﹢”左转“﹣”当点位于圆曲线上,有：其中, , 为点到坐标原点的曲线长;2、非对称完整缓和曲线由于受特殊地形和地物条件限制采用对称缓和曲线型平曲线难以与地形条件相结合,于是引入非对称缓和曲线型平曲线;非对称缓和曲线在计算时较困难,不能简单套用对称缓和曲线的公式;以下阐述非对称缓和曲线几何要素和任意点坐标及方位角的计算原理;1计算原理如图1所示,平曲线由非对称缓和曲线Ls1、Ls2及半径R的圆曲线组成,JD为平曲线切线交点,转角α;由于平曲线两端的缓和曲线不等长,因此在计算平曲线各要素时就不能简单套用等长缓和曲线的计算公式;平曲线各要素计算：注：第一式最后一项应+q1根据交点坐标和切线长计算缓和曲线起点ZH或HZ坐标：XZH=XJD+T1×COSαYZH=YJD+T1×Sinαα为JD～ZH方位角XHZ=XJD+ T2×COSαYZH=YJD+T2×Sinαα为JD～HZ方位角曲线上任意点坐标按基本型缓和曲线的切线支距法和坐标变换、旋转来计算求出;3、非完整缓和曲线卵形曲线卵形曲线是指在两个同向、半径不等的圆曲线间插入一段不完整的缓和曲线,即卵形曲线是缓和曲线的一段,在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段;首先需要计算出实际并不存在只是在计算过程中起辅助作用的完整缓和曲线段的起点即ZH或HZ点桩号、坐标和切线方位角;这样卵形曲线段的计算就转化为完整缓和曲线段的计算;（1）卵形曲线参数式中：R大,R小为卵形曲线相连的两圆曲线半径,为非完整缓和曲线段即卵形曲线段长度;（2）与相对应的完整缓和曲线的长度为（3）卵形曲线的起点Q接大半径圆的点至假设存在的完整缓和曲线起点ZH或HZ点的弧长为或=－（4）与对应的弦长为又因为βQ-------切线角ΔQ-------切点Q至假设起点ZHHZ的弦切角故可得,Q点至ZH点的方位角ZH点的切线方位角Q点至HZ点的方位角HZ点的切线方位角求得卵形曲线起点Q 至ZHHZ 的弦长和方位角后,则ZHHZ 点的坐标为 求出假设的ZHHZ 点的坐标后,就可以根据基本形缓和曲线的计算方法来计算曲线上任意点的坐标;上面的公式3到11是以不完整缓和曲线的起点Q 接大圆点来计算假设的完整缓和曲线起点ZHHZ 的坐标;也可以以接小圆的缓和曲线终点YHHY 来计算起点ZHHZ 坐标;如下：① 与相对应的完整缓和曲线的长度为 ② 与对应的的弦长为 总弦长： C s = l s -l s 5/90R 2 l s 2= l s -l s 3/90R 2③ 接小圆的YHHY 点的切线角总偏角： βs =l s /2R • 180／Π④ 接小圆的YHHY 点到假设起点ZHHZ 的弦切角⑤ 设接小圆的YHHY 点为Z,则Z 点至ZH 点的方位角 αZ-ZH=αZ ＋180±Rl b s 3200==δ ⑥ ZH 点的切线方位角αZH=αZ ±βZ⑦ Z 点至HZ 点的方位角αZ-HZ=αZ ±Rl b s 3200==δ ⑧ HZ 点的切线方位角αHZ=αZ ±βZ⑨ ZHHZ 点的坐标为 设接小圆的YHHY 点为ZXZH或HZ=XZ+ C s cosαZ-ZHHZYZH或HZ=YZ+ C s SinαZ-ZHHZ C s为弦长注：卵形曲线上大圆包含小圆,也就是说接小圆处的曲率半径为R小,沿大圆方向曲率半径渐大;假设的完整缓和曲线的起点ZHHZ在大圆那边;4、回头曲线什么是回头曲线回头曲线是一种半径小、转弯急、线型标准低的曲线形式,其转角接近、等于或大于180度;在实际中,我们确实经常在山区道路碰到回头曲线,基本的感觉就是一个急弯,并且转了一百八十度,跟掉头差不多,也就是前面描述的：转角接近、等于或大于180度;下图是湘西“公路奇观”的连续回头曲线;这里所讨论的回头曲线,主要是基于其平面坐标计算的特殊性而言的,它只有一个定义,就是：转角大于或等于180度,由于实际使用中很少有转角正好等于180度的情况,所以就是指转角大于180度这种情况了;为什么这么定义呢,因为一般情况下,交点与曲线的关系是：交点在曲线的外侧,即便是转角接近180度,它的交点也在曲线外侧,如下图：而当转角等于180度时,则成为两条平行线,没有交点,或者说无限远,其曲线位置不具有唯一性,这种情况实际中几乎不会采用；而当转角大于180度时,则交点的位置就比较特殊了,如下图：这个图中,JD1和JD3是普通情况下的交点,均在曲线的外侧,而JD2的转角大于180度,其位置在曲线的内侧,这种情况,才是本此讨论的回头曲线;回头曲线的计算1曲线要素的计算先看一个案例,邵怀高速公路溆浦连接线二级公路,有一个回头曲线,其曲线设计参数如下：JD5,交点坐标X=3046429.812,Y=450083.958,转角224°08′21.8″左转,半径60m,缓和曲线长35m,曲线ZH点桩号K49+302.600,切线方位角359°23′17.9″,平面图形如下所示：交点桩号：ZH点桩号K49+302.600加上切线长T,结果为K49+169.972;从这个计算结果来看,我们发现与一般曲线要素不同的地方是：1．切线长T和外距E为负值；2．交点桩号比ZH点桩号小;设计文件中的直曲表数据也表明了这一点：2中桩坐标的计算虽然回头曲线的曲线要素与普通曲线有一些特别的地方,但现在我们更关心的是,按照普通平曲线的中桩坐标计算公式,能否计算出准确的结果;答案肯定是不能的,否则我也不会写这篇文章,在这里白费神了;中间具体的计算过程我就不展示了,按照普通平曲线的中桩坐标计算公式,能够计算出各个桩号的坐标,只可惜是错误的结果;按照这个错误的结果,展示该回头曲线的图形如下：回头曲线的处理回头曲线按照普通曲线中桩坐标计算方法不能得到正确的结果,原因在于它的交点实际在曲线内侧,而程序则把它当作普通曲线来处理,从上面那个图形即可看出;处理的方法很简单,就是把回头曲线一分为二,分成两个普通曲线,如下图所示,将JD5对称地分为JD5a和JD5b;这样,只要把JD5 a和JD5b当作普通曲线交点进行计算就行了;首先需要确定JD5 a和JD5b的相关参数,先看JD5a;1计算终点;显然,JD5a的计算终点就是回头曲线的曲中点,从设计文件直曲表上可查得,是K49+437.459；2本交点桩号;JD5a的桩号嘛,应该是回头曲线的ZH点加上JD5a曲线的第一切线长;回头曲线的ZH点在直曲表上有,K49+302.600,而JD5a曲线的第一切线长,那就需要计算一下了;根据示意图,由于图形的对称性,JD5a和JD5b的切线长有两个：T1和T2,JD5a的曲线要素为：半径R=60m,第一缓和曲线Ls1=35m,第二缓和曲线Ls2=0m,交点转角是回头曲线转角的一半,即224°08′21.8″/2=112°04′10.9″,可计算得：T1=106.865m,T2=89.986m;则JD5a的桩号= 49302.600+106.865=49409.4653本交点X/Y坐标;根据坐标正算原理,按照几何关系,已知JD5的坐标为X=3046429.812,Y=450083.958,JD5-JD5a的距离=106.865+132.628=239.493m,JD5-JD5a的坐标方位角359°23′17.9″,容易得出JD5a的坐标为：X=3046669.291,Y=450081.401;4交点之前直线方位角,就是JD5-JD5a的坐标方位角359°23′17.9″也是JD5ZH点的方位角;5交点转角;交点转角是回头曲线转角的一半,即224°08′21.8″/2=112°04′10.9″,左转;6平曲线半径及缓和曲线长度;半径R=60m,第一缓和曲线Ls1=35m,第二缓和曲线Ls2=0m;7交点计算起终点桩号;就是曲线的起终点桩号,49302.600~49437.459到此,JD5a数据搞定;JD5b的数据,计算方法和前面基本一致,结果如下：计算终点：49572.318；交点桩号：49527.445；交点坐标：X=3046599.893,Y=449915.348；交点之前直线方位角：247°19′07″；交点转角：112°04′10.9″,左转；半径R=60m, Ls1=0m,第二缓和曲线Ls2=35m；交点计算起终点桩号：49437.459~49572.318;参数数据计算出来后,就可以按普通平曲线的计算方法来计算出回头曲线上任意点的坐标;案例当中回头曲线逐桩坐标表：。
曲线坐标计算一、 圆曲线 圆曲线要素：α---------------曲线转向角R---------------曲线半径根据α及R 可以求出以下要素：T----------------切线长L----------------曲线长E----------------外矢距q----------------切曲差两切线长与曲线全长之差 各要素的计算公式为：︒⋅=180παR L 弧长)12(sec -=αR E sec α=cos α的倒数圆曲线主点里程：ZY=JD －TQZ=ZY ＋L ／2 或 QZ=JD －q /2YZ=QZ ＋L ／2 或 YZ=JD ＋T －qJD=QZ ＋q ／2校核用1、基本知识◆ 里程：由线路起点算起,沿线路中线到该中线桩的距离;◆ 表示方法：DK26＋;“+”号前为公里数,即26km,“+”后为米数,即284.56m;CK ——表示初测导线的里程;DK ——表示定测中线的里程;Ｋ——表示竣工后的连续里程;铁路和公路计算方法略有不同;2、曲线点坐标计算偏角法或弦切角法已知条件：起点、终点及各交点的坐标;1计算ZY、YZ点坐标通用公式：2计算曲线点坐标①计算坐标方位角i 点为曲线上任意一点;li 为i 点与ZY点里程之差;弧长所对的圆心角弦切角弦的方位角当曲线左转时用“-”,右转时用“+”;②计算弦长③计算曲线点坐标此时的已知数据为：ZY x ZY,y ZY、 ZY- i、 C;根据坐标正算原理：切线支距法这种方法是以曲线起点ZY或终点YZ为坐标原点,以切线为X 轴,以过原点的半径为Y轴,则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：利用坐标平移和旋转,该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：式中：α为ZYYZ点沿线路前进方向的切线方位角;当起点为ZY时,“±”取“＋”,X0=XZY, Y0=YZY, 曲线为左偏时应以yi=-yi代入；当起点为YZ 时,“±”取“-”,X0=XYZ, Y0=YYZ, 曲线为左偏时应以yi=-yi代入；注：1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半2、切线性质圆的切线与过切点的半径相垂直3、弦切角定理弦切角等于它所夹弧上的圆周角4、弧长公式由 L/πR=n°/180°得L=n°πR/ 180°=nπR/180二、缓和曲线回旋线缓和曲线主要有以下几类：A：对称完整缓和曲线基本形------切线长、ls1与ls2都相等;B: 非对称完整缓和曲线---------------切线长、ls1与ls2都不相等C: 非完整缓和曲线卵形曲线----连接两个同向、半径不等的圆的缓和段所组成的卵形曲线D: 回头曲线------------回头曲线是一种半径小、转弯急、线型标准低的曲线形式,其转角接近、等于或大于180度;1、基本形缓和曲线基本公式：ρ=A2/l A=√Rlsρ为缓和曲线上任意点的曲率半径A为回旋线参数l为缓和曲线上任意点到起点ZH的距离弧长ls为缓和曲线的全长切线角公式：缓和曲线直角坐标任意一点P 处取一微分弧段ds ,其所对应的中心角为d β xdx=dscos β xdy=dssin β x缓和曲线常数主曲线的内移值p 及切线增长值q内移值：p=Y s-R1-cosβs=l s2/24R切线增长值：q=X s-Rsinβs=l s/2-ls3/240R2缓和曲线的总偏角及总弦长总偏角：βs=l s/2R 180／Π总弦长：C s=l s-l s3/90R2缓和曲线要素计算切线长外距曲线长圆曲线长切线差平曲线五个基本桩号：ZH ——HY ——QZ ——YH ——HZ缓和曲线主点里程：ZH=JD-T HY=ZH+Ls YH=HY+Ly HZ=YH+LsQZ=ZH+L总/2=HZ-L总/2 JD=QZ+q/2校核缓和曲线上任意点坐标计算切线支距法：以缓和曲线起点ZHHZ点为坐标原点,起点的切线为x轴,过原点的垂直于切线的垂线为y轴建立坐标系,则缓和曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：利用坐标平移和旋转,该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：式中：α为ZHHZ点沿线路前进方向的切线方位角;当起点为ZH时,“±”取“＋”,X0=XZH, Y0=YZH, 曲线为左偏时应以yi=-yi代入；当起点为HZ 时,“±”取“-”,X0=XHZ, Y0=YHZ, 曲线为左偏时应以yi=-yi代入；曲线上任意点的方位角αi=αZH或HZ±ββ为切线角±为右转“﹢”左转“﹣”当点位于圆曲线上,有：其中, , 为点到坐标原点的曲线长;2、非对称完整缓和曲线由于受特殊地形和地物条件限制采用对称缓和曲线型平曲线难以与地形条件相结合,于是引入非对称缓和曲线型平曲线;非对称缓和曲线在计算时较困难,不能简单套用对称缓和曲线的公式;以下阐述非对称缓和曲线几何要素和任意点坐标及方位角的计算原理;1计算原理如图1所示,平曲线由非对称缓和曲线Ls1、Ls2及半径R的圆曲线组成,JD 为平曲线切线交点,转角α;由于平曲线两端的缓和曲线不等长,因此在计算平曲线各要素时就不能简单套用等长缓和曲线的计算公式;平曲线各要素计算：注：第一式最后一项应 +q1根据交点坐标和切线长计算缓和曲线起点ZH或HZ坐标：XZH=XJD+T1×COSαYZH=YJD+T1×Sinαα为JD～ZH方位角XHZ=XJD+ T2×COSαYZH=YJD+T2×Sinαα为JD～HZ方位角曲线上任意点坐标按基本型缓和曲线的切线支距法和坐标变换、旋转来计算求出;3、非完整缓和曲线卵形曲线卵形曲线是指在两个同向、半径不等的圆曲线间插入一段不完整的缓和曲线,即卵形曲线是缓和曲线的一段,在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段;首先需要计算出实际并不存在只是在计算过程中起辅助作用的完整缓和曲线段的起点即ZH或HZ点桩号、坐标和切线方位角;这样卵形曲线段的计算就转化为完整缓和曲线段的计算;（1）卵形曲线参数式中：R大,R小为卵形曲线相连的两圆曲线半径,为非完整缓和曲线段即卵形曲线段长度;（2）与相对应的完整缓和曲线的长度为（3）卵形曲线的起点Q接大半径圆的点至假设存在的完整缓和曲线起点ZH 或HZ点的弧长为或 =－（4）与对应的弦长为又因为βQ-------切线角ΔQ-------切点Q至假设起点ZHHZ的弦切角故可得,Q点至ZH点的方位角ZH点的切线方位角Q点至HZ点的方位角HZ点的切线方位角求得卵形曲线起点Q至ZHHZ的弦长和方位角后,则ZHHZ点的坐标为求出假设的ZHHZ点的坐标后,就可以根据基本形缓和曲线的计算方法来计算曲线上任意点的坐标;上面的公式3到11是以不完整缓和曲线的起点Q 接大圆点来计算假设的完整缓和曲线起点ZHHZ 的坐标;也可以以接小圆的缓和曲线终点YHHY 来计算起点ZHHZ 坐标;如下：① 与相对应的完整缓和曲线的长度为 ② 与对应的的弦长为 总弦长： C s = l s -l s 5/90R 2 l s 2= l s -l s 3/90R 2③ 接小圆的YHHY 点的切线角总偏角： βs =l s /2R 180／Π④ 接小圆的YHHY 点到假设起点ZHHZ 的弦切角⑤ 设接小圆的YHHY 点为Z,则Z 点至ZH 点的方位角αZ-ZH=αZ ＋180±Rl b s3200==δ ⑥ ZH 点的切线方位角αZH=αZ ±βZ⑦ Z 点至HZ 点的方位角αZ-HZ=αZ ±Rl b s3200==δ ⑧ HZ 点的切线方位角αHZ=αZ ±βZ⑨ ZHHZ 点的坐标为 设接小圆的YHHY 点为ZXZH 或HZ=XZ+ C s cos αZ-ZHHZYZH 或HZ=YZ+ C s Sin αZ-ZHHZ C s 为弦长注：卵形曲线上大圆包含小圆,也就是说接小圆处的曲率半径为R 小,沿大圆方向曲率半径渐大;假设的完整缓和曲线的起点ZHHZ在大圆那边;4、回头曲线什么是回头曲线回头曲线是一种半径小、转弯急、线型标准低的曲线形式,其转角接近、等于或大于180度;在实际中,我们确实经常在山区道路碰到回头曲线,基本的感觉就是一个急弯,并且转了一百八十度,跟掉头差不多,也就是前面描述的：转角接近、等于或大于180度;下图是湘西“公路奇观”的连续回头曲线;这里所讨论的回头曲线,主要是基于其平面坐标计算的特殊性而言的,它只有一个定义,就是：转角大于或等于180度,由于实际使用中很少有转角正好等于180度的情况,所以就是指转角大于180度这种情况了;为什么这么定义呢,因为一般情况下,交点与曲线的关系是：交点在曲线的外侧,即便是转角接近180度,它的交点也在曲线外侧,如下图：而当转角等于180度时,则成为两条平行线,没有交点,或者说无限远,其曲线位置不具有唯一性,这种情况实际中几乎不会采用；而当转角大于180度时,则交点的位置就比较特殊了,如下图：这个图中,JD1和JD3是普通情况下的交点,均在曲线的外侧,而JD2的转角大于180度,其位置在曲线的内侧,这种情况,才是本此讨论的回头曲线;回头曲线的计算1曲线要素的计算先看一个案例,邵怀高速公路溆浦连接线二级公路,有一个回头曲线,其曲线设计参数如下：JD5,交点坐标X=,Y=,转角224°08′″左转,半径60m,缓和曲线长35m,曲线ZH 点桩号K49+,切线方位角359°23′″,平面图形如下所示：交点桩号：ZH点桩号K49+加上切线长T,结果为K49+;从这个计算结果来看,我们发现与一般曲线要素不同的地方是：1．切线长T和外距E为负值；2．交点桩号比ZH点桩号小;设计文件中的直曲表数据也表明了这一点：2中桩坐标的计算虽然回头曲线的曲线要素与普通曲线有一些特别的地方,但现在我们更关心的是,按照普通平曲线的中桩坐标计算公式,能否计算出准确的结果;答案肯定是不能的,否则我也不会写这篇文章,在这里白费神了;中间具体的计算过程我就不展示了,按照普通平曲线的中桩坐标计算公式,能够计算出各个桩号的坐标,只可惜是错误的结果;按照这个错误的结果,展示该回头曲线的图形如下：回头曲线的处理回头曲线按照普通曲线中桩坐标计算方法不能得到正确的结果,原因在于它的交点实际在曲线内侧,而程序则把它当作普通曲线来处理,从上面那个图形即可看出;处理的方法很简单,就是把回头曲线一分为二,分成两个普通曲线,如下图所示,将JD5对称地分为JD5a和JD5b;这样,只要把JD5 a和JD5b当作普通曲线交点进行计算就行了;首先需要确定JD5 a和JD5b的相关参数,先看JD5a;1计算终点;显然,JD5a的计算终点就是回头曲线的曲中点,从设计文件直曲表上可查得,是K49+；2本交点桩号;JD5a的桩号嘛,应该是回头曲线的ZH点加上JD5a曲线的第一切线长;回头曲线的ZH点在直曲表上有,K49+,而JD5a曲线的第一切线长,那就需要计算一下了;根据示意图,由于图形的对称性,JD5a和JD5b的切线长有两个：T1和T2, JD5a的曲线要素为：半径R=60m,第一缓和曲线Ls1=35m,第二缓和曲线Ls2=0m,交点转角是回头曲线转角的一半,即224°08′″/2=112°04′″,可计算得：T1=106.865m,T2=89.986m;则JD5a的桩号= +=3本交点X/Y坐标;根据坐标正算原理,按照几何关系,已知JD5的坐标为X=,Y=,JD5-JD5a的距离=+=239.493m,JD5-JD5a的坐标方位角359°23′″,容易得出JD5a的坐标为：X=,Y=;4交点之前直线方位角,就是JD5-JD5a的坐标方位角359°23′″也是JD5ZH 点的方位角;5交点转角;交点转角是回头曲线转角的一半,即224°08′″/2=112°04′″,左转; 6平曲线半径及缓和曲线长度;半径R=60m,第一缓和曲线Ls1=35m,第二缓和曲线Ls2=0m;7交点计算起终点桩号;就是曲线的起终点桩号,~到此,JD5a数据搞定;JD5b的数据,计算方法和前面基本一致,结果如下：计算终点：；交点桩号：；交点坐标：X=,Y=；交点之前直线方位角：247°19′07″；交点转角：112°04′″,左转；半径R=60m, Ls1=0m,第二缓和曲线Ls2=35m；交点计算起终点桩号：~;参数数据计算出来后,就可以按普通平曲线的计算方法来计算出回头曲线上任意点的坐标;案例当中回头曲线逐桩坐标表：。
圆曲线要素及计算公式 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第二章圆曲线要素及计算公式如图2-1所示，两相邻直线偏角（线路转向角）为，选定其
图2-1
连接曲线圆曲线的半径为R，这样，圆曲线和两直线段的切点位置ZY点、YZ点便被确定下来，我们称为对圆曲线相对位置起控制作用的直圆点ZY、圆直点YZ 和曲中点QZ为圆曲线三主要点。
我们称R、α以及具体体现三主要点几何位置的切线长T、曲线长L、外矢距E和切曲差（切线长和曲线长之差）D为曲线6要素。
只要知道了曲线6要素，便可于实地测放出圆曲线。
现将圆曲线的元素列下：
：转向角（实地测出）
R：曲率半径（设计给出）
T：切线长（计算得出）
L：曲线长（计算得出）
D：切曲差（计算得出）
偏角是在线路祥测时测放出的，圆曲线半径R是在设计中根据线路的等级以及现场地形条件等因素选定的，其余要素可根据以下公式计算：。
