第5讲.第二轮复习之函数图像上点的存在性问题中的特殊三角形和特殊四边形.提高班.学生版

`中考说明：从07到13年我们发现各区模拟和中考中有很多考题通过距离来限制动点的位置．比如寻找等腰三角形的顶点等等． 一、线段定值问题：初中知识涉及点到点的距离，点到线的距离，平行线的距离，距离问题可分为以下几类： ① 动点P 到定点O 的距离等于定长d ，其实就是作圆（如图1）． ② 动点P 到定直线l 的距离等于定长d ，其实就是作平行线（如图2）． ③ 动点P 到两定平行直线的距离倍差，其实是作平行线（图略）． ④ 动点到两相交直线的距离相等，其实就是作角平分线．（如图3）⑤ 动点到三角形三边的距离相等，其实就是三角形的内切圆圆心和旁切圆圆心（如图4）．Pd O 图1图2P 2P 1ld d图3角平分线角平分线角平分线 角平分线图4I 3I 2I 1I二、线段最值问题： 题型一： 已知AB a =，AC b =，其中a b <，求BC 的最值．如图，以点A 为圆心，线段AB 为半径作圆， A ⊙交直线AC 于点1B 、2B ，当点B 与点1B 重合时，BC 取到最大值为a b +；当点B 和点2B 重合时，BC 取到最小值为b a -．点评：首尾相连线段求最值，其实就是旋转共线，不重则大，重叠则小．题型二： 4第二轮复习之函数图像上点的存在性问题 中的距离、面积与角度题型一：存在问题中的距离B 1B 2CB A B在直线l 上找一点P ，使得其到直线同侧两点A B 、的距离之和最小，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，与l 的交点即为P 点．题型三： 直线12l l 、交于O ，P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找一点A B 、，使得PAB △的周长最短．如图所示，作P 点关于12l l 、的对称点12P P 、，连接12P P ，与12l l 、分别交于A B 、两点，即为所求．题型四：直线12l l 、交于O ，A B 、是两直线间的两点，从点A 出发，先到1l 上一点P ，再从P 点到2l 上一点Q ，再回到B 点，求作P Q 、两点，使AP PQ QB ++最小．如图所示，作A B 、两点分别关于直线12l l 、的对称点A B ′′、，连接A B ′′分别交12l l 、于P Q 、，即为所求． 点评：同侧定点问题通过轴对称转化成异侧定点，才能和直线相交．题型五：从A 点出发，先到直线l 上的一点P ，再在l 上移动一段固定的距离PQ ，再到点B ，求作P 点使移动的距离最短，如图所示．先将A 点向右平移到A ′点，使AA ′等于PQ 的长，作点B 关于l 的对称点B ′，连接A B ′′，与直线l 的交点即为Q 点，将Q 点向左平移线段PQ 的长，即得到P 点．题型六：A B 、是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d 的河上垂直建一座桥，使得从A 村庄经过桥到B 村庄所走的路程最短．如图所示，将点A 向垂直于河岸的方向向下平移距离d ，到A ′点，连接A B ′交河岸于Q 点，过Q 点作PQ 垂直于河岸，交河岸的另一端为P ，即为所求． 点评：若有定长，则按着定长的方向平移掉定长．题型七：垂线段最短．AB ≥AM+BNNBMA斜边大于直角边C B A垂线段最短Ol 1l 2QPB'A'B AOBA P 2P 1P l 2l1B'A'QPBAl典题精练【例1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线223A，两点．P，(02)=++经过(35)y mx mx n⑴求此抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；⑶在⑵的条件下，求到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标．【例2】 已知抛物线21y ax bx =++经过点()13A ，和点()21B ，．⑴求此抛物线解析式；⑵点C 、D 分别是x 轴和y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值； ⑶过点B 作x 轴的垂线，垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE试确定点F 的位置，使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．（要求：简述确定F 点位置的方法，但不要求证明）y x331221O 1FGy xE H D 1OCBA中考说明：经过分析统计近三年北京模拟题和外地中考题，发现二次函数综合题中涉及面积的题目所占比例极大，其原因大致有两点：一是面积可以通过底和高来限制线段，二是特殊图形面积计算也是中考的考查点．【例3】 抛物线223y x x =--+与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），与y 轴交于点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．典题精练题型二：存在问题中的面积【例4】 如图，已知抛物线212y x bx c =++（b ，c 是常数，且0c <）与x 轴分别交于点A ，B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(10)-，． ⑴ b ＝ ，点B 的横坐标为 （上述结果均用含c 的代数式表示）；⑵ 连接BC ，过点A 作直线AE BC ∥，与抛物线212y x bx c =++交于点E ．点D 是x轴上一点，其坐标为()20，，当C ，D ，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；⑶ 在⑵的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连接PB ，PC ，设所得△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为整数，则这样的△PBC 共有 个．O D C B A y x1.【存在问题中的角度---特殊角】中考说明：单个特殊角θ一般指30︒、45︒、60︒等，初中阶段主要考察如何利用特殊角度去构造特殊三角形，从而解决相关问题；初高中衔接知识是特殊直线tan y x m θ=⋅+与抛物线()20y ax bx c a =++≠的交点.【例5】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为抛物线2y x =上一动点，点A 的坐标为()42，，若点P 使45AOP =︒∠，请求出点P 的坐标．典题精练构造特殊三角形特殊角度45°30°题型三：存在问题中的角度AxO y2．【存在问题中的角度---构造角度相等或角度和】【例6】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点． ⑴求直线BC 及抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；⑶连接CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数．题型一 存在问题中的距离 巩固练习【练习1】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过()20A ，、()40B ，两点，直线122y x =+交y 轴于点C ，且过点(8)D m ，． ⑴求抛物线的解析式；⑵在x 轴上找一点P ，使CP DP +的值最小，求出点P 的坐标；⑶将抛物线2y x bx c =++左右平移，记平移后点A 的对应点为A '，点B 的对应点为B '，当四边形A B DC ''的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A B DC ''周长的最小值．题型二 存在问题中的面积 巩固练习【练习2】 如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点()33A ，，把直线OA 向下平移后， 与反比例函数的图象交于点()6B m ，，与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点. 复习巩固⑴求m 的值；⑵求过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；⑶若点E 是抛物线上的一个动点，是否存在点E ，使凸四边形OECD 的面积1S 是四边形OACD 面积S 的23?若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．题型三 存在问题中的角度 巩固练习【练习3】 如图，点P 是直线l ：22y x =--上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2y x =于A 、B两点．⑴ 若直线m 的解析式为1322y x =-+，求A ，B 两点的坐标；⑵ ① 若点P 的坐标为()2t -，．当PA AB =时，请直接写出点A 的坐标；② 试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上能找到点A ，使得PA AB =成立．⑶ 设直线l 交y 轴于点C ，若AOB △的外心在边AB 上，且BPC OCP ∠=∠，求点P 的 坐标．ml yxOB APO xylm第十八种品格：坚持铁杵成针相传唐代大诗人李白在小的时候很贪玩，不爱读书，也不求上进。

`中考说明：函数图象上因动点产生的特殊三角形（包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形）. 解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.【例1】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP △为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】 由等腰三角形两腰相等，线段MC 可分别充当“腰”与“底”的角色，分别以M 、C 为圆心，以MC 的长为半径画圆与对称轴的交点，以及线段MC 的垂直平分线与对称轴的交点为P 点.【解析】 存在符合条件的P 点由()03C ，，()10M -，，∴CM ①当CM CP =时， ()116P -，②当MC MP =时，(21P -，(41P --，③当PC PM =时，连接3CP ，过C 作对称轴的垂线， 由勾股定理可得3513P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．典题精练5第二轮复习之函数图像上点的存在性问题中的特殊三角形与特殊四边形题型一：存在问题中的三角形综上所述，符合条件的点P 的坐标为()116P -，，(21P -，3513P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，(41P --，.【例2】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），在抛物线223y x x =--+上是否存在一点Q ，使得△BCQ 为直角三角形？若存在，请用尺规作出所有符合条件的点Q ，并求出以BC 为直角边时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】 由直角三角形一个角为直角，BC 可充当直角边和斜边的角色，当BC 为直角边，分别过B 、C 两点作线段BC 的垂线，与抛物线的交点即为Q 点；当BC 为斜边，以BC 为直径所画的圆与抛物线的交点即为Q 点.【解析】 存在符合条件的Q 点，所有符合条件的点Q由()14D -，，()03C ，可知，DC CB ⊥，∴1Q 坐标为()14-，由()30B -，，()03C ，易得， 2BQ 的解析式为3y x =--，联立可得2233y x x y x ⎧=--+⎨=--⎩解得25x y =⎧⎨=-⎩或30x y =-⎧⎨=⎩（舍） 可得2Q 坐标为()25-，．综上所述，以BC 为直角边时点Q 的坐标为1Q (14-，【例3】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），设J 为y 轴正半轴上的一个动点，请在抛物线223y x x =--+上求一点K ，使得OKJ △为等腰直角三角形.【分析】 线段OJ 可以充当“斜边”和“直角边”的角色．当OJ 为直角边时，又存在两种情况：90KJO ∠=︒或90KOJ ∠=︒．因此，共有6种情况．【解析】 ⑴当OJ 为直角边时，90KJO ∠=︒或90KOJ ∠=︒．若90KOJ ∠=︒，则K 与A 或B 重合， ∴()130K -，，()210K ，．若90KJO ∠=︒，则45KOJ ∠=︒，分别作COB ∠与COA ∠的角平分线交抛物线于两点，即为34K K ，，直线3OK 与直线4OK 解析式分别为y x =-、y x =， 分别与抛物线解析式联立，可得3K 坐标为⎝⎭，4K 坐标为⎝⎭． ⑵当OJ 为斜边时，45KOJ ∠=︒，K 点坐标同上34K K ，． 综上所述，所求的点K 坐标为()130K -，，()210K ，，3K ⎝⎭，4K ⎝⎭.中考说明：函数图象上因动点产生的特殊四边形（包括平行四边形、梯形）问题.解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.【例4】 已知抛物线：x x y 22121+-= ⑴ 求抛物线1y 的顶点坐标.⑵ 将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式.⑶ 如下图，抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是 否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存 在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由.（2013南平）【解析】（1）依题意 0,2,21==-=c b a ∴2)21(222=-⨯-=-ab ，2)21(4204422=-⨯-=-ab ac ∴顶点坐标是（2，2）（2）根据题意可知典题精练题型二：存在问题中的四边形y 2解析式中的二次项系数为21- 且y 2的顶点坐标是（4，3） ∴y 2＝－3)4(212+-x ，即：y 2＝54212-+-x x（3）符合条件的N 点存在如图：若四边形OPMN 为符合条件的平行四边形，则OP ∥MN ，且MN OP = ∴BMN POA ∠=∠， 作x PA ⊥轴于点A ，x NB ⊥轴于点B∴090=∠=∠MBN PAO ，则有NMB POA ∆≅∆（AAS ） ∴BN PA =∵点P 的坐标为（4,3）∴3==PA NB ……10分 ∵点N 在抛物线1y 、2y 上，且P 点为1y 、2y 的最高点 ∴符合条件的N 点只能在x①点N 在抛物线1y 上，则有：32212-=+-x x 解得：102-=x 或102+=x ②点N 在抛物线2y 上，则有：33)4(212-=+--x 解得：324-=x 或324+=x ∴符合条件的N 点有四个：)3,324();3,102();3,324();3,102(4321-+-+----N N N N【例5】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，设R 为抛物线223y x x =--+上一个动点，则以点M 、R 、B 、C 为顶点的四边形能否是梯形？若能，请求出所有符合条件的点R 的坐标；若不能，请说明理由.【分析】 由梯形为一组对边平行，另一组对边不平行.可分别过B 、C 、M 作对边的平行线与抛物线相交，当过B 、C 两点作平行线时，所形成的四边形恰为平行四边形，需舍去．【解析】 存在这样的R 点使得以点M 、R 、B 、C 为顶点的四边形是梯形．当过B 、C 两点作平行线时，所形成的四边形恰为平行四边形，需舍去.当过M 作BC 的平行线，与抛物线的交点即为R ，此时BC RM ≠， 四边形2BCR M 与1BCMR 均为梯形，如图.由MR 的解析式为1y x =+，与223y x x =--+联立，可得1R ⎝⎭，2R ⎝⎭．【例6】 如图，在平面直角坐标系xOy中，点,1)A 关于x 轴的对称点为C ，AC 与x 轴交于点B ，将△OCB 沿OC 翻折后，点B 落在点D 处． ⑴求点C 、D 的坐标；⑵求经过O 、D 、B 三点的抛物线的解析式； ⑶若抛物线的对称轴与OC 交于点E ，点P 为线段OC 上一点，过点P 作y 轴的平行线， 交抛物线于点Q ．①当四边形EDQP 为等腰梯形时，求出点P 的坐标；②当四边形EDQP 为平行四边形时，直接写出点P 的坐标．（昌平一模）【解析】 x∴AC ⊥x 轴于B ，0)B ，1)C -． ∴1,BC AB OB ===．∴2,130,360OC =∠=︒∠=︒，由题意可知 2130∠=∠=︒，OD OB ==．过点D 作DM x ⊥轴于M ，DN y ⊥轴于N ，∴30NOD ∠=︒． 在Rt OND △中，12DN OD ==32ON =．由矩形ONDM得OM DN ==．∵点D在第四象限，∴32)D -． ⑵ 设经过O 、D 、B 三点的抛物线的解析式为2y ax bx =+．依题意得334230a a ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩解得2a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩∴此抛物线的解析式为22y x =-． ⑶∵22322(2y x x =-=-， ∴点D 为抛物线的顶点．∴直线DM 为抛物线的对称轴，交OC 于E ， 由题意可知 4360∠=∠=︒，90ODC ∠=︒， ∴60OEM ∠=︒， ∴660∠=︒， ∴760∠=︒，∴EDC △是等边三角形，830∠=︒．∴112CE DE OE OC ====．①当点1P 在EC 上时，四边形11EDQ P 为等腰梯形．∵11DM y PQ ∥∥，1EP 与1DQ 不平行， ∴四边形11EDQ P 为梯形．要使梯形11EDQ P 为等腰梯形，只需满足1660EDQ ∠=∠=︒． ∵760∠=︒，∴点1Q 在DC 上．由1)C -、3,2)D -求得直线CD的解析式为2y x =-． 又∵点1Q在抛物线上，∴222x --．解得12x x ==D 重合，舍）． ∴1P．由(0,0)O、1)C -求得直线OC的解析式为y =． ∵点1P 在OC 上，∴23y ==-，∴12,)3P -．②当点2P 在OE 上时，四边形22EDQ P 为平行四边形， 点2P 在点2Q 的上方，且22P Q ED =，22P Q ED ∥()221x x --=解得1x =，2x =（与点D 重合，舍）此时2P 点坐标为21,)3P -．综上所述，当12,)3P -时，11EDQ P 为等腰梯形；当21,)3P -时，22EDQ P 为平行四边形．训练1. 如图，抛物线2y x bx c =++的顶点为(14)D --，，与y 轴相交点(03)C -，，与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边）． ⑴求抛物线的解析式；⑵连接AC ，CD ，AD ，试证明ACD △为直角三角形；⑶若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A B E F ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（广东湛江）【解析】 ⑴ 24(1)3b c c ⎧-=--+⎨=-⎩解得23b c =⎧⎨=-⎩，所以抛物线的解析式为223y x x =+-； ⑵ 因为223y x x =+-，可得(30)A -，，所以有222222222(03)(3)18(13)(4)20(01)(34)2AC AD DC =-+-==-++-==++-+= 所以222AD DC AC =+，所以ACD △为直角三角形；⑶ 可知4AB =，下面需要分类讨论：情况一：线段AB 为所求四边形的对角线， 因为平行四边形的对角线互相平分，点E 在对称轴上，点F 在抛物线上，且点A 、B 关于对称轴对称， 故EF 要平分线段AB ，故点F 为顶点()14--，满足条件. 情况二：线段AB 为所求四边形的边，则AB EF ∥且AB EF =假设存在这样的点F ，设2000(23)F x x x +-，，所以200(123)E x x -+-，， 要使以A B E F ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形， 只需要4AB EF ==，即0|1|4x +=，所以03x =或05x =-，因此点F 的坐标为(312)，或(512)-，. 综上所述，符合条件的点F 为：()14--，，(312)，，(512)-，.思维拓展训练(选讲)训练2. 已知：抛物线2(1)22y k x kx k =-++-与x 轴有两个不同的交点．⑴求k 的取值范围；⑵当k 为整数，且关于x 的方程31x kx =-的解是负数时，求抛物线的解析式；⑶在⑵的条件下，若在抛物线和x 轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x 轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长．（顺义一模）【解析】 8k -，依题意，得10k ⎨-≠⎩∴k 的取值范围是23k >且1k ≠． ①⑵ 解方程31x kx =-，得13x k-=-．∵方程31x kx =-的解是负数，∴30k ->． ∴3k <． ② 综合①②，及k 为整数，可得2k =． ∴抛物线解析式为24y x x =+．⑶ 如图，设最大正方形ABCD 的边长为m ，则B 、C 两点的纵坐标为m -，且由对称性可知：B 、C 两点关于抛物线对称轴对称． ∵抛物线的对称轴为：2x =-．∴点C 的坐标为(2,)2mm -+-．∵C 点在抛物线上，∴2(2)4(2)22m mm -++-+=-．整理，得24160m m +-=．∴2m ==-±12m =-+，22m =--2m =．题型一 存在问题中的三角形 巩固练习【练习1】 在如图的直角坐标系中，已知点()10A ，，()02B -，，将线段AB 绕点A 按逆时针方 向旋转90︒至AC ．⑴求点C 的坐标；⑵若抛物线2122y x ax =-++经过点C ．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外），使ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（重庆綦江）90CAD BAO +∠=︒，, 而90ABO BAO ∠+∠=︒，∴CAD ABO ∠=∠，又∵90CDA AOB ∠=∠=︒，且由已知有CA AB =， ∴ACD BAO △≌△，∴1CD OA ==，2AD BO ==， ∴点C 的坐标为()31-，⑵ ①∵抛物线2122y x ax =-++经过点()31C -，，∴2113322a -=-⨯++，解得12a =∴抛物线的解析式为211222y x x =-++.② i) 当A 为直角顶点时 ，延长CA 至点1P ，使1AP AC AB ==, 则1ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形,如果点1P 在抛物线上,则1P 满足条件，过点1P 作1PE x ⊥轴, ∵1AP AC =，1EAP DAC ∠=∠，190PEA CDA ∠=∠=︒ ∴1EP A DCA △≌△，∴2AE AD ==，11EP CD ==,复习巩固∴可求得1P 的坐标为()11-，，经检验1P 点在抛物线上，因此存在点1P 满足条件； ii ）当B 点为直角顶点时，过点B 作直线L BA ⊥，在直线L 上分别取23BP BP AB ==， 得到以AB 为直角边的等腰直角2ABP △和等腰直角3ABP △， 作2P F y ⊥轴于点F ，同理可证2BP F ABO △≌△ ∴22P F BO ==，1BF OA ==，可得点2P 的坐标为()21--，，经检验2P 点在抛物线上, 因此存在点2P 满足条件． 同理可得点3P 的坐标为()23-，， 经检验3P 点不在抛物线上．综上：抛物线上存在点()111P -，，()221P --，两点，使得1ABP △和2ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形．题型二 存在问题中的四边形 巩固练习【练习2】 如图，已知抛物线23y x bx a =+-过点()10A ，，()03B -，，与x 轴交于另一点C ．⑴求抛物线的解析式；⑵若在第三象限的抛物线上存在点P ，使PBC △为以点B 为直角顶点的直角三角形，求点P 的坐标；⑶在⑵的条件下，在抛物线上是否存在一点Q ，使以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（山东烟台）【解析】 ⑴ 13033b a a +-=⎧⎨-=-⎩解得12a b =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为223y x x =+- ⑵ 令0y =，得2230x x +-= 解得13x =-，21x =∴点()30C -， ∵()03B -，∴BOC △为等腰直角三角形． ∴45CBO =︒∠过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D ．∵PB BC ⊥，∴45PBD =︒∠，PD BD = 所以可设点()3P x x -+，则有2323x x x -+=+-，∴11x =-，20x =（舍） 所以P 点坐标为()14--，．⑶ 由⑵知，BC BP ⊥当BP 为直角梯形一底时，由图象可知点Q 不可能在抛物线上， 若BC 为直角梯形一底，BP 为直角梯形腰时， ∵()30B -，，()30C -， ∴直线BC 的解析式为3y x =-- ∵直线PQ BC ∥，且()14P --， ∴直线PQ 的解析式为5y x =--联立方程组得2523y x y x x =--⎧⎨=+-⎩得2523x x x --=+- 解得11x =-（舍），22x =-∴2x =-，3y =-，即点()23Q --，∴符合条件的点Q 的坐标为()23--，．第十八种品格：坚持愚公移山太行、王屋两座大山，四周各七百里，高七八百千丈。

二次函数中特殊图形的存在性教学目标1．学会二次函数中特殊图形的存在性问题的分析方法2．掌握三角形与四边形的存在性问题的解法重、难点三角形与四边形的存在性问题的解法知识梳理1．两点之间的距离公式如图所示，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在平面直角坐标系中，那么AB＝．2．中点坐标公式如图，点A（x1，y1），B（x2，y2），点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（，）．3．“两线一圆”模型如图，线段AB，在平面内找一点C使得△ABC为直角三角形．这样的点C的集合如下图所示（分别过点A，B作线段AB的垂线，并以AB为直径画圆，除点A，B以外的点都可以与点A，B构成直角三角形，这个模型简称“两线一圆”）．4．平行四边行顶点坐标关系如图，四边形ABCD为平行四边形，顶点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．①因为平行四边行的对角线互相平分，所以点O为AC和BD的中点，根据中点坐标公式可以得出：＝，＝，即x1＋x3＝x2＋x4，y1＋y3＝y2＋y4；②因为BC可以看做AD平移得到的，所以点A的对应点为点B，点D的对应点为点C，根据平移的坐标关系可以得出：x2－x1＝ x3－x4，y2－y1＝y3－y4．一、直角三角形的存在问题知识点讲解1：直角三角形的存在问题例 1. 如图，已知直线y＝x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．同步练习：1. 如图，抛物线y＝－x2－ x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．知识点讲解2：平行四边形的存在问题例 1. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（－2， 0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．例2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3a（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC．（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；（2）将线段BC先向左平移2个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，求此时点C1的坐标和m的值；（3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标．同步练习1. 如图，抛物线y＝x2＋x－与x轴相交于A，B两点，顶点为P．（1）求点A，B的坐标；（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积，若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标．课后练习如图，抛物线与x轴交于A（5，0），B（－1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y＝2x于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y＝2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．1.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．2.如图，P是抛物线y＝﹣x2＋x＋2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB 周长的最大值为．3.如图，已知直线y＝3x﹣3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式：（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形?若不存在，请说明理由：若存在，求出点M的坐标．4.如图，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标．（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．。

三角函数二轮复习建议三角函数内容主要有两块；一是三角函数的图象和性质，二是三角恒等变换．近三年高考中基本上是一个小题（三角函数的图象与性质）、一个大题（三角恒等变换），大都是容易题和中等题，难度不大，容易得分，也是必须要得分的．第1~2课时 三角函数的图象和性质基本题型一：求三角函数的周期例 1 函数f (x )＝3sin(2x ＋π3)的最小正周期为 ；图象的对称中心是 ；对称轴方程是 ；当x ∈[0，π2]时，函数的值域是 ． 说明：1．函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图像与参数A ，w ，ϕ的关系；通过换元可将y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图象转化为对y ＝A sin x 的图象的研究．2．对于三角函数的图象与性质，周期性是最本质的内容，周期与一个最高点就可决定决定整个三角函数的图象．3．此类问题呈现的形式有三种：①正面呈现，象例1的形式；②给出函数的一部分性质，如已知直线y ＝a (0＜a ＜A )与函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图象的三个相邻交点的横坐标为2，4，8，写出函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的一个单调增区间；③以图象形式呈现，给出函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的一部分图象．例2 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的图象(部分)如图所示，则ω＝_________，φ＝_________．说明：方法一 由图知T ＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，从而2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6． 方法二 由图知T ＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，所以f (x )的图像可以看作是sin x 的图像向右移了π6个单位，即向左移了11π6个单位，．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6． 基本策略：根据函数的图像先确定振幅A ，再确定周期T ．利用周期求出角速度ω，最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值．一般不用平衡点(零点)来确定．三角函数图像的变换，每一次变换前，应先将“已知”函数一般化，写成f (x )的形式，再分别按照f (x )→f (x －a )，f (x )→f (ωx )，f (x )→f (x )＋k ，f (x )→Af (x )的变化特征写出变换后的函数解析式．例3 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ．问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？说明：对于此类以图形为背景的应用题，重点应放在变量的选择上．例4 已知函数f (x )＝2sin x (sin x －cos x )＋2，x ∈R ．（1）求函数f (x )的最小正周期；（2）求函数在区间[π8，3π4]上的最大值和最小值； （3）若f (α)＝3－425，0＜α＜π2，求cos2α的值． 说明：此类题型的考查要求虽然不高，不要深挖，但在二轮复习中还要涉及一点．基本策略：利用恒等变形，化为“一个角的一个三角函数的一次式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (ω＞0，0≤φ＜2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法．其中，对于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的单调性，要用整体化的观点，将ωx ＋φ看作是一个角的大小，结合y ＝sin x 的单调区间和ωx ＋φ关于x 的单调性进行判断．第3~4课时 三角恒等变换例1 cos(－600°)＝ ．说明：利用诱导公式将其转化为特殊角的三角函数值，也可根据三角函数定义利用数形结合直接求值．例2 若3cosα＋4sinα＝5(0＜α＜π)，求tan(α＋π4)的值． 说明：1．重视最基本方法的运用，即把cosα，sinα当成未知数，通过解方程组求得cosα，Csinα；2．在三角函数求值中要注意两点：①根据角之间的关系选择适当的三角变换；②根据角所在象限确定三角函数值的符号，要加以说明（题目条件中已经给定，角的范围太大，需要由几个条件或解题过程中得到的结论共同确定）．例3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x的最小值为 ． 说明：利用二倍角公式对f (x )进行化简，转化为用基本不等式求解的最值问题．例4 已知tan(π4＋α)＝12． (1)求tan α的值；(2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．基本策略：在化简过程中，通过变角、变名、变次，换元等将其转化为最简单的三角函数或简单的初等函数．第5~6课时 解三角形 例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3．（1）求△ABC 的面积；（2）若c ＝1，求a 的值．例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝3． （1）求sin C 的值；（2）求△ABC 的面积．说明：1．根据条件，结合图形灵活选择正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．2．向量中有关概念的理解，公式的正确使用．例3 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ⊥CD ，∠DBC ＝60°，AB ＝23，BD ＝4，求CD 的长．说明：这种以图形为载体的三角函数求值问题（与解三角形联系）在高考中也是一种常见题型，其关键是要弄清图中各种量（边、角）之间的关系，合理选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换进行求解．例4 (08上海)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120o 的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．说明基本策略：条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．在三角应用题中，应根据已知条件构造确定的三角形，构造的依据是全等三角形的条件．在二轮复习过程中，对于三角函数的复习应突出以下重点：1．三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性等性质以及图像的对称性，充分体现数形结合的思想．2．三角函数与代数、几何、向量的综合联系，尤其是以图形为背景的一类数学问题．3．三角恒等变换的核心是根据角之间的关系，选择适当的三角公式，在求值时应强调三角函数值的符号由角所在象限确定．4．上述一些例题仅供参考，教学中应适当增加一些相似题、变式题，同时还需选择一定量的练习加以巩固．5．本单元二轮专题和课时建议：AO D B C H A O D B C A O D B C。

《函数图象中的点的存在性问题》（第 1 课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容两类三角形在函数图象中的点的存在性问题.2.内容解析本节课设想定位在中考第二轮专题复习中进行. 针对等腰三角形和直角三角形在函数图象中涉及的点的存在性问题，通过引导学生针对不同类型的三角形的性质特点，归纳出常见的解答点的存在性问题的基本思路，感受分类思想，方程思想在此类问题中的运用. 等腰三角形主要运用对顶角顶点的位置选择的分类；直角三角形则主要根据直角顶点的位置选择进行分类. 分类思路比较自然合理，对于解答相关的点的存在性问题有很大的帮助.基于以上分析，本节课的教学重点是：两类三角形在函数图象中的点的存在性问题的分类方法.二、目标和目标解析1.教学目标（1）理解两类三角形在函数图象中的点的存在性问题的分类方法；（2）通过独立思考，动手操作，合作探究，体会分类、方程、建模等数学思想.2.目标解析达成（1）的标志是：能够运用两类三角形在函数图象中的点的存在性问题的分类方法解决相关问题.达成（2）的标志是：通过画图及对图形的观察、对问题的分析，能够运用分类讨论解决两类三角形在函数图象中的点的存在性问题.三、教学问题诊断分析两类三角形在函数图象中的点的存在性问题经常出现在解答题的压轴部分，有一定的抽象性. 其存在性对于学生的创造性思维有较高的要求. 同时，此类问题由于自身的开放性，往往存在一题多解. 因此，合理对问题进行分析并准确得出解答的所有可能性比较困难.本节课的教学难点是：分类讨论思想在点的存在性问题中的运用（按顶角顶点分类求等腰三角形，按直角顶点分类求直角三角形）.四、教学条件支持分析利用几何画板动态演示图形的变化过程，增强学生的几何直观，促使解答生成的自然合理.五、教学过程设计yCA BO1. 目标导入，明确任务 本节课的学习目标： （1） 理解两类三角形在函数图象中的点的存在性问题的分类方法； （2） 通过独立思考，动手操作，合作探究，体会分类、方程、建模等数学思想. 师生活动：教师 PPT 展示本节课的学习目标，学生大声朗读. 设计意图：通过朗读学习目标，学生能够明确本节课的学习任务.2. 复习热身，梳理知识课前任务：展示等腰三角形的性质，相似三角形的性质以及勾股定理组成的知识结构框 图.师生活动：学生展示课前完成的知识结构图，教学与学生一起进行点评，补充或纠正. 设计意图：通过回顾两类三角形的常用性质，做好课前热身，为课堂后续的学习讨论提 供知识储备，锻炼学生的自主归纳能力.3. 交流研讨，题串解疑问题 1（顶角顶点分类）．已知抛物线 y = - 3 x 2+ 3x + 3 经 8 4过 A （-2，0）、B （4，0）、C （0，3）三点. 在 y 轴上是否存在点 M ，使△ACM 为等腰三角形？若存在，请直接写出满足要求 x的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.解题思路：引导讨论：假设点 M 存在. 要确定点 M 的位置，关键是判断哪两条边为腰. 为了确定腰的位置，可以通过确定顶角来完成. 对于△ACM ： ①若点 A 为顶角顶点，此时可得相等的两腰为 = . 锦囊：如图 1，点 A 落在 CM 的垂直平分线上，利用对称性突破问题.②若点 C 为顶角顶点，此时可得相等的两腰为 =.锦囊：如图 2，点 C 落在坐标轴上，利用画圆找交点突破问题. 注意此处存在多解.y MC OA M'x③若点 M 为顶角顶点，此时可得相等的两腰为= .锦囊：如图 3，点 M 在 AC 垂直平分线与对应的 坐标轴的交点处，利用三角函数或相似突破问题.yCDMA O x图 1 图 2 图 3师生活动：教师动态展示图形的变化过程，学生小组研讨，组长组织本组成员核对答案，纠正或补充解题过程，教师巡堂，指导.解：假设点 M 存在.（1）如图 1，若点 A 为顶角顶点，此时可得，AC =AM . 易知点 M 与点 C 关于 x 轴对称. 因此，M （0，-3）.（2）如图 2，若点 C 为顶角顶点，此时可得，CA =CM . 因为 所以 M （0，3 + ）或 M’（0，3 − ）.（3）如图 3，若点 M 为顶角顶点， 可得，MA =MC . 取 AC 中点 D ，易得5综上所述，点 M 的坐标分别为（0，-3），（0，3 + ），（0，3 − ），（0， 6）. 总结追问：1. 本题中的分类依据是什么？ 2. 每种情况下的大致的解答思路是什么？3. 在上述的每种类别里，你还有其他的解答方法吗？设计意图及方法总结：通过问题串和几何画板展示，引导学生对腰的选择进行分类归结到顶角顶点分类. 得出对于给定的两个已知点，它们作为顶角的顶点时，通过画圆的方式容易确定动点的位置，再根据顶角顶点的不同位置选择不同方法突破；对于没给定的点 M ，通过画垂直平分线与坐标轴的交点的方法来确定位置，再根据勾股定理、三角函数或者相似的方法来突破. 最后通过追问和归纳，让学生形成此类分类问题的基本解题思路.变式 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 D （3，4），点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点 P 的坐标.（说明：本题只需做好基本分类，不需要写出详细的解答过程. 详细的解答过程作为课后作业独立完成. ）解题思路：y CAOxMyDOx解：假设点 P 存在. （1） 点 O 为顶角顶点. 此时，OD =OP . （2） 点 D 为顶角顶点. 此时，DO =DP . （3） 点 P 为顶角顶点. 此时，PO =PD .设计意图：通过变式，巩固根据顶角顶点进行分类讨论的基本思路，感受深化分类讨论的思想.三垂直模型：AB问题 2（ 直角顶点分类）. 如图，过点 C （ 0 ， 2 ）的抛物线1 3y = - x 2 + 2 2 x + 2 与直线 A D 交于 A （-1，0）、D （3，2）两点. 在 y轴上是否存在点 P 使得△PAD 是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.解题思路：引导讨论：假设点 P 存在. 要确定点 P 的位置，关键是判断哪两条边互相垂直. 为此， 可以通过确定哪个角作为直角来完成. 对于△PAD ： ① 若点 A 为直角顶点，此时可得，⊥.yC DA BOx锦囊：如图 4，过点A 作直线平行于y 轴，过点P、D，分别作直线平行于x 轴，构造出一个三垂直模型. 利用相似突破问题.②若点D 为直角顶点，此时可得，⊥.锦囊：如图 5，过点D 作直线平行于y 轴，过点P、A，分别作直线平行于x 轴，构造出一个三垂直模型. 利用相似突破问题.③若点P 为直角顶点，此时可得，⊥.锦囊：如图 6，过点P 作直线平行于x 轴，过点D、A，分别作直线平行于y 轴，构造出一个三垂直模型. 利用相似突破问题. 此类情况由于自身的特点，存在两个解，可通过画出以AD 为直径的圆来加深理解.师生活动：教师动态展示图形的变化过程，学生小组研讨，组长组织本组成员核对答案，纠正或补充解题过程，教师巡堂，指导.解：设点P 坐标为（0，y）.（1）如图 4，若点A 为直角顶点，此时可得，DA⊥AP. 过点A 作直线平行于y 轴，过点P、D，分别作直线平行于x 轴. 由相似可得，−y= 1. 解得y=-2. 所以，P（0，-2）.4 2（2）如图 5，若点D 为直角顶点，此时可得，PD⊥DA. 过点D 作直线平行于y 轴，过点P、A，分别作直线平行于x 轴. 由相似可得，3 = y−2.解得y=8. 所以，P（0，8）.2 4（3）如图 6，若点P 为直角顶点，此时可得，AP⊥PD. 过点P 作直线平行于x 轴，过点D、A，分别作直线平行于y 轴. 由相似可得， 1 = y.解得y=3 或y=-1. 所以，P（0，3）或P‘（0，-1）.y−2 3综上所述，点P 的坐标为（0，-2），（0，8），（0，3），（0，-1）.总结追问：1. 本题中的分类依据是什么？ 2. 每种情况下的大致的解答思路是什么？3.在上述的每种类别里，你还有其他的解答方法吗？比如，勾股定理能否应用在其中？如果能，它与相似法对比有什么优劣？设计意图及方法总结：通过问题串和几何画板动态展示，引导学生通过对直角边的选择进行分类归结到直角顶点的分类. 得出对于给定的点作为直角顶点时，通过过直角顶点作y 轴的平行线，过其余顶点作x 轴的平行线，构造三垂直模型，进而通过相似突破；对于未给定的点作为直角顶点时，通过过直角顶点作x 轴的平行线，过其余顶点作y 轴的平行线，构造三垂直模型，进而通过相似突破. 在整个过程中感受分类和建模的思想.变式2如图，抛物线y=-x2 +4x-3与x 轴交于A、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点 D . 在抛物线上是否存在一点 P ，使得△BDP 是直角三角形？ 若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.（说明：本题只需做好基本分类，不需要写出详细的解答过程. 详细的解答过程作为课后作业独立完成. ）解题思路：解：假设点 P 存在. （1） 点 B 为直角顶点. 此时，PB ⊥BD . （2） 点 D 为直角顶点. 此时，PD ⊥DB . （3） 点 P 为直角顶点. 此时，BP ⊥PD .设计意图：通过变式，巩固根据直角顶点进行分类讨论的基本思路，感受深化分类讨论的思想.4. 师生交流，捡拾收获请谈谈这节课你有什么收获？师生活动：教师与学生一起回顾本节课研究的内容.设计意图：引导学生总结两类三角形在函数图象中的点的存在性问题的分类方法和基本解题思路，提升学生综合运用知识的能力.5. 布置作业，活学活用独立完成变式 1、变式 2 的完整解答过程.设计意图：巩固本节课所学，加深对等腰三角形和直角三角形在函数图象中的点的存在性问题的分类方法和基本解题思路的理解.选题说明：本教学设计题目选自马学斌编著的华东师范大学出版社 2016 版的《挑战压轴题·中考数学·强化训练篇》. 为了重点突出点的存在性问题的讨论，在尽量保留二次函数背景的前提下，弱化了原题在二次函数解析式求解上的考察。

`中考说明：函数图象上因动点产生的特殊三角形（包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形）. 解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.【例1】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP △为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．典题精练5第二轮复习之函数图像上点的存在性问题中的特殊三角形与特殊四边形题型一：存在问题中的三角形【例2】如图，抛物线223=--+与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点B在点A的左y x x侧），在抛物线223y x x=--+上是否存在一点Q，使得△BCQ为直角三角形？若存在，请用尺规作出所有符合条件的点Q，并求出以BC为直角边时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】如图，抛物线223y x x=--+与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点B在点A的左侧），设J为y轴正半轴上的一个动点，请在抛物线223=--+上y x x Array求一点K，使得OKJ△为等腰直角三角形.中考说明：函数图象上因动点产生的特殊四边形（包括平行四边形、梯形）问题.解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.【例4】 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C .⑴ 求点B 的坐标 (用含m 的代数式表示)；⑵ D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式； ⑶ 在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐 标.典题精练题型二：存在问题中的四边形【例5】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，设R 为抛物线223y x x =--+上一个动点，则以点M 、R 、B 、C 为顶点的四边形能否是梯形？若能，请求出所有符合条件的点R 的坐标；若不能，请说明理由.【例6】如图，在平面直角坐标系xOy中，点,1)A关于x轴的对称点为C，AC与x轴交于点B，将△OCB沿OC翻折后，点B落在点D处．⑴求点C、D的坐标；⑵求经过O、D、B三点的抛物线的解析式；⑶若抛物线的对称轴与OC交于点E，点P为线段OC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q．①当四边形EDQP为等腰梯形时，求出点P的坐标；②当四边形EDQP为平行四边形时，直接写出点P的坐标．题型一 存在问题中的三角形 巩固练习【练习1】 在如图的直角坐标系中，已知点()10A ，，()02B -，，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90︒至AC ． ⑴求点C 的坐标；⑵若抛物线2122y x ax =-++经过点C ．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外），使ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型二 存在问题中的四边形 巩固练习复习巩固【练习2】 如图，已知抛物线23y x bx a =+-过点()10A ，，()03B -，，与x 轴交于另一点C ． ⑴求抛物线的解析式；⑵若在第三象限的抛物线上存在点P ，使PBC △为以点B 为直角顶点的直角三角形，求点P 的坐标；⑶在⑵的条件下，在抛物线上是否存在一点Q ，使以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第十八种品格：坚持愚公移山太行、王屋两座大山，四周各七百里，高七八百千丈。

特殊几何图形存在性问题（专题复习）关于特殊几何图形的存在性问题是近几年中考压轴题中的高频考点，本节课就等腰三角形、直角三角形以及平行四边形这三类几何图形的存在性问题以及其中涉及到的分类技巧与方法进行系统的归纳与复习。

一、 等腰三角形的存在性问题例1 如图，在平面直角坐标系中，分别平行x 、y 轴的两条直线a 、b相交于点A （3,4），连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形， 那么所有满足条件的点P分类：二、 直角三角形的存在性问题例2、如图，AB=6，O 是AB 的中点，直线l 经过点O 一点.当△APB 为直角三角形时，AP 等于多少？分类：三、 平行四边形的存在性问题例3：已知点A （2,0）、B （0,2）、C（0,0）三点（1）在平面直角坐标系下找一点D ，使得A 、B 、C 、D 四点所组成的四边形为平行四边形，写出点D 的坐标（三定一动）（2）已知点H 为x 轴上一点，点G 在函数y=x 的图像上，若A,B,H,G 四点所围成的四边形为平行四边形，求点G 的坐标（两定两动）练习：如图，已知抛物线y=x^2-2x-3与x轴交于点A、B，于y轴交于点C，请解决下列问题：（1）在y轴上是否存在点P，使得△BCP为等腰三角形，若存在，直接写出点P 的坐标（2）在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标（3）若点M在抛物线对称轴上，点N在抛物线上，是否存在以M、C、N、B 四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在求点N小结：通过本节课的复习，让学生掌握等腰、直角、平行四边形这三类几何图形存在性问题的分类依据，在解决综合问题中能熟练的分类准确，做到不重不漏，在分类准确的情况下，在根据等腰的腰相等，直角三角形中的勾股定理，以及平行四边形的中心对称性等列出相应的方程，从而求解出要求解的线段、坐标。

高中数学中的函数像利用函数性质确定特殊点与特殊区间的技巧在高中数学中，函数是一个非常重要的概念。

它可以描述数学关系中的依赖关系，并且具有各种有用的性质。

利用函数的性质，我们可以确定函数的特殊点和特殊区间，从而更好地理解和解决问题。

首先，我们来讨论函数的特殊点。

在函数中，特殊点是指函数的定义域中的一些特殊数值，如零点、最值点、极值点等。

确定特殊点的方法可以根据函数的性质和问题的需求灵活选择。

下面是一些常见的技巧。

1. 找出零点：对于一元函数来说，零点是函数在定义域内使得函数值等于零的点。

要找出函数的零点，可以使用方程求解的方法。

根据函数的定义求解方程即可确定零点的位置。

2. 寻找最值点：最值点是函数在一定区间内取得最大值或最小值的点。

要确定最值点，我们可以使用函数的导数性质。

根据导数的定义和性质，我们可以通过求导和求解方程来找到函数的最值点。

3. 确定极值点：极值点是函数在某个区间内取得极大值或极小值的点。

对于一元函数来说，极值点可以通过导数的一阶导数和二阶导数来确定。

一阶导数为零的点可能是函数的极值点，而二阶导数的正负可以确定极值点的类型。

以上是确定函数的特殊点的一些常见技巧，当然在具体问题中，我们可能需要根据函数的性质和问题的需求来选择使用的方法。

接下来，我们来讨论函数的特殊区间的确定。

特殊区间指函数在定义域上存在一些特殊性质的区间，如增减区间、凹凸区间等。

同样，确定特殊区间的方法可以根据函数的性质和问题的需求有所变化。

下面是一些常见的技巧。

1. 确定增减区间：增减区间指函数在定义域上的上升和下降区间。

通过函数的导数性质，我们可以找到函数的一阶导数为零的点，并根据一阶导数的正负来确定增减区间。

一阶导数大于零时，函数在该区间上升；一阶导数小于零时，函数在该区间下降。

2. 找出凹凸区间：凹凸区间指函数在定义域内的凹凸性质。

通过函数的二阶导数性质，我们可以找到函数的二阶导数为零的点，并根据二阶导数的正负确定凹凸区间。

【2016年高考考纲解读】三角函数的有关知识大部分是B 级要求，只有函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质是A 级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题. 【重点、难点剖析】 1．记六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆，奇变偶不变，符号看象限．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )3.y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法，设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．(3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总对字母x 而言．(4)把函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意A ，ω的符号及复合函数的单调性规律：同增异减．4．三角函数中常用的转化思想及方法技巧(1)方程思想：sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者中，知一可求二． (2)“1”的替换：sin 2α＋cos 2α＝1. (3)切弦互化：弦的齐次式可化为切. 【题型示例】考点1、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用 【例1】【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．【举一反三】(2015·重庆，9)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 C【变式探究】(1)(2014·辽宁五校联考)已知cos π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34(2)(2014·安徽)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( ) A. 12 B.32 C ．0 D ．－12【命题意图】(1)本题主要考查三角函数的诱导公式及同角基本关系式的应用． (2)本题是函数与三角运算问题，主要考查函数三要素及三角运算． 【答案】(1)B (2)A【解析】(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，∴sin α＝－35，显然α在第三象限，∴cos α＝－45，故tan α＝34.故选B.(2)∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数．又f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12.∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.【感悟提升】1．结合诱导公式与同角基本关系式化简求值的策略 (1)切弦互换法．利用tan α＝sin αcos α进行转化．(2)和积转化法．利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化． (3)常值代换法．其中之一就是把1代换为sin 2α＋cos 2α.同角三角函数关系sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sin αcos α联合使用，可以根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值．根据tan α＝sin αcos α可以把含有sin α，cos α的齐次式化为tan α的关系式．2．化简求值时的“三个”防范措施 (1)函数名称和符号．利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数与锐角的三角函数，其步骤是：去负—脱周—化锐—求值．特别注意解题过程中函数名称和符号的确定．(2)开方．在利用同角三角函数的平方关系时若需开方，特别注意要根据条件进行讨论取舍． (3)结果整式化．解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能化为整式．【变式探究】(1)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________.(2)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________. 【答案】(1)－64 (2)－53【规律方法】在利用诱导公式和同角三角函数关系时，一定要特别注意符号，在诱导公式中是“奇变偶不变，符号看象限”，在同角三角函数的平方关系中，开方后的符号也是根据角所在的象限确定的．题型2、三角函数的图象【例2】(2016·高考全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 【答案】：A【解析】：根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A ，ω与φ的值．由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.【举一反三】 (2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【答案】 B【解析】 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 【变式探究】(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12 B.π3 C.π4D.π6【答案】 D【举一反三】(1)(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在0，π]的图象大致为( )(2)(2014·四川)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式及三角函数的图象，意在考查考生识图、用图的能力．(2)本题主要考查三角函数的图象，意在考查考生的函数图象的变换能力以及三角函数的运算能力．【答案】(1)B (2)A【感悟提升】1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定 (1)A 由最值确定，A ＝最大值－最小值2.(2)ω由周期确定．(3)φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型． 2．作三角函数图象左、右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x 的变化量，因此由y ＝sin ωx (ω>0)的图象得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位．题型三 三角函数的性质及其应用例3．【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【举一反三】(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x 【答案】 A【解析】 A 选项：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.【变式探究】(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】 B【解析】 ∵T ＝2π2＝π，∴B 正确．【举一反三】已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称 B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数 【答案】 C综上知，错误的结论只有C ，故选C.题型四 求三角函数的解析式例4．(2015·陕西，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】 C【解析】 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【答案】 D【解析】 由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确．【举一反三】已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1.于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为 {x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．题型五 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的综合应用例5．【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B【解析】21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而不影响周期．故选B ． 【举一反三】(2015·安徽，10)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ． f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)【答案】 A【变式探究】(2014·湖北，17)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？故在10时至18时实验室需要降温．【举一反三】(2015·天津，15)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 【解析】 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎪⎫12cos 2x＋32sin 2x－12cos 2x＝34sin 2x－14cos 2x＝12sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－π6.所以f (x)的最小正周期T＝2π2＝π.。

`中考说明：函数图象上因动点产生的特殊三角形（包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形）. 解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.【例1】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP △为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），在抛物线223y x x =--+上是否存在一点Q ，使得△BCQ 为直角三角形？若存在，请用尺规作出所有符合条件的点Q ，并求出以BC 为直角边时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），设J 为y 轴正半轴上的一个动点，请在抛物线223y x x =--+上求一点K ，使得OKJ △为等腰直角三角形.典题精练第二轮复习之函数图像上点的存在性问题中的特殊三角形与特殊四边形题型一：存在问题中的三角形K 4K 3J 4J 3J 2J 1y B (K 1)A (K 2)C O x中考说明：函数图象上因动点产生的特殊四边形（包括平行四边形、梯形）问题.解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.【例4】 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C .⑴ 求点B 的坐标 (用含m 的代数式表示)；⑵ D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式； ⑶ 在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐 标.典题精练题型二：存在问题中的四边形CAOBxyC A O Bxy【例5】 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，设R 为抛物线223y x x =--+上一个动点，则以点M 、R 、B 、C 为顶点的四边形能否是梯形？若能，请求出所有符合条件的点R 的坐标；若不能，请说明理由.【例6】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(3,1)A 关于x 轴的对称点为C ，AC 与x 轴交于点B ，将△OCB 沿OC 翻折后，点B 落在点D 处． ⑴求点C 、D 的坐标；⑵求经过O 、D 、B 三点的抛物线的解析式； ⑶若抛物线的对称轴与OC 交于点E ，点P 为线段OC 上一点，过点P 作y 轴的平行线， 交抛物线于点Q ．①当四边形EDQP 为等腰梯形时，求出点P 的坐标；②当四边形EDQP 为平行四边形时，直接写出点P 的坐标．OyxAMD xyO C BAR 2R 1题型一 存在问题中的三角形 巩固练习【练习1】 在如图的直角坐标系中，已知点()10A ，，()02B -，，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90︒至AC ． ⑴求点C 的坐标；⑵若抛物线2122y x ax =-++经过点C ．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外），使ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．CBAOyx复习巩固题型二 存在问题中的四边形 巩固练习【练习2】 如图，已知抛物线23y x bx a =+-过点()10A ，，()03B -，，与x 轴交于另一点C ． ⑴求抛物线的解析式；⑵若在第三象限的抛物线上存在点P ，使PBC △为以点B 为直角顶点的直角三角形，求点P 的坐标；⑶在⑵的条件下，在抛物线上是否存在一点Q ，使以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。

三角函数与解三角形1．三角函数（1)以正弦函数、余弦函数、正切函数为载体，考查函数的定义域、最值、单调性、对称性、周期性．（2）考查三角函数式的化简，三角函数的图象的性质以及平移和伸缩变换． 2．解三角形（1)利用正余弦定理进行三角形边和角的计算，三角形形状的判断、面积的计算，以及有关的参数的范围．（2）考查运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、三角函数 1．公式（1）诱导公式：(2）同角三角函数关系式：22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα=（3）两角和与差的三角函数：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+（4)二倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan ααα=- （5)降幂公式：21cos2sin2αα-=，21cos2cos2αα+=2．三角函数性质3．函数y=A sin(ωx+φ)的图象及变换（1）φ对函数y=sin(x+φ)的图象的影响（2)ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响（3）A(A>0)对y=A sin(ωx+φ)的图象的影响4．函数y =A sin(ωx +φ)的性质（1）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)中参数的物理意义(2）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)的有关性质二、解三角形 1．正余弦定理（为外接圆半径）； ；，，；，，；；;；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1)已知两角一边,用正弦定理，只有一解．（2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在ABC△中,已知，和角A时，解得情况如下：上表中A为锐角时，，无解．A为钝角或直角时，，均无解．（3）已知三边,用余弦定理，有解时，只有一解．(4）已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解．3．三角形中常用的面积公式（1）（表示边上的高)；(2）；（3）(为三角形的内切圆半径）．4．解三角形应用题的一般步骤一、选择题．1．若1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（)A ．79-B ．23C ．23-D ．79【答案】A【解析】1sin cos cos 32363ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 2217cos 2cos 22cos 12136639πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A ．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想， 属于基础题．2．函数()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（）A．1BC． D ．3【答案】B【解析】因为()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()2sin sin 22sin 2sin cos 44444f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令4x πθ=+，则()2sin 2sin cos 2sin sin 2f θθθθθθ=+=+,则()()222cos 2cos 222cos 12cos 4cos 2cos 2f θθθθθθθ'=+=-+=+-，令f ′(θ)=0,得cos 1θ=-或1cos 2θ=,经典训练题（70分钟）当11cos 2θ-<<时，f ′(θ)<0；1cos 12θ<<时，f ′(θ)>0，所以当1cos 2θ=时，f (θ)取得最大值,此时sin 2θ=，所以()max2f x =，故选B ．【点评】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，解答的关键是利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最值． 3．已知锐角ϕ满足cos 1ϕϕ-=．若要得到函数()()21sin 2f x x ϕ=-+的图象,则可以将函数1sin 22y x =的图象（） A ．向左平移7π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移7π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度【答案】A 【解析】由cos 1ϕϕ-=,知2sin()16πϕ-=，即1sin()62πϕ-=， ∴锐角3πϕ=，故()()221112sin sin cos(2)22323f x x x x ππϕ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭，又12117cos(2)sin(2)sin(2)232626x x x πππ+=-+=+, ∴()17sin(2)26f x x π=+，故f(x)是将1sin 22y x =向左平移7π12个单位长度得到，故选A ．【点评】由辅助角公式化简已知条件求锐角ϕ，根据f(x)的函数式，应用二倍角、诱导公式将f(x)化为正弦型函数，即可判断图象的平移方式．4．已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)，(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，f (x )的图象过,14A π⎛⎫ ⎪⎝⎭,5,14B π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到g (x )的图象，则函数g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()A ．−√2B ．√2C ．−√3D ．−1【答案】A【解析】由图象知，5244T πππ=-=，∴T =2π,则1ω=, ∴f (x )=2sin (x +φ)，将点,14A π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入得，2sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，∴12πϕ=-,则()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 将f (x )的图象向左平移712π个单位得到函数()72sin 2sin 2cos 12122g x x x xπππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为32cos 4π=,故选A ．【点评】本题主要考查三角函数图象，需要利用三角函数的周期性以及对称性进行处理,再结合图象的平移,三角函数的单调性进行解题,本题属于中档题．5．已知函数f (x )=sin ωx −√3cos ωx （0ω>，x ∈R ）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移3π个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g (x )的图象，则下列关于函数g (x )的命题中正确的是（） A ．函数g (x )是奇函数B ．g (x )的图象关于直线6x π=对称C ．g (x )在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．当,66ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数g (x )的值域是[0,2］ 【答案】B【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由题意知函数周期为π，则2T ππω==，2ω=，从而()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移3π个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数()2sin π3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，g (x )不是奇函数，A 错；g (x )在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是单调递增，C 错;,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数g (x )的值域是[1，2］,D 错；g (x )的图象关于直线π6x =对称，B 对，只有选项B 正确，故选B ．【点评】本题考查三角函数,图象的变换，以及图象的性质，属于中档题．6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ,b ,c ,若3A π=，b =4，△ABC的面积为3√3,则sin B =（）A BC ．13D 【答案】A【解析】1sin 2S bc A ===c =3，由余弦定理可得2222cos 13ab c bc A =+-=,得a =√13，又由正弦定理可得sin sin a b A B=，所以sin sin 13b A B a ==,故选A ．【点评】本题主要考了三角形的面积公式以及余弦定理公式的运用，属于基础题型．7．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ΔABC 的形状为（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 【答案】A【解析】因为在三角形中,sin cos sin CA B<变形为sin sin cos C B A <， 由内角和定理可得sin()cos sin A B A B +<，化简可得sin cos 0A B <，cos 0B ∴<，所以2B π>,所以三角形为钝角三角形，故选A ．【点评】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题．二、填空题．8．已知(0,π)α∈，且有1−2sin 2α=cos 2α，则cos α=_________．【答案】5【解析】2212sin 2cos 214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,π)α∈，所以sin 0α≠， 因此由2πsin 2sin cos sin 2cos tan 20,2ααααααα⎛⎫=⇒=⇒=⇒∈ ⎪⎝⎭，而()22sincos 11αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=2π0,α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此cos 5α=，故答案为5．【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题．9．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴,终边经过点P (3，4)，则tan π2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________．【答案】34-【解析】由三角函数的定义可得4sin 5α==，3cos 5α==,因此,3sin cos 325tan 42sin 4cos 52παπααπαα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+====- ⎪-⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭， 故答案为34-．【点评】本题考查任意角的三角函数的应用，诱导公式的应用，是基本知识的考查．三、解答题．10．已知函数2()cos 222x x xf x =+．(1)求函数f(x)在区间[0，π]上的值域；（2）若方程f(ωx)=√3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，求ω的取值范围． 【答案】（1）2⎡⎤⎣⎦；（2)5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】（1）()2πcos 2sin()2224x x x f x x x x =+-=+=+，令4U x π=+，[]0,x π∈，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，由y =sin U 的图象知,sin U ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即sin 4πx ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 2π4x ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭,所以函数f(x)的值域为2⎡⎤⎣⎦．(2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>, ∵f(ωx)=√3，2sin()4x πω∴+=,即sin()42x πω+=，∵x ∈[0，π]，,444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，且()243x k k ππωπ+=+∈Z 或()2243x k k ππωπ+=+∈Z ， 由于方程f(ωx)=√3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解,所以243ππωπ+≥，解得512ω≥， 所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点评】考查三角函数的值域时，常用的方法:（1）将函数化简整理为f(x)=A sin (ωx +φ),再利用三角函数性质求值域；（2)利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值．11．已知函数()2sin 2cos 232f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数f (x )在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2)若0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1123f πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos 26πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1)递增区间为,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)3-．【解析】（1）由题意得()21sin 2cos 2cos 2sin 2sin 23222f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 2sin 223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 因为5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]20,23x ππ+∈， 令0232x ππ≤+≤，解得,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； 令32232x πππ≤+≤，解得7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；令32223x πππ≤+≤，得75,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 所以函数f (x )在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(2）由（1）知1sin 21263f ππββ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为2π0,β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7π2,66ππ6β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 又因为1π1sin 2632β⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以2,π62ππβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2π6β⎛⎫+== ⎪⎝⎭．【点评】三角函数的化简求值的规律总结:1．给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题； 2．给值求值:即给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系； 3．给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）． 12．在四边形ABCD 中,AB //CD ，AD =CD =BD =1． （1）若32AB =，求BC ；(2）若AB =2BC ，求cos BDC ∠．【答案】（1）2BC =；（2）cos 1BDC ∠=．【解析】（1）在△ABD 中，由余弦定理可得2223cos 24AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，∵CD //AB，∴∠BDC =∠ABD ，在△BCD 中,由余弦定理可得22212cos 2BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=,2BC =．（2)设BC =x ，则AB =2x ，在△ABD 中，22224cos 24AB BD AD x ABD x AB BD x +-∠===⋅， 在△BCD 中,22222cos 22BD CD BC x BDC BD CD +--∠==⋅，由（1）可知,∠BDC =∠ABD ，所以，cos ∠BDC =cos ∠ABD ,即222x x -=，整理可得x2+2x −2=0,因为x >0，解得x =√3−1， 因此，cos cos 1BDC ABD x ∠=∠==．【点评】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角"或“角化边",变换原则如下:（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角"； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4）代数式变形或者三角恒等变换前置；(5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解;（6)同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(2b −c )cos A =acosC．(1）求角A ；（2)若a =√13，b +c =5，求△ABC 的面积． 【答案】（1）π3A =；（2）√3．【解析】（1）在三角形ABC 中，∵(2b −c )cos A =acos C , 由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，化为：()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A C C A C A C B =+=+=, 三角形中sin 0B ≠，解得1cos 2A =，A ∈(0，π)，∴π3A =．（2）由余弦定理得2222cos ab c bc A =+-，∵a =√13，b +c =5，∴13=(b +c )2−3cb =52−3bc，化为bc =4，所以三角形ABC 的面积11sin 4222S bc A ==⨯⨯=【点评】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的综合运用,涉及三角函数恒等变换，属基础题．熟练掌握利用正弦定理边化角，并结合三角函数两角和差公式化简，注意余弦定理与三角形面积公式的综合运用．14．已知△ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin (A +B −C )=c sin (B +C )．（1)求角C 的大小；（2）若2a +b =8，且△ABC 的面积为2√3，求△ABC 的周长．【答案】（1）π3C =；(2)6+2√3．【解析】（1）∵a sin(A +B −C)=c sin(B +C)，sin sin(π2)sin sin A C C A ∴-=，2sin sin cos sin sin A C C C A ∴=， sin sin 0A C ≠,1cos 2C ∴=，0πC <<,π3C ∴=． (2）由题意可得12=∴ab =8，∵2a +b =8联立可得，a =2，b =4，由余弦定理可得c2=12，c =2√3，此时周长为6+2√3．【点评】本题主要考查了三角形的内角及诱导公式在三角形化简中的应用,还考查了三角形的面积公式及余弦定理,属于基础题．15．在△ABC 中，内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2c sin B =3a sin C ，1cos 3C =． （1）求证：△ABC 为等腰三角形;(2）若△ABC 面积为2√2，D 为AB 中点，求线段CD 的长． 【答案】（1）证明见解析;（2）．【解析】(1）由2c sin B =3a sin C ,根据正弦定理可得2cb =3ac ，所以2b =3a ,则32b a =， 又1cos 3C =，根据余弦定理可得222222222913144cos 332322a a c a c abc C ab a a a +--+-====⋅，则222134aa c =-,所以32c a b ==, 因此△ABC 为等腰三角形．（2）因为角C是三角形内角，所以sin C>0，则sin C==因为△ABC面积为2√2，所以113sin222ab C a a==⋅a=2，所以b=c=3，又D为AB中点，所以cos cosADC BDC∠=-∠，则222222333222332222CD CDCD CD⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯⨯⨯⨯，整理得2174CD=,所以CD=．【点评】本题主要考查正余弦定理、三角形的面积公式的综合运用,利用正弦定理进行边角转换等，属于中档题型．16．△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b,c．已知sin cos2Aa C c=．（1)求A；（2)已知b=1，c=3，且边BC上有一点D满足3ABD ADCS S=△△，求AD．【答案】（1）π3A=；(2）4AD=．【解析】（1）因为sin cos2Aa C c=，由正弦定理得sin sin sin cos2AA C C=，因为sin C≠0，所以sin cos2AA=，所以2sin cos cos222A A A=,因为0π22A<<，所以cos02A≠，所以1sin22A=，即π26A=，所以π3A=．(2)设△ABD的AB边上的高为ℎ1，△ADC的AC边上的高为ℎ2,因为3ABD ADCS S=△△，c=3，b=1，所以1211322c h b h⋅=⨯⋅,所以ℎ1=ℎ2，AD 是△ABC 角A 的内角平分线，所以π6BAD ∠=，因为S△ABD=3S △ADC,可知34ABDABC SS =△△， 所以131sin sin 26423ππAB AD AB AC ⨯⨯=⨯⨯⨯，所以4AD =．【点评】关键点点睛:本题考查了正弦定理的边角互化、三角形的面积公式，解题的关键是确定AD 是△ABC 角A 的内角平分线，考查了运算能力．一、选择题．1．已知函数()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象，则g (x )的解析式为(）A ．221124x y +=B ．πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2sin 4π3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移π12个单位得2sin 22sin 21πππ263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到()2in 4πs 3y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,高频易错题故选C ．【点评】在三角函数平移变换中，y =sin ωx 向左平移ϕ个单位得到的函数解析式为y =sin [ω(x +φ)]=sin (ωx +ωφ)，而不是y =sin (ωx +ϕ),考查运算求解能力，是基础题．二、填空题．2．设锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =2，B =2A ，则b 的取值范围为___________． 【答案】(2√2，2√3)【解析】由sin2sin b aA A=，得b =4cos A ,由0290045A A ︒<<︒⇒︒<<︒, 01803903060A A ︒<︒-<︒⇒︒<<︒，故3045cos 2A A ︒<<︒⇒<<,cos A <<b =4cos A ∈(2√2，2√3)．【点评】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目．一、选择题．1．如图,角α，β的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(）A ．cos(α−β)B ．cos(α+β)C ．sin(α−β)D ．sin(α+β)精准预测题【答案】A【解析】由图可知()cos ,sin A αα,()cos ,sin B ββ， 所以cos cos sin sin cos()OA OB αβαβαβ⋅=+=-,故选A ．【点评】本题考查运用向量进行余弦定理的证明，属于基础题型．2．已知()cos 2c 2πos παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则tan π4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（)A ．4-B ．4C ．13-D ．13【答案】C【解析】因为()cos 2c 2πos παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,利用诱导公式可得()sin 2cos αα-=⨯-，即tan 2α=，所以tantan 1214tan 41231tan 4πta πn πααα--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+⋅,故选C ．【点评】本题主要考查诱导公式，正切的两角和差公式的应用，属于基础题．二、解答题． 3．已知函数()22cos 12xf x x =-+． （1）若()π6f αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求tan α的值；（2)若函数f(x)图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12倍得函数g(x)的图象，求函数g(x)在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦得的值域．【答案】(1）；（2）[−1，2]．【解析】（1）()22cos 1cos π2sin 26x f x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，因为()π6f αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以πsin 6αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1cos 22ααα-=，所以−3√3sin α=cos α,所以tan 9α=-．(2)f(x)图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数g(x)的图象,所以g(x)的解析式为()()π22sin 26g x f x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x -≤-≤，则1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以−1≤g(x)≤2，故g(x)在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[−1，2]．【点评】本题主要考查三角恒等变换，同角三角函数的基本关系，函数y =A sin (ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域,属于中档题． 4．设函数()212coscos 5f x x x x =--．（1)求f(x)的最小正周期和值域;（2）在锐角△ABC 中，角A ､B ､C 的对边长分别为a ､b ､c ．若f(A)=−5，a =√3,求△ABC 周长的取值范围．【答案】（1）π,[−4√3+1，4√3+1](2）(3+√3，3√3]． 【解析】（1）()2212coscos 512cos 25f x x x x x x =--=--6cos 221π216x x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，πT ∴=，值域为[−4√3+1，4√3+1]．（2）由f(A)=−5，可得212coscos A A A=，因为三角形为锐角△ABC ，sin A A=，即tan A =π3A =，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得2sin b B =，2π2sin 2sin()3c C B ==-，所以2π12sin sin()2(sin sin )322a b c B B B B B ⎡⎤++=+-=++⎢⎥⎣⎦32(sin cos ))22π6B B B =++=++．因为△ABC 为锐角三角形，所以π02B <<,π02C <<， 即022π3π02πB B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得π6π2B <<， 所以ππ2π363B <+<sin()16πB <+≤，即3)6πB ++≤，所以周长的取值范围为区间(3+√3，3√3]．【点评】在解三角形的周长范围时,将a +b +c 转化为含一个角的三角函数问题，利用三角函数的值域, 求周长的取值范围，是常用解法．。

高三数学图像与性质知识点数学是一门抽象而又具有广泛应用的学科，图像与性质是其中重要的知识点之一。

通过研究数学图像的特性与性质，我们可以更好地理解数学概念，掌握解题方法，提高数学水平。

下面将介绍一些高三数学中常见的图像与性质知识点。

一、函数图像的性质函数是数学中的一种关系。

函数图像的性质是我们研究函数的基础。

常见函数图像的性质有：1. 奇偶性：若函数 f(x) 满足 f(-x) = f(x)，则函数具有偶性；若函数 f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，则函数具有奇性。

奇偶性可以通过函数的图像对称性来判断。

2. 单调性：若函数 f(x) 在区间 I 上任意两点 x₁和 x₂，若 x₁< x₂，则有 f(x₁) <= f(x₂)，则函数 f(x) 在区间 I 上是递增的；若f(x₁) >= f(x₂)，则函数 f(x) 在区间 I 上是递减的。

3. 周期性：若函数 f(x) 满足 f(x + T) = f(x)，其中 T 为常数>0，则函数具有周期性。

其中最常见的是三角函数的周期性。

二、曲线的方程与图像曲线是数学中研究的重要对象，它是函数图像的一种特殊情况。

在高三数学中，我们需要掌握曲线的方程与图像之间的关系。

1. 一次函数：一次函数的方程为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数。

一次函数的图像是一条直线，其斜率 k 决定了直线的斜率，而常数 b 决定了直线与 y 轴的截距。

2. 二次函数：二次函数的方程为 y = ax² + bx + c，其中 a、b 和c 是常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像是一条抛物线，其开口的方向由 a 的正负决定，常数 c 决定了抛物线与 y 轴的截距。

3. 三角函数：三角函数是以单位圆上一点的坐标作为函数值的函数。

常见的三角函数有正弦函数 y = sin(x)，余弦函数 y = cos(x) 和正切函数 y = tan(x) 等。

函数图象上点的存在性问题中的特殊三角形⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等腰三角形的存在性直角三角形的存在性点的存在性之三角形可构成全等的三角形可构成相似的三角形一．等腰三角形1．等腰三角形的两个腰__________，两个底角__________．2．等腰三角形顶角的平分线和底边的__________，底边的__________三条线重合，简称__________．二．全等三角形1．全等三角形的性质：全等三角形的对应__________相等，对应__________相等．2．全等三角形的判定：__________，__________，__________，__________，__________．（填缩写）三．相似三角形1．相似三角形的性质：相似三角形的对应边__________，对应角__________．2．相似三角形的判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应__________，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应__________，两个三角形相似．（3）如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应__________，并且夹角__________，那么这两个三角形相似．（4）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应__________，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应__________，两个三角形相似．（5）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应__________，那么这两个直角三角形相似．（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）（7）如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．（常用但要证明）基础知识回顾知识关联图(1) 等腰三角形存在性问题，通常用两圆一线找全所有可能的等腰三角形。

知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点． 考点2 矩形的性质及判定1. 矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形． 注意：矩形（1）是平行四边形；（2）四个角是直角．2. 矩形的性质性质1 矩形的四个角都是直角；性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。

； 3. 矩形的判定矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形． 矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

考点3 菱形的性质及判定1．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．注意：菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．2．菱形的性质性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；3．菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．考点4 正方形的性质及判定1. 正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形（菱形）有一个角是直角的平行四边形（矩形）都可以得到正方形；正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2.正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形．．．．．．．并且有一个角是直角正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；3. 因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．4. 正方形的判定方法：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角；（3）有一组邻边相等．2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.考点5 探究特殊平行四边形的一般思路解答特殊平行四边形的存在性问题时，要具备分类讨论的思想及数形结合思想，要先找出特殊平行四边形的分类标准，一般涉及到动态问题要以静制动，动中求静，由于特殊平行四边形分为矩形、菱形和正方形，故我们可以从这些特殊平行四边形的性质及题干信息入手，具体如下：（1）假设结论成立，分情况讨论，抓住每类图形的特殊性质入手，由于特殊的平行四边形也是平行四边形，可先证明出是平行四边形，在适当加入一些特征便可以得到矩形、菱形或是正方形。

第1讲第二轮复习之函数图象上点的存在性专题——全等构造相似构造与角度的和差目标班学生版在函数图象上，存在着一些特殊的点，如顶点、零点、极值点等。

在这节课中，我们将通过全等构造、相似构造以及角度的和差来讨论函数图象上点的存在性问题。

全等构造是指利用函数图象上已知的点与线段的全等关系构造出其他点。

例如，对于函数y=f(x)，如果我们已知点A(x₁,y₁)，那么我们可以通过构造点B，使得AB与X轴全等。

具体的构造过程是：先找到A关于X 轴的对称点A'，然后连接A'与波浪线f(x)，交点B即为所求。

这样，我们就利用全等构造得到了函数图象上与A关于X轴全等的点B。

相似构造是指利用函数图象上已知的点与线段的相似关系构造出其他点。

例如，对于函数y=f(x)，如果我们已知两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，且已知线段AB与X轴的比例为k:1，那么我们可以通过构造点C，使得线段AC与X轴的比例也为k:1、具体的构造过程是：连接A和B，通过A点作出线段AE与X轴垂直且比例为k:1，然后连接E与波浪线f(x)，交点C 即为所求。

这样，我们就利用相似构造得到了函数图象上与A、B关于X 轴比例相同的点C。

角度的和差可以帮助我们构造出两条直线的交点。

例如，对于函数y=f(x)，如果我们已知直线L₁与X轴的夹角为α，且已知直线L₂与X轴的夹角为β，那么我们可以通过构造点A，使得直线L₁与波浪线f(x)相交于A，并与X轴的夹角为α，直线L₂与波浪线f(x)相交于B，并与X轴的夹角为β，则A和B的交点即为所求。

具体的构造过程是：通过点A 作出与直线L₁夹角为α的直线，与波浪线f(x)交于A；通过点B作出与直线L₂夹角为β的直线，与波浪线f(x)交于B；连接A和B，交点即为所求。

通过全等构造、相似构造以及角度的和差，我们可以在函数图象上准确地构造出我们所需要的点，从而解决函数图象上点的存在性问题。

这些构造方法既简单又直观，可以提高我们对函数图象的理解和把握。