北师大版高中数学必修一-4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在 教案

4.1．1 利用函数性质判定方程解的存在1. 了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(易混点)2. 掌握函数零点存在的判定方法．(重点)3. 能结合图像求解零点问题．(难点)[基础·初探]教材整理函数零点及判定定理阅读教材P116～P117整节的内容，完成下列问题．函数的零点及判定定理(1)函数的零点：①定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．②方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系．(2)函数零点的判定定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)零点即函数y＝f(x)的图像与x轴的交点．( )(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)有两个零点．( )(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.( )【答案】 (1)× (2)√ (3)× 2. 函数y ＝x －1x的零点是________．【解析】 令y ＝x －1x ＝x 2－1x＝0，解得x ＝±1.【答案】 ±1[小组合作型]求函数的零点求下列函数的零点： (1)y ＝－x 2－x ＋20； (2)f (x )＝x 4－1.【精彩点拨】 先因式分解，再确定函数的零点． 【尝试解答】 (1)y ＝－x 2－x ＋20 ＝－(x 2＋x －20)＝－(x ＋5)(x －4)， 方程－x 2－x ＋20＝0的两根为－5,4. 故函数的零点是－5,4.(2)由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)， ∴方程x 4－1＝0的实数根是－1,1. 故函数的零点是－1,1.求函数的零点常用方法是解方程：1一元二次方程可用求根公式求解；2高次方程可用因式分解法求根.[再练一题]1. 判断下列说法是否正确：(1)函数f (x )＝x 2－2x 的零点为(0,0)，(0,2)； (2)函数f (x )＝x －1(2≤x ≤5)的零点为x ＝1.【解】 (1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f (x )＝x 2－2x 的零点为0和2，故(1)错．(2)虽然f (1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f (x )＝x －1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错.判断零点所在的区间(1)已知函数f (x )的图像是连续不断的，有如下x ，f (x )的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 f (x )1510－76－4－5则函数f (x )在区间[1,6]上的零点至少有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个(2)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1e 和(3,4) D ．(e ，＋∞)【精彩点拨】 在区间(a ，b )上检验f (a )，f (b )是否满足函数零点存在性定理． 【解析】 (1)由已知数表可知f (2)·f (3)＝10×(－7)＜0，f (3)·f (4)＝(－7)×6＜0，f (4)×f (5)＝6×(－4)<0，故函数f (x )在(2,3)，(3,4)，(4,5)上分别存在零点，故至少有3个零点． (2)∵f (1)＝－2＜0，f (2)＝ln 2－1＜0， ∴在(1,2)内f (x )无零点，A 错；又f (3)＝ln 3－23＞0，∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )在(2,3)内有零点． 【答案】 (1)B (2)B1.确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．2. 有时需要考察函数在区间上是否连续，若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的单调性．[再练一题]2. 函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( )【导学号：04100072】A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，18B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，14C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 【解析】 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋log 214⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋log 212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＜0.【答案】 C零点个数的判断判断下列函数零点个数： (1)y ＝e x＋2x －6； (2)y ＝log 2x －x ＋2.【精彩点拨】 借助函数的单调性和图像解答．【尝试解答】 (1)∵y 1＝e x 在R 上单调递增，y 2＝2x －6在R 上单调递增，∴y ＝e x＋2x －6在R 上单调递增．又f (0)＝1＋0－6＝－5＜0，f (3)＝e 3＋6－6＝e 3＞0.∴y ＝f (x )在(0,3)上有一个零点．从而知此函数只有一个零点．(2)函数对应的方程为log 2x －x ＋2＝0.即求函数y ＝log 2x 与y ＝x －2图像交点个数． 在同一坐标系下，画出两个函数的图像，如图，知有2个交点．从而函数y ＝log 2x －x ＋2有两个零点．判断函数零点个数的方法主要有：1解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断.2用定理：零点存在性定理.3利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y ＝fx ，y ＝g x 的图像，其交点的横坐标是f x －g x 的零点.[再练一题]3. (1)函数f (x )＝x －4x的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个(2)函数f (x )＝31x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 (1)令f (x )＝0，即x －4x＝0，∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个．故选C.(2)函数f (x )＝31x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的零点个数，即方程31x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝0的根的个数，即函数y ＝31x的图像与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x图像的交点个数；画出两者的图像(如图)，可得交点的个数为1.【答案】 (1)C (2)B [探究共研型]函数的零点分布探究 1 函数y 2【提示】 令y ＝0，得x 2－x ＋1＝0. ∵Δ＝(－1)2－4＝－3＜0， ∴x 2－x ＋1＝0无实根，∴函数y ＝x 2－x ＋1无零点．探究 2 若函数y ＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a 的取值范围是什么？ 【提示】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图像与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数． 因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上所述，a 的值为0或－14.当a 取何值时，方程ax 2－2x ＋1＝0一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上． 【精彩点拨】 分a ＝0，a >0，a <0三种情况讨论列出关于a 的不等式，最后求得结果． 【尝试解答】 (1)当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意． (2)当a >0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1， ∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1>0，a －2＋1<0，4a －4＋1>0，解得34<a <1.(3)当a <0时，设方程的两根为x 1，x 2， 则x 1·x 2＝1a<0，x 1，x 2一正一负不符合题意．综上，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：1首先画出符合题意的草图，转化为函数问题.2结合草图考虑三个方面：①开口方向；,②Δ与0的大小；③对称轴与所给端点值的关系；④端点的函数值与零的关系.[再练一题]4. 若本例中的方程至少有一个正根，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝0时，方程变为－2x ＋1＝0，解得x ＝12，符合题意．(2)当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a ≥0，1a ＞0，f 0＞0，解得a ≤1，故0＜a ≤1.(3)当a ＜0时，因为f (0)＝1，故函数f (x )＝ax 2－2x ＋1与x 轴一定有两个交点，故方程ax 2－2x ＋1＝0必有一个正根．综上，实数a 的取值范围是(－∞，1].1. 若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点( ) A ．至少有一个 B ．至多有一个 C ．有且只有一个D ．可能有无数个【解析】 由于函数y ＝f (x )在R 上递增，所以函数的图像最多与x 轴有一个交点，即函数y ＝f (x )的零点至多有一个．故选B.【答案】 B2. y ＝x ＋1的图像与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A ．－1，(－1,0) B ．(－1,0)，0 C ．(－1,0)，－1D ．－1，－1【解析】 由y ＝x ＋1＝0，得x ＝－1， 故交点坐标为(－1,0)，零点是－1. 【答案】 C3. 若函数f (x )唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内，则 ①函数f (x )的零点在(1,2)或(2,3)内； ②函数f (x )在(3,5)内无零点； ③函数f (x )在(2,5)内有零点；④函数f (x )在(2,4)内不一定有零点； ⑤函数f (x )的零点必在(1,5)内．以上说法错误的是________(将序号填在横线上)．【解析】 由于三个区间是包含关系，而(1,5)范围最大，零点位置可能在区间(1,5)的任何一个子区间内，①②③错误．【答案】 ①②③4. 函数f (x )＝2x －3的零点在区间(k ，k ＋1)内，则整数k 的值为________.【导学号：04100073】【解析】 由题意f (k )f (k ＋1)＝(2k －3)(2k －1)＜0， 解得12＜k ＜32.又因k 为整数，故k ＝1.【答案】 15. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝x 2－2x ＋4； (3)y ＝2x－3；(4)y ＝1－log 5x . 【解】 (1)令y ＝0，得2x ＋1＝0，无解．故函数不存在零点． (2)令y ＝0，得x 2－2x ＋4＝0，Δ＝4－4×4＝－12<0.故函数不存在零点． (3)令y ＝0，得2x－3＝0,2x＝3，解得x ＝log 23.故函数的零点为log 23. (4)令y ＝0，得1－log 5x ＝0，log 5x ＝1，解得x ＝5.故函数的零点为5.。

高中数学 4.1.1《利用函数性质判定方程解的存在》精品教案北师大版必修1一、教学目标：1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.让学生了解函数的零点与方程根的联系；3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用；4。

培养学生动手操作的能力。

二、教学重点、难点重点：零点的概念及存在性的判定；难点：零点的确定。

三、复习引入例1:判断方程x2-x-6=0分析：考察函数f(x)= x2-x-6, 其图像为抛物线容易看出，f(4)>0,f(-4)>0由于函数f(x)点B (0,-6)与点C(4,6)必然穿过x轴,即在区间(0,4)内至少有点X1使f(X1)=0;同样,在区间(-4,0) 内也至少有点X2,使得f( X2)=0,而方程至多有两用心爱心专心 1个解，所以在(-4,0),(0,4)内各有一解定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫函数y=f(x)的零点抽象概括●y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标叫做该函数的零点,即f(x)=0的解。

●若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续曲线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内至少有一个零点，即f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数解。

f(x)=0有实根（等价与y=f(x)）与x轴有交点（等价与）y=f(x)有零点所以求方程f(x)=0的根实际上也是求函数y=f(x)的零点注意：1、这里所说“若f(a)f(b)<0,则在区间（a,b)内方程f(x)=0至少有一个实数解”指出了方程f(x)=0的实数解的存在性，并不能判断具体有多少个解；2、若f(a)f(b)<0,且y=f(x)在（a,b）内是单调的，那么，方程f(x)=0在（a,b）内有唯一实数解；3、我们所研究的大部分函数，其图像都是连续的曲线；4、但此结论反过来不成立，如：在[-2，4]中有根，但f(-2)>0, f(4)> 0，f(-2) f(4) >0；5、缺少条件在[a,b]上是连续曲线则不成立，如：f(x)=1/ x，有f(-1)xf(1)<0但没有零点。

利用函数性质判定方程解的存在一、教材分析本节课选自必修一第四章第一节——第一课时；利用函数性质判定方程解的存在，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点的存在判定，是一节概念课。

函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程联系在一起，本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的学习垫底基础。

因此本节课内容具有承前启下的作用，地位至关重要。

二、学情分析学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图象已经有了比较系统的认识与理解，特别是一元二次方程和二次函数在初中的学习，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入起到了很好的铺垫作用，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论的愿望，将学生置于主动参与的地位。

三、教学目标1、理解函数零点的概念；领会函数零点与相应方程根之间的关系；掌握零点存在的判断条件。

2由二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现函数零点存在的条件；3在探究中体会数形结合、特殊到一般的归纳思想.培养学生分析问题解决问题的能力四、教学重难点：重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系难点：零点存在性的判定条件。

五、教学过程前面我们已经学习了函数的概念、性质和几个特殊的函数，对函数已经有了初步的了解，这节课我们就来学习函数的一些用途。

下面我们就来看一个和函数关系最密切的方程问题：判断下列方程是否有实数解：（1）01=-x （2）0232=+-x x请问大家是怎么判断出结果来的？好请继续看下题：（3）052=-+x x（大家判断不出来这很正常，这个方程不是我们所熟悉的方程，我们没有公式可以用，也画不出图像判断，利用我们目前知识并不能解决所有的方程解问题，）请大家和我一起了解一下方程求解的发展历程。

2019-2020年高中数学 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在教案北师大版必修1一、教学目标：1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.让学生了解函数的零点与方程根的联系；3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用；4。

培养学生动手操作的能力。

二、教学重点、难点重点：零点的概念及存在性的判定；难点：零点的确定。

三、复习引入分析：考察函数f(x)= x2-x-6, 其图像为抛物线容易看出，f(0)=-6<0,f(4)>0,f(-4)>0由于函数f(x)的图像是连续曲线，因此，点B (0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线必然穿过x轴,即在区间(0,4)内至少有点X1使f(X1)=0;同样,在区间(-4,0) 内也至少有点X2,使得f( X2)=0,而方程至多有两个解，所以在(-4,0),(0,4)内各有一解定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数 x抽象概括●y=f(x)的图像与x●若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续曲线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内至少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。

f(x)=0有实根（等价与y=f(x)）与x轴有交点（等价与）y=f(x)有零点所以求方程f(x)=0的根实际上也是求函数y=f(x)的零点注意：1、这里所说“若f(a)f(b)<0,则在区间（a,b)内方程f(x)=0至少有一个实数解”指出了方程f(x)=0的实数解的存在性，并不能判断具体有多少个解；2、若f(a)f(b)<0,且y=f(x)在（a,b）内是单调的，那么，方程f(x)=0在（a,b）内有唯一实数解；3、我们所研究的大部分函数，其图像都是连续的曲线；4、但此结论反过来不成立，如：在[-2，4]中有根，但f(-2)>0, f(4)> 0，f(-2) f(4) >0；5、缺少条件在[a,b]上是连续曲线则不成立，如：f(x)=1/ x，有f(-1)xf(1)<0但没有零点。

各位评委老师好，我是，今天我说课的题目是《利用函数性质判定方程解的存在》，下面，我将从说教材、说教学目标、说教学重难点、说教法、说学法和说教学过程六个方面来进行说课。

一、说教材《利用函数性质判定方程解的存在》是北师大版数学必修一第四章第1节第1课时的内容。

在此之前，学生已经学习了一次函数、二次函数等基本函数的图像和性质，也能够对一次方程、二次方程等常见的方程进行求解。

这些基础为本节课的学习打下基础。

在本节课中，学生将学习函数与方程的关系，以及用函数求解方程或判断方程解的个数的常用方法，这些知识会为以后学习二分法求方程的近似解打下基础，也能够培养学生利用函数与方程相结合的方法解决函数和方程问题的基本思想，为以后的学习打下基础。

因此，本节课的学习在整个知识体系中起到了承上启下的作用；作为高考的必考内容，为学生成绩的提高有极大的裨益；还通过培养学生用相互联系的观点看待问题的思想，为学生后续的发展铺垫了坚固的基石。

二、说教学目标根据本节课的内容和学生的认知结构及心理特征，我指定了以下的教学目标：1.知识与技能：在本节课的学习中，需要先让学生了解到公式法解方程的不足，从而引起学生探索新知的兴趣，继而理解函数和方程的关系，并能够利用函数的图像和性质确定方程解的个数和有解区间。

因此，本节课的知识与技能目标是了解公式法求方程解的局限性，理解函数零点的概念及零点与相应方程的解的关系，能通过作图判断函数零点的个数。

2.过程与方法：本节课的过程与方法目标是经历函数与方程关系的讨论过程，经历利用函数性质判定方程解的过程，经历函数值与零点之间关系的讨论过程，经历单个函数图像零点变化为两个函数交点的过程。

体会数形结合、利用函数解决方程问题、转化与化归等数学思想和方法。

通过这些过程，体会这些方法，可以让学生更加深入的了解函数与方程的关系，对函数图像有更深层次的认识，为以后的学习打下基础。

3.情感态度与价值观：体会函数在数学中和核心作用，感受数学知识之间的密切联系，提高数学学习的兴趣。

利用函数性质判定方程解的存在一、教学目标知识与技能:理解函数的零点概念，理解函数的零点与方程的解的关系，掌握函数零点存在的判定方法，并能对判断方法加以初步应用．过程与方法：通过探究、归纳概括所发现的结论，体验由特殊到一般认识规律，领会数形结合的数学思想.情感、态度与价值观目标：通过师生、生生之间的互动，提高学生合作交流能力，让学生体会学习，探索发现的乐趣与成功感。

二、教学重点和难点重点：函数零点的概念及零点存在性定理难点：零点存在性定理的应用三、教学过程（一）问题导入（1）解方程错误!未找到引用源。

（2）函数的图像与横轴的交点坐标？（3）问题（1）中方程的解与问题（2）中交点的横坐标有何关系？(二)归纳总结，得出概念1.函数零点的定义：我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标叫做函数y=f(x)的零点。

2.等价关系：函数y=f(x)图像与x轴交点横坐标错误!未找到引用源。

函数y=f(x)的零点错误!未找到引用源。

方程f(x)=0的实数根3.求函数零点的方法：①代数法，求相应方程的根，得零点.②几何法，画函数图象，得零点注意：（1）零点是一个数，而不是点（2）并非所有的函数都有零点，若函数有零点，则零点并非是唯一的。

（三）练习提升11、函数错误!未找到引用源。

的零点是（）A、（0，0）B、0C、1D、不存在2、错误!未找到引用源。

的零点个数是（）A、0B、1C、2D、33、求下列函数的零点：(1) (2)错误!未找到引用源。

(四) 深入探究观察函数y=f(x)的图象①区间(a,b)上______(有/无)零点；错误!未找到引用源。

_____0（＜或＞）．②在区间(b,c)上______(有/无)零点；错误!未找到引用源。

_____ 0（＜或＞）．③在区间(c,d)上______(有/无)零点；错误!未找到引用源。

_____ 0（＜或＞）．（五）要点解析函数零点存在性定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)•f(b)<0，则在区间(a,b)内函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b) 内至少有一个实数解.说明：当函数y=f(x)的图像在[a,b]上不是连续曲线，或不满足f(a)•f(b)<0时，函数y=f(x)在(a,b)内可能存在零点，也可能不存在零点。

《利用函数性质判定方程解的存在》教案一、教材分析1、教材内容分析函数是高中的起始课程,也是中学数学的重要内容，它既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。

函数的重要性有两方面，一是函数的思想价值，二是函数应用的价值。

就本章而言，本节在中学教材结构中，起着承上启下的作用。

一方面，本课内容可以看作是函数概念的一个深化，是函数概念外延的一次扩充。

学习函数零点概念的目的是把函数与方程联系起来，用函数的观点研究方程，从本质上说就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础．另一方面，函数零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台，同时又为下一节“用二分法求方程近似解”以及后续的学习提供了基础。

二、学情分析1、学生已具备的知识基础本节课之前，学生已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了基础，学生已有的数形结合思想能让他们直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的一次、二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，学生是容易接受的。

再者一元二次方程是初中的重要内容，学生已有较好的基础，对于它根的个数以及存在性，学生比较熟悉，这也为我们归纳函数的零点与方程的根的联系提供了知识基础。

2、学生所欠缺的能力学生对于解题只注重结果，而背后的数学思想往往理解不够透彻，对于定理的认识表皮化，不够细致，深刻。

加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。

因此在教学中应更多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验各个细节的重要性。

从而直观地归纳、全面深刻的理解定理。

三、教学目标分析1、知识与技能①理解函数零点的概念②理解函数零点与方程根的联系③掌握零点存在的判定方法2、过程与方法①经历“探究—归纳—应用”的过程②提高由特殊到一般的归纳思维能力③理解并深化函数与方程思想，数形结合思想3、情感态度与价值观①体验自主探究，合作交流的乐趣②激发学生的学习兴趣 ③培养学生严谨的科学态度 四、教学重难点分析本着新课程标准的教学理念，针对教材与学情两个方面的分析，我确定本节课的教学重点与难点如下：【重点】 理解零点概念；理解函数零点与方程根之间的关系；掌握函数零点存在性的判定方法。

利用函数性质判定方程解的存在一、教学目标：（1）知识与技能目标了解函数零点的概念；理解函数零点与方程的根之间的关系；掌握判断函数零点存在的方法；（2）过程与方法目标培养学生独立思考,自主观察和探究的能力；树立数形结合，函数与方程相结合的思想；（3）情感态度与价值观目标培养学生用联系的观点看待问题；感悟由具体到抽象、由特殊到一般地研究方法， 形成严谨的科学态度。

二、教学重点：函数零点概念，函数零点与方程根之间的联系三、教学难点：准确理解零点存在性定理四、教学方法：引导启发法、问题法五、学习方法：合作探究法六、教学流程（一）设置情景，导入新课问题1、求方程240-=x 和方程2230+-=x x 的实数根.问题2、画出函数42-=x y 和函数322-+=x x y 的图像，写出其与x 轴的交点坐标. 问题3、观察问题1中方程的根和问题2中函数与x 轴的交点的横坐标，说说它们之间的关系.【设计意图】：开门见山，通过对比学生熟知的函数与对应方程根，为得到零点概念做好铺垫.结论：方程f (x )＝0有几个根，y ＝f (x )的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．（二）引导探究，获得新知探究（一）：零点的概念1、函数零点．概念：对于函数y ＝f (x )图像与横轴的交点的横坐标叫做函数y ＝f (x )的零点．说出下列函数的零点：11()(1)()2f x x x =+-、 ()(1)(2)(3)f x x x x =-+-2、【设计意图】：及时矫正“零点是交点”这一误解．注意：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．②求函数零点就是求方程f (x )＝0的根．练习：1、求下列函数的零点：22(1)()34(2)()lg(44)=-++=+-f x x x f x x x【设计意图】使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）【交流】：明确了函数零点和方程的解之间的关系，那么求方程的解可以转化成什么问题？【结论】：方程的解可以通过函数的性 质来确定，函数的零点个数就决定了相应方程实数解的个数.【设计意图】让学生明白有些方程问题可以转化为函数问题来求解，有些函数问题有时也可转化为方程问题来解决，这正是方程与函数思想的重要之所在。

《§4.1.1利用函数性质判定方程解的存在》教学设计--现代信息技术与中学数学教学有效整合案例江西省东乡县实验中学黄树华乐建平一、教材分析本节课内容选自经全国中小学教材审定委员会 2004 年初审通过的普通高中课程标准试验教科书，北师大版数学必修1第四章《函数的应用》第1单元“函数与方程”的第1节内容《利用函数性质判定方程解的存在》。

函数与方程的关系，是“整体”与“局部”的关系，是“动”与“静”的相互补充。

用函数的观点研究方程，本质上是在整体中研究局部问题，在动态的过程中研究静态的结果，为今后进一步学习函数与不等式等其它知识奠定了坚实的基础。

二、学情分析学生已经对一次函数、二次函数的图像与性质有了深刻的理解，在此基础上学习了指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，学生能够运用计算机绘制它们的图像；通过本节课的学习，学生理解一元二次方程的实数解就是对应二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标；在现代多媒体技术的辅助教学下，学生的学习兴趣得到进一步提高。

三、教学目标分析（一）知识与能力目标1.熟练掌握二次函数的图象，了解函数零点的概念及其与方程的根的联系；2、掌握函数零点存在的判定条件，会判断一元二次方程根的个数；（二）过程与方法目标让学生经历计算机绘制函数图像、分析零点存在性的过程，培养学生的探究意识；（三）情感态度与价值观目标1、通过对一般函数图像的分析，渗透由“形”到“数”，由特殊到一般的数学思想，体会研究和解决问题过程中的一般思维方法；2、培养学生对事物的观察、归纳和探究能力。

四、教学重、难点教学重点：根据具体函数的图像研究函数与方程的关系。

教学难点：函数零点存在性的判断及其个数的确定。

五、教学方法和手段问题教学法、多媒体辅助教学（演示文稿、几何画板）；六、教学过程设计（一）创设问题情境，引入课题问题 1：不解方程能否求出方程 x2-2x-3=0 的根?（幻灯片1）学生探究：利用函数图像及试值法，转化为求函数f（x）= x2-2x-3 与 x 轴交点的横坐标。

利用函数性质判定方程解的存在一、教材的地位与作用利用函数性质判定方程解的存在是建立在运用函数模型的大背景下开放的，是学习其次节“利用二分法求方程的近似解”的理论基础,同时也要为后续学习的算法埋下伏笔.由此可见，它起着承上启下的作用，与整章、整个高中数学课程综合成一个整体，学好本节意义重大。

二、教学目标 1.学问与技能让同学明确“方程的根”与“函数的零点”的亲密联系，学会结合函数图像性质推断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点． 2.过程与方法通过争辩具体二次函数，探究函数存在零点的判定方法。

从具体到一般的认知过程中培育同学自主发觉、探究实践的力量，并渗透相关的数学思想。

3.情感、态度与价值观：让同学体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值； 三、教学重难点教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的关系，把握函数零点存在定理, 能结合图象求解零点问题。

教学难点：（1）引导同学探究发觉函数零点的概念及零点定理； （2）函数零点个数的确定四、教法学法与教具实例引入、探究新知、实践探究、总结提炼、总结、反思，勇于探究的学习方式，运用数形结合、老师引导——同学探究相结合的教学方法，同学亲身经受、感受来猎取学问，培育同学观看、发觉、抽象与概括、运算求解等思维过程。

教具:多媒体 五、教学过程问题：请同学们思考这个问题．用屏幕显示推断下列方程是否有实根，有几个实根？(1)260x x --= ；(2)230x x -=设计意图：对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，其次个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？目的引入方程的根与零点的概念。

用屏幕显示函数26y x x =--的图象，观看图象，用屏幕显示表格，让同学填写260x x --=的实数根和函数图象与x 轴的交点．得到方程的实数根与函数图象与x 轴交点的横坐标的对应关系．设计意图：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点到底是什么关系？对于函数()y f x =有零点，从“数”的角度理解，就是方程()0f x =有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x 轴有交点．从我们刚才的探究过程中，我们知道，方程()0f x =有实根和图象与x 轴有交点也是等价的关系．所以函数零点实际上是方程()0f x =有实根和图象与x 轴有交点的一个统一体。