不等式选讲之不等式证明与数学归纳法二轮复习专题练习(四)带答案人教版高中数学高考真题汇编

高中数学专题复习
《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．1 ．（汇编年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.
2．已知x y z 、、均为正数，求证：2223111111()3x y z x y z
++≤++.
评卷人
得分 二、解答题
3．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）
已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()63a b c a b c
+++++≥． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分一、填空题1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；2．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12zS xyz+=的最小值为________ 评卷人得分二、解答题3．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1，求111a b c +++++的最大值．4．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()63a b c a b c +++++≥．5．已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <．【答案与解析】【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用. 6．对于实数y x ,，若,12,11≤-≤-y x 求1+-y x 的最大值.7．若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值．8．设123a a a ，，均为正数，且123a a a m ++=，求证1231119.a a a m++≥【证明】因为123111()m a a a ++g 123123111()()a a a a a a =++++33123123111339a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=≥，当且仅当1233m a a a ===时等号成立．又因为1230m a a a =++>，所以1231119.a a a m ++≥ ……………10分【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．； 2．4 评卷人得分二、解答题3． 解：因 a 、b 、c ＞0，故(111a b c +++++)2 = (111111a b c +⋅++⋅++⋅)2≤((a +1)+(b +1)+(c +1))(1+1+1)=12，························································3分于是111a b c +++++≤23， 当且仅当111a b c +=+=+，即a =b =c =13时，取“=”． 所以，111a b c +++++的最大值为23．··········································10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 4． （选修4-5：不等式选讲） 证法一：因为a b c ，，均为正数，由均值不等式得22223()a b c abc ++≥3，………………………2分因为13111()abc a b c-++≥3，所以223111(()abc a b c-++)≥9 ．…………………………………5分故22222233111(()()a b c abc abc a b c-++++++)≥39．又32233()9()22763abc abc -+=≥，所以原不等式成立．…………………………………10分证法二：因为a b c ，，均为正数，由基本不等式得222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥．所以2a b ++++≥．……………………………………………………………………2分 同理2211a b++++≥，…………………………………………………………………5分所以2222111333(63a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++++++++++)≥≥．所以原不等式成立．………………………………………………………………………………10分 5．6．解法一：1+-y x =|)2()1(|---y x …………………………5′ 221≤-+-≤y x …………………………9′（当且仅当3,2==y x 或x=0,y=1时取等号）…………………………10′ 解法二：∵11≤-x ， ∴20≤≤x …………………………3′ ∵,12≤-y ∴31≤≤y …………………………6′ ∴13-≤-≤-y∴212≤+-≤-y x …………………………9′ ∴1+-y x 的最大值为2. …………………………10′ 7．因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1， 所以，()()()()()211132323a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分即1111 323232≥a b c+++++，当且仅当32323a b c+=+=+，即13a b c===时，原式取最小值1．………………10分8．。

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8．已知,,,a b x y R +∈且11a b>，x y >。

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．若,,x y z 为正实数，则222
xy yz x y z +++的最大值是22. 提示：2222112222
x y y z xy yz +++≥+. 2．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12z S xyz +=
的最小值为________ 评卷人
得分 二、解答题
3．1 ．（汇编年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.
已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-
[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
4．已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值．。

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求证：x y x a y b >++本题三种方法：作差比较；分析法；或构造函数()x f x x a=+皆可。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．；2． 评卷人得分 二、解答题3． 解：设x y z R ∈，，，且满足：222x +y+z 1=，2314x y z ++=，求证： 3147x y z ++=. 证：222222214(23)(123)(x +y +z )14x y z =+≤+=++，∴123x y z ==，∴3,2z x y x ==，又2314x y z ++=， ∴123,,141414x y z ===，∴3147x y z ++=.…………………………………………10分 4． 选修4—5：不等式选讲证明：作差得442233()()()a b ab a b a a b b b a ++=-+-- …………………… 1分＝33()()a b a b --＝222()()a b a ab b -++ …………………… 4分 ＝2223()[()]24ba b a b -++． …………………… 6分 因为a ≠b ，所以a ，b 不同时为0，故223()024ba b ++>，2()0a b ->， 所以2223()[()]24b a b a b -++>，即有44a b a b a b+>+（）． …………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．因为a ＋b ＝1－c ，ab ＝222()()2a b a b +-+＝c 2－c ， ………………………3分所以a ，b 是方程x 2－(1－c )x ＋c 2－c ＝0的两个不等实根，则△＝(1－c )2－4(c 2－c )＞0，得－13＜c ＜1， ………………………5分 而(c －a )(c －b )＝c 2－(a ＋b )c ＋ab ＞0，即c 2－(1－c )c ＋c 2－c ＞0，得c ＜0，或c ＞23， …………………………8分 又因为a b c >>，所以0c <．所以－13＜c ＜0，即1＜a ＋b ＜43． …………10分6．选修4－5：不等式选讲证明：由柯西不等式，得12212(C C C )(111)(C C C )n n n n n n n n +++++++++≤ …………………………………5分((11)1)(21)n n n n =+-=-． ∴12C C C (21)n n n n n n +++-≤．…………………………………………………10分7．略8．。

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
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得分 一、填空题
1．若,,x y z 为正实数，则222
xy yz x y z +++的最大值是22. 提示：2222112222
x y y z xy yz +++≥+. 2．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12z S xyz +=
的最小值为________ 评卷人
得分 二、解答题
3．1 ．（汇编年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.
已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-
[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
4．已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值．。

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；
2．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12z S xyz +=
的最小值为________ 评卷人
得分 二、解答题
3．【题文】[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设2
()13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+． 4．1 ．（汇编年高考新课标1（理））选修4—5:不等式选讲 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. (Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;
(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、填空题1．1 ．（汇编年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x--≤的解集为_________2．2 ．（汇编年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为_______.评卷人得分二、解答题3．选修4—5：不等式选讲已知x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1．证：因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|．………………………………………5分由绝对值不等式性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×16＋2×14＝1．即|x ＋5y |≤1． ………………………………………10分4．选修45-：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值． 5．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．6．已知对于任意非零实数m ，不等式|)32||1(||||1||12|+--≥-+-x x m m m 恒成立，求实数x 的取值范围．7．已知a 、b 、c 是正实数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a c．8．设f (x )= x 2－x + l ，实数a 满足| x －a |＜l ，求证：|f (x )－f (a )|＜2(| a | +1)．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．[]0,42．2 评卷人得分 二、解答题3．4．因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，所以⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)] ≥(1＋1＋1)2，…………6分即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1，…………………………………………………………8分当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1. …………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5． 选修4—5：不等式选讲证明：左边-右边=2222()(1)1(1)[(1)1]y y x y x y y yx y x -+--+=--++………4分 =(1)(1)(1)y xy x ---， ………………………………………………………6分 ∵1x ≥，1y ≥，∴0,0,0111y xy x ---≤≥≥． ………………………………………………8分 从而左边-右边≤0，∴22221x x y xy y x y ++++≤． ………………………………………………10分6．选修4－5：不等式选讲解：211123m m x x m-+---+≤恒成立， (4)211m mm-+-=11211m m -+-≥,∴只需1231x x --+≤, 综上x 的取值范围为(,3-∞-⋃-+∞． ………………10分7．证明：由⎝⎛⎭⎫a b －b c 2+ ⎝⎛⎭⎫b c －c a 2+ ⎝⎛⎭⎫c a －a b 2≥0，得 2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)－2(a b ＋b c ＋c a )≥0，∴a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a c．……………………10分8．2()1f x x x =-+，22()()-=--+f x f a x x a a1=-⋅+-x a x a ……………………………………………………………2分 1<+-x a ， 又1()21+-=-+-x a x a a …………………………………………… 6分 21≤-+-x a a ……………………………………………8分1212(1)<++=+a a ． …………………………………10分。

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12z S xyz
+=
的最小值为________
2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人
得分 二、解答题
3．(选修4-5：不等式选讲）
设R x y ∈，，z ，且满足：222++z 1x y =，2314x y ++=z ，求证：3147x y z ++=.
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.2．已知x y z 、、均为正数，求证：2223111111()3x y z x y z ++≤++.评卷人得分 二、解答题3．选修4—5：不等式选讲设2()14,||1f x x x x a =-+-<且，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．4．选修45-：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值． 5．2 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—5;不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥. 6．已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <． 【答案与解析】【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用.7．已知,x y 均为正实数，求证：1144x y +≥1x y+。

8．设1a ，2a ，3a 均为正数，且m a a a m ，a a a 9111:321321≥++=++求证【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．3147 2．证明:由柯西不等式得……………5分则,即…………10分解析：证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z ++++≥++……………5分 则2221111113x y z x y z ⨯++≥++,即2223111111()3x y z x y z ++≤++…………10分 评卷人得分 二、解答题3．4．因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，所以⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)] ≥(1＋1＋1)2，…………6分即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1，…………………………………………………………8分当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1. …………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．6．7．8．。

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8．已知,,a b c 为正数，且满足22cos sin a b c θθ+<，求证：22cos sin a b c θθ+<【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．31472．[]0,4 评卷人得分二、解答题3．4．5．6．0,0,21,a b a b >>+=∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-, ………………………………………………………………2分 且1222a b ab =+≥，即24ab ≤，18ab ≤, ……………………………………………………5分 ∴2224S ab a b =--2(14)ab ab =--241ab ab =+-212-≤, 当且仅当11,42a b ==时，等号成立．…………………………………………………………………10分 7．8．解：由柯西不等式，得22cos sin a b θθ+ 11222222[(cos )(sin )](cos sin )a b θθθθ≤++1222(cos sin )a b c θθ=+<． ………………………………10分。

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