微分方程模型

微分模型课程安排一、微分模型简介二、微分静态模型1、血管分支模型2、最正确存贮模型三、微分动态模型1、水流出的时间2、CO2的吸收3、浓度变化问题4、服药问题5、人口模型四、香烟过滤嘴问题一、微分模型简介微分模型是数学模型中的最主要模型，也是应用最为广泛的数学模型。

通常微分模型可分为两类，静态模型与动态模型。

微分静态模型主要出现在解决一些简单的优化问题中。

此类问题通常可将所要解决的实际问题化简为一个一元或多元的目标函数的最值问题，只要对目标函数求导数或偏导数就可求得驻点，从而讨论问题的最优解决方案。

这种解决实际问题的方法在《高数》书中就有一定的讨论只不过当时不是学习的重点而已。

而微分动态模型，从名称上看我们就知到此方法是用来解决动态变化问题的。

当我们从实际问题中得到的目标量是一个随时间或空间在改变的量时，直接建立此目标量的动态变化方程是很困难的，通常可以先找到此问题的动态变化函数〔一般是一个微分方程或方程组〕，然后通过解方程的方法来求解出我们所需要的目标量所满足的方程。

同样在《高数》书中提到的微元法就是此方法的讨论，它是任何一项研究都必须要首先考虑和掌握的基本方法。

下边举几个例子看一下我们该怎样使用这两种方法.===================================================================== 二、微分静态模型微分静态模型的关键就是建立一个包含各个影响因素在内的目标函数。

具体分析步骤：〔1〕首先明确我们的优化目标；〔2〕明确影响这个目标的各个因素；〔3〕建立目标函数与各指标的代数关系；〔4〕对各指标变量求导数〔或偏导〕找极值点；〔5〕讨论目标的极值。

问题1血液在动物的血管中一刻不停地流动，为了维持血液循环动物的机体要提供能量。

能量的一部分用于供应血管壁以营养。

另一部分用来克服血液流动受到的阻力，消耗的总能量显然与血管系统的几何形状有关。

在长期的生物进化过程中，高级动物血管系统的几何形状应该已经到达消耗能量最小原则下的优化标准了。

〔我们不可能讨论整个血管系统的几何形状，这会涉及太多的生理学知识。

下面的模型只研究血管分支处粗细血管半径的比例和分岔角度，在消耗能量最小原则下应该取什么样的数值。

〕分析：1.这是一个研究几何形状与能量消耗之间的关系的一个问题。

2.如图，血液在流动过程中能量分两部分：提供营养，克服阻力。

3.提供营养：是指血管壁要吸收能量，这与血管壁的体积，厚度有关。

而一般来说半径越大的血管，厚度也就越大，相应吸收的能量也就越多。

4.克服阻力：与水不同，血液是粘稠的，它在血管内流动是什么样的一种状况？之前各学科的研究有没有给我们提供一个可借用的一个结果？我们可以假设血液在人体内流动，相当于粘性液体在刚性〔所谓刚性是指血管不做胀缩，当然这也是简化了的〕管道中流动。

模型假设：1. 一条粗血管在分支点处分成两条细血管，分支点附近三条血管在同一平面上，有一对称轴。

因为如果不在一个平面上，血管总长度必然增加，导致能量消耗增加，不符合最优原则。

这是一条几何上的假设。

2. 在考察血液流动受到的阻力时，将这种流动视为粘性液体在刚性管道中的运动。

这是一条物理上的假设。

3. 血液对血管壁提供营养的能量随管壁内外表积及管壁所占体积的增加而增加。

管壁所占体积又取决于管壁厚度，而厚度近似地与血管半径成正比。

这是一条生理上的假设。

4. 如图将实际问题符号化。

对于假设2，我们可以利用流体力学中关于粘性流体在刚性管道中流动时所受阻力的定理，即阻力与流量q 的平方成正比，与半径r 的4次方成反比。

所以血液在粗细血管中流动的阻力分别为44kq r ，4141kq r ，k 是比例系数。

对于假设3，内外表积：2S rl π=，体积V S l '=，22[()]S r d r π'=+-，显然V 与2r成正比。

综合考虑外表积与厚度对能量的影响，可设单位长度的血管壁提供营养的能量为br α，12α≤≤，b 为比例系数。

模型建立： 血液从BAB ⇒'过程中的总能耗。

2424121111(/)(/)2E E E kq r br l kq r br l αα=+=+++，而1,tan sin H Hl L l θθ=-=代入。

24241111(,,)(/)(/tan )(/)2/sin E r r kq r br L H kq r br H ααθθθ=+-++。

最优原则，找极点10,0EE rr ∂∂==∂∂，0E θ∂=∂。

得215211514040kq b r r kq b r r αααα--⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，1414r r α+=，41cos 2()r r θ-=，44cos 2ααθ-+=， 这就是能耗最小时的分支处几何形状。

可代入1r 与r 算出一个大致范围。

11.26 1.32rr ≤≤，3739θ≤≤。

模型检验：这里只提供检验模型的一个依据。

记动物的大动脉和最细的毛细血管的半径分别为maxr 和min r ，设从大动脉到毛细血管共有n 次分岔，将1414rr α+=反复利用n 次可得max 4min 4nr r α+=，max min r r 的实际数值可以测出，例如对狗而言有5max min 10004r r ≈≈，由max 4min4nr r α+=可知5(4)n α≈+。

因为12α≤≤，所以按照这个模型，狗的血管应有25~30次分岔。

又因为当血管有n 次分岔时血管总数为2n，所以估计狗应约有25302~2，即79310~10⨯条血管。

这样得到的数据可以从一个方面验证模型。

问题2最优存贮模型某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器,假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的,订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。

如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货,一次订多少货)。

如果日需求为100元,一次订货费用为5000元,每件电器每天的贮存费1元,请给出最优结果。

分析：1.这是一个最优化问题。

首先过程为〔1〕订货。

配货中心将货品运往超市 〔2〕超市按稳定需求量售货〔期间产生存贮费〕 〔3〕当这批货品全部售完时，新货恰好到〔因为要求不允许缺货〕 这样的过程再次重复，我们可称之为一个销售周期。

2.其次这样的最优策略存在吗？〔跟据常识是存在的〕 比方给大家三个方案，大家很快的就可以看出好坏来：方案一：每天订100元的货，订货费5000元，但无存贮费。

每天的费用为5000元。

显然不是最优的。

方案二：每10天订一次货，订1000元的货，订货费5000元，存贮费900＋800＋…＋100＝4500元，10天总计9500元，平均每天费用950元。

比方案一要好的多。

方案三：每50天订一次货，订5000元的货，订货费5000元，存贮费4900＋4800＋…＋100＝122500元，总计127500元，平均每天费用2550元，思考 1 那么方案二是否是最优的呢？恒量一个方案好坏的标准是什么？是一个周期的总费用吗？应该是每天的平均费用！思考 2 那么平均费用和哪些因素有关？无非是两种费用，订货费和存贮费。

周期短、订货量少—贮存费少、订货费高；周期长、订货量大—订货费少，贮存费多。

所以存在最正确的周期和产量，使费用最少。

模型的假设：〔1〕每天的需求量为常数r ；〔2〕每次的订货费用为c1,每天每件产品的存贮费为c 2 ；〔3〕T 天订一次货,每次订Q 件,且当存贮量为0时,立即补充,补充是瞬时完成的； 〔4〕为方便起见,将r ,Q 都视为连续量。

建模目的：求T ，Q 使平均每天费用最少。

模型建立将存贮量表示为时间的函数时，进货Q 件这类小电器,储存量以需求r 的速率递减,直到q (T )=0。

易见一个周期的存贮费用220()TC q s ds c A ==⎰; 2122rT C c c =+; 12()2c c rTC C T T T ==+;令0dcdT =；得T=Q =上式称为经济订货批量公式。

(1)订货费越高,需求量越大,则每次订货批量应越大,反之,每次订货量越小； (2)贮存费越高,则每次订货批量越小,反之,每次订货批量应越大。

将125000,1,100c c r ===代入，得T =10天,Q =1000件,c =1000元为最优方案 。

思考：1.不考虑生产费用和利润，隐含了哪些假设？如配货中心有足够的货品等。

2.如果允许缺货会怎么办？如果你是精明的商人，你会将没有赚到的钱视为损失。

问题3允许缺货的存贮模型如果超市对这种小家电的需求是可以缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货,一次订多少货)如果日需求为100元,一次订货费用为5000元,每件电器每天的贮存费1元,每件小家电每天的缺货费为0.1元，请给出最优结果分析：相应的可以利用上面的部分假设及结果，但对假设〔3〕就做改动，〔3.1〕设每隔T 天进货Q 吨，允许缺货，缺货费为3C 。

模型II ：订货费1c ，存贮费 122101()2T c q t dt C QT =⎰，缺货费123311|()|()2T T c q t dt c r T T =-⎰ ，总费用__21213111()22C c c QT c r T T =++-，将1Q rT =代入， 22312()(,)22c rT Q c c Q C T Q T rT rT -=++这里的C 函数中,Q T 与上例不同，它们是两个独立的变量，这里C 应用(,)C T Q 二元函数，而二元函数的极值00CT C Q∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，可得''T Q ==，令1)u =>，与上例相比多了个μ，即 '',/T Tu Q Q u ==。

评注：,T T Q Q ''><，即允许缺货时订货周期应增大订货批量应减小，且3c 越大μ越小，即3,1c μ→∞→;,T T Q Q ''→→当缺货严重影响时，就成了不允许缺货情形。

三、微分动态模型微分动态模型与静态模型不同，它通常是一个微分方程模型，那么它的解不再是一个数字了，而是一个函数。

当我们描述实际对象的某些特性随时间〔或空间〕而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立对象的动态模型。

一般步骤：〔i〕首先要根据建模的目的和对问题的具体分析作出简化假设。

〔ii〕然后按照对象内在的或可类比的其他对象的规律列出微分方程。

〔iii〕求出方程的解并翻译回实际问题，就可以进行描述了。

问题1 水的流出时间我们先来看一个简单的模型，这个模型我们在高数里边也见过类似的问题。

一横截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B的小孔放水。