【师说】2017高考数学(理)二轮专题复习 课时巩固过关练(十五)直线与圆 Word版含解析

第1讲 直线与圆一、选择题1．(2017·日照二模)已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要解析：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝0⇔m ＝±1.所以命题p 是命题q 的充分不必要条件． 答案：A2．(2017·忻州模拟)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：依题意，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点．因为圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2，故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.答案：B3．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53 B.213C.253D.43解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，所以⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，所以△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，因此圆心到原点的距离d ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.答案：B4．(2017·济南调研)若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( )(导学号 54850124)A ．1B ．－3C ．1或－3D ．2解析：因为圆(x －1)2＋y 2＝5的圆心C (1，0)，半径r ＝ 5.又直线x －y ＋m ＝0被圆截得的弦长为2 3.所以圆心C 到直线的距离d ＝r 2－（3）2＝2， 因此|1－0＋m |12＋（－1）2＝2，所以m ＝1或m ＝－3. 答案：C5．(2017·汉中模拟)已知过点(－2，0)的直线与圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0相切于点P (P 在第一象限内)，则过点P 且与直线3x －y ＝0垂直的直线l 的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0 C.3x ＋y －2＝0D ．x ＋3y －6＝0解析：圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0的标准方程(x －2)2＋y 2＝4， 所以圆心C (2，0)，半径r ＝2.又过点(－2，0)的直线与圆C 相切于第一象限， 所以易知倾斜角θ＝30°，切点P (1，3)， 设直线l 的方程为x ＋3y ＋c ＝0，把点P (1，3)代入，所以1＋3＋c ＝0，所以c ＝－4. 所以直线l 的方程为x ＋3y －4＝0. 答案：B 二、填空题6．(2017·菏泽二模)已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．解析：圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，所以圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3. 又直线y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短． 因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，所以a ＝－1.故所求直线的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝07．(2017·北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．解析：法一 由题意知，AO →＝(2，0)，令P (cos α，sin α)，则AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6. 法二 由题意知，AO →＝(2，0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO →·AP →＝(2，0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6. 答案：68．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________．解析：由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝23，所以圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. 因为直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，所以直线l 的倾斜角∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°，因此|CD |＝|CE |sin 60°＝23sin 60°＝4.答案：4 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)．(导学号 54850125)(1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S . 解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，配方， 得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2，3)． 当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34.又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切， 故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0. (2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离为d ＝|5×2－3×3|52＋32＝134， 又|OA |＝32＋52＝34， 所以S ＝12|OA |d ＝12.10．(2017·天津南开中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切．(导学号 54850126)(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程． 解：(1)将圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5－m ， 因为圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切， 所以圆心(－2，1)到直线x －3y ＋3－2＝0的距离d ＝41＋3＝2＝r ，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则可设直线MN 的方程为2x －y ＋c ＝0，因为|MN |＝23，半径r ＝2，所以圆心(－2，1)到直线MN 的距离为22－（3）2＝1.则|－4－1＋c |5＝1，所以c ＝5±5， 所以直线MN 的方程为2x －y ＋5± 5＝0.11.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解：(1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6，7)，半径r ＝5， 由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)，且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.解得b ＝1，所以圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为k OA ＝2，所以可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0. 又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝25，即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.所以直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形， 又因为P ，Q 为圆M 上的两点， 所以|PQ |≤2r ＝10. 所以|TA |＝|PQ |≤10， 即（t －2）2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的取值范围为[2－221，2＋221 ]．。

2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题五 解析几何 第一讲 直线与圆课时作业 理1．(2016·惠州调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交． 答案：B2．(2016·高考全国Ⅱ卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C ． 3D ．2解析：先根据圆的方程求出圆心坐标，再根据圆心到直线的距离为1列出方程，解方程求出a 的值．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋12＝1，解得a ＝－43.答案：A3．(2016·青岛模拟)已知A (1,2)，B (3,1)两点到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：当A ，B 两点位于直线l 的同一侧时，一定存在这样的直线l ，且有两条．又|AB |＝－2＋－2＝5，而点A 到直线l 与点B 到直线l 的距离之和为2＋5－2＝5，所以当A ，B 两点位于直线l 的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条． 答案：C4．(2016·开封模拟)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．1D ．3解析：由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋－2－2＝ 2.答案：A5．(2016·沈阳模拟)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得，y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，故选D. 答案：D6．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B .O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA →＋OB →|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故k <2 2.综上，k 的取值范围为[2，22)． 答案：C7．(2016·绵阳诊断)已知直线l 1：x ＋(1＋k )y ＝2－k 与l 2：kx ＋2y ＋8＝0平行，则k 的值是________．解析：由题意得1k ＝1＋k 2≠2－k－8，由此解得k ＝1.答案：18．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________. 解析：根据直线与圆的位置关系先求出m 的值，再求|CD |.由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos α＝23×23＝4. 答案：49．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．解析：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －2＋y －2＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，Δ＝56－16a －4a 2>0. 由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.10.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：k AN ＋k BN 为定值．解析：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254.(2)证明：由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN ＝0.当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3＝2ty 1y 2－y 1＋y 2ty 1－3ty 2－＝－6t t 2＋1＋6tt 2＋1ty 1－ty 2－＝0.综上可知，k AN ＋k BN 为定值．11．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆被直线x －3y ＋4＝0截得的弦长为2 3.(1)求圆O 的方程；(2)若斜率为2的直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，且点D (－1,0)在以AB 为直径的圆的内部，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．解析：(1)设x 2＋y 2＝r 2，圆心(0,0)到直线x －3y ＋4＝0的距离d ＝2，又因为截得的弦长为23，所以r ＝32＋22＝7，圆O 的方程为x 2＋y 2＝7.(2)设斜率为2的直线l 的方程为y ＝2x ＋b ， 与圆相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝7，y ＝2x ＋b ，得5x 2＋4bx ＋b 2－7＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝140－4b 2>0，x 1＋x 2＝－4b 5，x 1x 2＝b 2－75.已知点D (－1,0)在以AB 为直径的圆的内部，所以DA →·DB →<0，即DA →·DB →＝(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2)＝5x 1x 2＋(2b ＋1)(x 1＋x 2)＋b 2＋1＝2b 25－4b5－6<0，解得－3<b <5，满足Δ>0.所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围为(－3,5)．。

第1讲直线与圆直线的方程自主练透夯实双基1．直线方程五种形式（1）点斜式:y－y1＝k(x－x1)．(2）斜截式：y＝kx＋b。

（3）两点式:y－y1y2－y1＝错误!(x1≠x2,y1≠y2）．(4）截距式：错误!＋错误!＝1（a≠0，b≠0)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0)．2．三种距离公式（1)A（x1,y1)，B（x2，y2)两点间的距离：｜AB｜＝错误!。

(2)点到直线的距离:d＝错误!（其中点P(x0，y0），直线方程：Ax ＋By＋C＝0）．(3）两平行直线间的距离：d＝错误!（其中两平行线方程分别为l1:Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．3．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1,k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．[题组通关]1．设直线l1:2x－my－1＝0，l2:(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件C [解析］由于两直线方程中的常数项之比为－1,故两直线平行的充要条件是错误!＝错误!≠－1.由错误!＝错误!,得m（m－1)＝2，解得m＝2或m＝－1。

当m＝－1时，错误!＝错误!＝－1，两直线重合,所以两直线平行的充要条件是m＝2.所以“m＝2"是“l1∥l2”的充要条件．2．在△ABC中，A（1，1)，B（m,错误!)（1<m〈4)，C（4,2），则当△ABC的面积最大时,m＝（)A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!B ［解析] 由两点间距离公式可得｜AC｜＝错误!，直线AC的方程为x－3y＋2＝0,所以点B到直线AC的距离d＝错误!，所以△ABC 的面积S＝错误!｜AC|·d＝错误!|m－3错误!＋2｜＝错误!|错误!错误!－错误!｜，又1〈m<4，所以1〈错误!<2，所以当错误!＝错误!，即m＝错误!时,S取得最大值．3．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2:2x＋3y－8＝0的交点，且到点P（0，4）距离为2的直线方程为________．[解析] 由错误!得错误!所以l1与l2交点为(1，2)，直线x＝1显然不适合．设所求直线为y－2＝k（x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P（0，4)到直线的距离为2，所以2＝错误!，所以k＝0或k＝错误!.所以直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0。

C. x + y — 3= 0D. x —y + 3 = 0专题15直线与圆1.圆(x + 2)2+ y 2= 4 与圆(x — 2)2+ (y — 1) 2= 9 的位置关系为( )A .内切B .相交 C.外切D.相离解析：两圆的圆心距离为 答案：B17,两圆的半径之差为 1、半径之和为5，而1<.17<5,所以两圆相交.2 22.已知直线x + y — k = 0(k >0)与圆x + y = 4交于不同的两点A ,B O 是坐标原点,那么k 的取值范围是( )A . ( .3,+^) C. ［ 2, 2 2)—— 庶_解析：当|Q4+换|=罟厨时，6 A f 占三点为等腰三甬形的三个顶点，苴中OA-OB } ZAOB=\20^r 从而园心◎到直絃x+丁一匸的距离为L 此时 匸品 当4迈时』国+费绰丽』又直线与圆0有两个不同的交点，故炮逅综上，上的取■值范围为［£,［筋.答案：C3.已知A (1,2) , E (3,1)两点到直线I 的距离分别是，2, •. 5 — 2,则满足条件的直线I 共有()E . 2条 C. 3条解析：当A , B 两点位于直线I 的同一侧时，一定存在这样的直线I ,且有两条.又|AB = .:〕一1 2+ 1—2 2= 5，而点A 到直线I 与点B 到直线I 的距离之和为2 + 5— 2= 5，所以当AB 两点位于直线I 的两侧时，存在一条满足条件的直线.综上可知满足条件的直线共有3条.答案：C4.已知直线I : x — y + 4= 0与圆C ： (x — 1)2+ (y — 1)2= 2，则圆C 上的点到直线I 的距离的最小值为( )A. 2B. 3C. 1D. 3答案：A5 .已知直线I 过圆x 2+ (y — 3) 2= 4的圆心，且与直线 x + y + 1 = 0垂直，则直线I 的方程为( A . x + y — 2= 0B . [ 2, +m ) D. [ 3, 2 2)A . 1条 D. 4条解析：由题意知，圆C 上的点到直线I 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线I 的距离减去圆的半径，即_|1 — 1 + 4|1+ — 12— 2= ,2.B . x —y + 2 = 0解析：由已知得，圆心为（0,3），所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得， y = x + 3,即x — y + 3= 0,故选D. 答案：D22 2 26 •已知圆C: （x + 1） + y = r 与抛物线D ： y = 16x 的准线交于 A, B 两点，且| AB = 8,则圆C 的面积为（ ）A . 5 nB . 9 nC. 16 nD. 25 n解析抛物线的准线方程为Q-4,而IH 心坐掠为（-1, 0）.所臥圆心到直线的距离为3,所以圆的半径 为5,抜圆面积为25兀.答案Dn2 27.过点（—2, 0）且倾斜角为—的直线l 与圆x 2+ y 2= 5相交于M N 两点，则线段 MN 的长为（ ）A . 2 2B . 3 C. 2 3 D. 6解析 I 的方程为x — y + 2= 0,圆心（0 , 0）到直线I 的距离d = 2，则弦长| MN = 2 , r 2— d 2= 2,3. 答案 C8 .已知圆C 关于y 轴对称，经过点（1 , 0）且被x 轴分成两段弧长比为 1 : 2,则圆C 的方程为（ ）D . x + y ± -3 = 3解析 由已知圆C 圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为|n ，设圆心（0 , a ），半径为r ,rn n贝y r sin 3= 1, r cosy = | a | , 2 解得r = —3,24 3即r = 3, |a |=苜,即a =±二3,故圆C 的方程为3答案 C9 .已知直线I 过点0（0 , 0）和点F （ ,2cos a, ,2sin a — 4），其中a k n +扌,k € Z 则直线I 的斜率 的取值范围为（）A. x ±2+y 2= 4B -x士 # 2+y2=1A. [ - 7, 7]B. ( -7,7)C. ( -g,- 7] U [ ,7,+s)D. ( -g,-,7) U r.7,+^)解析 动点P 的轨迹为圆Q ?+ tr+4)^2,但应除去圆与y 轴的两个交点.当直线』与圆Q 相切时，设 直线』的斜率为比则直^ 1的方程为yF 由圆卜如 -4倒直线1的距离等于半辭,得~^=\Jr+l他 解儈妒士扳利用数形结合，得直线』的斜率的取憤范围为(-5 -诉］+小答案 C 10.已知直线ax +4y - 2 = 0与2x - 5y + b = 0互相垂直，垂足为(1 , c )，贝U a + b + c 的值为()A . - 4B . 20C . 0D. 24a 2解析 由两直线垂直得— ；乂2=— 1,4 5••• a = 10,将垂足坐标代入 ax + 4y -2 = 0,得c =- 2，再代入2x -5y + b = 0,得 b =- 12,「. a + b + c =- 4. 答案 A 11.点P (4 , - 2)与圆x 2 + y 2 = 4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A . (x -2)2 + (y + 1)2= 1B . (x - 2)2 + (y + 1)2= 44 2 2 2C. (x + 4) + (y -2) = 4 D . (x + 2) + (y - 1) = 1X 1 + 4+ (2y + 2)2 = 4，化简得(x — 2) 2+ (y + 1)2= 1. 答案 A12 .两个圆 C ： x 2+ y 2 + 2ax + a 2-4 = 0( a € R)与 C 2：x 2+y 2-2by - 1 + b 2 =0( b € R)恰有三条公切线，则 a + b 的最小值为()A . - 6B .- 3 C.- 3 2D. 3解析 设圆上任意一点为(X 1,y”，中点为(x ,y )，则X 1= 2x -4,y y2 2代入 X 1 + y 1 = 4 得(2x - 4)y 1 - 2解析两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆G：(x + a)2+ y2= 4,圆G：x2+ (y-b)2=1,所以| CiC2| =、• j a2+ b2= 2+ 1 = 3, 即a2+ b2= 9.由a1 2 3 4+ b2》上穿当且仅当“ a= b”时等号成立，所以(a+ b)2w 2(a2+ b2),即| a + b| 』2.所以一3』2 w a + b W3 2.故a+ b的最小值为—3 2.答案C13. _______ 已知直线x+ 2y= 2与x轴、y轴分别相交于A B两点，若动点Ra, b)在线段AB上，贝U ab的最大值为__________ .解析由題意知川却所以线段血的方程可表示为算Ed 2],又动点尸(那引在线段曲上，所以to, 2],又討吟伶所以1乏2\^孕，解得徑玄送」当且仅当鈔1 'l 1即f 1,朴寸』曲取得最大值吕1答案214. 经过两条直线2x —3y+ 3 = 0, x—y+ 2 = 0的交点，且与直线x—3y—1 = 0平行的直线的一般式方程为解析两条直线2x—3y+ 3= 0,x —y + 2= 0 的交点为(一3,—1),2所以所求直线为y+ 1 = ~(x+ 3)，即x—3y = 0.4答案x—3y = 015. _________________________________________________________________________________已知两直线11: x+ y sin 0 —1 = 0 和12：2x sin 0 + y+ 1 = 0,当I 1丄12时，0 = _____________________________ .解析 丨1丄丨2的充要条件是 2s in 0 + sin 0 = 0, 即 sin 0= 0,二 0= k n (k € Z), •••当 0 = k n (k € Z)时，l i 丄 |2. 答案 k n (k € Z)16. 一条直线I 过点P (1 , 4)，分别交x 轴，y 轴的正半轴于 A 、B 两点，O 为原点，则△ AOB 勺面积最小时 直线I 的方程为 _________________ .解折设去扮0)・1 4因为点?(1, 4)在所以'+-=1.a ba b所以i $士汴=子匪&当-=&=尹£ 占 力 £ 即尸為色=呂时取等号. 故直线J 的方程为4卄厂8=0. 答案 4x+ -S =017. _________________________________ 已知圆C 的圆心与抛物线 y 2= 4x 的焦点关于直线y = x 对称，直线4x — 3y — 2= 0与圆C 相交于A , B 两 点，且|AB = 6，则圆C 的方程为 . 解析 设所求圆的半径是r ,依题意得， 抛物线y 2= 4x 的焦点坐标是(1 , 0), 则圆C 的圆心坐标是(0 , 1),圆心到直线4x — 3y — 2 = 0的距离故圆C 的方程是X 2 + (y — 1)2= 10. 2 2答案 x + (y — 1) = 10x — 2y 》0,2218•已知D 是由不等式组*所确定的平面区域，则圆x 2+ y 2= 4在区域D 内的弧长为 _________ .x + 3y >0解析 作出可行域D 及圆x 2 + y 2 = 4如图所示，图中阴影部分所在圆心角 0 = a + 3所对的弧长即为所求.易|4 X 0— 3X 1— 2| /2+(— 3)=1,. . 2 2 . . 2 2 . . . .19 •已知数列｛a n ｝,圆 C ： x + y — 2a n x + 2&)+1y — 1 = 0 和圆 C 2： x + y + 2x + 2y — 2 = 0，右圆 C 与圆 C 2 父于A ,B 两点且这两点平分圆C 2的周长.(1) 求证：数列｛a n ｝是等差数列；(2) 若a 1=— 3,则当圆C 1的半径最小时，求出圆C 的方程.(1)证明 由已知，圆 C 的圆心坐标为(如一a n +1), 半径为 r 1 =、-..； a n + a n +1 + 1, 圆C 2的圆心坐标为(一1, — 1)，半径为「2= 2.又圆C 与圆C 2交于A , B 两点且这两点平分圆 G 的周长, ••• | CC 2|2+ r != r 1.2 2 2 2( a n + 1) + ( 一 a n + 1 + 1) + 4 = ch + a n + 1 + 1 , 5•••n € N * ,•当n = 2时，m 可取得最小值,此时，圆C 1的方程是：x + y + x + 4y — 1 = 0.5•・ a n + 1— a n = • •数列｛a n ｝是等差数列.⑵解 ••• a 1 = — 3,.・.a n = |n —乎. 则 r 1 = ■• j a + a n +1 + 1=1 ； (5n — 11) 2+( 5n — 6) 2+ 4知图中两直线的斜率分别为1、— 1，得 tan12，tan0 = tan( a — 3 )==1,得n2(R 为圆的半径).—170n + 161.20 .如图，椭圆有两顶点 A — 1, 0)、耳1 , 0)，过其焦点F (0, 1)的直线l 与椭圆交于 C D 两点，并与x 轴交于点P.直线AC 与直线BD 交于点Q(1)当I CD = 2 "2时，求直线I 的方程;⑵ 当点P 异于A B 两点时，求证：O P- &为定值.(1)解 因椭圆的焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 2x£= 1( a >b >0),由已知得 b = 1, c = 1 ,.•. a =-J 2.2则椭圆方程为+x 2= 1. 直线I 垂直于x 轴时与题意不符.设 I 的方程为 y = kx + 1, C (x 1, yd , D (x 2, y 2).由y = kx + 1y 2，消去 y 得，(k + 2) x + 2kx — 1 = 0. 勺 + x =1心2k —1则X1 + X2=—2^p，X1X2=亓R2.|CD =1 + k2・(X1+ X2)2—4X1X2= 2；2( k2+ 1) 由迳+F=k2+ 2孕，解得k =±2.l 的方程为y = .2x + 1 或y =—.2x+ 1.(2)证明直线l垂直于x轴时与题意不符.，0；设I的方程为y= kx+ 1( k z0且k z 土1) , • P点的坐标为i —k设QX1, yd , D(X2, y2),2k —1由(1)知X i + X2=—2+ k2，X i X2= 2 + k2,V1直线AC的方程为y= —(x+ 1),X1+ 1直线BD的方程为y=—J(x—1),将两直线方程联立，消去y 得舟=y i （育因为一1 V X i , X 2< 1,(1 + X 1)( 1 + X 2) 1 — X 1)( 1 — X 2)—2k — 1 1 + k 2+ 2 + k 2+ 2 k — 1 2 1 + 2k + -1 =用 .1 +卡+卡2又 yy 2= k X 1X 2+ k (X 1+ X 2) + 1 =2 (1 + k ) 2 k — 12 ・k + 2 k + 1'因此Q 点坐标为（一k , y Q ）. 因此Q 点坐标为(一k , y Q ).OP- 0Q= — £ 0 • ( — k , y Q ) = 1.故&为定值. 21.已知集合(x , y ) |y —3 = a +1 >B = {( x , y )|( a 2— 1)x + (a — 1)y = 15}，求 a 为何值时,解 集合A 、B 分别为平面xOy 上的点集, 直线丨1： (a + 1) x — y — 2a + 1 = 0(x 丰2),212： ( a — 1)x + (a — 1)y — 15= 0.由(a +1)( a — 1 ) = (— 1)・( a 2— 1),—1x(— 15)^( a — 1)(— 2a + 1),解得a =± 1.①当a = 1时，显然有B= ?，所以A n B = ?；x + 1 x —V 2~异号(X 1+ 1)(X 2— 1 )(1 — k )(1 + k )k 2+ 2••• k ++^1 与 yy 异号,X+ 1 _k — 1^与"iX — 1同号.x + 1 X — k — 1沖，解得X =— k .A H B=所以2 / 八 2 2讨 2 (X 1+ 1) 2— 2X 24I R② 当3=- 1时，集合启为直线_pr= 3 (^2),集合万为直线产-亍两直线平行，所汰/帖=呵 ③ 由玉可知⑵3)砌 当⑵3)Eb 时， 即 2(a*— 1) +3(a~ 1) —15=0,5可得尸$或尸-4,此时彳■^铠 综上所述』当3=-4』—1,扌比£门^=心*_ 2 222 .已知圆O x + y = 4和点M 1 , 解⑴由条件知点M 在圆0上, 所以 1 + a 2= 4,贝U a =±3.当 a = 3，点 M 为(1，咲3) , koi = 3, k 切=一可,3此时切线方程为 y —■. 3 = — ^(x — 1).即 x + 3y — 4= 0. 、［3 当 a =— 3时，点 M 为(1 , — 3) , k oM =—3, k 切=g .此时切线方程为 y + 3 = -33(x — 1).即 x —"J 3y — 4= 0. 所以所求的切线方程为x + 3y — 4 = 0 或 x — 3y — 4 = 0.⑵设0到直线AC BD 的距离分别为 d 1, d 2(d 1, d 2> 0),则 d 1+ d 2= 0M= 3.又有 AC = 2 4— d 1, BD= 2 4 — d 2, 所以 AO BD= 2 4 — d 2 + 2 .4 — d 2.则(AO BD 2= 4(4 — d 2+ 4— d 2+ 2 4— d 4 — d 2) =4［5 + 2 16 — 4 (d 2 + d 2)+ d 1d ；］ =4(5 + 2 . 4+ cfd 2).因为 2d 1d 2< d 2 + d 2= 3，所以 d 2d 2w 9，所以• 4+ d ?d ?< 2,所以(AO BD )2< 4X '5+ 2X 2 卜 40. 所以 AO BDC 2 .10, 即AO BD 的最大值为 2 10.a ).(1)若过点M 有且只有一条直线与圆 0相切，求实数a 的值，并求出切线方程; ⑵若a = 2，过点M 的圆的两条弦AC, BD 互相垂直，求 AC+ BD 的最大值.当且仅当d i = d 2=23. 在平面直角坐标系xOy中，曲线y = x2- 6x+ 1与坐标轴的交点都在圆C上.(1) 求圆C的方程；⑵若圆C与直线x—y + a= 0 交于A B两点，且OAL OB求a的值.解析：⑴曲线y = x2—6x + 1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3 + 2 2, 0) , (3 —2 2, 0), 故可设圆C的圆心为(3 , t)，则有32+ (t —1)2= (2 2)2+12，解得t = 1.则圆C的半径为.32+ t —1 2= 3.所以圆C的方程为(x —3)2+ (y —1)2= 9.(2) 设A(X1, yj , B(X2, y2)，其坐标满足方程组：x— y+ a= 0,x —3 2+ y —1 2= 9.消去y，得到方程2x2+ (2 a —8)x + a2—2a+ 1 = 0.2由已知可得，△ = 56 —16a—4a >0.由根与系数的关系可知2a —2a+ 1 金X1 + X2= 4 —a, X1X2= 22由OALOB 可得X1X2 + y1y2= 0,又y1 = X1 + a, y2= X2+ a,所以2x1X2+ a(X1 + X2)+ a = 0.②由①②得a=—1，满足△ >0,故a=— 1.24. 如图，已知圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴的正半轴交于两点M N点M在点N的左侧)，且| MN(1)求圆C的方程；2 2⑵过点M任作一直线与圆O x + y = 4相交于A, B两点，连接AN BN求证：k AN+ k BN为定值. 解析：⑴因为圆C 与y轴相切于点T(0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(n>0),⑵证明：由山知MW'AU 叽 当直线Q 的斜率为0时7易知h 尸加 =0,即tc+fe.v=O f 当直线曲的斜率不为0时’设直线*3 ；1十0*将V — 1十sy 代入x : +j i —4—0,并整理得卩(卢十I)}1十5=0设曲1, J]), 5(1： j }■'：)>综上可知，出+E 为亢值.25.在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为圆心的圆被直线 x — 3y + 4= 0截得的弦长为2 3.(1)求圆O 的方程;(2)若斜率为2的直线I 与圆O 相交于A B 两点，且点D ( — 1,0)在以AB 为直径的圆的内部，求直线 l 在y 轴上的截距的取值范围.解析：⑴ 设X + y? = r ：圆心(0,0)至U 直线x — 3y + 4= 0的距离d = 2,又因为截得的弦长为 2 3，所以r=..3 2+ 22= .7,圆 O 的方程为 x 2 + y 2= 7. (2)设斜率为2的直线I 的方程为y = 2x + b ,与圆相交于 A , B 两点，设A (X 1, y" , 0X 2, y 2).2 ・ .2得 5x + 4bx + b — 7 = 0,2△ = 140— 4b >0, 4b——X 1 + X 2 =— 则X 1X 2 =冲5已知点 D ( — 1,0)在以 AB 为直径的圆的内部，所以 DA- D^0,即DA DB^ (X 1+ 1, yj ・(X 2+ 1,抽=5x 1X 2则圆C 的半径为m 又I MN = 3,所以m =4+ 3 225 5=-r,解得m=,所以圆 2 4 2C 的方程为 5 2225x —2 + (y -2)=才_,r 1'1 +j ：= - _L则心+址怜+旨右+由*r- 22x + y = 7, y= 2x + b , ~i- + V~ 6f fit+ (2b+ 1)(X1+ X2) + b2 + 1 =習5 4b4b—6<0,解得-3<b<5,满足△ >0.所以直线I在y轴上的截距的取值范围为(一3,5).。

2e⎣⎭x)＝e x(2x－1)，由题知存在唯一的整数x0，使得所以f(x)单调递增，且至少存在一个数使f(x)<0，至少存在一个数使f(x)>0，所以f(x)＝x3＋ax＋b必有一个零点，即方程x3＋ax＋b＝0仅有一根，故④⑤正确；当a<0时，若a＝－3，则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)·(x－1)，易知，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f(x)极大值＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)最小值＝f(1)＝1－3＋b ＝b－2，要使方程仅有一根，则f(x)极大值＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2<0或者f(x)极小值＝f(1)＝1－3＋b＝b－2>0，解得b<－2或b>2，故①③正确，所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.答案：①③④⑤三、解答题kG(x0)<G(0)＝0，显然所要证不等式不恒成立，综上所述可知k的最大值为10．(2015·福建高考)已知函数有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．解：(1)f′(x)＝m(e mx－1)＋2x.若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，e mx－1≥0，f′(x)>0.若m<0，则当x∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，e mx－1<0，f′(x)>0.所以，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在[－1，0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f(x)在x＝0处取得最小值．所以对于任意x1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m －m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.① 设函数g (t )＝e t－t －e ＋1，则g ′(t )＝e t－1. 当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时， g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0， 故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；当m>1时，由g(t)的单调性知，g(m)>0，即e m－m>e－1；当m<－1时，g(－m)>0，即e－m＋m>e－1.综上，m的取值范围是[－1,1]．When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your moments of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face;And bending down beside the glowing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。

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课时巩固过关练十五直线与圆(30分钟55分）一、选择题（每小题5分，共20分）1.（2016·衡水一模）已知圆x2+y2+mx-14=0与抛物线y=14x2的准线相切,则m=（）A.±2√2 B.±√3C。

√2D。

√3【解析】选B.抛物线的准线为y=—1,将圆化为标准方程(x+m2)2+y2=1+m24，圆心到直线的距离为1=√1+m24⇒m=±√3。

2.（2016·长春一模)若动点A，B分别在直线l1：x+y—7=0和l2:x+y-5=0上运动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（)A.√2B.2C.3√2D。

4√2【解析】选C。

由题意知AB的中点M的集合为到直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0的距离相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.l1，l2间的距离为√2=√2。

原点到l2的距离为√2=5√22，所以点M 到原点的距离最小值为5√22+√22=3√2。

3。

(2016·承德二模)一条光线从点(—2，—3）射出,经y 轴反射后与圆(x+3）2+ （y-2）2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 （ ）A.-53或—35 B 。

-32或-23C 。

—54或—45D 。

-43或-34【解析】选D 。

由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2,-3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为：y+3=k(x-2)，即kx —y-2k —3=0. 又因为光线与圆相切，圆心为（-3,2）， 所以√2=1。

整理得12k 2+25k+12=0,解得:k=-43或k=—34。

4.（2016·湘潭二模)两圆x 2+y 2+2ax+a 2-4=0和x 2+y 2—4by —1+4b 2=0恰有三条公切线,若a ∈R,b ∈R 且ab ≠0，则1a 2+1b 2的最小值为 （ )A.1 B 。

课时跟踪检测十六直线与圆一、选择题1．直线1：－2＋1＝0与直线2：＋－3＝0平行，那么实数的值为A．－2 B．2C．－错误!D．错误!解析：选A∵直线1：－2＋1＝0与直线2：＋－3＝0平行，∴错误!＝错误!≠错误!，解得＝－．2．点＝0，假设该直线与圆－12＋2＝4相切，那么有错误!＝2，解得m＝6或－14，即要求直线的方程为4－3＝－6或4－3＝14，应选B．6．2021·袁州模拟点A0，错误!，B3,2错误!，假设圆C：－12＋2＝r2r>0上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为错误!，那么r的取值范围是A．1,3 B．1,2C．0,3 D．0,2解析：选A根据题意，A0，错误!，B3,2错误!，那么|AB|＝错误!＝2错误!，假设△MAB和△NAB的面积均为错误!，那么M，N到直线AB的距离相等，设M，N到直线AB的距离均为d，那么有错误!×2错误!×d＝错误!，那么d＝1，又由A0，错误!，B3,2错误!，那么直线AB的方程为－错误!＋3＝0，假设圆C上有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为错误!，那么直线MN与AB平行，且圆心C到直线AB的距离d′＝错误!＝2，分析可得：1<r<3，即r的取值范围为1,3．应选A．二、填空题7．2021·凉山州模拟直线1：a＋＋2＝0，直线2：＋＝0，假设1⊥2，那么a ＝________解析：直线1：a＋＋2＝0，直线2：＋＝0，假设1⊥2，那么1·a＋1×1＝0，解得a＝－1答案：－18．2021·常熟市校级月考直线过两直线＋2＋4＝0和2＋3－8＝0的交点，且过点0,1，那么直线的方程为______________．解析：直线过两直线＋2＋4＝0和2＋3－8＝0的交点，且过点0,1，联立错误!得＝28，＝－16，∴直线过点28，－16，0,1，∴直线的方程为错误!＝错误!，即17＋28－28＝0答案：17＋28－28＝09．2021·呼和浩特一模直线＝－错误!－3与，轴分别交于A，B两点，动点错误! ,0，由AN＋BN＝0⇒错误!＋错误!＝0⇒12－m＋21－m＝0⇒1t2＋1－m＋2t1＋1－m＝0，即2t12＋1－m1＋2＝0，故2t·错误!＋1－m错误!＝0对任意t∈R恒成立，即8－2mt＝0恒成立，故m＝4即N4,0．所以存在定点N，使得轴平分∠点坐标为4,0．12．2021·南平模拟圆M满足：①被轴分成两段圆弧，弧长的比为3∶1；②截轴所得的弦长为21求圆心M的轨迹方程；2求圆心M到直线：2－＝0的距离最小的圆的方程．解：1设圆心M，，半径为r，∵圆M被轴分成两段圆弧的弧长比为3∶1，∴圆心M到轴的距离||＝错误!①∵圆M截轴所得的弦长为2，∴圆心M到轴的距离||＝错误!，②由①②消去r得22－2＝1，即错误!－2＝1∴圆心M的轨迹方程为错误!－2＝12设直线2－＋c＝0与双曲线错误!－2＝1相切．联立方程组错误!消得22＋4c＋c2＋1＝0，令Δ＝16c2－8c2－8＝0，得c＝±1∴当c＝1时，方程组错误!的解为错误!即切点坐标为－1，－1，此时M－1，－1，r＝错误!，故圆M的方程为＋12＋＋12＝2当c＝－1时，方程组错误!的解为错误!即切点坐标为1,1，此时M1,1，r＝错误!故圆M的方程为－12＋－12＝2∴圆心M到直线：2－＝0的距离最小的圆的方程为＋12＋＋12＝2或－12＋－12＝2。

乙两地某月状况，随机选取该月中的5
岁B．32.6岁
由频率分布直方图可知：×0.01×5＝1，[5,10)
×5＝1，[10,15)的
＝4，[15,20)的频
8.493；
④y与x正相关且y^＝－4.326x－
4.578.
其中一定不正确的结论的序号是()
A．①②B．②③
C．③④D．①④
解析：①y与x负相关且y^＝2.347x －6.423，此结论错误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；②y与x 负相关且y^＝－3.476x＋5.648，此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；
③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493，此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578，此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征．综上判断知，①④一定不正确，故选D.
答案：D
9．通过随机询问110名性别不同的人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意
走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：
的相关系数为直线
设平均值为X，X＝＋65×0.3＋75。

课时作业1．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行,则l1与l2之间的距离为( ）A.错误!B．4错误!C。

错误!D．2错误!C ［解析] 因为l1∥l2，得错误!＝错误!≠错误!，解得a＝－1，所以l1与l2的方程分别为l1:x－y＋6＝0,l2:x－y＋错误!＝0，所以l1与l2的距离d＝错误!＝错误!错误!。

2．已知圆C:x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为( )A．8 B．－4C．6 D．无法确定C ［解析］圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x －y＋3＝0过圆心错误!，即－错误!＋3＝0，所以m＝6。

3．在平面直角坐标系xOy中,设直线l：y＝kx＋1与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于( ）A．1 B．2C．－1 D．0D ［解析] 由题意知圆心到直线l的距离等于错误!r＝1(r为圆C 的半径），所以错误!＝1，解得k＝0.4．(2016·石家庄第一次模考）已知直线ax＋y－1＝0与圆C：（x－1)2＋（y＋a)2＝1相交于A、B两点,且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A.错误!或－1 B．－1C．1或－1 D．1C ［解析] 由题意得圆心(1，－a）到直线ax＋y－1＝0的距离为错误!，所以错误!＝错误!，解得a＝±1，故选C。

5．（2016·重庆第一次适应性测试)已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝2与y轴在第二象限所围区域的面积为S,直线y＝2x＋b分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S，则b＝( ) A．－错误!B．±错误!C．－错误!D．±错误!D ［解析］记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，圆心C 到y轴的距离为1，且｜CA|＝｜CB｜＝2，则CA⊥CB，因此圆心C(1，2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是有错误!＝1，解得b＝±错误!，选D。

课时作业15 直线与圆A基础达标1．[2022·门头沟模拟]若点M(1，1)为圆C：x2＋y2－4x＝0的弦AB的中点，则直线AB 的方程是( )A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0C．x－y＝0 D．x＋y＝02．[2022·辽宁鞍山一中模拟]设m∈R，直线l1：(m＋2)x＋6y－2m－8＝0，l2：x＋2my ＋m＋1＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2022·山西吕梁一模]已知圆C：x2＋y2－4x＝0，过点M(1，1)的直线被圆截得的弦长的最小值为( )A．2B．2 2C．1 D．24．[2022·安徽淮南一模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为( )A.2x＋y－3＝0B．2x－y＋3＝0C．x－2y－3＝0D．x－2y＋3＝05．[2022·黑龙江哈尔滨市一模]直线l：x＋y＋m＝0与圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝4交AB＝2，则m的值为( )于A，B两点，若||A．± 2 B．±2C．± 6 D．±2 26．[2022·山东菏泽一模]已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为( )A ．(y －1)2－x 2＝65 B ．x 2－(y －1)2＝65 C ．y 2－(x ＋1)2＝65 D ．(x ＋1)2－y 2＝657．[2022·广东江门]已知M 是圆C ：x 2＋y 2＝1上一个动点，且直线l 1：mx －ny －3m ＋n ＝0与直线l 2：nx ＋my －3m －n ＝0(m ，n ∈R ，m 2＋n 2≠0)相交于点P ，则||PM 的取值范围是( )A.[3－1，23＋1] B ．[2－1，32＋1] C ．[2－1，22＋1] D ．[2－1，33＋1]8．[2021·上海市奉贤中学二模]点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为________．9．[2022·湘潭质检]设点P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0).则PA →·PB →的最大值为________．10．[2022·山西晋中一模]已知圆E 的圆心为(a ，2)，直线l 1：x －y ＋1＝0，l 2：x －y －1＝0，与圆E 分别交于点A ，B 与C ，D ，若四边形ABCD 是正方形，则圆E 的标准方程为________.11．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x －my －1＝0平行，则实数m 的值为________，动直线l 被圆C ：x 2＋y 2＋2x －24＝0截得弦长的最小值为________．12．[2022·天津五十七中模拟]已知圆C 过点P (0，1)、Q (2，1)两点，且圆心C 在x 轴上，经过点M (－1，0)且倾斜角为钝角的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若CA →·CB →＝0(C 为圆心)，则该直线l 的斜率为________．B 素养提升13.[2022·甘肃二模]阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C 到A (－1，0)，B (1，0)的距离之比为3，则点C 到直线x －2y ＋8＝0的距离的最小值为( )A ．25－ 3B ．5－ 3C ．2 5D ． 314．设A (－2，0)，B (2，0)，O 为坐标原点，点P 满足||PA |2＋PB |2≤16，若直线kx－y ＋6＝0上存在点Q 使得∠PQO ＝π6，则实数k 的取值范围为( )A ．[－42，42]B ．(－∞，－42]∪[42，＋∞)C ．(－∞，－52]∪[52，＋∞) D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，52课时作业15 直线与圆1．解析：圆C 的标准方程为（x －2）2＋y 2＝4， ∵（1－2）2＋12<4，即点M 在圆C 内，圆心C （2，0），k MC ＝1－01－2 ＝－1，由垂径定理可知MC⊥AB，则k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0. 答案：C2．解析：若l 1∥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2m （m ＋2）＝6（m ＋1）（m ＋2）≠－（2m ＋8） ，解得m ＝1或－3，因此，“m＝1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件．故选A . 答案：A3．解析：若过点M （1，1）的直线被圆截得的弦的长度最小， 则点M （1，1）为该弦的中点，由x 2＋y 2－4x ＝0，得（x －2）2＋y 2＝4， 所以若要弦长最小，只要圆心到直线的距离即为圆心到定点M （1，1）的距离， 由|CM|＝ 2 ，所以弦长＝24－2 ＝2 2 ，故选B . 答案：B4．解析：线段AB 的中点为M （1，2），k AB ＝－2，∴线段AB 的垂直平分线为y －2＝12 （x－1），即x －2y ＋3＝0.∵AC＝BC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，因此△ABC 的欧拉线的方程为x －2y ＋3＝0.故选D .答案：D5．解析：由题知：圆C 的圆心为C （－1，1），半径为r ＝2， 因为直线l 与圆C 相交形成的弦长为||AB ＝2， 所以圆心C 到直线l 的距离为d ＝ r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22 ＝4－1 ＝ 3 ，所以d ＝||m 2＝3 ，解得m ＝± 6 .故选C . 答案：C6．解析：设动圆圆心P （x ，y ），半径为r ，则P 到l 1的距离d 1＝||2x －3y ＋213，P 到l 2的距离d 2＝||3x －2y ＋313，因为l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，∴2r 2－d 21 ＝26，2r 2－d 22 ＝24，化简后得r 2－d 21 ＝169，r 2－d 22 ＝144，相减得d 22－d 21＝25，将d 1＝||2x －3y ＋213，d 2＝||3x －2y ＋313代入后化简可得（x ＋1）2－y 2＝65.故选D .答案：D7．解析：依题意，直线l 1：m （x －3）－n （y －1）＝0恒过定点A （3，1），直线l 2：n （x －1）＋m （y －3）＝0恒过定点B （1，3），显然直线l 1⊥l 2，因此，直线l 1与l 2的交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆， 其方程为（x －2）2＋（y －2）2＝2，圆心N （2，2），半径r 2＝ 2 ，而圆C 的圆心C （0，0），半径r 1＝1，如图：|NC|＝2 2 >r 1＋r 2，两圆外离，由圆的几何性质得：|PM|min ＝|NC|－r 1－r 2＝ 2 －1，|PM|max ＝|NC|＋r 1＋r 2＝3 2 ＋1， 所以||PM 的取值范围是[ 2 －1，3 2 ＋1].故选B . 答案：B8．解析：直线y ＝k （x ＋1）恒过点A （－1，0），则点（0，－1）到直线y ＝k （x ＋1）的距离的最大值为点（－1，0）到点A 的距离， ∴点（0，－1）到直线y ＝k （x ＋1）距离的最大值为 d ＝（0＋1）2＋（－1－0）2＝ 2 . 答案： 29．解析：由题意，得PA →＝（2－x ，－y ）， PB →＝（－2－x ，－y ）， 所以PA → ·PB → ＝x 2＋y 2－4，由于点P （x ，y ）是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋（y －3）2＝1，故x 2＝－（y －3）2＋1，所以PA → ·PB → ＝－（y －3）2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y≤4，所以当y ＝4时，PA → ·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12. 答案：1210．解析：设半径为r ，这时圆E 的标准方程为（x －a ）2＋（y －2）2＝r 2. 由题意知，圆心E 在直线x －y ＝0上， 所以a ＝2.又l 1，l 2两直线间的距离d ＝||1－（－1）12＋（－1）2＝ 2 ，且四边形ABCD 是正方形，所以2r ＝ 2 d ＝ 2 × 2 ＝2，解得r ＝1，所以圆E 的标准方程为（x －2）2＋（y －2）2＝1.答案：（x －2）2＋（y －2）2＝111．解析：由题意得m×（－m ）－（－1）×1＝0，所以m ＝±1. 当m ＝1时，两直线重合，舍去，故m ＝－1.因为圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －24＝0可化为（x ＋1）2＋y 2＝25，即圆心为C （－1，0），半径为5.由于直线l ：mx －y －1＝0过定点P （0，－1）， 所以过点P 且与PC 垂直的弦的弦长最短， 且最短弦长为2×52－（2）2＝223 . 答案：－1 22312．解析：由题可知，PQ 为圆C 的弦，则圆心C 在PQ 中垂线x ＝1上，又∵圆心在x 轴上，故圆心坐标为C （1，0），故圆的半径r ＝||PC ＝ 2 ，∵过点M （－1，0）的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若CA → ·CB →＝0（C 为圆心），故△CAB 为等腰直角三角形，||CA ＝||CB ＝r ＝ 2 ，则圆心C 到AB 即直线l 的距离d ＝1， 设l 为y ＝k （x ＋1），即kx －y ＋k ＝0， 则d ＝||2k k 2＋1 ＝1⇒k ＝±33 ，∵k<0，∴k＝－33 . 答案：－3313．解析：设C （x ，y ），则|CA||CB| ＝ 3 ，即（x ＋1）2＋y2（x －1）2＋y2＝ 3 ，化简得（x －2）2＋y 2＝3，所以点C 的轨迹为以D （2，0）为圆心，r ＝ 3 的圆，则圆心D 到直线x －2y ＋8＝0的距离d ＝||2－2×0＋812＋（－2）2＝2 5 ，所以点C 到直线x －2y ＋8＝0的距离的最小值为2 5 －3 .故选A . 答案：A14．解析：设P （x ，y ），∵|PA|2＋|PB|2≤16，∴（x ＋2）2＋y 2＋（x －2）2＋y 2≤16，即x 2＋y 2≤4.∴点P 的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面． 若直线kx －y ＋6＝0上存在点Q 使得∠PQO＝π6 ，则PQ 为圆x 2＋y 2＝4的切线时∠PQO 最大，∴sin∠PQO＝|| OP|OQ| ＝||2|OQ|≥12，即||OQ≤4.∴圆心到直线kx－y＋6＝0的距离d＝61＋k2≤4，∴k≤－52或k≥52.答案：C。

专题能力训练15 直线与圆一、能力突破训练1。

圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A。

1 B.2 C。

D.2答案：C解析:由题意可知圆心坐标为（—1,0),故圆心到直线y=x+3的距离d==，故选C。

2。

已知三点A（1，0）,B(0，），C（2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(）A.B。

C. D.答案：B解析：由题意知,△ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点,设为P,而线段AB垂直平分线的方程为y—=,它与x=1联立得圆心P坐标为，则｜OP|==。

3.直线y=kx+3与圆（x-1)2+（y+2)2=4相交于M,N两点，若｜MN｜≥2，则实数k的取值范围是（）A。

B.C。

D.答案：B解析:当|MN｜=2时，在弦心距、半径和半弦长构成的直角三角形中，可知圆心(1，—2）到直线y=kx+3的距离为=1,即=1，解得k=-。

若使｜MN|≥2，则k≤—.4。

过三点A(1，3),B(4,2)，C(1，-7）的圆交y轴于M，N两点，则｜MN｜=(）A.2B.8C.4 D。

10答案:C解析：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A，B,C代入，得解得则圆的方程为x2+y2—2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M（0,y1),N（0，y2）,则y1，y2是方程y2+4y—20=0的两根,由根与系数的关系，得y 1+y2=—4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|===4。

5.已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则｜CD｜= .答案：4解析：由题意得直线l的倾斜角为，坐标原点O到直线l的距离为=3.设直线l与x轴交于点E，结合题意知B（0，2），E（—6,0）,则｜BE|==4.因为｜AB｜=2=2，所以A为EB的中点。

由题意知AC∥BD,所以C为DE的中点，即|CE｜=｜CD｜====4.6。

如图，在△ABC 中，已知BD ＝
AC
AC →
AB 于点E .由AN →＝
a·b＝0，|a|＝2，|b|＝
4
由程序框图得：第一次运行i＝1，a＝4；第二次运行
整除，结束运行，输出a＝12，i
i
在复平面上对应的点位于
2－i
2i
＝2；第二次运行：S＝
＋…＋2×7＝56，故m 的取值范围是(42,56]．
黑龙江大庆实验中学期末)化简2＋4i
(1＋i)2
的结果是
的外接圆半径为
，c 的最大值．∵输出的结果是
≠π2
，
)
＋44＋46＋47＋48)＝44对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是
z ＝－2＋i ，所以z ＋1＝－1＋i ，则复数z ＋1所对应的向量的坐标为安徽三校联考)已知复数3＋i
x －i
(x ∈R )在复平面内对应的点位于以原点为半径的圆周上，则x 的值为( )
如图，在△ABC 中，AM →＝λAB →，AN →＝μ
填一个数字)．
由题意知判断框中的条件需在i ＝4，即S ＝9时执行此判断框后的”．
定义一种运算如下：⎣⎢⎡a c
i )－(－1)×2＝－1＋3i ，其共轭复数为－答案：－1－3i。

专题五平面解析几何建知识网络明内在联系[高考点拨]平面解析几何是高考的重点内容，常以“两小一大”呈现，两小题主要考查直线与圆的位置关系．双曲线的图象和性质(有时考查抛物线的图象和性质)，一大题常考查以椭圆(或抛物线)为背景的图象和性质问题．基于上述分析，本专题将从“直线与圆”“圆锥曲线的定义、方程、几何性质”“圆锥曲线中的综合问题”三条主线引领复习和提升．突破点13直线与圆(对应学生用书第167页)(1)圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.(2)圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F ＞0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆.(1)(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，弦长公式|AB |＝2r 2－d 2(弦心距d ).(1)上的点距离的最大值为|PC |＋r ，最小值为|PC |－r ，其中r 为圆的半径．(2)圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ，最小距离是d －r ，其中d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径．(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦．回访1 圆的方程1．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎨⎧ m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.] 2．(2014·山东高考)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为______________________．(x －2)2＋(y －1)2＝4 [设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.]回访2 直线与圆的位置问题3．(2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [法一：由⎩⎨⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )． ∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交．法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，∴M (0，a )，r 1＝a . 依题意，有a 2＝a 2－2，解得a ＝2. 以下同方法1.]4．(2015·山东高考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34D [由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D.](对应学生用书第167页)热点题型1 圆的方程题型分析：求圆的方程是高考考查的重点内容，常用的方法是待定系数法或几何法.(1)(2016·黄山一模)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为________．(2)(2016·郑州二模)已知⊙M 的圆心在第一象限，过原点O 被x 轴截得的弦长为6，且与直线3x ＋y ＝0相切，则圆M 的标准方程为________．(1)x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 (2)(x －3)2＋(y －1)2＝10 [(1)因为圆C 关于y 轴对称，所以圆C 的圆心C 在y 轴上，可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r 2＝43，b ＝±33. 所以圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.(2)法一：设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(a ＞0，b ＞0，r ＞0)，由题意知⎩⎨⎧ b 2＋9＝r 2，|3a ＋b |32＋12＝r ，a 2＋b 2＝r 2，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝1，r 2＝10，故⊙M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.法二：因为圆M 过原点，故可设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，又被x 轴截得的弦长为6且圆心在第一象限，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 22＝32，故D ＝－6，与3x ＋y ＝0相切，则－E 2－D 2＝13，即E ＝13D ＝－2，因此所求方程为x 2＋y 2－6x －2y ＝0.故⊙M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.]求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．[变式训练1] (1)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x ＋1)2＋y 2＝4C ．x 2＋(y －1)2＝4D ．x 2＋(y ＋1)2＝4 (2)(2016·青岛一模)抛物线y 2＝4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ，B 两点，其准线与x 轴的交点为M ，则过M ，A ，B 三点的圆的标准方程为________．(1)B (2)(x －1)2＋y 2＝4 [(1)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2，半径为r ，得⎩⎨⎧ (a ＋2)2＋(3)2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎨⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.故选B.(2)由题意知，A (1,2)，B (1，－2)，M (－1,0)， △AMB 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则线段AB 是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.]热点题型2 直线与圆、圆与圆的位置关系题型分析：直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的热点内容，解决的方法主要有几何法和代数法.(1)(2016·全国丙卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.4 [由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos α＝23×23＝4.](2)(2016·开封一模)如图13-1，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝r 2是椭圆x 216＋y 2＝1的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点．(1)求圆G 的半径r ；(2)过点M (0,1)作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切．图13-1[解] (1)设B (2＋r ，y 0)，过圆心G 作GD ⊥AB 于D ，BC 交长轴于H . 由GD AD ＝HB AH 得r 36－r 2＝y 06＋r ， 即y 0＝r 6＋r 6－r， ①2分而B (2＋r ，y 0)在椭圆上，y 20＝1－(2＋r )216＝12－4r －r 216＝－(r －2)(r ＋6)16， ②3分由①②式得15r 2＋8r －12＝0，解得r ＝23或r ＝－65(舍去).5分(2)证明：设过点M (0,1)与圆(x －2)2＋y 2＝49相切的直线方程为y ＝kx ＋1，③则23＝|2k ＋1|1＋k 2，即32k 2＋36k ＋5＝0，④解得k1＝－9＋4116，k2＝－9－4116.将③代入x216＋y2＝1得(16k2＋1)x2＋32kx＝0，则异于零的解为x＝－32k16k2＋1.8分设F(x1，k1x1＋1)，E(x2，k2x2＋1)，则x1＝－32k116k21＋1，x2＝－32k216k22＋1，9分则直线FE的斜率为k EF＝k2x2－k1x1x2－x1＝k1＋k21－16k1k2＝34，于是直线FE的方程为y＋32k2116k21＋1－1＝34⎝⎛⎭⎪⎫x＋32k116k21＋1.即y＝34x－73，则圆心(2,0)到直线FE的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－731＋916＝23，故结论成立.12分1．直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算．2．弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2r2－d2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l＝1＋k2|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解．[变式训练2] (1)(2016·哈尔滨一模)设直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程为________. 【导学号：67722047】y ＝x ＋1 [直线l 恒过定点M (0,1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，易知点M (0,1)在圆C 的内部，依题意当l ⊥CM 时直线l 被圆C 截得的弦最短，于是k ·1－00－1＝－1，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.] (2)(2016·泉州一模)已知点M (－1,0)，N (1,0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 距离的3倍．①求曲线E 的方程；②已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．C ，D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为－1时，求线段AB 的长．[解] ①设曲线E 上任意一点坐标为(x ，y )， 由题意，(x ＋1)2＋y 2＝3(x －1)2＋y 2，2分整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求.4分②由题知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1,0)，设曲线E 的圆心为E ，则E (2,0)，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：y ＝x －2，设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22.7分 由圆的几何性质，|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，解得t ＝0或t ＝3， 又C ，D 两点均在x 轴下方，直线CD ：y ＝－x .由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－4x ＋1＝0，y ＝－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－22，y ＝22－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋22，y ＝－22－1.9分设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，22－1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，－22－1， 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4x ＋1＝0，y ＝u (x －1)消去y 得： (u 2＋1)x 2－2(u 2＋2)x ＋u 2＋1＝0，(*)方程(*)的两根之积为1，所以点A 的横坐标x A ＝2＋2，又因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，22－1在直线l 1：x －my －1＝0上，解得m ＝2＋1，11分直线l 1：y ＝(2－1)(x －1)，所以A (2＋2，1)，同理可得，B (2－2，1)，所以线段AB 的长为2 2.12分专题限时集训(十三) 直线与圆[建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．(2016·济南模拟)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210C [圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1－1＝0，所以a ＝－1，从而A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝6.]2．(2016·衡水一模)已知圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与抛物线y ＝14x 2的准线相切，则m ＝( )A ．±2 2B ．±3 C. 2 D. 3B [抛物线的准线为y ＝－1，将圆化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝1＋m 24，圆心到准线的距离为1＝1＋m 24⇒m ＝±3.]3．(2016·长春一模)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上运动，则AB 的中点M 到原点的距离最小值为( ) A. 2B ．2 2C ．3 2D ．4 2C [由题意知AB 的中点M 的集合为到直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离相等的直线，则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在的直线方程为：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得， |m ＋7|2＝|m ＋5|2，解得m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，再根据点到直线的距离公式得点M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.] 4．与圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条A [把已知两圆化为标准方程，C 1：(x ＋1)2＋(y －3)2＝36，C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故圆心分别为C 1(－1,3)，C 2(2，－1)．两圆圆心距|C 1C 2|＝(－1－2)2＋[3－(－1)]2＝5，等于两圆半径之差，故两圆相切，它们只有一条公切线．]5．(2016·湘潭二模)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( )【导学号：67722048】A ．1B ．3 C.19 D.49A [x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，即(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0，即x 2＋(y －2b )2＝1，依题意可得，两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和，则a 2＋(2b )2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋4b 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋a 2b 2＋4b 2a 2≥19⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a 2b 2·4b 2a 2＝1，当且仅当a 2b 2＝4b 2a 2即a ＝±2b 时取等号，故选A.]二、填空题 6．(2016·赤峰高三统考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是________．(－∞，－1]∪[1，＋∞) [因为圆心为O (0,0)，半径R ＝1.设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形P AOB 为正方形，故有PO ＝2R ＝2，由题意知圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于PO ＝2，即|2|1＋k 2≤2，即1＋k 2≥2，解得k ≥1或k ≤－1.]7．(2016·合肥一模)设点P 在直线y ＝2x ＋1上运动，过点P 作圆(x －2)2＋y 2＝1的切线，切点为A ，则切线长|P A |的最小值是________． 2 [圆心C (2,0)到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝5，所以|P A |＝|PC |2－1≥d 2－1＝2.]8．(2016·长沙二模)若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.18 [由题意得直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为22r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2＝2⇒a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(－22＋1)2＝18.]三、解答题9．(2016·南昌一模)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.[解](1)由圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，配方得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆心C(2,3).2分当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.由d＝|2k－3＋5－3k|k2＋1＝1，得k＝34.4分又斜率不存在时直线x＝3也与圆相切，5分故所求切线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.6分(2)直线OA的方程为y＝53x，即5x－3y＝0，8分点C到直线OA的距离为d＝|5×2－3×3|52＋32＝134.10分又|OA|＝32＋52＝34，∴S＝12|OA|d＝12.12分10．(2016·洛阳一模)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．[解](1)如图所示，|AB|＝43，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，2分所以圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，所以|AD|＝23，|AC|＝4，C点坐标为(－2,6)．在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋(－1)2＝2，得k ＝34. 故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.4分直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0.6分所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.7分(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )，则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，所以(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，10分化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2016·淄博模拟)已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37D [如图，易知AC 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0.点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝|－4|5＝455＞1，OA ＝(－2)2＋32＝13，OB ＝(－2)2＋(－1)2＝5，OC ＝62＋(－1)2＝37，∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，∴圆的半径为1或37，则该圆的方程为x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.故选D.]2．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. 5B ．5C ．25D ．10B [由题意，知圆心M 的坐标为(－2，－1)，所以－2a －b ＋1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离的平方，而(a －2)2＋(b －2)2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.故选B.] 3．命题p ：4＜r ＜7，命题q ：圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离等于5，所以圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1时，4＜r ＜6，所以p 是q 的必要不充分条件．]4．(2016·兰州二模)已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，22)C ．[2，＋∞)D ．[3，22)B [由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |2＜2， 由k ＞0，得0＜k ＜2 2.①如图，又由|OA →＋OB →|≥33|AB →|，得|OM |≥33|BM |⇒∠MBO ≥π6，因|OB |＝2，所以|OM |≥1，故|k |1＋1≥1⇒k ≥ 2.② 综①②得2≤k ＜2 2.]二、填空题5．已知直线x ＋y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是坐标原点，向量OA →，OB →满足|2OA →－3OB →|＝|2OA →＋3OB →|，则实数a 的值为________.【导学号：67722049】 ±2 [由|2OA →－3OB →|＝|2OA →＋3OB →|得OA →·OB →＝0，即OA ⊥OB ，则直线x ＋y －a ＝0过圆x 2＋y 2＝2与x 轴，y 轴正半轴或负半轴的交点，故a ＝±2.]6．(2016·滨州二模)在平面直角坐标系xOy 中，以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．(x －2)2＋(y －1)2＝1 [直线mx ＋y －2m ＝0过定点(2,0)，则以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为1，∴半径最大的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.]三、解答题7．已知半径为2，圆心在直线y ＝－x ＋2上的圆C .(1)当圆C 经过点A (2,2)，且与y 轴相切时，求圆C 的方程；(2)已知E (1,1)，F (1，－3)，若圆C 上存在点Q ，使|QF |2－|QE |2＝32，求圆心的横坐标a 的取值范围．[解] (1)∵圆心在直线y ＝－x ＋2上，半径为2，∴可设圆的方程为(x －a )2＋[y －(－a ＋2)]2＝4，2分其圆心坐标为(a ，－a ＋2)．∵圆C 经过点A (2,2)，且与y 轴相切，∴有⎩⎨⎧(2－a )2＋[2－(－a ＋2)]2＝4，|a |＝2， 解得a ＝2，4分∴圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝4.5分(2)设Q (x ，y )，由|QF |2－|QE |2＝32，得(x －1)2＋(y ＋3)2－[(x －1)2＋(y －1)2]＝32，解得y ＝3，∴点Q 在直线y ＝3上.7分又∵点Q 在圆C ：(x －a )2＋[y －(－a ＋2)]2＝4上，∴圆C 与直线y ＝3必须有公共点．∵圆C 圆心的纵坐标为－a ＋2，半径为2，∴圆C 与直线y ＝3有公共点的充要条件是1≤－a ＋2≤5，即－3≤a ≤1.10分∴圆心的横坐标a 的取值范围是[－3,1].12分8．已知△ABC 的三个顶点A (－1,0)，B (1,0)，C (3,2)，其外接圆为⊙H .(1)若直线l 过点C ，且被⊙H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以点C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求⊙C 的半径r 的取值范围．[解] (1)线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0，所以外接圆圆心为H (0,3)，半径为(－1)2＋32＝10，⊙H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10.设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被⊙H 截得的弦长为2，所以d ＝10－1＝3.3分当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；4分当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k (x －3)，则|3k ＋1|1＋k 2＝3，解得k ＝43，直线方程为4x －3y －6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.5分(2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )，因为点M 是线段PN 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2，n ＋y 2， 又M ，N 都在半径为r 的⊙C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x －3)2＋(y －2)2＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋y 2－22＝r 2，即⎩⎨⎧(x －3)2＋(y －2)2＝r 2，(x ＋m －6)2＋(y ＋n －4)2＝4r 2.7分 因为该关于x ，y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m,4－n )为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r )2≤(3－6＋m )2＋(2－4＋n )2≤(r ＋2r )2，8分 又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对∀m ∈[0,1]成立．而f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0,1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤325，10，故r 2≤325且10≤9r 2.10分又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2＞r 2对∀m ∈[0,1]成立，即r 2＜325.故⊙C 的半径r 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，4105.12分。