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第9章 常微分方程数值解法 8-2
第8章 序
许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动， 许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动，空间 技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析， 技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析，力学中的振 动，工程问题中的电路分析等，都可归结为常微分方程的 工程问题中的电路分析等， 初值问题。 初值问题。 所谓初值问题， 所谓初值问题，是函数及其必要的导数在积分的起始 点为已知的一类问题，一般形式为： 点为已知的一类问题，一般形式为：
⇒ y n +1 = y n −1 + 2hf ( xn , y n )
第9章 常微分方程数值解法
(8 - 4)
8-10
Euler公式的推导（ Euler公式的推导（续5） 公式的推导
上对y )=f 四、利用数值积分公式：在[xn,xn+1]上对y′(x)=f (x,y(x)) 积分 利用数值积分公式：
x0 < x1 < L < xn < L
（i=1,2,…,n）构造插值函数作为近似函数。上述离散点 i=1,2,…,n）构造插值函数作为近似函数。 相 邻两点间的距离h 称为步长， 邻两点间的距离hi=xi-1-xi 称为步长，若hi 都相等为一定数 h, 则称为定步长，否则为变步长。( x, y ( x)) 则称为定步长，否则为变步长。 a≤ x≤b y ′( x) = f 本章重点讨论如下 y (a ) = y0 一阶微分方程： 一阶微分方程： 在此基础上介绍一阶微分方程组与 8-5 第9章 常微分方程数值解法 高阶微分方程的数值解法。 高阶微分方程的数值解法。
⇒ yn +1 = yn + hf ( xn , yn ) + E ( xn , h) ⇒ yn +1 = yn + hf ( xn , yn )
Hale Waihona Puke 第9章 常微分方程数值解法h E ( xn , h ) = y′′(ξ n )称为xn的截断误差(局部) 2
8-9
2
Euler公式的推导（ Euler公式的推导（续4） 公式的推导
第9章 常微分方程数值解法 8-4
2 x2 1 4 − x2 4 = 1 ⇒ c = −2 ⇒ − = −2⇒ = ⇒ y= y 2 y 4 4 − x2
微分方程 数值解
由于在实际问题和科学研究中遇到的微分方程往往很 函数y 复杂，绝大多数很难， 复杂，绝大多数很难，甚至不可能求出解析函数y(x)，因 此只能考虑求其数值解。 此只能考虑求其数值解。 初值问题的数值解法，是要寻求解函数y 而常微分方程 初值问题的数值解法，是要寻求解函数y(x) 在一系列点y(x 离散点） 在一系列点y(xi ) （离散点）:
第9章 常微分方程数值解法
f ( x, y ) − f ( x, y ) ≤ L y − y
8-3
第 9章 序
由常微分方程的理论可知：上述问题的解唯一存在。 的理论可知：上述问题的解唯一存在。 常微分方程求解求什么？应求一满足初值问题（8—1） 求解求什么？应求一满足初值问题（ 的解函数y 如对下列微分方程： 的解函数y = y(x) ，如对下列微分方程：
y
(n)
= f ( x)或y
(n)
我们先介绍 简单的一阶问题： 简单的一阶问题： y′( x) = f ( x, y ( x)) y ( a ) = y0
= f ( x, y′, y′′,L, y
a≤ x≤b
( n −1)
)
(8 − 1)
只要f ( x, y )满足(李卜希兹)( Lipschitz条件) :
重复上述过程，即可求出在x0 , x1 ,L, x N ,L与所对应的微分方程 初值问题的y = y ( x)的y ( xi )(i = 1,2,..., N ,...)的近似值y0 , y1 , L, y N ,L
一般地假定已求出 n , yn ), yn ≈ y( xn )可作直线: y = yn + f ( xn , yn )(x − xn ) (x 与x = xn+1相交得: yn+1 = yn + f ( xn , yn )(xn+1 − xn ) = yn + hf ( xn , yn )
第9章 常微分方程数值解法
W Y
第 9章
常微分方程
数值解法
8-1
第9章目录
§1 欧拉（Euler）方法 欧拉（Euler） 1.1 Euler法及其简单改进 Euler法及其简单改进 1.2 改进的Euler法 改进的Euler法 龙格库塔（Runge-kutta） §2 龙格库塔（Runge-kutta）方法 2.1 龙格-库塔方法的基本思想 龙格2.2 二阶龙格-库塔公式 二阶龙格2.3 高阶R-K公式 高阶R 2.4 变步长R-K法 变步长R §3 线性多步法 §4 一阶方程组与高阶方程初值问题 §5 收敛性与稳定性
∫
xn+1
xn
y′( x)dx = ∫
xn+1
xn
f ( x, y( x))dx ⇒ y( xn+1 ) − y( xn ) = ∫
xn+1 xn
xn+1
xn
f ( x, y( x))dx
所以
y( xn+1 ) = y( xn ) + ∫
f ( x, y( x))dx
对右端积分项采用不同的数值积分公式，便可得到各种 对右端积分项采用不同的数值积分公式， xn +1 不同的求解dE初值问题的计算公式 初值问题的计算公式。 不同的求解dE初值问题的计算公式。 ∫x n f ( x , y ( x )) dx 如，以矩形面积代替曲边梯形面积 1）以左矩形面积代替曲边梯形面积如图8-2，亦即以 以左矩形面积代替曲边梯形面积如图8
y1 = y0 + f ( x0 , y 0 )( x1 − x0 ) = y0 + hf ( x0 , y0 )
以y1近似y ( x1 )，当x = x1时，可求y1：
再以P1 ( x1 , y1 )为切点，以 f ( x1 , y1 )为斜率，可得切线： y = y1 + f ( x1 , y1 )( x − x1 ) 与x = x2 相交于P2 ( x2 , y 2 )可得：y 2 = y1 + f ( x1 , y1 )( x2 − x1 ) = y1 + hf ( x1 , y1 ) 而用P1 P2 近似曲线(在[ x1 , y1 ]上)
1 h2 还可利用三点公式: f ′( x1 ) = ( y 2 − y0 ) − f ′′′(ξ ) 2h 6 (也称为中点法公式 ) 1 h2 ⇒ y′( xn ) = ( y( xn +1 ) − y( xn −1 )) − y′′′(ξ n ) = f ( xn , y( xn )) 2h 6 h3 ⇒ yn +1 = yn −1 + 2hf ( xn , yn ) + y′′′(ξ n )， 3 h3 去掉误差项E ( xn，h) = y′′′(ξ n ) 3
f (xn , yn ) ≈ f (x, y(xn ))
则有y n +1 = y n + ( xn +1 − xn ) f ( xn , y n )
第9章 常微分方程数值解法 n n
y
f(x, y)
图8-2
= y + hf ( x , y n )为Euler公式
xn
xn+1 x 8-11
f ( x n +1 , y n +1 ) ≈ f ( x n +1 , y ( x n +1 ), 则有y n +1 = y n + hf ( x n +1 , y n +1 )
y = y0 + f ( x0 , y0）x − x0 ) (
第9章 常微分方程数值解法
y(x) P0
x0 x1 x2
8-7
切线与x 切线与x = x1交于P1(x1,y1)，公式的推导(续1） P 0 P 1 交于P 在[x0,x1]上以切线 Euler公式的推导 Euler公式的推导( 近似曲线， 近似曲线，
上 y(xi )的近似值yi（ i=1,2,…,n），并且还可由这些（xi,yi) 近似值y i=1,2,…,n），并且还可由这些（ ），并且还可由这些
§1 欧拉（Euler）法 欧拉（Euler）
以Euler法及其改进方法为例,说明 Euler法及其改进方法为例 法及其改进方法为例, 常微分方程初值问题数值解法的一般概 Euler法很简单 准确度也不高， 法很简单， 念，Euler法很简单，准确度也不高， 介绍此方法的目的， 介绍此方法的目的，是由于对它的分析 讨论能够比较清楚地显示出方法的一些 特点， 特点，而这些特点及基本方法反映了其 它方法的特点。 它方法的特点。
y f(x, y) y f(x, y)
2）以右矩形面积代替曲边梯形(后退的梯形公式）：如图8-3 以右矩形面积代替曲边梯形(后退的梯形公式）：如图8 ）：如图 Euler公式的推导 Euler公式的推导（续6） 公式的推导（
图8-3
xn
n+1
xn+1
x
h2 y ( xn + h) = y ( xn ) + hy′( xn ) + y′′( xn ) + L 2! 2 y′= f ( x , y ) h ===== y ( xn ) + hf ( xn , y ( xn )) + y′′( xn ) + L 2! 取h的线性部分作为近似式，并以y ( xn ) ≈ yn , y ( xn +1 ) ≈ yn +1
