振动力学6多自由度系统振动之三频率方程的零根和重根情形之四受迫振动之五有阻尼

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多自由度体系自由振动

KN

振动方程
y2 (t )
y1 (t )
质点在任何时刻要受力平衡
竖向
1 (t ) m y
FEK1
水平方向：
2 (t ) FEK 2 m y
问题转化为求质点在任意时刻 t 在2 个方向上受到的恢复力

恢复力的求法
B
D
y2 (t )
y1 (t )
竖向
VDB
FEK1
A
C
弹簧反力
y1 (t )
1 (t )11 m2 212 y1 (t ) m1 y y
1 (t ) 21 m2 2 22 y2 (t ) m1 y y
y2 (t )

方程中各个系数意义如下：
P=1 L/4 L L/4 L/2 L/2 L/4
P=1
L/4
M1
L/4
A1 A11
与A1的比值，记为
A21
T
同理，把λ=λ2 代入振型方程中的任意一个方程，得到A2
A22 2 m1 11 A12 m2 12
y1(t)= A12sin（ω2t + φ） y2(t)= A22sin（ω2t + φ）同样，称 A2 A 12
A22 为第二振型
-----频率方程
3. 柔度矩阵与刚度矩阵的关系
K 1

[计算举例]
，杆长都是L，列振动方程
m EI EI EI1=∞
13 EI 图示结构弹簧的刚度 KN= 3 2L
解：1）2个动力自由度，质点的水平位移和竖向位移，如图
并求振动频率和振型，作出振型图
y 2 (t )
y1 (t )

6 多自由度体系的微振动

V
x
• 当超过弹性限度后，势能将越来越偏离谐振势能
F
线性近似

例：单摆

M dV d mgl sin
V mgl 1 cos
• 在较大摆角下，势能不是谐振势 • 在很小的摆角范围，势能近似为谐振势：
2 4 V mgl 1 cos mgl 2! 4!
第六章多自由度体系的微振动
本章内容
多自由度的微振动是自然界十分普遍的运动体系，如：双摆，多原子振动，固体晶格振动等。本章学习：多自由度体系谐振动的概念振动的描述

线性近似

例：弹簧振子。在弹性限度内，势能为二次函数，力为恢复力
V 1 2 kx
2
F
dV dx
kx

g sin 0 , l l g f t l
• 当力学体系在稳定平衡位置附近做微小振动，只考虑最低级近似－线性近似，体系做线性振动 • 稳定平衡：保守体系在稳定平衡位置的势能有极小值（拉格朗日定理）
一、有限多自由度的线性振动

极值条件：
t
2 2 2
1
0
0
t
2 2
2 2
2
2
2
0 0
0
0
t
2
3
0
2 02 2 0 0
0
2
2 2
2 0 0
2
2 0 2 2 0 0
A B 0 C
关于A,B,C的代数方程组 “特征值问题”
2
• 在平衡位置（x=0）附近展开：

振动力学ch3b-c

1 3 2 2 0 2 1 3 2
(i ) N
1 φ(i ) 正则模态和主模态之间的关系： φ m pi
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 模态叠加法
模态 φ(i ) (i 1 ~ n) 相互正交
表明它们是线性独立的，可用于构成 n 维空间的基系统的任意 n 维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合
主刚度矩阵
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
多自由度系统： MX KX 0
正则模态
X Rn
M、K R nn
(i )T Mφ( j ) φ N ij N 正交性条件： (i )T ( φ N KφN j ) iji2
i 1~ n
坐标变换： ΦN X N X N ：正则模态坐标 X
N
Φ N ：正则模态矩阵
T T 代入，并左乘 Φ T ：ΦN MΦN X ΦN KΦN X 0
模态坐标初始条件： X N (0) ΦN1 X 0
IX N ΛX N 0
X N (0) ΦN1 X 0
sin i t (i 1 ~ n)
i
在求得 xNi (i 1 ~ n) 后，可利用 X ΦN X N 式求得原系统的解
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：三自由度弹簧－质量系统
X 0 [2 2 0]T
x1
X 0 [0 0 0]T
x2 k m k m x3 2k
M、K R nn
X 0 [ x1 (0), x2 (0),, xn (0)]T
X 0 [ x1 (0), x2 (0),, xn (0)]T

多自由度系统振动b

x3 2k
(K 2 M ) φ 0
0 k 3k
3k m 2 k 0
3 1 0 1 2 1
3k K k 0
k 2k k
k 2k m 2 k
1 k 2 0 3k m 2 3 0
2018年11月7日
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
n n n n
(K i2 M )φ(i ) 0
φ(i ) [1(i ) n(i ) ]T
n 个方程奇次方程组
当 i 不是特征多项式重根时，上式 n 个方程只有一个不独立设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有φ( i ) 的某个元 (i ) 素（例如 n ）的项全部移到等号右端
（自由振动方程）
KX P (t ) MX
KX 0 MX
X Rn
和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频率为振动频率
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动
运动规律的时间函数
X φ f (t )
f (t ) R1
常数列向量代表着振动的形状
1 ：基频
9
固有频率仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数 2018年11月7日
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
采用位移方程求解固有频率
X FP (t ) 位移方程： FMX
X 0 自由振动： FMX
X Rn
F K 1 柔度矩阵
主振动：
X φsin( t )
特征值
1/ 2
特征根按降序排列： 1 2 n 0

机械振动-第五章多自由度系统的振动

5-2 多自由度系统振动方程式
1）质量弹簧系统
根据牛顿运动定律，列出各质点的运动方程式
1 P m1 x 1 K1 x1 K 2 x2 x1 2 P2 K 2 x2 x1 K 3 x3 x2 m2 x 3 P3 K 3 x3 x2 m3 x
列向量
系数矩阵
x1 x x 2 , x 3
1 x 2 , x x x 3
P 1 P P 2 P 3
m1 0 M 0 m2 0 0

矩阵形式表达式
K A p 2 M A 0
其中
A1 A2 A An
有非零解的条件是系数行列式等于零
k11 m11 p 2 k 21 m21 p 2 k n1 mn1 p 2
k12 m12 p 2 k1n m1n p 2 k 22 m22 p 2 k 2 n m2 n p 2 k n 2 mn 2 p 2 k nn mnn p 2
或
K x 0 M x
列向量
0 0 0 0
2）梁上具有集中质量的横向振动系统
梁上具有任意n个集中质量，系统运动时各质量的横向位移为y1、y2、…yn，作用在各质量上的外力为P1、P2…Pn，惯性 1 , m2 2 , mn n ，由柔度影响系数的定义及力 y y y 力为 m1 的叠加原理，可列出下述关系式
当外力不存在时，得到系统自由振动方程式
y M y
或
0 y M y K y 0 M y
当系统存在阻尼时，如果是粘性阻尼，引入一个n阶正定的阻尼方阵，使具有阻尼的多自由度系统的振动方程式具有下述一般形式。

5多自由度系统振动解析

X FP (t ) 位移方程： FMX
主振动： X φsin( t ) 代入，得： (FM I ) φ 0 特征方程：
X R
n
F K 1 柔度矩阵
X 0 自由振动的位移方程： FMX
φ [1 2 n ]T
特征值
1/ 2
φT Mφ f(t ) φT Kφf (t ) 0
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
：常数
M 正定，K 正定或半正定对于非零列向量 φ ：令：
φ Mφ 0
T
φT Kφ 0
2
0
对于正定系统必有 0
对于半正定系统，有 0
（不生弹性变形）
X φf (t ) 正定系统 0 半正定系统 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
首先讨论正定系统的主振动
KX 0 正定系统： MX
主振动： X φa sin( t ) 将常数a并入 φ 中
X R
0
n
M 正定，K 正定
FM I 0
特征根按降序排列： 1 2 n 0
i 1/ i2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：三自由度系统
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
x1 2k
m
x2 k
m
x3
m 2k
k
3k K k 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
为常数 a、b、
（1）正定系统

第4章-多自由度系统振动(d)

ΦN

(1) ,
m p1
(2) ,
mp2
(3)

mp3
1
1 6m
2 1
3 0 3
2
2
2

正则模态和主模态之间的关系：
φ( i ) N

1 φ(i)
mpi
15
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
小结：模态的正交性，主质量和主刚度
若 i j 时， φ(i)T Mφ( j) 0
φ(i)T Kφ( j) 0
模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性
当 i＝j 时，
φ(i)T Mφ(i) mpi
φ(i)T Kφ(i) k pi
第 i 阶模态主质量第 i 阶模态主刚度
第 i 阶固有频率：
i
k pi m pi
mpi φ(i)T Mφ(i)
第 i 阶模态主质量
k pi φ(i)T Kφ(i)
第 i 阶模态主刚度
正则模态：i 1~ n
φ(i) N
φ φ M (i)T
(i)
N
N
1
第 i 阶正则模态
主质量为1
2019年7月8日《振动力学》
φ φ K (i)T
(i)
N
N
i2
固有频率的平方
9
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
模态矩阵： 1 1 1
Φ (1) , (2) , (3) 2 0 1
1 1 1

[工学]6-多自由度振动_OK

固有振型、固有向量、模态向量等。显然:
([K ] i2[M ]){X (i)} {0}, (i 1, 2 n)
和两自由度一样，由上式只能求出振幅的比值，而不能确定各振幅大小。
固有频率和特征向量只决定于系统本身的物理特性，而与外部激励和初始条件无关，它们都是系统的固有属性。
第6章2021多/8/自20 由度系统的振动
0
k2r (k2 k3)r 2
k3r
0
k3r
k3
第6章2021多/8/自20 由度系统的振动
6.1 多自由度系统的运动微分方程式
66
对于有分支结构的m-k-c振动系统，可以用直观
目测方法直接形成振动系统的[M]、[K] 、[C]: 1. [M]为各个质量形成的对角阵; 2. [K]或[C]中的主对角线元素kii或cii为连接在质
2.247B1 0.802B2 0.555B3 1
A11 A22 A33 0
1.802A11 0.445A22 1.247 A33 0
2.247A11 0.802A22 0.555A33 0
解出各系数即可…
作业：T6-28
第6章多自由度系统的振动
6.2无阻尼自由振动的特征值问题 26
1.振型的基准化
由于固有振型{X(i)} 只是振幅的比例关系，
各阶振型均有一个未确定的常数比例因子。通常假设振型的某个元素为1，则其它元素就可以表示为此元素的倍数，这种方法或过程就是振型的基准化。
一般假设振型的第一个元素为1。
第6章多自由度系统的振动
6.2无阻尼自由振动的特征值问题 16
2. 振型的标准化另外一种确定振型各元素数值的方法
x3 2.247(A1 sin1t B1 cos1t) 0.802(A2 sin2t B2 cos2t) 0.555(A3 sin3t B3 cos3t)

结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件

1 536EI
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某一振型成比例，然后任其自然，则系统就按这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于该振动的一组特解；

振动力学—多自由度系统

系统的势能为
k k2 1 2 1 1 1 2 2 T 1 U k1 x1 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 {x1 , x2 } 2 2 2 2 k2 k2 x1 1 T x Kx k2 k3 x2 2
0 x1 1 T x Mx m2 x2 2
3.1引言
二自由度系统的是最简单的多自由度系统，力学直观性比较明显，系统的运动微分方程的求解相对简单。本节以二自由度系统为例，介绍多自由度系统求解中遇到的某些问题和解决的思路。 3.1.1 二自由度运动微分方程 3.1.2 不同广义坐标下的运动微分方程 3.1.3 解除耦合的方法
3.1引言
系统的能量耗散函数
c c 1 2 1 1 2 1 1 c2 ( x1 x2 ) 2 c3 x2 {x1 , x2 }T 1 2 D c1 x 2 2 2 2 c2 c2 x1 1 T x Cx c2 c3 x2 2
mL2 0
1 mgL kL2 0 2 mL 2 kL2
1 0 2 mgL kL 2 kL
2
3.1引言
3.1.2 不同广义坐标下的运动微分方程以汽车的二自由度振动模型为例，选取不同的广义坐标建立运动微分方程，观察方程耦合的情况。同时找出不同广义坐标下运动微分方程之间的关系。
3.1引言
⑶取广义坐标为yA、yB 。yC和可用 yA和yB表示为 L1 ( yB y A ) L2 L1 yC y A y A yB L L L
，
yB y A 1 1 y A yB L L L

振动力学第四章多自由度系统的振动

m 0 0 M 0 m 0 0 0 2m
2k K k 0
k 2k k
0 k k
2 将M和K代入频率方程 K p M 0
2k p 2 m k 0
k 2k p 2 m k
0 k k 2 p2m 0
4.1 固有频率主振型
4.1.3位移方程的解
当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有代入位移方程 x 0 Mx
xi Ai sin( pt )
sin( pt )
i 1,2,3,n
p 2 MA A 0
LM
( M 1 I)A 0 2 p
例题
(2k p 2 m)(k 2 p 2 m) k 2 adj B k ( k 2 p 2 m) 2 k
(2k p 2 m)(k 2 p 2 m) k ( 2 k p 2 m) k ( 2 k p 2 m) ( 2 k p 2 m) 2 k 2 k ( k 2 p 2 m) k2
1 I 2 p
特征矩阵
频率方程
M
1 I 0 2 p
求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩阵adjL将pi值代入而求出.
4.1 固有频率主振型
例题
例图是三自由度振动系统，设k1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，试求系统的固有频率和主振型。解：选择x1、 x2、 x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为
FT
11
l
FT
11
3l
1
11
3l 4T
由图中三角形的几何关系可解出
21 11

《振动力学》5多自由度系统振动(a)

18
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
⎡0⎤ ⎢M ⎥ ⎡ P1 ( t ) ⎤ ⎡ k 11 ... k 1 j ... k 1 n ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ k 1 j ⎤ ⎢ P ( t ) ⎥ ⎢ k ... k ... k ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ k ⎥ 2j 2n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2j⎥ 2 ⎥ = ⎢ 21 P (t ) = ⎢ 1⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ .......... .......... .⎥ ⎢ ⎢M M ⎥ ⎥ ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ Pn ( t ) ⎦ ⎢ k n 1 ... k nj ... k nn ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ k nj ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎢0⎥ ⎣ ⎦
多自由度系统振动
m人
k1 c1
m车
建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
5
k2
c2
多自由度系统振动
m人
k1 c1
m车
建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确 k2 c2 k2 c2
− k 2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ P (t ) ⎤ 1 ⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢ P (t )⎥ k 2 + k3 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦
kθ 1
M 1 (t )
kθ 2 I1
M 2 (t )
kθ 3 I2
⎡ I1 ⎢0 ⎣
& 0 ⎤ ⎡θ& ⎤ ⎡kθ 1 + kθ 2 1 ⎢ && ⎥ + ⎢ I 2 ⎥ ⎣θ 2 ⎦ ⎣ − kθ 2 ⎦

振动理论多自由度线性系统的振动资料

U
u2
u3
于是 33的矩阵S的特征值方程为：
或写为
11 12 13 u1 u1
21
22
23
u2
u2
31 32 33 u3 u3
SU U
如果 ij ji (i, j 1, 2,3)，则称矩阵S为对称矩阵。对于对称矩阵有如下定理。
定理一 33的对称矩阵S有3个独立的特征矢。与特
33
3
u u u u (b)
(a)
j ji i
a
(b) (a) ii
i1 j1
i1
又
* ij
* ji
ij
ji
，所以
3
3
a
u u (b) (a) ii
b
u u (a) (b) ii
i 1
i 1
3
即
(a b )
u u (a) (b) ii
0
i 1
3
因 a b ，所以
ห้องสมุดไป่ตู้
u u (a) (b) ii
将特征矢“归一化”成单位长度，即通过乘上
一个常数使得 ui (i 1, 2,3) 满足
3
ui2 1
i 1
上式的矩阵形式
U%U 1
其中 U%是U 的转置矩阵。
定理二对称矩阵对应于不同特征值的特征矢相互正交。
证：和 a 、b (a b )对应的特征值方程分别为
3
u(a) ij j
aui(a) ,
征矢对应的特征值为实数。
证：SU U 可写为
SU U (S I)U 0
其中I为单位矩阵
1 0 0
I
0
1
0
0 0 1

多自由度系统振动

I1 0 k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
准静态外力列向量
15
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
KX P (t ) 作用力方程： MX
KX P (t )
X Rn
假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移.
T T X [ x ,..., x , x , x ,..., x ] [ 0 ,..., 0 , 1 , 0 ,..., 0 ] 即： 1 j 1 j j 1 n
k11...k1 j ...k1n k 21...k 2 j ...k 2 n K .......... .......... . k n1...k nj ...k nn n n
刚度矩阵第 j 列
P 1 (t ) P (t ) P (t ) 2 Pn (t )
14
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 刚度矩阵和质量矩阵
KX P (t ) 作用力方程： MX
X Rn
当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定
M、K 该如何确定？先讨论 K 假设外力是以准静态方式施加于系统
KX P (t )
0 加速度为零 X
静力平衡
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同。如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。

多自由度系统振动之三频率方程的零根和重根情形之四受迫振动之五有阻尼

2 2

(2

2 2

(2
2) k m
2) k m

2 3

2
k m
32

2
k m

2 4

(2

2 4

(2
2) k m
2) k m
正则模态：
1 2
1
1 2
2 2
2 2
ΦN

(1
2)
1
(1
2)
2 2
2 2
设 φ(1)为零固有频率对应的刚体位移模态正交性条件 φ(i)T Mφ( j) 0 (i j) 要求：φ(1)T Mφ(i) 0 (i 2 ~ n) 其中，φ(i) (i 2 ~ n)为系统的除刚体位移之外的其它模态
设 xpi (i 2 ~ n) 为与φ(i) (i 2 ~ n) 所对应的主坐标
3t
xN4 0
物理空间响应：
X
ΦN X N

v [ 1
2 3
sin 3t

1
3
sin
3t
1
3
sin
3t ]T
第一个质量块的响应：x1 x2 x3 x4
x1

1
3
sin
3t
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
x1

1
3
sin
3t
x2

1
3
sin 3t
初始条件： X N (0) ΦN1X 0 [0 0 0 0]T
X N (0) ΦN1X 0 m v[1 0 1 0]T

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令： X ΦN X N
ΛX 0 得： X N N Ni i2 xNi 0 x 展开，得：
X N [ xN1
xN 2
xN 3
xN 4 ]T
(i 1 ~ 4)
1 T 初始条件： X N (0) ΦN X 0 [0 0 0 0]
(0) Φ1 X m v[1 0 1 0]T X N N 0
正则模态：
1 1 ΦN 1 1 1 2 2 1 2 2 2 (1 2 ) 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 (1 2 1 2 2 2 2 2) 2 2
KX 0 对于 n 自由度系统： MX
广义特征值问题： ( K 2 M ) φ 0
X Rn
φ 有非零解的充要条件： K 2 M 0
若 0 必有： K 0
结论： K 为奇异矩阵是零固有频率存在的充要条件，满足此条件时系统的刚度矩阵 K 是半正定的。
0
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
x1
1
3
sin 3t
x2
1
3
sin 3t
x3
1
3
sin 3t
x4
1
3
sin 3t
写成矩阵形式：
方法一结果：
1 sin t 3 3 x1 1 sin 3t x 2 v 3 x3 2 1 sin 3t 3 x 4 1 sin 3t 3
消除了刚体位移
1 t sin 3t 3 x1 1 t sin 3t x 2 v 3 1 x3 2 t sin 3t 3 x4 1 t sin 3t 3
即：n 个方程中只有 n - r 个是独立的
[v 0 0 v]T 求系统响应 X 0
KX 0 MX
解：方法一
动力方程 :
1 x m 0 0 0 1 1 0 0 x1 0 m 0 0 1 2 1 0 x 2 x k 2 0 3 0 0 m 0 0 1 2 1 x3 x x 0 0 0 m 0 0 1 1 4 x4
i2 n
可得约束条件： φ
(1)T
MX 0
利用此约束条件可消去系统的一个自由度，得到不含刚体位移的缩减系统，缩减系统的刚度矩阵是非奇异的。
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
例：教材P100习题4.14（不考虑阶梯力的作用）
m k m k m k m
T 初始条件：X 0 [0 0 0 0]
1 2 (1 ΦN 2 1 k 2
2 2 2) 2 2
1 1 1
1 2 2 2 (1 2 ) 2 2 1 2 2
初始条件： X N (0) [0 0 0]T 模态空间响应： xN 2 0
假使 12 是 r 重根
2 即有：12 2 r2
2 2 , , 其余的 r 1 n 都是单根
将 2 12 代入特征值问题表达式： ( K 2 M ) φ 0 1
2 rank [ K 特征矩阵[ K M ] 的秩： 1 M] n r 2 1
b0
得： a m v
sin i t , i 2,3,4
所以： xN1 m vt （2）i 1 时
xNi xNi (0) cosi t
Ni (0) x
i
代入初始条件，可求得： xN 2 0 xN 3
mv
3
sin 3t
xN 4 0
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
奇异矩阵代入约束条件： x1 x2 x3 x4 0
1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 Φ 1 (1 2 ) 1 (1 2 ) 1 1 1 1
x1 x2 x3 x4
代入方程，并整理：
2 x 0 1 x2 m 0 0 3 0 m 0 3 k 1 2 1 x3 0 x 4 x 0 0 m 0 1 1 x4
表明此主振动为随时间匀速增大的刚体位移
系统的刚体自由度可以利用模态的正交性条件消除
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
设 φ(1)为零固有频率对应的刚体位移模态正交性条件 φ(i )T Mφ( j ) 0 (i j ) 要求： φ(1)T Mφ(i ) 0 (i 2 ~ n)
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
2 x 0 1 x2 m 0 0 3 0 m 0 3 k 1 2 1 x3 0 x 4 x 0 0 m 0 1 1 x4 k k 2 2 2 (2 2 ) 32 2 4 (2 2 ) m m m
(0) mv[0 1 0]T X N
xN 3
mv
v 1 X Φ X [ sin 3t 物理空间响应： N N 2 3
3
sin 3t
1
xN 4 0
sin 3t 1
33sin Fra bibliotek3t ]T第一个质量块的响应：x1 x2 x3 x4
x1
1
3
sin 3t
求得固有频率：
2 方法一： 1 0
k m k 2 2 (2 2 ) m
2 2 (2 2 )
k m k 32 2 m
32 2
k m k 2 4 (2 2 ) m
2 4 (2 2 )
正则模态：
1 2 (1 ΦN 2 1 2 2 2 2) 2 2 1 2 2 2 (1 2 ) 1 2 2 1 1 2 2 1
2 1
k (2 2 ) m
2 2
k 2 m
2 3
k (2 2 ) m
2 4
在正则坐标中分两种情况求解 N1 0 x （1）i 1 时 1 0 运动方程：
N1 (0) m v xN1 (0) 0 x 初始条件：
解： x N1 at b
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
解：
方法二：利用约束条件
m
k
m
k
m
k
m
1 x m 0 0 0 1 1 0 0 x1 0 m 0 0 1 2 1 0 x 2 x k 2 0 3 0 0 m 0 0 1 2 1 x3 x x 0 0 0 m 0 0 1 1 4 x4
Kφ 0
说明当半正定系统按刚体振型运动时，不发生弹性变形，因此不产生弹性恢复力。
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
假定系统中 1 0 相应的主坐标方程：积分，得：
p1 k p1x p1 0 mp1 x
p1 0 x
x p1 at b
a、b 由初始条件决定
φ(i ) (i 2 ~ n为系统的除刚体位移之外的其它模态 ) 其中，
设 x pi (i 2 ~ n) 为与φ(i ) (i 2 ~ n) 所对应的主坐标右乘 x pi ： φ(1)T Mφ(i ) x pi 0 (i 2 ~ n) 令： X φ(i ) x pi 系统消除刚体位移后的自由振动
非奇异矩阵
φ(1)T MX 0
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
2 x 0 1 x2 m 0 0 3 0 m 0 3 k 1 2 1 x3 0 x 4 x 0 0 m 0 1 1 x4
回顾：
（1）两个例子系统存在刚体运动，此时柔度矩阵 F 不存在，刚度矩阵奇异。
k
I2 （2）多自由度系统的自由振动 I1 0 刚度矩阵半正定，K ，系统为半正定系统，此时存在 f(t ) = a t + b 的刚体模态。
k1 m1 m2
k2
m3
即本节将讨论的零固有频率的情形
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
固有频率 :
奇异矩阵
2 2 (2 2 )
0
2 1
k m
32 2
k m
2 4 (2 2 )
k m
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
模态矩阵：
1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 Φ 1 (1 2 ) 1 (1 2 ) 1 1 1 1
多自由度系统振动
主讲：周利东
太原科技大学
机械工程学院
2011-11-21
多自由度系统振动
教学内容
• • • • • 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
• 频率方程的零根和重根情形
方法一：
1 1 ΦN 1 1 1 2 2 1 2 2 2 (1 2 ) 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 (1 2 1 2 2 2 2 2) 2 2