高考数学 小题精练系列(第02期)专题20 随机变量及其分布 理

专题对点练20 随机变量及其分布1.(2017山东潍坊一模,理18)甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜歌名活动,在每一轮活动中,依次播放三首乐曲,然后甲猜第一首,乙猜第二首,丙猜第三首.若有一人猜错,则活动立即结束;若三人均猜对,则该小组进入下一轮.该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是,乙猜对歌名的概率是,丙猜对歌名的概率是.甲、乙、丙猜对互不影响.(1)求该小组未能进入第二轮的概率;(2)记乙猜对歌曲的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.解 (1)设“该小组未能进入第二轮”为事件A,其对立事件为,则P(A)=1-P()=1-.(2)由题意可得ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=3)=,P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=.故ξ的分布列为∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×.2.某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个? 解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×50 0)×0.04=4 040.当n=20时,E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.3.(2017贵州贵阳二模,理18)医学上某种还没有完全攻克的疾病,治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H和V.现有三种不同配方的药剂,根据分析,A,B,C三种药剂能控制H指标的概率分别为0.5,0.6,0.75,能控制V指标的概率分别是0.6,0.5,0.4,能否控制H指标与能否控制V指标之间相互没有影响.(1)求A,B,C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率;(2)某种药剂能使两项指标H和V都得到控制就说该药剂有治疗效果.求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X的分布列.解(1)A,B,C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率为P=0.5×(1-0.6)×(1-0.75)+(1-0.5)×0.6×(1-0.75)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.75=0.275.(2)∵A有治疗效果的概率为P A=0.5×0.6=0.3,B有治疗效果的概率为P B=0.6×0.5=0.3,C有治疗效果的概率为P C=0.75×0.4=0.3,∴A,B,C三种药剂有治疗效果的概率均为0.3,可看成是独立重复试验,即X~B(3,0.3).∵X的所有可能取值为0,1,2,3,∴P (X=k)=×0.3k×(1-0.3)3-k,即P(X=0)=×0.30×(1-0.3)3=0.343,P (X=1)=×0.3×(1-0.3)2=0.441,P(X=2)=×0.32×(1-0.3)=0.189,P (X=3)=×0.33=0.027.故X的分布列为〚导学号16804209〛4.(2017福建厦门二模,理19)2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的1 000人的得分数据,其频率分布直方图如图所示:(1)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ,210),μ近似为这 1 000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布求P(50.5<Z<94).(2)在(1)的条件下,有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:①得分不低于μ可获赠2次随机话费,得分低于μ则只有1次;②每次赠送的随机话费和对应概率如下:赠送话费(单位:元) 10 20概率现有一位市民要参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X 的分布列.附:≈14.5,若Z~N(μ,δ2),则P(μ-δ<Z<μ+δ)≈0.6827,P(μ-2δ<Z<μ+2δ)≈0.954 5.解 (1)E(Z)=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65, ∴μ=65,δ=≈14.5,∴P(50.5<Z<79.5)≈0.682 7,P(36<Z<94)≈0.954 5,∴P(79.5<Z<94)≈=0.135 9,∴P(50.5<Z<94)=P(50.5<Z<79.5)+P(79.5<Z<94)≈0.682 7+0.135 9=0.818 6.(2)P(Z<μ)=P(Z≥μ)=,X的所有可能取值为10,20,30,40,P(X=10)=,P(X=20)=,P(X=30)=,P(X=40)=.故X的分布列为。

第2章 随机变量及其分布习题 21．设有函数⎩⎨⎧≤=其它，,0,0,sin )(πx x x F试说明)(x F 能否是某随机变量的分布函数。

解：不能，易知对21x x <，有：),()(}1{}{}{12221x F x F x X P x X P x X x P -=<-<=<<又)()(,0}{1221x F x F x X x P ≥≥<<，因此)(x F 在定义域内必为单调递增函数。

然而)(x F 在),0(π上不是单调递增函数，所以不是某随机变量的分布函数。

2．－筐中装有7只蓝球，编号为1，2．3，4，5，6，7。

在筐中同时取3只，以X 表示取出的3只当中的最大号码，写出随机变量X 的分布列。

解：X 的可能值为3，4，5，6，7。

在7只篮球中任取3个共有37C 种取法。

}3{=X 表示取出的3只篮球以3为最大值，其余两个数是1，2，仅有这一种情况，故3515673211)3(37=⋅⋅⋅⋅===C X P}4{=X 表示取出的3只篮球以4为最大值，其余两个数可以在1，2，3中任取两个，共有23C 种取法，故35356732113)4(3723=⋅⋅⋅⋅===C C X P 。

}5{=X 表示取出的3只篮球以5为最大值，其余两个数可在1，2，3，4中任取2个，共有24C 种取法，故3565673212134)5(3724=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P ， }6{=X 表示取出的3只篮球以6为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5中任取2个，共有25C 种取法，故35105673212145)6(3725=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P ，}7{=X 表示取出的3只篮球以7为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5，6中任取2个，共有26C 种取法，故35155673212156)7(3726=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P 。

3. 设X 服从)10(-分布，其分布列为,)1(}{1kkp p k X P --== ,1,0=k 求X 的分布函数，并作出其图形。

随机变量及其分布方法总结经典习题及解答一、离散型随机变量及其分布列1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

常用大写英文字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。

2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为：x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的分布列3、分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，… ⑵P1+P2+…=1、常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！二、热点考点题型考点一: 离散型随机变量分布列的性质1、随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为A、B、C、D、答案：D考点二：离散型随机变量及其分布列的计算2、有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。

解：由题知2，3，4，5∵ 表示前2只测试均为没电，∴ ∵ 表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴ ∵ 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，∴ ∵ 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好∴ ∴ 分布列为2345P三、条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1、条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

2、相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B （或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

我们把两个事件A、B同时发生记作AB，则有P（AB）= P（A）P（B）推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

概率论与数理统计练习题系第二章专业班姓名随机变量及其分布（一）学号一．选择题：1 ．设X是失散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是[B]X x1x2x3x4X x1x2x3x4（ A）1111（B）1111 p p248162488X x1x2x3x4（D）X x1x2x3x4（ C）1111p1111 p23412234122 ．设随机变量ξ的分布列为X0123C ] p0.10.30.4F ( x) 为其分布函数，则 F ( 2) = [0.2（ A）（B）（ C）（D）1二、填空题：1 ．设随机变量X的概率分布为X012，则 a = p a0.20.52 ．某产品 15 件，其中有次品 2 件。

现从中任取3 件，则抽得次品数X 的概率分布为P(X 0)C13366， P( x1)C21 C13236， P( xC22 C1313 C153105C1531052)105C1533 ．设射手每次击中目标的概率为, 连续射击10 次，则击中目标次数X 的概率分布为P( X k ) C10k(0.7)k (0.3)10 k(k0,1, 2,L ,10)三、计算题：1 ．同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求：（ 1）X的概率分布；（2）P( X3) ；（3）P( X12)解：（1）P( X2)1P( X3)2P( X4)3P(X 5)4，，，，36363636P( X6)5，P( X7) 6 ， P( X5 436 8)， P(X 9)363636P( X10)3 ，P( X11)2 ，P( X 1363612)36所以 X 的概率分布列：X 2 34 5 6 7 89 10 11 12P12 34 5 6 5 4 3 2 1363636363636 3636363636（2） P(X3) 336（ 3） P(X>12)=02 ．产品有一、 二、三等品及废品四种， 其中一、 二、三等品及废品率分别为 60%，10%，20%及 10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果。

第二章 随机变量及其分布习题一 、填空题1. 设随机变量ξ的分布律为NaK P ==)(ξ（K=1,2, N ）,则常数=a 。

2. 盒内有5个零件，其中2件次品，从中任取3件，用ξ表示取出的次品数，则ξ的概率分布为 。

)(x F 是离散型随机变量的分布函数，若______)(==b P ξ，则)()()(a F b F b a P -=<<ξ成立。

4.设离散型随机变量ξ的分布函数为 ⎝⎛≥+<≤-<≤--<=221321110)(x b a x a x ax x F ，且21)2(==ξP ，则___________________,______,的分布律为ξ==b a5. 设连续型随机变量ξ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00)(2x x kex f x则 ____)2(____,)2(____,)21(___,=<===≤<=ξξξP P P k6. 设5个晶体管中有2个次品，3个正品，如果每次从中任取1个进行测试，测试后的产品不放回，直到把2个次品都找到为止，则需要进行的测试次数ξ是一个随机变量，则________)2(______,)5(=≤==ξξP P7. 设随机变量ξ的概率密度为8)1(2)(--=x kex f （+∞<<∞-x ），则=k 。

8. 两个随机变量ηξ，相互独立的充要条件是______9. 设连续型随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-0)(x x e x f x，则ξ的函数ξη=的概率密度________)(=y ηϕ 10. 设随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧>><<=其他)0,0(,10)(k b x kx x f b，且________________,,75.0)21(===>b k P 则ξ 二 、选择题1 .kk p x P 2)(==ξ)2,1( =k 为一随机变量ξ的分布律的必要条件是（ ） （A ）k x 非负 （B ）k x 为整数（C ）20≤≤k p （D ）2≥k p 2 . 若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则（ ）一定成立（A ）)(x f 的定义域为[0，1] （B ）)(x f 的值域为[0，1] (C) )(x f 非负(D) )(x f 在），（∞∞-内连续 )(x F 是（ ），则)(x F 一定不可以是连续型随机变量的分布函数（ ） （A ）非负函数 （B ）连续函数 （C ）有界函数 （D ）单调减少函数 4.下列函数中，（ ）可以作为连续型随机变量的分布函数(A))(x F = ⎩⎨⎧≥<010x x e x（B ）G(x)= ⎩⎨⎧≥<-01x x e x(C)=Φ)(x ⎩⎨⎧≥-<010x ex x(D) H(x)= ⎩⎨⎧≥+<-0100x ex x5 . 设）（ηξ, 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他11),(22y x y x f π则ηξ与为（ ）的随机变量（A ）独立同分布 （B ）独立不同分布（C ）不独立同分布 （D ）不独立也不同分布三、计算题1. 掷两颗骰子，用ξ表示点数之和，求ξ的概率分布。

12.4 随机变量及概率分布一、填空题1.下列变量为离散型随机变量的是_______． ①掷10枚硬币出现的正面个数与负面个数之和 ② 某机场每天正常情况下起飞的飞机数 ③某公司办公室每天收到电话的次数 ④ 高三（9）班某学生的身高解析 ①、②、④ 中的随机变量结果无法按一定次序一一列出，故X 不是离散型随机变量; ③中的随机变量的可能取的值都可以按一定次序一一列出，故它是离散型随机变量. 答案 ③2. 袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为_______．解析 X 的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4，3＋5＝8,4＋5＝9，共7种． 答案 73.已知随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝2ka(k ＝1,2,3)，则P(X ＝2)等于_______．解析 ∵12a +22a +32a ＝1，∴a ＝3，P(X ＝2)＝13.答案 134．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为________．解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量．当X ＝4时，说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220.答案272205．设随机变量X 的概念分布P (X ＝k )＝c k ＋1，k ＝0、1、2、3，则c ＝________.解析 由P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1得：c 1＋c 2＋c 3＋c4＝1，∴c ＝1225. 答案12256．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)的值为________． 解析 设X 的概率分布为：即“X ＝0”表示试验失败，“X p ，成功的概率为2p .由p ＋2p ＝1，则p ＝13.答案137．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于________．解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582. 答案 C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫5828．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，则P (X ≤1)等于________．解析 P (X ≤1)＝1－P (X ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.答案459．连续向一目标射击，直至击中为止，已知一次射击命中目标的概率为34，则射击次数为3的概率为________．解析 “X ＝3”表示“前两次未击中，且第三次击中”这一事件， 则P (X ＝3)＝14×14×34＝364.答案 36410．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i10，(i ＝1,2,3,4)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜72＝________.解析 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜72＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝35.答案 3511．如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝________.解析 法一 由已知，X 的取值为7,8,9,10，∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310，P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴X 的概率分布为∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝10＋5＋10＝45.法二P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－C22C12C35＝45.答案4 512．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．解析X＝－1，甲抢到一题但答错了．X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对，X＝2时，甲抢到2题均答对．X＝3时，甲抢到3题均答对．答案－1,0,1,2,313．从三名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛，已知三人中至少有1人是女生的概率是3435.则n＝________.解析三人中没有女生的概率为C33C3n＋3.∴三人中至少有一人是女生的概率为：1－C33 C3n＋3由题意得：1－C33C3n＋3＝3435.解得n＝4.答案 4二、解答题14.设离散型随机变量X的分布列为(2)|X－1|的分布列．解析由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为：(1)2X＋1的分布列：15.某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布列．解析容易求出X取1,2,3,4时的概率分别为0.9,0.09,0.009,0.0009，当X＝5时，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，不必考虑第5发子弹射中与否，所以P(X＝5)＝0.000 1，从而知耗用子弹数X的分布列为1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布．解析(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P ＝C 14C 16＋C 24C 210＝3045＝23.⎝⎛⎭⎪⎫或用间接法，即P ＝1－C 26C 210＝1－1545＝23.(2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.所以X 的概率分布为：17.个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的概率分布． 解析 (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一个岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110，所以甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P(X＝1)＝1－P(X＝2)＝34，X的概率分布是18.4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X的概率分布，并求李明在一年内领到驾照的概率．解析X的取值分别为1,2,3,4.X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.∴李明实际参加考试次数X的概率分布为1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.。

2018届高考数学（理）小题精练 专题20 随机变量及其分布列1．已知随机变量i ξ满足()1i i P p ξ==，()01i i P p ξ==-，1,2i =．若12112p p <<<，则（ ）A ． ()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ<B ． ()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ>C ． ()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ< D ． ()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ> 【答案】B2．变量ξ的分布列如下图所示，其中,,a b c 成等差数列，若()13E ξ=，则()D ξ的值是（ ）A ．13 B ． 59 C ． 23 D ． 1127【答案】B【解析】∵a ,b ,c 成等差数列, ()13E ξ=，∴由变量ξ的分布列，知： 1{2 13a b c b a c a c ++==+-+=,解得111,,632a b c ===，∴()2221111115(1)(0)(1)3633329D ξ=--⨯+-⨯+-⨯=． 故选：B ．点睛：分布列中，所有事件概率和为1；期望为：变量乘以概率以后求和；方差为：每一个变量与期望作差平方后再乘以概率求和．3．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且()40.84P X ==，则(24)P X <<=（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84 【答案】C【解析】因为正太分布的图像关于3x =对称，且()40.84P X <=，则()410.840.16P X >=-=，根据对称性可得()20.16P X <=，所以()()(24)14210.160.160.68P X P X P X <<=->-<=--=，应选答案C ． 点睛：正太分布是典型的随机变量的概率分布之一，求解这类问题时先搞清楚其对称性，然后再依据题设条件解答所要解决的问题．求解本题时先依据其对称性求出()410.840.16P X >=-=，根据对称性可得()20.16P X <=，然后再运用对立事件的概率公式求出()()(24)14210.160.160.68P X P X P X <<=->-<=--=．4．已知随机变量X 的分布列为()13k P X k ==， 1,2,,k =⋯则()35P X ≤<等于( ) A ． 316 B ． 127 C ． 13243 D ． 481【答案】D点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的应用，考查互斥事件的概率，是一个比较简单的分布列问题，这种题目如果出现则是一个送分题目；根据随机变量的分布列，写出变量等于3，和变量等于4的概率，要求的概率包括两种情况这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．5．设随机变量X 的分布列为()()1,2,32iP X i i a===，则()2P X ≥= ( ) A ．16 B ． 56 C ． 13 D ． 23【答案】B【解析】由概率和为1,可知1231222a a a++=，解得3a =， ()P X 2≥= ()()23523666P X P X =+==+=选B ． 6．设X 是一个离散型随机变量，则下列不能成为X 的概率分布列的一组数据是（ ） A ． 110,,0,0,22B ． 0.1,0.2,0.3,0.4C ． (),101p p p -≤≤D ． 111,,,122378⨯⨯⨯9 【答案】D【解析】 根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，而11117112237888+++=-=⨯⨯⨯，所以D 选项不能作为随机变量的分布列的一组概率取值，故选D ．7．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P (ξ＝1)＝4516，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( ) A ． 10% B ． 20% C ． 30% D ． 40% 【答案】B8．口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以表示取出球的最小号码，则（ ）A ． 0．45B ． 0．5C ． 0．55D ． 0．6 【答案】B【解析】，，，，故选．9．设随机变量～B （2，p ），η～B （3，p ），若，则P （η≥2）的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：由题给随机变量分布为二项分布，且它们的概率相同，则；考点：二项分布的应用．10．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，())1,0(,,∈c b a 错误！未找到引用源。

随机变量及其分布测试卷(时间：90分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A ．取到球的个数B ．取到红球的个数C ．至少取到一个红球D ．至少取得一个红球的概率解析：随机变量是随着试验结果变化而变化的变量，只有B 项满足．答案：B2．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，若η＝5ξ＋1，则E (η)等于()ξ012P 715715115A ．4B ．5C.35 D.23解析：E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35，∴E (η)＝E (5ξ＋1)＝5E (ξ)＋1＝4.答案：A3．甲、乙两歼击机的飞机员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，且两人是否击中相互不受影响，则恰有一人击中敌机的概率为()A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.5解析：设事件A ，B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，且A与B 互相独立，则事件恰有一人击中敌机的概率为P (A B －＋A －B )＝P (A )[1－P (B )]＋[1－P (A )]P (B )＝0.5，故选D 项．答案：D4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45解析：设某天空气质量为优良为事件A ，随后一天空气质量为优良为事件B ，由已知得P (A )＝0.75，P (AB )＝0.6，所求事件的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.60.75＝0.8，故选A 项．答案：A5．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x ＝μ是正态密度曲线的对称轴，由题图可知μ1<μ2；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由题图可知σ1<σ2.答案：A6．已知ξ～B n ，12，η～B n ，13E (ξ)＝15，则E (3η＋6)等于()A ．30B C ．36D ．10解析：因为ξ～B n ，12E (ξ)＝n 2.又E (ξ)＝15，则n ＝30，所以η～B 30，13故E (η)＝30×13＝10.∴E (3η＋6)＝3E (η)＋6＝36.答案：C7．设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X ，则下列结论正确的是()A ．E (X )＝0.01B ．P (X ＝k )＝0.01k ×0.9910－kC ．D (X )＝0.1D ．P (X ＝k )＝C k 10×0.01k ×0.9910－k 解析：∵X ～B (10,0.01)，∴E (X )＝10×0.01＝0.1，D (X )＝10×0.01×0.99＝0.099.∴P (X＝k )＝C k 10×0.01k ×0.9910－k .答案：D8．若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝32，则D (X 3)等于()A ．2.5B ．1.5C ．0.5D ．3.5解析：0.2n ＝2，6p (1－p )＝32，n ＝10，p ＝0.5.故D (X 3)＝10×0.5×(1－0.5)＝2.5.答案：A9．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为()A ．75%B ．96%C ．72%D ．78.125%解析：记“任选一件产品是合格品”为事件A ，则P (A )＝1－P (A －)＝1－4%＝96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B .由于一级品必是合格品，所以事件A 包含事件B ，故P (AB )＝P (B )．由合格品中75%为一级品知P (B |A )＝75%；故P (B )＝P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝96%×75%＝72%.答案：C10．已知随机变量X ～N (0，σ2)．若P (X >2)＝0.023，则P (－2≤X ≤2)＝()A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977解析：因为随机变量X ～N (0，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝0对称．又P (X >2)＝0.023，所以P (X <－2)＝0.023，所以P (－2≤X ≤2)＝1－P (X >2)－P (X <－2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：C11．某商家进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15，若中奖，则商家返还中奖顾客现金1000元．小王购买一套价格为2400元的西服，只能得到2张奖券，于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3张奖券．设小王这次消费的实际支出为ξ(元)，则E (ξ)等于()A ．1850元B ．1720元C ．1560元D ．1解析：P (ξ＝2450)＝64125，P (ξ＝1450)＝C ＝48125，P (ξ＝450)＝C12125，P (ξ＝－550)＝C ＝1125.E (ξ)＝2450×64125＋1450×48125＋450×12125＋(－550)×1125＝1850(元)．答案：A12．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξ(i ＝1,2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则()A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)解析：法一(特值法)：取m ＝n ＝3进行计算，比较即可．法二(标准解法)：从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1，则P (ξ＝0)＝n m ＋n ＝P (ξ1＝1)，P (ξ＝1)＝m m ＋n ＝P (ξ1＝2)，所以E (ξ1)＝1×P (ξ1＝1)＋2×P (ξ1＝2)＝m m ＋n＋1，所以p 1＝E (ξ1)2＝2m ＋n 2(m ＋n )，从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，则η的所有可能取值为0,1,2，则P (η＝0)＝C 2n C 2m ＋n＝P (ξ2＝1)，P (η＝1)＝C 1n C 1m C 2m ＋n ＝P (ξ2＝2)，P (η＝2)＝C 2m C 2m ＋n＝P (ξ2＝3)，所以E (ξ2)＝1×P (ξ2＝1)＋2×P (ξ2＝2)＋3×P (ξ2＝3)＝2m m ＋n＋1，所以p 2＝E (ξ2)3＝3m ＋n 3(m ＋n )，所以p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)．故选A 项．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设随机变量ξ的概率分布列如下表所示ξ012P a b c 其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的均值为43，则ξ的方差为________．解析：由题意知，a ＋b ＋c ＝1,2b ＝a ＋c ，b ＋2c ＝43.解得a ＝16，b ＝13，c ＝12∴D (ξ)×16＋×13＋×12＝59.答案：5914．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p ，若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p ＝________.解析：因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ，易知ξ～B (6,1－p )，所以E (ξ)＝6(1－p )＝2，解得p ＝23.答案：2315．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X 服从正态分布N (60,102)，考生共10000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．解析：依题意，P (60－20<x ≤60＋20)＝0.9544，P (X >80)＝12(1－0.9544)≈0.0228，故成绩高于80分的考生人数为10000×0.0228＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．答案：22916．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．解析：从甲罐中取出一球放入乙罐，则A 1，A 2，A 3中任意两个事件不可能同时发生，即A 1，A 2，A 3两两互斥，故④正确，易知P (A 1)＝12，P (A 2)＝15，P (A 3)＝310，则P (B |A 1)＝511P (B |A 2)＝411，P (B |A 3)＝411，故②对③错；∴P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)·P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④.答案：②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率是失败的概率的4倍，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．(1)求该跳高运动员试跳三次，第三次才成功的概率；(2)求该跳高运动员在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率．解析：设该跳高运动员在一次试跳中成功的概率为p ，则失败的概率为1－p .依题意有p＝4(1－p )，解得p ＝45.(1)成功的概率为(1－p )2p ×45＝4125.(2)恰有两次成功的概率为p 1＝C ×15＝48125.18．(12分)甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较．X012P610110310Y012P 510310210解析：工人甲生产出次品数X 的数学期望和方差分别为E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D (X )＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.工人乙生产出次品数Y 的数学期望和方差分别为E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D (Y )＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E (X )＝E (Y )知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D (X )>D (Y )，可见乙的技术比较稳定．19．(12分)甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14.求：(1)两人都能破译的概率；(2)两人都不能破译的概率；(3)恰有一人能破译的概率；(4)至多有一人能够破译的概率．解析：设“甲能破译”为事件A ，“乙能破译”为事件B ，则A 、B 相互独立，从而A 与B －、A －与B 、A －与B －均相互独立．(1)“两人都能破译”为事件AB ，则P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112.(2)“两人都不能破译”为事件A －B －，则P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝12.(3)“恰有一人能破译”为事件(A B －)∪(A －B )，又A B －与A －B 互斥，所以P [(A B －)∪(A －B )]＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝13×14＝512.(4)“至多一人能破译”为事件(A B －)∪(A －B )∪)(A －B －)，而A B －、A －B －、A －B －互斥，故P [(A B －)∪(－)－－P (A －)(－B (A －B －)＝P (A )P (B －)＋P (A －)·P (B )＋P (A －)P (B －)＝13××14＋＝1112.20．(12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N (70,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？解析：(1)设参赛学生的成绩为X ，因为X ～N (70,100)，所以μ＝70，σ＝10.则P (X ≥90)＝P (X ≤50)＝12[1－P (50<X <90)]＝12[1－P (μ－2σ<X <μ＋2σ)]＝12×(1－0.9544)＝0.0228，120.0228≈526.因此，此次参赛学生的总数约为526人．(2)由P (X ≥80)＝P (X ≤60)＝12[1－P (60<X <80)]＝12[1－P (μ－σ<X <μ＋σ)]＝12×(1－0.6826)＝0.1587，得526×0.1587≈83.因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．21．(12分)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望．解析：(1)设某节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票．因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响，所以P (A )＝C ＋C ＝727.(2)所含“票和“待定”票票数之和X 的值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C ＝1；P (X ＝1)＝C ＝627；P (X ＝2)＝C ＝1227；P (X ＝3)＝C ＝827.因此X 的分布列为X 0123P 1276271227827所以X 的数学期望为E (X )＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.(或由X ～B E (X )＝3×23＝2)22．(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E (X )．附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.9544.解析：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.6826.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知X ～B (100，0.6826)，所以E (X )＝100×0.6826＝68.26.。

第2章随机变量及其分布习题答案第⼆章随机变量及其分布§2.1 随机变量的概念与离散型随机变量习题 1. 解： 1112(1)121,.993θθθθ+-++-=∴=±⼜因为≤0)1(2θθ-1≤ , 所以 13θ=.2. 解：设X 表⽰任取3次,取到的不合格品数，则 1）有放回 33()0.20.8,0,1,2,3.k k k P X k C k -=== 即X 的分布律为 X 0 1 2 3 P12564125481251212512）⽆放回 328310(),3,4,5.kkC C P X k k C-===即X 的分布律为 X 0 1 2 P 1571571514. 解：设X 表⽰直⾄取到⽩球为⽌,取球的次数，则其概率分布为X 1 2 3 4P521031531015. 解：由全概率公式得42(2)()(2|)111113().423448k P Y P Xk P Y X k =======++=∑§2.2 0-1分布和⼆项分布习题1. 解：设A 表⽰“10件中⾄少有两件⼀级品”,则P （A ）=1()P A -=1=--6.04.04.0911010C 0.9983.2. 解: X 0 1 2 3 4 5P 54.0 6.04.0415C 23256.04.0C 32356.04.0C 4456.40.0C 5 6.00.01024 0.0768 0.2304 0.3456 0.2592 0.077763. 解：设A 表⽰“4个灯泡中⾄少有3个能使⽤1500⼩时以上”,则4. 解：1）设A 表⽰“恰有3粒种⼦发芽”,则003764768.002.098.0)(2335==C A P2）设B 表⽰“⾄少有4粒种⼦发芽”,则=+=544598.002.098.0)(C B P 0.996§2.3 泊松分布习题1. 解：设A 表⽰“⼀页上⾄多有⼀个印刷错误”,则 010.20.20.20.2()(1)(0)(1)0.9820!1!P A P X P X P X ee--=≤==+==+=2.解：1）设X 表⽰5分钟内接到的电话个数，则0,1,2,X = 22(),0,1,2,3,4,5,6.!kP X k e k k -===2）设A 表⽰“5分钟内⾄多接到3个电话”,则∑2!2-ek k=0.8571或4()(3)1(4)1k P A P X P X +∞==≤=-≥=-∑2!2-ek k=(查表)1-0.1429=0.85713.解：1）设A 表⽰“中午12时⾄下午3时没有急症病⼈”, 则~(1.5),X π1.51.5()(0)0.223.0!P A P X e-====2）设B 表⽰“中午12时⾄下午5时⾄少有2个急症病⼈”,则~(2.5),X π12.52.5()(2)1(0)(1)2.5 2.510.7127.0!1!P B P X P X P X ee--=≥=-=-==-§2.4 随机变量的分布函数习题1. 解：1）≥<≤<≤<=2,121,2110,310,0)(x x x x x F312)()(0)(1),221(14)(2),22(14)(1)(2).3P X P X P X P X P X P X P X P X ≤==+==<≤===≤≤==+==2. 解：X 0 1 2 3 4 5P 54.0 6.04.0415C 23256.04.0C 32356.04.0C 4456.40.0C 56.00.01024 0.0768 0.2304 0.3456 0.2592 0.07776≥<≤≤<≤<≤<≤<=515492.04366.03223.021086.01001.000)(x x x x x x x x F ＜3. 解：X 的分布律为 X -1 0 2 4 P 0.2 0.4 0.3 0.1 §2.5 连续型随机变量习题 1. 解：1）?? =?=?=101231,1)(c dx cx dx x f2）30,0(),011,1x F x x x x=≤)41()21()2141(=-=≤≤F F x P 22219()1()1().33327P X P X F >=-≤=-= 2. 解：1）连续型随机变量的分布函数左连续，则00012l i m ()(0),l i m ()(1),l i m ()(2),10,1,2211,210,,2.2x x x F x F F x F F x F A B C C A B C ---→→→=====----====解得2）,01()()2,120,x x f x F x x x <'==-≤其它3）2111117P ()1P ()1F()1().222=-=-= 3. 解：1）12011()2,~(3,),44P A xdx Y B ==则 Y 的概率分布为 Y 0 1 2 3 P642764276496412）设B 表⽰“对X 的三次独⽴重复观测中事件A ⾄多出现两次”,则3163()1()1(3)1().464P B P B P Y =-=-==-= 4.设最⾼洪⽔位为X,河堤⾄少要修c 单位⾼,由题意得：32()1()10.0110.c P X c P X c dx c x>=-≤=-≤?≥?P X dx >==设A 表⽰“3次独⽴观测中⾄少有两次观测值⼤于3”,则223321220()()().33327P A C =+=2. 解：有实根的条件：2(4)44(2)01K 2,K K K -??+≥?≤-≥或所求概率为 3P (K 2.5dx ≥=521）=5 3. 解：1）33001,|1 3.33xxk k kedx ek +∞--+∞=-==?=?即2）23 4.561.5(1.52)3.xP x edx e e ---≤≤=1(200)1,600x P X e dx e--≤==-?设A 表⽰“3只独⽴元件⾄少1只在最初200⼩时内出故障”,则13311)(1)(1)(---=-=-=eeA P A P .§2.7 正态分布习题1. :(1)(0.022.33)(2.33)(0.02)0.99010.50800.4821;P X <<=Φ-Φ=-=解( 1.850.04)(0.04)( 1.85)(0.04)[1(1.85)](0.04)(1.85)10.5160.967810.4838. P X -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-=+-= 2. 解：101)(716)(12)(2)(1)3(2)(1)10.97720.841310.8185;X P X P -<<=-<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=10222)(102)()2()120.748610.4972;333x P x P --<=<=Φ-=?-=103)()0.9()0.9,(1.28)0.9,1.28,13.84.3P X αααα-<=?Φ=Φ≈-==反查表得故得3. 解：设X 表⽰螺栓长度，则：10.05(10.050.12)(2)2(2)120.977210.9544.0.06X P X P --<=<=Φ-=?-=4. 解：30(30)()2(1.5)10.8664,2020X P X P ≤=≤=Φ-=设A 表⽰“三次测量中⾄少有⼀次误差的绝对值不超过30cm ”3()1()1(0.1336)0.9976.P A P A =-=-=§2.8 随机变量函数的分布习题 1. 解：1）Y -3 2 5 6 P161 164 167 1642） Z 1 2 3 4 9 P1621641651641612. 解： 3110≤≤?≤≤y x , 当31≤≤y 时，11()();2y Y Y Y y y F y P Y y P X y P X dx f y F y ---=≤=+≤=≤= ='==;当13,y y ≤≥或时Y 的密度函数为零.故Y 的密度函数为1,13()20,Y y f y ?≤≤?=其它22222()2()22()()()(),,()(),.Y X yy yY Y X Y F y P Y y P y P X y dx y R Y f y F y y R µσµσµσµσµ∈'===∈?3.解:因为的分布函数为所以的密度函数为第⼆章随机变量及其分布复习题⼀选择题1. B2. B3. C4. D5. C ⼆填空题 1.22(),0,1,2,;!kP X k e k k -=== 0.592. 27193. ,1,21π==B A2111,,21x R xπ∈+4.,65,61 分布律：X -1 1 2P 611. 解: X 的分布律为 X 1 2 3 4 P643764196476412. 解: X 的分布律为 1(),1,2,3,.k P X k q p k -=== 3. 解:设X 表⽰两次调整之间⽣产的合格品数,则X 的分布律为1()(1),0,1,2,.k P X k p p k -==-=4. 解: X 的概率分布为55()0.250.75,0,1,2,3,4,5.k k kP X k C k -===设A 表⽰“5道选择题⾄少答对两题”,则()1(0)(1)0.3672.P A P X P X =-=-==5. 解：1）⼀天中必须有油船转⾛意味着“X .>3”242(3)0.143;!kk P X ek ∞(查泊松分布表)2) 设设备增加到⼀天能为y 艘油船服务,才能使到达港⼝的90%的油船可以得到服务.则21212()0.910.9!20.1,15 4.!kk y kk y P X y ek ey y k ∞-=+∞-=+≤≥?-≥?≤+≥?≥∑∑反查泊松分布表得6. 解：21)()()31()31(3131=+=+?>dx b ax dx b ax X P X P47,23=-=?b a7.170170170:1)()0.01()()0.99666170(2.33)0.99 2.33184.6X h h P X h P h h ---≥≥?≥解查表得2)(182)P X ≥=1821701()1(2)0.02,6--Φ=-Φ≈设A 表⽰“100个男⼦中与车门碰头⼈数不多于2个”676.002.098.002.098.098.0)(2982100991100100=++=C C A P .8. 解：(1) X 的分布函数为 1,02()11,02xx e x F x e x -?-∞<≤??=??-<<+∞??011(2)P Y P X e dx P Y P X e dx ∞--∞==>===-=≤==故Y的概率分布律为Y-1 1P1/2 1/2Y的分布函数为0,11(),1121,1YyF y yy<-=-≤<≥。

第2章随机变量及其分布习题解答一．选择题1．若定义分布函数(){}F x P X x =≤，则函数()F x 是某一随机变量X 的分布函数的充要条件是( D )．A ．0()1F x ≤≤．B ．0()1F x ≤≤，且()0,()1F F -∞=+∞=．C ．()F x 单调不减，且()0,()1F F -∞=+∞=．D ．()F x 单调不减，函数()F x 右连续，且()0,()1F F -∞=+∞=．2．函数()0 212021 0x F x x x <-⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩是( A )．A ．某一离散型随机变量X 的分布函数．B ．某一连续型随机变量X 的分布函数．C ．既不是连续型也不是离散型随机变量的分布函数．D ．不可能为某一随机变量的分布函数．3．函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩( D )．A ．是某一离散型随机变量的分布函数．B ．是某一连续型随机变量的分布函数．C ．既不是连续型也不是离散型随机变量的分布函数．D ．不可能为某一随机变量的分布函数．4．设X 的分布函数为1()F x ，Y 的分布函数为2()F x ，而12()()()F x aF x bF x =-是某随机变量Z 的分布函数，则, a b 可取( A )．A ．32, 55a b ==-． B ．2 3a b ==．C ．13 , 22a b =-=． D ．13 , 22a b ==-．5．设X 的分布律为而(){}F x P X x =≤，则F =( A )．A ．0.6．B ．0.35．C ．0.25．D ．0．6．设连续型变量X 的概率密度为()p x ，分布函数为()F x ，则对于任意x 值有( A )． A ．(0)0P X ==． B ．()()F x p x '=． C ．()()P X x p x ==．D ．()()P X x F x ==．7．任一个连续型的随机变量X 的概率密度为()p x ，则()p x 必满足( C )．A ．0()1p x ≤≤． B ．单调不减． C ．()1p x dx +∞-∞=⎰．D ．lim ()1x p x →+∞=．8．为使 x 1()0 1p x x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩成为某个随机变量X 的概率密度，则c 应满足( B )．A ．1+∞=⎰．B ．11-=⎰．C ．11=． D ．1+∞-=⎰．9．设随机变量X 的概率密度为2()x p x Ae -=，则A = ( D )．A ．2．B ．1．C ．12． D ．14．10．设X 的概率密度函数为1() ,2xp x e x -=-∞<<+∞，又{}()F x P X x =≤，则0x <时，()F x =( D )．A ．112-e x． B ．112x e --． C ．12x e -．D ．12e x ．11．设220()00x cx e x p x cx -⎧⎪>=⎨⎪≤⎩是随机变量X 的概率密度，则常数c ( B )．A ．可以是任意非零常数．B ．只能是任意正常数．C ．仅取1．D ．仅取- 1． 12．设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，则112Y X =-分布函数为( D )． A ．(22)F y -． B ．1(1)22yF -． C ．2(22)F y -． D ．1(22)F y --． 13．设随机变量X 的概率密度为()p x ，12Y X =-，则Y 的分布密度为( A )．A ．1122y p -⎛⎫ ⎪⎝⎭． B ．112y p -⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．12y p -⎛⎫- ⎪⎝⎭． D ．2(12)p y -． 14．设随机变量X 的密度函数()p x 是连续的偶函数(即()()p x p x =-)，而()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a 有( C )．A ．()()F a F a =-．B ．0()1()aF a p x dx -=-⎰．C ．01()()2aF a p x dx -=-⎰ ． D ．()()F a F a -=． 二．填空题15．欲使2103()103xx e x F x A e x -⎧<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩为某随机变量的分布函数，则要求A =____1_____．16．若随机变量X 的分布函数2()0616x F x Axx x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则必有A =____1/36______． 17．从装有4件合格品及1件次品的口袋中连取两次，每次取一件，取出后不放回，求取出次品数X 的分布律为{0}3/5,{1}2/5P X P X ==== ．18．独立重复地掷一枚均匀硬币，直到出现正面为止，设X 表示首次出现正面的试验次数，则X 的分布列{}P X k ==1111{},1,2,222k kP X k k -⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．19．设某离散型随机变量X 的分布列是{},1,2,,10kP X k k C===⋅⋅⋅，则C =____55_____．20．设离散型随机变量X 的分布函数是(){}F x P X x =≤，用()F x 表示概率{}0P X x ==00()(0)F x F x --．21．设X 是连续型随机变量，则{3}P X ==___0____．22． 设随机变量X 的分布函数为20,2()(2),231,3x F x x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩ ，则(2.54)P X <≤=(4)(2.5)0.75F F -=．23．设随机变量X 的分布函数102()1102xx e x F x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则{}1P X <=11e --．24．设连续型随机变量X的分布函数为20()021x xF x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎩X 的概率密度()p x=00 ()x x ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其它．25．设随机变量X 的分布密度为2(1),(0,1)()0,(0,1)Ax x x p x x ⎧-∈=⎨∉⎩，则常数A =__12____．26．若X的概率密度为()p x ，则31Y X =+的概率密度()Y p y =1133y p -⎛⎫⎪⎝⎭．27．设电子管使用寿命的密度函数()21001000100x p x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(单位：小时)，则在150小时内独立使用的三只管子中恰有一个损坏的概率为_____4/9_____． 三．应用计算题28． 设随机变量X 的分布律为求（1）{14}P X <≤；(2)X 的分布函数()F x ．解：（1）{14}{2}{3}{4}0.30.30.10.7P X P X P X P X <≤==+=+==++=(2)X 的分布函数()F x 为0,00.1,010.3,12()0.6,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩29. 设连续随机变量X 的概率密度,10(),010,||1c x x p x c x x x +-≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩试求： (1)常数c ； (2) 概率{||0.5}P X ≤；(3) X 的分布函数()F x . 解：（1）由0111()()()21p x dx c x dx c x dx c +∞-∞-==++-=-⎰⎰⎰，得1c =（2）{||0.5}{0.50.5}P X P X ≤=-≤≤00.50.5(1)(1)0.75x dx x dx -=++-=⎰⎰（3）X 的分布函数为1010,1(1),10()(1)(1),011,1xxx t dt x F x t dt t dt x x --<-⎧⎪+-≤<⎪⎪=⎨⎪++-≤<⎪≥⎪⎩⎰⎰⎰220,11(1),10211(1),0121,1x x x x x x <-⎧⎪⎪+-≤<⎪=⎨⎪--≤<⎪⎪≥⎩30．设顾客到某银行窗口等待服务的时间X (单位：分钟)的概率密度函数为51,0()50,0xe x p x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩某顾客在窗口等待，如超过10分钟，他就离开，求他离开的概率. 解：他离开的概率为/52101{10}5x P X e dx e +∞--≥==⎰31．已知随机变量X 的分布函数为()1,x 0211, 02241,2xe F x x x x ⎧<⎪⎪⎪=+≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩，求其分布密度()p x .解：()1 021()0240 2xe x p x F x x x ⎧<⎪⎪⎪'==≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩32. 设X 是离散型随机变量，其分布律为（1）求常数a ；（2）23Y X =+的分布律．解：（1）由0.330.10.21a a ++++=得0.1a = （2）由于所以，23Y X =+的分布律为33.设随机变量X 的密度函数为,0()0,0x X e x p x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，0λ>，求XY e =的密度函数()Y p y .解：（1）XY e =的分布函数为(ln ),0()()(ln )0,0X XY F y y F y P e y P X y y >⎧=≤=≤=⎨≤⎩（2）XY e =的密度函数()Y p y 为ln 1,ln 0,1(ln )(ln ),01()()0,ln 00,00,10,0y X Y Y e y y p y y y y p y F y y y y y y λλλλ-+⎧>⎧'>⋅>⎧⎪⎪'===⋅≤=⎨⎨⎨≤⎩⎪⎪≤≤⎩⎩。

随机变量及其分布要求层次重难点取有限值的离散型随机变量及其分布列C⑴理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．⑵理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．超几何分布A（一） 知识内容1．运用计数原理，求随机事件的概率，为求随机变量的分布列打下基础．2．涉及到的主要是古典概型的概率求法，与概率初步相承接．对于直接列出基本事件空间求概率的题型不再收集，属于概率初步中的内容．（二）典例分析：【例1】 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，知识框架例题精讲高考要求离散型随机变量二点分布超几何分布 二项分布离散型随机变量的分布列板块一：随机事件的概率随机变量及其分布把乙猜的数字记为b，且{0129}，，，，，，若||1a b∈-≤，则称甲乙“心有灵犀”．现任意a b找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为．【例2】从装有3个白球，4个红球的箱子中，把球一个个取出来，到第五个恰好白球全部取出来的概率是_____．【例3】从正二十边形的对角线中任取一条，则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为_____．【例4】某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是______．【例5】（09上海春）一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘．若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为______．【例6】6女，4男中随机选出3位参加测验．每位女同学能通过测验的概率为0.8，每位男同学能通过测验的概率为0.6．试求：⑴选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．【例7】（06江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a p，的值分别为（）A ．510521a p ==， B ．410521a p ==， C ．521021a p ==， D ．421021a p ==，【例8】 （07四川）已知一组抛物线2112y ax bx =++，其中a 为2468，，，中任取的一个数，b 为1357，，，中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x =交点处的切线相互平行的概率是（ ）A ．112B ．760C ．625D ．516【例9】 （08湖南）对有(4)n n ≥个元素的总体{}12n ，，，进行抽样，先将总体分成两个子总体{}12m ，，，和{}12m m n ++，，，（m 是给定的正整数，且22m n -≤≤），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ；所有(1)ij P i j n <≤≤的和等于 ．【例10】 （2009江西10）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（ ）A ．3181B ．3381C ．4881D ．5081【例11】 （2009重庆6）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）A ．891B ．2591C ．4891D ．6091【例12】 （2009安徽）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）A ．175B ．275C ．375D ．475【例13】 （2009安徽10）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（ ）A ．1B ．12C ．13D ．0【例14】 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318，，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为_______．【例15】 右图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）A ．445B ．136C ．415D ．815【例16】 已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为（ ）A ．2140B ．1740C ．310D ．7120【例17】（2006上海）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是______（结果用分数表示）．【例18】某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（）A．120B．110C．25D．35【例19】从数字12345，，，，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A．19125B．18125C．16125D．13125【例20】（2007年全国II卷文）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．⑴求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；⑵若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B．【例21】（2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球．由甲，乙两袋中各任取2个球．⑴若3n=，求取到的4个球全是红球的概率；⑵若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n．【例22】 （2009江苏23）对于正整数2n ≥，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组()a b ，的组数，其中{}12a b n ∈，，，，（a 和b 可以相等）；对于随机选取的{}12a b n ∈，，，，（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率．⑴求2n T 及2n P ；⑵求证：对任意正整数2n ≥，有11n P n>-．【例23】 某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是12，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为1233，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为3255，；记 第(*)n n ∈N 次按下按钮后出现红球的概率为n P ． ⑴求2P 的值；⑵当2n n ∈N ，≥时，求用1n P -表示n P 的表达式； ⑶求n P 关于n 的表达式．（一） 知识内容1．离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示． 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示：X 1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n pX 的分布列．板块二：离散型随机变量及其分布列（二）典例分析：【例1】 以下随机变量中，不是离散型随机变量的是：⑴ 某城市一天之内发生的火警次数X ；⑵ 某城市一天之内的温度Y ．【例2】 写出下列各随机变量可能的取值．⑴ 小明要去北京旅游，可能乘火车、汽车，也可能乘飞机，他的旅费分别为100元、260元 和600 元，记他的旅费为X ；⑵ 正方体的骰子，各面分别刻着123456，，，，，，随意掷两次，所得的点数之和X ．【例3】 若()1P X n a =-≤，()1m P X b =-≥，其中m n <，则()P m X n ≤≤等于（ ）A ．(1)(1)a b --B ．1(1)a b --C ．1()a b -+D ．1(1)b a --【例4】 甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至有人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且每次不受其他次投篮结果的影响，甲投篮的次数为X ，若甲先投，则()P X k ==_________．【例5】 某12人的兴趣小组中，有5名三好生，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中三好生的人数，则(3)P X ==________．【例6】 设随机变量的分布列如下：k【例7】 设随机变量X 等可能的取值123n ，，，，，如果(4)0.3P X <=，那么（ ） A ．3n = B ．4n = C ．9n = D ．10n =【例8】 设随机变量X 的概率分布列为2()1233iP X i a i ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，，则a 的值是（ ） A ．1738 B ．2738 C ．1719 D ．2719【例9】 已知随机变量X 的分布列为()(123)2iP X i i a===，，，则(2)P X == ．【例10】 设随机变量X 的概率分布是()5kaP X k ==，a 为常数，123k =，，，则a =（ ） A ．2531 B ．3125 C ．12531 D ．31125【例11】 设随机变量ξ所有可能取值为1234，，，，且已知概率()P k ξ=与k 成正比，求ξ的分布．【例12】 设随机变量X 的概率分布列为()1262k cP X k k ===，，，，，其中c 为常数，则(2)P X ≤的值为（ ）A ．34B ．1621C ．6364D ．6463【例13】 设随机变量X 的分布列为()()123k P X k k n λ===，，，，，，求λ的取值．【例14】 已知(12)(1)k p k k k λ==+，，为离散型随机变量的概率分布，求λ的取值．【例15】 随机变量X 的分布列()(1234)(1)p P X k k k k ===+，，，，p 为常数，则1522P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭（ ）A ．23B ．34C ．45D ．56【例16】（2008年北京卷理）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．⑴求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；⑵求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；⑶设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．【例17】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求：⑴记甲击中目标的次数为ξ，ξ的概率分布及数学期望；⑵乙至多击中目标2次的概率；⑶甲恰好比乙多击中目标2次的概率．【例18】甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记国徽面（记为正面）朝上的次数为随机变量X；乙用一枚硬币掷2次，记国徽面（记为正面）朝上的次数为随机变量Y．⑴求随机变量X与Y的分布列；⑵求甲得到的正面朝上的次数不少于1的概率．⑶求甲与乙得到的正面朝上的次数之和为3的概率；⑷求甲得到的正面朝上的次数大于乙的概率．【例19】一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得1-分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列，并求出所得分数不为0的概率．【例20】一袋中装有编号为123456，，，，，的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X表示取出的最大号码．⑴求X的概率分布；⑵求4X 的概率．【例21】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止所需要的取球次数．⑴求袋中所有的白球的个数；⑵求随机变量X的概率分布；⑶求甲取到白球的概率．【例22】一个袋中有5个球，编号为12345，，，，，在其中同时取3个球，以X表示取出的3个球中的最大号码，试求X的概率分布列以及最大号码不小于4的概率．（一） 知识内容1．如果随机变量X 的分布列为 X 1 0P p q其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． X 1 0P 0.8 0.2两点分布又称01-为伯努利分布．2．超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C mn m M N M nNP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．（二）典例分析：【例23】 某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有两人会说日语的概率为____．【例24】 在15个村庄中有6个村庄交通不便，现从中任意选取10个村庄，其中有X 个村庄交通不便，下列概率中等于46691015C C C 的是（ ） A ．(4)P X = B ．(4)P X ≤ C ．(6)P X =D ．(6)P X ≤板块三：二点分布与超几何分布【例25】4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选三人中女生人数，则所选三人中女生人数1ξ≤的概率为（）．A．15B．25C．35D．45【例26】袋中装有2个5分硬币，3个二分硬币，5个一分硬币，任意抓取3个，则总面值超过1角的概率是（）A．115B．215C．1315D．1415【例27】从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，则两数之和是奇数的概率是______【例28】从一副扑克（无王牌）中随意抽取3张，其中至少有一张是黑桃的概率_______（保留四位有效数字）【例29】袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，求取出的3个球中红球个数X的概率分布．【例30】袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．⑴摸出2个或3个白球；⑵至少摸出一个黑球．【例31】一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率．⑴10件产品中至多有一件废品；⑵10件产品中至少有一件废品．【例32】（2009四川文）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．⑴在该团中随即采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；⑵在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．【例33】已知10件产品中有3件是次品．⑴任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；⑵为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？【例34】人类血型有A型，B型，AB型，O型，四种常见血型，现在有100人，其中是A型血的有40人，B型血的有20人，AB型血的有10人，O型血的有30人，从这100人中随机选出两人，问血型不同的概率是多少？【例35】交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，所得奖励是所抽2球的钱数之和，求摸奖人至少不赔的概率．【例36】一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，从中任取4个球，⑴红球的个数不比白球少的概率是多少？⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，使总分不少于7分的概率是多少？【例37】已知甲盒内有大小相同的1个红球、1个绿球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球、1个绿球和3个黑球，现从甲乙两个盒子内各任取2球．⑴求取出的4个球中恰有1个红球的概率；⑵求取出的4个球中红球的个数不超过2个的概率．。

2.1.1 离散型随机变量[A组学业达标]1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②解答高考数学卷Ⅰ的时间是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：由随机变量的概念可以直接判断①②③④都是正确的．答案：D2．将一个骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )A．两次掷出的点数之和B．两次掷出的最大点数C．第一次与第二次掷出的点数之差D．两次掷出的点数解析：将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．同理，两次掷出的最大点数、第一次与第二次掷出的点数之差也都是随机变量，而两次掷出的点数不是一个变量．答案：D3．下列叙述中，是离散型随机变量的为( )A．将一枚均匀硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B．某人早晨在车站等出租车的时间C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性解析：选项A，掷硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量．选项B，是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量．选项D，事件发生的可能性不是随机变量．故选C.答案：C4．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值是( )A ．1,2，…，5B ．1,2，…，10C ．2,3，…，10D ．1,2，…，6解析：第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.答案：C5．对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为X ，则X ＝k 表示的试验结果为( )A ．第k －1次检测到正品，而第k 次检测到次品B ．第k 次检测到正品，而第k ＋1次检测到次品C ．前k －1次检测到正品，而第k 次检测到次品D ．前k 次检测到正品，而第k ＋1次检测到次品解析：X 就是检测到次品前正品的个数，X ＝k 表明前k 次检测到的都是正品，第k ＋1次检测到的是次品．答案：D6．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是________(填序号)．①2枚都是4点；②1枚是1点，另1枚是3点；③2枚都是2点；④1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点．解析：抛掷2枚骰子，其中1枚是x 点，另1枚是y 点，其中x ，y ＝1,2，…，6. 而ξ＝x ＋y ，ξ＝4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2.答案：④7．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号)．①广州白云机场候机室中一天的旅客数量X ；②广州某水文站观察到一天中珠江的水位X ；③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X ；④虎门大桥一天经过的车辆数X .解析：①③④中的随机变量X 的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X 可以取某一区间内的一切值，但无法按一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量，故填②.答案：②8．一批产品共有12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．解析：可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品．X的结果有0,1,2,3.答案：0,1,2,39．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产了1件次品、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内得分为X，写出X的可能取值．解析：X的可能取值为0,1,2.X＝0表示在两天检查中均发现了次品．X＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品．X＝2表示在两天检查中没有发现次品．10．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由：(1)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；(2)在西安至成都的高铁线上，每隔500 m有一电线铁塔，将电线铁塔进行编号，则某一电线铁塔的编号X；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位X.解析：(1)不是离散型随机变量．因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出．(2)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始，可以一一列出．(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．[B组能力提升]11．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为( ) A．X＝4 B．X＝5C．X＝6 D．X≤4解析：第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.答案：C12．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为Y，则Y所有可能值的个数是( )A．25 B．10C．7 D．6解析：∵Y表示取出的2个球的号码之和，又1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,3＋4＝7,3＋5＝8,4＋5＝9，故Y的所有可能取值为3,4,5,6,7,8,9，共7个．答案：C13．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大值可能为________．解析：由题意可知X取最大值时只剩下一把钥匙，但锁此时未打开，故试验次数为4.答案：414．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时总共拨的次数为X，则随机变量X的所有可能取值的种数为________．解析：由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A44＝24种．答案：2415．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)，若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，写出X的所有可能取值，并说明X 的值表示的随机试验的结果．解析：X的所有可能取值是－1,0,1,2,3.(1)X＝－1表示：甲抢到1题但答错了，而乙抢到2题都答错了．(2)X＝0表示：甲没抢到题，乙抢到的题答错至少2个题或甲抢到2题，但回答1对1错，而乙答错1题．(3)X＝1表示：甲抢1题且答对，乙抢到2题且1对1错或全错或甲抢到3题，且2对1错．(4)X＝2表示：甲抢到2题均答对．(5)X＝3表示：甲抢到3题均答对．16．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为X.(1)列表说明可能出现的结果与对应的X的值；(2)若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y的随机变量类型．解析：(1)(2)由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以Y对应的各值是6,11,16,21.故Y的可能取值为6,11,16,21，显然Y为离散型随机变量．。

专题20 随机变量及其分布1. 随机变量0,1N，则12P（）A．0.0215 B．0.1359 C．0.1574 D．0.2718（参考数据：0.6826P，220.9544P，330.9974 P）【答案】B【解析】试题分析：根据正态分布的对称性，有0.95440.6826120.13592P.考点：正态分布.2. 2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩2100,X N（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（）A．80 B．100 C．120 D．200【答案】D【解析】考点：正态分布．3. 同时拋掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为，则的数学期望是（）A．20 B．25 C. 30 D．40【答案】B【解析】试题分析：5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为2235115()()2216C,由题意可知服从5(80,)16的二项分布,所以数学期望为5802516,故本题选 B.考点：二项分布与数学期望.4. 已知随机变量服从正态分布20,N，20.023P，则22P（）A．0.954B．0.977C．0.488D．0.477【答案】A【解析】考点：正态分布的性质及运用.5. 已知随机变量服从正态分布22,N，且40.8P,则02P（）A．0.6B．0.4 C.0.3D．0.2【答案】C【解析】试题分析：02P24P420.80.50.3P P，故选 C.考点：正态分布.。

2019-2020年高考数学小题精练系列第02期专题20随机变量及其分布理1．如果X 是一个离散型随机变量，那么下列命题中为假命题的是 ( )A ． X 取一个可能值的概率是非负实数B ． X 取所有可能值的概率之和为1C ． X 取某两个可能值的概率等于分别取其中两个值的概率之和D ． X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和【答案】D点睛：离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．2．若随机变量X 的概率分布如下表所示，则表中的a 的值为 ( ) X 1 2 3 4P aA ． 1B ．C ．D ．【答案】D【解析】111112666a a +++=∴=Q ，选D ． 3．抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P (ξ≤4)等于 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】点数之和ξ可能取值有，所以P(ξ≤4) ()()()12312343636366p p p ξξξ=+=+==++=，选A ． 4．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设“抽到的两张至少一张假钞”为事件“抽到的两张都是假钞”为事件()()221552220201C C P A P AB C C ∴=-=，()()()252202152202171C P AB C P B A C P A C ∴===- 故答案选5．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝,k ＝1,2,3，则m 的值为 ( ) A ． B ． C ． D ．【答案】B6．—个摊主在一旅游景点设摊，在不透明口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球．游客向摊主付2元进行1次游戏．游戏规则为：游客从口袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得3元励；若异色则游客获得1元奖励．则摊主从每次游戏中获得的利润(单位:元)的期望值是( )A ． 0．2B ． 0．3C ． 0．4D ． 0．5【答案】A【解析】游客摸出的2个小球同色的概率为 ，所以摊主从每次游戏中获得的利润分布列为，因此7．已知随机变量满足，， ．若，则（ ）A ． ，B ． ，C ． ，D ． ，【答案】B【解析】随机变量分布为“两点分布”，所以(),1i i i i i E p D p p ξξ==-（相当于的二次函数，对称轴为），又因为，所以，-1 0 1若，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题设可得2111,,3362a b b a a b +=-=⇒==， ()()221221()01,3339E X E X =⨯+⨯==所以由数学期望的计算公式可得，所以由随机变量的方差公式可得()()225()9DX E X E X =-=，应选答案D ．9．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C点睛：正态分布是典型的随机变量的概率分布之一，求解这类问题时先搞清楚其对称性，然后再依据题设条件解答所要解决的问题．求解本题时先依据其对称性求出()410.840.16P X >=-=，根据对称性可得，然后再运用对立事件的概率公式求出()()(24)14210.160.160.68P X P X P X <<=->-<=--=．10．已知随机变量的分布列为， 则等于( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵， ，∴3411435343381P X P X P X ≤<==+==+=（）（）（），故选D ． 点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的应用，考查互斥事件的概率，是一个比较简单的分布列问题，这种题目如果出现则是一个送分题目；根据随机变量的分布列，写出变量等于3，和变量等于4的概率，要求的概率包括两种情况这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．11．设随机变量的分布列为，则 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由概率和为1,可知，解得， = ()()23523666P X P X =+==+=选B ． 12．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P (ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )A ． 10%B ． 20%C ． 30%D ． 40%【答案】B。

第 1 页1．离散型随机变量及其分布列⑴离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，那么称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示：X 随机变量X 的分布列． 2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，那么X 的分布列满足二点分布．两点分布又称01-伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 与M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 与n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． ⑶二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率一样．在一样的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n kn n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布2 页假设将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k P X k p q -==0,1,2,,k n =X式00111()C C C C n n n k k n kn n n n n n q p p q p qp qp q --+=++++各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p的二项分布， 记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：假设离散型随机变量X 服从参数为n 与p 的二项分布，那么 ⑷正态分布1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，那么这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．2．正态分布 ⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，那么表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ与σ分别为正态变量的数学期望与标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原那么． ⑷假设2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，那么称()()()x F x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称22()t xx dt φ-=⎰为标准正态分布函数．第 3 页标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．3．离散型随机变量的期望与方差 1．离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，那么1122()n n E x x p x p x p =+++，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望〔简称期望〕．离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．2．离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，那么2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小〔离散程度〕．()D XX 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3．X 为随机变量，a b ，为常数，那么2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，； 4． 典型分布的期望与方差：⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．⑵二项分布：假设离散型随机变量X 服从参数为n 与p 的二项分布，那么()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑶超几何分布：假设离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，那么()nM E X N =，2()()()(1)n N n N M MD X N N --=-． 4．事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立． 5．条件概率对于任何两个事件A 与B ，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A 〞来表示．把由事件A 与B 的交〔或积〕，记做D A B =〔或D AB =〕． 一、解答题1．(2021·安徽理，17)甲、乙两人进展围棋比赛，约定第 4 页先连胜两局者直接赢得比赛，假设赛完 5 局仍未出现连胜，那么判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率；(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列与均值(数学期望)．2．(2021 ·重庆理，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全一样．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望． 3．(2021·石家庄质检)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物款 (单位：元) [0,50)[50,100) [100,150) [150,200)[200，＋∞) 顾客人数m 2030n10统计结果显示：100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%.据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．(注：视频率为概率)(1)试确定m 、n 的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；(2)现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数ξ的分布列与数学期望．4.为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进展了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，图中从左到右的前3个小组的频率之比为123，其中第2小组的频数为12.(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，假设从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的分布列与数学期望．5一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如下图：老板根据销售量给予店员奖励，具体奖励规定如下表销售量X个X<10100≤X<150150≤X<200X≥20奖励金额(元)050100150(2)记未来连续2天，店员获得奖励X元，求随机变量X 的分布列及数学期望E(X)．6．(2021 ·石家庄市一模)集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为12，12，23，且每个电子元件能否正常工作相互独立．假设三个电子元件中至少有2个正常工作，那么E能正常工作，否那么就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．(1)求集成电路E需要维修的概率；(2)假设某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列与期望．7．(2021·郑州市质检)为了迎接2021年3月30日在郑州举行的“中国郑州国际马拉松赛〞，举办单位在活动推介晚会上进展嘉宾现场抽奖活动. 抽奖盒中装有6个大小一样的小球，分别印有“郑开马拉松〞与“美丽绿城行〞两种标志. 摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球(取出后不再放回)，假设抽到两个球都印有“郑开马拉松〞标志即可获奖，并停顿取球；否那么继续抽取．第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获第5 页第 6 页奖．活动开场后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘郑开马拉松’的小球？〞主持人说“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美丽绿城行’标志的概率是45.〞(1)求盒中印有“郑开马拉松〞小球的个数；(2)假设用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望．8.(2021·福建理，18)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进展奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之与为该顾客所获的奖励额．(1)假设袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元与50元的两种球组成，或标有面值20元与40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个适宜的设计，并说明理由．。