向量共线定理及其扩展应用

共线向量定理及其应用知识点：一、共线向量基本定理a （a ≠0 ）与b 共线⇔存在唯一一个实数λ，使b a λ= 。

推论：a 与b共线⇔存在不全为零的实数12,λλ，使120a b λλ+=成立。

二．三点共线1.点A,B,P 共线⇔存在非零实数λ，使AP AB λ=成立。

（1）若点P 在线段AB 上（与A.B 不重合）时，则0<λ<1; (2)若点P 与A 重合时，则λ=0； （3）若点P 与B 重合时，则λ=1；（4）若点P 在线段AB 的延长线上时，则λ>1； (5)若点P 为线段AB 的中点时，则λ=12； （6）点P 在线段BA 的延长线上时，λ<0. 2.对于平面上的任意一点O,点P.A.B 三点共线⇔x (1)()OP OA x OB x R =+-∈3.对于平面上的任意一点O,点P.A.B 三点共线⇔(,)OP xOA yOB x y R =+∈且x+y=1.三．重要结论1.若向量a,b不共线，则12120==0a b λλλλ+= 当且仅当时成立，反之亦然。

2.若向量a,b不共线，则1212a ==0b λλλλ= 当且仅当时成立，反之亦然。

3.若向量a,b不共线，则11221212a ==b a b λμλμλλμμ+=+ 当且仅当且时成立，反之亦然练习部分：1.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（）A．B．C．D．2.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D，若，则m+n的取值范围是A.（0，1）B（1，+∞）C（-∞，-1）D（-1，0）.3.如图，经过∆OAB的重心G的直线与OA.OB分别交于P.Q，设,,,,OP mOA OQ nOB m n R==∈，则11n m+的值为----------- 。

4.如图，一条直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB,AD 分别交于E,F 两点，且交其对角线AC于K ，其中，则λ的值是（）A.15B.14C.13D.125.在△ＡＢＯ中，11,,42OC OA OD OB == ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｍ，设,OA a OB b ==，试用a 和b 表示向量OM６.设两个非零向量a 与b 不共线，试确定实数ｋ，使得ka b + 和a kb +共线答案：1.设(01)CO CD λλ=<< ,x (1)AO AB X AC xAB AC xAC =+-=+- , ()AO AC x AB AC ∴-=- ,x ()3CO CB x BC xCD ⇒==-=-,3,x λ∴=-所以，0<-3x<1,103x ∴-<<.2.解：：由C,O.D 三点共线知，(0),1OCOC kOD k k OD=<=<又,所以-1<k<0. 又B.A.D三点共线，(1)OD OA OBλλ∴=+- .(1)OC kOD k OA k OB λλ∴==+- .所以m+n=k λ+(1)k λ-=k (1,0)∈-3.解221111()()3323OG OD OA OB OP OQ m n ==⨯+=+ =1133OP OQ m n+.,,P G Q 三点共线，11111,333m n m n∴+=∴+= 4.解()AK AC AB AD λλ==+=32AE AF λλ+ ,因为K,E,F 三点共线，所以3λ+2λ=1.∴λ=15. ５.解∵D ，M ，A三点共线，∴存在实数m使得m (1)(1);2m O M O D m O A m a b =+-=-+ 又B ，M ，C 三点共线，同理可得，1(1)4n OM nOB n OC a nb -=+-=+62{,1714mn m n m =∴=--=得，1377OM a b ∴=+６.ｋ＝１。

向量三点共线定理及其延伸应用汇总1.如何判断三点共线？根据向量三点共线定理，只需判断向量AB和向量AC是否共线即可。

如果它们共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三点A、B、C 共线。

2.判断四点共面问题将四点依次相连，可以形成三个向量：向量AB，向量AC和向量AD。

如果这三个向量共面，则四点A、B、C、D共面。

这可以通过判断向量AB 和向量AC是否共线，以及向量AB和向量AD是否共线来进行。

3.判断平行四边形平行四边形是指具有两对平行的对边的四边形。

如果一个四边形ABCD是平行四边形，那么向量AB和向量CD是共线的，向量AD和向量BC 也是共线的。

因此，可以通过判断向量AB和向量CD是否共线，以及向量AD和向量BC是否共线来判断一个四边形是否为平行四边形。

4.求解向量坐标问题假设已知三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)在坐标平面上，现要求证这三个点共线。

可以将它们看作向量，向量AB=(x2-x1,y2-y1)和向量AC=(x3-x1,y3-y1)。

如果这两个向量共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三个点共线。

5.解决线段相交问题如果已知线段AB和线段CD，在平面上是否相交？可以将线段AB表示为向量AB，线段CD表示为向量CD。

如果向量AB和向量CD共线，那么线段AB和线段CD必定相交；反之，如果不共线，则线段AB和线段CD不相交。

6.判断三角形共线问题已知三角形ABC，如果顶点A、B和C共线，即向量AB和向量AC共线，则三角形ABC退化为一条线段。

7.探索顺、逆时针旋转问题已知三点A、B和C按照顺时针旋转形成的向量AB和向量AC是否共线？如果向量AB和向量AC共线，则这三点按顺时针方向排列；反之，如果不共线，则这三点按逆时针方向排列。

8.求解线段长度问题定理：若O为向量OA与向量OB的中点，则向量OA和向量OB共线且长度相等。

利用这个定理，可以求解线段长度。

向量共线定理及其扩展应用例题1 设两个非零向量a与b不共线。

（1）若AB＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线。

（1）证明：∵AB＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），∴BD＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5AB，∴AB，BD共线。

又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线。

（2）假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ（a ＋k b ）， 即（k －λ）a ＝（λk －1）b 。

又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0。

消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1。

总结提升：（1）证明三点共线，通常转化为证明由这三点为起点、终点的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据。

（2）注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。

（3）向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线。

【三点共线定理】已知,PA PB 为平面内两个不共线的向量，设PC xPA yPB =+，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，x>0，y>0； 当点P 在线段AB 之外时，xy<0。

证明：充分性如图，因为A ，B ， C 三点共线，设AC AB λ=，则()=(1)PC PA AC PA AB PA PB PA PA PB λλλλ=+=+=+--+，又由PC xPA yPB =+，所以1x y λλ=-⎧⎨=⎩，所以x+y=1。

必要性∵PC xPA yPB =+，且x+y=1，(1)()=-AC PC PA xPA yPB PA x PA yPB yPA yPB y PB PA ∴=-=+-=-++=-=y AB ，∴AC AB 向量与向量共线。

向量共线定理的几个推论及其应用人教版《数学》（必修）第一册（下）P115面介绍了一个定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且仅有一个实数λ，使b =λa 。

谓之“向量共线定理”。

以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题（诸如“三点共线”“三线共点”等）时有着广泛的应用。

以下通过例题来加以说明。

一、定理的推论推论一：向量b 与向量a 共线⇔存在不全为0的实数12,λλ，使120a b λλ+=，这实质是定理的另外一种表述形式。

推论二：三个不同点A 、B 、C 共线⇔存在一组全不为0的实数12,λλ，使120AB AC λλ+=。

注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中,AB AC 均不为零向量，而推论（一）中，向量,a b 可能含O 。

推论三: 设O 、A 、B 三点不共线，且OP xOA yOB =+，（x ，y∈R），则P 、A 、B 三点共线⇔x+y=1。

这实质是直线方程的向量形式。

推论四: 设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 共线⇔存在一组全不为0的实数123,,λλλ使123OA OB OC O λλλ++=且123λλλ++=0证：① 当O 点与A 、B 、C 三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；② 当O 点与A 、B 、C 三点均不重合，则三点A 、B 、C 共线⇔存在s ，t∈R，且s·t≠0，使得sAB t AC O +=，此时，s≠-t ，否则AB AC =，从而B 点与C 点重合，这与已知条件矛盾，故有：()()s OB OA t OC OA O -+-=，即：()s OB tOC s t OA O ⋅+-+=。

显然s+t+[-(s+t)]=0令123()0,0,0s t s t λλλ-+=≠=≠=≠,故1230λλλ++=得证。

推论五： 设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 不共线⇔若存在实数123,,λλλ，使123OA OB OC O λλλ++=且1230λλλ++=则123λλλ===0。

共线向量定理的推论的推广及应用贵州织金一中 龙瑞华最近几年的高考试题中，很多题目都是以向量知识为背景，向量知识成高考的热点。

在高二下册B 版本的课本第九章第五节中讲到共线向量定理的推论。

下面就该推论的推广在解题中的应用加以探究。

一、推论的叙述及变式。

如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式：(1)OP OA ta=+在l 上取AB a =，则（1）式可化为OP OA t AB =+因为AB OB OA =- ∴(1)(2)OP t OA tOB=-+由（2）式可看出等号的左边向量OP 的系数1刚好等于右边的向量OA 与OB 的系数之和1-t +t ，由推论易知此时A 、B 、P 三点同在一条直线上。

O 为直线外一点，即P 为△OAB 边AB 上的点，线段OB 、OP 、OA 是有共同端点的三条线段，另外的三个端点都在同一条线上。

线段OP 刚好是三条线段中的中间一条，它所表示的向量(1)OP t OA tOB =-+，在等式中，左边系数之和=右边系数之和。

图（一）a二、推论的推广由共线向量定理的推论，我们可以得到如下结论： 结论一：在△ABC 中，D 为BC 边上的点，如果BD x =DCy，则以A 点为起点的三个向量的中间一个向量AD =AC AB x y x y x y+++。

证明：BD BC,BD=AD AB,BC=AC-AB xx y=-+即可证明。

结论二：共起点的三个向量如果它们的终点在同一条直线上，那么用其中二个向量表示另一个向量时，左边系数之和等于右边系数之和。

结论三：在结论一中如果点D 不在边BC ，是在三角形ABC 的内部或外部，在图（三）中，AD=xAC+yAB ，则 1x y +<，在图（四）中AD AC AB x y =+，则 1x y +>，证明先找到AD 与BC 的交点，转化为第一种情形，即三点在同一条直线上，再应用向量共线定理a b λ=进行转化。

向量共线原理的应用1. 简介向量是数学中的重要概念，它们广泛应用于多个领域，包括几何、物理、计算机科学等。

向量共线原理是一个基础定理，指出当两个或多个向量的方向相同或相反时，它们是共线的。

本文将介绍向量共线原理的基本概念和应用。

2. 向量共线原理的基本理论向量共线原理是建立在向量的基本概念之上的。

一个向量可以由其大小和方向来表示。

两个向量相等当且仅当它们具有相同的大小和方向。

两个向量A和B是共线的，当且仅当它们的大小比例相同，即A=kB，其中k为常数。

3. 向量共线原理的应用向量共线原理在实际生活中有许多应用。

下面列举了其中的几个应用场景。

3.1 几何问题向量共线原理可以用于解决几何问题。

例如，当一个线段的中点与另外一个不同的点相连时，可以使用向量共线原理证明这两个线段是平行的。

同样地，两个平行线的方向向量也是共线的。

3.2 物理问题在物理学中，向量共线原理有广泛的应用。

例如，在受力分析中，当几个力的合力为零时，可以使用向量共线原理证明这些力是共线的。

在静力学中，可以利用向量共线原理求解两个平衡物体之间的力的关系。

3.3 计算机图形学在计算机图形学中，向量共线原理也有重要的应用。

例如，在三维空间中，可以使用向量共线原理来判断线段是否相交。

此外，向量共线原理还可以用于计算机动画中的物体移动和旋转。

3.4 金融学在金融学中，向量共线原理可以用于分析资产组合。

通过分析资产的收益率向量，可以判断不同资产之间的相关性，并进行风险管理和投资组合优化。

3.5 人工智能向量共线原理在机器学习和人工智能领域也有重要的应用。

在自然语言处理中，可以使用向量共线原理来表示词向量，进而进行文本分类和情感分析。

此外，向量共线原理还可以用于图像识别和模式识别。

4. 总结向量共线原理是一个基础定理，具有广泛的应用。

本文介绍了向量共线原理的基本理论和几个应用场景，包括几何问题、物理问题、计算机图形学、金融学和人工智能。

通过了解和应用向量共线原理，我们可以更好地理解和解决现实生活中的问题。

根据向量共线定理的几个推论及其应用，给出10个例子。

根据向量共线定理的几个推论及其应用本文将讨论根据向量共线定理得出的几个推论，并给出10个例子进行应用。

推论1：向量共线的充要条件向量共线的充要条件是它们可以表示为等比例的关系。

即，两个向量v和w是共线的，当且仅当存在一个非零常数k，使得v = kw。

实例1：设向量v = ⟨2, 4⟩，向量w = ⟨6, 12⟩，则v和w共线，因为可以表示为v = 3w。

推论2：向量共线的性质向量共线具有以下性质：1. 共线向量的数量不唯一。

对于任意一个向量v，与之共线的向量有无穷多个。

2. 共线向量的方向相同或相反。

共线向量的方向可以是相同的，也可以是相反的。

3. 共线向量的模长比例相同。

共线向量的模长之间存在一个恒定的比例关系。

实例2：考虑两个共线向量v = ⟨1, 2⟩和w = ⟨-2, -4⟩，它们的方向相反，模长的比例为2。

推论3：向量共线与线性相关两个向量共线等价于它们线性相关。

即，向量v和w共线，当且仅当它们的行列式为0。

实例3：设向量v = ⟨3, 6⟩，向量w = ⟨-2, -4⟩，则v和w共线，因为它们的行列式为0。

推论4：向量共线的应用向量共线的理论在实际中有很多应用，其中包括但不限于以下几个方面：1. 几何学：根据向量共线定理，可以判断线段是否共线，计算线段的长度比例等。

2. 物理学：在力学、电磁学等物理学领域中，向量共线定理被广泛应用于描述物体的运动、力的合成等问题。

3. 工程学：在建筑、航空、航天等领域中，向量共线定理可以用于分析和计算结构的稳定性和强度等。

实例4-10：1. 在平面上，三个点A(2, 4)、B(-1, -2)、C(3, 6)共线。

2. 直线L:x/3 = y/2 = z/4，过点P(3, 6, 12)。

3. 三维空间中，平面P1：2x + 4y + 6z = 0 和平面P2：4x + 8y + 12z = 0 共线。

专题4.6：共线向量定理的研究与拓展【课本溯源】在△OAB 中,C 为直线AB 上一点,AC →=λCB →(λ≠-1)，求证：OC →=OA →+λOB →1+λ. 上述例题中如果令a=11+λ,b=λ1+λ,则我们可以得到:△OAB 中,若C 为直线AB 上一点,则OC →=aOA →+bOB →且a +b=1.而这个命题的逆命题也成立,于是我们有如下结论.平面上三点A ,B ,C 共线的充要条件是存在a ,b 使得OC →=aOA →+bOB →,其中O 为平面内任一点且a +b=1.【问题提出】1. 在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点，若AD →=2DB →，CD →=13CA →+λCB →，则λ=_____. 2. 已知等差数列{a n }前n 项和为S n ,若OB →=a 1OA →+a 200OC →,且A ,B ,C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200=_____.【探究拓展】探究1：如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD=DC=1， AB=3，动点P 在△ABC内运动（含边界），设 ),(R AD AB AP ∈+=βαβα，则βα+的取值范围是 .变式1：如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+，则λμ+的最小值为变式2：C B A ,,是圆上三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OB n OA m OC +=，则n m +的取值范围是_______()0,1-∈k解析：OB n OA m OD k +=，由题易得：()0,1-∈k 且n m k +=探究2：已知O 为锐角三角形ABC ∆的外心，10,6==AC AB ，若AC y AB x AO +=，且5102=+y x ，则_____cos =∠BAC变式1：在ABC ∆中，2==BC AB ，3=AC ，设O 是ABC ∆的内心，若q p +=，则qp 的值为_________ 变式2：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤+≤+=μλμλ且0,≥μλ，C 点所有可能的位置区域的面积为 ．变式3：若ABC ∆内接于以O 为圆心，以1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，则该ABC ∆的面积为变式4：在ABC ∆中，已知9=⋅AC AB ，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的点，且||||CB y CA x +=xy 的最大值为_________． 3 由题易得：)0,0(143>>=+y x y x ，求xy 的最大值（可考虑三角换元或直接基本不等式） 变式5：在ABC ∆中，6π=∠B ，33||=，6||=，设D 是AB 的中点，O 是ABC ∆所在平面内一点，且23=++，则||的值是______.1另解1：坐标法；另解2：加上一个向量,也可以完成；另解3：或者将三个向量同时插入一个点D 也可以；【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。

向量三点共线定理及其延伸应用汇总首先，我们来证明向量三点共线定理。

假设向量AB和AC共线，则存在一个实数k，使得AB=kAC。

又因为向量的相等意味着它们具有相同的长度和方向，所以AB和AC具有相同的方向，这表明点A、B、C共线。

反过来，假设点A、B、C共线，则可以找到一点O，使得向量OA和向量OB在同一条直线上。

将向量OB-OA=AB记作向量u，以及向量OC-OA=AC记作向量v，则AB=u+(−v)和AC=v，我们可以发现向量u和向量v具有相同的方向，因此它们共线。

在证明了向量三点共线定理之后，我们介绍一些具体的应用。

1.已知两个点A和B的坐标，求过这两点的直线方程假设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个点，我们可以使用向量的三点共线定理来求解过这两点的直线方程。

首先求得向量AB=(x2-x1,y2-y1)，然后选取其中一点作为直线的起点，将AB的坐标代入到直线方程中，可以得到直线的方程。

2.已知三个点A、B和C的坐标，判断它们是否共线可以将向量AB和向量AC进行比较，如果它们的比值相同，则说明向量AB和AC共线，即点A、B、C共线。

这个方法可以使用来判断三个点是否共线。

3.求平面上一个点到一条直线的距离假设直线的方程是Ax+By+C=0，平面上的一个点是P(x0,y0)，我们可以使用向量的方法来求解点P到直线的距离。

首先求得向量n=(A,B)，然后我们可以得到直线上一点Q(x,y)的坐标为Q(x,y)=P+λn，其中λ为实数。

将直线上一点的坐标代入到直线方程中，可以得到λ的值，然后计算点P到直线的距离，即为PQ的模。

4.求平面上一个点到两条直线的距离假设直线的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0，平面上的一个点是P(x0,y0)，我们可以使用向量的方法来求解点P到这两条直线的距离。

首先求得向量n1=(A1,B1)和n2=(A2,B2)，然后我们可以得到直线上一点Q1(x,y)的坐标为Q1(x,y)=P+λn1，以及直线上一点Q2(x,y)的坐标为Q2(x,y)=P+μn2，其中λ和μ为实数。

向量共线定理的几个推论及其应用推论一：向量b 与向量a 共线⇔存在不全为0的实数12,λλ，使120a b λλ+=，这实质是定理的另外一种表述形式。

推论二：三个不同点A 、B 、C 共线⇔存在一组全不为0的实数12,λλ，使120AB AC λλ+=。

注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中,AB AC 均不为零向量，而推论（一）中，向量,a b可能含O 。

推论三: 设O 、A 、B 三点不共线，且OP xOA yOB =+，（x ，y∈R），则P 、A 、B 三点共线⇔x+y=1。

这实质是直线方程的向量形式。

推论四: 设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 共线⇔存在一组全不为0的实数123,,λλλ使123OA OB OC O λλλ++=且123λλλ++=0证：① 当O 点与A 、B 、C 三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；② 当O 点与A 、B 、C 三点均不重合，则三点A 、B 、C 共线⇔存在s ，t∈R，且s·t≠0，使得sAB t AC O +=，此时，s≠-t ，否则A B A C = ，从而B 点与C 点重合，这与已知条件矛盾，故有：()()s OB OA t OC OA O-+-= ，即：()s OB tOC s t OA O ⋅+-+=。

显然s+t+[-(s+t)]=0令123()0,0,0s t s t λλλ-+=≠=≠=≠,故1230λλλ++=得证。

推论五： 设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 不共线⇔若存在实数123,,λλλ，使123OA OB OC Oλλλ++=且1230λλλ++=则123λλλ===0。

推论五实质是推论四的逆否命题。

推论六：点P 在ΔABO 的内部（不含边界）⇔存在正实数12,λλ，使得12OP OA OB λλ=+，且121λλ+<。

证：：如图，必要性：若点P 在ΔABO 的内部（不含边界），则12OP OA OB λλ=+，延长OP 交AB 于P 1，过P 作OA 、OB 的平行线，分别交OA ，OB 于M ，N 点，过P 1作OA ，OB 的平行线，分别交OA ，OB 于M 1，N 1点，显然11||||PM PM <，11||||PN PN <，12OP OM ON OA OBλλ=+=+。

向量共线的判定定理1. 引言向量是数学中重要的概念之一，在几何和物理等领域都有广泛的应用。

对于向量来说，共线是一个重要的性质，它表示两个或多个向量位于同一条直线上。

本文将详细探讨向量共线的判定定理。

2. 向量的定义在二维平面上，向量可以用有序数对表示，例如向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1和a2分别是向量a在x轴和y轴上的分量。

同样地，在三维空间中，向量可以用有序三元组表示，例如向量b可以表示为(b1, b2, b3)，其中b1、b2和b3分别是向量b在x轴、y轴和z轴上的分量。

3. 向量共线的定义向量共线是指两个或多个向量在同一条直线上，即它们的方向相同或相反。

如果存在一个非零实数k，使得向量a1 = k * a2，则向量a1和a2共线。

同样地，如果存在一个非零实数k1和k2，使得向量b1 = k1 * b2 = k2 * b3，则向量b1、b2和b3共线。

4. 向量共线的判定定理向量共线的判定定理可以简化为以下几种情况： 4.1. 两个非零向量共线如果向量a1和a2是非零向量，并且它们的方向相同或相反，则向量a1和a2共线。

4.2. 三个非零向量共线如果向量b1、b2和b3是非零向量，并且它们的方向相同或相反，则向量b1、b2和b3共线。

4.3. 多个向量共线如果有多个向量c1、c2、…、cn，其中n是正整数。

如果对于任意两个不同的向量ci和cj，它们的方向相同或相反，则向量c1、c2、…、cn 共线。

5. 向量共线的证明向量共线的判定定理可以通过向量的线性组合进行证明。

对于向量a1、a2和a3，如果存在非零实数k1和k2，使得k1 * a1 + k2 * a2 = a3，则向量a1、a2和a3共线。

证明思路如下： 1. 假设向量a1和a2共线。

2. 则存在非零实数k1，使得a1 = k1 * a2。

3. 将a1和a2代入k1 * a1 + k2 * a2 = a3，并整理得到(k1 + k2)* a2 = a3。

第2讲 向量共线定理的应用向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．例1 (1)若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足|3AM →－A B →－AC →|＝0，则△ABM 与△ABC 的面积之比等于( ) A.34 B.14 C.13 D.12 答案 C解析 ∵|3AM →－AB →－AC →|＝0，∴3AM →－AB →－AC →＝0，∴AB →＋AC →＝3AM →.设BC 的中点为G ，则AB →＋AC →＝2AG →，∴3AM →＝2AG →，即AM →＝23AG →，∴点M 在线段AG 上，且|A M →||A G →|＝23.∴S △ABM S △ABG ＝|AM →||AG →|＝23，易得S △ABG S △ABC ＝|BG →||BC →|＝12， ∴S △ABM S △ABC ＝S △ABM S △ABG ·S △ABG S △ABC ＝23×12＝13， 即△ABM 与△ABC 的面积之比等于13.(2)在△ABC 中，AN →＝12AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋38AC →，则实数m 的值为________．答案 14解析 方法一 ∵B ，P ，N 三点共线，∴BP →∥PN →，∴存在实数λ，使得BP →＝λPN →(λ>0)， ∴AP →－AB →＝λ(AN →－AP →)，∵λ>0，∴AP →＝11＋λ AB →＋λ1＋λAN →.∵AN →＝12AC →，AP →＝mAB →＋38AC →，∴AP →＝mAB →＋34AN →，∴⎩⎨⎧11＋λ＝m ，λ1＋λ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，m ＝14. 方法二 ∵AN →＝12AC →，AP →＝mAB →＋38AC →，∴AP →＝mAB →＋34AN →.∵B ，P ，N 三点共线，∴m ＋34＝1，∴m ＝14.例2 (1)(2020·河北省石家庄一中质检)在△ABC 中，D 为线段AC 的中点，点E 在边BC 上，且BE ＝12EC ，AE 与BD 交于点O ，则AO →等于( )A.12AB →＋14AC →B.14AB →＋14AC →C.14AB →＋12AC →D.12AB →＋12AC → 答案 A解析 如图，设AO →＝λAE →(λ>0)，又AE →＝AB →＋13BC →＝23AB →＋13AC →，∴AO →＝23λAB →＋13λAC →＝23λAB →＋23λAD →.又B ，O ，D 三点共线，∴23λ＋23λ＝1，∴λ＝34，∴AO →＝12AB →＋14AC →.(2)在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM →＝xAB →， AN →＝yAC →(xy ≠0)，则4x ＋y 的最小值是________．答案 94解析 由D 为BC 的中点知，AD →＝12AB →＋12AC →，又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(xy ≠0)，E 为AD 的中点， 故AE →＝12AD →＝14x AM →＋14yAN →，∵M ，E ，N 三点共线，∴14x ＋14y ＝1，∴4x ＋y ＝(4x ＋y )⎝⎛⎭⎫14x ＋14y ＝y 4x ＋x y ＋54 ≥2y 4x ·x y ＋54＝94， 当且仅当y 4x ＝x y ，即x ＝38，y ＝34时取等号．∴4x ＋y 的最小值为94.(1)若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.(2)使用条件“两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置．1.如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )等于( )A.⎝⎛⎭⎫12，12B.⎝⎛⎭⎫23，23C.⎝⎛⎭⎫13，13D.⎝⎛⎭⎫23，12答案 C解析 由题意得，AF →＝x a ＋y b ＝xAB →＋2yAE →， ∵B ，F ，E 三点共线，∴x ＋2y ＝1，① 同理，AF →＝2xAD →＋yAC →，∵D ，F ，C 三点共线，∴2x ＋y ＝1，② 由①②得x ＝y ＝13，∴(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫13，13. 2．(2020·河北省石家庄二中调研)已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D 为边BC 上一点，AB →·AD →＝6，AC →·AD →＝152，则AB →·AC →的值为________．答案 92解析 ∵D 为边BC 上一点，可设BD →＝λBC →， ∴A D →＝AB →＋B D →＝(1－λ)AB →＋λAC →.∴⎩⎪⎨⎪⎧AB →·AD →＝(1－λ)×9＋λAB →·AC →＝6， ①AC →·AD →＝(1－λ)×AB →·AC →＋9λ＝152 ， ② ①＋②得，9＋AB →·AC →＝272，∴AB →·AC →＝92.3．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为________．答案7＋434解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，则BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋14b ＝－34a ＋b .设BP →＝λBC →，则AP →＝AB →＋BP →＝⎝⎛⎭⎫1－34λa ＋λb .因为AP →＝m a ＋n b ，所以1－34λ＝m ，λ＝n ，消去λ得m ＋34n ＝1，1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫m ＋34n ⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝1＋3n 4m ＋m n ＋34≥74＋23n 4m ·m n ＝7＋434， 当且仅当m ＝4－23，n ＝833－4时等号成立．所以1m ＋1n 的最小值为7＋434.鼓励学生拼搏的正能量句子：1. 人之所以能，是相信能。

共线向量定理变形
共线向量定理是数学中的一个重要定理，它描述了三个向量共线的条件。

根据这个定理，如果三个向量a、b和c满足a与b的比值等于b与c的比值，那么a、b和c就共线。

这个定理在几何学中非常有用。

当我们需要确定三个点是否共线时，可以利用共线向量定理来判断。

假设有三个点A、B和C，它们的位置向量分别是a、b和c。

根据共线向量定理，如果a与b的比值等于b与c的比值，那么点A、B和C就共线。

通过这个定理，我们可以解决许多有关共线的问题。

例如，当我们需要确定一个平面上的四个点是否共线时，可以选择其中的三个点，利用共线向量定理来判断。

如果这三个点共线，那么第四个点也会在同一条直线上。

除了几何学，共线向量定理还在物理学和工程学中得到广泛应用。

在物理学中，当我们需要分析物体在空间中的运动轨迹时，可以利用共线向量定理来确定物体的位置。

在工程学中，共线向量定理可以帮助我们确定建筑物中的力的平衡和分布情况。

共线向量定理的应用范围广泛，它为我们解决各种问题提供了有效的方法。

通过分析向量的比值，我们可以确定点的共线性，从而解决许多几何、物理和工程问题。

这个定理的重要性不言而喻，它为我们的学习和研究提供了有力的工具。

通过理解和应用共线向量定
理，我们可以更好地理解和解决与共线性相关的问题。

空间向量共线
1 什么是空间向量共线
空间向量共线是一种坐标系中的特殊情况，指的是多个空间向量
组成一条直线。

当三个(或以上)空间向量存在时，它们会构成一个几
何体，当这几个向量共线时，这些向量就会在同一平面内，这样共线
的向量就可以构成一个更大的空间。

2 空间向量共线的特点
空间向量共线的特点是，如果两个空间向量同时满足如下两个条件，即表示这两个向量共线：
1. 两个空间向量具有相同的象限；
2. 两个空间向量的方向比率相同。

另外，如果三个或以上的空间向量都满足上述条件，那么它们就
可以共线。

3 空间向量共线的应用
空间向量共线有着广泛的应用，如当使用真实世界的点，比如基站、卫星等来传播信息时，就要求它们共线，以实现信息的有效传递；用于发射信号的无线电台也要求基本向量共线；进行路径规划时，也
要求两个向量共线，从而实现最优路径。

空间向量共线也可以用来解决矩阵和多元函数中的方程，有助于加深对数学方面的理解，也增加了矩阵和多元函数的运用范围。

4 结语
总结起来，空间向量共线是一种坐标系下重要的概念，具有广泛的应用，在科学研究和工程技术方面都具有重要的作用，是理解和运用坐标系的一部分，是学习数学的必备内容。