黑龙江省哈尔滨市第三中学2014届高三上学期第四次月考数学理答案

2014哈三中校三模】黑龙江省哈三中2014届高三第三次高考模拟考试数学文Word版含答案XXX2013-2014年高三下学期第三次高考模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

1.答题前，请填写姓名和准考证号码。

选择题使用2B铅笔填涂，非选择题使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。

2.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第I卷选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知全集U=R，集合A={x|x-2x-3>0}，B={x|2<x<4}，那么集合(C∪A)∩B=A) {x-1≤x≤4} (B) {x^2<x≤3} (C) {x^2≤x<3} (D) {x-1<x<4}2.复数1+i+i+⋯+i等于A) i (B) -i (C) 2i (D) -2i3.已知a=2.3^(210)，b=log2 3，c=log2 4，则A) a>b>c (B) a>c>b (C) b>c>a (D) c>b>a4.已知直线m,n和平面α，则XXX的一个必要条件是A) m//α，n//α (B) m⊥α，n⊥α (C) m//α，n⊂α (D) m,n与α成等角5.已知x与y之间的一组数据。

x 1 2 3y 3 5.5 7已求得关于y与x的线性回归方程为ŷ=2.1x+0.85，则m 的值为A) 1 (B) 0.85 (C) 0.7 (D) 0.56.在数列{an}中，已知a1+a2+⋯+an=2n-1，则a1^2+a2^2+⋯+an^2=A) n^2 (B) n(4n-1) (C) 4n-1 (D) 3n^27.执行如图所示的程序框图，若输出S=15，则框图中①处可以填入A) n>4 (B) n>8 (C) n>16 (D) n<16开始S=0,n=1S=S+nn=2n否①是输出S结束8.已知z=2x+y，其中实数x,y满足x+y≤2，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是A) 2/11 (B) 1/11 (C) 4 (D) 11/49.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b)$的右焦点为$F$，过$F$的直线$l$交双曲线的渐近线于$A,B$两点，且与其中一条渐近线垂直，若$AF=4FB$，则该双曲线的离心率是$\frac{5}{4}$。

2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 集合{}2,1=M ，{}3,2,1=N ，{}N b M a ab x x P ∈∈==,,,则集合P 的元素个数为 A.3 B.4 C.5 D.62. 若i 是虚数单位，则复数ii+-12的实部与虚部之积为 A.43 B.43- C.i 43D.i 43-3. 若βα,表示两个不同的平面，b a ,表示两条不同的直线，则α//a 的一个充分条件是A.ββα⊥⊥a ,B.b a b //,=βαC.α//,//b b aD.ββα⊂a ,// 4. 若312cos =θ，则θθ44cos sin +的值为 A.1813 B.1811 C.95D.15. 若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是76,则输入的的值为A.5B.6C.7D.86. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥043041y x y x x ，则目标函数y x z -=3的最小值为A.4-B.0C.34D.4 7. 直线02=++y x 截圆422=+y x 所得劣弧所对圆心角为 A.6π B.3πC.32πD.65π8. 如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表 面积是 A.π949 B.π37C.π328D.π928 9. 等比数列{}n a 中，若384-=+a a ，则(6262a a a a ++ 的值是A.9-B.9C.6-D.3 10. 在二项式n xx )2(4+的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为 A.61 B. 41 C.31 D.125 11. 设A 、B 、P 是双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 上不同的三个点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率之积为41，则该双曲线的离心率为 侧视图A.25 B. 26 C.2 D.315 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln f x x x x =-的图象上的动点，该曲线在点P 处的切线l 交y 轴于点(0,)M M y ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点(0,)N N y .则NMy y 的范围是 A ．),3[]1,(+∞--∞ B. ),1[]3,(+∞--∞ C. [3,)+∞ D. ]3,(--∞哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 已知(0,)2πθ∈，由不等式1tan 2tan θθ+≥， 22222tan tan 2tan 3tan 22tan θθθθθ+=++≥, 33333tan tan tan 3tan 4tan 333tan θθθθθθ+=+++≥，归纳得到推广结论： tan 1()tan nmn n N θθ*+≥+∈，则实数=m _____________ 14. 五名三中学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有两名同学拿对自己衣服的不同情况有_____________种.(具体数字作答)15. 已知(0,1),(0,1),(1,0)A B C -,动点P 满足22||AP BP PC ⋅= ,则||AP BP +的最大值为_____________16. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知角A 为锐角, 且 22sin sin sin 4sin sin ()B C A B C m+==，则实数m 范围为_____________三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）数列{}n a 满足112,2n n a a a +-==，等比数列{}n b 满足8411,a b a b ==. （I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （II ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数 为60.（I ）请在图中补全频率分布直方图；（II ）若Q 大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽 取6名学生进行面试.① 若Q 大学本次面试中有B 、C 、D 三位考官，规定获得两位考官的认可即面试 成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为12、13，15，求甲同学面试成功的概率； ②若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，第3组中有ξ名学生被考官B 面试，求ξ的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，︒=∠60BAD ，Q 为AD 的中点.（I ）若PD PA =，求证：平面⊥PQB 平面PAD ；（II ）若平面⊥PAD 平面ABCD ，且2===AD PD PA ，点M 在线段PC 上，试 确定点M 的位置，使二面角C BQ M --大小为︒60,并求出PCPM的值.20.（本小题满分12分）若点()2,1A 是抛物线px y C 2:2=()0>p 上一点，经过点()2,5-B 的直线l 与抛物线 C 交于Q P ,两点.（I ）求证：QA PA ⋅为定值；（II ）若点Q P ,与点A 不重合，问APQ ∆的面积是否存在最大值?若存在，求出最大 值； 若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分） 设a R ∈，函数21()(1)xf x x ea x -=--． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在3(,2)4内的极值； （Ⅱ）设函数1()()(1)xg x f x a x e-=+--，当()g x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）时，总有211()()x g x f x λ'≤，求实数λ的值．（其中()f x '是函数()f x 的导函数．）BACDPQ请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是的⊙O 直径，CB 与⊙O 相切于B ，E 为线段CB 上一点，连接AC 、AE 分别交⊙O 于D 、G 两点，连接DG 交CB 于点F . （Ⅰ）求证：C 、D 、G 、E 四点共圆.（Ⅱ）若F 为EB 的三等分点且靠近E ，EG 1=，GA 3=，求线段CE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ty t x 33，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1)(-=x x f .（Ⅰ）解不等式6)3()1(≥++-x f x f ；（Ⅱ）若1,1<<b a ，且0≠a ，求证：)()(ab f a ab f >2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试答案C数学（理工类）一、选择题1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.C9.B 10.D 11.A 12.A二、填空题13.n n14. 2015. 616. (三、解答题17.解：（I）112,2n na a a+-==，所以数列{}na为等差数列，则2(1)22na n n=+-=；-----------------------------------------------3分11482,16b a b a====，所以3418,2bq qb===，则2nnb=；-------------------------------------------------------------------6分（II）12nn n nc a b n+==，则23411222322nnT n+=⋅+⋅+⋅++345221222322nnT n+=⋅+⋅+⋅++两式相减得2341212223222n nnT n++-=⋅+⋅+⋅++-----------9分整理得2(1)24nnT n+=-+.-----------------------------------------------12分18.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为60，所以总人数为：560300⨯=，由直方图可知，第五组人数为:0.02530030⨯⨯=人，又6030152-=为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人---------------------------------------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）设事件A =甲同学面试成功，则()=P A 114121111111423523523523515⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……………..8分 （Ⅲ）由题意得，0,1,2,3=ξ0333361(0)20===C C P C ξ， 1233369(1)20===C C P C ξ, 2133369(2)20===C C P C ξ, 3033361(3)20===C C P C ξ 分布列为3()0123202020202=⨯+⨯+⨯+⨯=E ξ…………………..12分19. （I ） PD PA =，Q 为AD 的中点，AD PQ ⊥∴，又 底面ABCD 为菱形，︒=∠60BAD ，AD BQ ⊥∴ ,又Q BQ PQ = ∴⊥AD 平面P Q B ，又⊂AD 平面PAD ,∴平面⊥PQB 平面PAD ;-----------------------------6分（II ） 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面 PAD 平面AD ABCD =,AD PQ ⊥⊥∴PQ 平面ABCD .∴以Q 为坐标原点，分别以QP QB QA ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标系如图.则)0,3,2(),0,3,0(),3,0,0(),0,0,0(-C B P Q ,设−→−−→−=PC PM λ(10<<λ), 所以))1(3,3,2(λλλ--M ，平面CBQ 的一个法向量是)1,0,0(1=n ，设平面MQB 的一个法向量为=2n ),,(z y x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅−→−−→−22n QB n QM取=2n )3,0,233(λλ-，-----------------------------------------9分 由二面角C BQ M --大小为︒60，可得：||||||212121n n n n ⋅=，解得31=λ，此时31=PC PM --------------------------------12分20. 解：（I ）因为点()2,1A 在抛物线px y C 2:2=()0>p 上，所以p 24=，有2=p ，那么抛物线x y C 4:2=---------------------------------------2分 若直线l 的斜率不存在，直线l :5=x ，此时()()()2,1,52,5,52,5A Q P -()()0522,4522,4=+-⋅--=⋅QA PA -------------------------------------------3分若直线l 的斜率存在，设直线l :()()0,25≠--=k x k y ，点()11,y x P ，()22,y x Q⎩⎨⎧--==2)5(42x k y xy ， 有()()⎪⎩⎪⎨⎧>++=∆+-==+⇒=+--0251616820,40254421212k k kk y y k y y k y ky ，---------------5分 ()()()()()()()024164212416412412,12,12121222121221212122212221212121212211=++-++-+-=++-+++-=++-+++-=--⋅--=⋅y y y y y y y y y y y y y y yy y y y y y y x x x x y x y x QA PA 那么，QA PA ⋅为定值.--------------------------------------------------------------------------7分 （II ） 若直线l 的斜率不存在，直线l :5=x ，此时()()()2,1,52,5,52,5A Q P -5845421=⨯⨯=∆APQ S 若直线l 的斜率存在时，()()221221y y x x PQ -+-=()22221221216328011411kk k k y y y y k++⋅+=-+⋅+=------------------9分 点()2,1A 到直线l :()25--=x k y 的距离2114kk h ++=------------------------------10分()()4221125821k k k k h PQ S APQ+++=⋅⋅=∆，令211⎪⎭⎫⎝⎛+=k u ，有0≥u ， 则u u S APQ 482+=∆没有最大值.---------------------------------------------------------12分21. 解：（Ⅰ）当1a =时，21()(1)xf x x ex -=--，则211(2)()x x x x e f x e----'=， 令21()(2)x h x x x e -=--，则1()22x h x x e -'=--，显然()h x '在3(,2)4上单调递减. 又因为31()042h '=<，故3(,2)4x ∈时，总有()0h x '<， 所以()h x 在3(,2)4上单调递减.---------------------------------------------3分 又因为(1)0h =，所以当3(,1)4x ∈时，()0h x >，从而()0f x '>，这时()f x 单调递增， 当(1,2)x ∈时，()0h x <，从而()0f x '<，这时()f x 单调递减, 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在3(,2)4上的极大值是(1)1f =.-----------------------------5分（Ⅱ）由题可知21()()xg x x a e-=-，则21()(2)xg x x x a e-'=-++.根据题意方程220x x a -++=有两个不等实数根1x ，2x ，且12x x <， 所以440a ∆=+>，即1a >-，且122x x +=.因为12x x <，所有11x <. 由211()()x g x f x λ'≤，其中21()(2)xf x x x e a -'=--，可得1111222111()[(2)]x x x x a ex x e a λ---≤--哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第12页 共6页又因为221112,2x x x a x =--=，2112a x x =-，将其代入上式得：1111221111112(2)[(2)(2)]x x x x e x x e x x λ---≤-+-，整理得11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤.--------------------------------------------------------8分即不等式11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤对任意1(,1)x ∈-∞恒成立(1) 当10x =时，不等式11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤恒成立，即R λ∈； (2) 当1(0,1)x ∈时，11112(1)0x x eeλ---+≤恒成立，即111121x x e e λ--≥+ 令11121()2(1)11x x x e k x e e ---==-++，显然()k x 是R 上的减函数，所以当(0,1)x ∈时，2()(0)1e k x k e <=+，所以21ee λ≥+； (3)当1(,0)x ∈-∞时，11112(1)0x x eeλ---+≥恒成立，即111121x x e e λ--≤+由（2）可知，当(,0)x ∈-∞时，2()(0)1e k x k e >=+，所以21ee λ≤+； 综上所述，21ee λ=+.-------------------------------------12分 22. （Ⅰ）连接BD ，则ABD AGD ∠=∠，90︒∠+∠=ABD DAB ，90︒∠+∠=C CAB 所以∠=∠C AGD ，所以180︒∠+∠=C DGE ，所以,,,C E G D 四点共圆. ………………………………..5分（Ⅱ）因为2⋅=EG EA EB ，则2=EB ，又F 为EB 三等分，所以23=EF ，43=FB ， 又因为2FB FC FE FD FG =⋅=⋅，所以83=FC ，2=CE …………………….10分23.（I ）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ；曲线的直角坐标方程为1)2(22=+-y x ---------------------------4分（II ）设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ，则2|35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++=+-+=πθθθd所以d 的取值范围是]2235,2235[+-.--------------------------10分 24. （I ）不等式的解集是),3[]3,(+∞--∞ ------------------------------5分（II ）要证)()(abf a ab f >，只需证|||1|a b ab ->-，只需证22)()1(a b ab ->-而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab ，从而原不等式成立.----------------------------------------10分哈三中第一次高考模拟考试数学试题分析哈三中数学组高三备课组长 吕兴千哈第三中学2014届高三第一次模拟考试数学考试已经结束。

哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.323.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.44.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A.B. C.D.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A.B.0C.1D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求.【详解】对集合：因为，所以，即；对集合：因为恒成立，所以.所以.故选：B2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另一个虚根为，所以，解得，所以.故选：D.3.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.4.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为，，所以，，，，，又，，，所以.故选：C.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点，所以；又.由.故选：C6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，又方程可化为，所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，因为函数为定义域为的偶函数，所以，函数的图象关于轴对称，因为，取可得，，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，又当时，，作出函数，的区间上的图象如下：观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，则，，，，所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.【详解】可设，，，则.可设：，则.故选：B【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为.所以，故A正确；函数对称中心的纵坐标必为，故B错误；由，得函数的对称轴方程为：，.令，得是函数的一条对称轴.故C正确；将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确.故选：ACD10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D.【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确；对于B，过作于，因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由题意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因为为线段的中点，所以到平面的距离为，又，所以，故B错误；对于C，取的中点，则，且，，所以，因为，所以是异面直线、所成的角，取的中点，连接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，易得是的垂直平分线，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.【详解】对A：当时，；当时，；时，，所以函数只有1个零点.A错误；对B：欲证，须证在上恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为，所以.故B正确；对C：.设，则，.由；由.所以在上单调递增，在单调递减.所以的最大值为：，又当时，.如图所示：所以有两个解时，.故C正确；对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.设，，所以.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.因为，，所以所以.且当且时，；时，.所以函数的图象如下：所以有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为，将条件关系转化为的方程，解方程求，由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，故答案为：.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论.【详解】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.故答案为：.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，结合已知可得平面，所以是直角三角形，从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，设内切球的球心为，半径为，由，根据已知可得，所以，所以，解得，内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，由上易知，所以，过作于，，从而，所以，所以两球心之间的距离，因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，所以线段的长度的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球半径和球心距离，再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可证结论；（2）以为坐标原点，所在直线为，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接，因为，为中点，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为，过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，，函数在上单调递增，当且时，即时，，函数在上单调递增，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，则，，由，知，，，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上单调递增，【小问2详解】因为，，所以，不等式可化为，因为在恒成立，所以设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，故，所以的取值范围为.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为为中点，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，，设内切圆半径为，则.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，即内切圆半径的取值范围是：.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【答案】（1），175（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值.（2）①建立空间直角坐标系，设点坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则，所以四棱锥体积，.所以：.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，所以，，.设平面的法向量为，则.令，则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.所以.因为，，所以.②易得，则，此时平面的法向量，所以点到平面的距离为：，设四棱锥的外接球半径为，则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为：.【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径.。

哈三中2024—2025学年度上学期 高三学年八月月考物理试卷一、单选题（每个4分共28分，多选、选错不给分）1．生活中人们通常利用定滑轮来升降物体。

如图所示，一根轻质不可伸长的细绳绕过光滑的定滑轮，绳的一端系着质量为m 的重物A ，绳的另一端由人握着向左以速度v 匀速移动，经过图示位置时绳与水平方向的夹角为α，则此时重物A 的速度为（ ）A ．cos v αB ．sin v αC ．cos v αD ．sin v α2．如图所示，用一水平力F 将两铁块A 和B 紧压在竖直墙上保持静止，下列说法中正确的是（ ）A ．AB 、均受4个力B ．若增大F ，则AB 间摩擦力增大C ．若增大F ，则B 对墙的摩擦力增大D ．A 对B 的摩擦力和墙对B 的摩擦力方向相反3．2024年7月31日，巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛，中国选手全红婵、陈芋汐完美展现“水花消失术”，以绝对优势获得金牌，跳水过程从离开跳板开始计时，v t -图像如下图所示，图中仅20t ~段为直线，不计空气阻力，则由图可知（ ）A ．10t ~段运动员处于超重状态B ．20t ~段运动员的速度方向保持不变C ．30t ~段运动员一直处于失重状态D ．34t t ~段运动员的加速度逐渐增大4．如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A B 、两物块叠放在一起，与圆盘相对静止，一起做匀速圆周运动，A 和B 、B 和圆盘的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）A．B受到的向心力是A受到的向心力的2倍B．B受到的合力是A受到的合力的2倍C．圆盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍D．若缓慢增大圆盘的角速度,Aω物块先在接触面上滑动5．2024年3月20日，探月工程四期“鹊桥二号”中继星成功发射升空。

“鹊桥二号”中继星作为探月四期后续工程的“关键一环”，将架设地月新“鹊桥”，为“嫦娥四号”“嫦娥六号”等任务提供地月间中继通信。

哈三中2024—2025学年度上学期高三学年八月月考物理试卷一、单选题（每个4分共28分，多选、选错不给分）1．生活中人们通常利用定滑轮来升降物体。

如图所示，一根轻质不可伸长的细绳绕过光滑的定滑轮，绳的一端系着质量为的重物，绳的另一端由人握着向左以速度匀速移动，经过图示位置时绳与水平方向的夹角为，则此时重物的速度为（）A ．B ．C．D ．2．如图所示，用一水平力将两铁块和紧压在竖直墙上保持静止，下列说法中正确的是（）A ．均受4个力B ．若增大，则间摩擦力增大C ．若增大，则B 对墙的摩擦力增大D ．对的摩擦力和墙对的摩擦力方向相反3．2024年7月31日，巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛，中国选手全红婵、陈芋汐完美展现“水花消失术”，以绝对优势获得金牌，跳水过程从离开跳板开始计时，图像如下图所示，图中仅段为直线，不计空气阻力，则由图可知（）A ．段运动员处于超重状态B ．段运动员的速度方向保持不变C ．段运动员一直处于失重状态D ．段运动员的加速度逐渐增大4．如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的两物块叠放在一起，与圆盘相对静止，一起做匀速圆周运动，A 和B 、B 和圆盘的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（）m A v αA cos v αsin v αcos v αsin v αF A B A B 、F AB F A B B v t -20t ~10t ~20t ~30t ~34t t ~A B 、A ．B 受到的向心力是A 受到的向心力的2倍B ．B 受到的合力是A 受到的合力的2倍C ．圆盘对B 的摩擦力是B 对A 的摩擦力的2倍D ．若缓慢增大圆盘的角速度物块先在接触面上滑动5．2024年3月20日，探月工程四期“鹊桥二号”中继星成功发射升空。

“鹊桥二号”中继星作为探月四期后续工程的“关键一环”，将架设地月新“鹊桥”，为“嫦娥四号”“嫦娥六号”等任务提供地月间中继通信。

黑龙江省哈三中2013-2014学年度高三上学期第四次验收考试物理试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第33～40题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷二、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14．关于电场和磁场的概念，以下说法正确的是A．电荷在磁场中一定会受到磁场力的作用B．放入电场中某位置的电荷受到的电场力不为零，则该位置的电场强度一定不为零C．一小段通电导体在磁场中某位置受到的安培力为零，则该位置的磁感应强度一定为零D．一小段长为L的通有电流为I的导体，在磁场中受到的安培力为F，则该磁场的磁感应强度B 一定为容器，R为滑动变阻器。

开关闭合后，灯泡L1、L2均能正常发光．当滑动变阻器的滑片向右移动时，下列判断正确的是A．灯泡L1将变亮B．灯泡L2将变暗C．电容器C的电荷量将减小D ．电容器C 的电荷量将增大16．在条形磁铁s 极附近，放置一轻质等边三角形线圈abc ，磁铁轴线经过三角形ab 边中垂线，当线圈中通有顺时针方向电流时，则线圈运动情况是A ．ab 边转向纸外，同时靠近s 极B ．ab 边转向纸外，同时远离s 极C ．ab 边转向纸里，同时靠近s 极D ．ab 边转向纸里，同时远离s 极17．某物流中转站配备有集装箱吊车，已知该吊车电动机输入电压为380V ，当吊车以0．2m/s的速度匀速竖直向上吊起总质量为1．1×103kg 的集装箱时，测得电动机的输入电流为10A ，g 取10m/s2。

14.B 15.C 16.A 17.B 18.D 19.AC 20.AD 21.ACD22. （6分）（1）1300Ω（2）5.4mA （3）1.35V 每空2分23. （9分）（1）如右图（2）D （3）10Ω每空3分24. （14分）解：（1）粒子加速度为：a=①类平抛L=v0t ②d=at2 ③联立解得v0（2）B板向下平移d/3，加速度变为a′=⑤y=a′t2=⑥---------------①②③⑤各2分④⑥各3分25.（18分）解：（1）分析如图qv1B=①勾股定理 （r 1+R ）2=r 12+ [（1+3）R]2 ②解得r 1=所以v 1= ③（2）若带电粒子与圆筒发生两次碰撞后仍能从小孔射出，分析可知轨迹如图所示，且∠00′N=300T== ④粒子在磁场运动的时间为t 1== ⑤设∠0PN=θ，圆周运动半径为r 2，由几何关系：r 2sin300+Rcos θ=（1+3）R ⑥r 2cos300+Rsin θ=r 2 ⑦联立解得r 2=⑧ ，sin θ= ⑨ 由sin θ=，可知θ=300，所以∠MPN=600，MN=Rqv 2B= 得v 2= ⑩在小圆内匀速直线运动时间t 2== ○11所以总时间t=t 1+t 2=+= ○12----------------⑥⑦⑧⑨⑩○11○12各1分，①③④⑤各2分，②3分32．(1)自由组合 （2分） 垂耳垂背酸肉 （2分） 立耳直背酸肉（2分）(2)半立耳中垂背非酸肉（2分） 1/16（2分）(3)1/144（2分）33.（1）（5分）CD（2）（10分）解：从初状态到最后状态，温度相同，由玻意耳定律：p 0H 1S= p 3H 3S ， ① 解得：p 3= 13H H p 0。

② 对取走容器外的保温材料，活塞位置继续下降的等压过程，由盖吕萨克定律，20H S T T +∆=30H S T , ③ 解得：△T = T 0 ④-----------------②④各2分，①③各3分34. （1）（5分）CD（2）（10分）P 质点向y 轴负方向运动,则该简谐波沿x 轴正方向传播 ① t 2-t 1=（n+）T ， ② 且T >0.03s解得n ﹤1.54，所以n 可以取0,1 ③n=0时，v==20 m/s ④n=1时，v==180 m/s ⑤-----------------①③各1分，②各2分，④⑤各3分35. （1）（5分）BC（2） （10分） 小球B 刚好可以沿圆轨道下滑 m B g= ①动能定理 m B g2R=- ②碰撞动量守恒 m B v 2=(m B +m A )v 3 ③=(m B +m A )gRcos600④ 联立解得 ⑤----------------------------①②③④⑤各2分高考资源网版权所有！投稿可联系QQ ：1084591801。

哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考物理试卷一、选择题（本题共10小题，共46分。

在每个小题给出的四个选项中，第1-7题只有一项符合题目要求，每小题4分；第8-10题有多项符合题目要求，每小题6分，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）1．2025年2月7日至2月14日，第九届亚洲冬季运动会将在中国黑龙江省哈尔滨市举办。

如图所示是亚冬会的四个项目，有关说法正确的是（ ）A ．某运动员在500m 短道速滑决赛中获得金牌，用时35s ，则他在整个过程的平均速度约为14.3m/sB ．在比赛中冰壶在离开运动员的手之后不再受到任何力的作用C ．空中的运动员，在上升过程为超重状态，下降过程则为失重状态D ．运动员用球杆击打冰球时，球杆对冰球的弹力是由于球杆的形变产生的2．如图所示，甲图为某质点的x t -图像，乙图为某质点的v t -图像，下列关于两质点的运动情况的说法正确的是（ ）A ．0~5s 内甲图质点的位移为10m -，乙图质点的位移为100mB ．2~3s 内甲图质点和乙图质点均静止不动C ．3~5s 内甲图质点和乙图质点均做减速运动，加速度为215m /s -D ．1~2.5s 内甲图质点和乙图质点的速度变化量都是10m/s3．如图所示，一个可视为质点的木块在斜面上下滑，斜面在水平地面上保持不动，则下列说法正确的是（ ）A ．如果木块匀速下滑，则地面对斜面的静摩擦力方向水平向左B ．如果木块匀速下滑，则斜面对地面的静摩擦力方向水平向右C ．如果木块加速下滑，则地面对斜面的静摩擦力方向水平向左D ．如果木块减速下滑，则斜面对地面的静摩擦力方向水平向右4．2025年是哈尔滨第二次举办亚洲冬季运动会，上一次是在1996年举办的第三届亚冬会。

如图，某滑雪运动员从弧形坡面上滑下沿水平方向飞出后落回到斜面上。

若斜面足够长且倾角为θ。

某次训练时，运动员从弧形坡面先后以速度0v 和02v 水平飞出，飞出后在空中的姿势保持不变。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作黑龙江省哈尔滨三中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列结论正确的有( )①集合A={1，2}，集合B={x|x是4的因数}，A与B是同一个集合；②集合{y|y=2x2﹣3}与集合{（x，y）|y=2x2﹣3}是同一个集合；③由1，，，|﹣|，0.5这些数组成的集合有5个元素；④集合{（x，y）|xy≤0，x、y∈R}是指第二和第四象限内的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个考点：命题的真假判断与应用．专题：集合．分析：①整数的因数是指能被整除的整数，②两集合相等是指两集合中元素完全相同，③集合中元素必需满足互异性，④当x=0，或y=0时也适合不等式xy≤0．解答：解：①B={x|x是4的因数}={﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4}，所以A≠B，所以①错误；②集合{y|y=2x2﹣3}={y|y≥﹣3}是数集，{（x，y）|y=2x2﹣3}表示曲线y=2x2﹣3上的点，是一个点集，所以两个集合不是同一个集合，所以②错误；③∵=，|﹣|=0.5，∴由1，，，|﹣|，0.5这些数组成的集合有3个元素，所以③错误；④当x=0或y=0也满足xy≤0，所以集合{（x，y）|xy≤0，x、y∈R}是指第二和第四象限内或坐标轴上的点集．所以④错误．故选择：A．点评：本题考查了，集合的有关性质，如集合中元素的互异性，集合的代表元，集合相等，这些都是集合中常考的知识点．属于基础题．2．函数的定义域是( )A．[﹣3，1]B．（﹣3，3）C．（﹣3，2）∪（2，3）D．[﹣3，2）∪（2，3]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：求出使原函数中根数内部的代数式大于等于0的x的集合，再求出使分母不等于0的x的取值集合，然后取交集．解答：解：要使原函数有意义，则，解得：﹣3≤x≤3且x≠2．所以原函数的定义域为[﹣3，2）∪（2，3]．故选D．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，求函数的定义域时，开偶次方根要保证被开方数大于等于0．定义域的形式一定是集合或区间，此题是基础题．3．函数y=的值域是( )A．[0，+∞）B．[0，5]C．[0，5）D．（0，5）考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式得0＜5x≤25，所以﹣25≤﹣5x＜0，，这样便求出了函数y的值域：[0，5）．解答：解：解25﹣5x≥0得：x≤2；∴0＜5x≤52=25，∴﹣25≤﹣5x＜0，0≤25﹣5x＜25；；∴函数y的值域是[0，5）．故选C．点评：考查函数值域的概念，指数函数的值域，被开方数满足大于等于0．4．函数的图象( )A．关于原点对称B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称考点：奇偶函数图象的对称性．专题：计算题．分析：题设条件用意不明显，本题解题方法应从选项中突破，由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的，故先验证奇偶性较好，解答：解：，∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称故选D．点评：考查函数的对称性，宜从奇偶性入手研究．5．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是( )A．①②B．②③C．③④D．①④考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．解答：解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．点评：本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件．6．设全集U=R，集合E={x|x≤﹣3或x≥2}，F={x|﹣1＜x＜5}，则集合{x|﹣1＜x＜2}等于( ) A．E∩F B．∁U E∩F C．∁U E∪∁U F D．∁U（E∪F）考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：对选支逐一计算看哪个符合结论的解答：解：选项A 易知E∩F={x|2≤x＜5}不合题意选项B C U E={x|﹣3＜x＜2}，C U E∩F={x|﹣1＜x＜2}符合题意选项C C U E={x|﹣3＜x＜2}，C U F={x|x≤﹣1或x≥5}，则C U E∪C U F={x|﹣3＜x≤﹣1}不合题意选项D E∪F={x|x≤﹣3或x＞﹣1}，C U（E∪F）={x|﹣3＜x≤﹣1}不合题意，故选B．点评：本题考查了交集、并集、补集的混合运算，解题需注意端点能否取到．7．设，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a考点：幂函数图象及其与指数的关系．分析：根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．解答：解：∵在x＞0时是增函数∴a＞c又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b故答案选A点评：本题主要考查幂函数与指数的关系．要充分利用函数图象、函数的单调性来解决问题．8．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是( )A．B．C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．解答：解：函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．点评：本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．9．已知函数f（x）=，则f（1+log23）的值为( )A．6 B．12 C．24 D．36考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，代入即可得到结论．解答：解：∵2＜1+log23＜3，∴4＜2+1+log23＜5，即4＜log224＜5，∵当x＜4时，f（x）=f（x+2），∴f（1+log23）=f（2+1+log23）=f（log224）=，故选：C点评：本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性是解决本题的关键．10．函数f（x）=的零点个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：分段函数的零点要讨论，对第一部分要作图．解答：解：①x≤0时，f（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=0，解得，x=﹣1或x=3（舍去）．②x＞0时，由y=lnx与y=x2﹣2x的图象可知，其有（0，+∞）上有两个交点，故有两个解；则函数f（x）=的零点个数为3．故选C．点评：本题考查了分段函数的零点个数，属于中档题．11．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于( )A．1 B．e+l C．3 D．e+3考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．解答：解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．点评：本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．12．已知关于x的不等式0≤x2﹣2x+m≤3（m∈R）有且只有一个实数解，函数f（x）=tx，g（x）=2tx2﹣2（m﹣t）x+1，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数t的取值范围是( ) A．（﹣∞，0）B．（0，2）C．（2，8）D．（0，8）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．分析：由关于x的不等式0≤x2﹣2x+m≤3（m∈R）有且只有一个实数解求出m的值，代入函数化简；当t≤0时，显然不成立；当t＞0时，因为g（0）=1＞0，所以仅对对称轴进行讨论即可．解答：解：∵y=x2﹣2x+m≥m﹣1，又∵关于x的不等式0≤x2﹣2x+m≤3（m∈R）有且只有一个实数解，∴m﹣1=3，∴m=4，则g（x）=2tx2﹣2（4﹣t）x+1．当t≤0时，当x接近+∞时，函数g（x）=2tx2﹣2（4﹣t）x+1与f（x）=tx均为负值，显然不成立，当t=0时，因g（x）=﹣8x+1，f（x）=0，故不成立；当t＞0时，若﹣=≥0，即0＜t≤4时，结论显然成立；若﹣=＜0时，只要△=4（4﹣t）2﹣8t=4（t﹣8）（t﹣2）＜0即可，即4＜t＜8，故0＜t＜8．故选D．点评：本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么当x＜0时，f（x）=x2+4x．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用偶函数的定义求函数解析式．解答：解：当x＜0时，﹣x＞0，∵f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，∴f（x）=f（﹣x）=x2+4x；故答案为：x2+4x．点评：本题考查了函数奇偶性的应用，属于基础题．14．已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围（﹣∞，3）．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（2）=0，知f（x﹣1）＞0化为f（x﹣1）＞f（2），再利用函数的单调性可可得x﹣1＜2．解答：解：∵f（2）=0，∴f（x﹣1）＞0化为f（x﹣1）＞f（2），又f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，∴x﹣1＜2，解得x＜3，∴x的取值范围是（﹣∞，3），故答案为：（﹣∞，3）．点评：该题考查函数的单调性及其应用，属基础题，正确利用函数的单调性去掉不等式中的符号“f”是解题关键．15．若偶函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2﹣x），且当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则f（）=﹣1．考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数为周期函数，利用周期性和偶函数得到f（）=f（），再有条件即可求出值．解答：解：∵偶函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2﹣x），∴f（x）=f（x﹣2），∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（）=f（8﹣）=f（），∵x∈（0，1]时，f（x）=log2x，∴f（）=log2=﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数值的计算，属于中档题．16．已知f（x）为奇函数，当x∈[0，2]时，f（x）=﹣x2+2x；当x∈（2，+∞）时，f（x）=2x﹣4，若关于x的不等式f（x+a）＞f（x）有解，则a的取值范围为（﹣2，0）∪（0，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据题意画出函数f（x）的图象，根据图象及函数f（x）的单调性，f（x+a），和f（x）的取值即可找出a的范围．解答：解：由题意作出函数f（x）的图象，如图所示：若a＞0，则x≥2时，x+a＞2，x+a＞x；f（x）在[2，+∞）上单调递增，所以f（x+a）＞f（x），即该不等式有解；若a＜0，x+a＜x，若x≥2，则x+a≥2+a，要使不等式f（x+a）＞f（x）有解，需2+a＞0，即a＞﹣2；若0≤x＜2，则a≤x+a＜2+a，则需2+a＞0，即a＞﹣2时，f（x+a）＞f（x）有解；若﹣2＜x＜0，﹣2+a＜x+a＜a，则需a＞﹣2，不等式f（x+a）＞f（x）有解；若x≤﹣2，x+a≤a﹣2＜﹣2，函数f（x）在（﹣∞，﹣2]为增函数，所以f（x+a）＜f（x），即不等式f（x+a）＞f（x）无解；综上得a的取值范围是（﹣2，0∪（0，+∞）．故答案为：（﹣2，0）∪（0，+∞）．点评：考查奇函数的概念，二次函数图象，奇函数图象关于原点的对称性，以及函数单调性的定义．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．全集U={x|x2﹣x+1≥0}，A={x||x﹣1|＞1}，B={x|≥0}．求集合A∩B，A∪（∁U B）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出全集U中不等式的解集确定出U，求出A与B中不等式的解集确定出A与B，进而求出A与B的交集，A与B补集的并集即可．解答：解：由全集U中不等式解得：x≤或x≥2，即全集U=（﹣∞，]∪[2，+∞），由A中不等式变形得：x﹣1＜﹣1或x﹣1＞1，即x＜0或x＞2，∴A=（﹣∞，0）∪（2，+∞），由B中不等式解得：x＞2或x≤﹣1，即B=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），∴∁U B=（﹣1，2]，则A∩B=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），A∪（∁U B）=R．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．已知函数f（x）=lg（a≠1）是奇函数，（1）求a的值；（2）若g（x）=f（x）+，x∈（﹣1，1），求g（）+g（﹣）的值．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：先根据奇函数的定义得到a的值，再结合定义域关于原点对称即可确定实常数a的值．解答：解：（1）因为函数f（x）=lg是奇函数；所以：f（﹣x）+f（x）=0⇒lg+lg=0⇒lg=0⇒=1．∴a=±1，又a≠1，∴a=﹣1．（2）∵g（x）=f（x）+，且f（x）为奇函数，∴g（）+g（﹣）=f（）+f（﹣）++=2（﹣1）+=2．点评：本题主要考查函数奇偶性的性质．一个函数存在奇偶性的前提是定义域关于原点对称．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，x∈[﹣2，﹣1]，且函数f（x）在x=﹣1处取到最大值0．（1）求的取值范围；（2）求的最小值．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）因为函数函数f（x）在x=﹣1处取到最大值0，则f（﹣1）=a﹣b+c=0，可得b=a+c且﹣≤﹣，即可求的取值范围；（2）==+，利用函数的单调性求的最小值．解答：解：（1）因为函数函数f（x）在x=﹣1处取到最大值0，则f（﹣1）=a﹣b+c=0，可得b=a+c且﹣≤﹣，∴﹣≤﹣，解得≥2；（2）==+，因为≥2，所以≥，所以的最小值．点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的单调性，属于中档题．20．已知函数f（x）=m•6x﹣4x，m∈R．（1）当m=时，求满足f（x+1）＞f（x）的实数x的范围；（2）若f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围．考点：其他不等式的解法；函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）当m=时，f（x+1）＞f（x）即可化简得，（）x＜，由单调性即可得到；（2）f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立即m≤=（）﹣x+（）x对任意的x∈R恒成立，运用基本不等式即可得到最小值，令m不大于最小值即可．解答：解：（1）当m=时，f（x+1）＞f（x）即为•6x+1﹣4x+1＞6x﹣4x，化简得，（）x＜，解得x＞2．则满足条件的x的范围是（2，+∞）；（2）f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立即为m•6x﹣4x≤9x，即m≤=（）﹣x+（）x对任意的x∈R恒成立，由于（）﹣x+（）x≥2，当且仅当x=0取最小值2．则m≤2．故实数m的范围是（﹣∞，2]．点评：本题考查指数不等式的解法，以及指数函数的单调性及运用，考查不等式的恒成立问题，运用分离参数的方法和基本不等式求最值，属于中档题．21．已知定义在（0，+∞）上函数f（x）对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）﹣，当x ＞4时，f（x）＞，且f（）=0．（1）求f（2）的值；（2）解关于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2．考点：数列的求和．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由已知得f（1）=f（1）+f（1）﹣，解得f（1）=，从而f（2×）=f（2）+f（）﹣，由此能求出f（2）=1．（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=f（）﹣=f（）﹣=，由此能求出关于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2的解．解答：解：（1）∵定义在（0，+∞）上函数f（x），对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）﹣，∴f（1）=f（1）+f（1）﹣，∴f（1）=，∴f（2×）=f（2）+f（）﹣，∵f（）=0，∴f（2）=1．（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=f（）﹣=f（）﹣=，∵f（）=f（）+f（）﹣，且时，f（x）＞，∴，∴，解得x∈（1，+∞）．点评：本题考查函数值的求法，考查不等式的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．22．设x=m和x=n是函数的两个极值点，其中m＜n，a∈R．（Ⅰ）求f（m）+f（n）的取值范围；（Ⅱ）若，求f（n）﹣f（m）的最大值．注：e是自然对数的底数．考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，利用极值的运用，建立方程，结合韦达定理，即可求f（m）+f（n）的取值范围；（Ⅱ）设，确定t的范围，表示出f（n）﹣f（m），构造新函数，利用导数法确定函数的单调性，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．依题意，方程x2﹣（a+2）x+1=0有两个不等的正根m，n（其中m＜n）．故，∴a＞0，并且m+n=a+2，mn=1．所以，=故f（m）+f（n）的取值范围是（﹣∞，﹣3）．…（Ⅱ）当时，．若设，则．于是有，∴，∴t≥e∴构造函数（其中t≥e），则．所以g（t）在[e，+∞）上单调递减，．故f（n）﹣f（m）的最大值是．…点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2013-2014年高三下学期第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知全集R U =，集合}032{2>--=x x x A ，}42{<<=x x B ，那么集合 =B A C U )(（A ）}41{≤≤-x x （B ）}32{≤<x x （C ）}32{<≤x x （D ）}41{<<-x x 2. 复数1021i i i +++等于（A ）i （B ）i - （C ）i 2 （D ）i 2- 3. 已知3.02.0=a ，3log 2.0=b ，4log 2.0=c ，则（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ） a b c >> 4. 已知直线n m ,和平面α，则n m //的一个必要条件是（A ）α//m ，α//n （B ）α⊥m ，α⊥n （C ）α//m ，α⊂n （D ）n m ,与α成等角 5. 如果n x x )13(32-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是 （A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-6. 在数列{}n a 中，已知1221-=+++n n a a a ，则22221na a a +++ 等于 （A ）()212-n（B ）()3122-n（C ）14-n（D ）314-n7. 执行如图所示的程序框图，若输出15=S ，则框图中①处可以填入（A ）4>n （B ）8>n （C ）16>n（D ）16<n8. 已知y x z +=2，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（A ）112 （B ）41（C ）4 （D ）2119. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A , B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若4=，则该双曲线的离心率是 （A ）5 （B ）52 （C ）510（D ） 510210. 已知,31)(23m ax x x x f ++-=其中0>a ，如果存在实数,t 使0)(<'t f ，则)312()2(+'⋅+'t f t f 的值（A ）必为正数 （B ）必为负数 （C ）可能为零 （D ） 可正可负11. 已知一个正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为23的正方形，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为 （A ）2 （B ）1 （C ）2 （D ）312. 定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件：（1）)(2)2(x f x f =成立；（2）当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(．记函数=)(x g )1()(--x k x f ，若函数)(x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）[)2,1 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34 （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,342014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足2131+=，则=⋅ .14. 从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 . 15. 已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+，则=-)32sin(πθ . 16. 若在由正整数构成的无穷数列}{n a 中，对任意的正整数n ，都有1+≤n n a a ，且对任意的正整数k ，该数列中恰有12-k 个k ，则2014a = .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，满足C b c B c b A a sin )32(sin )32(sin 2-+-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2=a ，32=b ，求ABC ∆的面积．18. （本小题满分12分）某花店每天以每枝10元的价格从农场购进若干支玫瑰花，并开始以每枝20元的价格出售，已知该花店的营业时间为8小时，若前7小时内所购进的玫瑰花没有售完，则花店对没卖出的玫瑰花以每枝5元的价格低价处理完毕（根据经验，1小时内完全能够把玫瑰花低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进玫瑰花）．该花店统计了100天内玫瑰花在每天的前7小时内的需求量n （单位：枝，*∈N n ）（由于某种原因需求量频数表中的部分数据被污损而无法看清），制成如下表格（注：*∈N y x ,；视频率为概率）．（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）若花店每天购进16枝玫瑰花所获得的平均利润比每天购进17枝玫瑰花所获得的平均利润大，求x的取值范围．19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，BC AB A B B B ===11，︒=∠901BC B ，D 为AC 的中点，D B AB 1⊥． （Ⅰ）求证：平面⊥11A ABB 平面ABC ；（Ⅱ）求直线D B 1与平面11A ACC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角C D B B --1的余弦值．20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 12222=+by a x （0>>b a ）的左，右焦点分别为21,F F ，上顶点为B ．Q 为抛物线xy 122=的焦点，且01=⋅F ，=+1212QF F F 0． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过定点)2,0(P 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点（M 在N P ,之间），设直线l的斜率为k （0>k ），在x 轴上是否存在点)0,(m A ，使得以AN AM ,为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．ABD1A1B 1CA21. （本小题满分12分）已知函数x ax x x f 221ln )(2--=（0<a ）.（Ⅰ）若函数)(x f 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若21-=a ，且关于x 的方程b x x f +-=21)(在[]4,1上恰有两个不等的实根， 求实数b 的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列{}n a 满足11=a ，2ln 1++=+n n n a a a （*∈N n ）， 求证：12-≤n n a .请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分）选修4－1如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，CGE CFD ADE ,,都是⊙O 的割线，AB AC =（Ⅰ）证明：2AC AE AD =⋅； （Ⅱ）证明：AC FG //．23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-= 21 233t y t x （t 为参数）. （Ⅰ）过极点作直线l 的垂线，垂足为点P ，求点P 的极坐标； （Ⅱ）若点N M ,分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数m x x g x x f ++-=-=3)(,2)(.（Ⅰ）若关于x 的不等式0)(≥x g 的解集为}15{-≤≤-x x ，求实数m 的值； （Ⅱ）若)()(x g x f >对于任意的R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.2014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学答案（理工类）选择题:1B 2A 3A 4D 5C 6D 7B 8B 9D 10B 11A 12D填空题:13．98- 14.2111 15.10334- 16.45 解答题:17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得c b c b c b a )32()32(22-+-=，整理得bc a c b 3222=-+， ………………………… 2分 所以23cos =A ． ………………………… 4分 又),0(π∈A ，故6π=A ． ………………………… 5分（Ⅱ）由正弦定理可知B b A a sin sin =，又2=a ，32=b ，6π=A ， 所以23sin =B ． ………………………… 6分 又)65,0(π∈B ，故3π=B 或32π． ………………………… 8分若3π=B ，则2π=C ，于是3221==∆ab S ABC ； ………………………… 10分若32π=B ，则6π=C ，于是3sin 21==∆C ab S ABC ． ………………………… 12分18. 解：（Ⅰ）当14=n 时，130)5()1416(1014=-⨯-+⨯=X 元， ……………… 1分当15=n 时，145)5()1516(1015=-⨯-+⨯=X 元， ……………… 2分 当16=n 或17时，160=X 元， ……………… 3分 所以X 的分布列为……………… 4分154)(=X E 元． ……………… 5分（Ⅱ）设花店每天购进17枝玫瑰花时，当天的利润为Y 元，则 当14=n 时，125)5()1417(1014=-⨯-+⨯=Y 元， 当15=n 时，140)5()1517(1015=-⨯-+⨯=Y 元， 当16=n 时，155)5()1617(1016=-⨯-+⨯=Y 元，当17=n 时，1701017=⨯=Y 元， ……………… 7分 所以x xx Y E 15.05.159100701701001552.01401.0125)(-=-⨯+⨯+⨯+⨯=， … 9分由于)()(Y E X E >，所以x 15.05.159154->，解得3110>x ， ……………… 10分 又*∈N y x ,，所以]69,37[∈x ，*∈N x ． ……………… 12分 19. 解：（Ⅰ）取AB 中点为O ，连接OD ，1OB ．因为A B B B 11=，所以AB OB ⊥1． 又D B AB 1⊥，111B D B OB = ， 所以⊥AB 平面OD B 1，因为⊂OD 平面OD B 1，所以OD AB ⊥．…由已知，1BB BC ⊥，又BC OD //， 所以1BB OD ⊥，因为B BB AB =1 ， 所以⊥OD 平面11A ABB ．又⊂OD 平面ABC ，所以平面⊥ABC 平面11A ABB ． ……………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1,,OB OD OB 两两垂直．以O 为坐标原点，的方向为x 轴的方向，|| 为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -．由题设知)3,0,0(1B ，)0,1,0(D ，)0,0,1(-A ，)0,2,1(C ，)3,2,0(1C ． 则)3,1,0(1-=B ，)0,2,2(=，)3,0,1(1-=CC ． 设平面11A ACC 的法向量为m ),,(z y x =，则m 0=⋅AC ，m 01=⋅CC ，即0=+y x ，03=+-z x ，可取m )1,3,3(-=．… 6分设直线D B 1与平面11A ACC 所成角为θ， 故721sin =θ． ………………………… 7分 （Ⅲ）由题设知)0,0,1(B ，可取平面D BB 1的法向量n 1)1,3,3(=， ………………………… 8分 平面DC B 1的法向量n 2)1,3,3(-=， ………………………… 9分 故<cos n 1，n 2>71=， ………………………… 11分所以二面角C D B B --1的余弦值为71． ………………………… 12分 20. 解：（Ⅰ）由已知)0,3(Q ，QB B F ⊥1，c c QF +==34||1，所以1=c ． ……… 1分在BQ F Rt 1∆中，2F 为线段Q F 1的中点， 故=||2BF 22=c ，所以2=a ．……… 2分于是椭圆C 的标准方程为13422=+y x ．…4分 （Ⅱ）设2:+=kx y l （0>k ），),(),,(2211y x N y x M ，取MN 的中点为,(00y x E 假设存在点)0,(m A 使得以AN AM ,0416)34(13422222=+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=kx x k y x kx y ， 4102>⇒>∆k ，又0>k ，所以21>k ． ………………………… 6分因为3416221+-=+k k x x ，所以34820+-=k k x ，3462200+=+=k kx y ． ……… 8分因为MN AE ⊥，所以k k AE 1-=，即k m k k k 1348034622-=-+--+， 整理得kk k km 3423422+-=+-=． ………………………… 10分因为21>k 时，3434≥+k k ，]123,0(341∈+kk ，所以)0,63[-∈m ． ……… 12分 21.解：（Ⅰ）函数的定义域为()+∞,0，)0(12)(2>-+-='x xx ax x f ，依题意0)(≥'x f 在0>x 时恒成立，则1)11(2122--=-≤x x x a 在0>x 时恒成立，即[])0(1)11(min 2>--≤x xa ， 当1=x 时，1)11(2--x 取最小值-1，所以a 的取值范围是(]1,-∞-⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分（Ⅱ）21-=a ，由b x x f +-=21)(得0ln 23412=-+-b x x x 在[]4,1上有两个不同的实根，设[]4,1,ln 2341)(2∈+-=x x x x x gxx x x g 2)1)(2()(--='，[)2,1∈x 时，0)(<'x g ，(]4,2∈x 时，0)(>'x g22ln )2()(min -==g x g ，22ln 2)4(,45)1(-=-=g g ，0)4ln 43(412ln 243)4()1(<-=-=-g g ，得)4()1(g g <则⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈45,22ln b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 （Ⅲ）易证当0>x 且1≠x 时，1ln -<x x .由已知条件12212ln ,01+=++-≤++=>+n n n n n n n a a a a a a a ， 故),1(211+≤++n n a a 所以当2≥n 时，,21101≤++<-n n a a ,211021≤++<--n n a a ⋅⋅⋅，,211012≤++<a a 相乘得,211011-≤++<n n a a 又,11=a 故n n a 21≤+，即12-≤n n a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 22解：（Ⅰ）由切割线定理知AE AD AB ⋅=2,又AB AC =，得AE AD AC ⋅=2⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分（Ⅱ）由AE AD AC ⋅=2得CDA ∆∽ACE ∆，所以CEA ACD ∠=∠又四边形GEDF 四点共圆，所以CED CFG ∠=∠ 故ACF CFG ∠=∠,所以AC FG //⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 23解：（Ⅰ）点P 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛32,23π⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 （Ⅱ）MN 的最小值为21⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分24. 解：（Ⅰ）因为03)(≥++-=m x x g ，所以m x ≤+3，所以33-≤≤--m x m ，由题意⎩⎨⎧-=--=--1353m m ,所以2=m ； …………..5分 （Ⅱ）若)()(x g x f >恒成立，所以m x x >++-32恒成立，因为5)3()2(32=+--≥++-x x x x 当且仅当)3)(2(≤+-x x 时取等，所以5<m . ………….10分。

哈尔滨三中2015年第四次模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知复数*()()nf n i n =∈N ，则集合{|()}z z f n =中元素的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．无数 2. 函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，且在[)1,+∞ 单调递减，(0)0f =，则(1)0f x +>的解集为 A ．(1,)+∞ B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞3．执行如图程序框图其输出结果是 A ．29B ．31C ．33D ．354. 已知平面,,m n αβαββ⊥⋂=⊂，则“n m ⊥”是“n α⊥”成立的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件5. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为否开始结束1a =21a a =+30?a > 输出a是A ．43 B ．83C ．4D ．1636. 直线:8630l x y --=被圆22:20O x y x a +-+=所截得弦的长度为3，则实数a 的值是A ．1-B ．0C ．1D ．1312- 7．5.2PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒 物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的5.2PM 监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是 A ．南岗校区 B ．群力校区C ．南岗、群力两个校区相等D ．无法确定8. 三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为A. 48πB.12πC. 43πD. 323π9．用数学归纳法证明不等式“()2,12131211*≥∈<-++++n N n n n ”时，由 ()2≥=k k n 不等式成立，推证1+=k n 时，左边应增加的项数是A. 12-k B.12-kC.k2 D.12+k10．双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，离心率为2，双曲线C 与抛物线24y x =的准线交于A ，B 两点，4AB =，则双曲线C 的实轴长为南岗 校区群力校区2 0.04 1 23 6 9 3 0.05 9 6 2 1 0.06 2 9 3 3 1 0.07 9 64 0.08 7 7 0.09 2 4 6正视图 侧视图俯视图A. 2 B ．3 C ．4 D ．2311. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，[)[)13log (1),0,2()14,2,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为A ．31a -B ．13a -C ．31a --D ．13a -- 12．已知数列{}n a 满足341=a ，且()()*+∈-=-N n a a a n n n 111，则 201521111a a a m +++=的整数部分是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3哈尔滨三中2015年第四次模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 在等比数列{}n a 中，81=a ，534a a a ⋅=，则=7a ．14. 现要将四名大学生分配到两所学校实习，则不同分配方法有 种．15．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A )4,3(-，且法向量为)2,1(-=n 的直线（点法式）方程为0)4()2()3(1=-⨯-++⨯y x ，化简得0112=+-y x ．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A )3,2,1(，且法向量为)1,2,1(--=n 的平面（点法式）方程为 ．16. 向量(1,1)AB =，(1,3)CD x x =-+，()f x AB CD =⋅，函数()f x 的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）已知函数()223sin cos 2cos f x x x x =+()x ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （Ⅱ）将函数()f x 图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 图像，求()g x 的对称轴方程和对称中心坐标．18.（本小题满分12分）某企业有100位员工.拟在新年联欢会中，增加一个摸球兑奖的环节，规定：每位员工从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该员工所获的中奖额.企业预算抽奖总额为6000元，共提出两种方案.方案一：袋中所装的4个球中有两个球所标的面值为10元，另外两个标的面值为50元； 方案二：袋中所装的4个球中有两个球所标的面值为20元，另外两个标的面值为40元． （Ⅰ）求两种方案中，某员工获奖金额的分布列；（Ⅱ）在两种方案中，请帮助该企业选择一个适合的方案，并说明理由.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，面11A ABB 为矩形，1=AB ，21=AA ，D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，⊥CO 面11A ABB ． （Ⅰ）证明：1AB BC ⊥；（Ⅱ）若OA OC =，求二面角1A BC B --的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1(3,0)F -、2(3,0)F ，点P 在椭圆C 上，满足127PF PF =，12tan 43F PF ∠=．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数21()(0)2f x ax bx a =+≠，()1ln g x x =+． （Ⅰ）若1b =，且()()()F x g x f x =-存在单调递减区间，求a 的取值范围； （Ⅱ）设函数()g x 的图象1C 与函数()f x 的图象2C 交于点M 、N ，过线段MN 的1B1CCBA1ADO中点T 作x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点P 、Q ，是否存在点T ，使1C 在点P 处的切线与2C 在点Q 处的切线平行？如果存在，求出点T 的横坐标，如果不 存在，说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD OB =，直线MD 与圆O 相交于点M 、T （不与A 、B 重合），DN 与 圆O 相切于点N ，连结MC ，MB ，OT ．（Ⅰ）求证：DC DO DM DT ⋅=⋅；（Ⅱ）若30DOT ∠=，求BMC ∠．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知点)sin ,cos 1(αα+P ，[]πα,0∈，点Q 在曲线C ：)4sin(210πθρ-=上.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求PQ 的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知正实数a ，b 满足：2=+b a . （Ⅰ）求ba 11+的最小值m ； （Ⅱ）设函数)0(|1|||)(≠++-=t tx t x x f ，对于（Ⅰ）中求得的m ，是否存在实数x ，使得m x f =)(成立，若存在，求出x 的取值范围，若不存在，说明理由．哈尔滨三中2015年第四次模拟考试 数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABBAACACCDDC二、填空题： 13.18 14. 14 15. 220x y z +--= 16. 22三、解答题：17. ()2sin(2)16f x x π=++，[0,]2x π∈，72[,]666x πππ+∈ ()f x 的最大值为3--------------6分（2）()2cos 22g x x =+,对称轴为直线2k x π=,()k Z ∈对称中心为(,2)42k ππ+，()k Z ∈--------12分18. (1) 设方案一某员工获奖金额为X ，则X 的可能取值为20,60,1002411(20)6P X C === 24222(60)3P X C ⋅===,2411(100)6P X C ===则X 的分布列为X 20 60 100P 16 23 16--------------------4分设方案二某员工获奖金额为Y ，则Y 的可能取值为40,60,802411(40)6P Y C === 24222(60)3P Y C ⋅===,2411(80)6P Y C ===则Y 的分布列为Y 40 60 80P 16 23 16--------------------8分(2)60EX EY ==,1600400,33DX DY == 若回答由于两种方案的奖励额的期望相等，希望奖金分配更集中，方案二的方差比方案一的方差小，所以应该选择方案二 ----------------------12分若回答由于两种方案的奖励额的期望相等，希望奖金分配差距大一些，方案一的方差比方案二的方差大，所以应该选择方案一 ----------------------12分19．（1）由B AB 1∆与DBA ∆相似，知1AB DB ⊥，又⊥CD 平面11A ABB ，∴1AB CD ⊥，∴⊥1AB 平面BDC ，∴BC AB ⊥1；---------------6分（2）以O 为坐标原点OA 、OD 、OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,33(A ，)0,36,0(-B ，)33,0,0(C ，)0,0,332(1-B ， )33,36,0(=BC ，)0,36,33(--=AB ， )0,36,332(1-=BB ， 设平面ABC ，平面1BCB 的法向量分别为),,(1111z y x n =，),,(2222z y x n =，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=⋅=+=⋅0363303336111111y x n AB z y n BC ，∴)2,1,2(1-=n ； ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅036332033362221222y x n BB z y n BC ，∴)2,2,1(2-=n ， ∴121212270cos ,35n n n n n n ⋅-<>==⋅，∴二面角的余弦值为35702-．-----12分 20.(1) 221341,3c a b+==,2a ∴=∴所求C 的方程为2214x y +=.------4分 （2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得 222(14)8440k x kmx m +++-=， ----------------------------6分由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------①又122814kmx x k +=-+设,D E 中点为00(,)M x y ，22243(,)1414km m k m M k k --++ 1AM k k =-，得②2143k m k+=---------------------10分 将②代入①得2221441()3k k k++> 化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得55k >或55k <- 所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k 的取值范围为55(,)(,)55-∞-⋃+∞．-------12分21. 解：（1）1b =时，设函数21()()()ln 1(0)2h x g x f x x ax x x =-=--+> 则211()1ax x h x ax x x+-'=--=-因为函数()h x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有解， 即210ax x +->，有0x >的解。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2013-2014年高三下学期第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知全集R U =，集合}032{2>--=x x x A ，}42{<<=x x B ，那么集合 =B A C U )(（A ）}41{≤≤-x x （B ）}32{≤<x x （C ）}32{<≤x x （D ）}41{<<-x x 2. 复数1021i i i +++等于（A ）i （B ）i - （C ）i 2 （D ）i 2- 3. 已知3.02.0=a ，3log 2.0=b ，4log 2.0=c ，则（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ） a b c >> 4. 已知直线n m ,和平面α，则n m //的一个必要条件是（A ）α//m ，α//n （B ）α⊥m ，⊥n （C ）α//m ，α⊂n （D ）n m ,与α5. 如果n xx 13(32-的展开式中各项系数之和为128，系数是（A ）7 （B ）7- （C ）21 （D 6. 在数列{}n a 中，已知1221-=+++n n a a a ，则2221a a ++ （A ）()212-n（B ）()3122-n（C ）14-n（7. 执行如图所示的程序框图，若输出15=S ，则框图中①处可以填入（A ）4>n （B ）8>n （C ）16>n （D ）16<n8. 已知y x z +=2，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（A ）112 （B ）41（C ）4 （D ）2119. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A , B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若4=，则该双曲线的离心率是 （A ）5 （B ）52 （C ）510（D ） 510210. 已知,31)(23m ax x x x f ++-=其中0>a ，如果存在实数,t 使0)(<'t f ，则)312()2(+'⋅+'t f t f 的值（A ）必为正数 （B ）必为负数 （C ）可能为零 （D ） 可正可负11. 已知一个正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为23的正方形，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为 （A ）2 （B ）1 （C ）2 （D ）312. 定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件：（1）对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立；（2）当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(．记函数=)(x g )1()(--x k x f ，若函数)(x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）[)2,1 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34 （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,342014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足CA CB CM 2131+=，则=⋅ .14. 从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 . 15. 已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+，则=-)32sin(πθ . 16. 若在由正整数构成的无穷数列}{n a 中，对任意的正整数n ，都有1+≤n n a a ，且对任意的正整数k ，该数列中恰有12-k 个k ，则2014a = .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，满足C b c B c b A a sin )32(sin )32(sin 2-+-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2=a ，32=b ，求ABC ∆的面积．18. （本小题满分12分）某花店每天以每枝10元的价格从农场购进若干支玫瑰花，并开始以每枝20元的价格出售，已知该花店的营业时间为8小时，若前7小时内所购进的玫瑰花没有售完，则花店对没卖出的玫瑰花以每枝5元的价格低价处理完毕（根据经验，1小时内完全能够把玫瑰花低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进玫瑰花）．该花店统计了100天内玫瑰花在每天的前7小时内的需求量n （单位：枝，*∈N n ）（由于某种原因需求量频数表中的部分数据被污损而无法看清），制成如下表格（注：*∈N y x ,；视频率为概率）．（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列及数学期望；（Ⅱ）若花店每天购进16枝玫瑰花所获得的平均利润比每天购进17枝玫瑰花所获得的平均利润大，求x 的取值范围．19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，BC AB A B B B ===11，︒=∠901BC B ，D 为AC 的中点，D B AB 1⊥．（Ⅰ）求证：平面⊥11A ABB 平面ABC ；（Ⅱ）求直线D B 1与平面11A ACC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角C D B B --1的余弦值．20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 12222=+by a x （0>>b a ）的左，右焦点分别为21,F F ，上顶点为B ．Q 为抛物线xy 122=的焦点，且01=⋅F ，=+1212QF F F 0． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过定点)2,0(P 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点（M 在N P ,之间），设直线l的斜率为k （0>k ），在x 轴上是否存在点)0,(m A ，使得以AN AM ,为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．21. （本小题满分12分）已知函数x ax x x f 221ln )(2--=（0<a ）.（Ⅰ）若函数)(x f 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若21-=a ，且关于x 的方程b x x f +-=21)(在[]4,1上恰有两个不等的实根， ABD1A1B 1CA求实数b 的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列{}n a 满足11=a ，2ln 1++=+n n n a a a （*∈N n ）， 求证：12-≤n n a .请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分）选修4－1如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，CGE CFD ADE ,,都是⊙O 的割线，AB AC =（Ⅰ）证明：2AC AE AD =⋅； （Ⅱ）证明：AC FG //．23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-= 21 233t y t x （t 为参数）. （Ⅰ）过极点作直线l 的垂线，垂足为点P ，求点P 的极坐标； （Ⅱ）若点N M ,分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数m x x g x x f ++-=-=3)(,2)(.（Ⅰ）若关于x 的不等式0)(≥x g 的解集为}15{-≤≤-x x ，求实数m 的值； （Ⅱ）若)()(x g x f >对于任意的R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.2014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学答案（理工类）选择题:1B 2A 3A 4D 5C 6D 7B 8B 9D 10B 11A 12D 填空题:13．98- 14.2111 15.10334- 16.45 解答题:17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得c b c b c b a )32()32(22-+-=，整理得bc a c b 3222=-+， ………………………… 2分 所以23cos =A ． ………………………… 4分 又),0(π∈A ，故6π=A ． ………………………… 5分（Ⅱ）由正弦定理可知B b A a sin sin =，又2=a ，32=b ，6π=A ， 所以23sin =B ． ………………………… 6分 又)65,0(π∈B ，故3π=B 或32π． ………………………… 8分若3π=B ，则2π=C ，于是3221==∆ab S ABC ； ………………………… 10分若32π=B ，则6π=C ，于是3sin 21==∆C ab S ABC ． ………………………… 12分18. 解：（Ⅰ）当14=n 时，130)5()1416(1014=-⨯-+⨯=X 元， ……………… 1分当15=n 时，145)5()1516(1015=-⨯-+⨯=X 元， ……………… 2分 当16=n 或17时，160=X 元， ……………… 3分 所以X 的分布列为……………… 4分154)(=X E 元． ……………… 5分（Ⅱ）设花店每天购进17枝玫瑰花时，当天的利润为Y 元，则 当14=n 时，125)5()1417(1014=-⨯-+⨯=Y 元， 当15=n 时，140)5()1517(1015=-⨯-+⨯=Y 元， 当16=n 时，155)5()1617(1016=-⨯-+⨯=Y 元，当17=n 时，1701017=⨯=Y 元， ……………… 7分所以x x x Y E 15.05.159100701701001552.01401.0125)(-=-⨯+⨯+⨯+⨯=， … 9分 由于)()(Y E X E >，所以x 15.05.159154->，解得3110>x ， ……………… 10分又*∈N y x ,，所以]69,37[∈x ，*∈N x ． ……………… 12分 19. 解：（Ⅰ）取AB 中点为O ，连接OD ，1OB ．因为A B B B 11=，所以AB OB ⊥1． 又D B AB 1⊥，111B D B OB = ， 所以⊥AB 平面OD B 1，因为⊂OD 平面OD B 1，所以OD AB ⊥．…由已知，1BB BC ⊥，又BC OD //， 所以1BB OD ⊥，因为B BB AB =1 ， 所以⊥OD 平面11A ABB ．又⊂OD 平面ABC ，所以平面⊥ABC 平面11A ABB ． ……………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1,,OB OD OB 两两垂直．以O 为坐标原点，的方向为x 轴的方向，|| 为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -．由题设知)3,0,0(1B ，)0,1,0(D ，)0,0,1(-A ，)0,2,1(C ，)3,2,0(1C ． 则)3,1,0(1-=D B ，)0,2,2(=AC ，)3,0,1(1-=CC ． 设平面11A ACC 的法向量为m ),,(z y x =，则m 0=⋅，m 01=⋅CC ，即0=+y x ，03=+-z x ，可取m )1,3,3(-=．… 6分设直线D B 1与平面11A ACC 所成角为θ， 故721sin =θ． ………………………… 7分 （Ⅲ）由题设知)0,0,1(B ，可取平面D BB 1的法向量n 1)1,3,3(=， ………………………… 8分 平面DC B 1的法向量n 2)1,3,3(-=， ………………………… 9分故<cos n 1，n 2>71=， ………………………… 11分 所以二面角C D B B --1的余弦值为71． ………………………… 12分20. 解：（Ⅰ）由已知)0,3(Q ，QB B F ⊥1，c c QF +==34||1，所以1=c ． ……… 1分在BQ F Rt 1∆中，2F 为线段Q F 1的中点， 故=||2BF 22=c ，所以2=a ．……… 2分于是椭圆C 的标准方程为13422=+y x ．…4分 （Ⅱ）设2:+=kx y l （0>k ），),(),,(2211y x N y x M ，取MN 的中点为,(00y x E 假设存在点)0,(m A 使得以AN AM ,0416)34(13422222=+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=kx x k y x kx y ， 4102>⇒>∆k ，又0>k ，所以21>k ． ………………………… 6分因为3416221+-=+k k x x ，所以34820+-=k kx ，3462200+=+=k kx y ． ……… 8分因为MN AE ⊥，所以k k AE 1-=，即k m k k k 1348034622-=-+--+， 整理得kk k km 3423422+-=+-=． ………………………… 10分因为21>k 时，3434≥+k k ，]123,0(341∈+kk ，所以)0,63[-∈m ． ……… 12分 21.解：（Ⅰ）函数的定义域为()+∞,0，)0(12)(2>-+-='x xx ax x f ，依题意0)(≥'x f 在0>x 时恒成立，则1)11(2122--=-≤x x x a 在0>x 时恒成立，即[])0(1)11(min 2>--≤x xa ， 当1=x 时，1)11(2--x 取最小值-1，所以a 的取值范围是(]1,-∞-⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分（Ⅱ）21-=a ，由b x x f +-=21)(得0ln 23412=-+-b x x x 在[]4,1上有两个不同的实根，设[]4,1,ln 2341)(2∈+-=x x x x x g xx x x g 2)1)(2()(--='，[)2,1∈x 时，0)(<'x g ，(]4,2∈x 时，0)(>'x g22ln )2()(min -==g x g ，22ln 2)4(,45)1(-=-=g g ，0)4ln 43(412ln 243)4()1(<-=-=-g g ，得)4()1(g g <则⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈45,22ln b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 （Ⅲ）易证当0>x 且1≠x 时，1ln -<x x .由已知条件12212ln ,01+=++-≤++=>+n n n n n n n a a a a a a a ， 故),1(211+≤++n n a a 所以当2≥n 时，,21101≤++<-n n a a ,211021≤++<--n n a a ⋅⋅⋅，,211012≤++<a a 相乘得,211011-≤++<n n a a 又,11=a 故n n a 21≤+，即12-≤n n a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 22解：（Ⅰ）由切割线定理知AE AD AB ⋅=2,又AB AC =，得AE AD AC ⋅=2⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分（Ⅱ）由AE AD AC ⋅=2得CDA ∆∽ACE ∆，所以CEA ACD ∠=∠又四边形GEDF 四点共圆，所以CED CFG ∠=∠ 故ACF CFG ∠=∠,所以AC FG //⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 23解：（Ⅰ）点P 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛32,23π⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 （Ⅱ）MN 的最小值为21⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 24. 解：（Ⅰ）因为03)(≥++-=m x x g ，所以m x ≤+3，所以33-≤≤--m x m ，由题意⎩⎨⎧-=--=--1353m m ,所以2=m ； …………..5分 （Ⅱ）若)()(x g x f >恒成立，所以m x x >++-32恒成立，因为5)3()2(32=+--≥++-x x x x 当且仅当0)3)(2(≤+-x x 时取等，所以5<m . ………….10分。

哈三中2023~2024学年度下学期第四次模拟考试高三数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件2. 已知101mx A x mx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，若2A ∈，则m 的取值范围是（ ）A. 1122m -≤< B. 1122m -≤≤ C. 12m ≤-或12m >D. 12m ≤-或12m ≥3. ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin tan a B b A =，ABCbc =（ ）A.B.C. 2D. 44. 若数列{}n a 满足11222,3,n n n a a a a a --===（3n ≥且*N n ∈），则2024a 的值为（ ） A. 3B. 2C.12D.235. 已知向量a ，b 满足2a = ，()3,0b =，a b -= ，则向量a 在向量b方向上的投影向量为（ ）A. 1,06⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,02⎛⎫⎪⎝⎭D. ()1,06. 2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 18B. 36C. 54D. 727. 已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()e e 32x xf x x --=-B. ()e e 23x xf x x--=-C. ()e e 32x xf x x -+=-D. ()21xf x x =- 8. 过椭圆22:194x y C +=上的任意一点M （不与顶点重合）作椭圆的切线交x 轴于点N ，O 为坐标原点，过N 作直线OM 的垂线交直线OM 于点P ，则OM OP ⋅（ ） A. 既没最大值也没最小值 B. 有最小值没有最大值 C. 有最大值没有最小值D. 定值（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 复数1z ，2z 满足12z z =，则12z z =B. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a c >，b d >，则i i a b c d +>+C. 复数z 满足i 2i z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线为D. 复数z满足2i 1z -=-12340z z z z +++=10. 已知圆锥SO （O 是底面圆的圆心，S1.若,P Q 为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（ ） A. 三角形SPQ 面积的最大值为2 B. 三棱锥O SPQ -体积的最大值23C. 四面体SOPQ 外接球表面积的最小值为19π3D. 直线SP 与平面SOQ11. 已知函数()()π0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 导函数，且满足()01f =，则下列结论中正确的是（ ） A. π4ϕ=B. 函数()()()g x f x f x '=+的图象不可能关于y 轴对称C. 若()f x 最小正周期为2π，且()35f α=，则16sin225α=-D. 若函数()f x 在ππ,44⎛⎫-⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是(]3,5 第Ⅱ卷（非选择题，共92分）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12. 已知空间中有三点()0,0,0O，()1,1,1A -，()1,1,0B ，则点O 到直线AB 的距离为______.13. 在5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______.14. 牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r 是函数()y f x =的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，在点()()0,x f x 作曲线()y f x =的切线1l ，设与1l 轴x 交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；在点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线2l ，设与2l 轴x 交点的横坐标为2x，称2x 为r 的2次近似值.一般地，在点()()(),N n n x f x n ∈作曲线()y f x =的切线1n l+，记1n l+与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r的的1n +次近似值.设()()330f x x x x =+-≥的零点为r ，取00x =，则r 的1次近似值为______；若nx 为r 的n 次近似值，设33323n nn n x x a x +=+，N n *∈，数列{}n a 的前n 项积为n T .若任意N n *∈，n T λ>恒成立，则整数λ的最大值为______.三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图，边长为4的两个正三角形ABC ，BCD 所在平面互相垂直，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点G 在棱AD 上，2AG GD =，直线AB 与平面EFG 相交于点H . （1）从下面两个结论中选一个证明：①BD GH ∥；②直线HE ，GF ，AC 相交于一点； 注：若两个问题均作答，则按第一个计分. （2）求点A 到平面EGH 的距离.16. 已知正项等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 前n 项和，()1222nn n n a S +=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令222,1,log log n n nn a n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，设数列{}n b 的前n 项和n T ，求2n T . 17. 2023年以来，哈尔滨掀起了一波旅游热潮.太阳岛某游乐园的一个迷宫如图，票价为每人10元，游客从A 处进入，沿图中实线游玩且规定只能向北或向东走（且除M ，N 外其他每个路口选择向北和向东的概率均为12），直到从n （1n =，2，3，4，5）号出口走出，且从n 号出口走出后，会得到一份奖金2n 元.的（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：男性 女性 总计 喜欢走迷宫 141630不喜欢走迷宫 16420总计302050 根据小概率值0.025α=的独立性检验，能否认为喜欢走迷宫与性别有关？如果有关，请解释它们之间如何相互影响； 附()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α 0.100.05 0.025 0.01 0.005 0.001x α 2.70638415.0246.6357.879 10.828（2）设某位游客获得奖金X 元，求随机变量X 的分布列和数学期望； （3）若每天走迷宫的游客大约为100人，则迷宫项目每天收入约为多少？18 已知1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，平面内动点P 满足MP MN NP ⋅= . （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）动直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，若..34αβπ+=，求证直线l 过定点，并求出该定点坐标； （3）设（2）中定点为Q ，记OQA 与OQB △的面积分别为1S 和2S ，求12S S ⋅的取值范围.19. 若函数()y f x =的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数()y f x =的图象的“自公切线”，称这若干个点为函数()y f x =的图象的一组“同切点”例如，如图，直线l 为函数()y f x =的图象的“自公切线”，A ，B 为函数()y f x =的图象的一组“同切点”.（1）已知函数()cos f x x x =在0x =处的切线为它的一条“自公切线”，求该自公切线方程； （2）若R a ∈，求证：函数()tan g x x x a =-+，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有唯一零点，且该函数的图象不存在“自公切线”；（3）设*N n ∈，函数()tan πn x h x x n =--，πππ,π22x n n ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭的零点为n q ，求证：()()22,n n n A q f q 为函数()cos f x x x =的一组同切点.参考答案一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立； 由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立； 所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选：B2. 已知101mx A x mx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，若2A ∈，则m 取值范围是（ ）A. 1122m -≤< B. 1122m -≤≤ C. 12m ≤-或12m >D. 12m ≤-或12m ≥【答案】A 【解析】【分析】将2x =代入101mx mx +≤-，然后转化为一元二次不等式求解可得.【详解】因为2A ∈，所以21021m m +≤-，等价于()()21210210m m m ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得1122m -≤<. 故选：A3. ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin tan a B b A =，ABCbc =（ ）A.B.C. 2D. 4【答案】D 【解析】【分析】由2sin tan a B b A =，利用边化角，求解A ,bc ，判断选项. 【详解】由2sin tan a B b A =，则2sin sin sin tan (sin 0)A B B A B =>,故1cos 2A =, 又0A π<<，所以3A π=,由ABC1sin 2ABC bc S A == ,即4bc =. 故选：D的4. 若数列{}n a 满足11222,3,n n n a a a a a --===（3n ≥且*N n ∈），则2024a 的值为（ ） A. 3 B. 2C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】利用递推数列的性质，找到数列的周期，求出即可. 【详解】因为(11222,3,3n n n a a a a n a --===≥且)*N n ∈， 所以3567243456781234563112,,,,2,3,2233a a a a a a a a a a a a a a a a a a ============ ， 所以数列{}n a 具有周期性，且6T =，所以20243376223a a a ⨯+===. 故选：A.5. 已知向量a ，b 满足2a = ，()3,0b =，a b -= ，则向量a 在向量b方向上的投影向量为（ ） A. 1,06⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,02⎛⎫⎪⎝⎭D. ()1,0【答案】C 【解析】【分析】由题意可知：3b = ，根据模长关系结合数量积的运算律可得32a b ⋅= ，进而可求投影向量.【详解】由题意可知：3b =，因a b -= ，则2222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r ，即10429a b =-⋅+r r，可得32a b ⋅= ，所以向量a 在向量b 方向上的投影向量为211,062a b b b b ⎛⎫⋅⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r .故选：C.6. 2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择为其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72【答案】B 【解析】【分析】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照1,2,2分组计算方法数；②还有人选，按照1,1,3部分平均分组计算方法数，最后用分类加法原理计算总的方法数即可. 【详解】若甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：1,2,2的选法总数为：233318C A =，若甲、乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：1,1,3的选法总数为：11332322C C A 18A =， 所以不同的选法总数为: 181836+=. 故选：B.7. 已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()e e 32x xf x x --=-B. ()e e 23x xf x x--=-C. ()e e 32x xf x x -+=-D. ()21xf x x =- 【答案】A 【解析】【分析】利用()f x 在2,3∞⎛⎫+⎪⎝⎭上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用()f x 在()1,∞+上的单调性排除D ，从而判断选项.【详解】对于B ，当23x >时，()e e 23x xf x x--=-，e e 0x x -->，230x -<，则()0f x <，不满足图象，故B 错误;对于C ，()e e 32x x f x x -+=-，定义域为2222,,,3333∞∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而()()e e 32x xf x f x x -+-==-，关于y 轴对称，故C 错误;对于D,当1x >时，()22211x f x x x ==+--，由反比例函数的性质可知()f x 在()1,∞+单调递减，故D 错误;利用排除法可以得到，()e e 32x xf x x --=-在满足题意，A 正确.故选：A8. 过椭圆22:194x y C +=上的任意一点M （不与顶点重合）作椭圆的切线交x 轴于点N ，O 为坐标原点，过N 作直线OM 的垂线交直线OM 于点P ，则OM OP ⋅（ ） A. 既没最大值也没最小值 B. 有最小值没有最大值 C. 有最大值没有最小值 D. 为定值【答案】D 【解析】【分析】利用导数求得切线斜率以及MN 方程，从而求得点N 坐标，再结合点到直线的距离公式以及两点之间的距离公式求得,OM OP ，再求乘积即可.【详解】设()00,M x y ，对22194x y +=求导可得：292y x +y '0=，解得y '49x y =-，故MN 方程为：()000049x y y x x y -=--， 即2200009944y y y x x x -=-+，2200004949x x y y x y +=+，又22004936x y +=，故MN 方程为：004936x x y y +=；令0y =，解得09x x =，故09,0N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；又OM 方程为00y y x x =，故0NP ===则OP ====，又OM =，故9OM OP ==.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数求导求得过点M 的切线方程，事实上，也可在选填中根据二级结论直接写出MN 方程.（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 复数1z ，2z 满足12z z =，则12z z =B. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a c >，b d >，则i i a b c d +>+C. 复数z 满足i 2i z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D. 复数z 满足2i 1z -=-12340z z z z +++= 【答案】AD 【解析】【分析】根据共轭复数以及模长公式即可求解A ，根据虚数的性质即可求解B ，根据复数模长即可根据圆的方程求解C ，根据i 的周期性即可求解D.【详解】对于A ，由于12z z =，则12z z =，故12z z =，故A 正确； 对于B ，若i,i a b c d ++为虚数，由于虚数不可以比较大小，故B 错误，对于C ，设i,,R z x y x y =+∈，则i 2i z z -=+⇒=，化简可得2251639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应中的轨迹为圆，故C 错误，对于D ，由2i 1z -=-2i 2z -=，则i z =，故12341234i 1i 10i i i i z z z z =-+++=++-+=+，故D 正确， 故选：AD ．10. 已知圆锥SO （O 是底面圆的圆心，S 1.若,P Q 为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（ ） A. 三角形SPQ 面积的最大值为2 B. 三棱锥O SPQ -体积的最大值23C. 四面体SOPQ 外接球表面积的最小值为19π3D. 直线SP 与平面SOQ 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，判断PSC ∠为钝角，确保PSQ ∠取得到π2，然后由面积公式求解可判断A ；对于B ，根据1sin 2OPQS OP OQ POQ =⋅⋅∠ 可判断B ；对于C ，利用正弦定理求OPQ △的外接圆半径1sin r θ=，然后可得外接球半径，根据θ范围可判断C ；对于D ，作PD OQ ⊥，然后证明PD ⊥平面SOQ ，可得sin PD POQ SP θ==∠，可判断D.【详解】对于A ，延迟PO 交底面圆于点C ，因为1SP SO ==，所以4PC ==，在SPC 中，由余弦定理得3cos 5PSC ∠==-，所以PSC ∠为钝角，所以15sin 22SPQ S PSQ =∠≤ ，当且仅当2πPSQ ∠=时等号成立， 所以三角形SPQ 面积的最大值为52，A 错误； 对于B ，因为1sin 2sin 2OPQ S OP OQ POQ POQ =⋅⋅∠=∠ ， 所以三棱锥O SPQ -体积为12sin 33OPQ S SO POQ ⋅=∠ ，当πsin 2POQ ∠=时取得最大值23，B 正确；对于C ，记四面体SOPQ 外接球半径为R ，OPQ △的外接圆半径为r ，OPQ θ∠=，因为OP OQ =，OPQ △为等腰三角形，所以π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为球心到,S O 的距离相等，所以球心在SO 的中垂面上，故球心到平面OPQ 的距离为12，由正弦定理得12sin sin OQ r θθ==，所以222112sin R θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 因为20sin 1θ<<，所以211sin θ>，254R >， 所以四面体SOPQ 外接球表面积24π5πS R =>，无最小值，C 错误； 对于D ，作PD OQ ⊥，垂足为D ，因为SO ⊥平面OPQ ，SO ⊂平面SOQ ，所以平面SOQ ⊥平面OPQ ， 又平面SOQ ⋂平面OPQ OQ =，PD ⊂平面OPQ ，所以PD ⊥平面SOQ ，记直线SP 与平面SOQ 所成角为α，则sin PD PD SP α==，又sin 2sin PD OP POQ POQ =∠=∠，所以sin POQ α=∠，当π2POQ ∠=时，sin α，D 正确.故选：BD11. 已知函数()()π0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，()f x '为的()f x 导函数，且满足()01f =，则下列结论中正确的是（ ） A. π4ϕ=B. 函数()()()g x f x f x '=+的图象不可能关于y 轴对称C. 若()f x 最小正周期为2π，且()35fα=，则16sin225α=-D. 若函数()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是(]3,5【答案】ACD 【解析】【分析】代入()01f =即可求解A ，根据1ω=，结合辅助角公式即可求解B ，根据二倍角公式即可求解C ，根据()f x 可得最值点满足πππ,Z 42x k k ω+=+∈，即可列不等式求解D.【详解】对于A ，()01sin f ϕϕ==⇒=，由于π02ϕ<<，所以π4ϕ=，A 正确，对于B ，()()()()()cos g x f x f x x x ωϕωϕ'++=+，当1ω=时，()πππ2sin 2cos 442x x x x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 错误，对于C ，()f x 最小正周期为2π，所以1ω=，故()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()π3πsin 454fααα⎛⎫⎛⎫+⇒+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=， 故2ππ16cos 212sin 2425αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即16sin225α=-，C 正确，对于D ，因为()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ,Z 42x k k ω+=+∈，则ππ,Z 4k x k ωω=+∈， 故7π3ππ5π,,4444x ωωωω=-- ,,, 由于()f x 在ππ,44⎛⎫-⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点， 根据对称可知这两个极值点分别为3ππ,44ωω-， 故7ππ3π444ππ5π444ωωωω⎧-≤-<-⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，解得35ω<≤，故D 正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键在于，利用整体代入法求得()f x 的最值点，从而得到关于ω的不等式，由此得解.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12. 已知空间中有三点()0,0,0O，()1,1,1A -，()1,1,0B ，则点O 到直线AB 的距离为______.【解析】【分析】求出,OA AB 的坐标，求出cos ,OA AB，根据点O 到直线AB 的距离为sin ,OA OA AB 即可求解.【详解】因为()0,0,0O ，()1,1,1A -，()1,1,0B ，所以()()1,1,1,0,2,1OA AB =-=-,所以OA = ，()()1012113OA AB ⋅=⨯+-⨯+⨯-=-.所以cos ,OA AB OA AB OA AB⋅===所以sin ,OA AB === 所以点O 到直线AB的距离为sin ,OA OA AB ==.13. 在5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______. 【答案】81 【解析】【分析】5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中通项公式()215C 1C ,,,N 2k k r r k rr k r T r k r k x --+=-≥∈,令20r k -=，即可得出．【详解】5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中通项公式：15C ,0,1,2,351(2,),4rr r T x r x +=-=．1(2)r x x-的通项公式：()()12C 11C ,,,N (2)()2r k k k k r k k r k r kr r k r k x x x ------≥=∈． 故5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的通项为()215C 1C ,,,N 2k k r r k r r k r T r k r k x --+=-≥∈令20r k -=，则0k =，0r =；1k =，2r =；2k =，4r =．因此常数项2112422525412C (1)C 2C (1)C 81+⨯⨯-⨯+⨯-⨯=．故答案为：81．14. 牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r 是函数()y f x =的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，在点()()0,x f x 作曲线()y f x =的切线1l ，设与1l 轴x 交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；在点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线2l ，设与2l 轴x 交点的横坐标为2x，称2x 为r 的2次近似值.一般地，在点()()(),N n n x f x n ∈作曲线()y f x =的切线1n l+，记1n l+与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r的1n +次近似值.设()()330f x x x x =+-≥的零点为r ，取00x =，则r 的1次近似值为______；若nx为r 的n 次近似值，设33323n nn n x x a x +=+，N n *∈，数列{}n a 的前n 项积为n T .若任意N n *∈，n T λ>恒成立，则整数λ的最大值为______.【答案】 ①. 3 ②. 1【解析】【分析】利用给定定义，整理出3122331n n n x x x ++=+，求值解决第一空即可，利用33323n nn n x x a x +=+求出1n n n x x a +=，进而得到n T ，再确定λ的最大值即可.【详解】易知()231f x x ='+，设切点为()3,3n n n x x x +-，由切线几何意义得斜率为231n x +，故切线方程为2331)()3n n n n y x x x x x =(+-++-，由给定定义知1(,0)n x +在该直线上，代入直线得331223233131n n n n n n n x x x x x x x ++-+=-+=++， 当00x =时，易知13x =，故r 的1次近似值为3，由33323n nn n x x a x +=+得，331323n n n n n n x x x x a x ++==+， 121223113n n n n n x x x T a a a x x x x ++=⋅=⨯⨯⨯= ， 而函数()()330f x x x x =+-≥的零点为r ，且()2310f x x '=+>，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，且()10f <，()20f >， 故()()21f f ⋅<0，由零点存在性定理得(1,2)r ∈， 由题意得1333(,3)2n x r +→∈，故32λ<，而λ是整数，故m 1ax λ=， 故答案为：3；1【点睛】关键点点睛：本题考查数列和导数新定义，解题关键是利用给定定义，然后表示出1n nn x x a +=，求出n T ，得到所要求的参数最值即可．三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图，边长为4的两个正三角形ABC ，BCD 所在平面互相垂直，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点G 在棱AD 上，2AG GD =，直线AB 与平面EFG 相交于点H . （1）从下面两个结论中选一个证明：①BD GH ∥；②直线HE ，GF ，AC 相交于一点； 注：若两个问题均作答，则按第一个计分. （2）求点A 到平面EGH 的距离.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）选①，易知//EF BD ，从而得//BD 平面EFGH ，再由线面平行的性质定理，即可得//BD GH ；选②，易知GF 与AC 不平行，设GF AC K = ，根据点、线、面的位置关系，可证K HE ∈，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量法求解点面距离即可． 【小问1详解】证明：选①，因为E ，F 分别为BC ，CD 中点，所以//EF BD ， 又EF ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以//BD 平面EFGH ， 因为BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH GH =，所以//BD GH ． 选②，因为2AG GD =，F 是CD 的中点，所以GF 与AC 不平行， 设GF AC K = ，则K AC ∈，K GF ∈， 因为AC ⊂平面ABC ，GF ⊂平面EFG ，的所以K ∈平面ABC ，K ∈平面EFG ，又平面ABC ⋂平面EFG HE =，所以K HE ∈， 所以直线HE ，GF ，AC 相交于一点．【小问2详解】连接EA ，ED ，因为ABC 与BCD △均为正三角形，且E 是BC 的中点， 所以EA BC ⊥，ED BC ⊥， 又平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，EA BC ⊥，EA ⊂平面ABC ，所以EA ⊥平面BCD ，因为ED ⊂平面BCD ，所以EA ED ⊥，故以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0E ,(2B ,0,0)，()()(0,,2,0,0,0,0,D C A -,(1F -0)，所以(0,AD =-,23AG AD ⎛== ⎝ ，故(0G，所以(0,0,EA = ,(1EF =-0),(0EG =，设平面EFG 的法向量为(n x = ,y ,)z，则00n EF x n EG y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 令1y =，则x =，2z =-，所以n =,1,2)-，所以点A 到平面EFG的距离为||||EA n n ⋅==， 故点A 与平面EFG．16. 已知正项等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，()1222nn n n a S +=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令222,1,log log n n nn a n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，设数列{}n b 的前n 项和n T ，求2n T . 【答案】（1）2n n a =（2）2122344n n n +-++ 【解析】【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可求解首项和公比，进而可求解通项， （2）根据等比数列求和公式以及裂项求和，结合分组求和即可求解. 【小问1详解】设{}n a 的公比为q ，0q > 由()1222nn n n a S +=-且0n a >可得：当1n =时，()211122242a a a =-=⇒=，当2n =时，()()2322222222460q q q q +=-=⇒+-=，解得2q =或3q =-（舍去），故2q =， 故2n n a = 【小问2详解】的()2,1,2n n n b n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数， 由于()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 则数列{}n b 的前2n 项和21321242(...)(...)n n n T b b b b b b -=+++++++3211111111(22...2)(...)22446222n n n -=++++-+--+++ ()2121411122142222344nn n n n +--⎛⎫=+-=+ ⎪-++⎝⎭ 17. 2023年以来，哈尔滨掀起了一波旅游热潮.太阳岛某游乐园的一个迷宫如图，票价为每人10元，游客从A 处进入，沿图中实线游玩且规定只能向北或向东走（且除M ，N 外其他每个路口选择向北和向东的概率均为12），直到从n （1n =，2，3，4，5）号出口走出，且从n 号出口走出后，会得到一份奖金2n 元.（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：男性 女性总计 喜欢走迷宫14 16 30不喜欢走迷宫164 20 总计 30 20 50 根据小概率值0.025α=的独立性检验，能否认为喜欢走迷宫与性别有关？如果有关，请解释它们之间如何相互影响；附()()()()()22n ad bca b c d a c b d χ-=++++.α0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001xα2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（2）设某位游客获得奖金X元，求随机变量X的分布列和数学期望；（3）若每天走迷宫的游客大约为100人，则迷宫项目每天收入约为多少？【答案】（1）能，理由见解析；（2）分布列见解析，()6E X=；（3）400元.【解析】【分析】（1）根据列联表数据算出2χ，对照临界值表即可得出结论；（2）通过分析到达n号门需要向东和向北各走几次即可求出相应概率，从而可得分布列，再由期望公式可得期望；（3）利用（2）中期望可得每名走迷宫的游客带来的收入期望，然后可解.【小问1详解】零假设为0H：假设是否喜欢走迷宫与性别相互独立，根据表中数据计算得()22501441616505.556 5.024302030209χ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以，根据小概率值0.025α=的独立性检验，假设不成立，即喜欢走迷宫与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.025.男性中喜欢走迷宫的频率为1473015=，女性喜欢走迷宫的频率为164205=，由41257715=知，女性喜欢走迷宫频率大约是男性喜欢走迷宫频率的127倍.【小问2详解】由题知，X的可能取值有2,4,6,8,10，走到1号门需要向东走1次，向北走5次，或者经过点M 到达1号门，走到5号门需要向东走5次，向北走1次，或者经过点N 到达5号门，走()2,3,4n n =号门走出需要向东走n 次，向北走6n -次. 因为每个路口选择向北和向东的概率均为12， 所以()66161172C 2264P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()6261154C 264P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()636156C 216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()6261158C 264P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()665611710C 2264P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 得分布列如下： X 2 4 6 8 10P 764 1564 516 1564 764所以7155157()24681066464166464E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【小问3详解】 由（2）知，每名走迷宫的游客带来的收入期望为1064-=，所以，100名游客带来的收入期望为4100400⨯=元，即迷宫项目每天收入约为400元.18. 已知1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，平面内动点P 满足MP MN NP ⋅= . （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）动直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，若34αβπ+=，求证直线l 过定点，并求出该定点坐标； （3）设（2）中定点为Q ，记OQA 与OQB △的面积分别为1S 和2S ，求12S S ⋅的取值范围.【答案】（1）22y x =（2）证明见解析，()2,2--（3）()12,0S S ⋅∈+∞【解析】 【分析】（1）确定向量的坐标，利用MP MN NP ⋅= ，化简即可求曲线C 的方程；（2）设直线l 的方程为x my t =+与抛物线方程联立，得韦达定理，根据34αβπ+=，利用和差角公式以及斜率公式可得12211212y x y x y y x x +=⋅-⋅，代入化简即可得即可证得22t m =-，即可求解定点； （3）根据11122211,22S OQ d S OQ d ====，即可根据点线距离得21220S S t >=求解. 小问1详解】设点P 的坐标为(,)x y . 由题意()11,,,,1,022MP x y NP x y MN ⎛⎫⎛⎫=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 由MP MN NP ⋅=，得12x +=， 化简得22y x = ∴所求曲线C 的方程为22y x =.【小问2详解】因为过点F 的直线l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，所以l 的斜率不为零，故设直线l 的方程为,0x my t t =+≠联立方程组22y x x my t⎧=⎨=+⎩，消x 并整理得2220y my t --=， 设A 1(x ，1)y ，B 2(x ，2)y ，于是122y y m +=，122y y t =-，2480m t ∆=+>， 由于34αβπ+=，不妨设直线,OA OB 的斜率为12,k k ， 则()12121212tan tan tan 1111tan tan 1k k k k k k k k αβαβαβ+++=-=⇒=-⇒+-=---， 【所以1212121212121y y y y k k k k x x x x +-=+-⋅=-，即12211212y x y x y y x x +=⋅-⋅， 进而()()()()12211212y my t y my t y y my t my t +++=⋅-+⋅+，整理得()()()221212210m m y y t mt y y t +-++++=， 将122y y m +=，122y y t =-代入可得()()()2221220m m t t mt m t +--+++=， 化简得()222220t mt t t t m -+=-+=， 由于0t ≠，所以22022t m t m -+=⇒=-，则直线方程为()2222x my m x m y =+-⇒+=+，故直线l 过定点()2,2--，【小问3详解】由题意可知()2,2Q --，则直线OQ 方程为0x y -=，且OQ =，11122211,22S OQ d S OQ d ====，其中12,d d 分别为,A B 到直线OQ 的距离，12d所以()()1221211S S m y t m y t ==---- ()()()22122111,m y y t m y y t =---++代入122y y m +=，122y y t =-，()()()()2222212*********S S m t t m m t t t mt t t t t t =----+=-+=-++=，由于2480m t ∆=+>且22t m =-，故()22Δ1246320t t t =++=+->，解得6t >-+或6t <--，故220t >，故()120,S S ∞⋅∈+..【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法：（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-，则直线过定点()00,x y ；若直线方程为y kx b =+(b 为定值)，则直线过定点()0,.b19. 若函数()y f x =的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数()y f x =的图象的“自公切线”，称这若干个点为函数()y f x =的图象的一组“同切点”例如，如图，直线l 为函数()y f x =的图象的“自公切线”，A ，B 为函数()y f x =的图象的一组“同切点”.（1）已知函数()cos f x x x =在0x =处的切线为它的一条“自公切线”，求该自公切线方程；（2）若R a ∈，求证：函数()tan g x x x a =-+，ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭有唯一零点，且该函数的图象不存在“自公切线”；（3）设*N n ∈，函数()tan πn x h x x n =--，πππ,π22x n n ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭的零点为n q ，求证：()()22,n n n A q f q 为函数()cos f x x x =的一组同切点.【答案】（1）y x =（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；（2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明112sin 2x x =在π(0,2上无解即得.（3）利用导数说明()n h x 的单调性，即可得到零点为πn ，则πn q n =，表示出()f x 在()00,x y 处的切线方程，推导出切线恰为y x =即可得证.【小问1详解】由()cos f x x x =，则()00f =，()cos sin f x x x x -'=，则()01f '=，所以函数()cos f x x x =在0x =处的切线方程为y x =，即该自公切线方程为y x =.【小问2详解】 由22221sin ()1tan 0cos cos x g x x x x'=-=-=-≤恒成立，当且仅当0x =时()0g x '=， 则()y g x =是ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，可得它至多有一个零点， 令1()sin ()cos g x x x a x =-++，ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 由y =1()g x 的图象是连续曲线，且11ππ((1022g g -=-<，因此1()g x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在零点，即在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上1()()cos g x g x x =存在零点，所以()g x 有唯一零点； 假设()g x 的图象存在“自公切线”，则存在12ππ,(,)22x x ∈-且12x x ≠， 使得()g x 的图象在1x x =与2x x =处的切线重合，即2212tan tan x x -=-，有21x x =-，不妨设1π(0,2x ∈， 切线211111:tan tan ()l y x x a x x x +--=-⋅-，222222:tan tan ()l y x x a x x x +--=-⋅-，有相同截距，即2211112222tan tan tan tan x x x x a x x x x a -++=-++，而21x x =-， 则2211111111tan tan tan tan x x x x a x x x x a -++=-+-+，即2111(1tan )tan x x x +=，则有111sin cos x x x =，即112sin 2x x =，令()sin ,0πx x x x ϕ=-<<，()1cos 0x x ϕ'=->， 即函数()ϕx 在(0,π)上单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，因此当π()0,x ∈时，sin x x >，即112sin 2x x =在π(0,)2上无解，所以()g x 的图象不存在“自公切线”.【小问3详解】 由tan π0x x n--=，易知πx n =是方程的根， 由()tan πn x h x x n =--，则()2110cos n h x n x '=-≤，则()n h x 在πππ,π22x n n ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭上单调递减， 则πx n =是()n h x 在πππ,π22n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上唯一零点， 所以πn q n =，由（1）可知()f x 在()00,x y 处的切线为()()000000cos cos sin y x x x x x x x -=--，化简得()200000cos sin sin y x x x x x x =-+， 对于22πn q n =，222cos sin 1n n n q q q -=，222sin 0n n q q =，则自公切线为1y =，所以()()22,n n n A q f q 为函数()cos f x x x =的一组同切点.【点睛】关键点点睛：对于函数新定义问题关键是准确的理解定义，结合相关数学知识进行推理说明，特别地函数()y f x =是区间D 上的可导函数，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。

已知复数*()()n f n in =∈N ，则集合{|()}z z f n =中元素的个数是 （ ） A ．4 B ．3 C ． 2 D ．无数 【答案】A【解析】试题分析:因为*()()n f n in =∈N 周期为4,所以{|()}z z f n ={,1,,1}i i =--共四个元素,选A 。

考点：复数i 的性质2.函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，且在[)1,+∞单调递减，(0)0f =,则(1)0f x +>的解集为( ）A ．(1,)+∞B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞【答案】B考点：函数性质3.执行如图程序框图其输出结果是（ ）A ．29B ．31C ．33D ．35【答案】B考点:循环结构流程图4。

已知平面,,m nαβαββ⊥⋂=⊂，则“n m⊥”是“nα⊥”成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由面面垂直性质定理知平面,,m nαβαββ⊥⋂=⊂，n m⊥可推出nα⊥；当nα⊥时，由于mα⊂，所以n m⊥,因此“n m⊥"是“nα⊥”成立的充要条件,选A。

考点:面面垂直性质定理5.某几何体三视图如下,图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为（）A ．43B ．83C ．4D ．163【答案】A【解析】试题分析：几何体为一个三棱锥，高为2，底面为等腰直角三角形，腰为2,所以几何体的体积为211422.323⨯⨯⨯= 考点:三视图，锥的体积6。

直线:8630l x y --=被圆22:20O xy x a +-+=3a 的值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．131 【答案】B【解析】试题分析：由题意得：22(1)1x y a -+=-，圆心(1,0)O 到直线:8630l x y --=距离为831102-=,因此由垂径定理得2231(()102a a +=-⇒=,选B 。