一类奇摄动拟线性边值问题的激波解

一陈婷姚静(安徽师范大学数学与计算机科学学院安徽芜湖241000)摘要：研究了一类奇摄动拟线性边值问题.在适当的条件下,应用微分不等式原理和匹配法讨论问题的激波解的存在性和渐近性态.关键词：拟线性；边界值问题；奇摄动.MR(2000)主题分类：34E15 中图分类号：O175.14 文献标识码：A文章编号：1002-0462(2012)03-0317-06§1.引言奇摄动理论的应用是非常广泛的.在就业的微分不等式理论和边界层方法中,莫和姚应用奇摄动理论,解决了一些边界值问题,例如一类奇摄动非线性问题的反应扩散方程问题]2,1[,在奇摄动非线性的捕食与被捕食系统]3[,一类奇摄动非线性常微分方程问题]5,4[和椭圆型方程边值问题]7,6[.使用的微分不等式的方法和匹配原则,OU认为关于一类奇摄动拟线性问题的左边界层现象的解决方案满足一个不等式.在本文中,参考了文献[9]中的方法，我们将讨论文献[8]中的边界值问题的存在性和渐近性的解决方案,具有左边界层的现象,在每一个适当的条件下,具有正确的边界层和激波层._____________________________________收稿日期：2010-06-25基金项目：国家自然科学基金(1090l003)和安徽省高校自然科学基金（KJ2011A135）资助作者简介：陈婷(1987 -) 女,安徽安庆人,M.S.D.,从事微分方程;姚静荪(1956-),女,安徽黄山人,安徽师范大学教授，从事微分方程.现在我们研究了下列问题+"y ε;),,('b x a y x f yy ≤≤= (1),)(A a y = (2) ,)(B b y = (3)其中ε是一个正的小参数，A 和B 为给定常数ε.§2.构造形式渐进式退化公式(1)是).,('000y x f y y = (4)假设：[H 1]f 为关于其变元在相应的区域范围内充分光滑的函数；[H 2]问题(4),(3)(或(4),(2))分别存在具有单调增加的解2C )(0x y r(或)(0x y l) 且dxdy 0-.0<-≤δy f 令],[b a x ∈*为激波位置.我们引入伸长变量：.εξ*-=x x （5）将（5）式带入（1）式并让零阶的内层解为0Y ，则有.000202=+ξξd dYY d Y d （6）则),(212010Y C d dY -=ξ（7）其中1C 是相对于0Y 的正常数并必须适合外部解，让,21k C = 进而,,)],(2tanh[200k Y d k k Y ≤+=ξ （8）,)],(2coth[2200k Y d kk Y ≥+=ξ （9）其中d 为任意常数.我们可以假设奇函数(8)和(9)中的d 为一正常数.如果a x =*,我们将讨论在文献[8]中的第二个不等式B a y A a y rr <<<-)()(00或,)(00B A a y r ≤<<的情况. 如果b x =*,我们将讨论)()(0b y B b y A l l o -<<<或;0)(0<<≤b y B A l的情况.如果),,(b a x ∈*我们将讨论.)()()(000B x y x y x y A r l l <*<*-=*<的情况.1) 当激波位置在a x =*.令εξax -=,(1)—(3)式的零阶解为r y 0.令r y 0向内任意趋于ε,则有limit )()(00a y y r i r =为零阶外部解.令ry 0向外任意趋于ε,则有limit k Y =00)(为零阶内层解.则有.0)(0>=a y k r(10).))(()],)((21tanh[)(2020000a y Y d a y a y Y r r r ≤+=ξ (11)).()],)((21coth[)(00000a y Y d a y a y Y r r r≥+=ξ (12) 由匹配原则得])(21tanh[)(00d a y a y A rr= （13） 或].)(21coth[)(00d a y a y A rr= （14）由于条件0)(0>a y r,和(13),(14)式和双曲正切和双曲反切函数性质得： 当B a y A a y rr <<<-)()(00,零阶内层近似解由(11)式得出,当)(0a y A B r >≥,零阶内层近似解由(12)式得出. 且(ⅰ)当B a y A a y r r <<<-)()(00,(1)—(3)的估计式为,10),(}1)])((21){tanh[()()(000<<<+-+-+=εεεεO d ax a y a y x y x y r rr (15) 所拥有的激波层接近a x =,d 由(13)式决定.(ⅱ)当)(0a y A B r>≥,(1)—(3)的估计式为,10),(}1)])((21){coth[()()(000<<<+-+-+=εεεεO d ax a y a y x y x y r rr (16) 所拥有的激波层也接近a x =,d 由(14)式决定. 2) 当激波位置在a x =*.令εξbx -=,(1)—(3)式的零阶解为ly 0.同理与1),得.0)(0<=-b y k l(17) .))(()],)((21tanh[)(2020000b y Y d b y b y Y ll l ≤+--=ξ (18)).()],)((21coth[)(00000b y Y d b y b y Y l l l≤+-=ξ (19) 则])(21tanh[)(00d b y b y B l l -= （20）或].)(21coth[)(00d b y b y B ll-= （21） 同理有：(ⅲ) 当)()(00b y B b y A ll -<<<,(1)—(3)的估计式为,10),(}1)])((21){tanh[()()(000<<<+-+---=εεεεO d bx b y b y x y x y l ll (22)所拥有的激波层接近b x =,d 由(20)式决定.(ⅳ)当0)(0<<≤b y B A l,(1)—(3)的估计式为,10),(}1)])((21){coth[()()(000<<<+-+---=εεεεO d bx b y b y x y x y l ll (23) 所拥有的激波层也接近b x =,d 由(21)式决定.3)当激波位置在),(b a x ∈*.令εξ*-=x x ,我们由问题(1)(3)可以得到零阶外部解=0y ⎪⎩⎪⎨⎧≤<<≤**bx x y xx a y r l ,,00 (24)易得)()(),()(0000**==x y y x y y ri r l i l .注意当左边*→x x 时-∞→x 和右边*→x x 时+∞→x ,且零阶内层解从)(0*x y l 增加到)(0*x y r.后左外极限内层解是k Y l -=)(0.右外极限内层解是k Y r =)(0.所以我们有)(0*=-x y k l(25) )(0*=x y k r (26)由连续函数的中间值原理得存在唯一),(b a x ∈*满足(25),(26)式,从而内层解为]2tanh[0ξkk Y = (27)最后(ⅴ)当b x a <<*和B x y x y x y A rr l <<-=<***)()()(000时,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+--+<≤++-+=****.),(]12)([tanh )(,),(]12)([tanh )()(00b x x O x x k k x y x x a O x x k k x y x y r l εεεεε§ 3.主要结论我们得到以下定理：定理 在假设[H 1][H 2]下,奇摄动拟线性边值问题(1)-(3)存在一个解),(εx y ,并具有一致有效的渐进估计式：)()(),()()()()(00)1(00εεεξO x y x y O a y Y x y r r r +≤≤+-+,当B a y A a y r r <<<-)()(00, (28) )()()()(),()()(0)2(000εξεεO a y Y x y x y O x y r r r +-+≤≤+,当B A a y r ≤<<)(00, (29) )()()()(),()()(0)3(000εξεεO b y Y x y x y O x y l l l +-+≤≤+,当)()(00b y B b y A l l -<<<, (30) )()(),()()()()(00)4(00εεεξO x y x y O b y Y x y l l l +≤≤+-+,当0)(0<<≤b y B A l , (31) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤+-+<≤+-+≤≤+****,),()(),()()()()(,),()()()(),()()(00)5(000)5(000b x x O x y x y O x y Y x y x x a O x y Y x y x y O x y r r r l l l εεεξεξεε 当,)()()(000B x y x y x y A rr l <<-=<*** (32)其中)(),(),(),(),()5(0)4(0)3(0)2(0)1(0ξξξξξY Y Y Y Y 由(11)~(12),(18)~(19),(27)给定.证明 现在我们只考虑情况)()(00b y B b y A l l -<<<和其他可以近似证明的.我们构造一个辅助函数α和β:γεα-=l y 0, (33)和γεεβ+--+=)()(000b y bx Y y ll, (34)其中)(0ξY 由(18)决定,γ是一个足够大决定以下的正常数.显然,2,C ∈βα,b x a x x ≤≤≤),,(),(εβεα (35)和),(),(),,(),(εβεαεβεαb B b a A a ≤≤≤≤. (36)现在我们证明了如下不等式:b x a x f dx d dxd <<≥-+,0),(22αααβε, (37) b x a x f dx d dxd <<≤-+,0),(22ββββε, (38)从假设的正切函数性质可得,易有一正常数M,如γδεεξγεεγεξεγεγεεββββε-≤+-++--+=+-+-++-+++=-+M d dY b y y b y Y x f dx dy dx y d b y Y y x f dx Y y d b y Y y dxY y d x f dx d dx d l l l y ll l l ll l l 0000002020********00222))((1))())(,(())(,()())(()(),( 其中ξ介于lo y 和γε+-+)(000b y Y y l l 之间,因此选择δγM>,不等式(38)成立.同理我们有γδεεααααε+-≥-+M x f dx d dxd ),(22. 因此,选择,δγM≥不等式(37)成立.由(33)〜(38)的微分不等式理论可得,存在一个解),(εx y 满足边界值问题(1) 〜(3)且满足不等式b x x x y x ≤≤≤≤αεβεεα),,(),(),(.由(33)〜(34)，我们可以得到(30).至此完成定理的证明。