2012目标测试题答案( 第二章 矩阵 )

线性代数第二章习题部分答案第二章向量组的线性相关性§2-1 §2-2 维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题1. 设3 α1α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T .2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,则线性组合α13α2+α3= (5,0,2)T .3. 设矩阵A= 5 ，设βi为矩阵A的第i个列向量，则2β1+β2β3= (2,8,2)T .二、试确定下列向量组的线性相关性1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=03k2k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。

2. α1=(1,1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T线性相关三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,1)T, α3=(5,3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。

解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 110 +k2 131 +k3 53t =0即k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k24k3=0k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0(t4)k3=0所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。

解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=k1a1k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=k1k1+k2a1k2k1+k2a2.五、已知向量组α1,α2,,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,,β2n线性相关。

第二章规划预测与预算章节测试试题及答案您的姓名： [填空题] *_________________________________第1题 (单选题)ABC公司已经经营了15年，公司通过借款和发行股票等筹资手段，下表是公司今年和去年关于ABC公司的部分财务数据：根据上述数据可知，ABC公司近两年的投资收益差额很明显，公司管理层想知道产生这项差异的原因是否是因为投资组合或者是投资策略等方面的原因，建议公司应该使用以下哪种方法（）. [单选题] *A. 最佳分析法B. 多元回归分析，将投资组合、投资策略均作为自变量C. 变量分析D. 简单线性回归(正确答案)第2题 (单选题)下列关于董事会在预算中的作用，正确的是（）. [单选题] *A. 法规变化监督预算的执行B. 企业的资源能否给消费者带来价值协调预算编制过程和解决预算过程中的冲突C. 对预算拥有最终的批准的权利(正确答案)D. 社会文化变动评估和分析预算的执行情况第3题（单选题）利益相关者分析如何与战略计划联系起来（）. [单选题] *A. 利益相关者分析有助于企业确认可以获得的能力B. 利益相关者分析描述了组织向国际业务的迁徙C. 从利益相关者分析中获得的视野发展成一个公司技术战略D. 利益相关者分析帮助企业建构企业社会责任(正确答案)第4题 (单选题)战略管理起始于环境分析，它是指分析和评估企业所在的外部环境和内部环境，并以此来识别来自于环境的战略因素，为战略选择提供必要的依据。

在环境分析中，决策者应最终能获得的战略因素包括：机会、威胁、优势和劣势；下列哪一项属于内部能力分析（）. [单选题] *A. 资源(正确答案)B. 行业经济状况C. 利益相关者的需求D. 竞争者第5题 (单选题)Enscribe是一家小公司，向医学出版社提供特殊的具有行业导向性的文章。

由一队医生创立和运营。

Enscribe是市场上非常受人尊敬的一家供应商并且在市场上占主导地位。

测试题二（矩阵）一．单项选择题1. 设A 为n 阶矩阵，且O A =3，则（ C ）（A ）A E A E +-,均不可逆; （B ）A E -不可逆，但A E +可逆（C ）A E -,E A A +-2均可逆;（D ）A E -可逆,但E A A +-2不可逆2．设B A ,都是n 阶非零矩阵，且O AB =，则B A ,的秩（ B ）（A ）必有一个等于零 （B ）都小于n（C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都等于n3．若A 为n 阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ D ）．（A ）11)()(--=k k A A ； （B ）T k k T A A )()(=； （C ）k k A A )()(**=； （D ）**=kA kA )(．4． 设B A ,为n 阶矩阵，下列结论正确的是（ D ）（A ）||||||B A B A +=+ （B ）||||||B A B A -=-（C ）若B AB =，则BA AB = （D ）若E B AB +=，则BA AB = 5．B A ,均为三阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ A ）．（A ）111)(---=B A AB ； （B ）A A =-； （C ）B A B A B A +-=-22； （D ）A A 22=．6．设()353=⨯A R ，那么53⨯A 必满足 （ D ）．（A ）三阶子式全为零； （B ）至少有一个四阶子式不为零；（C ）二阶子式全为零； （D ）至少有一个二阶子式不为零．7．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 212122122111，02121≠n n b b b a a a ，秩=A （B ）． （A ）0； （B ）1 ； （C ）2； （D ）n ．8．设B A ,为n 阶矩阵，**,B A 是伴随矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O O A C ，则=*C （ C ）． （A ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B B O O A A ； （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**A A O O B B ； （C ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B A O O A B ； （D ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**A B O O B A ．9．设B A ,均为n 阶矩阵，A 与B 等价，下列结论不正确的是（ A ）．（A ）若0||>A ，则0||>B（B ）若0||≠A ，则存在可逆矩阵P 使得E PB =（C ）若A 与E 等价，则B 是可逆矩阵（D ）存在可逆矩阵Q P ,，使得B PAQ =10．设)3(≥n n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a b a b a b a a A ，其中0≠ab ，若1)(-=n A r ，则b a , 应满足（ B ） （A ）0=+b a （B ）a n b )1(-= （C ）0=-b a （D ）a n b )1(-=11．设B A ,均为n m ⨯矩阵，1)(r A r =，2)(r B r =,若方程组α=Ax 有解，β=Bx 无解，且r B A r =),,,(βα，则（ D ）（A ）21r r r += （B ）21r r r +≤ （C ）121++=r r r （D ）121++≤r r r二．填空题1．若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110P ，那么=20042003AP P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2143． 2．B A ,为三阶矩阵，1-=A ，2=B ，则()='-212B A 2 ． 3．已知53)(2+-=x x x f ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a A 00，则=)(A f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-53005322b b a a ． 4．若C B A ,,均为n 阶矩阵，且E CA BC AB ===，则=++222C B A 3E ． 5．α是三维列向量，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----='111111111αα，则='αα 3 ．6．若A 为)2(≥n n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵,则**)(A = A A n 2||-．三．判断题（正确打V ，错误打×）1．*A A =的充分必要条件是1-=A A A ．（ × ）2．3223⨯⨯B A 不可逆．（ V ）3．如果E AB =，则1-=A B ．（ V ）4．B A ,为n 阶非零矩阵，若,O AB =则0==B A ．（ V ）5．()ij a A =为n 阶可逆矩阵，若A 的每行元素之和全为a ，则1-A 的每行元素之和全为1-a ．（ V ）6．若A 为)2(≥n n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵,则**)(A A -=-（ × ）四．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110011001A ，求n A ． 五．讨论参数a 的取值，求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=68963642321a A 的秩．六．设122101221,021425000A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，是否存在可逆阵P 使PA B =,若存在，求出P 。

第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解)21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.(2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k. 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求A k .解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫.用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫⎝⎛5221;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθc o s s i n s i n c o s A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=θθθθc o s s i ns i n c o s *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθc o s s i ns i n c o s .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211 .12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X ;解1111012112234311-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解11110210132141--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111.(4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012.13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1, )3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0. (2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1. 19.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B ,求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ,且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A ,所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E ,B =-8(A *-2E )-1A -1=-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21,1 ,21(d i a g 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ,且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060006603001010010000161.23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521,即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A ,而 01111||||||||==D C B A , 故 |||||||| D C B A DC B A ≠.28. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4.解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A .29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====snE BC OBC OAC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛---O A B O O B A O 111.(2)1-⎪⎭⎫⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A .30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.。

考研数学二（矩阵）模拟试卷12(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是3阶矩阵，将A的第2行加到第1行上得B，将B的第1列的一1倍加到第2列上得C．P＝，则C＝( )．A．P-1Ap．B．PAP-1．C．pTAP．D．PAPT．正确答案：B 涉及知识点：矩阵2．设A为3阶矩阵，P＝(α1，α2，α3)为3阶可逆矩阵，Q＝(α1＋α2，α2，α3)．已知pTAP＝，则QTAQ＝( )．A．B．C．D．正确答案：A 涉及知识点：矩阵3．设A是3阶可逆矩阵，交换A的1，2行得B，则A．交换A*的1，2行得到B*．B．交换A*的1，2列得到B*．C．交换A*的1，2行得到－B*．D．交换A*的1，2列得到－B*．正确答案：D 涉及知识点：矩阵4．设A，B，C都是n阶矩阵，满足B＝E＋AB，C＝A＋CA，则B－C 为A．E．B．－E．C．A．D．－A．正确答案：A 涉及知识点：矩阵5．A和B都是n阶矩阵．给出下列条件①A是数量矩阵．②A和B都可逆．③(A＋B)2＝A2＋2AB＋B2．④AB＝cE．⑤(AB)2＝A2B2．则其中可推出AB＝BA的有( )A．①②③④⑤．B．①③⑤．C．①③④．D．①③．正确答案：D解析：①和③的成立是明星的，②是不对的．④AB＝cE，在c≠0时可推出AB＝BA，但是c＝0时则推不出AB＝BA．如⑤(AB)2＝A2B2推不出AB＝BA．对于④中的A和B，(AB)2和A2B2都是零矩阵，但是AB≠BA．知识模块：矩阵填空题6．若A-1＝，则(3A)*＝_______．正确答案：涉及知识点：矩阵7．设A＝不可逆，则χ＝_______．正确答案：－5．解析：A不可逆｜A｜＝0．而故χ＝4或χ＝－5．知识模块：矩阵8．设A，B均为3阶矩阵，且满足AB＝2A＋B，其中A＝，则｜B－2E｜＝_______．正确答案：－2．解析：由AB－2A－B＋2E＝2E，有A(B－2E)－(B－2E)＝2E，则(A－E)(B－2E)＝2E．于是｜A－E｜.｜B－2E｜＝8，而｜A－E｜＝＝－4，所以｜B－2E｜＝－2．知识模块：矩阵9．设A2－BA＝E，其中A＝，则B＝_______．正确答案：解析：由于BA＝A2－E，又A可逆，则有B＝(A2－E)A-1＝A－A-1．故知识模块：矩阵10．设XA＝AT＋X，其中A＝，则X＝_______．正确答案：解析：由XA－X＝AT有X(A－E)＝AT，因为A可逆，知X与A－E均可逆．故X＝AT(A－E)-1＝知识模块：矩阵11．已知A＝，矩阵X满足A*X＝A-1＋2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X＝_______．正确答案：涉及知识点：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

【高中数学】数学《矩阵与变换》期末复习知识要点一、151．已知函数()2cos 2sin 3sin cos 3x f x x πααπαα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调增区间. （2）函数()f x 的图象F 按向量,13a π⎛⎫=-⎪⎝⎭v 平移到'F ，'F 的解析式是()'y f x =.求()'f x 的零点.【答案】（1）42,233k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）23x k ππ=±，k Z ∈. 【解析】 【分析】（1）由题意根据二阶行列式的运算法则及利用两角和差的三角公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．（2）由题意利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()2cos 1f x x '=-，再根据函数零点的定义和求法求得()f x '的零点． 【详解】解：（1）()2cos 2sin 3sin cos 3x f x x πααπαα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭Q()2cos cos 2sin sin 33f x x x ππαααα⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2cos 3x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令223k x k ππππ-≤+≤，k Z ∈，求得42233k x k ππππ-≤≤-，k Z ∈， 则()f x 的单调增区间42,233k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）()2cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q 按向量,13a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭r 平移到'F'F ∴的解析式是()'2cos 1y f x x ==-，令2cos 10x -=，解得23x k ππ=±，k Z ∈.所以()'f x 的零点为23x k ππ=±，k Z ∈.【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的单调性，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，函数零点的定义和求法，属于基础题．2．解方程：23649x xx=.【答案】1x = 【解析】 【分析】根据行列式的运算性质，求得29346xx x ⨯-⨯=，转化为322()3()123xx⨯-⨯=，令3()2x t =，得到方程1231t t ⨯-⨯=，进而即可求解【详解】根据行列式的运算性质，可得23293449xxxx=⨯-⨯，即29346x x x ⨯-⨯=，方程两边同除6x ，可得322()3()123xx⨯-⨯=，令3()2xt =，且0t >，则21()3xt =，可得1231t t⨯-⨯=，解32t =或1t =-（舍去）， 即33()22x=，解得1x =. 故答案为：1x =. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及指数幂的运算和一元二次方程的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合指数幂的运算和一元二次方程的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题.3．解方程组()32021mx y x m y m+-=⎧⎨+-=⎩，并求使得x y >的实数m 的取值范围.【答案】()1,3 【解析】 【分析】计算出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，求出方程组的解，再由x y >列出关于m 的不等式，解出即可. 【详解】由题意可得()()2362321m D m m m m m ==--=+--，2321x D m m m ==---，()()224222y m D m m m m==-=-+.①当0D ≠时，即当260m m --≠时，即当2m ≠-且3m ≠时，1323x y D x D m D m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩.x y >Q ，则()()()2222133m m m ->--，即()22130m m ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩，解得13m <<； ②当2m =-时，方程组为2320232x y x y -+-=⎧⎨-=-⎩，则有232x y -=，该方程组有无穷多解，x y >不能总成立；③当3m =时，方程组为33202230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，即203302x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，该方程组无解.综上所述，实数m 的取值范围是()1,3. 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，在解题时要注意对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.4．讨论关于x ，y ，z 的方程组2112x y z x y az x ay a z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解的情况.【答案】当1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩；当1a =时，无解.【解析】 【分析】先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】方程组可转化为：2111111121x a a a y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，2211111(1)1a a D a a ==--，21111(1)(2)12x D a a a a a ==---， 211111112y D a a a ==-+，111101112z D a ==，（1）当系数行列式||0D ≠时，方程组有唯一解，即1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎩（2）当1a =时，原方程组等价于112x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩所以无解.【点睛】本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性、唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力．5．利用行列式讨论关于,x y 的方程组1323ax y ax ay a +=-⎧⎨-=+⎩解的情况.【答案】①当03a a ≠≠-且时，方程组有唯一解12x a y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时，方程组无解；③当3a =-时，方程组有无穷多解，可表示为()31x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【解析】 【分析】由题,可得()()()3,3,23x y D a a D a D a a =-+=-+=+,分别讨论方程组有唯一解,无解,无穷多解的情况即可 【详解】()21333a D a a a a a a==--=-+-,()()11233323x D a a a a a a -==-+=--=-++-, ()()212332623323y aD a a a a a a a a a -==++=+=++,①当03a a ≠≠-且时,方程有唯一解,()()()()3132323x y a D x D a a a D a a y D a a ⎧-+===⎪-+⎪⎨+⎪===-⎪-+⎩,即12x a y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当0a =时,0D =，30x D =-≠,方程组无解；③当3a =-时,0x y D D D ===,方程组有无穷多解,设()x t t R =∈,则原方程组的解可表示为()31x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【点睛】本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想6．利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩.【答案】见解析 【解析】【分析】计算出系数行列式D ，以及x D 、y D ，然后分0D ≠和0D =两种情况讨论，在0D ≠时，直接利用行列式求出方程组的解，在0D =时，得出2m =±，结合行列式讨论原方程组解的情况. 【详解】 系数行列式为2441m D m m==-，()242x m D m m mm+==-，()()222211y m m D m m m m m+==--=-+.①当240D m =-≠时，即当2m ≠±时，原方程组有唯一解()()()2224221142x y m m D m x D m m D m m m y D m m ⎧-===⎪⎪-+⎨-++⎪===⎪-+⎩；②当240D m =-=时，2m =±.（i ）当2m =-时，0D =，8x D =，4y D =，原方程组无解；（ii ）当2m =时，0x yD D D ===，原方程为24422x y x y +=⎧⎨+=⎩，可化为22x y +=， 该方程组有无数组解，即12x R x y ∈⎧⎪⎨=-⎪⎩.【点睛】本题考查利用行列式求二元一次方程组的解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.7．(1)用行列式判断关于x y 、的二元一次方程组2373411x y x y -=⎧⎨-=⎩解的情况；(2)用行列试解关于x y 、的二元一次方程组12mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】(1)51x y =⎧⎨=⎩；(2)当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠,方程组解为1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 当1m =-时，0D =,0x D ≠,方程组无解，当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，22x y x y +=⎧⎨+=⎩，令()x t t R =∈ ,原方程组的解为()2x tt R y t =⎧∈⎨=-⎩.【解析】 【分析】(1) 先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ,即可求解方程组的解. (2) 先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D 下面对m 的值进行分类讨论：①当1m ≠-，1m ≠时，②当1m =-时，③当1m =时，分别求解方程组的解即可． 【详解】(1)列出行列式系数 112a =,123a =-,17b =,213a =,224a =,211b =,23D =34--891=-+=,711x D = 34--=28335-+=,23y D =711=22211-= ,5xD x D ∴== ,1y D y D== , 所以二元一次方程组2373411x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为51x y =⎧⎨=⎩ . (2)1m D =1m=21m - =()()11m m +- , 12x m D m+=1m=2m m - =()1m m - ,1y m D =12m m+ =()()221211m m m m --=+- ,当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠,方程组有唯一解，解为1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 当1m =-时，0D =,0x D ≠,方程组无解，当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，22x y x y +=⎧⎨+=⎩ ，令()x t t R =∈ ,原方程组的解为()2x tt R y t=⎧∈⎨=-⎩ .【点睛】本题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题.8．设点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到点(2,)x x y +． （1）求矩阵M ；（2）若直线:25l x y -=在矩阵M 对应变换作用下得到直线l '，求直线l '的方程．【答案】（1）2011⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）3x -4y -10=0. 【解析】 【分析】（1）设出矩阵M ，利用矩阵变换得到关于x 、y 的方程组，利用等式恒成立求出矩阵M ；（2）设点(,)x y 在直线l 上，利用矩阵变换得到点(,)x y ''，代入直线l 中，求得直线l '的方程． 【详解】解：（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由题意，2a b x x M c d y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦g ，所以2ax by x +=，且cx dy x y +=+恒成立； 所以2a =，0b =，1c =，1d =；所以矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）设点(,)x y 在直线l 上，在矩阵M 对应变换作用下得到点(,)x y ''在直线l '上， 则2x x '=，y x y '=+，所以12x x ='，12y y x ='-'； 代入直线:25l x y -=中，可得34100x y '-'-=； 所以直线l '的方程为34100x y --=． 【点睛】本题考查了矩阵变换的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9．已知1m >，1n >，且1000mn <，求证：lg 901lg 4m n <. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由题意，求得11000mn <<，利用基本不等式，得到2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，再结合行列式的运算，即可求解. 【详解】由题意，实数1m >，1n >，且1000mn <，可得11000mn <<，则2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，又由lg 919lg ln 9lg ln 144lg 4m m n m n n=-⨯=-，所以lg 901lg 4m n <. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及对数的运算性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，以及合理应用对数的运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．已知函数2sin ()1x xf x x -=．（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭4a =，5b c +=，求ABC V 的面积．【答案】（1）1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（2 【解析】 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域． （2）由条件求得A ，利用余弦定理求得bc 的值，可得△ABC 的面积． 【详解】 解：（1）21()sin cos cos 2)sin 2sin 223f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭Q ， 又02x π≤≤，得42333x πππ≤+≤，所以sin 21,0sin 2133x x ππ⎛⎫⎛⎫≤+≤≤+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为0,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（2）∵2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，sin 3A π⎛⎫∴+=⎪⎝⎭， 由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<，解得：233A ππ+=，所以3A π=． 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-，216( c)3b bc ∴=+-．因为5b c +=，所以3bc =，1sin 2ABC S bc A ∆∴==【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．11．已知矩阵120A x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 的逆矩阵1B -满足17177AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （1）求实数x ，y 的值；（2）求矩阵A 的特征值和特征向量.【答案】（1）1,3x y ==；（2）特征值为2-和1，分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）计算()1AB B -，可得12514721y y -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦，根据()1A AB B -=，可得结果.（2）计算矩阵A 的特征多项式()121f λλλ+-=-，可得2λ=-或1λ=，然后根据Ax x λ=r r，可得结果.【详解】 （1）因为17177ABy --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，5723B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以()17175712723514721ABB y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦由()1A ABB -=，所以12120514721x y y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦所以514172103y x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩（2）矩阵A 的特征多项式为：()()()()1212211f λλλλλλλ+-==+-=+--令()0f λ=，解得2λ=-或1λ= 所以矩阵A 的特征值为2-和1. ①当2λ=-时，12222102x x x y xy y x y--+=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=-⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则2x =-，所以矩阵M 的一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ②当1λ=时，12210x x x y x y y x y--+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 令1y =，则1x =所以矩阵M 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因此，矩阵A 的特征值为2-和1， 分别对应一个特征向量为21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵的应用，第（1）问中，关键在于()1A ABB -=，第（2）问中，关键在于()1201f λλλ+-==-，考验分析能力以及计算能力，属中档题.12．已知函数cos 2()sin 2m x f x nx=的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （1）求函数()f x 的最大值与最小值；（2）将函数()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后，得到函数()y g x =的图象；已知点(0,5)P ，若函数()y g x =的图象上存在点Q ，使得||3PQ =，求函数()y g x =图象的对称中心.【答案】（1）()f x 的最大值为2，最小值为2-；（2）(,0)()24k k Z ππ+∈. 【解析】 【分析】（1）由行列式运算求出()f x ，由函数图象过两点，求出,m n ，得函数解析式，化函数式为一个角的一个三角函数式，可求得最值；（2）由图象变换写出()g x 表达式，它的最大值是2，因此要满足条件，只有(0,2)Q 在()g x 图象上，由此可求得ϕ，结合余弦函数的性质可求得对称中心．【详解】（1）易知()sin 2cos 2f x m x n x =-，则由条件，得sin cos 6644sin cos 233m n m n ππππ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得 1.m n ==-故()2cos22sin(2)6f x x x x π=+=+.故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.-（2）由（1）可知： ()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++.于是，当且仅当(0,2)Q 在()y g x =的图象上时满足条件.(0)2sin(2)26g πϕ∴=+=. 由0ϕπ<<，得.6πϕ=故()2sin(2)2cos 22g x x x π=+=. 由22x k =+ππ，得().24k x k Z ππ=+∈ 于是，函数()y g x =图象的对称中心为：(,0)()24k k Z ππ+∈. 【点睛】本题考查行列式计算，考查两角和的正弦公式，图象平移变换，考查三角函数的性质，如最值、对称性等等．本题主要是考查知识点较多，但不难，本题属于中档题．13．已知矩阵2101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵M 的特征值及特征向量；（2）若21α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦r，求3M αv.【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r（2）91⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】 【分析】(1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r可得33312M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即可. 【详解】（1）矩阵M 的特征多项式为21()01f λλλ--=-(2)(1)λλ=--，令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2， 当1λ=，时由二元一次方程0000x y x y --=⎧⎨+=⎩.得0x y +=，令1x =，则1y =-，所以特征值1λ=对应的特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦；当2λ=时，由二元一次方程0000x y x y -=⎧⎨+=⎩. 得0y =，令1x =，所以特征值2λ=对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r；（2）1221ααα⎡⎤==+⎢⎥-⎣⎦u ur u u r rQ ，33312M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦91⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.14．关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -．()1求实数a ，b 的值；()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．【答案】（1）1a =-，2b =（2）12- 【解析】 【分析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】 解：(1)不等式201x a x+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -．1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，解得1a =-,2b =． (2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,解得12tan α=-.【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15．已知,R a b ∈，矩阵 a b c d A ⎡=⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点()2,1P -在A 对应的变换作用下得到点()1,2P '-，求矩阵A .【答案】2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】根据矩阵的特征值和特征向量的定义建立等量关系，列方程组求解即可. 【详解】由题意可知，1155115a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2112a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以552122a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，解得2314a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，即矩阵2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考查矩阵特征值和特征向量的辨析理解，根据题中所给条件建立等量关系解方程组得解.16．解关于x 、y 的方程组(1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】答案见解析； 【解析】【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数项构成列向量． 而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D 不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解． 【详解】 解：Q (1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩化成矩阵形式Ax b =则1124m A m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，216m b -⎛⎫= ⎪-⎝⎭()()()24212242111242m m D m m m m m m ∴==-+=+=-++---,()()()42161122116422412x D m m m m m m ==-++-=-+=++,()()()162222412216y D m mm m m m ==----+-=-当系数矩阵D 非奇异时，或者说行列式24220D m m =--≠， 即1m ≠且2m ≠-时，方程组有唯一的解， 61x D x D m ==-，41y D m y D m-==-． 当系数矩阵D 奇异时，或者说行列式24220D m m =--=， 即1m =或2m =-时，方程组有无数个解或无解．当2m =-时，原方程为4044160x y x y --=⎧⎨-++=⎩无解，当1m =时，原方程组为21024160x y x y +-=⎧⎨++=⎩，无解．【点睛】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立，属于中档题．17．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 求AB;若曲线C 1;22y =182x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程.【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）228x y += 【解析】试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程．试题解析：解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以AB =01101002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ,则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 因为()00,Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=.因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：228x y +=. 点睛:（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．18．设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据矩阵的乘法运算求出MN ，然后由02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦列出方程组，即可求出4,3x y ==，从而确定矩阵M ，再利用求逆矩阵的公式，即可求出矩阵M 的逆矩阵1M -．【详解】解：因为02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩所以4,3x y ==；矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查矩阵的乘法运算及逆矩阵的求解．19．已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3. （1）求a ，b 的值；（2）求属于2λ的一个特征向量α. 【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r. 【解析】 【分析】（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值； （2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量． 【详解】（1）令2()()(4)(4)4014a bf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-， 于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =. （2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦r， 故2343x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ．【点睛】本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．20．定义()111111n n n n x x n N y y +*+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量()111,n n n OP x y +++=u u u u u v 的一个矩阵变换， （1）若()12,3P ，求2OP u u u v ，3OP u u u v；（2）设向量()11,0OP =u u u v ，O 为坐标原点，请计算9OP u u u v 并探究2017OP u u u u u u v的坐标.【答案】（1）()21,5OP =-u u u v ，()36,4OP =-u u u v；（2）()25216,0. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系可直接计算2OP uuu r ，3OP u u ur .（2）根据向量的递推关系可得816n n OP OP +=u u u u u r u u u r 对任意的*n N ∈恒成立，据此可求9OP u u u r、2017OP u u u u u u r的坐标.【详解】（1）因为()12,3P ，故123OP⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，设2x OP y ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ， 则11211135x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以215OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 即()21,5OP =-u u u r ，同理()36,4OP =-u u u r . （2）因为111111n n n n x x y y ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11n n n n nn x x y y x y ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 故21121122n n n n n n n n x x y y y x y x ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3223222222n n n n n n n n n n x x y y x y x y y x ++++++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，43343344n n n n n n n n x x y x y x y y ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以44n n OP OP +=-u u u u u r u u u r ，故816n n OP OP +=u u u u u r u u u r . 又9811=⨯+，20174504182521=⨯+=⨯+,()911616,0OP OP ==u u u r u u u r所以()252252201711616,0OP OP ==u u u u u u r u u u r . 【点睛】本题考查向量的坐标计算及向量的递推关系，解题过程中注意根据已知的递推关系构建新的递推关系，此问题为中档题.。

矩阵试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零元素的个数B. 矩阵中最大的线性无关行（列）向量组的个数C. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B2. 若矩阵A与矩阵B相等，则下列说法正确的是：A. A和B的行列式相等B. A和B的迹相等C. A和B的行列式和迹都相等D. A和B的行列式和迹都不相等答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 将矩阵的行变成列B. 将矩阵的列变成行C. 将矩阵的行和列互换D. 将矩阵的元素取相反数答案：C4. 对于任意矩阵A，下列说法正确的是：A. A的行列式等于A的转置的行列式B. A的行列式等于A的逆矩阵的行列式C. A的行列式等于A的逆矩阵的转置的行列式D. 以上说法都不正确答案：A5. 若矩阵A是可逆矩阵，则下列说法正确的是：A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式可以是任意非零值答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的行列式为-2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为____。

答案：1/22. 设矩阵A为2x2矩阵，且A的行列式为3，则矩阵A的转置的行列式为____。

答案：33. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量组的____。

答案：线性无关4. 设矩阵A为3x3矩阵，且A的行列式为0，则矩阵A是____。

答案：奇异矩阵三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，求矩阵A的行列式。

答案：\(\begin{vmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\)2. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵B的逆矩阵。

“SWOT分析法”测试题一、选择题1、采用SWOT分析方法对企业内外部环境进行综合分析。

其中，T表示（）。

A.优势B.劣势C.机会D.威胁2、采用SWOT分析方法对企业内外部环境进行综合分析。

其中，S表示（）。

A.优势B.劣势C.机会D.威胁3、采用SWOT分析方法对企业内外部环境进行综合分析。

其中，O表示（）。

A.优势B.劣势C.机会D.威胁4、采用SWOT分析方法对企业内外部环境进行综合分析。

其中，W表示（）。

A.优势B.劣势C.机会D.威胁5、采用SWOT分析方法对企业内外部环境进行综合分析。

其中影响企业制定经营发展战略的内部因素有（）（多选）A.优势B.劣势C.机会D.威胁6、采用SWOT分析方法对企业内外部环境进行综合分析。

其中影响企业制定经营发展战略的外部因素有（）（多选）A.优势B.劣势C.机会D.威胁7、对房地产项目进行微观环境分析，其优势可能包括（）（多选）A、有利的竞争态势B、充足的财政来源C、良好的企业形象D、过硬的产品质量E较大的市场占有份额F、成本优势8、对房地产项目进行微观环境分析，其劣势可能包括（）（多选）A、管理混乱B、资金短缺C、产品积压D、竞争力差二、判断题1、在构造SWOT矩阵，将那些对房地产项目有直接的、重要的、大量的、迫切的、久远的影响因素优先排列出来，而将那些间接的、次要的、少许的、不急的、短暂的影响因素排列在后面。

（）2、机会是房地产项目的内部因素，具体包括：宏观环境变化；新产品；新市场；新需求；竞争对手失误等。

（）3、威胁是房地产项目的外部因素，具体包括：新的竞争对手；替代产品增多；市场紧缩；行业政策变化；经济衰退；客户偏好改变；突发事件等。

（）主观题：1、运用SWOT分析法进行个人分析，通过认识自己的优点和弱点，分析你的竞争优势在哪里?。

线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第一节矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵A3 2，B23， C 3 3，下列运算正确的是[B]（ A） AC（ B） ABC（ C） AB－ BC（ D） AC+BC2．设C (1, 0 ,0 ,1)，A E C T C ， B E 2C T C ，则AB[ B ] 22（ A）E C T C（ B）E（C）E（ D）03．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是[ B]（ A）A A T（B）A A T（ C）AA T（ D）A T A二、填空题：1642011651．282342112412124321141387 2．设A 2 1 2 1， B 2 1 2 1，则 2A 3B2525 123401012165 4317353．1232657014913121400126784．13413120561402三、计算题：111设 A111，4111123B124，求 3AB2A 及 A T B0511111231113AB 2 A 3 111124 2 1111110511110582223 0562222902222132221720 ;4292111123058由 A对称，A T A，则 A TB AB11112405 6 .111051290线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题1．设A是 n 阶矩阵A的伴随矩阵，则[B]（ A）AA A 1（ B）An 1（ C）( A)n A（ D）( A )0 A2．设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则[C]（ A） A+B 是 n 阶可逆矩阵（ B）A+B 是 n 阶不可逆矩阵（ C）AB 是 n 阶可逆矩阵（ D）| A+B| = | A|+| B|3．设 A 是 n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是（ A）A A（B）A A（C）A n A（D）A [ C] n A4．设 A， B， C 是 n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有[ B]（ A） CBA = E（B）BCA = E（C）BAC = E（D）ACB = E5．设 n 阶矩阵 A，B， C，满足 ABAC = E，则[ A]（ A ） A T B T A T C T E （B ） A 2 B 2 A 2 C 2E（C ） BA 2CE （ D ） CA 2 B E二、填空题：1121A ，其中 B21．已知 ABB，则 A2 11122．设2 54 6，则 X =2 13 1 X21 0433．设 A ， B 均是 n 阶矩阵， A2 ， B3 ，则 2 A B14n64．设矩阵 A 满足 A 2A4E0 ，则 ( A E) 11 ( A 2E)2三、计算与证明题：1． 设方阵 A 满足 A 2A 2E 0 ，证明 A 及 A2E 都可逆，并求 A 1和 ( A 2E ) 1A 2A 2 E 0A( A E ) 2 E A(A2 E ) EA 可逆，且 A 1AE ;2A 2 A 2E 0A( A 2E) 3A 2E 0A( A 2E) 3( A 2E) 4E 0( A 3E )( A 2E) 4E ( A3E)( A 2E)E4A可逆，且 (A 2E)1A 3E41 2 12． 设 A3 4 2 ，求 A 的逆矩阵 A 1541解：设 A(a ij )3 ，则A 114 2 4,A 12( 1)1232 13, A 13( 1)133432,4 15154A21( 1)1221 2, A 22 ( 1)2211 6, A 23 ( 1)2312 14,41 5154A 31( 1) 13210, A 32 ( 1) 3211 1, A 33( 1) 3312 2,4232344 2 0 从而 A *1361 .32 142又由1 212c 11 00 2 1A3 4c 23 212254 1 c 3c1514 614 6A * 21 0则 A 113 31A27216 10 3 33． 设 A1 1 0 且满足 ABA2B ，求 B12 3AB A2B( A 2E) B A2 3 3 0 3 3 11 0 B 1 1 012 11 232 3 3 0 3 311 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 r 1r 22 3 3 03 3 12 11 2 31 2 1 1 2 31 1 0 1 1 0 1 1 01 1 0 r 22r 10 1 3 2 5 3 r 3 r 2 0 13 25 3 r 3 r 11 13 32 2 211 0 11 0110 1 10 r 3 ( 1) 0 1 3 2 5 3 r 23r 3 0 1 01 2 32 0 0 1 1 1 00 011 11 0 0 0 3 3 r 1 r2 0 1 01 2 30 0 111 00 3 3 则 B ( A 2E) 1 A1 2 31 1线性代数练习题第二章矩 阵系专业 班姓名学号第三节（一）矩阵的初等变换一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：1 1 3 4 3 r2 3r 1 1 134 3r 2 4 1 1 3 4 3 3 3 5 4 1 0 0 4 8 8 0 0 1 2 222 3 2 0 r 3 2r 1 00 366 r 33 0 0 1 2 233 4 2 1r43r 1 0 0 5 10 10r45 012 211 34 3 11 023 r 3 r 2 0 0 1 2 2 00 1 2 2 r 4r 2 00 0 0 0 r 1 3r20 0 0 0二、把下列矩阵化为标准形：2 3 1 3 7 1 2 0 2 4 r 2 2r 1 1 2 0 2 4 1 2 0 2 4 23 1 3 7 0 1 1 1 132 83 0 r 1 r232 83 0 r 33r18 8 9 12 13 74 313 74 3 r 4 r 1 05 767122 4 122 4 r3 8r 2 0 1 1 1 1 01 1 1 1 r 45r 2 00 0 1 4 r 3 r40 2 1 20 212 00 0 14r 3 r 4 1 20 0 4120 040 1 1 0 31r 3 01 0 0 2r 2 r 4 r 20 0 2 0 20 0 2 0 2 r 1 2r 420 00 140 141 0 0 0 0 r 21 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 0 0 20 1 0 0 2 0 1 0 0 0r 12r20 2 0 2 1r 3 0 0 1 0 1c52c 2c34c40 1 0 00 00 14 20 0 0 140 0 0 1 0三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵3 2 0 1 0 2 2 1A2 3 211 213 2 0 1 1 0 0 0 1 2 3 2 0 0 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 0 1 0 01 2 3 2 0 0 1 r 1 r 32 0 1 1 0 0 0 03 012 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 11 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 02 2 1 0 1 0 0 01 2 1 0 0 0 1 r 33r14 95 1 0 3 0 r 2 r44 95 1 0 3 0 01210 00 12210 10 01 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 r 3 4r 2 0 12 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 1 r 42r 2 0 01 1 1 0 3 4 r 42r30 01 1 1 0 3 40 0210 10 2 0 00 12 1 6 10123 0 42 11 20120 0 1 1 2 2 r 12r4012 0 2 16 11 r 1 3r 3 0 1 00 01 0 1 r2 r 4 0 0 1 0 1 1 36 r 2 2r 3 0 0 1 0 1 1 36 r 3 r 40 00 1 2 1 6100 12 16101 0 0 0 1 1 24 r 1 2r 2 0 10 0 0 1 0 1 0 01 0 1 1 360 00 12 1 6101 12 4 A10 1 0 1 1 1 3 62 1 6 101 1 1 1 0 1 四、已知0 2 2 X 1 1 0 ，求 X110 1 41 1 1 1 0 11 1 1 10 11 1 1 1 0 1 0 22 1 1 0 r3 r 1 0 2 2 11 0 r 3r 2 0 2 2 1 1 0uuuuuruuuuur11 01 40 2 1 1 1 30 03 0 231 1 0 12 21 111 0 13r 22r3 0 20 1r 310 2 2 1 1 0 123r r30 012 1 uuuuuuur20 1 0 1331 1 01221 01 5 33 26r 210 1 0111 r 1 r2 0 1 0 111226uuuuur26uuuuur220 0 1 010 0 1 013 31 5 32 6故 X1 1 12 62 13线性代数练习题第二章矩 阵系专业班姓名学号第三节（二）矩 阵 的 秩一．选择题1．设 A ， B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB = 0，则 A 和 B 的秩[ D]（ A ）必有一个等于零 （ B ）都等于 n（C ）一个小于 n ，一个等于 n（ D ）都不等于 n2．设 mn 矩阵 A 的秩为 s ，则[ C]（ A ） A 的所有 s（ B ）A 的所有 s阶子式不为零－ 1 阶子式不为零（ C ）A 的所有 s +1 阶子式为零（D ）对 A 施行初等行变换变成E s0 0112133．欲使矩阵2s126的秩为2，则s，t满足[ C ] 455t12（ A）s = 3 或t = 4（B）s= 2 或t = 4（ C）s = 3 且t = 4（D）s = 2 且t = 44．设A是m n 矩阵，B是 n m 矩阵，则（ A）当m n 时，必有行列式| AB |0（ B）当（ C）当n m 时，必有行列式| AB |0（ D）当[ B ] m n 时，必有行列式| AB |0n m 时，必有行列式| AB |0a11a12a13a21a22a230105．设Aa21a22a23， Ba11a12a13， P1100，a31a32a33a31a11a32a12a33a13001100P2010，则必有 B[ C ] 101（ A）AP1P2（B）AP2P1（ C）P1P2A（ D）P2P1A二．填空题：31021．设A1 1 2 1 ，则 R( A)213441212．已知A 23a2应满足a=-1 或 3 1a的秩为 2，则 a22a21三、计算题：218371．设A230753258，求 R( A) 。

线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号综 合 练 习一．选择题1．设n 阶矩阵A ，B 是可交换的，即AB = BA ，则不正确的结论是 [ B ]（A ）当A ，B 是对称矩阵时，AB 是对称矩阵 （B ）当A ，B 是反对称矩阵时，AB 是反对称矩阵（C ）2222)(B AB A B A ++=+ （D ）22))((B A B A B A -=-+2．方阵A 可逆的充要条件是 [ B ]（A ）A ≠ 0 （B ）| A | ≠ 0 （C ）A * ≠ 0 （D ）| A * | ＞03．设n 阶矩阵A ，B ，C 和D 满足E ABCD =，则=-1)(CB [ A ]（A ）CDADAB （B ）DA （C ）AD （D ）DABCDA 注：因E ABCD =，所以，E CDAB AB CD ==))((，所以CDA B =-1同理E DABC =，DAB C =-1，所以=-1)(CB CDADAB C B =--11二．填空题：1．已知二阶矩阵M 的伴随矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4221*M，则=M 4221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭注:二阶矩阵的用”二调 “2．若A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121106223211043a 可逆，则a 为 6a ≠- 三．计算题与证明题：1． 已知)3,2,1(=α，)3/1,2/1,1(=β，设βαT A =，求n A解： 1()()...()()n T T T T T T T n A αβαβαβαβαβαβαβ-==T βα＝1(1,1/2,1/3)233⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以111133132(1,1/2,1/3)311/21/33212/333/21n T n n T n n A αβαβ----==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101010112A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=020100301B ，A ，B 与X 满足06*1*=++-BA XA AXA ，求X解：||30A ≠＝所以A 可逆*111*1*1|||||||||606060|||||6E A X A X AB A A X X A B A X X B A A A AA A A A A A A A AB -----∴++=++=+++== 由得右乘（）X ＝－得||3A ＝所以2E 2E A BX A B +=-+-1（）X ＝－（）4 1 12E 0 3 0-1 0 39 -3 -32E 0 13 03 -1 12A A ⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭-1（）=1（）=39-9 6 -24 0 0 -13-3 -24 -8⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1x=393．设n 阶矩阵A 满足062=--E A A ，试证：（1）A 与A －E 都可逆，并求它们的逆矩阵； （2）A + 2E 和A －3E 不同时可逆 证明：（1）11()6|||()||6|06)6A A E EA A E E A EA A AA E A E ---=-=≠-=--=可逆可逆( (2) 因O E A A =--62，所以（A + 2E ）(A －3E )= O两边取行列式|（A + 2E ）||(A －3E )|=0,所以|（A + 2E ）|=0或|(A －3E )|=0即A + 2E 不可逆或A －3E 不可逆即A + 2E 和A －3E 不同时可逆。

第二章--矩阵及其运算-试题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章 矩阵及其运算目标测试题一、填空题：1. 设A 为三阶方阵，且||3=A ，则2-A*1-= TA =2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3121A ，12B 01-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则32A B -= ，AB = 1A B -= 3. 已知1211A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，1111B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则det()BA = *A =________()1*A -= 4.设矩阵A 的逆矩阵11234A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则矩阵A = ，矩阵A （是或不是）奇异矩阵5.设()diag 21,3,=-A ，2 A =________，1A -=_________A =6.()=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--021*******,1E ()=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--）（21021110321E 7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300041003A ，则1(2)A E --=8.设A 是43⨯阶矩阵，若将A 的第3行2倍，再将所得矩阵第1列的2-倍加到第4列得到矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=204244013101B ，则=A9.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100210000120025A ，则=-1A A = 10. 已知A 为3阶方阵，且21=A ，则=-*-A A 2)3(111.矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--201000002310的秩是 ；已知2103231040000000A -⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则 R （A ）= 12.若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 21330321的秩为2，则=a13.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1212c c r r ↔+ 14.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0211231-11化为行最简形矩阵为15.设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k kA 111111111111，(1)若3)(=A R ，则=k (2)若1)(=A R ，则=k 二、选择题1.设n 阶矩阵A,B,C 满足ABC=E ，则正确的是（ ）A ． =ACB E B ． =CBA EC ． =BAC ED ．=BCA E 2. 设A 是34⨯矩阵，B 是35⨯矩阵，如果T AC B 有意义，则C 是（）矩阵 A ． 34⨯ B ．35⨯ C ．53⨯ D ．54⨯3. 设A ，B ，C 均为n 阶矩阵，则下列矩阵的运算中不成立．．．的是（ ） A.()T T T A B A B +=+B. =AB B AC. ()+=+A B C BA CAD. ()T T T AB B A =4. 设A 是方阵，若AC AB =，则必有 （ ）A.0≠A 时C B =B.C B ≠时0=AC.C B =时0≠AD.0≠A 时C B = 5. 设A,B 为n 阶矩阵，λ为实数，下列命题不正确的是 （ ） A.111()AB B A ---= B.()T T T AB B A = C.AB BA = D.A A λλ=6.矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100051003011是（ ）A ．行阶梯矩阵B ．行最简形矩阵C ．标准形矩阵D ．上三角矩阵7.矩阵A 在（ ）时，其秩将被改变。

第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m⨯n型矩阵。

例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8 是一个4⨯5矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。

元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。

两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。

2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。

n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。

下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。

（1）A是正交矩阵⇔A T=A-1 （2）A是正交矩阵⇔2A=1阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足:①如果它有零行，则都出现在下面。

②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。

矩阵的测试题及答案一、选择题1. 矩阵A和矩阵B相乘，结果为矩阵C，若矩阵A是3x2矩阵，矩阵B是2x4矩阵，矩阵C的维度是：A. 3x2B. 3x4C. 2x4D. 4x3答案：B2. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [2 0; 0 2]D. [0 1; 1 0]答案：C3. 矩阵的转置操作会改变矩阵的：A. 行数B. 列数C. 行列式D. 秩答案：B二、填空题4. 若矩阵A的行列式为3，矩阵B是A的伴随矩阵，则矩阵B的行列式为______。

答案：95. 对于任意矩阵A，其逆矩阵A^-1与A的乘积结果是______。

答案：单位矩阵I三、简答题6. 解释什么是矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3x3矩阵的特征值和特征向量的计算方法。

答案：矩阵的特征值是指能使得线性方程组(A - λI)v = 0有非零解的标量λ，其中A是给定的矩阵，I是单位矩阵，v是非零向量，称为对应于特征值λ的特征向量。

对于一个3x3矩阵A，计算其特征值通常需要求解特征多项式det(A - λI) = 0，得到特征值λ后，将λ代入(A - λI)v = 0，求解线性方程组得到特征向量v。

四、计算题7. 给定两个矩阵A和B，其中A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算矩阵A和B的和以及A和B的乘积。

答案：矩阵A和B的和为 [6 8; 10 12]，矩阵A和B的乘积为[19 22; 43 50]。

8. 若矩阵C = [1 0; 0 1]，求矩阵C的100次幂。

答案：矩阵C的100次幂仍然是 [1 0; 0 1]，因为C是单位矩阵，其任何次幂都是其自身。

五、论述题9. 讨论矩阵的秩在解决线性方程组中的应用，并举例说明。

答案：矩阵的秩是指矩阵中线性独立行或列的最大数目。

在线性方程组中，系数矩阵的秩可以用来判断方程组的解的情况。

如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的数量，则方程组有唯一解；如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组无解；如果系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩，则方程组有无穷多解。