北京市海淀进修实验学校2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

2016-2017学年度第一学期高二数学期中（文）试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上．） 1．直线2y x =+的倾斜角是（ ）． A ．π6B ．π4C ．2π3D ．3π4【答案】B【解析】设倾斜角为α，直角的斜率为1， 所以：tan 1α=，所以π4α=， 故选B ．2．已知l 、m 、n 是空间中不同的三条直线，则下列结论中正确的是（ ）．A ．若m l ⊥，n l ⊥，则m n ⊥B ．若m l ⊥，n l ⊥，则m n ∥C ．若m l ⊥，n l ∥，则m n ⊥D ．若m l ⊥，n l ∥，则m n ∥【答案】C【解析】若m l ⊥，n l ⊥，则m 与n 相交、平行或异面， 所以A 和B 都错误；若m l ⊥，n l ∥，则m n ⊥， 故C 正确，D 错误． 综上，故选C ．3．如果直线1:260l ax y ++=与直线2:(1)30l x a y +-+=垂直，那么a 等于（ ）．A ．2B ．1-C ．2或1-D ．23【答案】D【解析】∵直线1:260l ax y ++=和直线2:(1)30l x a y +-+=垂直， ∴2(1)0a a +-=， 解得：23a =， 故选D ．4．若一个正三棱锥的正（主）视图如图所示，则其体积等于（ ）．211ABCD．【答案】C【解析】由正视图可知：正三棱锥的底面边长为2，高为2，所以正三棱锥的体积：2112233V Sh ==⨯=故选C ．5．已知两条平行线方程为3250x y --=与6430x y -+=，则它们间距离为（ ）．ABCD【答案】C【解析】将3250x y --=化为64100x y --=，则两平行线间的距离d ==， 故选C ．6．一条光线沿直线220x y -+=照射到y 轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）．A ．220x y +-=B ．220x y ++=C ．220x y ++=D ．220x y +-=【答案】A【解析】直线220x y -+=与x ，y 轴分别相交于点(1,0)P -，(0,2)Q ， 点P 关于y 轴的对称点(1,0)P '．∴光线沿直线220x y -+=照射到y 轴后反射， 则反射光线所在的直线即为P Q '所在的直线，直线方程为112x y+=， 即220x y +-=，故选A ．7．在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，点D 、E 分别是棱AB 、1BB 的中点，若1DE EC ⊥，则侧棱1AA 的长为（ ）．D E A B CC 1B 1A 1A ．1B ．2CD．【答案】B【解析】A 1D 1B 1C 1CBA ED取11A B 的中点1D ，连接1DD ，11C D ，1DC ， 设侧棱1AA 的长为2x ，则根据题意可得：22224142x x x ⎛+++=+ ⎝⎭， 解得1x =，22x =， 即12AA =， 故选B ．8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）．1AA ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】设正方体的棱长为3，计算得113PA PC PD ===，1PA PC PB ===PB 1PD =所以P 到各顶点的距离的不同取值有4个，故选B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸中．） 9．经过点(1,1)A ，且与直线:3210l x y -+=平行的直线方程为__________． 【答案】3210x y --=【解析】设经过点(1,1)A ，且与直线:3210l x y -+=平行的直线方程为320x y c -+=， 把点(1,1)A 代入，得320c -+=， 解得：1c =-，故所求直线方程为：3210x y --=．10．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为__________．【解析】设圆锥的母线长为l ，∵2ππS r ==底，【注意有文字】∴π2πS rl ==侧，【注意有文字】 ∴2l =，∴圆锥的高h =∴圆锥的体积11π33V S h ==⨯底．【注意有文字】11．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个面的面积是__________．俯视图左视图主视图【答案】6【解析】DA B C345由三视图可知，该几何体如图所示，且5AB =，3BC =，4BD =，∴145102ABD S =⨯⨯=△，1357.52ABC S =⨯⨯=△，13462BCD S =⨯⨯=△，且AD，AC 5CD =， ∴ACD BCD S S >△△，故该三棱锥最小的一个面面积是6．12．在三棱台111ABC A B C -中，112A B AB =，点E 、F 分别是棱11B C 、11A B 的中点，则在三棱台的各棱所在的直线中，与平面ACEF 平行的有__________． 【答案】11AC ，1BB【解析】C 1B 1A 1ABCEF∵点E 、F 分别是11B C ，11A B 的中点， ∴11EF A C ∥，又EF ⊂平面ACEF ，11AC ⊄平面ACEF ， ∴11AC ∥平面ACEF ，∵11AB A B ∥，112A B AB =，11112FB A B =， ∴1AB FB ∥，∴四边形1ABB F 是平行四边形，∴1AF BB ∥，又AF ⊂平面ACEF ，1BB ⊄平面ACEF ， ∴1BB ∥平面ACEF ．故在三棱台各棱所在直线中，与平面ACEF 平行的有：11AC ，1BB ．13．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大值时，m 的值为__________． 【答案】1-【解析】直线120mx y m -+-=可化为1(2)y m x -=-， 由点斜式方程可知直线恒过定点(2,1)，且斜率为m ，结合图象可知当PQ 与直线120mx y m -+-=垂直时，点到直线距离最大，此时，21132m -⋅=--， 解得：1m =-．14．若存在实数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对定义域内的任意x 均满足：[][]()()()()0f x k x b g x k x b -+-+≤，且存在1x 使得11()()0f x kx b -+=，存在2x 使得22()()0g x kx b -+=，则称直线:l y kx b =+为函数()f x 和()g x 的“分界线”．在下列说法中正确的是__________（写出所有正确命题的编号）． ①任意两个一次函数最多存在一条“分界线”； ②“分界线”存在的两个函数的图象最多只有两个交点； ③2()2f x x x =-与2()4g x x =-+的“分界线”是2y x =-+；④2()f x x =与2()(1)g x x =--的“分界线”是0y =或12y x =-． 【答案】③【解析】①项，任意两个一次函数相交时，过交点的直线有无数条，故任意两个一次函数存在无数条分界线，故①错误；②项，当()(1)(1)1f x x x x =-++，()(1)(1)1g x x x x =--++时，满足1y =是()f x 和()g x 的分界线，此时()f x 与()g x 有3个交点，故②错误；③项，由2224x x x -=-+得220x x --=，解得：2x =或1x =-，此时，(1,3)A -，(2,0)B ，过AB 的直线为2y x =-+， 则2()2f x x x =-与2()4g x x =-+的“分界线”是2y x =-+， 故③正确；④项，作出()f x ，()g x 和0y =和12y x =-的图象，由图象知12y x =-与()f x 和()g x 没有交点，不满足条件11()()0f x kx b -+=和22()()0g x kx b -+=， 故④错误．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 15．在平面直角坐标系xOy 中，ABC △的顶点坐标分别为(2,3)A ，(1,3)B -，(3,1)C --． （I ）求BC 边的中线所在直线的方程．（II ）求BC 边的高，并求这条高所在直线的方程． 【答案】见解析【解析】解（I ）由中点坐标公式可知，D 点坐标为(1,2)--， ∴BC 边中线所在的直线方程斜率为：3(2)52(1)3AD k --==--，∴BC 边中线所在直线方程为：52(1)3y x +=+，即5310x y --=．（II ）∵1(3)1312BC k ---==---，∴BC 边的高线所在直线的斜率2k =，∴BC 边的高所在直线方程为：32(2)y x -=-，即210x y --=．∵点(2,3)A 到:250BC x y ++=的距离d = ∴BCBC 边高所在直线方程为：210x y --=．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥．E 和F 分别是CD 和PC 的中点．D A BCEFP求证：（I ）PA ⊥底面ABCD ．（II ）平面BEF ⊥平面PCD ． 【答案】见解析【解析】（I ）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =， 且PA AD ⊥，PA ⊂平面PAD ， ∴PA ⊥底面ABCD ．（II ）证明：∵AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点，D A BCE F P∴AB DE ∥，∴ABED 为平行四边形， ∴AD BE ∥，又∵AB AD ⊥，∴BE CD ⊥，AD CD ⊥， 由（1）知，PA ⊥底面ABCD ， ∴CD PA ⊥， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD PD ⊥，∵E ，F 分别是CD 和PC 的中点， ∴PD EF ∥， ∴CD EF ⊥，∴CD ⊥平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．17．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11AC 与11B D 交点，已知11AA AB ==，60BAD ∠=︒． （I ）求证：11AC ⊥平面11B BDD ．（II ）在线段11AC 上是否存在一点P ，使得PA ∥平面1BC D ，如果存在，求11PA PC 的值，如果不存在，请说明理由．（III ）设点M 在1BC D △内（含边界），且11OM B D ⊥，求所有满足条件的点M 构成的图形，并求OM 的最小值．DABCOC 1D 1B 1A 1【答案】见解析【解析】A 1B 1D 1C 1OCBAD（I ）证明：∵1AA ⊥底面ABCD ， ∴1BB ⊥底面1111A B C D ， 又11AC ⊂平面1111A B C D ， ∴111BB AC ⊥， ∵1111A B C D 为菱形， ∴1111AC B D ⊥， 而1111BB B D B = ， ∴11AC ⊥平面11B BDD ．（II ）存在点P ，当P 是11AC 中点，即111PA PC =时，PA ∥平面1BC D ． 证明：连接AC ，交BD 于点E ，连接1C E ，则E 是AC 中点， ∵11AC AC ∥，且O ，E 分别是11AC ，AC 的中点， ∴1AOC E 是平行四边形， ∴1AO C E ∥，又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ， ∴AO ∥平面11BC D ，∴当点P 与点O 重合时，PA ∥平面11BC P ， 此时，111PA PC =． （III ）在1BC D △内，满足11OM B D ⊥的点构成的图形是线段1C E ，包括端点， 连接DE ，则BD OE ⊥， ∵11BD B D ∥，∴要使11OM B D ⊥，只需OM BD ⊥，从而需ME BD ⊥，又在1BC D △中，11C D C B =， 又E 为BD 中点， ∴1BD C E ⊥，故M 点一定在线段1C E 上， 当1OM C E ⊥时，OM 取最小值． 在直角三角形1OC E 中，1OE =，1OC =1C E =所以1min 1OC OE OM C E ⋅=。

2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合P={x|x2﹣x≤0}，M={0，1，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）下列函数中为偶函数的是（）A．y= B．y=lg|x|C．y=（x﹣1）2 D．y=2x3．（5分）在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣4．（5分）数列{a n}的前n项和S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1的值为（）A．0 B．1 C．3 D．55．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）=cos2x B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）的图象关于直线x=0对称D．f（x）的值域为[﹣，]6．（5分）“x=0”是“sinx=﹣x”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足（）A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞18．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）函数f（x）=的定义域为．10．（5分）若角α的终边过点（1，﹣2），则cos（α+）=．11．（5分）若等差数列{a n}满足a1=﹣4，a3+a9=a10﹣a8，则a n=．12．（5分）已知向量=（1，0），点A（4，4），点B为直线y=2x上一个动点．若∥，则点B的坐标为．13．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象重合，则ω的最小值为．14．（5分）对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），均有（t为常数），则称数列{a n}具有性质P（t）（1）若数列{a n}的通项公式为a n=n2，具有性质P（t），则t的最大值为（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，具有性质P（7），则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a3的值；（Ⅱ）若{a n}的前n项和为S n，求证＜2．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，求a的取值范围．19．（14分）已知数列{a n}的各项均不为0，其前n和为S n，且满足a1=a，2S n=a n a n+1．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）求{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a=﹣9，求S n的最小值．20．（14分）已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1，[﹣1.2]=2，[1]=1．对于函数f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）已知f（x）=x+，请写出a的一个值，使得f（x）为Ω函数，并给出证明；（Ⅲ）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合P={x|x2﹣x≤0}，M={0，1，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即P={x|0≤x≤1}，∵M={0，1，3，4}，∴P∩M={0，1}，则集合P∩M中元素的个数为2，故选：B．2．（5分）下列函数中为偶函数的是（）A．y= B．y=lg|x|C．y=（x﹣1）2 D．y=2x【解答】解：根据奇偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D非奇非偶．故选：B．3．（5分）在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【解答】解：∠A=60°，||=2，||=1，则•=||•||COS60°=2×1×=1故选：A．4．（5分）数列{a n}的前n项和S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1的值为（）A．0 B．1 C．3 D．5=2n﹣1（n≥2），【解答】解：∵S n﹣S n﹣1∴S2﹣S1=22﹣1=3，又S2=3，∴S1=0，则a1=0．故选：A．5．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）=cos2x B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）的图象关于直线x=0对称D．f（x）的值域为[﹣，]【解答】解：由f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x，故A 正确；由周期公式可得f（x）的最小正周期为：T=，故B正确；由利用余弦函数的图象可知f（x）=cos2x为偶函数，故C正确；由余弦函数的性质可得f（x）=cos2x的值域为[﹣1，1]，故D错误；故选：D．6．（5分）“x=0”是“sinx=﹣x”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：x=0时：sinx=sin0=0，是充分条件，而由sinx=﹣x，即函数y=sinx和y=﹣x，在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=﹣x的草图，由图得交点（0，0）推出x=0，是必要条件，故选：C．7．（5分）如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足（）A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1【解答】解：由图象可知，函数均为减函数，所以0＜a＜1，0＜b＜1，因为点O为坐标原点，点A（1，1），所以直线OA为y=x，因为y=a x经过点M，则它的反函数y=log a x也经过点M，又因为log b x（b＞0，且b≠1）的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质，∴a＜b，∴a＜b＜1故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【解答】解：∵f（x）﹣（ax2﹣x+1）=0，∴f（x）+x﹣1=ax2，而f（x）+x﹣1=，作函数y=f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象如下，，结合选项可知，实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）函数f（x）=的定义域为[1，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）=，∴2x﹣2≥0，即2x≥2；解得x≥1，∴f（x）的定义域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．10．（5分）若角α的终边过点（1，﹣2），则cos（α+）=．【解答】解：角α的终边过点（1，﹣2），则cos（α+）=﹣sinα=﹣=，故答案为：．11．（5分）若等差数列{a n}满足a1=﹣4，a3+a9=a10﹣a8，则a n=n﹣5．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a3+a9=a10﹣a8，∴﹣4+2d﹣4+8d=﹣4+9d﹣（﹣4+7d），解得d=1∴a n=﹣4+n﹣1=n﹣5故答案为：n﹣512．（5分）已知向量=（1，0），点A（4，4），点B为直线y=2x上一个动点．若∥，则点B的坐标为（2，4）．【解答】解：设B（x，2x），=（x﹣4，2x﹣4）．∵∥，∴0﹣（2x﹣4）=0，解得x=2，∴B（2，4），故答案为：（2，4）．13．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象重合，则ω的最小值为6．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），∵把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x+）+φ]=sin （ωx++φ），∴φ=++φ+2kπ．即ω=﹣6k，k∈z，∵ω＞0，∴ω的最小值为：6故答案为：614．（5分）对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），均有（t为常数），则称数列{a n}具有性质P（t）（1）若数列{a n}的通项公式为a n=n2，具有性质P（t），则t的最大值为3（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，具有性质P（7），则实数a的取值范围是a≥8．【解答】解：（1）若数列{a n}的通项公式为a n=n2，具有性质P（t），则==m+n，由得m+n≥t，∵∀m，n∈N*（m≠n），∴当m+n=1+2时，t≤3，则t的最大值为3．（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，具有性质P（7），则≥7恒成立，即==m+n+≥7，即当m=1，n=2时，=m+n+=1+2+≥7，即≥4则a≥8．故答案为：3，a≥8三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a3的值；（Ⅱ）若{a n}的前n项和为S n，求证＜2．【解答】（I）解：∵等比数列{a n}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．∴4q2=q4，解得q=2．∴a3=4．（II）证明：a n=2n﹣1，S n==2n﹣1，∴﹣2=﹣2=2﹣﹣2＜0，∴＜2．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．所以f（）=sin（2×﹣）+cos（2×﹣）===﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）因为f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．所以f（x）=2（sin（2x﹣）+cos（2x﹣））=2sin（2x﹣+）=2sin2x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以周期T==π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）令，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）解得，k∈Z．所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为cos∠ADB=，∠ADB∈（0，π），所以sin∠ADB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）根据正弦定理，有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）代入AB=8，∠A=．解得BD=7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理cos∠C=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）代入BC=3，CD=5，得cos∠C=﹣，∠C∈（0，π）所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）所以=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（0）=1，所以曲线y=f（x）经过点（0，1），又f′（x）=x2+2x+a，曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，所以f′（x）=x2+2x﹣3．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），（1，+∞），单调递减区间为（﹣3，1）；（Ⅱ）因为函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，所以f′（x）≥0对x∈[﹣2，a]成立，只要f′（x）=x2+2x+a在[﹣2，a]上的最小值大于等于0即可．因为函数f′（x）=x2+2x+a≥0的对称轴为x=﹣1，当﹣2≤a≤﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（a），解f′（a）=a2+3a≥0，得a≥0或a≤﹣3，所以此种情形不成立；当a＞﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（﹣1），解f′（﹣1）=1﹣2+a≥0得a≥1，所以a≥1，综上，实数a的取值范围是a≥1．19．（14分）已知数列{a n}的各项均不为0，其前n和为S n，且满足a1=a，2S n=a n a n+1．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）求{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a=﹣9，求S n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=a n a n+1，∴2S1=a1a2，即2a1=a1a2，∵a1=a≠0，∴a2=2．（Ⅱ）∵2S n=a n a n+1，∴当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣1a n，两式相减得到：2a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∵a n≠0，∴a n+1﹣a n﹣1=2，∴数列{a2k﹣1}，{a2k}都是公差为2的等差数列，当n=2k﹣1时，a n=a1+2（k﹣1）=a+2k﹣2=a+n﹣1，当n=2k时，a n=2+2（k﹣1）=2k=n，∴a n=．（Ⅲ）当a=﹣9时，a n=，∵2S n=a n a n+1，∴S n=，∴当n为奇数时，S n的最小值为S5=﹣15；当n为偶数时，S n的最小值为S4=﹣10，所以当n=5时，S n取得最小值为﹣15．20．（14分）已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1，[﹣1.2]=2，[1]=1．对于函数f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）已知f（x）=x+，请写出a的一个值，使得f（x）为Ω函数，并给出证明；（Ⅲ）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2﹣x是Ω函数，g（x）=sinπx不是Ω函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）法一：取k=1，a=∈（1，2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则令[m]=1，m==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）此时f（）=f（[]）=f（1）所以f（x）是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）法二：取k=1，a=∈（0，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则令[m]=﹣1，m=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）此时f（﹣）=f（[﹣]）=f（﹣1），所以f（x）是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（说明：这里实际上有两种方案：方案一：设k∈N•，取a∈（k2，k2+k），令[m]=k，m=，则一定有m﹣[m]=﹣k=∈（0，1），且f（m）=f（[m]），所以f（x）是Ω函数．）方案二：设k∈N•，取a∈（k2﹣k，k2），令[m]=﹣k，m=﹣，则一定有m﹣[m]=﹣﹣（﹣k）=﹣∈（0，1），且f（x）=f（[m]），所以f（x）是Ω函数．）（Ⅲ）T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）=f（0）．假设T＜1，则[T]=0，所以f（[T]）=f（0），矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以必有T≥1，而函数l（x）=x﹣[x]的周期为1，且显然不是Ω函数，综上，T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）。

海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科） 2016.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知圆22(1)=2x y ++，则其圆心和半径分别为( )A ．（1,0),2B ．（-1,0),2 C．（D．（2.抛物线24x y =的焦点到其准线的距离是（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 43.双曲线2214x y -=的离心率为（） ABC4.圆x 2＋y 2－2x =0与圆x 2＋y 2＋4y =0的位置关系是（） A.相离B.外切C.相交D.内切5.已知直线,m n 和平面α，且n α⊂，则“m n ⊥”是“m α⊥”的（） A ．充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知直线l 的方程为20x my +-=，则直线l ( )A ．恒过点(2,0)-且不垂直x 轴B ．恒过点(2,0)-且不垂直y 轴C ．恒过点(2,0)且不垂直x 轴D ．恒过点(2,0)且不垂直y 轴7.已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的取值是（） A ．2B ．2±C ．2-D ．08.已知O 为坐标原点，直线2y =与2240x y Dx y ++-=交于两点,M N ，则MON ∠=（） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o9.已知两平面α,β，两直线m,n ，下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n10.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则点1B 和点P 构成的图形是（）A.三角形B.四边形C.曲边形D.五边形1二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.11.已知命题p ：“R x ∀∈，20x ≥”，则p ⌝：___________________________________.12.已知111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，命题p ：“若12l l ⊥，则121k k =-”的逆否命题是_____________________，原命题p 为____________命题.（填“真”或“假”）13.双曲线2214x y -=的实轴长为__________，渐近线的方程为________________.14.已知12,F F 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，若3(1,)2P 在椭圆上，且满足12||||4PF PF +=，则椭圆C 的方程为________________.15.已知点(5,0)A ，若抛物线24y x =上的点(,)P m n 到直线1x =-的距离与到点A 的距离相等，则m =_______________.16.已知四棱锥的三视图（如图所示），则该四棱锥的体积为__________，在该四棱锥的四个侧面中，面积最小的侧面面积是________.三、解答题:本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小题共10分）已知圆M :222()(4)(>0)x a y r r -+-=过点(0,0),(6,0)O A ． （Ⅰ）求,a r 的值；（Ⅱ）若圆M 截直线430x y m ++=所得弦的弦长为6，求m 的值.18.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AC CB ==，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点. （Ⅰ）求证：BC ⊥1A C ；（Ⅱ）求证：1BC //平面1A CE ；（Ⅲ）若13AA =，BP a =，且AP ⊥1A C ，写出a 的值（不需写过程）.19.（本小题共12分）已知直线:l y x n =+与椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-交于两点,B C . （Ⅰ）若椭圆G 的焦点在y 轴上，求m 的取值范围；（Ⅱ）若(0,1)A 在椭圆上，且以BC 为直径的圆过点A ，求直线l 的方程.1A()主正视图俯视图()侧左视图海淀区高二年级第一学期期末练习参考答案数学（文科）2016.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分，共40分.DBACB DADCB二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.11.x ∃∈R ，20x <12.若121k k ≠-,则1l 与2l 不垂直真 13.4 20x y ±=14.22143x y +=15.3 16.2 1（说明：一题两空的题目，每空2分）三、解答题:本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (说明：对于不同与答案的解法，对照答案相应步骤给分即可)17.解：（Ⅰ）由已知可得222216,(6)16,a r a r ⎧+=⎨-+=⎩-----------------------------------------------------2分 解得3,5a r ==.-----------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）结论可知圆M 的方程为22(3)(4)25x y -+-=.--------------------5分 圆心到直线430x y m ++=的距离为|24|5m +,--------------------------------7分所以|24|5m +，----------------------------------------------------------9分 所以4m =-或44m =-.-------------------------------------------------------------10分18.证明：（Ⅰ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CB ⊥.-----------------------------------2分 因为AC CB ⊥，所以CB ⊥平面11AA C C .------------------------4分 所以1CB AC ⊥.------------------------------------5分（Ⅱ）连接1AC 与1A C 交于点F ，连接EF ，---7分由三棱柱性质可得四边形11AA C C 是平行四边形， 所以点F 是1AC 的中点. 因为E 为AB 中点，1A所以在1AC B ∆中1//EF C B .-----------------------------------------------------------8分 因为EF ⊂平面1ACE ,1BC ⊄平面1ACE ,-----------------------------------------10分 所以1BC //平面1A CE .----------------------------------------------------------------11分 （Ⅲ）43a =. ---------------------------------------------------------------------------14分 19.解：（Ⅰ）由椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-可得2213x y m m +=-，由椭圆的焦点在y 轴上，可得0,30,3.m m m m >⎧⎪->⎨⎪<-⎩------------------------3分 解得302m <<,所以m 的取值范围是302m <<.-------------------------4分（Ⅱ）因为(0,1)A 在椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-上，所以(3)m m m =-， 所以2m =或0m =（舍），所以椭圆:G 2222x y +=.---------------------------------------------------------5分 设1122(,),(,)B x y C x y ，由22,22,y x n x y =+⎧⎨+=⎩消y 并化简整理得2234220x nx n ++-=， 21212422,33n n x x x x --+==，----------------------------------------------------6分 因为以BC 为直径的圆过点A ，所以AB AC ⊥,------------------------------------------------------------------------7分所以AB AC ⋅=u u u r u u u r0.因为AB AC ⋅=u u u r u u u r11221212(,1)(,1)(1)(1)x y x y x x x n x n -⋅-=++-+-212122(1)()(1)x x n x x n =+-++-22444(1)(1)033n n n n --=-+-=，---------------------------------------------9分所以13n =-或1n =.----------------------------------------------------------------10分经检验，13n =-或1n =都满足0∆>，----------------------------------------11分所以所求直线l 的方程为13y x =-或1y x =+.-------------------------------12分。

2012—2013学年度第一学期期中练习 高二数学 (理科) 考生须 知1、本试卷共6页，包括三个大题，20小题，满分为100分。

附加一道选做题,满分10分(不计入总分).考试时间120分钟. 2、答题前，考生应认真在密封线外填写班级、姓名和学号 3、考试结束后,上交机读卡和答题卷选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在等比数列中，若，，则的值为 （ ） A． B． C． D． 2. 已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差是 （ ） A． B．1 C．2 D．3 3 .已知△ABC中，,,,那么角A等于 （ ）A.135°B.90°C.45°D.30° 4.若，则 （ ） A． B． C． D． 5. 顶点为原点，焦点为的抛物线方程是 （ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的焦点坐标是 （ ） A． B． C． D．7.在椭圆中, 为其左、右焦点，以为直径的圆与椭圆交于四个点，若,恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D. 8．已知数列的通项公式为，那么满足的整数（ ）A.有3个B.有2个C.有1个D.不存在 二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. 9．抛物线上横坐标为2的点到其焦点的距离为________ 10.在中，，则= 11.渐近线为且过点的双曲线的标准方程是_______ ____ 12. 已知递增的等差数列满足，则 13. 已知数列对任意的满足且,那么 . 14.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是 ，其通项公式为. 三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分7分) 在中，角A，B，C的对边分别为. （1）求的值； （2）求的面积. 16. (本题满分7分)等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 （1）求{}的公比； （2）求－＝3，求 17．的前项和为,且（）． （1）证明:数列是等比数列； （2）若数列满足，且，求数列的通项公式． 18. (本题满分7分)已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点. (1) 求线段的长；(2)求的面积. 19. (本题满分7分)已知物线C： x 2=2py (p>0)的焦点F在直线上. （1）求物线C的方程； （2）设直线l经过点A（-1，-2），且与物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程. 20. (本题满分8分)给出下面的数表序列： 其中表有行，第1行的个数是，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。

2015—2016学年度第一学期期中练习高二数学 2015.11一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把答案填在答题纸上的表格内．1．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．梯形一定是平面图形C ．四边形一定是平面图形D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2.已知命题:p “0a ∀>，有e 1a≥成立”，则p ⌝为（ ）A.0a ∃>，有e 1a<成立 B. 0a ∃≤，有e 1a≥成立 C. 0a ∃≤，有e 1a ≤成立 D. 0a ∃>，有e 1a≤成立3.在正方体1111ABCD A B C D -的棱所在的直线中，与直线AB 垂直的异面直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．4条D ．8条4. 命题p ：22,0x x ax a ∀∈++≥R ；命题q ：若一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()p q ⌝∨ D ．()()p q ⌝∧⌝ 5．已知m ，n 表示两条不同直线，α 表示平面．下列说法正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α6.设直线l ，m ,n 均为直线，其中m ,n 在平面α内, 则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设,,,A B C D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是（ ） 班级 姓名 学号 装订线ABCD（第3题图）A 11C 1D 1俯视图侧（左）视图正（主）视图A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC ⊥ D ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC =8．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是BC 1、BD 的中点，则至少过正方体3个顶点的截面中与EF 平行的截面个数为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 9．高为2的圆柱侧面积为4π，此圆柱的体积为 .10.已知直线b ∥平面α，平面α∥平面β，则直线b 与β的位置关系为 . 11. 命题“如果直线l 垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 垂直于平面α”的否命题是 ;该否命题是 命题．(填“真”或“假”) 12.给定下列命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直； ③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④若两个平面互相垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的序号是 .13.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大值是 .14.如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ,1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段ADSABCDEFA 1B 1C 1D 1上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是个．三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知命题:p 2230m m +-≤成立.命题q ：方程2210x mx -+=有实数根.若p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．16.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点.（1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；CBC 1B 11A班级 姓名 学号 装订线18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，又AD ∥BC ，AD DC ⊥， 且33PD BC AD ===.（1）在下列网格中画出四棱锥P ABCD -的正视图； （2）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（3）求证：棱PB 上存在一点E ，使得AE ∥平面PCD ，并求PEEB的值.DCBAP2015—2016学年度第一学期期中练习 答题纸高二数学一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. ； 10. ；11. ， ；12. ； 13. ；14. .三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知命题:p 2230m m +-≤成立.命题2:210q x mx -+=方程有实数根.若p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．班级 姓名 学号 装订线16.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点.（1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；CBC 1B 1A 1A18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，又AD ∥BC ，AD DC ⊥， 且33PD BC AD ===.（1）在下列网格中画出四棱锥P ABCD -的正视图；（2）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（3）求证：棱PB 上存在一点E ，使得AE ∥平面PCD ，并求PEEB的值.班级 姓 学号装订线DCBAP2015—2016学年度第一学期期中练习 参考答案高二数学一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项三、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9. 2π ; 10. b ∥β或 b ⊂β；11. 否命题：如果直线l 不垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 不垂直于平面α；真 12.②和④； 13. ； 14.2.三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（9分）已知命题:p 2230m m +-≤成立. 命题q ：方程2210x mx -+=有实数根.若p⌝号 装订线为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围． 解：由p ⌝为假命题，p q ∧为假命题可知，命题p 为真命题，命题q 为假命题………………………………………………2分命题p ：2230m m +-≤可得[3,1]m ∈- ，…………………………………5分命题2:210q x mx -+=方程有实数根，可得(,1][1,)m ∈-∞⋃+∞…………7分 由于q 为假，则(1,1)m ∈-综上，(1,1)m ∈-…………………………………………………………………9分16.（10分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点.（1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO（1）解：作法：延长D 1Q 与DC ，交于点M ，连接BM.得BM 即为面 面D 1BQ 与面ABCD 的交线……………………………………2分 理由如下：由作法可知，1M D Q ∈直线 又1D Q ⊂ 直线面D 1BQM ∴∈面D 1BQ同理可证M ∈面ABCD则M 在面D 1BQ 与面ABCD 的交线上， 又因为B ∈ 面D 1BQ 且B ∈面ABCD,则B 也在面D 1BQ 与面ABCD 的交线上，………………………………4分且面D 1BQ 与面ABCD 有且只有一条交线，则BM 即为所求交线. …………………………………………………5分（2）连接PQ 、BD ，易证四边形P ABQ 为平行四边形AP ∴∥BQ AP ⊂ 面AOPBQ ⊄面AOPBQ ∴∥面AOP …………………………………………8分同理可证1D B ∥面AOP又1=BQ D B B ⋂ ，BQ ⊂面1BQD ，1BD ⊂面1BQDM∴ 面1BQD ∥面AOP …………………………………10分17.（共11分）证明：（Ⅰ）在菱形11BB C C 中，BC ∥11B C . 因为 BC Ë平面11AB C ，11B C Ì平面11AB C ，所以 //BC 平面11AB C . ………………3分 （Ⅱ）连接1BC .在正方形11ABB A 中，1AB BB^. 因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B 平面111BB C C BB =，AB Ì平面11ABB A ， 所以 AB ^平面11BB C C . …………………6分 因为 1B C Ì平面11BB C C ， 所以 1AB B C ^. ………………………………7分 在菱形11BB C C 中，11BC B C ^.因为 1BC Ì平面1ABC ，AB Ì平面1ABC ，1BC AB B =， 所以 1B C ^平面1ABC . ………………………9分 因为 1AC Ì平面1ABC ，所以 1B C ⊥1AC . ………………11分 18.（共14分）解：四棱准P ABCD -的正视图如图所示.（Ⅰ）OEDCBAPCBC 1B 1A 1A………………3分（Ⅱ）证明：因为 PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以 PD AD ⊥. ………………5分 因为 AD DC ⊥，PD CD D = ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD . ………………7分 因为 AD ⊂平面PAD ，所以 平面PAD ⊥平面PCD . ………………8分（Ⅲ）分别延长,CD BA 交于点O ，连接PO ，在棱PB 上取一点E ，使得12PE EB =.下证//AE 平面PCD .………………10分因为 //AD BC ，3BC AD =，所以 13OA AD OB BC ==，即12OA AB =. 所以OA PE AB EB =. 所以 //AE OP . ………………12分因为OP ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以 //AE 平面PCD . ………………14分。

2013—2014学年度第一学期期中练习 高二数学(理科)A 卷考 生 须 知1、本卷共8 页，包括三个大题， 19小题，满分为100分.练习时间90分钟2、答题前，考生应认真在密封线外填写班级、姓名和学号3、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液4、不按以上要求作答的答案无效一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则CB BA CD +-uu r uu r uu u r等于( ） A ．DB uu u rB ．AD uuu rC ．DA uu u rD ．AC uuu r2．下列每对向量具有垂直关系的是（ ）A ．(3,2,3),(1,1,1)-B ．(2,1,3),(6,5,7)--C ．(3,4,0),(0,0,5)D ．(4,0,3),(8,0,6)3．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知AB uu u r ＝a ，AD uuu r＝b ， 1AA uuu r ＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量1BD uuu r等于 ( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c4．已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.05．圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，从A 绕柱面到另一端C 最矩距离是 ( ) A ．42+π B ．4 C ．122+π D ．226．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S 1和S 2则( )A ．S 1＝2S 2B ．S 1＝3S 2C ．S 1＝4S 2D ．S 1＝23S 27．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβ B ．若//l α，l ⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β D ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β8．如图，点O 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，点E 为面11B BCC 的中心，点F 为11B C 的中点，班级 姓名 学号 装订线则空间四边形1D OEF 在该正方体的面上的正投影可能是( )A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③9．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示， 则这个三棱柱的左视图的面积为( ) A ．36 B ．8 C ．38 D ．1210．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的面对角 线1A B 上存在一点P 使得1AP D P +最短， 则1AP D P +的最小值为( ) A ．22+B ． 26+C ． 2D ．13+二、填空题:本大题共5小题,每小题4分，满分20分11．已知向量(0,2,1),(0,4,2)a b ==--r r 则向量,a b r r的关系为_____________.12．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知''''3,2AC B C ==,则AB边上的中线的实际长度为 .13．若空间向量,,a b c r u r r 满足 ||1,||2,||3a b c ===r u r u r ， 0a b b c c a ⋅+⋅+⋅=r r r r r r ，则||a b c ++u r r r= .14．若两点的坐标是(3cos ,3sin ,1),(2cos ,2sin ,1)A B αααα，则AB 的取值范围是_________. 15．如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD —A 1B 1C 1D 1内灌注一些水，固定容器底面一边BC 于桌面上，再将容器倾斜根据倾斜度的不同，有下列命题： （1）水的部分始终呈棱柱形；（2）水面四边形EFGH 的面积不会改变；（3）棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行； （4）当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值。

北京师大附中高中二年级上学期期中考试数学试卷本试卷满分100分。

考试时间为120分钟。

第一部分：学考数学（共76分）一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）1. 某超市有三类食品，其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则n 为（ ） A. 3B. 2C. 5D. 92. 从2件正品、2件次品中随机抽取出两件，则恰好是1件正品、1件次品的概率是（ ） A. 3／4B. 1／4C. 1／2D. 2／33. 口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（ ）A.61B.31 C.21 D.32 4. 有5个大小相同的球，上面分别标有1，2，3，4，5，现任取两个球，两个球序号相邻的概率是（ ） A. 2／5B. 3／5C. 4／5D. 3／105. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个，则互斥但不对立的两个事件是（ ） A. 至少一个白球与都是白球B. 至少一个白球与至少一个红球C. 恰有一个白球与恰有2个白球D. 至少一个白球与都是红球6. 从装有1个白球、2个黑球的盒子中任取两球，则取到的两球均为黑球的概率是（ ） A. 1／4B. 1／2C. 1／3D. 2／37. 下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，分数区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则这500名学生中测试成绩在区间[90，100]中的学生人数是（ ）sA. 60B. 55C. 45D. 508. 某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次是（ ） A. 分层抽样，简单随机抽样 B. 简单随机抽样，分层抽样 C. 分层抽样，系统抽样D. 简单随机抽样，系统抽样9. 如下图，长方形的面积为2，将1000颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有600颗豆子落在阴影部分内，则可以估计图中阴影部分的面积约为A.32 B.54 C.56 D.34 10. 已知由数字1、2、3组成无重复数字的三位数，则该数为偶数的概率为（ ） A. 2／3 B. 1／4 C. 1／3 D. 1／2二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11. 从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）125、124、122、123、126，则该样本方差=2s ________12. 袋中有大小相同的黑球和白球各1个，每次从袋中抽取1个，有放回地随机抽取3次，则至少抽到1个黑球的概率是________13. 在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________14. 调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程为321.0254.0+=∧x y ，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元。

北京师范大学附属实验中学班级___ ___ 姓名__ _____ 学号_______ 成绩___ ____第Ⅰ卷一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是 A ．直线AB α⊂ B ．直线AB α⊄ C ．由线段AB 的长短而定D ．以上都不对2．垂直于同一条直线的两条直线一定A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能 3．已知直线l ∥平面α，P α∈，那么过点P 且平行于l 的直线A ． 只有一条，不在平面α内B ． 只有一条，在平面α内C ． 有两条，不一定都在平面α内D ． 有无数条，不一定都在平面α内 4．若圆柱,圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱,圆锥,球的体积的比为A ． 1:2:3B ． 2：3：4C ． 3:2:4D ．3:1:2 5．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为 A ．072=+-y x B ．012=-+y x C ．250x y --= D ．052=-+y x 6. 平面α与平面β平行的条件可以 A.α内有无穷多条直线与β平行； B. 直线a //α,a //βC. 直线a α⊂,直线b β⊂,且a //β,b //αD. α内的任何直线都与β平行7．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为8．下列命题中错误的是A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 ；10．以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是 ；11．正方体1111ABCD A BC D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为 ； 12. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=︒90，P A ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形；13．如图，E ．F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个正三棱锥，则此三棱锥的体积是 ； 14．如图,空间四边形ABCD 中，E ．F ．G ．H 分别是AB ．BC ．CD ．DA 的中点.① 若AC=BD ， 则四边形EFGH 是 ； ② 若AC BD ⊥，则四边形EFGH 是．AAB12题图 13题图 14题图 三．解答题：（本大题共3小题，共30分）15．求点)2,3(-A 关于直线012:=--y x l 的对称点'A 的坐标16．如图，在四棱锥ABCD P -中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E ，F 分别是AP ．AD 的中点求证：（1）直线EF ∥平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面P AD17.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB =3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA 1⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求1BDBC 的值.16题图 17题图第Ⅱ卷四．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.A18．正六棱台的两底面边长分别为1cm,2cm ,高是1cm ,它的侧面积为 ；19．二面角l αβ--内一点P 到平面βα,和棱l的距离之比为2，则这个二面角的平面角是__________度；20．在棱长为1的正方体上，分别用过其顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ；21．直线l 过原点且平分平行四边形ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为 ；22．圆柱形玻璃杯高8cm ，杯口周长为12cm ，内壁距杯口2cm 的点A 处有一点蜜糖．A 点正对面的外壁（不是A 点的外壁）距杯底2cm 的点B 处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm .（不计杯壁厚度与小虫的尺寸） 23．已知在半径为2的球面上有A ．B ．C ．D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 ； 五．解答题：（本大题共2小题，共20分）.24．一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域.C A25.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ， 112,AA AC AC AB BC ====,且AB BC ⊥,O 为AC 中点. （Ⅰ）证明：1AO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置.2cmB1数学答题纸班级姓名学号分数二．填空题（每小题5分，共30分）9．_________ 10．________________ 11．________________12．_________ 13．________________ 14．①__________②三．解答题15．Array16.A17.北京师范大学附属实验中学班级___ ___ 姓名__ _____ 学号_______ 成绩___ ____ 第Ⅱ卷四．填空题（每小题5分，共30分）18．___________ 19．______________ 20．_______________ 21．____________ _ _ 22．________________ 23．_______________五.解答题:24.A25.1北京师范大学附属实验中学班级___ ___ 姓名__ _____ 学号_______ 成绩___ ____ 第Ⅰ卷一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是 A ．直线AB α⊂ B ．直线AB α⊄ C ．由线段AB 的长短而定D ．以上都不对2．垂直于同一条直线的两条直线一定A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能 3．已知直线l ∥平面α，P α∈，那么过点P 且平行于l 的直线A ． 只有一条，不在平面α内B ． 只有一条，在平面α内C ． 有两条，不一定都在平面α内D ． 有无数条，不一定都在平面α内4．若圆柱．圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱．圆锥．球的体积的比为 A ． 1:2:3 B ． 2：3：4 C ． 3:2:4 D ． 3:1:2 5．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．072=+-y x B ．012=-+y x C ．250x y --= D ．052=-+y x 6. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行7．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为答案：Ｃ8．下列命题中错误的是 ( ) A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B ．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个 C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆 D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形 二．填空题：9. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 50π10．以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是 2y x =- 11．正方体1111ABCD A BC D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为平行 12. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=︒90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形4ABCPF13．如图，E ．F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点， 沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个正三棱锥， 则此三棱锥的体积是 ．3114．空间四边形ABCD 中，E ．F ．G ．H 分别是 AB ．BC ．CD ．DA 的中点. ①若AC=BD ， 则四边形EFGH 是菱形；②若AC BD ⊥，则四边形EFGH 是 矩形 ．12. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 3．三．解答题：15．求点)2,3(-A 关于直线012:=--y x l 的对称点'A 的坐标134'(,)55A -16．如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E ．F 分别是AP ．AD 的中点求证：（1）直线EF ∥平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PADA证明：（1）在△PAD 中，因为E ．F 分别为 AP ，AD 的中点，所以EF//PD.又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以直线EF//平面PCD.（2）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°， 所以△ABD 为正三角形，因为F 是AD 的 中点，所以BF ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD ．又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD.17.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB =3，BC =5.（Ⅰ）求证：AA 1⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求1BDBC 的值.（I ）因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1 ⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 1⊥平面ABC. (II)由（I ）知AA 1 ⊥AC ，AA 1 ⊥AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB ⊥AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ,则B(0，3，0),A 1(0，0，4),B 1(0，3，4),C 1(4，0，4)，设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(，则11100A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即34040y z x -=⎧⎨=⎩，令3z =，则0x =，4y =，所以(0,4,3)n =.同理可得，平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =,所以16cos 25⋅==n m n,m |n ||m |. 由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. (III)设D (,,)x y z 是直线BC1上一点，且1BD BC λ=. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解得4x λ=，33y λ=-，4z λ=.所以(4,33,4)AD λλλ=-.由1·0AD A B =，即9250λ-=.解得925λ=. 因为9[0,1]25∈，所以在线段BC 1上存在点D ， 使得AD ⊥A 1B. 此时，1925BD BC λ==.北京师范大学附属实验中学班级___ ___ 姓名__ _____ 学号_______ 成绩___ ____第Ⅱ卷四．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题目相应位置. 18．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为279cm 219．二面角l αβ--内一点P 到平面βα,和棱l的距离之比为2，则这个二面角的平面角是__________度．90或15020．在棱长为1的正方体上，分别用过其顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是5621．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为 ；23y x =23．已知在半径为2的球面上有A ．B ．C ．D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积24（P144.31）．圆柱形玻璃杯高8cm ，杯口周长为12cm ，内壁距杯口2cm 的点A 处有一点蜜糖．A 点正对面的外壁（不是Ａ点的外壁）距杯底２ｃｍ的点Ｂ处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少ｃｍ？（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）10五．解答题：本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 24．一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域. (10分)24．解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm . 在Rt EOF 中,15,2EF cm OF xcm ==, 3分所以EO =6分于是13V x =10分 依题意函数的定义域为{|010}x x << 12分25（10海淀一模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112,AA AC AC AB BC ====, 1A BCO A 1B 1且AB BC ⊥,O 为AC 中点. （Ⅰ）证明：1AO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置.解：（Ⅰ）证明：因为11A A AC =，且O 为AC 的中点， 所以1AO AC ⊥.………………1分又由题意可知，平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，且1AO ⊂平面11AA C C ， 所以1AO ⊥平面ABC .………………4分（Ⅱ）如图，以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知，112,A A AC AC ===又,AB BC AB BC =⊥1,1,2OB AC ∴== 所以得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0)O A A C C B - 则有：11(0,1,3),(0,1,3),(1,1,0).AC AA AB =-==………………6分设平面1AA B 的一个法向量为(,,)x y z =n，则有 10000AA y x y AB ⎧⎧⋅==⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n ，令1y =，得1,x z =-= 所以(1,1,=-n .………………7分11121cos ,|||A C A C A C ⋅<>==n n |n ………………9分因为直线1A C 与平面1A AB 所成角θ和向量n 与1A C 所成锐角互余，所以sin θ=………………10分 （Ⅲ）设0001(,,),,E x y z BE BC λ==………………11分即000(1,,)(1x y z λ-=-，得00012x y z λλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩1所以(1,2),E λλ=-得(1,2),OE λλ=- ………………12分 令//OE 平面1A AB ，得=0OE ⋅n ， ………………13分即120,λλλ-++-=得1,2λ=即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点.………………14分。

2016-2017学年度第一学期高二数学期中（文）试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上．）1．直线2y x =+的倾斜角是（ ）．A ．π6B ．π4C ．2π3D ．3π4【答案】B 【解析】设倾斜角为α，直角的斜率为1，所以：tan 1α=，所以π4α=， 故选B ．2．已知l 、m 、n 是空间中不同的三条直线，则下列结论中正确的是（ ）． A ．若m l ⊥，n l ⊥，则m n ⊥B ．若m l ⊥，n l ⊥，则m n ∥C ．若m l ⊥，n l ∥，则m n ⊥D ．若m l ⊥，n l ∥，则m n ∥ 【答案】C【解析】若m l ⊥，n l ⊥，则m 与n 相交、平行或异面，所以A 和B 都错误；若m l ⊥，n l ∥，则m n ⊥，故C 正确，D 错误．综上，故选C ．3．如果直线1:260l ax y ++=与直线2:(1)30l x a y +-+=垂直，那么a 等于（ ）． A ．2 B ．1- C ．2或1- D ．23【答案】D【解析】∵直线1:260l ax y ++=和直线2:(1)30l x a y +-+=垂直，∴2(1)0a a +-=， 解得：23a =， 故选D ．4．若一个正三棱锥的正（主）视图如图所示，则其体积等于（ ）． 211 ABCD．【答案】C【解析】由正视图可知：正三棱锥的底面边长为2，高为2，所以正三棱锥的体积：211223343V Sh ==⨯⨯=， 故选C ．5．已知两条平行线方程为3250x y --=与6430x y -+=，则它们间距离为（ ）． ABCD【答案】C【解析】将3250x y --=化为64100x y --=，则两平行线间的距离d ， 故选C ．6．一条光线沿直线220x y -+=照射到y 轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）． A ．220x y +-= B ．220x y ++= C ．220x y ++= D ．220x y +-=【答案】A【解析】直线220x y -+=与x ，y 轴分别相交于点(1,0)P -，(0,2)Q ，点P 关于y 轴的对称点(1,0)P '．∴光线沿直线220x y -+=照射到y 轴后反射，则反射光线所在的直线即为P Q '所在的直线， 直线方程为112x y +=， 即220x y +-=， 故选A ．7．在正三棱柱111ABC ABC -中，2AB =，点D 、E 分别是棱AB 、1BB 的中点，若1DE EC ⊥，则侧棱1AA 的长为（ ）．DEABC C 1B 1A 1 A ．1B ．2 CD．【答案】B【解析】A 1D 1B 1C 1C BAED取11A B 的中点1D ，连接1DD ，11C D ，1DC ，设侧棱1AA 的长为2x ，则根据题意可得：222241422x x x ⎛+++=+⨯ ⎝⎭， 解得1x =，22x =，即12AA =，故选B ．8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）．1AA ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】设正方体的棱长为3，计算得113PA PC PD ===，1PA PC PB ==PB 1PD =所以P 到各顶点的距离的不同取值有4个，故选B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸中．） 9．经过点(1,1)A ，且与直线:3210l x y -+=平行的直线方程为__________．【答案】3210x y --=【解析】设经过点(1,1)A ，且与直线:3210l x y -+=平行的直线方程为320x y c -+=， 把点(1,1)A 代入，得320c -+=，解得：1c =-，故所求直线方程为：3210x y --=．10．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为__________．【解析】设圆锥的母线长为l ，∵2ππS r ==底，【注意有文字】∴π2πS rl ==侧，【注意有文字】∴2l =，∴圆锥的高h ，∴圆锥的体积11π33V S h ==⨯底．【注意有文字】11．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个面的面积是__________．俯视图左视图【答案】6 【解析】D ABC345由三视图可知，该几何体如图所示，且5AB =，3BC =，4BD =，∴145102ABD S =⨯⨯=△，1357.52ABC S =⨯⨯=△，13462BCD S =⨯⨯=△，且AD，AC 5CD =，∴ACD BCD S S >△△，故该三棱锥最小的一个面面积是6．12．在三棱台111ABC ABC -中，112A B AB =，点E 、F 分别是棱11B C 、11A B 的中点，则在三棱台的各棱所在的直线中，与平面ACEF 平行的有__________．【答案】11AC ，1BB 【解析】C 1B 1A 1ABC EF∵点E 、F 分别是11B C ，11A B 的中点，∴11EF AC ∥，又EF ⊂平面ACEF ，11AC ⊄平面ACEF ，∴11AC ∥平面ACEF ， ∵11AB A B ∥，112AB AB =，11112FBA B =， ∴1AB FB ∥，∴四边形1ABB F 是平行四边形，∴1AF BB ∥，又AF ⊂平面ACEF ，1BB ⊄平面ACEF ，∴1BB ∥平面ACEF ．故在三棱台各棱所在直线中，与平面ACEF 平行的有：11AC ，1BB ．13．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大值时，m 的值为__________．【答案】1-【解析】直线120mx y m -+-=可化为1(2)y m x -=-，由点斜式方程可知直线恒过定点(2,1)，且斜率为m ，结合图象可知当PQ 与直线120mx y m -+-=垂直时，点到直线距离最大， 此时，21132m -⋅=--， 解得：1m =-．14．若存在实数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对定义域内的任意x 均满足：[][]()()()()0f x kx b g x kx b -+-+≤，且存在1x 使得11()()0f x kx b -+=，存在2x 使得22()()0g x kx b -+=，则称直线:l y kx b =+为函数()f x 和()g x 的“分界线”．在下列说法中正确的是__________（写出所有正确命题的编号）．①任意两个一次函数最多存在一条“分界线”；②“分界线”存在的两个函数的图象最多只有两个交点；③2()2f x x x =-与2()4g x x =-+的“分界线”是2y x =-+；④2()f x x =与2()(1)g x x =--的“分界线”是0y =或12y x =-． 【答案】③ 【解析】①项，任意两个一次函数相交时，过交点的直线有无数条，故任意两个一次函数存在无数条分界线，故①错误；②项，当()(1)(1)1f x x x x =-++，()(1)(1)1g x x x x =--++时，满足1y =是()f x 和()g x 的分界线，此时()f x 与()g x 有3个交点，故②错误；③项，由2224x x x -=-+得220x x --=，解得：2x =或1x =-，此时，(1,3)A -，(2,0)B ，过AB 的直线为2y x =-+，则2()2f x x x =-与2()4g x x =-+的“分界线”是2y x =-+，故③正确；④项，作出()f x ，()g x 和0y =和12y x =-的图象，由图象知12y x =-与()f x 和()g x 没有交点， 不满足条件11()()0f x kx b -+=和22()()0g x kx b -+=，故④错误．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 15．在平面直角坐标系xOy 中，ABC △的顶点坐标分别为(2,3)A ，(1,3)B -，(3,1)C --． （I ）求BC 边的中线所在直线的方程．（II ）求BC 边的高，并求这条高所在直线的方程．【答案】见解析【解析】解（I ）由中点坐标公式可知，D 点坐标为(1,2)--，∴BC 边中线所在的直线方程斜率为：3(2)52(1)3AD k --==--， ∴BC 边中线所在直线方程为：52(1)3y x +=+，即5310x y --=．（II ）∵1(3)1312BC k ---==---， ∴BC 边的高线所在直线的斜率2k =，∴BC 边的高所在直线方程为：32(2)y x -=-，即210x y --=．∵点(2,3)A 到:250BC x y ++=的距离5d =， ∴BCBC 边高所在直线方程为：210x y --=．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥．E 和F 分别是CD 和PC 的中点．D ABCE F P求证：（I ）PA ⊥底面ABCD ．（II ）平面BEF ⊥平面PCD ．【答案】见解析【解析】（I ）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =， 且PA AD ⊥，PA ⊂平面PAD ，∴PA ⊥底面ABCD ．（II ）证明：∵AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点，DA B CEF P∴AB DE ∥，∴ABED 为平行四边形，∴AD BE ∥，又∵AB AD ⊥，∴BE CD ⊥，AD CD ⊥，由（1）知，PA ⊥底面ABCD ，∴CD PA ⊥，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD PD ⊥，∵E ，F 分别是CD 和PC 的中点，∴PD EF ∥，∴CD EF ⊥，∴CD ⊥平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．17．在四棱柱1111ABCD ABC D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11AC 与11B D 交点，已知11AA AB ==，60BAD ∠=︒．（I ）求证：11AC ⊥平面11B BDD ． （II ）在线段11AC 上是否存在一点P ，使得PA∥平面1BC D ，如果存在，求11PA PC 的值，如果不存在，请说明理由． （III ）设点M 在1BC D △内（含边界），且11OM B D ⊥，求所有满足条件的点M 构成的图形，并求OM 的最小值．DA BC O C 1D 1B 1A 1【答案】见解析 【解析】A 1B 1D 1C 1O CB A D（I ）证明：∵1AA ⊥底面ABCD ，∴1BB ⊥底面1111A B C D ，又11AC ⊂平面1111A B C D ，∴111BB AC ⊥，∵1111A B C D 为菱形，∴1111AC B D ⊥，而1111BB B D B = ，∴11AC ⊥平面11B BDD ．（II ）存在点P ，当P 是11AC 中点，即111PA PC =时，PA ∥平面1BC D ． 证明：连接AC ，交BD 于点E ，连接1C E ，则E 是AC 中点， ∵11AC AC ∥，且O ，E 分别是11AC ，AC 的中点， ∴1AOC E 是平行四边形，∴1AO C E ∥，又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ， ∴AO ∥平面11BC D ，∴当点P 与点O 重合时，PA ∥平面11BC P ， 此时，111PA PC =． （III ）在1BC D △内，满足11OM B D ⊥的点构成的图形是线段1C E ，包括端点， 连接DE ，则BD OE ⊥，∵11BD B D ∥，∴要使11OM B D ⊥，只需OM BD ⊥，从而需ME BD ⊥，又在1BC D △中，11C D C B =， 又E 为BD 中点， ∴1BD C E ⊥， 故M 点一定在线段1C E 上， 当1OM C E ⊥时，OM 取最小值． 在直角三角形1OC E 中，1OE =，1OC1C E =所以1min 17OC OE OM C E ⋅==。

2015-2016学年北京市海淀区高二第一学期期末数学（文科）一、选择题（共9小题；共45分）1. 已知圆，则其圆心和半径分别为A. ，B. ，C. ，D. ，2. 抛物线的焦点到其准线的距离是A. B. C. D.3. 双曲线的离心率为A. B. C. D.4. 圆与圆的位置关系是A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切5. 已知直线的方程为，则直线A. 恒过点且不垂直轴B. 恒过点且不垂直轴C. 恒过点且不垂直轴D. 恒过点且不垂直轴6. 已知直线和直线互相平行，则的取值是A. B. C. D.7. 已知为坐标原点，直线与交于两点，，则A. B. C. D.8. 已知两平面，，两直线，，下列命题中正确的是A. 若，，则B. 若，，且，，则C. 若，，，则D. 若，＝，则9. 如图，在正方体中，为的中点，点在正方体表面上移动，且满足，则点和点构成的图形是A. 三角形B. 四边形C. 曲变形D. 五边形二、填空题（共6小题；共30分）10. 已知命题：“”，则：．11. 已知：，：，命题：“若，则”的逆否命题是______，原命题为______ 命题.（填“真”或“假”）．12. 双曲线的实轴长为，渐近线的方程为 .13. 已知，为椭圆：的两个焦点，若在椭圆上，且满足，则椭圆的方程为 ______．14. 已知点，若抛物线上的点到直线的距离与到点的距离相等，则 ______ .15. 已知四棱锥的三视图（如图所示），则该四棱锥的体积为______，在该四棱锥的四个侧面中，面积最小的侧面面积是______ .三、解答题（共3小题；共39分）16. 已知圆：过点，．（1）求，的值；（2）若圆截直线所得弦的弦长为，求的值．17. 如图，在三棱柱中，，且，底面，为中点．（1）求证：；（2）求证： 平面；（3）若，，且，写出的值（不需写过程）．18. 已知直线：与椭圆：交于两点，．（1）若椭圆的焦点在轴上，求的取值范围；（2）若在椭圆上，且以为直径的圆过点，求直线的方程．四、选择题（共1小题；共5分）19. 已知直线，和平面，且，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件答案第一部分1. D2. B3. A4. C5. D6. A7. D8. C9. B第二部分10.11. 若，则与不垂直；真12. ；13.14.15. ；第三部分16. （1）由已知可得解得，．（2）由（1）结论可知圆的方程为．圆心到直线的距离为，所以所以或．17. （1）因为底面，所以．因为，，所以平面．所以．（2）连接与交于点，连接，是平行四边形，所以点是的中点．因为为中点，所以在中．因为平面，平面，所以 平面．（3）．18. （1）由椭圆：可得，由椭圆的焦点在轴上，可得解得，所以的取值范围是．（2）因为在椭圆：上，所以，所以或（舍），所以椭圆：．设，，由消并化简整理得，，，因为以为直径的圆过点，所以，所以．因为所以或．经检验，或都满足，所以所求直线的方程为或．第四部分19. B。

2015-2016学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过（﹣1，2）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x+y+3=02．已知两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，则a=（）A．﹣B．C．1 D．﹣13．关于直线a、b、l，以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．15．下列说法中正确的是（）A．在正三棱锥中，斜高大于侧棱B．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C．底面是正方形的棱锥是正四棱锥D．有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥6．长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，则它的外接球的体积是（）A．B．36πC．9πD．π7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后经过圆（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣8．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．某圆锥的母线和底面半径分别为2，1，则此圆锥的体积是．10．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个表面的面积是．11．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=．12．正三棱锥的底面边长为2，则经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积是．13．已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，它们的位置关系是．14．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC 上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°．则以下结论中正确的有．（1）CD⊥面GEF．（2）AG=1．（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8．（4）∠EAD=60°．三、解答题：本大题共3小题，共30分.15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．17．设P为直线l1：x﹣2y+4=0与直线l：2x﹣y﹣4=0的交点，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，l0为过点P且斜率为k的直线，（1）若k=，l0与圆C交于A，B两点，求|AB|；（2）k为何值时，l0与圆C相切？设切点分别为M，N，求cos∠MPN．四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．18．命题p：“存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根”，则“非p”形式的命题是．19．已知p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R；q：0＜a＜1．则p是q（充分，必要，充要）条件．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为．五、解答题：本大题共3小题，共38分.21．已知p：{x|x2﹣8x﹣20≤0}；q：{x|x2﹣2x﹣（m2﹣1）≤0，m＞0}，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．22．已知方程x2+y2﹣6x+2y+m=0．（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y﹣2=0相交于A，B两点，并且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时m的值．23．点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值．2015-2016学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过（﹣1，2）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x+y+3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：∵直线x+y﹣1=0的斜率为﹣1，∴所求垂线的斜率为1，∴方程为y﹣2=x﹣（﹣1），∴x﹣y+3=0，故选：B．【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．2．已知两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，则a=（）A．﹣B．C．1 D．﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线平行可得a﹣1﹣（﹣3）（a+1）=0，解方程排除重合即可．【解答】解：∵两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，∴a﹣1﹣（﹣3）（a+1）=0，解得a=，经验证当a=﹣时，两直线平行．故选：A．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．3．关于直线a、b、l，以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】利用正方体模型，举出A、B、C三项的反例，得出A、B、C三项均为假命题，通过排除法可得D选项为正确答案．【解答】解：以正方体为例对于A选项，设下底面ABCD为平面α，在上底面A1D1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a、b都平行于平面α，但直线a、b不平行，故A项不对（如图1）对于B选项，设下底面ABCD为平面α，上底面A1C1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a是平面α的平行线，直线b与a垂直，但直线b与平面α不垂直，故B选项不对（如图2）对于C选项，设下底面ABCD为平面α，直线AB、CD所在直线分别为a、b，AD1所在直线为l．可见直线a、b是平面α内的平行线，虽然直线a、b都与直线l垂直，但直线l与平面α不垂直，故C选项不对（如图3）由A、B、C都不对，得应该选择D选项．故答案为D【点评】判断空间直线与平面的位置关系时，常常借助于空间几何体如长方体、正方体、三棱锥等，结合立体几何的定理或推论解决问题．4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．1【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，代入体积公式计算可得答案．【解答】解：由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，∴三棱柱的体积V==1．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．5．下列说法中正确的是（）A．在正三棱锥中，斜高大于侧棱B．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C．底面是正方形的棱锥是正四棱锥D．有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；对应思想；分析法；简易逻辑．【分析】由多面体的结构特征逐一核对四个选项得答案．【解答】解：在正三棱锥中，斜高为直角三角形的直角边，侧棱为同一个直角三角形的斜边，∴斜高小于侧棱，A错误；由直棱柱的定义可知，有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，B正确；底面是正方形的棱锥是正四棱锥错误，还需满足顶点在底面的射影为底面的中心；有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥错误，还需满足三角形由公共顶点．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了多面体的结构特征，是基础题．6．长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，则它的外接球的体积是（）A．B．36πC．9πD．π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知求出外接球半径，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，∴它的外接球的半径R满足：2R==3，即R=，故它的外接球的体积V==，故选：A【点评】本题考查的知识点是球的体积，球内接多面体，计算出球的半径是解答的关键．7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后经过圆（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；规律型；数形结合；直线与圆．【分析】由题意可得反射光线所在的直线经过圆心M（﹣3，2），点P（﹣2，﹣3）关于x 轴的对称点Q（2，﹣3）在反射光线所在的直线上，用斜率公式求解即可．【解答】解：由题意可得反射光线所在的直线经过圆：（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心M（﹣3，2），由反射定律可得点P（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点Q（2，﹣3）在反射光线所在的直线上，根据M、Q两点的坐标，所求直线的斜率为：=﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查用两点式求直线方程，判断反射光线所在的直线经过圆心M（﹣3，2），是解题的突破口．8．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；压轴题．【分析】正四面体P﹣ABC即正三棱锥P﹣ABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF，进而可得答案．【解答】解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选C．【点评】本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．某圆锥的母线和底面半径分别为2，1，则此圆锥的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；数形结合；函数思想；空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的定义与性质，算出圆锥的高h，再由圆锥的体积公式即可算出此圆锥的体积．【解答】解：∵圆锥的母线长l=52，底面圆的半径r=1，∴圆锥的高h=，因此，圆锥的体积为V=πr2h=π×12×=．故答案为：．【点评】本题给出圆锥的母线长和底面圆的半径，求此圆锥的体积．着重考查了圆锥的定义与性质、圆锥的体积公式等知识，属于基础题．10．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个表面的面积是6．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图还原成原图为四个面都是直角三角形的四面体，然后求出四个面的面积，找出最小面积【解答】解：由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形的四面体（如图所示），则S ABD=×4×5=10，S ABC=×3×5=7.5，S BCD=×4×3=6，且AD＞51，AC＞5，CD=5，∴S ACD＞S BCD，∴面积最小为6．故答案为：6．【点评】本题考查了由三视图还原成原图，要注意还原前后数量的对应关系，考查了空间想象能力，属于基本题型，难度不大11．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=2．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB 为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r是解答的关键．12．正三棱锥的底面边长为2，则经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积是．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】先求出正三棱锥的底面面积，再由经过高的中点且平行于底面的平面与底面相似，且相似比为，能求出结果．【解答】解：∵正三棱锥的底面边长为2，∴正三棱锥的底面面积S==，∵经过高的中点且平行于底面的平面与底面相似，且相似比为，∴经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积S′==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥中截面面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正三棱锥的结构特征的合理运用．13．已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，它们的位置关系是相交．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；数形结合；直线与圆．【分析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆的位置关系．【解答】解：由题意可得，两圆的圆心距C1C2==∈[1，3]，即两圆的圆心距大于两圆的半径之差，小于半径和，故两圆相交，故答案为：相交．【点评】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题．14．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC 上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°．则以下结论中正确的有（1）（2）（4）．（1）CD⊥面GEF．（2）AG=1．（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8．（4）∠EAD=60°．【考点】直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知推导出FG⊥AB，CD⊥GF，EF⊥CD从而得到CD⊥平面GEF；由已知得AB=AE=BE=BC=AC=2，AF=BF=CF，从而得到AG=BG=1，以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，∠EAD=∠EAB=60°．【解答】解：在（1）中，∵E是正方形ABCD所在平面外一点，FG∥BC，∴BC⊥AB，∴FG⊥AB，∵AB∥CD，∴CD⊥GF，∵E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥CD，∵EF∩GF=F，∴CD⊥平面GEF，故（1）正确；在（2）中，∵AB=AE=2，∠EAB=60°，∴AB=AE=BE=BC=AC=2，∴AF=BF=CF，∵FG∥BC，∴AG=BG=1，故（2）正确；在（3）中，∵由（2）得AF=CF=EF=，∴=2，∴以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，故（3）错误；在（4）中，由（2）得∠EAD=∠EAB=60°，故（4）正确．故答案为：（1）（2）（4）．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．三、解答题：本大题共3小题，共30分.15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】（1）欲证EF∥平面CB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面CB1D1内一直线平行，连接BD，根据中位线可知EF∥BD，则EF∥B1D1，又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，满足定理所需条件；（2）欲证平面CAA1C1⊥平面CB1D1，根据面面垂直的判定定理可知在平面CB1D1内一直线与平面CAA1C1垂直，而AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，则AA1⊥B1D1，A1C1⊥B1D1，满足线面垂直的判定定理则B1D1⊥平面CAA1C1．【解答】（本题满分为12分）证明：（1）连接BD，因为正方体，所以BB1∥DD1，所以四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，因为EF∥BD，由平行线传递性得：EF∥B1D1，因为B1D1⊄面CB1D1，EF⊂面CB1D1，所以EF∥平面CB1D1．（6分）（2）因为在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．（10分）又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，所以B1D1⊥平面CAA1C1．（12分）【点评】本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．【点评】本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直．17．设P为直线l1：x﹣2y+4=0与直线l：2x﹣y﹣4=0的交点，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，l0为过点P且斜率为k的直线，（1）若k=，l0与圆C交于A，B两点，求|AB|；（2）k为何值时，l0与圆C相切？设切点分别为M，N，求cos∠MPN．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；数形结合；待定系数法；直线与圆．【分析】（1）联立直线方程可解得P（4，4）可得l0的方程，又可得圆C的圆心为（2，2），半径为1，可得圆心C到直线l0的距离d，由勾股定理可得；（2）由相切可得k的方程，解方程可得k值，由三角函数的定义可得sin∠MPC，由二倍角公式可得cos∠MPN．【解答】解：（1）联立可解得P（4，4），当k=时，l0的方程为y﹣4=（x﹣4），即3x﹣2y﹣4=0，配方可得圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，故圆C的圆心为（2，2），半径为1，∴圆心C到直线l0的距离d==，∴|AB|=2=；（2）l 0的方程为y ﹣4=k （x ﹣4），即kx ﹣y+4﹣4k=0，由相切可得圆心C 到直线l 0的距离d==1，平方并整理可得3k 2﹣8k+3=0，解得k=， ∵sin ∠MPC===，∴cos ∠MPN=cos2∠MPC=1﹣2sin 2∠MPC=1﹣2×=．【点评】本题考查圆的切线方程，涉及圆的弦长和点到直线的距离以及二倍角的余弦公式，属中档题．四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．18．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2+mx+1=0有实数根”，则“非p ”形式的命题是 对任意实数m ，方程x 2+mx+1=0没有实数根 ．【考点】复合命题的真假．【专题】规律型．【分析】根据命题的否定可知，存在的否定词为任意，再根据非p 进行求解即可．【解答】解：∵p ：存在实数m ，使方程x 2+mx+1=0有实数根，存在的否定词为任意， ∴非p 形式的命题是：对任意实数m ，方程x 2+mx+1=0没有实数根，故答案为：对任意实数m ，方程x 2+mx+1=0没有实数根．【点评】此题主要考查命题的否定，此题是一道基础题．19．已知p ：不等式ax 2+2ax+1＞0的解集为R ；q ：0＜a ＜1．则p 是q 必要 （充分，必要，充要）条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】结合二次函数的性质求出a 的范围，再由集合的包含关系判断即可．【解答】解：若不等式ax 2+2ax+1＞0的解集为R ，a=0时：1＞0，成立，a≠0时：△=4a2﹣4a＜0，解得：0＜a＜1，综上，p：0≤a＜1；q：0＜a＜1，故答案为：必要．【点评】本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意列式求出b，再由椭圆的长轴的长为4求得a，结合隐含条件求出c，则椭圆的离心率可求．【解答】解：由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，得b=．又∵2a=4，∴a=2，∴c2=a2﹣b2=2，即c=．∴e=．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，涉及了椭圆与直线的位置关系，以及点到直线的距离公式，是基础题．五、解答题：本大题共3小题，共38分.21．已知p：{x|x2﹣8x﹣20≤0}；q：{x|x2﹣2x﹣（m2﹣1）≤0，m＞0}，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】结合￢P和￢q的关系，得到不等式组，解出即可．【解答】解：解法一：非p：A={x|x＜﹣2或x＞10}，非q：B={x|x＜1﹣m或x＞1+m，m＞0}．∵非p是非q的必要不充分条件，∴非p推不出非q，非q⇒非p，∴B A，结合数轴分析知，B A的充要条件是：或，解得m≥9，即m的取值范围是m≥9．解法二：∵非p是非q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件．而p：M={x|﹣2≤x≤10}，q：N={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}，∴M N，结合数轴分析知，M N的充要条件是：或，解得m≥9，∴m的取值范围是m≥9．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．22．已知方程x2+y2﹣6x+2y+m=0．（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y﹣2=0相交于A，B两点，并且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时m的值．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）方程表示圆的时候有D2+E2﹣4F＞0，代入计算，即可求实数m的取值范围；（2）以线段AB为直径的圆经过坐标原点O得x1x2+y1y2=0，利用根系关系，可得结论．【解答】解：（1）方程x2+y2﹣6x+2y+m=0，由圆的一般方程知识得D=﹣6，E=2，F=m 当此方程表示圆的时候有D2+E2﹣4F＞0解之得m＜10．（2）联立直线和圆的方程，消去x并化简整理得5y2+6y+m﹣8=0设题中直线与圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则在上述方程判别式△＞0的前提下，由根系关系得到y1+y2=﹣，y1y2=．再由x=2﹣2y可得x1+x2=，x1x2=由以线段AB为直径的圆经过坐标原点O得x1x2+y1y2=0即+=0，解之得m=﹣．验证此时△＞0成立．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查根系关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值．【考点】椭圆的简单性质；点到直线的距离公式；椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】（1）先求出PA、F的坐标，设出P的坐标，求出、的坐标，由题意可得，且y＞0，解方程组求得点P的坐标．（2）求出直线AP的方程，设点M的坐标，由M到直线AP的距离等于|MB|，求出点M 的坐标，再求出椭圆上的点到点M的距离d的平方得解析式，配方求得最小值．【解答】解：（1）由已知可得点A（﹣6，0），F（4，0），设点P（x，y），则=（x+6，y），=（x﹣4，y）．由已知可得，2x2+9x﹣18=0，解得x=，或x=﹣6．由于y＞0，只能x=，于是y=．∴点P的坐标是（，）．（2）直线AP的方程是，即x﹣y+6=0．设点M（m，0），则M到直线AP的距离是．于是=|6﹣m|，又﹣6≤m≤6，解得m=2，故点M（2，0）．设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有d2=（x﹣2）2+y2 =x2﹣4x+4+20﹣x2 =（x﹣）2+15，∴当x=时，d取得最小值．【点评】本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式，两个向量垂直的性质，求出点M 的坐标，是解题的难点．。

2016-2017学年度第一学期期中练习高二数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1. “”是“”的（）．A. 充分必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，故“”是“”的充分不必要条件，故选．2. 命题“若，则”的逆否命题是（）．A. 若，则或B. 若，则C. 若或，则D. 若或，则【答案】D【解析】原命题“若则”的逆否命题为“若则”,所以命题“若，则”的逆否命题是若或，则故选．3. 如图，若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体，其中为线段上异于的点，为线段上异于的点，且，则下列结论中不正确的是（）．A. B. 四边形是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台【答案】D【解析】第三个平面与两平行平面的交线相互平行,所以,,即四边形是矩形由题知是棱柱，而非棱台，选项错误．4. 若是两条异面直线、外的任意一点，则（）．A. 过点有且仅有一条直线与、都平行B. 过点有且仅有一条直线与、都垂直C. 过点有且仅有一条直线与、都相交D. 过点有且仅有一条直线与、都异面【答案】B【解析】项，设过点的直线为，若与，都平行，则，平行，与，异面矛盾，错；项，，只有唯一的公垂线，而过点与公垂线平行的直线只有条，对；项，如图所示，在正方体中，设为直线，为直线，若点在点，显然无法作出直线与两直线都相交，错；项，若在点，则直线及均与，异面，错．故选．5. ，表示两个不同的平面，直线，则“”是“”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，直线可能与平面只是相交，不一定垂直，∴“”条件无法推出“”，当时，∵，∴，∴“”条件可推出“”，∴“”是“”的必要不充分条件，故选．点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．6. 下列存在性命题为假命题的是（）．A. 存在这样的数列，既是等比数列，又是等差数列B. 存在这样的函数，在其定义域内，既是偶函数又是单调增函数C. 四棱柱中有的是平行六面体D. 空间内存在这样的两条直线，既不相交，也不平行【答案】B【解析】项，如常数列是等差数列又是等比数列；项，偶函数的图象关于轴对称，一定不是单调函数；项，如长方体即为四棱柱中的平行六面体；项，空间中的两条直线可能平行，重合，相交，故选．7. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，棱锥的底面积，两个相同的侧面积，另一个侧面积，全面积．故选．点睛:空间几何体表面积的求法(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．8. 如图，正方体的棱长为，动点、在棱上，动点，分别在棱，上，若，，，，则四面体的体积（）．A. 与有关，与，无关B. 与有关，与，无关C. 与有关，与，无关D. 与，，都有关【答案】A【解析】由图可知，的面积为定值，当点在棱上变化时，其到平面的距离随之改变，由此导致四面体的体积改变，而，不会影响四面体体积的改变,所以选A．点睛:利用等积法不仅可以用来求解几何图形的高或几何体的高或内切球的半径，而且可研究体积变化的规律，特别高定底面积变化或底面积定高变化或两者按规律对应变化．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9. 空间四边形中，、、、分别是、、、的中点．①若，则四边形是__________．②若，则四边形是__________．【答案】(1). ①菱形(2). ②长方形【解析】①∵在空间四边形中，，∴，，∴，即为菱形．②∵在空间四边形中，，∴，，，，∴是矩形．10. 如图所示，已知矩形所在的平面，图中互相垂直的平面有__________对．【答案】【解析】平面平面，平面平面，平面平面，共对平面互相垂直．11. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为__________．【答案】【解析】设球的半径为为，∴正方体棱长为，则，球的表面积，正方体的表面积，．12. 设方程有两个不相等的正根；方程无实根，则使为真，为假的实数的取值范围是__________．【答案】【解析】p:q:,即-2<m<3.由题意知p与q一真一假。

海淀区高二年级第二学期期中练习数 学（理科）2016.4学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数12i z =-的虚部是A. 2-B. 2C.2i -D. 2i 2.下列导数运算错误．．的是（ ） A. 21()'2x x --=- B.(cos )'sin x x =- C. (ln )'1ln x x x =+ D. (2)'2ln 2x x = 3. 函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的极大值点的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 34.若函数()f x 的导函数'()(2)e x f x x x -=-，则下列关系一定成立的是（ ） A.(2)0f > B. (0)(1)f f > C. (2)(1)f f < D. (2)(3)f f >5. 已知两个命题：:p “若复数12,z z 满足120z z ->，则1z >2z .”:q “存在唯一的一个实数对(,)a b 使得i i(2i)a b -=+.”其真假情况是（ ）A.p 真q 假B. p 假q 假C. p 假q 真D. p 真q 真 6．若小球自由落体的运动方程为21()2s t gt =（g 为常数），该小球在1t =到3t =的平均速度为v ，在2t =的瞬时速度为2v ，则v 和2v 关系为（ ） A ．2v v > B ．2v v < C ．2v v = D ．不能确定7.如图，过原点斜率为k 的直线与曲线ln y x =交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y .① k 的取值范围是1(0,)e. ② 1211k x x <<.③ 当12(,)x x x ∈时，()ln f x kx x =-先减后增且恒为负.以上结论中所有正确结论的序号是（ ） A.① B.①② C.①③ D.②③8.已知函数32()f x ax bx cx d =+++则函数()f x 的图象可能是（ ）二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.9.计算1+2ii=_________. 10．2(3)x dx -=⎰_____________.11.已知()1xf x x =- ，则'()f x =______________． 12. 方程(1)1x x e -=的解的个数为_______________.三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.已知函数cx bx ax x f ++=23)(，其导函数为)('x f 的部分值如下表所示：根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c 的值为___________；当x = ________时，()f x 取得极大值．．．（将答案填写在横线上）.（Ⅱ）求实数a ，b 的值.（Ⅲ）若()f x 在(,2)m m +上单调递减，求m 的取值范围.-的底面ACDE满足DE //AC，AC=2DE.如图，四棱锥B ACDE（Ⅰ）若DC⊥平面ABC，AB⊥BC，求证：平面ABE⊥平面BCD;某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第（2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容.（Ⅰ）证明：欲证平面ABE⊥平面BCD，只需证_______________________________，由已知AB⊥BC，只需证_________________，由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，所以平面ABE⊥平面BCD.（Ⅱ）证明：假设________________________________________，DC平面ABE.又因为DC⊄平面ABE，所以//又因为平面ACDE平面ABE=AE,所以__________________，又因为DE //AC，所以ACDE是平行四边形，=，这与_______________________________矛盾，所以AC DE所以假设错误，原结论正确.已知函数()ln f x x ax =+（a ∈R ）.（Ⅰ）若函数)(x f 在点))1(,1(f 处的切线与直线x y 2=平行，求实数a 的值及该切线方程； （Ⅱ）若对任意的),0(+∞∈x ，都有1)(≤x f 成立，求实数a 的取值范围.16. （本小题8分）请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答：问题1：已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .若数集{}14,2,3,a a 具有性质P ，求14,a a 的值.问题2：已知数集{}()1212,,0,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .若数集{}14,1,3,a a 具有性质P ，求14,a a 的值.17. （本小题10分）已知函数1()(0)f x x x=>，对于正数1x ，2x ，…，n x (n ∈N +)，记12n n S x x x =+++，如图，由点(0,0)，(,0)i x ，(,())i i x f x ，(0,())i f x 构成的矩形的周长为i C (1,2,,)i n =，都满足4i i C S =(1,2,,)i n =.（Ⅰ）求1x ；（Ⅱ）猜想n x 的表达式（用n 表示），并用数学归纳法证明.。

北京高二年级上学期期中考试数学试卷（文科）本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 直线l 经过原点和点（-1，-1），则l 的倾斜角是（ ） A. 45°B. 135°C. 135°或225°D. 60°2. 点P （-1，1）关于直线ax-y+b=0的对称点是Q （3，-1），则a ，b 的值分别是（ ） A. -2，2B. 2，-2C.21，-21D.21，213. 已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m∥α，n⊥β，则（ ） A. m∥lB. m∥nC. n⊥lD. m ⊥n4. 已知三条直线x=1，x-2y-3=0，mx+y+2=0交于一点，则m 的值为（ ） A. 1B. 2C. -1D. -25. 已知圆x 2+y 2-2x+4y+1=0与两坐标轴的公共点分别为A ，B ，C ，则△ABC 的面积为（ ） A. 3B. 23C. 2D. 46. 如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，则下列关系中不正确的是（ ）A. PA ⊥BCB. BC ⊥平面PACC. AC ⊥PBD. PC ⊥BC7. 已知过定点P （2，0）的直线l 与曲线y=22x -相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最大时，直线l 的倾斜角为（ ）A. 150°B. 135°C. 120°D. 30°8. 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 1，P 2分别是线段AB ，BD 1（不包括端点）上的动点，且线段P 1P 2平行于平面A 1ADD 1，则四面体P 1P 2AB 1的体积的最大值是（ ）A. 241B.121C.61D.21二、填空题共6小题。

2012—2013学年度第一学期期末练习 高二理科数学 考生须 知1、本试卷共 4页，包括 三个大题，22小题，满分为 100分。

考试时间100分钟。

2、答题前，考生应认真在密封线外填写班级、姓名和学号 3、答案请作答在答案纸上。

一、选择题 1．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于( )A.6B.7C.8D.9 2．=1，给出的数列的第34项为( ) A．? B．100? C． D． 3．4．，若△是等边三角形，则点M的横坐标是( ) A．p B．p C．3p D． p 5．数列}前n项和是，如果，则这个数列是（）A.等比数列B.等差数列C.除去第一项是等比D.除去最后一项为等差 6．，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于( ) A．3 B．4 C．6 D．8 7．分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果成等差数列，∠B=30°，，那么b=（ ） A. B.C.D. 8．，已知平面区域且，则平面区域的面积为（ ） A. B. C. D. 9．在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是( )A.11B.12C.13D.14 10．中，的值是（ ） A．15 B．30 C．31D．64 11．是等差数列的前n项之和，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D.均为的最大项 12．=x2+2x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则+的最小值为（ ） A.4 B．4 C．8 D．8 二、填空题 1．在△ABC中,三边的长为连续自然数,且最大角是钝角,这个三角形三边的长分别为_________. 14．中，AB=b,=BC=a,则与所成的角的度数是 ；与所成角的余弦值是 。

15．的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项. 16．ABC中，两直角边分别为a,b,斜边上的高为h,则得”由此可类比出命题“若三棱锥S-ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两垂直，长分别为a,b,c，底面ABC上的高为h,则得____________________. 三、解答题17．C的中心在原点，焦点在轴上，右准线为，一条渐近线的方程是，过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是PQ的中点。

……………………3分 海淀区高二年级第一学期期中练习数学参考答案及评分标准 2009.11二、填空题（本大题共6小题, 每小题4分,共24分.）9. 19 10.56，甲 11. 61 12. 0.50.4y x =+ 13. 36 14. ① m km n =+ ，②n t = 三、解答题（本大题共4小题,共44分.）15．（本题满分10分）解：程序框图如下：16． （本题满分10分）解：（I ）由茎叶图可知:甲班同学身高中位数为169cm ，乙班同学身高中位数为171.5cm; 4分(II) 设至少有一名身高不低于179cm 的同学被抽中的事件为A ； ………5分从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：(181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176） (179，178）（178，173）(178, 176) (176，173）共10个基本事件，………7分 而事件A 含有7个基本事件， ………9分 所以 P (A )=0.7 ……10分17．（本题满分12分）解：（I ）由题意知A 类工人中应抽查25名，B 类工人中应抽查75名.故485325x ++++=，得5x =， …………………………………………1分……………………1分 ……………………2分……………………7分 ……………………10分6361875y +++=，得15y = . …………………………………………2分 频率分布直方图如下………………………………8分从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小 .（II ）485531051151251351451232525252525A x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 6153618115125135145133.875757575B x =⨯+⨯+⨯+⨯=， 2575123133.8131.1100100x =⨯+⨯= ……………………………………11分 A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1 . ……………………………………12分18．（本题满分12分）解: (I) A (-2, 3)、B (1,6),C (2331--,2339+) …… 2分 先计算可得E (-1,4)、F (0,5),再由正⊿FEG 顶点坐标关系式G (2)(3E F E F y y x x -++, 2)(3E F E F y y x x ++--). 计算得: G (213-,239-) . …… 4分 [注:] 进一步可得点G 关于初始点AB 的坐标关系为: G (6)(3)(3B A B A y y x x --+, 6)(3)(3B A B A y y x x ++-). (II) 由已知操作知a 1=5, a 2=17, a n +1=4(a n -1)+1=4a n -3.[或a n +1=3(a n -1)+a n =4a n -3]∴ a n +1-1=4(a n -1) 又a 1-1=4≠0 ∴ a n -1≠0, n ∈N *.∴ 111--+n n a a =4 ∴{a n -1}为等比数列, 且公比和首项均为 4. ……7分∴ a n -1= 4n ∴ a n =4n +1 , n ∈N * . …… 8分(III) 画出简图（见右图） …… 10分所画图形面积为222629321)(36))]S S ===--+-=正三角形故所画图形面积为.…… 12分O。

海淀区高二年级第二学期期中练习数 学（文科）2016.4学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.12i z =-的虚部是( )A. 2-B. 2C.2i -D. 2i错误．．的是（ ） A. 21()'2x x --=- B.(cos )'sin x x =- C. (sin )'cos x x = D. (e )'e x x = 为（ ）3. 函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的极大值点的个数A. 0 B. 1 C. 2 D. 34.已知函数()f x 的导函数'()(1)e x f x x -=-.若()f x 在(,2)m m +上单调递增，则实数m 的取值范围是（ ）A. [1,)+∞B. (,1]-∞C. [1,)-+∞D. (,1]-∞- 5. 已知两个命题：:p “若复数12,z z 满足120z z ->，则1z >2z .”:q “存在唯一的一个实数对(,)a b 使得i i(2i)a b -=+.”其真假情况是（ ）A.p 真q 假B. p 假q 假C. p 假q 真D. p 真q 真 6. 一个高为H 容积为V 的鱼缸的轴截面如图所示.现向空鱼缸内注水，直到注满为止.当鱼缸水深为h 时，水的体积记为v .函数v ＝f (h )的大致图象可能是( )7.已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设(2)(1)21f f a -=-，则下列不等式正确的是（ ）ABCDO v hV H Ov h V H Ov h V H OvhVH xyO.A (1)(2)f f a ''<< .B (1)(2)f a f ''<< .C (2)(1)f f a ''<< .D (1)(2)a f f ''<<8.已知函数32()f x ax bx cx d =+++()f x 的图象只可能是（ ）二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.9.计算1+2ii=_________. 10.已知()1xf x x =- ，则'()f x =______________.11. 若函数cos y ax x =+是增函数，则实数a 的范围是_______________.12. 已知数列{}n a 满足11273n n n a a -++=⨯，且11a =，则3a =________，通项n a =______________（用n 表示）.三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13.（本小题12分）已知函数cx bx ax x f ++=23)(，其导函数为)('x f 的部分值如下表所示：根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c 的值为___________；当x = ________时，()f x 取得极大值．．．（将答案填写在横线上）. （Ⅱ）求实数a ，b 的值. （Ⅲ）求()f x 的单调区间.14.（本小题10分）如图，四棱锥B ACDE -的底面ACDE 满足 DE //AC ，AC =2DE .（Ⅰ）若DC ⊥平面ABC ， AB ⊥BC ，求证：平面ABE ⊥平面BCD ; （Ⅱ）求证：在平面ABE 内不存在直线与DC 平行；某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第 （2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容.（Ⅰ）证明：欲证平面ABE ⊥平面BCD ，只需证_______________________________， 由已知AB ⊥BC ，只需证________________，由已知DC ⊥平面ABC 可得DC ⊥AB 成立， 所以平面ABE ⊥平面BCD .（Ⅱ）证明：假设______________________________________，又因为DC ⊄平面ABE ，所以//DC 平面ABE . 又因为平面ACDE 平面ABE =AE ,所以__________________，又因为DE //AC ，所以ACDE 是平行四边形，所以AC DE =，这与_____________________________矛盾， 所以假设错误，原结论正确.15.（本小题12分）已知函数()ln f x a x x =-（a ∈R ）. （Ⅰ）若直线2y x b =+是函数)(x f 在点))1(,1(f 处的切线，求实数,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的),0(+∞∈x ，都有()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围.16. （本小题10分）请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答：问题1：已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .若数集{}14,2,3,a a 具有性质P ，求14,a a 的值.问题2：已知数集{}()1212,,0,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .若数集{}14,1,3,a a 具有性质P ，求14,a a 的值.17. （本小题8分）阅读下面的一段文字，并解决后面的问题：我们可以从函数的角度来研究方程的解的个数的情况，例如，研究方程322360x x --=的解的情况：因为方程322360x x --=的同解方程有32332x x =+，2623x x-=等多种形式，所以，我们既可以选用函数323,32y x y x ==+，也可以选用函数2623,y x y x=-=，通过研究两函数图象的位置关系来研究方程的解的个数情况.因为函数的选择，往往决定了后续研究过程的难易程度，所以从函数的角度来研究方程的解的情况，首先要注意函数的选择.请选择合适的函数来研究该方程1e xax bx +=的解的个数的情况，记k 为该方程的解的个数.请写出k 的所有可能取值，并对k 的每一个取值，分别指出你所选用的函数，画出相应图象（不需求出,a b 的数值）.海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案数 学（文科） 2016.4一、选择题：本大题共8小题， 每小题4分，共32分.AABD CABD二、填空题：本大题共4小题， 每小题4分，共16分.9.2i - 10. 21(1)x -- 11. [1,)+∞ 12. 9 13n -（说明：一题两空的题目，每空2分）三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13.（本小题12分）（Ⅰ）6，3. -----------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）解：2'()32f x ax bx c =++，-------------------------------------------------------------5分由已知表格可得'(1)8,'(3)0,f f =⎧⎨=⎩解得2,32.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩--------------------------------------------7分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得2'()2462(3)(1)f x x x x x =-++=--+，---------------------8分 因为(,1)x ∈-∞-和(3,)x ∈+∞时'()0f x <，(1,3)x ∈-时'()0f x >，-------10分所以()f x 的单调增区间为(1,3)-，单调减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞.--------12分14.（本小题10分）（Ⅰ）证明：欲证平面平面BCD ，------------------------------------------------------------2分由已知AB ⊥BC -------------------------------------------------4分由已知DC ⊥平面ABC可得DC ⊥AB 成立， 所以平面ABE ⊥平面BCD .---------------------------------6分又因为DC ⊄平面ABE ，所以平面ABE . 又因为平面ACDE 平面ABE =AE ,---------------------------------------8分 又因为DE //AC ，所以ACDE 是平行四边形，所以AC DE =---------------------------------------------10分 所以假设错误，原结论正确.15.（本小题12分） （Ⅰ）解：因为'()1af x x=-，0x >.----------------------------------------------------------2分 由已知可得'(1)12f a =-=，解得3a =.----------------------------------------3分 因为(1)1f =-，所以12b -=+，解得3b =-.--------------------------------4分 （Ⅱ）解1：当0a <时，因为22(e )2e 0aaf =->，所以不合题意.----------------------6分 当0a =时，()f x x =-对任意),0(+∞∈x ，都有()0f x ≤成立.--------7分当0a >时，令'()0f x =，解得x a =，'(),()f x f x 情况如下：---------------------------------------9分所以()f x 的最大值为()f a . -------------------------------------------------10分所以，依题意有()ln (ln 1)0f a a a a a a =-=-≤，------------------------11分 因为0a >，所以ln 1a ≤，即e a ≤.综上，所求a 的取值范围为[0,e].----------------------------------------------12分解2：对任意的),0(+∞∈x ，都有()0f x ≤成立，即ln 1a xx≤成立， 设ln (),0a xg x x x=>， 当0a <时，因为11(e )e 1aag -=>，显然ln 1a xx≤不恒成立.---------------6分 当0a =时，不等式显然成立.-----------------------------------------------------7分当0a >时，，则2(1ln )'()a x g x -=，'(),()g x g x 的情况如下：-------------------------------9分所以()g x 的最大值为1(e)e g a -=，--------------------------------------------10分故只需1e 1a -≤，即e a ≤.---------------------------------------------------------11分 综上，所求a 的取值范围为[0,e].----------------------------------------------12分 16. （本小题10分）解：对于集合中最大的数4a ，因为444a a a +>，443a a +>，441a a +>------------2分所以44a a -,43a -,41a -,41a a -都属于-------4分又因为14013a a ≤<<<，所以44a a -<43a -<41a -41a a <-.------------------6分 所以1440a a a =-=,431a -=,-------------------------------------------------------------8分 即140,4a a ==.-------------------------------------------------------------------------------10分17. （本小题8分）解：k的可能取值为0，1，2，3.说明：其它选择函数的方法相对应给分即可。