2017届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图课时规

高考数学大一轮复习第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图1．简单几何体(1)简单旋转体的结构特征：①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；②圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．(2)简单多面体的结构特征：①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．[小题体验]1．若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为( )A．2,2 B．2，2C．4,2 D．2,4解析：选D 由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为2，故底面边长为4，故选D．2．(教材习题改编)如图，长方体ABCD ­A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是______．答案：五棱柱三棱柱1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．[小题纠偏]1．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是( )解析：选 B 俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B．2．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．解析：由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．答案：1[题组练透]1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C 截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．2．给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B ①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．3．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形．答案：②③④[谨记通法]解决与空间几何体结构特征有关问题3个技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型；(3)通过反例对结构特征进行辨析．[典例引领]1．(2017·东北四市联考)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P 是线段CD的中点，则三棱锥P­A1B1A的侧视图为( )解析：选 D 如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥P­A1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D．2．(2015·高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A．1 B． 2C．D．2解析：选 C 根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V­ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1．所以四棱锥中最长棱为VD．连接BD，易知BD＝，在Rt△VBD中，VD＝＝．[由题悟法]1．已知几何体，识别三视图的技巧已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚．2．已知三视图，判断几何体的技巧(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．[提醒] 对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同．[即时应用]1．(2016·××市教学质量监测)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )解析：选B 根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B．2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )解析：选D 由俯视图是圆环可排除A、B、C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D．[典例引领]有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．解析：如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E．在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE ＝．而四边形AECD 为矩形，AD ＝1，∴EC ＝AD ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝＋1．由此可还原原图形如图在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴这块菜地的面积S ＝(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝××2＝2＋． 答案：2＋22[由题悟法]原图与直观图中的“三变”与“三不变”(1)“三变”⎩⎪⎨⎪⎧ 坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度改变减半图形改变(2)“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧ 平行性不变与x 轴平行的线段长度不变相对位置不变[即时应用]如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm ，O′C′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形解析：选C 如图，在原图形OABC 中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4 cm ，CD ＝C′D′＝2 cm ．∴OC ＝＝＝6 cm ，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．1．某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是( )解析：选D 几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．2．下列说法正确的是( )A．棱柱的两个底面是全等的正多边形B．平行于棱柱侧棱的截面是矩形C．{直棱柱}⊆{正棱柱}D．{正四面体}⊆{正三棱锥}解析：选D 因为选项A中两个底面全等，但不一定是正多边形；选项B中一般的棱柱不能保证侧棱与底面垂直，即截面是平行四边形，但不一定是矩形；选项C中{正棱柱}⊆{直棱柱}，故A、B、C都错；选项D中，正四面体是各条棱均相等的正三棱锥，故正确．3．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台解析：选 A 因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥．4．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为 2 cm，则在直角坐标系xOy中，四边形ABCO的形状为________，面积为________cm2．解析：由斜二测画法的特点知该平面图形是一个长为 4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2．答案：矩形85．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何体的形状给出下列命题：①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③两个面都是等腰直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：由三视图可知，该几何体是正四棱柱，作出其直观图，ABCD­A1B1C1D1，如图，当选择的4个点是B1，B，C，C1时，可知①正确；当选择的4个点是B，A，B1，C时，可知②正确；易知③不正确．答案：①②1．已知底面为正方形的四棱锥，其中一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )解析：选C 根据三视图的定义可知A、B、D均不可能，故选C．2．如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB，AD，AC中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD解析：选 B 由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB＜AD＜AC．3．(2016·××市教学质量监测)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为( )A．三棱台B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥解析：选 B 根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示，这是一个三棱柱．4．(2016·淄博一模)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A­BCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A．B．12C．D．14解析：选D 由正视图与俯视图可得三棱锥A­BCD的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为，所以侧视图的面积为S＝××＝．5．已知四棱锥P­ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P­ABCD的四个侧面中面积最大的是( )A．3 B．2 5C．6 D．8解析：选C 四棱锥如图所示，取AD的中点N，BC的中点M，连接PM，PN，则PM＝3，PN＝，S△PAD＝×4×＝2，S△PAB＝S△PDC＝×2×3＝3，S△PBC＝×4×3＝6．所以四个侧面中面积最大的是6．6．设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．答案：①④7．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm．解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C．在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5 (cm)．∴AB＝＝13(cm)．答案：138．已知正四棱锥V­ABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为2，则该棱锥的高为________．解析：如图，取正方形ABCD的中心O，连结VO，AO，则VO就是正四棱锥V­ABCD的高．因为底面面积为16，所以AO＝2．因为一条侧棱长为2．所以VO＝＝＝6．所以正四棱锥V­ABCD的高为6．答案：69．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图．从图②可知，A′B′＝AB＝2，O′C′＝OC＝，C′D′＝O′C′sin 45°＝×＝．所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝．答案：6410．已知正三棱锥V ­ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．解：(1)直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC＝2，∴侧视图中VA＝＝2，∴S△VBC＝×2×2＝6．阶，自主选做志在冲刺名校1．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( ) A．8 B．7C．6 D．5解析：选C 画出直观图，共六块．2．(2017·东部六校联考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是( )A．4 B．8 3C．4 D．8解析：选C 设该三棱锥为P­ABC，其中PA⊥平面ABC，PA＝4，则由三视图可知△ABC是边长为4的等边三角形，故PB＝PC＝4，所以S△ABC＝×4×2＝4，S△PAB＝S△PAC＝×4×4＝8，S△PBC＝×4×＝4，故四个面中面积最大的为S△PBC＝4，选C．3．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA．解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为 6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2．(2)由侧视图可求得PD＝＝＝6．由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝＝＝6 cm．第二节空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式S圆柱侧＝2πrl 圆锥侧＝πrl ＝π(r＋r ．空间几何体的表面积与体积公式[1．(2016·全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A．20πB．24πC．28πD．32π解析：选C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h．由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π．2．(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以该几何体的体积V＝S·h＝×3＝3．答案：3 33．正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为________．解析：在正三棱柱ABC­A1B1C1中，∵AD⊥BC，AD⊥BB1，BB1∩BC＝B，∴AD⊥平面B1DC1．∴VA­B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1．答案：11．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．3．易混侧面积与表面积的概念．[小题纠偏]1．(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．答案：2∶31∶12．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S＝3×4×2＋2×2×2＋4×2×2＋4×6＋×(2＋6)×2×2＝72＋16．答案：72＋16 2[题组练透]1．(易错题)(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )A．1 B．2C．4 D．8解析：选 B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2．又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B．2．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A．8＋2 2B．11＋2 2C．14＋2 2D．15解析：选B 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为4＋，侧面积为2×(4＋)＝8＋2，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋2＋3＝11＋2．3．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为( )A．12 B．24 2C．24 D．12 3解析：选A 由三视图得，这是一个正四棱台，由条件知斜高h＝＝，侧面积S＝×4＝12．[谨记通法]几何体的表面积的求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．注意衔接部分的处理，如“题组练透”第1题．[典例引领]1．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．＋πB．＋πC．＋πD．1＋π解析：选C 由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为×12×1＋××3＝＋π．2．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A．B．17C．D．15解析：选 D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝××1×1×1＝，剩余部分的体积V2＝13－＝．所以＝＝．[由题悟法]有关几何体体积的类型及解题策略1．(2016·西安质检)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )A．B．C．D．3解析：选A 根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示．则该几何体的体积是V几何体＝V三棱柱＋V三棱锥＝×2×1×1＋××2×1×1＝．2．(2017·统检)如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图，则被削掉的那部分的体积为( ) A．B．5π－23C．－2 D．2π－23解析：选B 由三视图可知，剩下部分的几何体由半个圆锥和一个三棱锥组成，其体积V＝××π×12×2＋××2×1×2＝＋，∴被削掉的那部分的体积为π×12×2－＝．3．(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3．解析：由三视图知该几何体是一个组合体，左边是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为 2 cm,4cm,2 cm，右边也是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm，2 cm，4 cm．几何体的表面积为(2×2＋2×4＋2×4)×2×2－2×2×2＝72(cm2)，体积为2×2×4×2＝32(cm3)．答案：72 32[锁定考向]与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变．常见的命题角度有：(1)正四面体的内切球与四棱锥的外接球；(2)直三棱柱的外接球；(3)正方体(长方体)的内切、外接球．[题点全练]角度一：正四面体的内切球与四棱锥的外接球1．(2017·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________．解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝．答案：63π角度二：直三棱柱的外接球2．已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( ) A．B．210C．D．310解析：选C 如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M．又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝．角度三：正方体(长方体)的内切、外接球3．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为( )A．πB．π3C．D．π解析：选C 平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC＝CD1＝AD1＝，所以内切圆的半径r＝×tan 30°＝，所以S＝πr2＝π×＝π．[通法在握]“切”“接”问题处理的注意事项(1)“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[演练冲关]1．(2017·××市综合测试)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )A．20πB．205π3C．5πD．55π6解析：选 D 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r＝1，其高h＝1，∴球半径为R＝＝＝，∴该球的体积V＝πR3＝×3π＝．2．(2016·六市第一次联考)三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为( ) A．πB．πC．πD．π解析：选D 由题可知，△ABC中AC边上的高为＝，球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，∴x2＝32＋(－x)2，解得x＝，∴R2＝x2＋2＝＋1＝(其中R为三棱锥外接球的半径)，∴外接球的表面积S＝4πR2＝π，故选D．1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )A．πB．πC．16πD．24π解析：选B 设球的半径为R，因为表面积是16π，所以4πR2＝16π，解得R＝2．所以体积为πR3＝．2．(2016·××市质量检测(二))几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．16－2π3C．D．16－8π3解析：选C 该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥所得，所以其体积为2×2×4－×2×2×2＝．故选C．3．(2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是( )A．17πB．18πC．20πD．28π解析：选 A 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图．设球的半径为R，则πR3－×πR3＝π，解得R＝2．因此它的表面积为×4πR2＋πR2＝17π．故选A．4．(2016·高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，其底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V＝×1＝．答案：325．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3．解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V＝π×12×1×2＋π×12×2＝π．答案：π1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A．7 B．6C．5 D．3解析：选A 设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r．由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7．2．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为( )A．6 B．8C．12 D．24解析：选 C 由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′．由题意，得×6××22×h＝2，∴h＝1，∴斜高h′＝＝2，∴S侧＝6××2×2＝12．故选C．3．(2015·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．＋2πB．13π6C．D．5π2解析：选B 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋×π×12×1＝π．4．(2017·××市实战考试)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为( )A．πB．32C．3πD．3解析：选A 由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为，故体积为π3＝π，故选A．5．(2016·高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3，则侧视图中线段的长度x的值是( ) A．B．27C．4 D．5解析：选C 分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P­ABCD，故其体积V＝××4×CP＝3，∴CP＝，∴x＝＝4，故选C．6．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1∶V2＝________．解析：由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，因此V1＝8π－＝，V2＝×23＝，V1∶V2＝1∶2．答案：1∶27．(2016·××市第二次质量检测)已知球O的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则球O的表面积为________．解析：由题意可得，球心在轴截面正方形的中心，则外接球的半径R＝＝，该球的表面积为4πR2＝8π．答案：8π8．(2016·四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2，设O为BD的中点，连接OA，OC，则OA⊥BD，OC⊥BD，结合正视图可知AO⊥平面BCD．又OC＝＝1，∴V三棱锥A­BCD＝××1＝．答案：339．(2017·武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．解析：如图，正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边长为2，所以AC＝4．在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝25π．答案：25π10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V 圆台－V圆锥＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝π．1．(2017·广西质检)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为( )A．B．14C．D．38解析：选 C 由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4．易知直三棱柱的体积为8，则。

高考数学一轮复习——空间几何体的结构及其表面积、体积
知识梳理
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称棱柱棱锥棱台
图形
底面互相平行且全等多边形互相平行且相似
侧棱平行且相等相交于一点，但不一定
相等
延长线交于一点
侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征
名称圆柱圆锥圆台球
图形
母线互相平行且相
等，垂直于底面
相交于一点延长线交于一点
轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆
侧面展
开图
矩形扇形扇环
2.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.。

第一节空间几何体的构造及其三视图和直观图【最新考纲】 1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的构造特点，并能运用这些特点描绘现实生活中简单物体的构造 .2. 能画出简单空间图形 ( 长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简略组合 ) 的三视图，能辨别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图 .3. 会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，认识空间图形的不一样表示形式．1．多面体的构造特点(1)棱柱的侧棱都相互平行，上下底面是全等的多边形．(2)棱锥的底面是随意多边形，侧面是有一个公共极点的三角形．(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥获得，其上下底面是相像多边形．2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任向来角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包含：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前面、正左方、正上方察看几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中， x′轴，y′轴的夹角为 45°或 135°，z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直．(2) 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段在直观图中长度为本来的一半．1． ( 怀疑夯基 ) 判断以下结论的正误．( 正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )(2) 有一个面是多边形，其他各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3) 用斜二测画法画水平搁置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴和 y 轴，且∠ A＝90°，则在直观图中，∠A＝45° .()(4) 正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均同样．()答案： (1) ×(2) ×(3) ×(4) ×2．如图，长方体 ABCD A′ B′ C′ D′中被截去一部分，此中EH∥A′D′.剩下的几何体是()A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体分析：由几何体的构造特点，剩下的几何体为五棱柱．答案： C3．(2016 ·邯郸调研) 一几何体的直观图如下图，以下给出的四个俯视图中正确的选项是()分析：因为组合体的上部分( 五面体 ) 与下部分 ( 长方体 ) 有同样的底面，则几何体在下底面的投影为图形 B.答案： B4．(2015 ·课标全国Ⅱ卷) 一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如以下图，则截去部分体积与节余部分体积的比值为()1 1 1 1A. 8B. 7C.6D. 5分析：如下图，由条件知，截去部分是正三棱锥D ABC.设正方体的棱长为a，则 V ＝a3 6 ，D ABC所以节余部分的体积V ＝5 3剩6a ，1故它们的体积之比为5.答案： D5．以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 ________．分析：由题意得圆柱的底面半径r ＝1，母线 l ＝ 1.所以圆柱的侧面积S＝ 2πrl ＝ 2π.答案： 2π一种思想棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后获得的，所以在解决棱台和圆台的有关问题时，常“还台为锥”，表现了转变的数学思想．两点注意1．注意空间几何体的不一样搁置对三视图的影响．2．画直观图注意平行性、长度两个因素．(1) 平行性不变； (2) 平行于 y 轴的线段长度减半，平行于x 轴、 z 轴的线段长度不变．三条规则——画三视图应按照的三条规则1．画法例则：“长对正，宽相等，高平齐”．2．摆放规则：侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的正下方．3．实虚线的画法例则：可见轮廓线和棱用实线画出，不行见线和棱用虚线画出．A 级基础稳固一、选择题1．(2014 ·福建卷 ) 某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不行能是() A．圆柱B．圆锥C．四周体D．三棱柱分析：由三视图知识知圆锥、四周体、三棱柱( 放倒看 ) 都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不行能为三角形．答案： A2．一个锥体的正视图和侧视图如下图，下边选项中，不行能是该锥体的俯视图的是()分析：注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项 C 中，其宽3，与题中所给的侧视图的宽度 1 不相等，所以选 C.度为2答案： C3．已知正方体的棱长为 1，其俯视图是一个面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A.3B．1C.2＋ 1D. 22 2分析：因为该正方体的俯视图是面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，所以该几何体的正视图是一个长为2，宽为 1 的矩形，其面积为 2.答案： D4．(2014 ·北京卷 ) 在空间直角坐标系O xyz 中，已知 A(2 ，0，0) ，B(2 ，2，0) ，C(0 ，2， 0) ，D(1 ，1，2) ．若 S1，S2，S3分别是三棱锥D ABC在 xOy，yOz， zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则()A． S1＝ S2＝S3B．S2＝S1且S2≠ S3C． S3＝ S1且 S3≠ S2D．S3＝S2且S3≠ S1分析：如右图所示。

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第七章立体几何理北师大版第1课时空间几何体的结构及其三视图和直观图1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．1．旋转体的形成2.多面体的结构特征3.直观图画直观图的方法叫斜二测画法，其画法的规则是：(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．4．三视图(1)三视图的特点：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应．(2)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出．[基础自测]1．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展开．得到如图的平面图形．则标“△”的面的方位是( ) A．南B．北C．西D．下解析：还原为正方体，依条件标出方位，结合展开图判定．答案：B2．(教材改编题)无论怎么放置，其三视图完全相同的几何体是( )A．正方体B．长方体C．圆锥D．球解析：只有球无论怎样放置，其三视图完全相同．答案：D3．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形解析：如图，x′O′y′还原为xOy时，∠C′A′B′还原为∠CAB，大于90°.答案：C4．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，其余的正视图均不是三角形．答案：①②③⑤5．给出下列四个命题：①直角三角形绕一条边旋转得到的旋转体是圆锥；②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④通过圆台侧面上一点，有无数条母线．其中正确命题的序号是________．解析：①错误，应为直角三角形绕其一条直角边旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边旋转得到的是两个圆锥构成的一个几何体，如图(1)．②错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(2)．③正确，如图(3)．④错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(4)．答案：③考点一空间几何体的结构特征大一轮复习BSD数学(理)第七章立体几何[例1] 下列结论中正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线审题视点根据常见几何体的结构特征，借助常见的几何模型进行判断．解析当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误．答案 D要明确柱体、锥体、台体和球的结构特征，认识和把握几何体的结构特征是认识空间几何体的基础和关键；对于几何体的结构特征要从其反映的几何体的本质去把握，有利于从中找到解题的突破点．1．给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．答案：B2．(2016·商洛调研)设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的．答案：①④考点二几何体的三视图[例2] (2014·高考江西卷)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )审题视点 根据三视图的概念，直接观察求解即可．解析 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.答案 B画三视图时，应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽相等”，注意虚、实线的区别，同时应熟悉一些常见几何体的三视图．解决由三视图相象几何体，进而进行有关计算的题目，关键是准确把握三视图和几何体之间的关系．1．(2016·山西康杰中学模拟)已知某锥体的正视图和侧视图如图所示，其体积为233，则该锥体的俯视图可能是( )解析：由正视图得该锥体的高是h ＝22－12＝3，因为该锥体的体积为233，所以该锥体的底面面积是S ＝23313h ＝23333＝2，A 项的正方形的面积是2×2＝4，B 项的圆的面积是π×12＝π，C 项的大三角形的面积是12×2×2＝2，D 项不可能是该锥体的俯视图，故选C.答案：C2. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()解析：由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体(如图所示)，且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D.答案：D考点三 几何体的直观图[例3] 已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.32a 2 B.33a 2 C.68a 2D.616a 2 审题视点 画出正三角形△ABC 的平面直观图 △A ′B ′C ′，求△A ′B ′C ′的高即可．解析 如图所示，正三角形ABC 的实际图形和直观图．由图可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在直观图中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a . ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.答案 D直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图．注意被遮挡的部分画成虚线．1．(2016·长沙模拟)如图，一平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC ，且该梯形的面积为2，则原图形的面积为( ) A ．2 B. 2 C ．2 2 D ．4解析：由斜二测画法知原图形仍为梯形，上、下两底长度不变，高为直观图中梯形高的42倍，故原图形的面积为2·42＝4.答案：D2．等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为__________．解析：∵OE ＝22－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝24，∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.答案：22因三视图识图不准致误[典例] 某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．解题指南 ①将三视图还原为直观图求解；②表面积包括哪些部分．解析 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．在四边形ABCD 中，作DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE ＝4，AE ＝3，则AD ＝5. 所以其表面积为：2×12×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.答案 92易错分析 由三视图还原空间几何体形状时出错，误把AD 看成主视图中的两段线段长度相加． 备考建议 解决三视图与几何体间的转化问题时，还有以下几点在备考时要高度关注： (1)画三视图时对个别的视图表达不准确，不能正确地画出所要求的视图； (2)对三视图中实虚线的含义不明确或画三视图时不能用虚线表示看不到的轮廓线．在复习时要明确三个视图各自的含义，还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考查．◆画空间几何体的三视图的两个步骤第一步，确定三个视图的形状；第二步，将这三个视图摆放在平面上．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．◆三视图与空间几何体中的几何量的关系空间几何体的数量关系也体现在三视图中，主视图和左视图的“高平齐”，主视图和俯视图的“长对正”，左视图和俯视图的“宽相等”．其中，主视图、左视图的高就是空间几何体的高，主视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，左视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．要尽量按照这个规则画空间几何体的三视图．课时规范训练 [A 级 基础演练]1．以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由正棱锥的定义可知所有侧棱相等，故①正确；由于直棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面矩形不一定全等，因此②不正确；由圆柱母线的定义可知③正确；结合圆锥轴截面的作法可知④正确．综上，正确的命题有3个．答案：B2．(2014·高考福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．四面体D ．三棱柱解析：由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A. 答案：A3. (2016·开封摸底)一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为( )A. 2B. 3 C ．2D ．4解析：由题知，所求正视图是底边长为2，腰长为3的等腰三角形，其面积为12×2×()32－1＝2.答案：A4．下面关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱． 其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．解析：①错，必须是两个相邻的侧面；②正确；③错，反例，可以是斜四棱柱；④正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形．答案：②④5. (2016·西城区检测)已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正视图的面积为2 3.答案：2 36．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．解析：过A 作AE ⊥BC 于E ，在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22.而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1. ∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1. 由此可还原原图形如图．在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1，且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′. ∴这块菜地的面积为S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22. 答案：2＋227．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．解：作出圆台的轴截面如图．设O ′A ′＝r ，则SO ′＝r ，∵一底面周长是另一底面周长的3倍，∴OA ＝3r ，则SO ＝3r ，SA ＝32r ， ∴OO ′＝2r .由轴截面的面积为12(2r ＋6r )·2r ＝392，得r ＝7.故上底面半径为7，下底面半径为21，高为14，母线长为14 2.8．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA .解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2.由正视图可知AD ＝6且AD ⊥PD ， 所以在Rt △APD 中，PA ＝PD 2＋AD 2＝22＋62＝63(cm)．[B 级 能力突破]1．(2015·高考课标卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15解析：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15，故选D.答案：D2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A ．6 2B ．4 2C ．6D ．4解析：将三视图还原为几何体再计算，几何体为三棱锥．如图，侧面SBC ⊥底面ABC .点S 在底面ABC 的射影点O 是BC 的中点，△ABC 为直角三角形． ∵AB ＝4，BO ＝2，∴AO ＝20，SO ⊥底面ABC ， ∴SO ⊥AO ，SO ＝4，∴最长的棱AS ＝20＋16＝6.答案：C3．(2014·高考北京卷)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (1,1，2)．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D ­ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2D ．S 3＝S 2且S 3≠S 1解析：作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影，计算三角形的面积．如图所示，△ABC 为三棱锥在坐标平面xOy 上的正投影，所以S 1＝12×2×2＝2.三棱锥在坐标平面yOz 上的正投影与△DEF (E ，F 分别为OA ，BC 的中点)全等，所以S 2＝12×2×2＝ 2.三棱锥在坐标平面xOz 上的正投影与△DGH (G ，H 分别为AB ，OC 的中点)全等，所以S 3＝12×2×2＝2.所以S 2＝S 3且S 1≠S3.故选D. 答案：D4．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是__________．解析：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中的四面体A ­CB 1D 1；②错误，反例如图所示，底面△ABC 为等边三角形，可令AB ＝VB ＝VC ＝BC ＝AC ，则△VBC 为等边三角形，△VAB 和△VCA 均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面．答案：①5．已知一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)________．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：由三视图可知该几何体为底面是边长为a 的正方形，高为b 的长方体．若以四个顶点为顶点的图形为平行四边形，则一定是矩形，故②不正确．答案：①③④⑤6．(2016·武邑一模)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体 的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为________．解析：本题构造长方体，体对角线长为7，其在侧视图中为侧面对角线a ，在俯视图中为底面对角线b ，设长方体底面宽为1，则b 2－1＋a 2－1＝6，即a 2＋b 2＝8，利用不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22＝4，则a ＋b ≤4.答案：47．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)． 解：(1)设圆柱的高为h ，由题意可知， 4(4r ＋2h )＝9.6，即2r ＋h ＝1.2.S ＝2πrh ＋πr 2＝πr (2.4－3r )＝3π[－(r －0.4)2＋0.16]，其中0＜r ＜0.6.∴当半径r＝0.4米时，S max＝0.48π≈1.51(平方米)．(2)由r＝0.3及2r＋h＝1.2，得圆柱的高h＝0.6(米)．则灯笼的三视图为：第2课时空间几何体的表面积与体积了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．柱、锥、台与球的侧面积和体积1．(教材改编题)一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4πD ．π解析：由V 正方体＝a 3＝8得a ＝2， ∴正方体的内切球半径为1. ∴S 球＝4πR 2＝4π. 答案：C2．一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm ，瓶里所装的水深为8 cm ，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm ，则钢球的半径为( )A ．1 cmB ．1.2 cmC ．1.5 cmD ．2 cm解析：∵V 球＝43πR 3＝π×32×8.5－π×32×8＝4.5π，∴R ＝32＝1.5(cm)．答案：C3．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为( )A ．4 m 2B ．3 m 2C ．2 m 2D ．5 m 2解析：由三视图可知，该几何体为三棱锥(如图所示)，AC ＝4，SO ＝2，BD ＝3.∴V S －ABC ＝13×12×4×3×2＝4.答案：A4．圆台的母线长为2 cm ，两底面半径分别为1 cm,5 cm ，则该圆台的侧面积是________cm 2. 解析：圆台的侧面积S ＝π(1＋5)×2＝12π(cm 2)． 答案：12π5．各棱长都为1的正四棱锥的体积V ＝________.解析：如图所示，正四棱锥S －ABCD 的各棱长均为1，连接AC ，O 为AC 的中点，连接SO ，则易知SO 为正四棱锥S －ABCD 的高．SO 2＝SC 2－OC 2＝1－12＝12，SO ＝22，所以各棱长都为1的正四棱锥S －ABCD 的体积V ＝13S 四边形ABCD ·SO ＝13×1×22＝26.答案：26考向一 几何体的表面积与侧面积[例1] (1)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5(2)(2016·广州市高三调研)已知四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P －ABCD 的四个侧面中面积最大的是( ) A ．3B ．2 5C ．6D ．8审题视点 根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观图的图形特征求其表面积或侧面积．解析 (1)由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，且CD ＝4，BD ＝5，BE ＝2，ED ＝3，AE ＝4.∵AE ＝4，ED ＝3，∴AD ＝5.又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ，∴CD ⊥平面ABD ，故CD ⊥AD ， ∴AC ＝41且S △ACD ＝10.在Rt △ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝2 5.在Rt △BCD 中，BD ＝5，CD ＝4，故S △BCD ＝10，且BC ＝41. 在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，故S △ABD ＝10.在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41，则AB 边上的高h ＝6，故S △ABC ＝12×25×6＝6 5.因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋6 5.(2)由三视图知四棱锥如图所示，N 为CD 的中点，M 为AB 的中点，易知PM ＝3，PN ＝5，S △PDC ＝12×4×5＝25，S △PBC ＝S △PAD ＝12×2×3＝3，S △PAB ＝12×4×3＝6.故选C.答案(1)B (2)C(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积的和．(2)若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(3)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．1．(2016·潍坊市考前适应性训练)如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为( )A．16＋4πB．12＋4πC．16＋8πD．12＋8π解析：该几何体是半圆柱和一个三棱柱的组合体，其侧面积为4π＋6＋10＝16＋4π.答案：A2．(2015·高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．3πB．4πC．2π＋4D．3π＋4解析：由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．表面积为2×2＋2×12×π×12＋π×1×2＝4＋3π.答案：D考点二 几何体的体积[例2] 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．审题视点 利用三棱锥的体积公式直接求解．解析 VD 1－EDF ＝VF －DD 1E ＝13S △D 1DE ·AB ＝13×12×1×1×1＝16.答案 16求锥体的体积，要选择适当的底面积和高，然后应用公式V ＝13Sh 进行计算即可．常用方法：割补法和等积变换法．(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积． (2)等积变换法：①利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面，求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积性”可求“点到面的距离”．1．(2015·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( ) A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323 cm 3D.403 cm 3解析：由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)．答案：C2．(2015·高考山东卷)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C ．22πD ．42π解析：绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为2，故所求几何体的体积V ＝2×13×2π×2＝42π3.答案：B考点三 几何体的展开与折叠[例3] (1)(2015·南京模拟)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm.(2)如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．审题视点 (1)将正三棱柱的侧面展开转化为平面问题来解决；(2)将平面图形折叠后得到一个四棱锥，用相关公式可求得体积． 解析 (1)将正三棱柱沿棱AA 1两次展开，得到如图所示的矩形，可知最短路线长为矩形的对角线长，从而所求最短路线的长为52＋122＝13(cm)．(2)由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可得高为22，所以体积为V ＝13×1×1×22＝26.答案 (1)13 (2)261．求几何体表面上两点间的最短距离问题的特点是：图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上，解题时需将图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决．2．折叠问题是立体几何中常见的题型，几何体的展开与平面图形的折叠，体现了空间图形与平面图形的转化，是解决立体几何问题时常用的方法．1. 已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，如图所示，则CP＋PA1的最小值为________．解析：PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计算A1B＝AB1＝40，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示．CP＋PA1≥A1C.在△AC1C中，由余弦定理得A 1C＝62＋22－2·6·2·cos 135°＝50＝52，故(CP＋PA1)min＝5 2.答案：5 22．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC为等边三角形，AA′⊥平面ABC，AB＝3，AA′＝4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为29，设这条路线与CC′的交点为N.(1)求该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)求PC 与NC 的长．解：(1)该三棱柱的侧面展开图是边长分别为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97. (2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如图所示．设PC ＝x ，则MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2. ∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3， ∴x ＝2，即PC ＝2. 又NC ∥AM ， ∴PC PA ＝NC AM ，即25＝NC 2， ∴NC ＝45.。

【高考领航】 2017 届高考数学大一轮复习第七章立体几何 7.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图课时规范训练文北师大版[A 级基础操练]1．以下四个命题：①正棱锥的全部侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面必定是全等的等腰三角形．此中，真命题的个数为 ( )A． 4 B． 3C． 2 D． 1分析：由正棱锥的定义可知全部侧棱相等，故①正确；因为直棱柱的底面不必定是正多边形，故侧面矩形不必定全等，所以②不正确；由圆柱母线的定义可知③正确；联合圆锥轴截面的作法可知④正确．综上，正确的命题有 3 个．答案： B2．(2014 ·高考福建卷) 某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不行能是()A．圆柱B．圆锥C．四周体D．三棱柱分析：由三视图知识知圆锥、四周体、三棱柱( 放倒看 ) 都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不行能为三角形，应选 A.答案： A3.(2016 ·开封摸底 ) 一个正四棱锥的全部棱长均为2，其俯视图以下图，则该正四棱锥的正视图的面积为()A. 2B. 3C． 2 D． 4分析：由题知，所求正视图是底边长为 2 ，腰长为1 3的等腰三角形，其面积为22×2×(3)－1＝ 2.4．下边对于四棱柱的四个命题：①如有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．此中，真命题的编号是________( 写出全部真命题的编号) ．分析：①错，一定是两个相邻的侧面；②正确；③错，反例，能够是斜四棱柱；④正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形．答案：②④5.(2016 ·西城区检测 ) 已知一个正三棱柱的全部棱长均相等，其侧 ( 左) 视图以下图，那么此三棱柱正 ( 主 ) 视图的面积为 ________．分析：由正三棱柱三视图复原直观图可得正 ( 主 ) 视图是一个矩形，此中一边的长是侧 ( 左 ) 视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧 ( 左 ) 视图中三角形的边长为 2，所以高为 3，所以正视图的面积为 2 3.答案：2 36．有一块多边形的菜地，它的水平搁置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形( 如图所示) ，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为 ________．分析：过 A 作 AE⊥ BC于 E，在Rt△ ABE中， AB＝1，∠ ABE＝45°，∴ BE ＝2 2 .而四边形 AECD为矩形， AD＝1，∴EC＝AD＝1.2∴BC＝BE＋ EC＝2＋1.由此可复原原图形如图．在原图形中， A′ D′＝1， A′ B′＝2，2B′ C′＝2＋1，且 A′D′∥ B′ C′， A′ B′⊥ B′ C′.1∴这块菜地的面积为S＝2( A′ D′＋ B′ C′)· A′ B′12 2＝1＋ 1＋×2＝ 2＋ .2 2 22答案： 2＋7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，轴截面的面积等于392，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．解：作出圆台的轴截面如图．设′ ′＝，则′＝，O Ar SO r∵一底面周长是另一底面周长的 3 倍，∴OA＝ 3r，则SO＝ 3r，SA＝ 3 2r，∴ ′＝2r .OO1由轴截面的面积为2(2 r＋6r)·2r＝392，得r＝7.故上底面半径为7，下底面半径为21，高为 14，母线长为14 2.8．如图，在四棱锥P－ ABCD中，底面为正方形，PC与底面 ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)依据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求 PA.解： (1) 该四棱锥的俯视图为( 内含对角线 ) ，边长为 6 cm 的正方形，如图，其面积为36cm2.(2)由侧视图可求得2 2PD＝PC＋ CD＝ 62＋ 62＝ 6 2.由正视图可知 AD ＝ 6 且 AD ⊥ PD ，所以在 Rt △ APD 中，PA ＝ 222 22＝ 6 3(cm) ．PD ＋ AD ＝＋6 [B 级 能力打破 ]1． (2015 ·高考课标卷Ⅱ ) 一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如以下图，则截去部分体积与节余部分体积的比值为( )1 1 A. 8 B. 7 11 C. 6D. 5分析：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后节余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V ＝ 1 113× 2×1×1×1＝6，1节余部分的体积 V 2＝31 5 1－＝.6 61V 16 1所以 V 2 ＝5＝ 5，应选 D.6答案： D2．(2014 ·高考新课标全国卷Ⅰ) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A ． 6 2B ． 4 2C ． 6D ． 4分析： 将三视图复原为几何体再计算，几何体为三棱锥．如图，侧面 SBC ⊥底面 ABC .点 S 在底面 ABC 的射影点 O 是 BC 的中点，△ ABC 为直角三角形． ∵ AB ＝4， BO ＝ 2，∴ AO ＝ 20， SO ⊥底面 ABC ，∴ SO ⊥AO ， SO ＝4，∴最长的棱 AS ＝ 20＋ 16＝ 6. 答案： C3．(2014 ·高考北京卷 ) 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知 (2,0,0) ， (2,2,0) ， (0,2,0) ，A B CD (1,1 ， 2) ．若 S ，S ，S 分别是三棱锥D - ABC 在 xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形123的面积，则 ()A ． S 1＝ S 2＝S 3B ． S 2＝ S 1 且 S 2≠ S 3C ． S 3＝ S 1 且 S 3≠ S 2D ． S 3＝ S 2 且 S 3≠ S 1分析：作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影，计算三角形的面积．以下图，△ ABC 为三棱锥在座标平面 xOy 上的正投影，所以S ＝1 2×2×2＝ 2. 三棱锥11在座标平面yOz上的正投影与△DEF( E， F 分别为 OA， BC的中点)全等，所以S2＝2×2× 2＝ 2. 三棱锥在座标平面xOz 上的正投影与△DGH(G， H 分别为 AB，OC的中点)全等，所以1S3＝2×2×2＝ 2. 所以S2＝S3且S1≠S3. 应选 D.答案： D4．给出以下命题：①在正方体上随意选择 4 个不共面的极点，它们可能是正四周体的4个极点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③如有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．此中正确命题的序号是________．分析：①正确，正四周体是每个面都是等边三角形的四周体，如正方体ABCD-A1B1C1D1中的四周体A- CB1D1；②错误，反比以下图，底面△ABC为等边三角形，可令AB＝ VB＝ VC＝BC＝ AC，则△ VBC为等边三角形，△ VAB和△ VCA均为等腰三角形，但不可以判断其为正三棱锥；③错误，一定是相邻的两个侧面．答案：①5．已知一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上随意选择 4 个极点，它们可能是以下各样几何形体的 4 个极点，这些几何形体是( 写出全部正确结论的编号)________ ．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四周体；④每个面都是等腰三角形的四周体；⑤每个面都是直角三角形的四周体．分析：由三视图可知该几何体为底面是边长为 a 的正方形，高为 b 的长方体．若以四个答案： ①③④⑤6．(2016 ·武邑一模 ) 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 ＋ b 的最大值为 ________．a分析：此题结构长方体， 体对角线长为 7，其在侧视图中为侧面对角线a ，在俯视图中为底面对角线＋ b ，设长方体底面宽为 1，则 b 2－ 1＋ a 2－1＝ 6，即 a 2＋ b 2＝8，利用不等式a b22≤a 2＋b 2＝ 4，则a＋ ≤4.2b答案： 47．以下图， 为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架， 总计耗用 9.6米铁丝．再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面( 不安装上底面 ) ．(1) 当圆柱底面半径r 取何值时， S 获得最大值？并求出该最大值( 结果精准到 0.01 平方米)；(2) 若要制作一个如图搁置的、 底面半径为 0.3 米的灯笼，请作出灯笼的三视图 ( 作图时，不需考虑骨架等要素 ) ．解： (1) 设圆柱的高为 h ，由题意可知，4(4 r ＋2h ) ＝ 9.6 ，即 2r ＋h ＝ 1.2.S ＝ 2πrh ＋ π r 2＝π r (2.4 － 3r )＝ 3π [ － ( r － 0.4) 2＋ 0.16] ，此中 0＜ r ＜ 0.6.∴当半径 r ＝ 0.4 米时， S max ＝0.48 π ≈1.51( 平方米 ) ．(2) 由 r ＝ 0.3 及 2 ＋ ＝1.2 ，得圆柱的高＝ 0.6( 米) ．r h h则灯笼的三视图为：。