上海市虹口区上海市继光高级中学2023届高一数学第一学期期末统考模拟试题含解析

2021-2022年上海市虹口区高一数学上学期期末试卷及答案一．填空题1. 已知集合，，则______．{}1,0,1A =-{}220B x x x =-=A B ⋃=【答案】{1,0,1,2}-2. 不等式的解集为______． 20221x ≤【答案】(,0]-∞3. 已知a 、b 是方程的两个根，则______． 23410x x -+=11a b+=【答案】44. 已知，则的最大值为______． 04x <<()4x x -【答案】45. 设：；：．若是的充分条件，则实数m α()124R m x m m +≤≤+∈β13x ≤≤βα的取值范围为______． 【答案】 102m -≤≤6. 已知，则________. 236a b ==11a b+=【答案】17. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300的内接矩形花园（阴影部2m 分），则其一边长x （单位m ）的取值范围是___________.【答案】[10，30]8. 若存在实数x 满足，则实数a 的最小值为______． 2125x x a a ++-≤-++【答案】1-9. 不等式的解集为______． 136x x ++-≤【答案】 []2,4-10. 若函数的反函数为，则关于x 的不等式的()()10f x x x x=->()1y f x -=()13f x -≤解集为______． 【答案】8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11. 已知函数（且）在的最大值与最小值之差等于，则实数的x y a =0a >1a ≠[]1,22aa 值为______． 【答案】或 321212. 若函数有2个零点，则实数a 的取值范围是______．()2,1,x x x x a f x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩【答案】(](]2,01,2- 13. 在实数运算中定义新运算“”：，则函数的零⊕2,,a a b a b b a b≥⎧⊕=⎨<⎩()()232y x x =-⊕点个数为______． 【答案】 2二．选择题14. 设a 、b 都是实数，则“且”是“且”的（ ）条件 1a >2b >3a b +>2ab >A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要【答案】A15. 函数的图象关于（ ）对称()22x xy x -=-A. x 轴B. y 轴C. 原点D. 直线y x =【答案】B16. 函数的零点所在的区间为（ ） 12xy x=-A. B.C.D.()1,0-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2【答案】C17. 已知a 、，有以下3个命题：①若，则；②若，则b ∈R 01a b <<<a b a b <01a b <<<；③若，则．其中真命题的个数是（ ）log log a b b a <1a b >>b a a b <A. 3个 B. 2个C. 1个D. 0个【答案】C18. 设关于x 的一元二次不等式与的解集分别为20ax bx c ++≤20dx ex f ++≤与，则不等式的解集为（ ）(][),23,-∞⋃+∞∅()()220ax bx c dx ex f ++++≥A. B.C.D.()2,3[]2,3R ∅【答案】B19. 已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩x [()]0f f x =则实数的取值范围是（ ） a A. B. (,0)(0,1)-∞ (,0)(1,)-∞⋃+∞C. D.(,0)-∞(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B20. 已知函数，若函数在上是严格减函数，则实数a 的取()131log ,311,33xx x f x a x ⎧>⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩()f x R 值范围是（ ） A.B.)∞+()0,∞+C.D.))∞+【答案】D三．解答题21. 设全集为，已知，．R 301x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭{}223B x a x a =-<<+（1）若，求；1a =A B ⋂（2）若，求实数a 的取值范围． A B ⋃=R 【答案】（1）； {|13}x x <≤（2）.3a >22. 设函数，且；()y f x =()2,1,11x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪-⎩（1）作出函数的大致图像，并指出它的单调区间； ()y f x =（2）当实数a 变化时，讨论关于x 的方程的解的个数．()f x a =【答案】（1）函数的图像见解析，递减区间为，，递增区间是()y f x =(,0)-∞(1,2)，；(0,1)(2,)+∞（2）关于x 的方程的解的个数见解析.()f x a =23. 设函数，且．()y f x =()211f x x =--（1）作出函数的大致图像，并指出它的单调区间； ()y f x =（2）当实数a 变化时，讨论关于x 的方程的解的个数．()f x a =【答案】（1）函数的图像见解析，递减区间为，，递增区间是()y f x =(,1)-∞-(0,1)，；(1,0)-(1,)+∞（2）关于x 的方程的解的个数见解析.()f x a =24. 某小微公司每年燃料费约20万元．为了“环评”达标，需要安装一块面积为()0x x ≥（单位：平方米）可用10年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互2x补工作，从此，公司每年的燃料费为（，k 为常数）万元．记y 为该公司101040kx +0x ≥年的燃料费与安装太阳能板的费用之和．（1）求k 的值，并写出函数的表达式；()y f x =（2）求y 的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x ． 【答案】（1），()； 800k =80042xy x =++0x ≥（2）38万元，安装的太阳能板的面积为36平方米.25. 已知函数，．()()()22log 1log 1f x x x =--+()1421xx g x m m +=+-+（1）判断函数的奇偶性与单调性，并说明理由； ()y f x =（2）若对满足的实数p 、q ，都有，求实数m 的取值范()()0f p f q +=()()0g p g q +≥围．【答案】（1）奇函数，减函数，理由见解析 （2） 2512m ≥-26. 已知函数，．()()()22log 1log 1f x x x =--+()1421xx g x m m +=+-+（1）判断函数的奇偶性与单调性，并说明理由；()y f x =（2）若对任意都成立，求实数m 的取值范围． ()0g x ≥[)0,x ∈+∞【答案】（1）奇函数，减函数，理由见解析（2） m ≥27. 已知函数． ()221x f x x-=（1）求函数的值域；()y f x =（2）若不等式在时恒成立，求实数k 的最大值；()231x f x x kx +≥+[]1,2x ∈（3）设（，，），若函数的值域()()1g x t f x =⋅+11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0m n >>0t >()y g x =为，求实数t 的取值范围． []23,23m n --【答案】（1） (,1)-∞（2）2-（3）(0,1)28. 若函数满足，则称函数为“倒函数”． ()y f x =()()1f x f x ⋅-=()y f x =（1）判断函数和是否为倒函数，并说明理由； ()11x f x x+-=()13x g x +=（2）若（恒为正数），其中是偶函数，是奇函数，求()()()q x x p x ϕ⎡⎤=⎣⎦()p x ()p x ()q x 证：是倒函数； ()x ϕ（3）若为倒函数，求实数m 、n 的值；判定函数的()()0h x nx n =>()y h x =单调性，并说明理由．【答案】（1）函数和都不是“倒函数”；()f x ()g x （2）因函数是偶函数，是奇函数，则它们的定义域必关于数0对称， ()p x ()q x 依题意，的定义域是函数与定义域的交集，也必关于数0对称， ()x ϕ()p x ()q x 因此，， ()()()()()()()()()()()01q x q x q x q x x x p x p x p x p x p x ϕϕ--⎡⎤⎡=⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-=⋅-⋅⎣⎦⎣⎦⎣=⎣⎦⎣⎦=⎦所以是倒函数.()x ϕ（3）显然，函数的定义域关于数0对称，又是倒函数，()h x ()h x于是得，则，()()22))(1)1h x h x nx nx n x m ⋅-=+⋅-=-+=2101n m ⎧-=⎨=⎩又，解得，0n >1,1m n ==所以实数m 、n 的值分别为； 1,1m n ==函数是R 上的增函数，()h x x =，，12,R x x ∀∈12x x <则()()121212))h x h x x x x x -=-+=+-，12(1)x x =-+，，1212||||x x x x +>+=+≥--1>-而，即，于是有，即，12x x <120x x -<12(1)0x x -<()()12h x h x <所以函数是R 上的增函数.()h x x =+。

2020~2021学年上海虹口区高一上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.【答案】【解析】【踩分点】已知集合，，则 ．∵集合，．∴．2.【答案】【解析】【踩分点】不等式的解集为 ．不等式可化为，或，解得，或，∴原不等式的解集为：．3.【答案】【解析】【踩分点】函数，的值域为 ．由双勾函数性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增，又∵，，，∴函数，的值域是．4.【答案】【解析】【踩分点】计算： ．．5.【答案】【解析】【踩分点】用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是 ．设函数，易知函数为增函数，∵，，，∴下一个有根区间是，那么下一个取的点是．故答案为：．6.【答案】【解析】已知条件，，且是的必要条件，则实数的取值范围为 ．∵条件：，：，且是的必要条件，∴，解得，则实数的取值范围是．【踩分点】故答案为︰．7.【答案】【解析】【踩分点】不等式的解集为 ．①当时，不等式可化为，∴，∴；②当时，不等式可化为，恒成立，；③当时，不等式可化为，，∴，综上所述：不等式的解集为．故答案为∶．8.【答案】【解析】【踩分点】已知函数的反函数为，若函数的图象过点，则实数的值为 ．的反函数为，∵函数的图象经过点，∴函数的图象经过点，∴，解得．故答案为：．9.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ．【答案】【解析】【踩分点】令，原函数化为，函数为增函数，要使函数在区间上是增函数，则在上单调递增，则．∴实数的取值范围为．故答案为：．10.【答案】【解析】【踩分点】，其中，，且，，其中，，且，则的元素个数为 ．（用含正整数的式子表示）∵，，∴，∵，，且，∴，∴元素的个数为：．11.【答案】【解析】若集合，，且，则满足条件的实数的取值集合为 ．，解得或，则，【踩分点】①时，，此时满足条件；②时，要满足，则或，解得或，综上所述，实数的取值集合为．12.【答案】【解析】【踩分点】已知函数，若，则实数的取值范围为 ．函数的图象如图所示，当时，，，当时，，，所以在上单调递增，且，，所以，所以是奇函数，若，则相当于，相当于，即，得或，所以的取值范围是．13.已知函数是定义在实数集上的偶函数，若在区间上是增函数，且，则不等式的解集为 ．【答案】【解析】【踩分点】因为是定义在实数集上的偶函数，在区间上是增函数，且，所以在上单调递减，且，所以在上，在上．因为不等式，所以或，即或或或，解得或，即不等式的解集为．故答案为：．或或二、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）14.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】已知，都是实数，那么“”是“”的（ ）．C ∵函数在上单调递增，则当时，有，故充分性成立，当，即时，有，故必要性成立，∴“”是“”的充要条件．故选．15.A.关于轴对称B.关于轴对称函数的图象的对称性为（ ）．C.关于原点对称D.关于直线对称【答案】【解析】B 因为，定义域为，且，所以函数是偶函数，即函数图象关于轴对称．故选．16.A.B. C. D.【答案】【解析】已知全集及集合，，则的元素个数为（ ）．B 集合，集合，则，所以，含个元素．故选．且其中且且或17.A.B. C. D.【答案】【解析】已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（ ）．D 已知函数，，的零点依次为、、，当时，，即；当时，，即；当时，，即．在同一平面直角坐标系中分别作出函数，，，的图象，如图：由图知．故选．18.A. B.C.D.【答案】【解析】设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）．A（排除法）当则得，即在时恒成立，而最大值，是当时出现，故的最大值为，则恒成立，排除项，同理再验证时，恒成立，排除项，时，不成立，故排除项．故选：．19.A.B.C.D.【答案】【解析】若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（ ）．D 对于函数，时，为减函数，时，为增函数，故应有．对于函数，显然不为，对比函数可知，时，在上为减函数，时，在上为增函数，因此．故选．三、解答题（本大题共5小题，共50分）20.【答案】【解析】【踩分点】已知，是任意实数，求证：，并指出等号成立的条件．证明见解析，时，等号成立．证明：因故，即．当且仅当时，等号成立．21.【答案】【解析】某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道．设计要求停车场外侧南北的人行通道宽，东西的人行通道宽，如图所示（图中单位：）．问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？北南停车场设计矩形停车场南北侧边长为，其东西侧边长为，人行通道占地面积最小，最小面积是．设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为，【踩分点】人行通道占地面积为，由均值不等式，得 ，当且仅当，即时，，此时．所以，设计矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为，人行通道占地面积最小．22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知函数．作出这个函数的大致图象．讨论关于的方程的根的个数．图象见解析．当时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为．，故先将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，最后将函数的图象轴下方部分翻折到轴上方，即可得到函数的大致图象．–8–6–4–22468–22468当时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为；当或时，方程的根的个数为．23.24.（1）（2）（3）（1）（2）【答案】已知函数．判断函数的奇偶性．对任意的实数，，且，求证：．若关于的方程有两个不相等的正根，求实数的取值范围．奇函数．证明见解析．（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知函数是定义在上的奇函数．求实数的值及函数的值域．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．，函数的值域是．实数的取值范围是：．由，解得：，反之时，，，符合题意，故，由，时，，时，，故函数的值域是．在递增，故，故，故，令，，则随的增大而增大，最大值是，故实数的取值范围是：．（3）（1）（2）（3）【解析】．因为，当时，，所以，即．当时，，，即．综上知，是奇函数．因为是单调递增函数，也是单调递增函数，由复合函数的单调性，知在上是单调递增函数．由（）知是上的奇函数．由奇函数的单调性知当时是单调递增函数，从而是定义在上的单调递增的奇函数．由，得，所以，即．由（）知函数是上的奇函数，故原方程可化为．令，则当时，，于是，原方程有两个不相等的正根等价于：关于的方程有两个不相等的正根，即【踩分点】或，因此实数的取值范围为．或25.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】设是正常数，函数满足．求的值，并判断函数的奇偶性．是否存在一个正整数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．；奇函数．存在；．由，得，即，注意到，解得．于是，对于任意实数，均有，即恒成立，故的定义域为．在中任取一个实数，都有，并且，故，因此是奇函数．设、是区间上任意给定实数，且，易知，故，因在上是严格增函数，故，【踩分点】从而在上是严格增函数，此时函数的最大值为．由对于任意恒成立，得，又是正整数，因此的最小值为．四、附加题26.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】对于定义在上的函数，设区间是的一个子集．若存在，使得函数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区间上具有性质．若函数在区间上具有性质，写出实数，所满足的条件．设是常数，若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围．．．当函数在区间上具有性质时，由其图象在上是抛物线，故此抛物线的开口向上（即)，且对称轴是；于是，实数，所满足的条件为：．记．设，是区间上任意给定的两个实数，总有．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．若，当时，总有且，故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．若，当且，时，总有且，故，因此在区间上是考查严格减函数；当且，时，总有且，故，因此在区间上是严格增函数．【踩分点】。

2021-2022学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）1. 设a 、b 都是实数，则“a >1且b >2”是“a +b >3且ab >2”的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要2. 函数y =x(2x −2−x )的图像关于( )对称A. x 轴B. y 轴C. 原点D. 直线y =x 3. 函数y =2x −1x 的零点所在的区间为( )A. (−1,0)B. (0,12)C. (12,1)D. (1,2)4. 已知a 、b ∈R ，有以下3个命题：①若0<a <b <1，则a a <b b ；②若0<a <b <1，则log a b <log b a ；③若a >b >1，则a b <b a ．其中真命题的个数是( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个5. 设关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ≤0与dx 2+ex +f ≤0的解集分别为(−∞,2]∪[3,+∞)与⌀，则不等式(ax 2+bx +c)(dx 2+ex +f)≥0的解集为( )A. (2,3)B. [2,3]C. RD. 06. 已知函数f(x)={log 12x,x >0a ⋅(13)x ,x ≤0，若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,0)∪(0,1)B. (−∞,0)∪(1,+∞)C. (−∞,0)D. (0,1)∪(1,+∞) 7. 已知函数f(x)={log 13x,x >13a ⋅(13)x ,x ≤13，若函数f(x)在R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是( )A. (√33,+∞)B. (0,+∞)C. [√33,3)D. [√33,+∞)二、填空题（本大题共13小题，共55.0分）8. 已知集合A ={−1,0,1}，B ={x|x 2−2x =0}，则A ∪B =______．9. 不等式2022x ≤1的解集为______．10. 已知a 、b 是方程3x 2−4x +1=0的两个根，则1a +1b =______．11. 已知0<x <4，则x(4−x)的最大值为______．12. 设α：m +1≤x ≤2m +4(m ∈R)，β：1≤x ≤3.若β是α的充分条件，则实数m 的取值范围为______．13. 已知2a =3b =6，则1a +1b =______．14. 如图所示，在锐角三角形空地中欲建一个面积不小于300m 2的矩形花园(阴影部分)，则其边长x 的取值范围为______．15. 若存在实数x 满足|x +1|+|x −2|≤−a 2+a +5，则实数a 的最小值为______．16. 不等式|x +1|+|x −3|≤6的解集为______．17. 若函数f(x)=x −1x (x >0)的反函数为y =f −1(x)，则关于x 的不等式f −1(x)≤3的解集为______．18. 已知函数y =a x (a >0,a ≠1)在[1,2]的最大值与最小值之差等于a 2，则实数a 的值为______．19. 若函数f(x)={x|x|−2x,x <a 1−x,x ≥a 有2个零点，则实数a 的取值范围是______． 20. 在实数运算中定义新运算“⊕”：a ⊕b ={a,a ≥b b 2,a <b，则函数y =(x 2−3)⊕(2x)的零点个数为______．三、解答题（本大题共7小题，共72.0分）21. 设全集为R ，已知A ={x|x−3x+1>0}，B ={x|2−a <x <2a +3}．(1)若a =1，求A −∩B ；(2)若A ∪B =R ，求实数a 的取值范围．22.设函数y=f(x)，且f(x)={|x−2|,x≥1 |xx−1|,x<1．(1)作出函数y=f(x)的大致图像，并指出它的单调区间；(2)当实数a变化时，讨论关于x的方程f(x)=a的解的个数．23.某小微公司每年燃料费约20万元．为了“环评”达标，需要安装一面积为x(x≥0)(单位：平方米)可用10年的太阳能板，其工本费为x2(单位：万元)，并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为k10x+40(x≥0,k为常数)万元．记y为该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和．(1)求k的值，并写出函数y=f(x)的表达式：(2)求y的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x．24.已知函数f(x)=log2(1−x)−log2(1+x)，g(x)=4x+2x+1m−m+1．(1)判断函数y=f(x)的奇偶性与单调性，并说明理由；(2)若对满足f(p)+f(q)=0的实数p、q，都有g(p)+g(q)≥0，求实数m的取值范围．(3)若g(x)≥0对任意x∈[0,+∞)都成立，求实数m的取值范围．25.已知函数f(x)=x2−1x2．(1)求函数y=f(x)的值域；(2)若不等式x2f(x)+1≥x3+kx在x∈[1,2]时恒成立，求实数k的最大值；(3)设g(x)=t⋅f(x)+1(x∈[1 m ,1n]，m>n>0，t>0)，若函数y=g(x)的值域为[2−3m,2−3n]，求实数t的取值范围．26.若函数y=f(x)满足f(x)⋅f(−x)=1，则称函数y=f(x)为“倒函数”．(1)判断函数f(x)=1+x1−x和g(x)=3x+1是否为倒函数，并说明理由；(2)若φ(x)=[p(x)]q(x)(p(x)恒为正数)，其中p(x)是偶函数，q(x)是奇函数，求证：φ(x)是倒函数；(3)若ℎ(x)=√x2+m+nx(n>0)为倒函数，求实数m、n的值；判定函数y=ℎ(x)的单调性，并说明理由．27.设函数y=f(x)，且f(x)=|x2−1|−1．(1)作出函数y=f(x)的大致图像，并指出它的单调区间；(2)当实数a变化时，讨论关于x的方程f(x)=a的解的个数．答案和解析1.【答案】A【解析】解：根据同向不等式的性质，前者能推出后者，反之，不成立，比如a=0.5，b=10，a+b>3，ab>2，推不出前者，故前者是后者的充分非必要条件，故选：A．根据同向不等式的性质，前者能推出后者，举反例得到，后者推不出前者，得出结论．本题考查四个条件的判断，并考查不等式的性质，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，设f(x)=x(2x−2−x)，其定义域为R，有f(−x)=(−x)(2−x−2x)=x(2x−2−x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故选：B．根据题意，分析函数的奇偶性，由函数奇偶性的定义可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意，定义域为(0,+∞)．∵y=2x与y=−1x在(0,+∞)上同为单调递增函数，∴函数f(x)=2x−1x在(0,+∞)上为单调递增函数．又∵f(12)=√2−2<0，f(1)=2−1>0，∴函数f(x)在区间(12,1)内必有一个零点．故选：C．判断函数f(x)=2x−1x 为单调递增函数，然后代入x=12，x=1，算出结果与0比较大小即可得到零点所在的区间．本题主要考查增函数的性质应用能力，以及零点定理的具体应用，本题属中档题．4.【答案】C【解析】解：当0<a <b <1时，取a =14，b =12，则a a =(14)14=[(12)2]14=(12)12=b b ，即命题①不正确；当0<a <b <1时，函数y =log a x ，y =log b x 在(0,+∞)都是减函数，于是得log a b <log a a =1=log b b <log b a ，即命题②正确；当a >b >1时，取a =3，b =2，则a b =32=9，b a =23=8，即a b <b a 不成立，命题③不正确，所以真命题个数是1．故选：C ．取值验证判断命题①、③；利用对数函数性质分析判断命题②作答．本题考查了对命题真假的判断，也考查了指数、对数函数的性质，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ≤0与dx 2+ex +f ≤0的解集分别为(−∞,2]∪[3,+∞)与⌀，所以x =2，x =3是ax 2+bx +c =0的解且a <0，dx 2+ex +f ≥0恒成立， 由(ax 2+bx +c)(dx 2+ex +f)≥0得，2≤x ≤3．故选：B ．由题意得x =2，x =3是ax 2+bx +c =0的解且a <0，dx 2+ex +f ≥0恒成立，从而可求．本题主要考查了二次不等式的解集的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数与方程的综合应用，指数函数与对数函数的性质，考查数形结合思想，属于较难题．利用换元法设f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，根据指数函数和对数函数的图象和性质求出t =1，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，由选项知a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x ≠0，由f(t)=log 12t =0，得t =1， 则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件； 当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x 的图象没有交点，所以f(0)>1，即a ⋅(13)0>1，解得a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)，故选：B ． 7.【答案】D【解析】解：因为函数f(x)={log 13x,x >13a ⋅(13)x ,x ≤13是R 上的严格减函数， 所以{a >0log 1313≤a ⋅(13)13， 解得，a ≥√33．由已知结合分段函数单调性列出不等式组，求解即可．本题考查分段函数的单调性，涉及指数函数的性质，属于基础题．8.【答案】{−1,0,1,2}【解析】解：∵集合A ={−1,0,1}，B ={x|x 2−2x =0}={0,2}，∴A ∪B ={−1,0,1,2}．故答案为：{−1,0,1,2}．求出集合B ，利用并集定义能求出A ∪B ．本题考查集合的运算，考查交集定义、一元二次方程性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】(−∞,0]【解析】解：由2022x ≤1=20220，得x ≤0，∴不等式2022x ≤1的解集为(−∞,0]．故答案为：(−∞,0]．直接由指数函数的单调性得答案．本题考查不等式的解法，考查指数函数的性质，是基础题．10.【答案】4【解析】解：a 、b 是方程3x 2−4x +1=0的两个根，a +b =43，ab =13， 所以1a +1b =a+b ab =4313=4，故答案为：4．通过韦达定理，转化求解表达式的值即可．本题考查函数零点与方程根的关系，韦达定理的应用，是基础题．【解析】解：因为0<x <4，则4−x >0，所以x(4−x)≤(x+4−x 2)2=4，当且仅当x =4−x ，即x =2时取等号，此时取得最大值为4，故答案为：4．利用基本不等式即可求解．本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．12.【答案】[−12,0]【解析】解：∵α：m +1≤x ≤2m +4(m ∈R)，β：1≤x ≤3， 若β是α的充分条件，令A ={x|1≤x ≤3}，B ={x|m +1≤x ≤2m +4,m ∈R,}∴集合A ⊆B ，得{m +1≤12m +4≥3，即−12≤m ≤0， ∴实数m 的取值范围为[−12,0]故答案为：[−12,0]．根据充分条件的定义可得关于m 的不等式组，解出即可．本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于简单题目，难度不大．13.【答案】1【解析】解：∵2a =3b =6，∴a =log 26，b =log 36，∴1a +1b =1log 26+1log 36=log 62+log 63=log 66=1，故答案为：1．先把指数式化为对数式求出a ，b 的值，再利用对数的运算性质进行求解． 本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．14.【答案】[10,30]【解析】解：如图所示，△ADE∽△ABC ， 设矩形的另一边长为y ， 则S △ADES△ABC=(40− y 40)2=(x40)2，所以y =40−x ，由题意可知xy ≥300，则x(40−x)≥300， 即x 2−40x +300≤0，解得10≤x ≤30， 所以实数x 的取值范围为[10,30]， 故答案为：[10,30]．设矩形的另一边长为y ，然后利用三角形相似得出x 与y 的关系，再由xy ≥300解出不等式的解集即可求解．本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，涉及到一元二次不等式的解法，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．15.【答案】−1【解析】解：由|x +1|+|x −2|≥|(x +1)−(x −2)|=3， 当且仅当(x +1)(x −2)≤0，即−1≤x ≤2时等号成立，若存在实数x 满足|x +1|+|x −2|≤−a 2+a +5，则−a 2+a +5≥3， 即a 2−a −2≤0，解得−1≤a ≤2． ∴实数a 的最小值为−1． 故答案为：−1．利用含绝对值的三角不等式求出|x +1|+|x −2|的最小值，问题转化为−a 2+a +5≥3，求解不等式可得实数a 的最小值．本题考查含绝对值的三角不等式的解法，考查化归与转化思想，是基础题．16.【答案】[−2,4]【解析】解：f(x)=|x +1|+|x −3|， ∵|x +1|+|x −3|≤6， 作图如下，∵|x +1|+|x −4|≥|x +1+3−x|=4，∴由绝对值的几何意义得：当数轴上与x 对应的点位于−2，4之间时，f(x)=|x +1|+|x −3|≤6，∴不等式|x +1|+|x −3|≤6的解集为[−2,4]． 故答案为：[−2,4]．令f(x)=|x +1|+|x −3|，利用绝对值的几何意义即可求得答案．本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，考查作图能力，属于中档题．17.【答案】(−∞,83]【解析】解：函数f(x)=x −1x 在(0,+∞)上单调递增，值域为R ， 则其反函数在R 上也为单调递增函数， 又∵f(3)=3−13=83，则3=f −1(83)， ∴不等式f −1(x)≤3可化为f −1(x)≤f −1(83)， ∴x ≤83，即关于x 的不等式f −1(x)≤3的解集为(−∞,83]， 故答案为：(−∞,83].根据原函数的单调性可得反函数的单调性，再根据f(3)=83将不等式f −1(x)≤3转化为f −1(x)≤f −1(83)，即可求出解集．本题主要考查了反函数的定义，考查了利用函数的单调性解不等式，属于中档题．18.【答案】32或12【解析】解：①当a >1时，函数y =a x 在[1,2]上单调递增， ∴a 2−a =a 2， 解得a =32，②当0<a <1时，函数y =a x 在[1,2]上单调递减， ∴a −a 2=a 2，解得a =12，综上所述，实数a 的值为32或12， 故答案为：32或12．对a 分情况讨论，利用指数函数的单调性进行求解． 本题主要考查了指数函数的单调性，属于基础题．19.【答案】(−2,0]∪(1，2]【解析】解：作出y =x|x|−2x ，y =1−x 的图象如图所示；当a ≤−2时，函数f(x)={x|x|−2x,x <a1−x,x ≥a只有1个零点，不符合题意，当−2<a ≤0时，函数f(x)={x|x|−2x,x <a1−x,x ≥a 的零点为−2，1，有2个零点，符合题意，当0<a ≤1时，函数f(x)={x|x|−2x,x <a1−x,x ≥a 的零点为−2，0，1，有3个零点，不符合题意，当1<a ≤2时，函数f(x)={x|x|−2x,x <a1−x,x ≥a 的零点为−2，0，有2个零点，符合题意，当a >2时，函数f(x)={x|x|−2x,x <a1−x,x ≥a 的零点为−2，0，2有3个零点，不符合题意，综上所述：实数a 的取值范围是(−2,0]∪(1，2]． 故答案为：(−2,0]∪(1，2]．画出函数f(x)={x|x|−2x,x <a1−x,x ≥a的图象，分a ≤−2，−2<a ≤0，0<a ≤1，1<a ≤2，a >2讨论观察图象可得答案．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．20.【答案】2【解析】解：当x 2−3<2x 时，即x 2−2x −3<0，可得−1<x <3，由y =2x =0，可得x =0，符合题意，当x 2−3≥2x 时，即x 2−2x −3≥0，可得x ≤−1或x ≥3，由y =x 2−3=0，可得x =−√3，符合题意，综上所述，函数y =(x 2−3)⊕(2x)的零点个数为2． 故答案为：2．化简函数解析式，利用代数式可求得原函数的零点个数． 本题考查了求函数零点问题，考查分类讨论思想，属中档题．21.【答案】解：(1)a =1时，A ={x|x−3x+1>0}={x|x <−1或x >3}，B ={x|2−a <x <2a +3}={x|1<x <5}， A −={x|−1≤x ≤3}， ∴A −∩B ={x|1<x ≤3}；(2)∵A ={x|x−3x+1>0}={x|x <−1或x >3}， B ={x|2−a <x <2a +3}，A ∪B =R ， ∴{2−a <2a +32−a <−12a +3>3，解得a >3， ∴实数a 的取值范围是(3,+∞)．【解析】(1)a =1时，求出集合A ，B ，A −，由此能求出A −∩B ；(2)由A ={x|x <−1或x >3}，B ={x|2−a <x <2a +3}，A ∪B =R ，列出不等式组，能求出实数a 的取值范围．本题考查集合的运算，考查交集、补集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22.【答案】解：(1)当x≥1时，f(x)=|x−2|，此时y=f(x)的图象是射线y=x−2(x≥1)在x轴上方的部分保留，下方的部分沿x轴翻折到上方，当x<1时，f(x)=|xx−1|(x<1)，此时y=f(x)的图象是先把反比例函数y=1x在y轴左侧部分向右平移1个单位，再向上平移1个单位得f(x)=xx−1(x<1)，此的图象，然后将所得图象在x轴上方的部分保留，下方的部分沿x轴翻折到上方，如图所示，观察图象得函数y=f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，(1,2)；单调递增区间为(0,1)，(2,+∞)，(2)依题意，关于x的方程f(x)=a的解转化为直线y=a与y=f(x)图象的交点的横坐标，如图，当a<0时，直线y=a与y=f(x)图象无公共点，方程f(x)=a的解的个数为0．当a=0或a>1时，直线y=a与y=f(x)图象有2个公共点，方程f(x)=a的解的个数为2．当0<a<1时，直线y=a与y=f(x)图象有42上公共点，方程f(x)=a的解的个数为4．当a=1时，直线y=a与y=f(x)图象有3个公共点，方程f(x)=a的解的个数为3．综上所述：当a<0时，方程f(x)=a的解的个数为2.当a=0或a>1时，方程f(x)=a 的解的个数为2．当0<a<1时，方程f(x)=a的解的个数为4.当a=1时，方程f(x)=a的解的个数为3．【解析】(1)根据给定条件结合函数y=x−2(x≥1)和y=xx−1(x<1)，借助图象变换作出的大致图象，再利用图象写出函数的单调区间．(2)把方程f(x)=a的解转化为直线y=a与y=f(x)图象的交点即可求解．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)由题意，当x=0时，k40=20，解得k=800，则该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和为10⋅80010x+40+x2=800x+4+x2，所以k=800，函数的表达式为y=f(x)=800x+4+x2,x≥0；(2)由(1)可知，x≥0时，y=800x+4+x2=800x+4+x+42−2≥2√800x+4⋅x+42−2=40−2=38，当且仅当800x+4=x+42，即x=36时取等号，此时取得最小值，所以y的最小值为38万元，此时所安装的太阳能板的面积为36平方米．【解析】(1)根据每年的燃料费计算可得k的值，进而得出函数的解析式；(2)利用(1)中函数表达式结合均值不等式计算即可求解．本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，涉及到基本不等式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．24.【答案】解：(1)函数f(x)=log2(1−x)−log2(1+x)，可得1−x>0，且1+x>0，解得−1<x<1，即定义域为(−1,1)，关于原点对称，f(−x)+f(x)=log2(1+x)−log2(1−x)+log2(1−x)−log2(1+x)=0，则f(x)为奇函数；又f(x)=log21−x1+x =log2(−1+2x+1)，由t=−1+2x+1在(−1,1)递减，又y=log2t在t∈(0,+∞)递增，可得f(x)在(−1,1)为减函数；(2)f(p)+f(q)=0即为f(p)=−f(q)=f(−q)，可得q=−p，−1<p<1，则g(p)+g(q)≥0即为4p+4−p+2m(2p+2−p)−2m+2≥0，设t=2p+2−p，由−1<p<1，可得2≤t<52，则t2+2m(t−1)≥0对2≤t<52恒成立，则−2m≤(t−1)+1t−1+2对2≤t<52恒成立，由ℎ(t)=(t−1)+1t−1+2在2≤t<52递增，可得ℎ(t)∈[4,256)，所以−2m ≤4，即m ≥−2，即m 的取值范围是[−2,+∞)； (3)若g(x)≥0对任意x ∈[0,+∞)都成立，可得4x +2x+1m −m +1≥0对任意x ∈[0,+∞)都成立，设k =2x ，k ∈[1,+∞)，则k 2+1+m(2k −1)≥0对k ≥1恒成立． 因为2k −1≥1，所以−m ≤k 2+12k−1对k ≥1恒成立，设s =2k −1，则k 2+12k−1=(s+1)24+1s=14(s +5s +2)≥14(2+2√5)，当且仅当s =5s ，即s =√5，也即k =1+√52时取得等号， 所以−m ≤1+√52，即m ≥−1+√52，即m 的取值范围是[−1+√52,+∞)．【解析】(1)由函数的奇偶性的定义，结合对数的运算性质可得f(x)的奇偶性；由对数函数的单调性和复合函数的单调性，可得f(x)的单调性；(2)求得p +q =0，运用指数的运算性质和换元法、参数分离和对勾函数的单调性，可得最值，进而得到所求范围；(3)运用参数分离和换元法、基本不等式求得最值，进而得到所求取值范围． 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．25.【答案】解：(1)f(x)=x 2−1x 2=1−1x 2， 由x 2>0，得1x 2>0，∴f(x)∈(−∞,1)， ∴函数f(x)的值域(−∞,1)；(2)若不等式x 2f(x)+1≥x 3+kx 在x ∈[1,2]时恒成立，则不等式变为k ≤−x 2+x ，令g(x)=−x 2+x =−(x −12)2+14，x ∈[1,2]， 对称轴是x =12，g(x)在[1,2]单调递减， 故g(x)的最小值是g(2)=−2， 故实数k 的取值范围(−∞,−2]， 故k 的最大值是−2；(3)由题意g(x)=−tx 2+t +1，∵t>0，在[1m ,1n]上显然单调递增，∴{g(1m)min=2−3mg(1n)max=2−3n，即{t(1−m2)+1=2−3mt(1−n2)+1=2−3n，∴m，n是方程t(1−x2)+1=2−3x的两个不相等的正根，∴tx2−3x+1−t=0(t>0)，∴Δ=9−4t(1−t)>0，且对称轴x=32t >0，1−tt>0，解得0<t<1，故实数t的取值范围(0,1)．【解析】(1)函数整理后根据x2在定义域内的取值范围求出函数的值域；(2)不等式整理后，分离出k的表达式，求出另一边的最小值即可；(3)由t大于零求出函数的单调递增，求出m，n是方程的两个正根，二次方程的正根为对称轴大于零，两根之和，两根之积都大于零求出t的取值范围．本题考查函数恒成立的应用，考查常见函数的性质，属于中档题．26.【答案】解：(1)根据题意，对于函数f(x)=1+x1−x，其定义域为{x|x≠1}，不能满足f(x)⋅f(−x)=1，不是“倒函数”，对于g(x)=3x+1，其定义域为R，g(−x)=3−x+1，则g(x)g(−x)=9，不是“倒函数”，(2)证明：根据题意，φ(x)=p(x)q(x)，其定义域为R，由于p(x)是偶函数，q(x)是奇函数，则φ(−x)=p(−x)q(−x)=p(x)q(−x)，则φ(x)φ(−x)=1，故φ(x)是“倒函数”，(3)根据题意，若ℎ(x)=√x2+m+nx(n>0)为倒函数，则有ℎ(x)ℎ(−x)=(√x2+m+nx)(√x2+m−nx)=x2+m−nx2=1恒成立，必有m=1，n2=1，则m=1，n=±1，又由n>0，则m=n=1，则ℎ(x)=√x2+1+x，在R上为增函数；设x1<x2，则f(x1)−f(x2)=√x12+1+x1−√x22+1−x2=√x12+1−√x22+1+x1−x2=1222√x1+1+√x2+1x1−x2=(x1−x2)(12√x1+1+√x2+1+1)，又由x1<x2，易得f(x1)−f(x2)<0，故ℎ(x)在R上为增函数．【解析】(1)由“倒函数”的定义验证f(x)、g(x)是否符合，即可得答案；(2)根据题意，先分析函数的定义域，再分析φ(x)φ(−x)的值，即可得结论，(3)根据题意，由倒函数”的定义可得ℎ(x)ℎ(−x)=1在定义域中恒成立，变形可得关于m、n的方程，分析可得m、n的值，即可得ℎ(z)的解析式，分析其单调性可得答案．本题考查函数与方程的关系，涉及函数奇偶性和单调性的应用，属于难题．27.【答案】解：(1)函数y=f(x)的图像可视为函数y=|x2−1|的图像向下平移一个单位而得，而y=|x2−1|的图像是二次函数y=x²−1的图像在x轴上方的不动，把x轴下方的图像沿x轴向上翻折而得，作出图像如图：由图可得f(x)的递减区间为(−∞,−1)，(0,1)，递增区间为(−1,0)，(1,+∞)；(2)由题可知于x的方程f(x)=a的解就是直线y=a与函数y=f(x)图像的交点的横坐标，如图：当a<−1时，直线y=a与函数y=f(x)的图像无交点，即方程f(x)=a的解的个数为0；当a=−1或a>0时，直线y=a与函数y=f(x)的图像有2个交点，即方程f(x)=a的解的个数为2；当−1<a<0时，直线y=a与函数y=f(x)的图像有4个交点，即方程f(x)=a的解的个数为4；当a=0时，直线y=a与函数y=f(x)的图像由3个交点，即方程f(x)=a的解的个数为3；综上：当a<−1时，方程f(x)=a的解的个数为0；当a=−1或a>0时，方程f(x)=a 的解的个数为2；当a=0时，即方程f(x)=a的解的个数为3；当−1<a<0时，即方程f(x)=a的解的个数为4．【解析】(1)根据给定条件结合二次函数y=x²−1，借助图像变换作出y=f(x)的大致图像，再利用图像写出函数单调区间；(2)把方程f(x)=a的解转化为直线y=a与函数y=f(x)图像的交点即可作答．本题考查函数图像的作图，函数零点与方程根的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题．。

2022-2023学年上海市高一上册期末数学模拟试题（含解析）一、填空题1．设全集{}1,0,1,2U =-，若集合{}0,2A =，则U A =ð______.【答案】{1,1}-##{}1,1-【分析】根据补集的定义即可求解.【详解】因为全集{}1,0,1,2U =-，集合{}0,2A =，所以U {1,1}A =-ð，故答案为：{1,1}-.2．已知实数x 、y 满足23x -≤≤，112y ≤≤，则2x y -的取值范围为______.【答案】[]4,2-【分析】先画出可行性区域，设定目标函数，再根据线性规划的方法求解.【详解】由条件绘制下图，可行性区域为矩形ABCD ，显然目标函数z 的取值范围是经过A ，C 两点时的z 值决定的，()12,1,3,2A C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，经过A 时，224z =--=-，经过C 点时，13222z =-⨯=，∴[]4,2z ∈-；故答案为：[]4,2-.3．函数0y =的定义域是______.【答案】{|3x x <且1}x ≠【分析】根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数0y -=则1030x x -≠⎧⎨-+>⎩，解得3x <且1x ≠，所以函数的定义域为{|3x x <且1}x ≠.故答案为：{|3x x <且1}x ≠.4．若ln2a =，ln3b =，则8ln 9⎛⎫= ⎪⎝⎭______.（结果用a 、b 表示）.【答案】32a b-【分析】根据对数公式log log log ,log log n a a a a a M M N M n M N=-=化简求解.【详解】328ln ln 8ln 9ln 2ln 33ln 22ln 3329a b ⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭故答案为：32a b-5．若a ，b ∈R ，则“()0a b a ->”是“a b >”______的条件.【答案】充分不必要【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：因为a ，b ∈R ，()0a b a ->，所以0,0,0a a b a ≠->>，故充分；当a b >时，0a b ->，若0a =，则()0a b a -=，故不必要，所以“()0a b a ->”是“a b >”充分不必要条件，故答案为：充分不必要6．已知0a >且1a ≠，若函数()x f x a c =+与()()log 14a g x x =++的图象经过同一个定点，则c =______.【答案】3【分析】由log 10a =可得出函数()g x 所过定点，再由01a =结合条件可得c 的值.【详解】因为()()log 14a g x x =++，由11x +=，可得0x =，4y =，即函数()()log 14a g x x =++的图象经过定点()0,4；因为()x f x a c =+，由0x =，可得1y c =+，即()x f x a c =+的图象经过定点()0,1c +，所以14c +=，即3c =.故答案为：3.7．若关于x 的不等式20x bx b ++≤的解集非空，则实数b 的取值范围是______.【答案】(][),04,-∞+∞U 【分析】运用判别式求解.【详解】由题意知240b b ∆=-≥，解得0b ≤或4b ≥，∴b 的取值范围是(][),04,-∞+∞U ；故答案为：(][),04,-∞+∞U .8．已知偶函数()f x 部分图象如图所示，且()30f =，则不等式()0xf x <的解集为___________.【答案】(,3)(0,3)-∞-⋃【分析】根据()f x 为偶函数，可以补全y 轴左侧的图象，再对0x <和0x >分类讨论，确定()f x 的正负，由函数图象即可确定最后的取值范围【详解】根据函数部分图象和偶函数可以补全y 轴左侧的图象，由()0xf x <，当0x >时，()0f x <，结合图象可得03x <<；当0x <时，()0f x >，可得3x <-，所以()0xf x <的解为{3x x <-或}03x <<.故答案为：(,3)(0,3)-∞-⋃.9．若m n ≠，且2510m m -+=，2510n n -+=，则22m n +的值为______.【答案】23【分析】由题可得,m n 为方程2510x x -+=的两个不等根，然后根据韦达定理即得.【详解】因为m n ≠，且2510m m -+=，2510n n -+=，所以,m n 为方程2510x x -+=的两个不等根，所以5,1m n mn +==，所以()2222252123m n m n mn +=+-=-⨯=.故答案为：23.10．高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]3.74-=-，[]2.32=.已知()12121x x f x +-=+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______.【答案】{}1,0,1-【分析】先把函数()12121x x f x +-=+分离常数，然后求分离常数后的取值范围，最后根据取值范围求解()y f x ⎡⎤=⎣⎦.【详解】()()122132122233221212121x x x x x x x f x ++--⨯+-====-++++ 又133202110130122212121x x x x x >∴+>∴<<∴-<-<∴-<-<+++ ，当312021x -<-<+时32121x ⎡⎤∴-=-⎢⎥+⎣⎦，所以()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域里有1-当302121x ≤-<+时32021x ⎡⎤∴-=⎢⎥+⎣⎦，所以()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域里有0当312221x ≤-<+时32121x ⎡⎤∴-=⎢⎥+⎣⎦，所以()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域里有1所以()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{}1,0,1-故答案为：{}1,0,1-11．函数()2log 144a y x x x =-+-+，若()1,2x ∈时，函数值均小于0，则实数a 的取值范围为______.【答案】(]1,2【分析】对a 分类讨论，运用函数的单调性求解.【详解】()()()22log 1442log 1a a y x x x x x =-+-+=--+，当1a >时，()1,2x ∈，y 是减函数，|11log 20,12x a y y a =∴<=-≤<≤；当01a <<时，()()()()2220,log 10,2log 10a a x x y x x ->-+>∴=--+>，不符合题意；故答案为：(]1,2a ∈.12．若函数()()22g x x x t x t =---在区间[]0,2上是严格减函数，则实数t 的取值范围是______.【答案】(,2][6,)-∞-+∞ ．【分析】分类讨论，按绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后对分类函数的两个二次函数的对称轴进行分类讨论可得．【详解】因为2222222222(),2,()2()2(),32,x x t x t x tx t x t g x x x t x t x x t x t x tx t x t ⎧⎧--≥+-≥=---==⎨⎨+-<-+<⎩⎩，当0=t 时，[0,2]x ∈时，2()g x x =单调递增，不合题意；当0t <时，[0,2]x ∈时，2222()2()2g x x tx t x t t =+-=+-，函数()g x 在区间[]0,2上是严格减函数，则2t -≥，即2t ≤-；当2t ≥时，[0,2]x ∈时，22()32g x x tx t =-+，函数()g x 在区间[]0,2上是严格减函数，则23t ≥，即6t ≥；当02t <<时，22222,2()32,0x tx t t x g x x tx t x t ⎧+-≤≤=⎨-+≤<⎩，0t -<，因此222y x tx t =+-在[],2t 是单调递增，不合题意；综上，t 的范围是(,2][6,)-∞-+∞ ．故答案为：(,2][6,)-∞-+∞ ．二、单选题13．设(){},24A x y y x ==-+，(){},53B x y y x ==-，则A B = （）A ．{}1,2B ．{}1,2x y ==C ．(){}1,2D ．(){,1x y x =或}2y =【答案】C【分析】联立方程组，解出x ，y ，再结合交集的定义，即可求解．【详解】联立2453y x y x =-+⎧⎨=-⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，故(){}1,2A B = .故选：C ．14．四个人做一道选项为ABCD 的选择题，四个同学对话如下：赵：我选A ；钱：我选BCD 当中的一个；孙：我选C ；李：我选D ；四个人每人选了一个选项，而且各不相同，其中只有一个人说谎，则说谎的人可能是谁？（）A ．赵，钱B ．钱，孙C ．孙，李D ．李，赵【答案】C【分析】假设赵同学说谎，由条件确定是否存在满足条件的选择方法，由此判断其是否说谎，再同理判断其他同学是否说谎.【详解】假设赵同学说谎，则赵同学不选A ，又孙同学选C ，李同学选D ，钱同学选B ，与条件四个人每人选了一个选项，而且各不相同矛盾，故赵同学没说谎，排除选项AD ，若钱同学说谎，则钱同学选A ，又赵同学选A ，与条件四个人每人选了一个选项，而且各不相同矛盾，故钱同学没说谎，排除选项B ，若赵同学选A ，钱同学选C ，孙同学选B ，李同学选D ，则满足条件，同时有且仅有孙同学说谎，若赵同学选A ，钱同学选D ，孙同学选C ，李同学选B ，则满足条件，同时有且仅有李同学说谎，故可能说谎的同学为孙同学和李同学，选项C 正确，故选：C.15．对函数()f x ，如果存在00x ≠，使得()()00f x f x =--，则称()()00,x f x 与()()00,x f x --为函数图象的一组奇对称点.若()e ln x f x ax a =-+（e 为自然数的底数）存在奇对称点，则实数a 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】由题可得()e ln e ln x x ax a ax a --+=-++存在不等于0的根，进而可得2ln e e x x a --=+，然后利用函数的性质及基本不等式即得.【详解】由题可得()e ln e ln x x ax a ax a --+=-++存在不等于0的根，所以2ln e e x x a --=+，因为0x ≠，所以e 0,e 1x x >≠，e e 2x x -+>，∴2ln e e 2x x a --=+>，解得10ea <<，即实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.16．已知函数()21,241,2x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，若存在123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（）A ．(B ．C ．(D ．【答案】D【分析】设()()()123f x f x f x t ===，则直线y t =与函数()f x 的图象有三个交点，分析可知点()1,x t 、()2,x t 关于直线=1x -对称，可得出12x x +的值，求出3x 的取值范围，由此可求得123x x x ++的取值范围.【详解】设()()()123f x f x f x t ===，作出函数()f x 与y t =的图象如下图所示：由图可知，当03t <≤时，直线y t =与函数()f x 的图象有三个交点，由图可知，点()1,x t 、()2,x t 关于直线=1x -对称，则122x x +=-，且函数()f x 在()2,+∞上为增函数，由()(]2333410,3f x x x =-+∈，因为32x >，解得32x <≤+，所以，12332x x x x ++=-∈.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数零点和的取值范围，解题的关键在于分析函数图象的对称性，求出12x x +，结合不等式求出3x 的取值范围，进而求解.三、解答题17．已知集合{}1,2A =-，()(){}10B x x x a =+-=.(1)若1a =，求A B ⋂；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值集合.【答案】(1){}1-；(2){}1,2-.【分析】（1）化简集合，然后根据交集的定义即得；（2）根据A B A ⋃=对a 进行分类讨论，从而求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()(){}{}|1101,1B x x x =+-==-，又{}1,2A =-，所以{}1A B ⋂=-；（2）由()()10x x a +-=解得11x =-，2x a =，若1a =-，则{}1B =-，A B A ⋃=，符合题意；若1a ≠-，由于A B A ⋃=，所以2a =；综上所述，实数a 的取值集合为{}1,2-.18．已知函数()|2||2|f x x a x =++-.(1)当2a =-时，求不等式()11f x ≥的解集；(2)若()10|2|f x x >--，求a 的取值范围.【答案】(1)7[5,)(,]3+∞-∞- ；(2)(6,)(,14)+∞-∞- 【分析】（1）根据绝对值的性质，分类讨论进行求解即可；（2）利用绝对值的性质进行求解即可.【详解】（1）当2a =-时，()|22||2|f x x x =-+-，当2x ≥时，()11222115f x x x x ≥⇒-+-≥⇒≥；当12x <<时，()112221111f x x x x ≥⇒-+-≥⇒≥，而12x <<，所以此时无解；当1x ≤时，7()11222113f x x x x ≥⇒-+-≥⇒≤-，综上所述：不等式()11f x ≥的解集为7[5,)(,]3+∞-∞- ；（2）()10|2||2|2|2|10f x x x a x >--⇒++->，因为|2|2|2||2|2|2|2424x a x x a x x a x a ++-=++-≥++-=+，所以有4106a a +>⇒>，或14a <-，因此a 的取值范围为(6,)(,14)+∞-∞- .19．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山．”某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：kg ）与肥料费用10x （单位：元）满足如下关系：()()252,024848,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩，其他成本投入（如培育管理等人工费）为20x （单位：元）．已知这种水果的市场售价大约为10元/kg ，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为()f x （单位：元）．(1)求()f x 的函数关系式；(2)当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)25030100,02()48030480,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--+<≤⎪+⎩(2)当肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，利润最大值为270元.【分析】(1)结合已知条件，表示出()f x 即可；(2)利用一元二次函数的单调性和基本不等式即可求解.【详解】（1）因为25(2),02()4848,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩，()10()1020f x W x x x =--，所以25030100,02()48030480,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--+<≤⎪+⎩.（2）当02x ≤≤时，223191()503010050()102f x x x x =-+=-+，由一元二次函数性质可知，()f x 在3[0,]10上单调递减，在3(,2]10上单调递增，且(0)100(2)240f f =<=从而max ()(2)240f x f ==，即()f x 在[0,2]上的最大值为240；当25x <≤时，480480()30480[30(1)]51011f x x x x x =--+=-+++++，因为48030(1)2401x x ++≥+，当且仅当48030(1)1x x =++，即3x =时，不等式取等号，从而480()[30(1)]5102701f x x x =-+++≤+，即当3x =时，()f x 有最大值270，此时肥料费用1030x =.综上所述，当肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，利润最大值为270元.20．已知函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值;(2)解关于m 的不等式()()211f m f m +>-;(3)设()()()2log 20x g x a a a =⋅+≠，若函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1-(2)()(),20,-∞-⋃+∞(3)()2,1【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断0x ≥时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；（3）由函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，可得1222x x xa a ⋅+=+有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.【详解】（1）函数的定义或为R ，函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.()()f x f x ∴-=，即()()22og 41lo l g 41x x kx kx -+-=++，()()22224142log 41log 41log log 4241x x x x x x kx x --+∴=+-+===-+，1k ∴=-；（2）()()222411log 41log log 222x xx x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当0x ≥时，21x ≥，122x xy =+单调递增，()f x \在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，在(],0-∞上单调递减；()()211f m f m +>- ，211m m ∴+>-，解得2m <-或0m >，所以所求不等式的解集为()(),20,-∞-⋃+∞；（3） 函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，()()()()22241log 2log 41log 2x x xx g x a a f x x ⎛⎫+∴=⋅+==+-= ⎪⎝⎭，即4112222x xx x x a a +⋅+==+，20x a a ⋅+>，设20x t =>，则1at a t t +=+，即()2110a t at -+-=，又2x t =在R 上单调递增，所以方程()2110a t at -+-=有两个不等的正根；()()210Δ411001101a a a a a a -≠⎧⎪=--⨯->⎪⎪∴⎨->-⎪⎪->⎪-⎩，解得21a <<，即a的取值范围为()2,1.21．若函数()f x 满足：对任意正数s ，t ，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”．(1)判断函数()21f x x =与()22x f x =是否是“L 函数”；(2)若函数()()31231x x g x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；(3)若函数()f x 为“L 函数”，且()11f =，求证：对任意()()1*2,2N k k x k -∈∈，都有()122x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭．【答案】(1)()21f x x =是“L 函数”，()22x f x =不是“L 函数”(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3)证明见解析【分析】（1）利用“L 函数”的定义判断两个函数即可求解；（2）由题意可得()()31320x x a -->对任意0x >恒成立，可得12a ≤，由()()()g s g t g s t +<+可得320s t a ++>求出12a ≥-即可求解；（3）根据定义，令s t =可得()()22f s f s >，对于任意的正整数k 与正数s 都有()()()()()()()()1122222222k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅>，进而可得出结论.【详解】（1）对于函数()21f x x =，当0t >，0s >时，()210f t t =>，()210f s s =>，又()()()()22211120f t f s f t s t s t s ts +-+=+-+=-<，所以()()()111f s f t f s t +<+，故()21f x x =是“L 函数”．对于函数()22x f x =，当1t s ==时，()()()2224f t f s f t s +=+=，故()22x f x =不是“L 函数”．（2）由()()31231x x g x a -=-+-是“L 函数”，可知()()312310x x g x a -=-+->，即()()31320x x a -->对任意0x >恒成立，当0x >时，310x ->，可得23x a <对任意0x >恒成立，所以12a ≤，当0t >，0s >时，由()()()g t g s g t s +<+，可得()3331233310s t s t t s t s a +------++--+>，故()()()3131320t s s t a +--+>，又()()31310t s -->，故320s t a ++>，由320s t a ++>，即23s t a +>-对任意正数s ，t 恒成立，可得21a ≥-，即12a ≥-．综上所述实数a 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（3）由函数()f x 为“L 函数”，可知对任意正数s ，t ，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，令s t =，可得()()22f s f s >，即()()22f s f s >，故对任意正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅>，对任意()()1*2,2N k k x k -∈∈，可得()112,2k k x --∈，()1222,2k k x--∈，又因为()11f =，所以()()()()()111122222122k k k k k x f x f x f f f ---->-+>≥=>，同理()()()11111112222212k k k k k f f f f f x x x -----⎛⎫⎛⎫<--<≤=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()122x f x f x x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭．。

2023-2024学年上海市高一上册期末数学试题一、填空题1．已知集合{1,1,2}A =-，{}20B x x x =+=，则A B = __________．【正确答案】{}1-【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：{1A =- ，1，2}，{1B =-，0}，{1}A B ∴=- ．故{}1-．2．设a 、b 都为正数，且4a b +=，则11a b+的最小值为________.【正确答案】1【分析】把11a b+变形为：1114()4a b ⨯⋅+利用已知，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为a 、b 都为正数，所以有：111111114()()()(2)(214444b a a b a b a b a b ⨯⋅+=+⋅+=⋅++≥⋅+=，当且仅当b a ab=时取等号，即2a b ==时取等号，故13．函数2()1y f x x ==-，则1(3)f -=______________.【正确答案】533在反函数的定义域中，它必在原函数的值域中，因为反函数与原函数的对应关系相反，故由231x =-解得x 值为所求.【详解】由231x =-解得53x =，所以15(3)3f -=.故534．已知0a >且1a ≠，若log 2a m =，log 3a n =，则m n a +=_______________.【正确答案】6利用指数式与对数式的互化，再利用同底数幂相乘即可.【详解】log 2,2ma m a =∴= ，同理：3n a =∴236m n m n a a a +==⨯=故6对数运算技巧：(1)指数式与对数式互化；(2)灵活应用对数的运算性质；(3)逆用法则、公式；(4)应用换底公式，化为同底结构．5．已知函数()()221f x ax b x =+++，22,x a a ⎡⎤∈-⎣⎦是偶函数，则a b +的值为______．【正确答案】1-【分析】根据奇偶定义可建立方程求解即可.【详解】由题意得2220202b a a a a +=⎧⎪-+=⎨⎪-<⎩，所以1,2a b ==-，所以1a b +=-.故1-6．若幂函数22m m y x -++=（m 为整数）的定义域为R ，则m 的值为______．【正确答案】0或1【分析】依题意可得220m m -++>，解得m 的取值范围，再由m 为整数，求出参数的值.【详解】由题意得220m m -++>，解得12m -<<，又m 为整数，所以0m =或1.故0或17．用“二分法”求方程340x x +-=在区间()1,3内的实根，首先取区间中点2x =进行判断，那么下一个取的点是x =______．【正确答案】1.5##32【分析】先确定函数单调性，根据二分法求解即可得解.【详解】设函数3()4f x x x =+-，易得函数为严格增函数，因为(1)20f =-<，(2)60f =>，所以下一个有根区间是(1,2)，那么下一个取的点是 1.5x =．故1.58．已知函数22([0,1])y x ax x =+∈的最小值为-2，则实数a =________.【正确答案】32-【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可.【详解】222()2()y f x x ax x a a ==+=+-，所以该二次函数的对称轴为：x a =-，当1a ≤-时，即1a ≤-，函数2()2f x x ax =+在[0,1]x ∈时单调递减，因此min 3()(1)1222f x f a a ==+=-⇒=-，显然符合1a ≤-；当01a <-<时，即10a -<<时，2min ()2f x a a =-=-⇒=，显然不符合10a -<<；当0a -≤时，即0a ≥时，函数2()2f x x ax =+在[0,1]x ∈时单调递增，因此min ()(0)02f x f ==≠-，不符合题意，综上所述：32a =-，故32-9．设方程22log 1122x a a --=-+的实根12,,,k x x x ，其中k 为正整数，则所有实根的和为______．【正确答案】4【分析】画出2()log 11g x x =--的图象，由图象的特征可求.【详解】令2()|log ||1|f x x =-，22()|log ||1||log ||1|()f x x x f x -=--=-=，所以函数2()|log ||1|f x x =-图象关于y 轴对称，令2()log 11g x x =--，则()(1)g x f x =-的图象关于直线1x =对称，因为方程22log 1122x a a --=-+的实根，可以看作函数2()log 11g x x =--的图象与直线222y a a =-+的交点横坐标.由图可知方程22log 1122x a a --=-+有4个实根，且关于直线1x =对称.所以12344x x x x +++=.故4.10．设函数()2x f x =，2()2g x x x a =-+，如果对任意的实数1[1,2]x ∈，任意的实数2[1,2]x ∈，不等式()()121f x g x -≥恒成立，则实数a 的取值范围为________．【正确答案】(,1][6,)-∞+∞U 【分析】分别求出函数()2x f x =，2()2g x x x a =-+在[1,2]上的值域，把问题转化为关于a 的不等式组，求出解集即可【详解】解：因为()2x f x =在[1,2]上为增函数，所以min max ()(1)2,()(2)4f x f f x f ====，所以()2x f x =在[1,2]上的值域为[2,4]，因为2()2g x x x a =-+的对称轴为直线1x =，所以2()2g x x x a =-+在[1,2]上为增函数，所以min max ()(1)1,()(2)g x g a g x g a ==-==，所以2()2g x x x a =-+在[1,2]上的值域为[1]a a -,，因为对任意的实数1[1,2]x ∈，任意的实数2[1,2]x ∈，不等式()()121f x g x -≥恒成立，所以(1)4121a a ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩，解得4613a a a a ≤≥⎧⎨≤≥⎩或或，所以1a ≤或6a ≥，所以实数a 的取值范围为(,1][6,)-∞+∞U ，故(,1][6,)-∞+∞U 此题考查函数在闭区间上的最值问题和不等式恒成立问题，考查了数学转化思想，解题的关键是求出函数()2xf x =，2()2g x x x a =-+在[1,2]上的值域，把问题转化为(1)4121a a ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩，从而可求出实数a 的取值范围，属于中档题二、单选题11．已知x ，y 是实数，则“x y >”是“33x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】由充要条件的定义求解即可【详解】因为2233223()()()24y y x y x y x xy y x y x ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，若x y >，则223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，若223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则0x y ->，即x y >，所以33x y x y >⇔>，即“x y >”是“33x y >”的充要条件，故选：C.12．如果12log 0.8log 0.80x x <<，那么（）A ．2101x x <<<B ．1201x x <<<C ．121x x <<D ．211x x <<【正确答案】C【分析】根据换底公式可得0.820.810.8log log 0log 1x x <<=，再利用0.8log y x =单调性可以判断C 正确.【详解】因为12log 0.8log 0.80x x <<，则0.820.810.8log log 0log 1x x <<=，又因为0.8log y x =在()0,∞+上单调递减，那么121x x <<，故选：C ．13．在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =+与幂函数(0)bay x x =>图像的关系可能为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A ，二次函数2y ax bx =+开口向上，则0a >，其对称轴bx 02a =->，则0b a<，即幂函数(0)ba y x x =>为减函数，符合题意；对于B ，二次函数2y ax bx =+开口向下，则a<0，其对称轴bx 02a =->，则0b a<，即幂函数(0)ba y x x =>为减函数，不符合题意；对于C ，二次函数2y ax bx =+开口向上，则0a >，其对称轴12b x a=-=-，则2ba =，即幂函数(0)b a y x x =>为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；对于D ，二次函数2y ax bx =+开口向下，则a<0，其对称轴122b x a =->-，则01ba <<，即幂函数(0)ba y x x =>为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；故选：A关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.14．若函数||y x a =--与1ay x =+在区间[1,2]上都是严格减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(,0)-∞B ．(1,0)(0,1]-⋃C ．(0,1)D ．(0,1]【正确答案】D【分析】由一次函数及反比例函数的单调性，结合图像变换即可得到实数a 的取值范围.【详解】函数||y x a =--的图像关于x a =对称，所以当x a >，y 随x 的增大而减小，当x a <，y 随x 的增大而增大.要使函数||y x a =--在区间[1,2]上都是严格减函数，只需1a ≤；要使1ay x =+在区间[1,2]上都是严格减函数，只需0a >；故a 的范围为01a <≤.故选：D三、解答题15．求下列不等式的解集：(1)4351x x +>-(2)2332x x -<-【正确答案】(1)(1,8)(2)(1,)+∞【分析】（1）根据分式不等式及一元二次不等式的解法求解集.（2）应用公式法求绝对值不等式的解集.【详解】（1）()()4385018011x x x x x x +->⇔<⇔--<--，故解集为(1,8)；（2）|23|32322332x x x x x -<-⇔-+<-<-，故解集为(1,)+∞.16．已知函数()22(11)1xf x x x =-<<-．(1)判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数()f x 的单调性并证明．【正确答案】(1)()f x 是奇函数，理由见解析(2)()f x 在(1,1)-上单调递减，证明见解析【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；（2）根据函数单调性定义进行证明.【详解】（1）()f x 是奇函数，理由如下：函数()22(11)1xf x x x =-<<-，则定义域关于原点对称，因为()()221xf x f x x --==--，所以()f x 是奇函数；（2）任取1211x x -<<<，则22121211221222221212222222()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=----1221211221222212122()2()2(1)()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+-+-==----，因为1211x x -<<<，所以2212211210,0,10,10x x x x x x +>->-<-<，所以12())0(f x f x ->，所以()f x 在(1,1)-上单调递减.17．将函数log 2a y x =-（0a >且1a ≠）的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数()y f x =的图像．(1)求函数()f x 的解析式(2)设函数()()()1f x f x F x a++=，若()m F x <对一切()1,x ∈-+∞恒成立，求实数m 的取值范围；(3)讨论关于x 的方程()log apf x x=，在区间()1,-+∞上解的个数．【正确答案】(1)()log (1)a f x x =+(2)(,0]-∞(3)答案见解析【分析】(1)由图象的平移特点可得所求函数的解析式；(2)求得()F x 的解析式，可得(1)(2)m x x <++对一切(1,)∈-+∞x 恒成立，再由二次函数的性质可得所求范围；(3)将方程()log ap f x x=等价转化为1(1px x x +=>-且0)x ≠，根据题意只需讨论(1)p x x =+在区间(1,)-+∞上的解的个数，利用图象，数形结合即可求得答案.【详解】（1）将函数log 2(0a y x a =->且1)a ≠的图象向左平移1个单位，得到log (1)2a y x =+-的图象，再向上平移2个单位，得函数()log (1)a f x x =+的图象；（2）函数()()()()()()()1log 1log 212a a f x f x x x F x aa x x +++++===++，1x >-，若()m F x <对一切(1,)∈-+∞x 恒成立，则(1)(2)m x x <++对一切(1,)∈-+∞x 恒成立，由(1)(2)y x x =++在(1,)-+∞严格单调递增，得(1)(2)0y x x =++>，所以0m ≤，即m 的取值范围是(,0]-∞；（3）关于x 的方程()log log (1)log aa a p p f x x x x=⇔+=1(1px x x⇔+=>-且0)x ≠，所以只需讨论(1)p x x =+在区间(1,)-+∞且x ≠0上的解的个数．由二次函数(1)(1y x x x =+>-且0)x ≠的图象得，当1(,)4p ∈-∞-时，原方程的解有0个；当1(0,)4p ⎧⎫∈-+∞⎨⎬⎩⎭时，原方程的解有1个；当1(,0)4p ∈-时，原方程的解有2个．18．其公司研发新产品，预估获得25万元到2000万元的投资收益，现在准备拟定一个奖励方案：奖金y （万元）随投资收益x （万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(1)用数学语言列出公司对函数模型的基本要求；(2)判断函数()1050xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；(3)已知函数()1252g x a x a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 取值范围．【正确答案】(1)答案见解析(2)不符合，理由见解析(3)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数单调性的定义以及最值的定义，结合题意中的不等关系，可得答案；（2）由（1）所得的三个条件，进行检验，可得答案；（3）利用幂函数的单调性，结合题意中的最值以及不等关系，可得不等式组，利用基本不等式，可得答案.【详解】（1）()f x 满足的基本要求是：①()f x 是定义域[25,2000]上的严格增函数，②()f x 的最大值不超过75，③()5xf x ≤在[25,2000]上恒成立；（2）()1050xf x =+，()5050115f =>不满足要求③，故不符合；（3）因为12a ≥，所以函数()g x 满足条件①，由函数()g x 满足条件②得22000575a ≤，解得255a ≤由函数()g x 满足条件③得，255xx ≤对[25,2000]x ∈恒成立，即255x a x≤对[25,2000]x ∈恒成立，因为25≥，当且仅当5=，即25x =时取等号，所以1a ≤．综上所述，实数a 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩(1)设k 、m 均为实数，当(],x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的值，使得关于x 的不等式()()22310f x m k m k ≤--+-恒成立，求k 的取值范围；(2)设t 为实数，若关于x 的方程()()2log 0f f x t x --=⎡⎤⎣⎦恰有两个不相等的实数根12,x x 且12x x <，试将1221212log 211++--+-x x x x 表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域．【正确答案】(1)4k ≥(2)1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-1t t=+，(]1,3【分析】(1)分离参数，得4(3)83k m m ≥-++-，再借助基本不等式求解即可；(2)先得出()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩，再对1x >，1x ≤进行分类讨论.【详解】（1）当(,]x m ∈-∞时，max ()f x =1，故02m ≤≤.要使得不等式2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立，需使2(2)310m k m k --+-1≥，即2(2)3110m k m k --+-≥对于任意的[0,2]m ∈都成立.因为133m ≤-≤，所以4(3)83k m m ≥-++-.由30m ->，403m <-得4(3)84843m m -++≤-+=-（当且仅当1m =时取等号）所以4k ≥；（2）由函数()f x 22,0log ,0x x x x ⎧≤=⎨>⎩，得()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩，①若1x ≤，则方程[]2()log ()0f f x t x --=变为x =2log ()t x -，即2x t x =-，则2x t x =+，2x y x =+为递增函数，1x ≤，则有3t ≤；②若1x >，则方程[]2()log ()0f f x t x --=变为()222log log log ()x t x =-，即2log x t x =-，且0t x ->，故1t >，于是12,x x 分别是方程2x t x =-、2log x t x =-的两个根，则11x ≤，21x <，即121x x ≤<，由于函数2log y x =与2x y =的图像关于直线y x =对称，故12x x t +=，122122log 2()x x t x x t +=-+=，()()1212112|1||1|211x x x x =--+-+-+-1t =故1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-1t t=+，且13t <≤，故此函数的定义域为(]1,3.方法点睛：对于非二次不等式恒成立求参问题，一般先分离参数，转化为最值问题，进而可借助函数或基本不等式进行求解；方程解的个数可等价于两个不同函数交点个数，分段函数则需要考虑每一段解析式是否成立.20．对于定义在D 上的函数()y f x =，设区间[,]m n 是D 的一个子集，若存在0(,)x m n ∈，使得函数()y f x =在区间[]0,m x 上是严格减函数，在区间[]0,x n 上是严格增函数，则称函数()y f x =在区间[,]m n 上具有性质P ．（1）若函数2y ax bx =+在区间[0,1]上具有性质P ，写出实数a 、b 所满足的条件；（2）设c 是常数，若函数3y x cx =-在区间[1,2]上具有性质P ，求实数c 的取值范围．【正确答案】（1）20a b -<<；（2）()3,12c ∈．【分析】（1）根据定义判断出2y ax bx =+为二次函数，然后根据()f x 的单调性和单调区间判断出2y ax bx =+的开口以及对称轴，由此得到,a b 满足的条件；（2）先分析函数3y x cx =-在区间[1,2]上为严格增函数和严格减函数时c 的取值，据此分析出3y x cx =-在区间[1,2]上先递减再递增时c 的取值范围，由此求解出c 的取值范围.【详解】（1）当函数2y ax bx =+在区间[0,1]上具有性质P 时，由其图象在R 上是抛物线，故此抛物线的开口向上（即0a >），且对称轴是(0,1)2b x a=-∈；于是，实数a ，b 所满足的条件为：20a b -<<．（2）记3()f x x cx =-．设1x ，2x 是区间[1,2]上任意给定的两个实数，总有()()()()2212121122f x f x x x x x x x c -=-++-．若3c ≤，当12x x <时，总有120x x -<且22112211130x x x x c ++->++-=，故()()120f x f x -<，因此3y x cx =-在区间[1,2]上是严格增函数，不符合题目要求．若12c ≥，当12x x <时，总有120x x -<且222211222222120x x x x c ++-<+⨯+-=，故()()120f x f x ->，因此3y x cx =-在区间[1,2]上是严格减函数，不符合题目要求．若312c <<，当12x x <且12,x x ⎡∈⎢⎣时，总有120x x -<且2211220333c c c x x x x c c ++-<++-=，故()()120f x f x ->，因此3y x cx =-在区间⎡⎢⎣上是严格减函数；当12x x <且12,2x x ⎤∈⎥⎦时，总有120x x -<且2211220333c c c x x x x c c ++->=++-=，故()()120f x f x -<，因此3y x cx =-在区间2⎤⎥⎦上是严格增函数．因此，当()3,12c ∈时，函数3y x cx =-在区间[1,2]上具有性质P ．关键点点睛：本题属于函数的新定义问题，求解本题第二问的关键在于对于性质P 的理解，通过分析函数不具备性质P 的情况：严格单调递增、严格单调递减，借此分析出可能具备性质P 的情况，然后再进行验证即可.。