高考数学大一轮复习课时32.1函数及其表示课件x

0，x ∈ ，
适用于所有函数，如D(x)＝ቊ
列表法虽在理论上适用于
1，x ∈ ∁ ．
所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数
的一个概况或片段．
(2)函数的三种表示法的优缺点
优点
一是简明、全面地概括了变量
间的对应关系；二是可以利用
解析法
解析式求出任意一个自变量的
值所对应的函数值
(2)已知f(x)为一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式；
(3)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式．
随堂练习
1.已知函数f(x－1)＝x2－1，则f(－1)＝(
)
A．－2
B．－1
C．0
D．3
答案：B
解析：函数f(x－1)＝x2－1，令x－1＝－1，解得x＝0，
则f(－1)＝02－1＝－1.故选B.
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表所示，函数y＝g(x)的图象是如
图所示的曲线ABC，则f(g(2)＋1)的值为(
)
x
f(x)
A.3
B．0
C．1
1
2
2
3
D．2
答案：A
解析：根据题意，由函数y＝g(x)的图象，可得g(2)＝1，
则f(g(2)＋1)＝f(2)＝3.故选A.
(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( × )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( × )
(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．(
解析：(1)如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示；
(2)有些函数无解析式，如某地一天24小时内的气温变化情况；

义域为
-1,-
1 2
.
-12-
知识总结
1.由于映射中的两个集合是非空集合,函数中的两个集合是非空 数集,故函数是特殊的映射.
2.判断两个函数是否为相等函数,关键是看其定义域和对应关系 是否相同.
3.求分段函数的函数值,要依据自变量所属的区间,选择对应关系 求解.当自变量不确定时,需分类讨论.
专题训练
-9-
1234
2.函数 f(x)= 1-������2 + 1������的定义域为( D )
A.[-1,1] B.(0,1]
C.[-1,0) D.[-1,0)∪(0,1]
解析
由
1-������2 ≥ ������ ≠ 0,
0,解得-1≤x≤1,且
x≠0,故选
D.
课堂练习
-10-
1234
3.设f,g都是从A到A的映射(其中A={1,2,3}),其对应关系如下表:
考点1
考点2
考点3
考点4
解: (1)令2������+1=t.
∵x>0,∴t>1,且 x=������2-1.∴f(t)=lg ������2-1, ∴f(x)=lg ������2-1(x>1).
(2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由 f(0)=2,得 c=2.
又 f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1,即 2ax+a+b=x-1,
关闭
(1)A (2)D
解析 答案
专题训练
-17-
考点1
考点2
考点3
考点4

1，x≤1， ③f1：y＝2，1<x<2，
3，x≥2.
f2：
x x≤1 1<x<2 x≥2
y
1
2
3
f3：
【解析】 ①不是．f1(x)与f3(x)的定义域为{x∈R|x≠0}， f2(x)的定义域为R.
②不是．f1(x)的定义域为R，f2(x)的定义域为{x∈R|x≥0}， f3(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．
(2)已知f(x)＝cosπ2x，x≤0，
则f(2)＝( D )
f（x－1）＋1，x>0，
1 A.2
B．－12
C．－3
D．3
【解析】 f(2)＝f(1)＋1＝f(0)＋2＝cos π2 ×0 ＋2＝1＋2＝3.
∴函数的定义域，当a>1时为(2，＋∞)；当0<a<1时为(1，2)．
(3)(2021·深圳市高三统一测试)若函数y＝f(x)的定义域是 [1，2 022]，则函数g(x)＝f（xlg＋x1）的定义域是( B )
A．(0，2 021] B．(0，1)∪(1，2 021] C．(1，2 022] D．[－1，1)∪(1，2 022]
(2)已知f x＋ 1x＝x＋1x，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是二次函数，f(x＋1)－f(x)＝2x＋1，且f(0)＝3， 求f(x)的解析式； (4)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋ 1)，求f(x)的解析式．
【解析】 (1)(换元法)设cosx＝t，t∈[－1，1]， ∵f(cosx)＝sin2x＝1－cos2x， ∴f(t)＝1－t2，t∈[－1，1]． 即f(x)＝1－x2，x∈[－1，1]． (2)(配凑法)∵f x＋ 1x＝ x＋ 1x2－2， ∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)．

【解析】 对于 A，由于函数 f(x)＝|xx|的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}，而函数 g(x)＝
1，x≥0， －1，x<0
的定义域是 R，所以二者不是同一函数，故错误；对于 B，若 x＝1 不是 y＝
f(x)定义域内的值，则直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象没有交点，若 x＝1 是 y＝f(x)定义域内的
3．已知函数
f(x)＝
log2x，x>0， ex，x≤0，
11 则 f f 2 ＝__e______.
【解析】 由于 f(x)＝leox，g2xx，≤x0>，0， 则 f12＝log212＝－1，则 f(－1)＝1e.
4．函数 y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是___[_－__3_,0_]_∪__[2_,_3_]__；值域是 ___[1_,_5_]__；其中只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是__[1_,_2_)∪__(_4_,_5_] __．
2．下列说法正确的是(B )
A．f(x)＝|xx|与
g(x)＝
1，x≥0， －1，x<0
表示同一函数
B．函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 的交点最多有 1 个
C．f(x)＝x2－2x＋1 与 g(t)＝t2－2t＋1 不是同一函数
1 D．若 f(x)＝|x－1|－|x|，则 f f 2 ＝0
若 f(x)>1，则 x 的取值范围是( D )
【解析】
由题意得2x≤－x－0 1>1，
或 x
1 2
>1，
x>0，
得 x<－1 或 x>1.
6．已知 f( x－1)＝x－2 x，则 f(x)＝___x2_－__1_(_x_≥__－__1)____.

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3
(5)对于三角函数中的y=tan x,有x≠kπ+ ,k∈Z;
2
(6)已知函数f(x)的定义域为D,求函数f(g(x))的定义域,即求g(x)∈D的解集; (7)已知函数f(g(x))的定义域,求函数f(x)的定义域,只需x∈{y|y=g(x)},即求g (x)的值域. 5.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式 子来表示,这种函数称为分段函数. 6.复合函数 如果y是u的函数,记为y=f(u),u又是x的函数,记为u=g(x),且g(x)的值域与f(u) 的定义域的交集非空,则确定了一个y关于x的函数y=f(g(x)),这时y叫做x的 复合函数,其中u叫做中间变量,y=f(u)叫做外层函数,u=g(x)叫做内层函数.
(2)要使函数f(x)有意义,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,∴log2x>1或log2x<-1. 解之得x>2或0<x< 1 .
2
故f(x)的定义域为
0
,
12∪ (2,+∞).
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1.函数的定义域是研究函数性质的基础.一定要树立函数定义域优先的意 识. 2.函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法.三者之间是可以互 相转化的.求函数解析式比较常见的方法有:配凑法、换元法、待定系数法 和方程法等.特别注意将实际问题转化为函数问题时,要通过设变量,写出 函数解析式并明确定义域.
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2
2.函数的三要素:① 定义域 ,② 值域 ,对应关系. 3.函数的表示方法主要有:③ 解析法 ,列表法,④ 图象法 . 4.函数的定义域 (1)⑤ 分式 的分母不为零; (2)⑥ 偶次方根 的被开方数大于或等于零; (3)对数的真数大于零,底数大于零且不等于1; (4)零次幂的⑦ 底数 不为零;

22
【规律方法】求函数解析式的四种常用方法 (1)待定系数法:已知函数的类型,可用待定系数法. (2)换元法:已知复合函数f(g(x))=F(x),可用换元法. (3)解方程组法:已知关于f(x)与 f ((或1 ) f(-x))的表达式,
x
可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f(x). (4)间接法:已知某区间上的解析式,求其他区间上的解析式, 将待求变量调节到已知区间上,利用函数满足的等量关系间 接获得其解析式.
提醒:(1)如果所给解析式较复杂,切记不要化简后再求定义域. (2)所求定义域须用集合或区间表示.
使函数解析式有意义的常见准则 (1)分式的分母不为0. (2)偶次根式的被开方数非负. (3)对数函数的真数须大于0. (4)指数、对数函数的底数大于0且不等于1. (5)零次幂的底数不能为零. (6)正切函数y=tanx,x≠kπ+ (k∈Z).
为
.
【解析】由已知x∈[-1,1],所以2x∈[ ,12],
2
故f(x)的定义域为[ ,1 2],
2
所以在函数y=f(log2x)中,
1 2
≤log2x≤2,
即log2 2 ≤log2x≤log24,
所以 ≤2 x≤4,
故f(log2x)的定义域为[ ,24].
答案:[ ,42 ]
考点2 求函数的解析式
2.下列对应关系:
①A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},f:x→x的平方根;
②A=R,B=R,f:x→x的倒数;
③A=R,B=R,f:x→x2-2;
④A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A中的数平方.
其中是A到B的映射的是( )
A.①③

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第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
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理清教材 强基固本
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一 函数
两集合 A，B 对应关系 f：A→B 名称 记法
函数 设 A，B 是 非空 的实数集 如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一 个数 x，在集合 B 中都有 唯一 确定的数 y 和它对应 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 函数
A．－3
B．3
C．1
D．－1
答案1 答案2
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解析：1由3－x x>0， cos x≠0，
0<x<3， 得x≠π2＋kx，k∈Z，
∴0<x<3 且 x≠π2.∴函数 fx＝lg 3－x x＋co1s x的定义域为0，π2∪π2，3.故选 C．
2由xx2＋＋22>x0＋，a≥0， 得xx2>＋－22x，＋a≥0，
y＝f(x)，x∈A
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二 函数的有关概念 1．函数的定义域、值域：在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫 做 函数的定义域 ；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫 做 函数的值域 ． 2．函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 3．相等函数：如果两个函数的定义域相同并且对应关系完全一致，那么这两个函数相 等，这是判断两函数相等的依据． 4．函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
解析 答案
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4．已知函数 f(x)＝ l2oxg－2xx2，则 f12＝_－___2_3___，函数 f(x)的定义域为__(_0_,1_)_∪__(_1_,2_]___．

令t＝1－sin x， ∴t∈[0,2]，sin x＝1－t， ∴f(t)＝1－sin2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，t∈[0,2]， ∴f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2].
(2)(2022·黄冈质检)已知 f x2＋x12＝x4＋x14，则 f(x)＝__x_2－__2_，__x_∈__[_2_，__＋__∞__)__.
4.设函数 f 11＋－xx＝x，则 f(x)的表达式为
A.11＋－xx(x≠－1)
A.[－2,0)∪(0,2] C.[－2,2]
√B.(－1,0)∪(0,2]
D.(－1,2]
x＋1>0，
要使函数有意义， 则需x＋1≠1， 4－x2≥0，
解得－1<x≤2且x≠0，所以x∈(－1,0)∪(0,2].
所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2].
(2)若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x－1)的定义域为___[1_,_3_]__.
∵f(x)的定义域为[0,2]， ∴0≤x－1≤2，即1≤x≤3， ∴函数f(x－1)的定义域为[1,3].
延伸探究 将本例(2)改成“若函数f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数 f(x－1)的定义域为__[_2_,_4_] __.
∵f(x＋1)的定义域为[0,2]， ∴0≤x≤2， ∴1≤x＋1≤3， ∴1≤x－1≤3， ∴2≤x≤4， ∴f(x－1)的定义域为[2,4].
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.
(×) (2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线.( × ) (3)y＝x0与y＝1是同一个函数.( × ) (4)函数f(x)＝xx－ 2，1x，＜x0≥0，的定义域为R.( √ )

(2)偶次根式的被开方数非负；
(3)y＝x0 要求 x≠0；
(4)对数式中的真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1；
(5)正切函数 y＝tan x，x≠kπ＋2π(k∈Z)；
(6)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑
实际问题本身的要求．
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2．抽象函数定义域的求解策略 (1)若函数 f(x)的定义域为[a，b]，则函数 f(g(x))的定义域 由不等式 a≤g(x)≤b 求出． (2)若函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x) 在 x∈[a，b]时的值域．
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1
第一节 函数及其表示
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2
考纲要求：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数 的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据 不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示 函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
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[基础真题体验]
考查角度[求函数的定义域]
1．(2014·山东高考)函数 f(x)＝ log12x－1的定义域为
A．(0,2)
B．(0,2]
()
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
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4
【解析】 要使函数有意义，则xlo>g02，x－1>0， 解得 x>2. 【答案】 C
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2．(2012·广东高考)函数 y＝ xx＋1的定义域为______．
∴ 2aa＋＝b1＝，－1， 即 ab＝ ＝－ 12，32.
∴f(x)＝12x2－32x＋2.
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(3)∵f(x)＋2f1x＝x， ∴f1x＋2f(x)＝1x. 解方程组ff1xx＋＋22ff1xx＝＝x1x，， 得 f(x)＝32x－3x(x≠0)．