平移的性质——图形的平移

中考数学知识点：平移定义知识点
中考数学知识点：平移定义知识点
(1)平移的定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移，平移前后互相重合的点叫做对应点。

(2)平移的性质：
①对应点的连线平行(或共线)且相等
②对应线段平行(或共线)且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形(四个端点共线除外)
③对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。

(3)用坐标表示平移：如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长。

(4)平移的条件：图形的原来位置、方向、距离
(5)平移作图的步骤和方法：将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形，方法有如下三种：平行线法、对应点连线法、全等图形法。

几何变换的特点认识平移旋转和对称的性质几何变换的特点：认识平移、旋转和对称的性质几何变换是数学中对图形进行变换、移动或者改变形状的操作。

它是研究几何性质和图像的重要方法之一。

本文将重点讨论几何变换中的平移、旋转和对称三种基本变换，并阐述它们的特点和性质。

一、平移平移是指将图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离，保持图形内部各点之间的相对位置不变。

平移的特点有：1. 平移是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置发生了移动。

例如，一个正方形经过平移后仍然是一个正方形。

2. 平移是等距变换，即原图形和移动后的图形之间的距离保持不变。

例如，一个直角三角形经过平移后，各边之间的夹角大小不变。

3. 平移满足能够叠加的性质，即若干次平移变换的次序可以改变，但最终的结果是相同的。

例如，图形先向右平移再向上平移，与先向上平移再向右平移的结果是相同的。

二、旋转旋转是指将图形围绕某个点进行旋转，使得图形的各点相对于旋转中心点保持一定的角度不变。

旋转的特点有：1. 旋转同样是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置和旋转方向发生变化。

例如，一个正三角形经过旋转后仍然是一个正三角形。

2. 旋转是等角变换，即旋转前后的角度大小保持不变。

例如，一个矩形经过旋转后，各个顶点之间的角度大小仍然相等。

3. 旋转也满足能够叠加的性质，即若干次旋转变换的次序可以改变，但最终的结果是相同的。

例如，图形先顺时针旋转90°再逆时针旋转90°，与先逆时针旋转90°再顺时针旋转90°的结果是相同的。

在旋转中，旋转中心点的选择对于结果有重要影响。

三、对称对称是指图形围绕某条直线或者点对称，使得图形在这条直线或者点上的两侧是完全相同的。

对称的特点有：1. 对称是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置发生了变化。

例如，一个圆经过对称后仍然是一个圆。

2. 对称是等距变换，即对称前后图形内部各点之间的距离保持不变。

平移图形的相关性质和坐标的变化规律一、平移图形的定义与性质1.平移图形是指在平面内，将一个图形上的所有点按照某个方向作相同距离的移动。

2.平移不改变图形的形状和大小，只是改变图形的位置。

3.平移图形中，对应点、对应线段和对应角都保持平行且相等。

4.平移具有传递性，即若图形A经过平移变成图形B，图形B经过平移变成图形C，则图形A经过平移直接变成图形C。

5.在平移过程中，图形与原图形重合的点、线段和角，分别称为对应点、对应线段和对应角。

二、坐标的变化规律1.坐标系的平移：当坐标系整体向某个方向平移时，所有点的坐标都相应地增加或减少相同的数值。

2.点的平移：一个点在平面内平移，其实质是该点的坐标发生变化。

若点P(x,y)沿x轴平移a个单位，沿y轴平移b个单位，则平移后点的坐标为P’(x+a,y+b)。

3.直线的平移：一条直线平移时，其上的所有点的坐标都按照上述点的平移规律变化。

4.圆的平移：一个圆平移时，其上所有点的坐标同样按照上述点的平移规律变化。

5.其它图形的平移：其它平面图形平移时，其上所有点的坐标也按照上述点的平移规律变化。

三、平移图形的实际应用1.尺规作图：在尺规作图中，平移是一种基本的作图方法，可以用来构造已知图形。

2.图形变换：在计算机图形学、动画制作等领域，平移是实现图形变换的基本操作。

3.地图导航：在地图导航中，平移是实现地图缩放、查看不同区域的基本方法。

4.设计制图：在工程设计、建筑设计等领域，平移可以帮助设计者快速定位和调整图形。

四、平移图形的判定与证明1.判定：若两个图形在形状、大小上完全相同，只是位置不同，则这两个图形一个是另一个的平移。

2.证明：通过证明两个图形对应的点、线段和角相等，可以证明两个图形是平移关系。

五、平移图形的练习与巩固1.绘制：绘制不同形状的图形，并尝试进行平移，观察平移后的图形特点。

2.变换：将已知图形进行平移变换，求出平移后的坐标或位置。

3.应用：结合实际问题，运用平移图形的相关性质解决问题。

平移与旋转的性质在数学中，平移和旋转是常见的几何变换操作。

它们分别意味着通过移动对象的位置或者旋转对象的方向来改变它们的形状或者位置。

本文将介绍平移和旋转的性质，并探讨它们在实际生活中的应用。

一、平移的性质平移是指在平面或者空间中按照规定的方向和距离，将图形的每个点都沿着相同的路径移动。

以下是平移的一些性质：1. 平移不改变图形的大小和形状，只改变了图形的位置。

例如，一张纸条平移到桌子上的另一边，纸条的形状和长度都没有发生改变。

2. 平移是保持图形内部的相对位置不变的变换。

也就是说，图形中的每一对点之间的距离和角度关系在平移前后保持不变。

3. 平移可以自由进行组合。

即使将多个图形进行平移操作，它们之间的相对位置关系仍然保持不变。

平移在日常生活中有广泛的应用。

例如，在矿山中，把挖掘出来的矿石通过平移方式运输到生产线的下一个环节，可以提高工作效率并减少人力成本。

此外，在城市规划中，规划师可以通过平移建筑物或者道路来优化城市的布局。

二、旋转的性质旋转是指围绕着一个中心点，按照一定的角度将图形沿着一个圆周或者轴线进行转动。

以下是旋转的一些性质：1. 旋转同样不改变图形的大小和形状，只改变了图形的方向。

如果我们旋转一个正方形，它仍然是正方形，只是方向改变了。

2. 旋转可以改变图形中点与点之间的距离和角度关系。

例如，旋转一个矩形，原先垂直的边可能会变为斜边。

3. 旋转也可以进行组合操作。

多个图形进行旋转后，它们的相对位置关系可能发生变化。

旋转在现实生活中也有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，设计师可以通过旋转建筑物的平面图，探索不同的视角和光线照射下的外观效果，以便于更好地优化设计。

此外，在工业生产中，机械加工时的旋转切削操作可以使得切削工具更均匀地削减工件，提高加工质量。

总结起来，平移和旋转是常见的几何变换操作，它们在数学中具有一些共同的性质。

平移只改变图形的位置而不改变形状，而旋转不仅改变位置，还改变方向。

图形的平移和旋转【图形的平移】(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据．③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．（2）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．（3）简单的平移作图平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．1， 【典型例题】例 1．如图，△ABC 绕 C 点旋转后，顶点 A 的对应点为点 D ，试确定顶点 B 对应点的位置，以及旋转后的三角形．分析：绕 C 点旋转，A 点的对应点是 D 点，那么旋转角就是∠ACD ，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角即∠BCB′=ACD， 又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB ′，就可确定 B′的位置，如图所示．解：（1）连结 CD（2） 以 CB 为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD（3） 在射线 CE 上截取 CB′=CB则 B′即为所求的 B 的对应点．（4） 连结 DB′则△DB′C 就是△ABC 绕 C 点旋转后的图形．例 2．如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 DE= 1 ，4△ABF 是△ADE 的旋转图形．（1） 旋转中心是哪一点？（2） 旋转了多少度？（3） AF 的长度是多少？（4） 如果连结 EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF 的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求 AE 的长度，由勾股定理很容易得到． △ABF 与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（1）旋转中心是 A 点．（2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的∴B 是 D 的对应点∴∠DAB=90°就是旋转角（3）∵AD=1，DE= 1412 (1)2 4∴AE= = 4∵对应点到旋转中心的距离相等且 F 是 E 的对应点∴AF= 174（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且 AF=AE ∴△EAF 是等腰直角三角形．【图形的旋转】（1） 旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心。

第二讲平移与旋转一、新知讲解（一）1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动称为平移．它是一种变换.2、平移的两个要素：（1）平移的方向（2）平移的距离．3、平移的性质：（1）平移不改变图形的形状和大小；（2）对应线段平行且相等；（3）对应角相等；（4）对应点所连的线段平行且相等（或在一条直线上）．4、平移的实质：是图形上每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离。

（二）1、旋转的定义：在平面内，把一个图形绕一个定点，沿某个方向转动一定的角度，这样的图形运动叫做旋转．2、图形旋转的三个要素：（1）旋转中心；（2）旋转方向；（3）旋转角度．3、旋转的性质：（1）图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度。

（2）对应线段相等，对应角相等；（3）对应点到旋转中心的距离相等；（4）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转同样大小的角度.（5）对应点与旋转中心连线的夹角都是旋转角．4、平移与旋转的异同：区别：从定义分析；联系：都是全等变换。

即两种变换下对应线段相等，对应角相等二、典例分析例1、如图将ABC ∆沿直线AB 向右平移后到达BDE ∆的位置，若 100,50=∠=∠ABC CAB ，则CBE ∠的度数为____________.【变式练习】1、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3cm ，AC ＝4cm ，将△ABC 沿BC 方向平移1cm ，得到△A 'B 'C '．求四边形ABC 'A '的面积．2．如上图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，边BC ＝12cm ，把△ABC 向下平移至△DEF 后，AD ＝5cm ，GC ＝4cm ，请求出图中阴影部分的面积．3、在边长为1的小正方形网格中，AOB ∆的顶点均在格点上（1）、B 点关于y 轴的对称点坐标为____________；（2）、将AOB ∆向左平移3个单位长度得到111B O A ∆，请画出111B O A ∆；（3）、在（2）的条件下，1A 的坐标为____________.4、如图，B A ,的坐标为)1,0(),0,2(，若将线段AB 平移至11B A ，则b a +的值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5例二、如图，在三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，4cm AB =，5cm =BC ，3cm AC =，将三角形ABC 沿BC 方向平移cm(5)a a <得到三角形DEF ，且AC 与DE 相交于点G ，连接AD ．（1）阴影部分的周长为______cm ；（2）若三角形ADG 的面积比三角形EGC 的面积大24.8cm ，则a 的值为______．变式：1、如图，△ABC 中，13AC BC ==，把△ABC 放在平面直角坐标系xOy 中，且点A ，B 的坐标分别为（2，0），（12，0），将△ABC 沿x 轴向左平移，当点C 落在直线8y x =−+上时，线段AC 扫过的面积为_______ .2、如图，在ABC 中，已知 7BC =，点 E F ，分别在边AB BC ，上，将BEF △沿直线 EF 折叠，使点B 落在点D 处，DF 向右平移若干单位长度后恰好能与边AC 重合， 连结AD ，若311AC AD −=，则 3AC AD +的值为________ .例三、如图，∠MAN＝45°，点C在射线AM上，AC＝10，过C点作CB⊥AN交AN 于点B，P为线段AC上一个动点，Q点为线段AB上的动点，且始终保持PQ ＝PB．（1）如图1，若∠BPQ＝45°，求证：△ABP是等腰三角形；（2）如图2，DQ⊥AP于点D，试问：此时PD的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请计算其长度；（3）当点P运动到AC的中点时，将△PBQ以每秒1个单位的速度向右匀速平移，设运动时间为t秒，B点平移后的对应点为E，求△ABC和△PQE的重叠部分的面积．例四、（武侯）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，ABC ∆的三个顶点都在格点上．（1）、将ABC ∆向右平移3个单位长度，画出平移后对应的111C B A ∆．（2）、将ABC ∆绕点O 旋转 180，画出旋转后对应的222C B A ∆．(第一题图) (第二题图)变式：（锦江）如图，ABC ∆三个顶点的坐标分别为()11，−A ，()24，−B ，()43，−C ．（1）、请画出ABC ∆向右平移5个单位长度后得到111C B A ∆；（2）、请画出ABC ∆关于原点对称的222C B A ∆；（3）、在x 轴上求作一点P ，使PAB ∆的周长最小，并直接写出点P 的坐标．例五、如图，在ABC ∆中， 90=∠C ， 70=∠BAC ，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转 70，B ，C 旋转后对应点分别是'B 和'C ，连接'BB ，则'ABB ∠的度数是（ ）A 、 35B 、 40C 、 45D 、 55变式：如图，P 是等边ABC ∆内的一点，且3=PA ，4=PB ，5=PC ，将ABP ∆绕点B 顺时针旋转 60到QBC ∆位置．连接PQ ，则以下结论错误的是（ ）A 、 60=∠QPB B 、 90=∠PQC C 、 150=∠APBD 、 135=∠APC （例3图） （例3变式）例六、如图，在△ABC 和△DCE 中，AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，将△DCE 绕点C 旋转（0°＜∠ACD ＜180°），连接BD 和AE ：（1）求证：△BCD ≌△ACE ；（2）试确定线段BD 和AE 的数量关系和位置关系；（3）连接AD 和BE ，在旋转过程中，△ACD 的面积记为S 1，△BCE 的面积记为S 2，试判断S 1和S 2的大小，并给予证明．变式：如图，在正方形ABCD 中，F E ,分别是CD BC ,边上的点满足AF AE DF BE EF 、,+=分别与对角线BD 交于.,N M（1）、求证：︒=∠45EAF （2）、求证：222DN BM MN +=例七：（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为；（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，平面上一动点P到点B的距离为3，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连DA，DB，PB，则BD是否有最大值和最小值，若有直接写出，若没有说明理由？。

中考数学复习专项知识总结—图形的变换（中考必备）1、平移(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。

(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。

(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。

2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。

这条直线叫做它的对称轴。

(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；3、旋转(1)旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。

点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；①对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；①旋转前后的图形全等。

(2)中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。

平移的知识点总结四年级下1. 平移的概念平移是指图形在平面上沿着一定方向和距离移动的过程。

在平移中，图形的大小和形状不会改变，只是位置发生了变化。

平移可以用箭头表示，箭头的方向表示平移的方向，箭头的长度表示平移的距离。

2. 平移的性质（1）保持距离：平移保持了图形的大小和形状，但是位置发生了变化，因此平移保持了图形上各点之间的距离，图形的内部结构没有改变。

（2）保持方向：平移前后图形的方向是相同的，即图形上的所有线段、角度和曲线都在平移中得到保持。

3. 平移的表示方法表示平移时，可以使用向量、坐标、描述语言等不同的方法。

向量表示法：平移可以用向量表示，用平移的方向和距离构成一个向量来表示。

坐标表示法：平移前后，点的坐标发生了改变，可以用坐标表示平移的过程。

描述语言：也可以用文字来描述平移的过程，比如“向右平移3个单位”。

4. 平移的实际应用在日常生活中，平移是一个非常常见的概念，比如地图上的移动、物体的位置变化等都可以用平移的概念来描述。

在工程和科学领域，平移也有着广泛的应用，比如在机械设计中需要考虑物体的移动位置，地图制作时需要考虑地图上标志物的位置变化等。

5. 平移的操作在数学课堂上，学生们会学习如何进行平移的操作。

平移的操作可以通过纸上的练习来进行，也可以通过计算机软件进行模拟。

在进行平移操作时，需要注意平移的方向和距离，并且要保持图形的大小和形状不变。

6. 平移与其他几何变换的关系平移是几何变换中的一种，还有旋转、翻转等几何变换。

与旋转和翻转不同的是，平移保持了图形的大小和形状，只是位置发生了改变。

同时，平移的方向和距离是可以自由选择的，而旋转和翻转是固定的。

7. 平移的学习方法学习平移时，可以通过观察图形进行实际演练，也可以通过绘制图形来进行实践。

另外，还可以通过与其他几何变换进行对比来更好地理解平移的特点。

通过实际操作和应用练习，可以更好地掌握平移的知识。

8. 平移的重要性平移是几何学中的基本概念之一，对于学生们学习几何学和空间想象能力的培养非常重要。

小学数学知识归纳平移的性质平移是数学中常见的一种变换方式，它可以通过将图形在平面上沿着指定的方向和距离移动，而保持图形的形状和大小不变。

在小学数学中，学生们接触到的平移概念非常基础，但却是后续学习几何和代数的重要基础。

本文将对小学数学中关于平移的性质进行归纳总结。

一、平移的概念平移是指在平面内，将一个图形沿着所指定的方向和距离进行移动的变换方式。

平移的基本要素包括平移向量（指定移动的方向和距离）和平移前后图形的对应关系。

二、平移的性质1. 形状不变性：平移变换不会改变图形的形状，只会改变图形在平面上的位置。

例如，一个等边三角形经过平移变换后仍然是一个等边三角形。

2. 大小不变性：平移变换也不会改变图形的大小。

无论图形是大还是小，平移后仍然保持原有的大小。

例如，一个边长为5厘米的正方形经过平移变换后仍然是一个边长为5厘米的正方形。

3. 平行性质：平移变换保持图形中的所有线段相互平行。

如果两条线段在变换前是平行的，那么它们在变换后仍然保持平行关系。

例如，一个平行四边形经过平移变换后仍然是一个平行四边形。

4. 距离性质：平移变换保持图形中各点之间的距离不变。

如果两点之间的距离在变换前是d，那么它们在变换后仍然是d。

例如，一个直角三角形的直角边和斜边之间的距离在进行平移变换后仍然保持不变。

5. 方向性质：平移变换不改变图形中线段的方向。

例如，一个水平线段经过平移变换后仍然是一个水平线段。

三、平移的表示方式平移变换可以通过向量表示来进行描述。

向量由方向和大小组成，可以表示平面上的一次移动。

平移向量可以写成坐标形式，例如(x, y)表示在x轴方向上平移x个单位，在y轴方向上平移y个单位。

四、平移的操作步骤进行平移变换的操作步骤如下：1. 选取一个基准点，作为平移变换的参照点。

2. 确定平移向量，指定平移变换的方向和距离。

3. 沿着平移向量的方向，从基准点开始，按照指定的距离进行移动。

4. 将移动后的图形与原始图形对应起来，即完成平移变换。

第三章图像的平移与旋转第一节图形的平移1.在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

2.一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个图形能与原图形相互重合，只是位置发生了变化。

我们把能够相互重合的点称为对应点，能够相互重合的角称为对应角，能够相互重合的线段称为对应线段。

3.平移的条件：确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要一一对应的点的位置或平移的方向和距离，平移的方向为原图上的点指向它的对应点的方向，这一对对应点连接的线段的长是平移的距离。

注：（1）图形的平移有两个基本的条件：方向（任意方向）；距离（2）平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小。

4.平移的性质：（1）平移后的图形与原图形对应点所连线段平行或在一条直线上且相等；（2）平移后的图形与原图形对应线段平行（或在一条直线上）且相等；（3）平移后的图形与原图形对应角相等。

5.平移作图常见形式及作法：第二节图形的旋转1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点被称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

旋转不改变图形的形状和大小。

注：旋转是在平面内，而不是在空间内；旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定可以通过旋转得到；旋转的角度一般小于360度。

2.旋转的三要素：图形的旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转的方向所决定。

3.旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。

4.简单的旋转作图：旋转、平移、轴对称的异同：（1）三者的相同点：都是在平面内的图形变换不涉及立体图形的变换；三中变换都是只改变图形的位置，不改变形状和大小，其对应边相等，对应角相等。

（2）不同点：旋转、平移及轴对称的运动方式不同，旋转的运动方式是将一个图形旋转一定角度；而平移的运动方式则是将一个图形沿一条直线对折；旋转、平移及轴对称的对应线段、对应角之间的关系不同。

解析几何中的平移与旋转解析几何是数学中的一个重要分支，通过使用坐标系和代数运算来研究点、线、面等几何对象的性质和变换。

在解析几何中，平移和旋转是两种常见的变换方式。

本文将对平移和旋转在解析几何中的概念、性质和运算进行详细解析。

一、平移的概念与性质平移是指将一个图形按照一定的规则，在平面内沿着平行线方向移动，但保持形状和大小不变的变换过程。

平移可以用向量表示，在平面上的每一个点都有唯一的对应点与之相对应。

平移的性质如下：1. 平移保持图形的形状和大小不变；2. 平移后的图形与原图形共线；3. 平移是一个可逆变换，即可以通过相反方向的平移将图形还原。

平移也可以通过向量运算来描述。

设平面上任意两点A和B的坐标分别为：A (x1, y1)，B (x2, y2)。

则以向量表示的平移可以通过以下方式实现：1. 计算向量AB (x2 - x1, y2 - y1)；2. 在平面上任意一点C的坐标为 (x, y)，则平移后的C'点的坐标为(x + x2 - x1, y + y2 - y1)。

二、旋转的概念与性质旋转是指将一个图形按照一定的规则，绕着一个点旋转一定角度使其在平面内发生变换的过程。

在解析几何中，旋转通常以坐标原点作为旋转中心，并按照顺时针或逆时针方向进行。

旋转的性质如下：1. 旋转后保持图形的形状和大小不变；2. 旋转的角度可以是正数、负数或零；3. 旋转可以是顺时针或逆时针方向；4. 旋转中心点不变。

旋转可以通过三角函数来表示。

设平面上点A (x, y) 绕原点逆时针旋转θ角度后的新点为A' (x', y')，则旋转的坐标变换可以通过以下公式计算：x' = x*cosθ - y*sinθy' = y*cosθ + x*sinθ三、平移与旋转的运算解析几何中，平移与旋转可以进行运算，得到新的平移或旋转结果。

1. 平移与平移的运算：两个平移可以相加或相减。

数学图形平移的知识点总结数学图形平移是几何学中的一个重要概念，它是指将一个图形在平面上沿着某个方向和距离进行移动的操作。

平移操作可以改变图形的位置，但不改变其形状和大小。

平移是几何变换中最基础的一种，也是很多高级几何变换的基础。

在平移操作中，我们需要了解一些概念以及相关的性质和定理。

一、平移的定义和性质1. 平移的定义平移是指把一个图形完全移动到另外一个位置，使得每一个点都保持原位置和原来的距禈。

可以用向量来描述平移的过程，如果有一个向量（a，b），平移后的点P（x，y）的坐标为P’（x+a，y+b）。

2. 平移的性质① 平移不改变图形的形状和大小，只改变其位置；② 平移操作是可以叠加的，即若图形A经过平移得到了图形B，若再对图形B进行一次平移，则得到的图形和直接对图形A进行平移后得到的图形是一样的；③ 平移和原图形的面积、周长、角度等性质都是一样的；④ 平移是一个刚性变换，它保持了图形的相对位置和相似关系。

二、平移的表示方法1. 向量表示法平移可以用向量来表示。

给定向量AB（a，b），将点P（x，y）平移到点P’（x+a，y+b）。

2. 坐标表示法平移也可以用坐标表示法来描述。

对于平面上的一个图形，如果将每一个顶点（x，y）移动到（x+a，y+b），那么这就是图形的平移。

三、图形的平移与原图形的关系1. 图形的位置关系在平移中，我们需要了解图形和它的平移图形之间的位置关系。

平移后的图形和原图形相对位置并没有改变，只是位置发生了平移。

2. 平移图形的坐标平移图形的坐标可以通过原图形的坐标和平移向量来计算。

如果有一个向量（a，b），平移后的点P（x，y）的坐标为P’（x+a，y+b）。

3. 平移图形的面积、周长等平移不改变图形的形状和大小，平移后的图形和原图形具有相同的面积、周长和角度等性质。

四、平移的实际应用平移是几何变换中最基础的一种，也是很多高级几何变换的基础。

它在实际生活中有许多应用，比如地图上的标注、建筑设计、计算机图形学等方面。

图形的平移和旋转一、知知要点1.图形的平移(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小。

（2）平移的特点：①平移是指整个图形平行移动，包括图形的每一条线段，每一个点。

经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。

②平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。

(3) 平移的基本性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

2.旋转在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

旋转不改变图形的大小和形状。

注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。

在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变。

因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征。

2．旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等；（4）图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。

3.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形4.中心对称把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

①中心对称图形如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么我们就说，这个图形是中心对称图形。

②中心对称的性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

二．典型例题题型1：平移的性质 1．在以下现象中，① 温度计中，液柱的上升或下降； ② 打气筒打气时，活塞的运动； ③ 钟摆的摆动； ④ 传送带上，瓶装饮料的移动 2.属于平移的是（ ）（A ）① ，② （B ）①， ③ （C ）②， ③ （D ）② ，④3.平移改变的是图形的 （ ）A 位置B 大小C 形状D 位置、大小和形状4.经过平移,图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离,下面说法正确的是（ ）A 不同的点移动的距离不同B 既可能相同也可能不同C 不同的点移动的距离相同D 无法确定 5.下列说法正确的是（ ）A 由平移得到的两个图形的对应点连线长度不一定相等B 我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方向的平移”C 小明第一次乘观光电梯，随着电梯向上升，他高兴地对同伴说：“太棒了，我现在比大楼还高呢，我长高了！”D 在图形平移过程中，图形上可能会有不动点6.二年级同学表演节目，11个男同学排成一排，每两个男生之间安排一个女生，表演节目的男女生一共有多少人？题型2：平移作图7： 把图中的三角形ABC （可记为△ABC ）向右平移8个格子，画出所得的△'''C B A 。