长安区2024届高三第一次联考数学（理科）试题注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合(){}{2log 20,A x x B x y =-≤==，则A B ⋃=（）A.[)1,2- B.[]1,2 C.[)1,-+∞ D.[)1,22.已知函数3log ,0()9,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1((2=f f （）A.14B.12C.22D.23.著名的欧拉公式是i e cos x x isinx =+，则3i e 在复平面内的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知向量()1,0a = ，()4,b m =，若2a b - 不超过3，则m 的取值范围为（）A.⎡⎣B.⎡⎣C.[]3,3- D.[]5,5-5.某班学生每天完成数学作业所需的时间的频率分布直方图如右图，为响应国家减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少5分钟，则减负后完成作业的时间的说法中正确的是（）A.减负后完成作业的时间的标准差减少25B.减负后完成作业的时间的方差减少25C.减负后完成作业的时间在60分钟以上的概率为12%D.减负后完成作业的时间的中位数为256.等比数列{}n a 满足132410,20a a a a +=+=，则6S =（）A.30B.62C.126D.2547.已知()sin 2cos 5sin x x x ϕ-=+，则22sin sin cos 2cos ϕϕϕϕ--=（）A.15B.25C.35 D.458.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()4,1A -．若将军从山脚下的点()3,2B -处出发，河岸线所在直线方程为30x y -+=，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.2B.5 C.10 D.239.在三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 3sin c c A a C +=，3a =，32b c +=ABC 的面积为（）A.324B.334C.423D.43310.从直角三角形顶点中任取两个顶点构成向量，在这些向量中任取两个不同的向量进行数量积运算，则数量积为0的概率为（）A.215B.415 C.35D.1211.已知函数()()2e e x xf x x -=+，若满足()3132log log 2e 0e f m f m ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围为（）A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,3 D.()3,+∞12.已知农历每月的第1t +天()029,t t ≤≤∈N 的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为2222212πcos 29x y r r t +=⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中r 为常数．根据以上信息，下列说法中正确的有（）①农历每月第()*130,d d d ≤≤∈N天和第30d -天的月相外边缘形状相同；②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为2r ；③月相外边缘的离心率第8天时取最大值；④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭内．A.①③B.②④C.①②D.③④第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率为___________.14.若实数m 满足4220m m --=，则6m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为______．15.一个正四棱柱底面边长为2，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为______.16.()e 1,01,0x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()1y f f x k =+-有两个零点，则k 的取值范围是______.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.体育强则中国强，体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想.某学校从参加体育知识竞赛的学生中抽出200名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示，根据图形，回答下列问题.（1）求m ；（2）估计这次体育知识竞赛成绩的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在抽出的200位学生中，若规定分数不低于80分的学生为获奖学生，已知这200名学生中男生与女生人数相同，男生中有20人获奖，请补充22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“体育知识竞赛是否获奖与性别有关”男生女生合计获奖20未获奖合计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d=+++.()20P K k ≥0.050.0100.0050.0010k 3.8416.6357.87910.82818.图1所示的是等腰梯形π,//,3,1,,3ABCD AB CD AB CD ABC DE AB ==∠=⊥于E 点，现将ADE V 沿直线DE 折起到PDE △的位置，连接,PB PC ，形成一个四棱锥P EBCD -，如图2所示．（1）若平面PCD 平面PBE l =，求证：//DC l ；（2）求证：平面PBE ⊥平面BCDE ；（3）若二面角P ED B --的大小为π3，求直线PD 与平面PBC 夹角的正弦值．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()23cos πna n nb a n =+⋅，求数列{}nb 的前n 项和nT .20.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A ，点P 为平面内一动点，线段PA 的中点为M ，点M 到y 轴的距离等于MA ，点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）已知点()2,4Q ，曲线C 上异于点Q 的两点E ，F 满足QE 与QF 斜率之和为4，求点Q 到直线EF 距离的最大值.21.已知函数()()e sin xf x a x =-．（1）当1a =时，求函数()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若不等式()()2ln 1sin f x x x x a x ++>-恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是πsin6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点E 为曲线C 上的任意一点，直线l 交x 轴，y 轴于A ，B 两点，求ABE 面积的最大值.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()365f x x x =+-+.（1）解不等式()1f x ≥；（2）设函数()f x 的最小值为m ，正数a 、b 、c 满足0a b c m +++=，证明：11132a b b c c a ++≥+++.长安区2024届高三第一次联考数学（理科）试题注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合(){}{2log 20,A x x B x y =-≤==，则A B ⋃=（）A.[)1,2- B.[]1,2 C.[)1,-+∞ D.[)1,2【答案】A 【解析】【分析】利用对数函数的性质和二次根式的定义域求解集合，再求并集即可.【详解】令()2log 20x -≤，解得[)1,2x ∈，令210x-≥，解得[]1,1x ∈-，显然[)1,2A B ⋃=-，故A 正确.故选：A2.已知函数3log ,0()9,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1((2=f f （）A.14B.12C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得.【详解】函数3log ,0()9,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则311(log 022f =<，所以3311log log 2223111(())(log )9(3)224f f f ====.故选：A3.著名的欧拉公式是i e cos x x isinx =+，则3i e 在复平面内的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】由题意可得3i e cos3isin 3=+，结合三角函数在各象限的符号和复数的几何意义即可求解.【详解】由题意知，3i e cos3isin 3=+，又cos30,sin 30<>，所以该复数在复平面所对应的点的坐标为(cos3,sin 3)，为第二象限的点.故选：B4.已知向量()1,0a = ，()4,b m =，若2a b - 不超过3，则m 的取值范围为（）A.⎡⎣B.⎡⎣C.[]3,3- D.[]5,5-【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量的坐标表示和几何意义可得249m +≤，解之即可求解.【详解】由题意知，2(2,)a b m -=--，所以23a b -=≤，得249m +≤，即25m ≤，解得m ≤≤即实数m 的取值范围为[.故选：B5.某班学生每天完成数学作业所需的时间的频率分布直方图如右图，为响应国家减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少5分钟，则减负后完成作业的时间的说法中正确的是（）A.减负后完成作业的时间的标准差减少25B.减负后完成作业的时间的方差减少25C.减负后完成作业的时间在60分钟以上的概率为12%D.减负后完成作业的时间的中位数为25【答案】D 【解析】【分析】根据给定的频率分布直方图求出x ，利用方差、标准差的意义判断AB ；求出减负前完成作业的时间在60分钟以上的概率及中位数判断CD.【详解】由频率分布直方图可得：200.025200.0065200.0032201x +⨯+⨯+⨯⨯=，解得0.0125x =，减负后每天作业布置量减少5分钟，则减负后完成作业的时间的平均数减少5分钟，而完成作业的时间波动大小不变，因此减负后完成作业的时间的标准差、方差不变，AB 错误；减负前完成作业时间在60分钟以上的频率为0.003400.12⨯=，减负后完成作业时间在60分钟以上的频率小于0.12，由此估计减负后完成作业的时间在60分钟以上的概率小于12%，C 错误；减负前，第一组的频率为0.0125200.25⨯=，第二组的频率为0.025200.5⨯=，则完成作业的时间的中位数在第二组的中间，即中位数为2040302+=（分钟），所以减负后完成作业时间的中位数为30525-=（分钟），D 正确.故选：D6.等比数列{}n a 满足132410,20a a a a +=+=，则6S =（）A.30B.62C.126D.254【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的性质，由题中条件，先求出首项和公比，即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由132410,20a a a a +=+=可得24132a a q a a +==+，则213111510a a a a q a +=+==，所以12a =，因此()6621212612S -==-.故选：C7.已知()sin 2cos x x x ϕ-=+，则22sin sin cos 2cos ϕϕϕϕ--=（）A.15B.25C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】由和差角公式可得cos 55ϕϕ==-，从而得解.【详解】()sin 2cos cos sin x x x x x ϕϕϕ-=+=+，所以cos ϕϕ=，则22222552554sin sin cos 2cos 255555ϕϕϕϕ⎛⎛⎛--=--⨯--= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()4,1A -．若将军从山脚下的点()3,2B -处出发，河岸线所在直线方程为30x y -+=，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】找出对称点，发现特殊情况路径最短，用两点间距离公式求解即可.【详解】如图，设点()4,1A -关于直线30x y -+=的对称点为(,)A m n '，A B '与直线交于0P ，且设饮马处为P ，由轴对称性质得，114n m -=-+，413022m n -+-+=，解得2m =-，1n =-，故(2,1)A '--，即P 与0P 重合时，将军饮马的总路程最短，则最短路程为00AP BP A B +==='.故选：C9.在三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin c c A C +=，3a =，b c +=ABC 的面积为（）A.4B.4C.423D.3【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理和辅助角公式得到π3A =，结合余弦定理得到3bc =，利用三角形面积公式求出答案.【详解】cos sin c c A C +=，由正弦定理得sin sin cos sin C C A A C +=，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，故1cos A A +=，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故ππ66A -=，解得π3A =，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即()222122b c bc a bc +--=，因为3a =，b c +=1829122bc bc --=，解得3bc =，11333sin 32224ABC S bc A ==⨯⨯=.故选：B10.从直角三角形顶点中任取两个顶点构成向量，在这些向量中任取两个不同的向量进行数量积运算，则数量积为0的概率为（）A.215B.415 C.35D.12【答案】B 【解析】【分析】根据向量的定义，结合平面向量数量积的运算性质、古典概型的运算定义进行求解即可.【详解】设,,A B C 是直角三角形的三个顶点，其中AB AC ⊥，从从直角三角形顶点中任取两个顶点构成向量有：,,,,,AB AC BC BA CA CB一共有6个，因为两个向量数量积为零，所以它们互相垂直，即有,,,AB AC AB CA BA AC BA CA ⊥⊥⊥⊥符合题意，所以数量积为0的概率为2644C 15=，故选：B11.已知函数()()2e exxf x x -=+，若满足()3132log log 2e 0e f m f m ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭，则实数m的取值范围为（）A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,3 D.()3,+∞【答案】B 【解析】【分析】判断函数()f x 的奇偶性和单调性，结合函数性质将已知的不等式转化为()()3log 1f m f <，再利用奇偶性和单调性求解即可.【详解】()f x 的定义域为R ，()()()()()22e e e e x x x x f x x x f x ---=+-=+=，()f x为偶函数，()()()2e e 2e e x x x x f x x x --+'=-+，()00f '=，当0x >时，e 1x >，0<e 1x -<，e e 0x x -->，()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增，()3132log log 2e 0e f m f m ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭，即()()332log log 2e 2(1)ef m f m f +-<+=，即()()32log 21f m f <，也就是()()3log 1f m f <，()()2e e x x f x x -=+在()0,∞+单调递增且为偶函数，()f x 在(),0∞-单调递减，3log 1m <，即31<log 1m -<，解得133m <<.实数m 的取值范围为1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解答本题的关键是得出()f x 为偶函数和在()0,∞+上单调递增，由对数的性质结合函数为偶函数将不等式化为()()3log 1f m f <，再由单调性求解.12.已知农历每月的第1t +天()029,t t ≤≤∈N 的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为2222212πcos 29x y rr t +=⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中r 为常数．根据以上信息，下列说法中正确的有（）①农历每月第()*130,d d d ≤≤∈N天和第30d -天的月相外边缘形状相同；②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为2r ；③月相外边缘的离心率第8天时取最大值；④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭内．A.①③B.②④C.①②D.③④【答案】D【解析】【分析】利用已知条件求出第d 天和第30d -天的方程即可判断A ，根据椭圆上点到焦点的距离的最大值为a c +，求出a c +的范围即可判断B ，求出离心率e 的表达式判断C ，利用离心率e 的表达式，求出农历初六至初八时e 的的范围即可判断D.【详解】由方程2222212πcos 29x y r r t +=⎛⎫ ⎪⎝⎭()029,t t ≤≤∈N 知：A ：当1t d =-时，椭圆方程为()2222212πcos 129x y rr d +=⎛⎫- ⎪⎝⎭，当29t d =-时，椭圆方程为()2222212πcos 2929x y rr d +=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简为2222212πcos 2π29x y r r d +=⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2222212πcos 29x y r r d +=⎛⎫⎪⎝⎭，所以①错误；B：月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为：a c r +=r =+r =2πsin 29r r t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π1sin 29r t ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为029,t t ≤≤∈N ，所以2πsin 129t ⎛⎫<⎪⎝⎭，所以2π1sin 229r t r ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以②错误；C：月相外边缘的离心率为：2πsin 292πsin 29r t c e t a r ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭==== ⎪⎝⎭，而029,t t ≤≤∈N ，所以当7t =时，2π14πsin sin 2929e t ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭最大，即月相外边缘的离心率第8天时取最大值，所以③正确；D ：农历初六至初八，即618t ≤+≤时，即57t ≤≤，此时月相外边缘离心率：2π2πsin 5sin 72929e ⎛⎫⎛⎫⨯≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即10π14πsin sin 2929e ≤≤，因为10ππ293>，14ππ292<，所以10π3sin 292>，14πsin 129<，所以e <12<，故④正确.综上所述，正确的有③④.故选：D.【点睛】关键点点睛：判断C 选项的关键是求得2π1sin 29a c r t ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由此即可顺利得解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率为___________.【答案】【解析】【详解】解析过程略14.若实数m 满足4220mm--=，则6m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为______．【答案】20-【解析】【分析】解出方程求出参数，再利用二项式定理写出通项求解即可.【详解】令4220m m --=，可得2220()(1)m m +-=，易知210m +>，故220m -=，解得1m =，则求61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项即可，由二项式定理得61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为6216C (1)r r rr T x -+=-，令620r -=，解得3r =，则常数项为36C 20-=-.故答案为：20-15.一个正四棱柱底面边长为2，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为______.【答案】4π3【解析】【分析】根据题意该几何体为正四棱锥，利用正四棱锥的结构特征，求出内切球半径得解.【详解】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，O 为内切球的球心，PH 是棱锥的高，,E F 分别是,AB CD 的中点，连接PF ，G 是球与侧面PCD 的切点，可知G 在PF 上，OG PF ⊥，设内切球半径为r ，则OH OG r ==，1HF =，PH =，2PF =，由PGO PHF V :V ，OG PO HF PF ∴=，即312r r=，解得33r =，所以内切球表面积为2234π4π4π33S r ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：4π3.16.()e 1,01,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()1y f f x k =+-有两个零点，则k 的取值范围是______.【答案】11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】先求函数()f x 的值域，单调性，并画出图象，再设()1t f x =+，结合复合函数的零点个数求实数k 的取值范围即可.【详解】易知函数e x y =在R 上增函数，函数1y x=在()0,∞+上减函数，所以，当0x ≤时，1e 12x <+≤，当0x >时，10x>，于是函数()f x 的值域为()0,∞+，又函数()f x 的在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，函数图象如图所示：设()1t f x =+，由()0f x >可知，1t >，则()1f t t=.因为()()1y f f x k =+-有两个零点，所以()0f t k -=，即1k t=，于是11t k =>，则方程()11t f x k =+=，即()11f x k=-有两个零点，所以，由()f x 的图象可知，使方程()11f x k =-有两个零点，则满足111112kk⎧>⎪⎪⎨⎪<-≤⎪⎩，解得1132≤<k .综上所述，实数k 的取值范围是11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.体育强则中国强，体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想.某学校从参加体育知识竞赛的学生中抽出200名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示，根据图形，回答下列问题.（1）求m；（2）估计这次体育知识竞赛成绩的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在抽出的200位学生中，若规定分数不低于80分的学生为获奖学生，已知这200名学生中男生与女生人数相同，男生中有20人获奖，请补充22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“体育知识竞赛是否获奖与性别有关”男生女生合计获奖20未获奖合计附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.050.0100.0050.001 0k 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）0.01（2）75，68.5（3）列联表见解析，没有【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的性质求参数即可.（2）利用中位数，众数的求解公式计算即可.（3）列出列联表。
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