线性方程组的直接解法

第二章线性方程组的直接法在近代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组是重要的课题。

例如，样条插值中形成的关系式，曲线拟合形成的法方程等，都落实到解一个元线性方程组，尤其是大型方程组的求解，即求线性方程组（2.1）的未知量的数值。

（2.1）其中ai j，bi为常数。

上式可写成矩阵形式Ax = b，即（2.2）其中，为系数矩阵，为解向量，为常数向量。

当detA=D0时，由线性代数中的克莱姆法则，方程组的解存在且惟一，且有为系数矩阵的第列元素以代替的矩阵的行列式的值。

克莱姆法则在建立线性方程组解的理论基础中功不可没，但是在实际计算中，我们难以承受它的计算量。

例如，解一个100阶的线性方程组，乘除法次数约为（101·100！·99），即使以每秒的运算速度，也需要近年的时间。

在石油勘探、天气预报等问题中常常出现成百上千阶的方程组，也就产生了各种形式方程组数值解法的需求。

研究大型方程组的解是目前计算数学中的一个重要方向和课题。

解方程组的方法可归纳为直接解法和迭代解法。

从理论上来说，直接法经过有限次四则运算，假定每一步运算过程中没有舍入误差，那么，最后得到方程组的解就是精确解。

但是，这只是理想化的假定，在计算过程中，完全杜绝舍入误差是不可能的，只能控制和约束由有限位算术运算带来的舍入误差的增长和危害，这样直接法得到的解也不一定是绝对精确的。

迭代法是将方程组的解看作某种极限过程的向量极限的值，像第2章中非线性方程求解一样，计算极限过程是用迭代过程完成的，只不过将迭代式中单变量换成向量而已。

在用迭代算法时，我们不可能将极限过程算到底，只能将迭代进行有限多次，得到满足一定精度要求的方程组的近似解。

在数值计算历史上，直接解法和迭代解法交替生辉。

一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。

一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。

对于中等规模的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。

数值代数方法及其应用数值代数是数学中的一个分支，旨在通过计算和近似方法解决代数问题。

它结合了代数、数值计算和计算机科学的概念和技术，为科学研究和工程应用提供了强大的工具。

本文将介绍数值代数方法的基本原理、常用技术和应用领域。

一、数值代数方法简介数值代数方法是研究如何通过数值计算求解代数问题的学科。

它的核心思想是用数值计算的方式近似求解代数方程组、计算矩阵的特征值和特征向量等。

数值代数方法基于线性代数和数值分析的基本理论，通过算法和计算机程序实现。

数值代数方法的主要目标是提供一种有效、准确的计算方法，解决实际问题中的线性和非线性代数问题。

它在科学计算、工程模拟、金融建模等领域发挥着重要作用。

常用的数值代数方法包括线性方程组的直接解法、迭代解法、特征值问题的求解方法等。

二、常用的数值代数方法1. 线性方程组的直接解法线性方程组是数值代数中常见的问题之一，它的解决涉及到矩阵的运算和数值计算。

常用的直接解法包括高斯消元法、LU分解法等。

这些方法通过将线性方程组转化为等价的上三角或下三角矩阵，从而求解方程组的解。

2. 迭代解法当线性方程组规模较大时，直接解法的计算量较大。

此时可以使用迭代解法，通过反复迭代逼近线性方程组的解。

常用的迭代解法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。

这些方法通过计算矩阵的逆或逼近逆，逐步接近线性方程组的解。

3. 特征值问题的求解方法特征值问题在物理、化学、工程等领域中都有广泛的应用。

求解特征值问题涉及到矩阵的特征向量和特征值的计算。

常用的方法包括幂法、反幂法、QR方法等。

这些方法通过迭代计算矩阵的特征向量和特征值，从而求解特征值问题。

三、数值代数方法的应用领域数值代数方法在众多领域中都有着广泛的应用。

以下是数值代数方法在几个典型领域中的应用示例：1. 工程应用工程领域中常常需要求解大规模线性方程组，如结构力学问题、电路问题等。

数值代数方法提供了高效、准确的计算方式，可以快速求解这些问题，为工程设计和优化提供支持。

数值分析小论文线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法是指通过一系列的代数运算直接求解线性方程组的解。

线性方程组是数值分析中非常重要的问题，广泛应用于工程、科学、计算机图形学等领域。

在线性方程组的直接解法中，最常用的方法是高斯消元法，它是一种基于矩阵变换的方法。

高斯消元法将线性方程组表示为增广矩阵，并通过一系列的行变换将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。

高斯消元法的主要步骤包括消元、回代和得到方程组的解。

消元是高斯消元法的第一步，通过一系列的行变换将增广矩阵的元素转化为上三角形式。

在消元过程中，我们首先找到主元素，即矩阵的对角线元素，然后将其它行的元素通过消元操作转化为0，从而使得矩阵逐步变成上三角形矩阵。

回代是高斯消元法的第二步，通过一系列的回代操作求解线性方程组。

回代操作是从上三角形矩阵的最后一行开始，通过依次求解每个未知数的值，最终得到方程组的解。

高斯消元法的优点是算法简单易于实现，可以在有限的步骤内求解线性方程组，适用于一般的线性方程组问题。

但是高斯消元法也存在一些问题，例如当矩阵的主元素为0时，无法进行消元操作，此时需要通过行交换操作来避免这种情况。

另外，高斯消元法对病态矩阵的求解效果较差，容易引起舍入误差累积，导致解的精度下降。

在实际应用中，为了提高求解线性方程组的效率和精度，人们常常使用一些改进的直接解法，例如列主元高斯消元法和LU分解法。

列主元高斯消元法通过选择最大主元来避免主元为0的情况，进一步提高了求解线性方程组的精度。

LU分解法将矩阵表示为两个矩阵的乘积，从而将线性方程组的求解问题转化为两个三角形矩阵的求解问题，提高了求解效率。

综上所述，线性方程组的直接解法是一种基于矩阵变换的方法，通过一系列的代数运算求解线性方程组的解。

高斯消元法是最常用的直接解法之一，它简单易于实现，适用于一般的线性方程组问题。

在实际应用中，可以通过改进的直接解法来进一步提高求解效率和精度。

线性方程组的直接解法程序设计一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过消元和回代的方式，将线性方程组转化为上三角形式，进而求解未知数的值。

程序设计步骤如下：1.读入线性方程组的系数矩阵A和常数向量b；2.进行初等行变换，将系数矩阵A转化为上三角矩阵U，并同时对常数向量b进行相应的变换；3.判断是否有唯一解，如果主对角线上存在零元素，则方程组无解；如果主对角线上所有元素都非零，则方程组有唯一解；4.进行回代计算，求解未知数的值。

高斯消元法的优点是简单直观，容易理解和实现。

但是在一些情况下，会出现主对角线上有零元素的情况，此时需要进行行交换，增加了额外的计算量。

二、LU分解法LU分解法是另一种常用的线性方程组直接解法。

它将系数矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即A=LU。

程序设计步骤如下：1.读入线性方程组的系数矩阵A和常数向量b；2.进行LU分解，找到下三角矩阵L和上三角矩阵U；3.解第一个方程Ly=b，先求解向前替代方程，计算出y的值；4.解第二个方程Ux=y，再求解向后替代方程，计算出x的值。

LU分解法的优点是可以在多次需要解线性方程组的情况下重复使用LU分解的结果，提高计算效率。

但是LU分解法需要找到L和U的值，增加了额外的计算量。

三、数学实验在进行数学实验时，需要注意以下几点：1.线性方程组的系数矩阵应该是满秩的，以保证方程组有唯一解；2.对于大规模的线性方程组，可以使用稀疏矩阵存储和计算，减少内存和计算时间的消耗；3.在求解过程中，需要判断方程组是否有解，并且考虑特殊情况的处理；4.通过数学实验可以验证直接解法的正确性和有效性，分析计算结果的误差和稳定性。

综上所述，线性方程组的直接解法程序设计在计算方法和数学实验中都是重要的研究内容。

高斯消元法和LU分解法是常用的直接解法，通过编写程序并进行数学实验，可以深入理解和应用这些方法。

这些方法的有效性和稳定性对于解决实际问题具有重要意义。

第三章 解线性方程组的直接法3.1 引言许多科学技术问题要归结为解含有多个未知量x 1, x 2, …, x n 的线性方程组。

例如，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条函数问题，解非线性方程组的问题，用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程的边值等，最后都归结为求解线性代数方程组。

关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。

1. 直接法直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（假设计算过程中没有舍 入误差）。

但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。

本章将阐述这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。

2. 迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，迭代法需要的计算机存储 单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变，这些都是迭代法的优点；但是存在收敛性和收敛速度的问题。

迭代法适用于解大型的稀疏矩阵方程组。

为了讨论线性方程组的数值解法，需要复习一些基本的矩阵代数知识。

3.1.1 向量和矩阵 用nm ⨯R表示全部n m ⨯实矩阵的向量空间，nm C⨯表示全部n m ⨯复矩阵的向量空间。

()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⇔∈⨯nn n n n n ij nm a a a a a aa a a a ΛΛΛΛΛΛ212222111211A R A 此实数排成的矩形表，称为m 行n 列矩阵。

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇔∈n n x x x M 21x R x x 称为n 维列向量矩阵A 也可以写成)(n 21a ,,a ,a A Λ= 其中 a i 为A 的第i 列。

同理⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T n 21b b b A M其中Ti b 为A 的第i 行。

矩阵的基本运算：（1） 矩阵加法 )( ,n m n m R C ,R B ,R A B A C ⨯⨯⨯∈∈∈+=+=n m ij ij ij b a c . （2） 矩阵与标量的乘法 ij j a ci αα== ,A C （3） 矩阵与矩阵乘法 p nk kj ikb acij ⨯⨯⨯=∈∈∈==∑m p n n m R C ,R B ,R A AB C ( ,1（4） 转置矩阵 ji ij T nm a c ==∈⨯ , ,A C RA（5） 单位矩阵 ()nn ⨯∈=Re ,,e ,e I n 21Λ，其中()Tk e 0,0,1,0,0ΛΛ= k=1,2,…,n（6） 非奇异矩阵 设n n ⨯∈R A ，n n ⨯∈R B 。

线性方程组的直接解法
线性方程组（linear equation system）是一类几何问题，也是解决线性系统和代数问题的重要方法，线性方程组由多个联立方程组成，这些方程中也可能含有未知量。

直接解法是把数学模型转换为数值模型，并给出实现其解题步骤的算法，它不同于间接求解的方法，既不做任何假设，也不处理不确定性问题，只是简单地直接求解线性方程组。

解线性方程组的直接解法主要分为三种，分别是高斯消元法、列主元消去法和列坐标变换法。

高斯消元法是一种比较常用的方法，主要是把线性方程组的未知量从左到右一步步求出来，其中用到的主要技术是把矩阵中部分元素消去为零，以便求解不定线性方程组的未知量。

而列主元消去法则是以一列为主元，去消除其他联立方程中出现的此列中的变量，从而最终求出其他未知变量的值。

最后，列坐标变换法是将线性方程组转换为一个更有利于求解的矩阵，其中未知量可以直接求得解答。

除了这三种常见方法外，还有一些更特殊的直接解法，比如要解常微分方程的未知函数，可以用拉格朗日方法和分部积分方法，再比如求解雅各比方程的根，可以通过主副方程互解求解，这种方法也叫作特征根法。

综上，解线性方程组的直接解法有高斯消元法、列主元消去法、列坐标变换法等；特殊问题可以采用拉格朗日方法、分部积
分法和特征根法等。

每种方法都有自己的优势，因此在使用时，可以根据问题的特点，选择适合的方法来解决。

线性方程组求解的直接法5.2线性方程组直接解法概述直接解法就是利用一系列公式进行有限步计算，直接得到方程组的精确解的方法．当然，实际计算结果仍有误差，譬如舍入误差，而且舍入误差的积累有时甚至会严重影响解的精度．这是一个众所周知的古老方法，但用在计算机上仍然十分有效．求解线性方程组最基本的一种直接法是消去法．消去法的基本思想是，通过将一个方程乘以或除以某个常数，以及将两个方程相加减这两种手段，逐步减少方程中的变元的数目，最终使每个方程仅含一个变元，从而得出所求的解．高斯（Gauss ）消去法是其中广泛应用的方法，其求解过程分为消元过程和回代过程两个环节．消元过程将所给的方程组加工成上三角方程组，所归结的方程组再通过回代过程得出它的解．Gauss 消去法由于添加了回代的过程，算法结构稍复杂，但这种改进的算法明显减少了计算量．直接法比较适用于中小型方程组．对高阶方程组，即使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足．5.3直接解法5.3.1Gauss 消去法Gauss 消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，由它改进而来的选主元法是目前计算机上常用的有效的求解低阶稠密矩阵线性方程组的方法．例5.1用Gauss 消去法解方程组1231231232221(5.3.1)1324 (5.3.2)2539(5.3.3)2x x x x x x x x x ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解〖JP4〗第1步，式35.3.12⨯-（）（）加到式(5.3.2)上，式()15.3.1()2⨯-加到式(5.3.3)上，得到等价方程组123232322211(5.4.4)282(5.4.5)x x x x x x x ⎧++=⎪⎪-+=-⎨⎪⎪+=⎩第2步，式()2⨯5.3.4加到式(5.3.5)上得等价的方程组12323322211100(5.3.6)x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩第3步，回代法求解方程组(5.3.6)，即可求得该方程组的解为32110,1,.2x x x ===-.用矩阵描述其约化过程即为233(2)22221011100100r r r ⨯+⇒⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦→[]122133(1)3()21()222212221,3241/201111395/20282r r r r r r A b ⨯-+⇒⨯-+⇒⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦→.这种求解过程称为具有回代的Gauss 消去法．由此例可见，Gauss 消去法的基本思想是：用矩阵的初等行变换将系数矩阵A 化为具有简单形式的矩阵（如上三角阵、单位矩阵等），而三角形方程组是很容易回代求解的．一般地，设有n 个未知数的线性方程组为11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪++=⎩L L MM M L (5.3.7)1212)(,,)(,,)T T ij n n n n A a X x x x b b b b ⨯===L L （，，，则方程组(5.3.7)化为AX b =.方便起见，记()(1)det 0A AA ==≠，(1)b b =，且()1A的元素记为()()11,ij a b ，的元素记为()1i b ，则消去法的步骤如下：第1步：1110a≠（），，计算(1)11(1)11(2,3,4),i i a m i n a ==L 用()1i m -乘方程组(5.3.7)中的第1个方程加到第i个方程中()2,3,i n =L ，即进行行初等变换()112,3,i i i R m R R i n -⋅→=L ，消去第2个到第n个方程中的未知数1,x ,得等价方程组111121(2)(2)(2)22222(2)(2)(2)2inn n n nn n x a a b x a a b ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LMM LM M L (5.3.8)记为(2)(2)A X b =，其中(2)(1)(1)(2)(1)(1)1111(,2,3),2,3,ij ij i j i i i a a m a i j n b b m b i n =-==-=L L ，，第k 步()1,2,1k n =-L：继续上述消元过程．第1步到第1k -步计算已完成，且得到与原方程组等价的方程组(1)(1)(1)(1)1112111(2)(2)(2)222223()()()()()()nn k k k kkkn k n k k k nk nn n a a a b x a a b xx aa b x a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L L LLOM L M MMM L(5.3.9)记为()(()K k A X b =，进行第k 步消元：设()0k kka≠，计算乘数()()(1,)k ikk ik kka m k k n a ==+L ，用ik m -乘方程组(5.3.9)中第k 个方程加到第i 1)i k n =+L （，，，个方程上消去方程组(5.3.9)中第i 1)i k n =+L （，，个方程的未知数k x ，得到与原方程组等价的方程组：(1)()()(1)()()(1)(1)()(,1,)( 1.)k k k ij ij ik kj k k k i i ik k k k k k a a m a i j k n b b m b i k n A A k b b k ++++⎧=-=+⎪=-=+⎨⎪⎩L L （）与前行元素相同，与前个元素相同 (5.3.10) 记为(1)(1)k k A X b ++=其中(1)(1,k k A b ++）中元素计算公式为(1)()()(1)()()(1)(1)()(,1,)( 1.)k k k ij ij ik kj k k k i i ik k k k k k a a m a i j k n b b m b i k n A A k b b k ++++⎧=-=+⎪=-=+⎨⎪⎩L L （）与前行元素相同，与前个元素相同 (5.3.11)重复上述过程，且设()0(1,2,1)k kk a k n ≠=-L ，共完成1n -步消元计算，得到与方程组(5.3.7)等价的三角形方程组1111211(2)(2)(2)22222()()n n n n n nn n x a a b x a b ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LMOM M (5.3.12)再用回代法求方程组(5.3.12)的解，计算公式为()()()()1()(),(1,2,1)n n n nn n i i i ij j j i i i ii b x a b a x x i n n a =+⎧=⎪⎪⎨-⎪==--⎪⎩∑L (5.3.13)元素()k kka 称为约化的主元素．将方程组(5.3.7)化为方程组(5.3.12)的过程称为消元过程．方程组(5.3.12)的求解过程(5.3.13)称为回代过程．由消元过程和回代过程求解线性方程组的方法称为Gauss 消去法．定理5.1（Gauss 消去法）设AX b =。

学院：建筑工程学院专业：结构工程组号：16 成绩：报告题目：《线性方程组的直接解法及其应用》研究学院：建工学院专业：结构工程组号：16号成员：xxx学院： 建筑工程学院 专业：结构工程 组号：16 成绩：《线性方程组的直接解法及其应用》研究第一章对象描述一、 《线性方程组的直接解法及其应用》描述在科技、工程、医学、经济等各个领域中，经常遇到求解n 阶线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,,,22112222212*********m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1.1） 的问题.方程组（1.1）的系数),,2,1.(n j i a ij =和右端项),,2,1(n i b i =均为实数，且1b 、2b ，……，n b 不全为零。

方程组（1.1）可简记为b Ax =其中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x x 21 ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b b 21. 线性方程组的数值解法有两大类，一类是直接法，另一类是迭代法。

本次主要研究的是直接解法。

所谓直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差）。

但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得现行方程组的近似解。

这类算法中最基本的是高斯消元法及其某些变形，它是解决低阶稠密矩阵方程组及某些系数矩阵方程组的有效方法学院： 建筑工程学院 专业：结构工程 组号：16 成绩：二、 《线性方程组的直接解法及其应用》的相关概念1.特征值和特征向量设A 是一个n n ⨯阶实矩阵，若对于数λ，存在非零向量x ，使得x Ax λ=成立。

则称λ是A 的特征值(Characteristic Value)，x 为A 的对应于λ的特征向量(Characteristic Vector)。

实验一 线性方程组直接解法实验一、实验目的1.运用matlab 软件完成线性方程组的直接实验；2.通过实验,了解Doolittle 分解方法和列主元消去法解方程组的过程，并比较两种方法的优点。

二、实验题目分别用Doolittle 分解方法和列主元消去法解方程组123410-7018-3 2.09999962 5.9000015-15-1521021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x x . 输出A ，b ；Doolittle 分解方法的L 和U ；解向量x,det A ;列主元方法的行交换次序，解向量x,det A ；比较两种方法所得的结果。

三、实验原理1) Doolittle 分解方法的原理算法原理：应用高斯消去法解n 阶线性方程Ax b =经过1n -步消去后得出一个等价的上三角形方程组()()n n A x b =，对上三角形方程组用逐步回代就可以求出解来。

这个过程也可通过矩阵分解来实现。

将非奇异阵分解成一个下三角阵L 和上三角阵U 的乘积A LU =称为对矩阵A 的三角分解，又称LU 分解。

根据LU 分解,将Ax b =分解为Ly bUx y=⎧⎨=⎩形式,简化了求解问题。

程序框图：变量说明：ij a 为系数矩阵元素，i b 为常数矩阵系数，,ij ij l u 分别为下、上三角矩阵元素。

开始输入a ij ,b ii,j=1,2,…,na i1=l i1=a i1/a 11i=2,3,…,nk=2akj=ukj=akj-∑l ktj=k,…,nk=n?k=k+1y 1=b 1,y i =b i -∑l ij y ji=2,…,n x n =y n /u nnx i =(y i -∑u ij x j )/u iii=n-1,…2,1是否a kj =l jk =(a jk -∑l it u tk )/u kkj=k,…,n2)列主元消去法解方程组的原理算法原理：列选主元是当变换到第k步时，从k列的kk a及以下的各元素中选取绝对值最大的元素，通过行交换将其交换到kka的位置上，然后再进行消元过程。