一类SIRE对甲型H1N1流感传播模型的稳定性

第27卷第3期2010年9月经济数学M AT HEM A T ICS IN ECON OM I CSV ol.27,No.3Sep.2010一类时滞SIR传染病模型的稳定性与Hopf分岔分析*赵仕杰1,袁朝晖2(11桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004;21湖南大学数学与计量学院,湖南长沙410082)摘要研究了一类具有时滞及非线性发生率的SIR传染病模型.首先利用特征值理论分析了地方病平衡点的稳定性,并以时滞为分岔参数,给出了Hopf分岔存在的条件.然后,应用规范型和中心流形定理给出了关于Hopf分岔周期解的稳定性及分岔方向的计算公式.最后,用Matlab软件进行了数值模拟.关键词时滞;稳定性;非线性发生率;H opf分岔中图分类号O175.14文献标识码:A1引言近年来,传染病动力学得到了广大学者的广泛关注,大量针对各种传染病的模型(如:[1 -3])相继提出,并获得了一些很好的结果.但大多数模型对发生率的选取往往限制在简单物质作用率即双线性函数或标准发生率函数上,如文献[4-6]研究了具有双线性发生率的传染病数学模型的持久性、平衡点的稳定性等动力学行为.然而在对某些传染病而言,双线性与标准发生率的假设往往不足描绘现实背景,因此,很多学者考虑了一般的非线性发生率,如文献[7,8]在选取特殊的非线性发生率的基础上研究了平衡点的稳定性、H opf分岔现象等动力学行为.文献[9]研究了具有非线性发生率B SI q的SER传染病模型.文献[10]使用了非线性饱和函数发生率.本文将考虑下列SIR传染病模型d S(t) d t =r(1-S(t)K)S(t)-B S(t)I(t-S)1+A S(t),d I(t) d t =B S(t)I(t-S)1+A S(t)-L I(t)-C I(t),d R(t) d t =C I(t)-L R(t),(1)其中S(t),I(t)及I(t)分别表示易感染类、感染类和恢复类在t时刻的个体数目,r为内禀自然增长率,K为环境对群体的最大容纳量,B为传染率,L为自然死亡率,A为心理作用系数即易感者知道染病者染病后,就会采取相应的措施从而影响发生率变化,C为移出率系数,S表示*收稿日期:2009-11-24基金项目:广西自然科学基金资助项目(2010GXNS FC013012)作者简介:赵仕杰(1982)),男,河北承德人,硕士生E-mail:第3期赵仕杰等:一类时滞SIR 传染病模型的稳定性与H o pf 分岔分析疾病的潜伏期,假设系统中所有的参数为非负数.系统(1)的前两个方程不依赖于第三个方程,因此可以仅考虑由方程组(1)的前两个方程所构成的系统d S(t)d t =r (1-S(t)K )S(t)-B S (t)I (t-S )1+A S (t),d I (t)d t =B S (t)I (t -S )1+A S (t)-L I (t)-C I (t).(2)系统(2)的初始条件定义为:S (H )=U 1(H ),I (H )=U 2(H ),U i (H )\0,H I [-S ,0],U i (0)\0(i =1,2).2 稳定性与Hopf 分岔定义基本再生数R 0=B K (1+A K )((L +r ).假设R 0>1,则系统(2)有唯一的平衡点E *=(S *,I *),其中S *=C +L B -A (C +L ),I *=r(1+A S *)S *(1-S *K )B.系统(2)在平衡点E *=(S *,I *)附近对应线性近似系统为d S(t)d t =(r -2rS *K -r (K -S *)K (1+A S *))S(t)-(C +L )I (t -S ),d I (t)d t =(r(K -S *)K (1+A S *))S(t)-(C +L )I(t)+(C +L )I (t -S ).(3)则系统(3)对应的特征方程为K 2+m 1K +m 0+(n 1K +n 0)e -K S =0,(4)其中m 1=r(K -S *)K (1+A S *)+2rS *K +C +L -r,m 0=(C +L )(r(K -S *)K (1+A S *)+2rS *K -r ),n 1=-C -L ,n 0=-(C +L )(2rS *K-r ).定理1 假设R 0>1成立,且有不等式2A s *+1-K A >0,(5)则当S =0时,系统(2)的地方平衡点E *是局部渐近稳定的.证明 当S =0时,特征方程(4)变为K 2+(m 1+n 1)K +m 0+n 0=0.(6)由于m 1+n 1=r(K -S *)K (1+A S *)+2rS *K -r =rS *(2A S *+1-K A )K (1+A S *)1从而由不等式(5)可知m 1+n 1>0.另一方面,由R 0>1可知S *<K ,从而m 0+n 0=r (C +L )(K -S *)K (1+A S *)>0.所以由Routh -H urw its 准则可知方程(6)的所有的根都具有负实部,也就是说,当S =0时,正)17)经济数学第27卷平衡点E*是局部渐近稳定的.定理2假设R0>1成立,且有不等式(5)及K+(2A K-3)S*-4A S*>0,(7)成立,则存在一个定值S0>0,当S I[0,S0)时,E*是局部渐近稳定的,当S>S0时,E*是不稳定的,即S=S0为系统(2)的分岔值.证明由定理1知:当S=S0时,E*是渐近稳定的,下面说明存在S0>0,当S I[0,S0)时,E*是渐近稳定的,当S=S0时特征方程(4)具有纯虚根K=i X,其中i表示虚数单位,X> 0.把K=i X代入方程(4)分离实部和虚部得m1X=n0sin X S-n1X cos X S,X2-m0=n0cos X S+n1X sin X S.(8)将式(8)的两边分别平方相加得X4+(m21-2m0-n21)X2+m20-n20=0.(9)经过简单计算可得m21-2m0-n21=(r(K-S *)K(1+A S*)+2rS*K-r)2.由式(7)得m0-n0=(C+L)(r(K-S*)K(1+A S*)+4rS*K-2r)=-r(C+L)K+(2A K-3)S*-4A S*2K(1+A S*)<01因而结合m0+n0>0可知m20-n20<0,所以方程(9)存在唯一的正解X0,即特征方程(4)有一对形如?i X0的纯虚根.由式(8)可得S n=1X0arccosn0(X20-m0)-m1n1X20n20+n21X20+2n PX0(n=0,1,2,).由定理1可知当S=0时,E*是稳定的.因此,由Butler的引理[12]知:当S<S0时,E*仍然是渐近稳定的.若能证明下列横切条件d(Re K)d S S=S>0,则在S>S0附近,特征方程(4)至少存在一个具有正实部的特征根.事实上,通过对方程(4)关于S求导可得(2K+m1+n1e-K S-S(n1K+n0)e-K S)d Kd S=K(n1K+n0)e-K S,解得d K d S -1=2K+m1+n1e-K S-S(n1K+n0)e-K SK(n1K+n0)e-K S=2K+m1K(n1K+n0)e-K S+n1K(n1K+n0)-SK =K2-m0-K2(K2+m1K+m0)+-n0K2(n1K+n0)-SK.因此sig n d(Re K)d S S=Sk =sig n Red Kd S-1K=i X)18 )第3期赵仕杰等:一类时滞SIR 传染病模型的稳定性与H o pf 分岔分析=sig n Re [K 2-m 0-K 2(K 2+m 1K +m 0)]+Re [-n 0K 2(n 1K +n 0)]K =i X 0=sig n (X 20+m 0)(X 20-m 0)X 20[(m 0-X 20)2+(m 1X 0)2]+n 20X 20(n 20+n 21X 20).由于式(9)可变形为(m 0-X 20)2+(m 1X 0)2=n 20+n 21X 20,所以sig n d(Re K )d S S =S k=sig n (X 20+m 0)(X 20-m 0)X 20[(m 0-X 20)2+(m 1X 0)2]+n 20X 20(n 20+n 21X 20)=sig n X 40+n 20-m 20X 20(n 20+n 21X 20).这样,由前面已证明的不等式m 20-n 20<0可知d (Re K (S ))d S S =S 0>0.因此,系统(2)在S =S 0出现H o pf 分岔.3 Hopf 分岔方向与分岔周期解的计算公式下面用规范型方法及中心流形定理给出系统(2)H opf 的分岔方向,分岔周期解的稳定性及周期解的计算公式.令t =s S ,u 1=S -S *,u 2=I -I *,u -i (t)=u i (S t),S =S 0+T ,D1=11+A S*,为了方便起见,去掉0-0,则系统(2)可以写成为:u #(t)=L T (u t )+f (T ,u t ),(10)其中u(t)=(u 1(t),u 2(t))TI R 2,u t (H )=u(t+H ),H I [0,1],并且L v :C =C[0,1]y R 2和f :R 2@C y R 2分别表示为L T (u t )=(S 0+T )r -2rS *K -r (K -S *)D 1K 0r(K -S *)D 1K-C -LU 1(0)U 2(0)+(S 0+T )0-C -L 0C +L U 1(-1)U 2(-1),(11)且f (T ,u t )=(S 0+T )f 11f 221(12)式中,f 11=-r KU 21(0)+B A I *D 31U 21(0)-B D 21U 1(0)U 2(-1)+B A D 31U 21(0)U 2(-1)-B A 2I *D 41U 31(0)+,,f 22=-B A I *D 31U 21(0)+B D 21U 1(0)U 2(-1)-B A D 31U 21(0)U 2(-1)+B A 2I *D 41U 31(0)+,.由Riesz 表示定理可知,对于H I [0,1],存在一个有界变差函数G (H ,T ),使得:L T <=Q 0-1d G (H ,T )<(H ),<IC.(13)实际上,可以选择:G (H ,T )=(S 0+T )r -2rS*K-r(K -S *)D 1Kr (K -S *)D1K-C -LD (H ))19)经 济 数 学第27卷-(S 0+T )0-C -L0C +LD (H +1)1(14)其中D 表示狄拉克D 函数.对于U I C([0,1],R 2),定义:A(T )U =d U (H )d H,H I [-1,0),Q-1d G (s,T )U (s),H =0.且R(T )U =0,H I [-1,0),f (T ,U ),H =0.由于d u t (H )d H =d u(t +H )d H =d u(t+H )d t =d u t (H )d t,从而d u t d H =d u td t,系统(10)可化为u #(t)=A (T )u t +R(T )u t .(15)对于W I C *=C([0,1],(R 2)*),伴随算子A *(0)定义为A *(0)W (s)=-d W(s)d s,s I (0,1],Q-1d G T (t,0)W (-t),s =0.和双线性内积3W ,U 4=W -(0)U (0)-Q 0-1Q H N =0W -(N -H )d G (H )U (N )d N .(16)其中,G (H )=G (H ,0).下面记A =A(0),A *=A *(0),由第2节的讨论知道,?i X 0S 0是A 的特征值,从而也是A*的特征值.首先需要计算A 和A*分别关于特征值i X 0S 0和-i X 0S 0的特征向量.设q(H )=(1,q 1)Te i X 0S 0H是A 关于特征值i X 0S 0的特征向量,则Aq (H )=i X 0S 0q(H ).由A 的定义以及式(11)、式(13)和式(14)有S 0r -2rS *K-r (K -S *)D 1K 0r(K -S *)D 1K-C -L q (0)+S 00-C -L 0C +L q (-1)=i X 0S 0q(0).解得q 1=r(K -S *)D 1K [(C +L )(1-e -i X 0S0)+i X 0].另一方面,设q *(s)= D (1,q *1)e i X 0S 0s 是A *关于特征值-i X 0S 0的特征向量,则易得q *1=(C +L )e i X 0S0(C +L )e i X 0S 0-(C +L )+i X 01其中 D =11+ q *1+S 0q 1(C +L )(-1+ q *1)e -i X 0S 0,且满足3q *,q 4=1及3q *, q 4=1.下面计算在T =0处决定中心流形的局部坐标.设T =0时式(10)的解,定义:z (t)=3q *,u t 4,W (t,H )=u t -2Re z (t)q(H ),(17)及W (t,H )=W (z (t),z -(t),H )1)20)第3期赵仕杰等:一类时滞SIR 传染病模型的稳定性与H o pf 分岔分析其中W(z , z ,H )=W 20(H )z 22+W 11(H )z z +W 02(H ) z 22+W 30(H )z 36+,,(18)这里z 和 z 表示q *和 q *方向上中心流形C 0的局部坐标.对于式(15)的解u t I C 0,Ûz (t)=i X 0S 0z + q *(0)f (0,W (z , z )+2Re zq (H ))C i X 0S 0z + q *f 0(z , z )=i X 0S 0z +g(z , z )1其中g(z , z )= q *f 0(z , z )=g 20z 22+g 11z z +g 02 z 22+g 21z 2 z 2+,.(19)考虑到f (T ,u t )的定义g(z , z )= D S 0(1, q *)f 011f 022,其中f 011=-r Ku 21t (0)+BA I *D 31u 21t (0)-BD 21u 1t (0)u 2t (-1)+BA D 31u 21t (0)u 2t (-1)-BA 2I *D 41u 31t (0)+,,f 022=-BA I *D 31u 21t (0)+BD 21u 1t (0)u 2t (-1)-BA D 31u 21t (0)u 2t (-1)+BA 2I *D 41u 31t (0)+,.与式(19)比较系数,得到:g 20=2 D S 0-r K +( q *1-1)(-B A I *D 31+B D 21q 1e -i X 0S0),g 11=2 D S 0-r K+( q *1-1)(-B A I *D 31+B D 21Re {q 1e -i X 0S0}),g 02=2 D S 0-r K+( q *1-1)(-B A I *D 31+B D 21 q 1e i X 0S 0),g 21=2 D S 0{-r K(W (1)20(0)+2W (1)11(0))+( q *1-1)[-B A I *D 31(W (1)20(0))+2W (1)11(0)+B A 21( q 12e i X 0S 0W (1)20(0)+12W (2)20(-1)+W (1)11(0)q 1e -i X 0S 0+W (2)11(-1))-B A D 31(q -1ei X 0S+2q 1e-i X 0S)+3B A 2I *D 41].下来计算W 20(H )和W 11(H ).把式(15)和式(17)代入ÛW =Ûu t -Ûz q - z #q 得ÛW =AW -2Re { q *(0)f 0q(H )},H I [-1,0)AW -2Re { q *(0)f 0q(H )}+f 0,H =0=$A W +H (z ,z -,H )1(20)其中H (z , z ,H )=H 20(H )z 22+H 11(H )z z +H 02(H ) z 22+,1(21)这样由式(20)可得(A -2i X 0S 0)W 20=H 20(H ),AW 11=-H 11(H ).(22)与式(21)比较系数得:H 20(H )=-g 20q(H )- g 02 q (H ),H 11(H )=-g 11q(H )- g 11 q (H ).(23)由式(22)和(23)以及A 的定义有ÛW 20(H )=2i X 0S 0W 20(H )+g 20q(H )+ g 02 q (H ).因为q(H )=(1,q 1)T ei X 0S 0H,故W 20(H )=i g 20X 0S 0q(0)e i X 0S 0+i g 023X 0S 0q (H )e -i X 0S 0+E 1e 2i X 0S 0,(24)其中)21)经 济 数 学第27卷E 1=22i X 0-r +2rS *K +r(K -S *)D1K(C +L )e-2i X 0S-r(K -S *)D 1K2i X 0+(C +L )(1-e -2i X 0S)-1-r K +B A I *D 31-B D 21q 1e -i X 0S 0-B A I *D 31+B D 21q 1e-i X 0S.类似地W 11(H )=-i g 11X 0S 0q(0)e i X 0S 0+i g 11X 0S 0q (H )e -i X 0S0+E 2,(25)其中E 2=2-r +2rS *K +r(K -S *)D 1K(C +L )-r(K -S *)D 1KC +L-1-r K +B A I *D 31-B D 21Re {q 1e -i X 0S}-B A I *D 31+B D 21Re {q 1e -i X 0S0}.这样就可以计算g 21,同时也可以计算下列各值:c 1(0)=i 2X 0S 0(g 11g 20-2g 112-g 0223)+g 212,T 2=Re {c 1(0)}Re {K '(S 0)},B 2=2Re {c 1(0)},T 2=Im {c 1(0)}+F 2Im {K '(S 0)}X 0S 0.定理3 ( )T 2决定了H opf 分岔的方向:若T 2>0(<0),则系统(2)产生超临界(次临界)H o pf 分岔.( )B2决定了H opf 分岔稳定性:若B 2>0(<0),则周期解是不稳定的(稳定).( )T 2决定了分岔周期解的周期:若T 2>0(<0),则分岔周期解的周期是随S 的增加而增加(减少)的.4 数值模拟基于第2节正平衡点稳定性与H opf 分岔的分析和第3节分岔的方向与分岔周期解的讨论.做如下数值:令r =0.2,C =L =A =0.1,B =0.2,K =8.可求得正平衡点E *=(1.1111,0.9568),X =0.1696,S 0=0.3682,由定理1可得正平衡点E *是局部渐近稳定的.由第3节的计算公式算得:T2=0.2156,B 2=-0.0054.这样,由定理3可知:当S =0.3682时,系统(2)在平衡点处产生一个超临界的稳定H opf 分岔周期解.对应的数值仿真可见图1和图2.图1 S =0.28<S 0时系统(2)的相图 图2 S =0.38>S 0时系统(2)的相图)22)第3期赵仕杰等:一类时滞SIR 传染病模型的稳定性与H o pf 分岔分析参考文献[1] COOKE K.Stability analysis for a vector dis ease model[J].Rocky M ountain J ou rnal of M athem atics ,1979,9(1):31-42.[2] BERE TT A E ,T AKEUCH I Y.Glob al stability of an S IR epidem ic m odel with time delays [J].J ou rnal of M athem at-ical Biology,1995,33(3):250-260.[3] LI G,WANG W ,JIN Z.Glob al stability of an SE IR epidemic model w ith cons tant immigration[J].C haos Solitons andFractals ,2006,30:1012-1019.[4] SONG M ,M A W ,T AKEUCH I Y.Perman ence of a delayed SIR epidemic m odel w ith den sity dep endent birth rate[J].Journal of Computation al and Applied M athem atics ,2007,201(2):389-394.[5] ZH ANG F,LI Z,ZH ANG F.Glob al stability of an S IR epidemic model w ith constant in fectious period[J].AppliedM athematics and C om putation,2008,199:285-291.[6] LI J,M A Z.Glob al analysis of SIS epidemic models w ith variable total population size[J].M athematical and C om puterM odelling,2004,39(11/12):1231-1242.[7] RU AN S ,WANG W.Dynamical beh avior of an epidem ic m odel w ith a n onlinear incid ence rate[J ].J.Differential E -quations ,2003,188:135-163.[8] SONG Z,XU J,LI Q.Local and glob al bifu rcation s in an S IRS epidemic m odel[J ].Applied M athematics and Compu -tation,2009,214:534-547.[9] ZHANG X,CH EN L.The periodic solu tion of a clas s of epidemic m odels[J ].Computer s and M ath ematics with Appl-ication s,1999,38(3/4):61-71.[10]ANDERSON R M ,M AY R M .Regulation an d stab ility of h ost -parasite p opu lation interactions [J ].Journal of AnimalEcology,1978,47:219-247.[11]H ASSARD B,KAZARINOFF N,WAN Y H.T heory and Application s of Hopf Bifurcation [M ].Lond on:LondonM ath,S ok.Lect.Notes,Series,41.Cambridge:Cambridge U niv.Press,1981.[12]FREE DM AN H I,RAO V S H,Th e trade -off betw een mutual in terference an d time lag s in p redator prey system s[J].Bulletin of M ath ematical Biology,1983,45(6):991-1004.Stability and Hopf Bifurcationof a Delayed SIR Epidemic ModelZH AO Sh-i jie 1,YUAN Zhao -hui 2(11Dep ar tment of M athematics,Guilin Univer sity of Electr onic Science and Technology College,Guilin,Guangxi 541004,China;21College of M athematics and Econometrics ,H unan University ,Changsha,H unan 410082,China)Abstract A delayed SIR epidem ic model w ith nonlinear incidence was st udied.Firstly,the stability ofthe endemic equilibrium w as inv estig at ed by using the t heo ry of char act eristic value.Cho osing the delay as a bifurcatio n par amet er,w e obtained t he conditio ns ensur ing the ex istence of H opf bifur cation.T hen,based o n cent er manifold and no rmal fo rm theor y,the for mulas fo r deter mining the dir ect ion of Ho pf bifurcation as well as the stabilit y of bifurcating per io dic solutions wer e obtained.F ina lly,so me numer ical simulatio ns w ere car -ried out by M at lab.Keywords delays;stability ;nonlinear incidence;H opf bifur cation)23)。

一类病毒自发变异时滞SIR传染病模型稳定性分析作者：李冬梅付玉立高添奇李晨辰来源：《哈尔滨理工大学学报》2020年第02期摘要：考慮了病毒自发变异对传染病流行的影响，建立了具有自发病毒变异的时滞SIR传染病模型，给出无病平衡点，单株地方病平衡点和地方病平衡点的存在性、局部稳定充分条件。

通过构造Liapunov函数，证明了无病平衡点、单株地方病平衡点和地方病平衡点全局渐近稳定性。

借助数值模拟的方法，分析了病毒自发变异对疾病传播的影响。

关键词：病毒自发变异;平衡点;稳定性DOI：10.15938/j.jhust.2020.02.022中图分类号：0175.1文献标志码：A 文章编号：1007-2683（2020）02-0166-070引言传染病动力学模型在了解疾病的传播规律和预测疾病流行趋势中发挥着极其特殊的作用。

针对病原体为病毒类型的传染病，可借助病毒动力学传染病模型的定量分析来了解疾病的变化趋势，制定疾病防控策略已取得诸多的结果。

但是，病毒在其传播过程中受到多因素的影响，可能会发生自身变异现象，从而改变原有的传播规律和治愈率，病毒变异感染者会再次传播疾病可能会导致疾病流行。

无变异病毒动力学模型的研究结果无法了解更多的病毒变异后疾病流行趋势，如乙肝病毒、狂犬病毒。

通过研究带有病毒变异后的传染病模型，将有助于了解疾病感染者数量的最终演变趋势，可为制定防控措施提供一定理论依据。

有关病毒变异传染病传播问题的研究结果不多。

文考虑病毒感染者和病毒变异感染者两类人群均具有传染性，经过治愈后不具有免疫性，建立了如下分段传播的无免疫一类的传染病S赐模型，研究了两类人群存在平衡状态及其稳定性。

文考虑病毒变异感染者是由病毒感染者经过一定时间时滞转移而来的，建立了如下无免疫的一类具有时滞的病毒变异的5/s模型，研究了模型的无病平衡点和地方病的稳定性。

本文考虑了病毒侵人感染者体内经过治疗，部分感染者治愈而获得免疫。

还有部分感染者会在一段时间内发生病毒变异，成为新的一类感染者，这类人群可以采取新的治疗措施，治愈后也获得免疫。

SIR动力学模型的稳定性研究作者：申笑然薛亚奎来源：《科学与财富》2015年第25期摘要：本文研究了一类具有微分易感群的SIR 传染病模型（易感者，感病者，移出者），并对其多个并行感染状态做了分析。

根据其危险行为的发病率，易感个体被分为n个组别；而据其感染性问题，感染个体被分为m个组别。

通过对该模型的定性分析，获得了一个基本再生数R0，而后又证明了当R0≤1时，无病平衡点是全局渐近稳定的；当且仅当R0>1时，存在地方平衡点，且是唯一的。

文章最后给出了两组数值实例并证明了结论的准确性。

关键词：微分易感群；多个并行感染状态；基本再生数；全局稳定性1. 引言传染性疾病一直以来就是危害人类的大敌。

早在1927年，Kermack 和 McKendrick 就提出了著名的SIR模型。

随后，数学模型便作为一种重要且强大的工具广泛应用于传染性疾病的出现与重现的动态分析中。

根据传染性疾病所处的异同渐近感染阶段（如 SIR，SEIR），许多模型通常把实验群体分成不同组别。

对于传染性疾病，其存在于主体内部的一种病毒的危险行为是不同的，或者说是对于感染个体的活动水平也是不同的。

同样的，对于感染个体的干预或者说易感个体对感染个体的满足程度因也是不同的。

因此，为了更好的研究传染病动力学，这两种个体应该被分成不同组别。

在本文中易感个体根据疾病的敏感性，感染个体根据多个并行感染阶段被分为不同组别。

而疾病传播分别发生在不同的易感病毒间和不同的感染病毒间。

所以，我们假定，不同易感组别中的一个易感个体进入一个已感染组别的方式是相同的。

接下来本文对该模型和其再生数做了相关描述；下一章还对传染病动力学做了详尽阐述；第四章给出了许多数值实例；第五章是对本文的简短总结和讨论。

2. SIR模型和基本再生数常微分方程的传输模型：（1）由于变量Rj不出现在第一个的两个方程中，我们可以工作在减少系统如下：（2）很容易看出，（2）有一个无病平衡点，在应用新一代法和再生数的概念[ 10，11 ]，我们定义因此，与新矩阵KL由下式给出KL的主要特征值是等于再现数R0，其由下式给出3. 模型的动力学分析在模型的分析，对最大不变集的一个简短的讨论如（2）所示的。

一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题共3篇一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题1一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题随着全球各地出现新型传染病的不断增多，防控传染病的研究成为了热点问题。

传染病模型是目前研究传染病防控的重要手段之一。

其中，SIR模型被广泛应用于传染病的研究中。

本文将从SIR模型的稳定性出发，进行一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题的探讨。

首先，我们介绍一类传染病模型的基本形式。

该模型包括三个部分：易感人群（S）、感染人群（I）和恢复人群（R）。

我们假设人口总数为N，初始时刻t=0时，有s0个易感人群、i0个感染人群和r0个恢复人群。

在接下来的时间内，易感人群可能感染，成为感染人群；感染人群可能恢复，成为恢复人群。

因此，易感人群的人数变化率为-dSI/dt，感染人群的变化率为dSI/dt-dIR/dt，恢复人群的变化率为dIR/dt。

其中，d表示变化速率，I=I(t)、R=R(t)、S=S(t)。

我们可以得到以下方程：dS/dt=-βSI/NdI/dt= βSI/N-γIdR/dt= γI其中，β表示感染人群对易感人群传播病毒的速率；γ表示感染人群从感染状态到康复状态的速率。

当病毒传染率和治愈率确定后，模型的稳定性成为了一个重要的问题。

对于该模型的稳定性分析，我们引入李雅普诺夫函数法，采用线性稳定性分析，得到以下结果：当易感人群初始密度大于R0时，该模型为不稳定模型，传染病会持续地传播；当易感人群初始密度小于R0时，该模型为稳定模型，传染病将最终消失。

其中，R0=βN/γ表示病毒的基本再生数，即每个感染者能将该病毒传染给多少个易感者。

在了解该模型的稳定性后，我们进一步探讨如何最优地控制传染病的传播。

最优控制是指通过合理的控制策略来使系统达到最优状态的问题。

本问题中，最优控制即使得病毒传播最小的控制策略。

我们将控制方案分为两种：一是加强个人防护措施，减少感染率β；二是提高诊治能力，加快病人康复速度γ。

一类SIR传染病动力系统的稳定性的开题报告一、课题背景传染病是一种在人群中传播的疾病，通常由病原体引起，如细菌，病毒和真菌（患者本人或动物携带者）。

传染病在全球范围内对人类健康和经济稳定性造成了威胁。

针对传染病的动力学研究对于制定预防和控制政策具有重要意义。

SIR模型是用于研究传染病动力学的经典模型。

SIR模型源自对流感等病毒传染的流行病学分析，被广泛应用于研究肺结核、麻疹、EB病毒等传染病的传播规律。

在SIR模型中，人群被分为易感者、感染者和康复者三个类别。

这个模型涉及到人口数量的变化，包括人口自然增长、人口死亡和疾病传播。

理解SIR模型的稳定性对于研究传染病的预防和控制至关重要。

传染病的爆发可以危及人群健康及其道德基础设施，因此寻找如何将传染病保持在受控范围内的方法是非常重要的。

二、研究目的本研究旨在探索SIR传染病动力系统的稳定性。

首先构建SIR传染病动力学模型，并利用数学方法描述其稳定性。

基于最新的数据集，研究并比较不同种类的传染病的稳定性，分析传染病防控因素对稳定性的影响。

同时，探讨如何通过控制最大传染率和人群生育率等控制传染病的流行。

三、研究方法本研究采用文献综述和数学建模的方法研究SIR传染病动力系统的稳定性。

文献综述将涉及SIR模型的基本原理和应用场景，以及SIR模型的稳定性理论。

数学建模方面，将以数学模型为基础，通过数学分析和数值分析探索SIR传染病动力系统的稳定性，并讨论其应用。

四、研究意义本研究对于预防和控制传染病具有积极的意义。

首先，本研究可以提供有关传染病的基本信息，帮助政府制定针对传染病的预防和控制政策。

其次，研究SIR传染病动力系统的稳定性可以为卫生工作者提供更加可靠的预测传染病的发展趋势的方法。

最后，研究SIR传染病动力系统的稳定性还可以帮助促进传染病流行控制领域在理论和实践方面的进步。

五、论文结构本研究将分为五个部分。

第一部分将回顾SIR模型的基本原理和应用场景。

一类具有脉冲接种的SIQRS传染病模型稳定性分析作者：王树忠李冬梅来源：《哈尔滨理工大学学报》2017年第02期摘要：考虑了对易感者周期性接种疫苗和对染病者采取隔离控制疾病措施，建立了一类SIQRS传染病模型，利用脉冲方程理论，给出了无病周期解稳定性及疾病一致持久性的充分条件。

关键词：脉冲接种；无病周期解；稳定性；一致持久性DOI：1015938/jjhust201702014中图分类号： O175.3文献标志码： A文章编号： 1007-2683（2017）02-0072-06Abstract：This paper considers the periodic pulse vaccination of susceptible and the isolation control of the infective， a SEIQR epidemic model is established The sufficient condition for stability of diseasefree periodic solution and permanence of disease are obtained by pulse equation theoryKeywords：pulse vaccination， the diseasefree periodic，stability，permanence1预备知识脉冲微分方程能够描述具有周期性运动在某一点瞬间变化问题，如定期投放杀虫剂，周期性用药治疗疾病，季节性接种疫苗都是一种脉冲现象。

用具有脉冲接种的传染病模型来研究疫苗控制疾病蔓延的问题，能够获得较为真实的疾病发展规律，这对制定疾病防治策略提供了理论依据 [1-4]。

Alberto Donofrio 等人只考虑了接种对人群的影响，研究了脉冲预防接种SIR，SEIR传染病模型，证明了无病周期解的稳定性及模型的持久性，发现了接种对疾病控制的重要作用[5-7]。

一类带有时滞的SIR模型的稳定性及分支分析作者：孔建云刘茂省王弯弯来源：《河北科技大学学报》2017年第03期摘要：为了研究饱和发生率和时滞对传染病模型动力学性态的影响，建立了一类具有饱和发生率和指数出生且帶有时滞的SIR模型，通过对模型特征方程的分析，判定了系统的地方病平衡点的稳定性，并找到了系统发生分支的临界值，通过数值模拟验证了理论分析结果的正确性。

结果表明：当时滞小于临界值时，地方病平衡点是局部渐近稳定的；当时滞大于临界值时，地方病平衡点不稳定，并产生了Hopf分支。

研究结果对解释传染病的周期性暴发、预防和控制传染病的传播具有借鉴作用。

关键词：稳定性理论；SIR模型；时滞；饱和发生率；Hopf分支中图分类号：O175.13文献标志码：Adoi： 10.7535/hbgykj.2017yx03003Abstract：In order to analyze the effects of saturation incidence and time delay on the dynamics of epidemic model， a delayed SIR model with a saturated incidence rate and exponential birth is constructed. By considering the characteristic equation of the system， the stability of the endemic equilibrium is analyzed， and the critical value of the bifurcation is found. The theoretical analysis results are verified by numerical simulations. The result shows that when the delay is less than the critical value， the endemic equilibrium is locally asymptotically stable； When the delay is larger than the critical value， the endemic equilibrium is unstable and there exists a Hopf bifurcation. The results of this study can be used to explain the periodic outbreaks of infectious diseases， and guide the prevention and control of the spread of the disease.Keywords：stability theory； SIR model； delayed； saturated incidence rate； Hopf bifurcation由于气候的变化和环境的不断遭到破坏，一些新的突发性传染病威胁着人类的生命，影响着人们的日常生活。

一类具免疫控制的SIR传染病模型的稳定一类具免疫控制的SIR传染病模型的稳定性信息与计算科学专业学生：肖宪伟指导教师：宫兆刚摘要：利用微分方程理论研究了具有免疫控制的数学模型，考虑总人口数是常数输入的影响，讨论了模型无病平衡点和地方病平衡点的存在性，利用特征值方法和Jacobi矩阵得到了无病平衡点和地方病平衡点的局部稳定性。

构造Dulac函数的方法，得到了无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性充分条件，利用Matlab软件进行了数值模拟。

关键词：免疫控制; Jacobi；Dulac；平衡点；全局稳定性1 引言面对传染病长期严峻的威胁和日益出现的新的疫情，其严重的危害着人类健康与社会经济的发展。

又由于人们不能在人群中进行传染病的试验，因此，对各类传染病的流行趋势、发病规律的预测以及防治策略的重要性日益突出。

根据疾病的发生、发展以及与之有关的阐述流行过程的特征，利用动力学的方法来研究传染病模型是十分重要的，目前对传染病的研究方法主要有描述性方面的研究、理论性方面的研究、分析性方面的研究和实验性方面的研究。

传染病动力学[1]是对传染病进行理论性定量分析的一种非常重要的方法，通过对动力学性态的定性分析和模拟实验[2]，来显示疾病的发展过程，揭示起流行规律，分析疾病流行的原因和关键因素，预测其变化发展趋势，为预防和控制的最优策略提供了有力的理论依据。

在早期的传染病动力学中大多数传染病模型都是假设种群的总是常数状态而保持人口数不变，而没有考虑到其它方面的因素，但这种假设仅存在于一些环境状态封闭，人口的生育率和自然死亡率相平衡，且不考虑其它各方面等因素的理想状态下成立。

随着传染病模型的不断发展和研究的不断深入，对各方面因素做了大量的研究，极大地丰富了传染病动力学理论。

程晓云，胡志兴等在2007年考虑了具有阶段结构因素研究了一类具有阶段结构的自治传染病模型的稳定性[3]；徐为坚研究了一类具有种群Logistic增长饱和传染率的SIS模型的稳定性和Hopf；杜艳可，徐瑞，段立江在经典的传染病模型上考虑了标准发生率[4-5]的因素，研究了一类具有标准发生率的传染病模型的全局稳定性；李健全，马知恩研究了一类带有一般接触率和常数输入的流行病模型的全局分析；付景超等在2008年研究了一类具有垂直传染和连续预防接种的SIRS 传染病模型[6-8]，得出了垂直传染和连续预防接种的稳定性分析；徐文雄，张仲华等研究了一类具有预防接种免疫力的双线性传染率SIR流行病模型全局稳定性；高淑京，滕志懂在2008年研究了一类具有饱和传染力和常数输入的SIRS 脉冲接种模型研究[9-11]。

信阳师范学院硕士学位论文SIR传染病模型的辨识分析及稳定性分析姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***201104SIR传染病模型的辨识分析及稳定性分析作者：刘冠军学位授予单位：信阳师范学院引用本文格式：刘冠军SIR传染病模型的辨识分析及稳定性分析[学位论文]硕士 2011天津音乐学院硕士学位论文天津音乐学院音乐教育专业课程设置初探姓名：郭爽申请学位级别：硕士专业：音乐学指导教师：靳学东20081215中文摘要中文摘要高等音乐院校音乐教育专业作为我国高等音乐师范教育体系中的重要组成部分, 是对高校学生进行审美教育的主要渠道，抓好音乐教育课程的建设与完善是推进高校音乐学院素质教育的首要举措，如何在21世纪迎接来自国际、国内的诸多挑战,特别是如何改革我们的音乐教育思想、观念、学科课程的内容、体系、教学方法、手段、模式等,是我们当前亟待解决的问题。

本文对天津音乐学院音乐教育专业的课程设置进行了分析与探索，对国内的几所专业音乐院校和高等师范大学音乐教育课程的现状以及问题展开分析，并探讨了国外音乐院校音乐教育课程设置的现状及启示，从中得到有益的参考和借鉴，随即展开对天津音乐学院音乐教育课程设置的思索和建议，从理论上明确高等音乐院校音乐教育的目的和理念，构建音乐教育的课程结构和教学内容，突出天津音乐学院音乐教育的整体优势和办学特色。

本文共包括四个部分：第一部分，绪论中介绍了选题的背景和天津音乐学院音乐教育课程设置的历史脉络；第二部分论述了天津音乐学院音乐教育专业设置的现状；第三部分是与国内外高等学校比较对我们的启示；第四部分对天津音乐学院音乐教育专业设置的总结与思索；并展望了天津音乐学院音乐教育专业美好的发展前景。

关键词：音乐教育课程设置综合素质创新IAbstractAbstractMusic education in altitude music academy as an important part in our music teacher-training in higher education system of China,, is the main channel carry through aesthetic education to the students in institution of higher education .the building and consummation of music education curriculum is the pre-requisite act on boosting the education for all-around development in altitude music academy , How to meet the 21st century from international and domestic challenges, in particular, how to reform our music education, the concept of the curriculum content, system and teaching methods, means and modes etc, is our current problem. In this paper, analyses the status quo of music education curriculum as well as some issues aiming at several special music academy and higher normal university, and explores status quo and enlightenment of music education curriculum setting in foreign music school institutions, gained some helpful reference and use for reference. Subsequently, opens out explorements and suggestions of music education curriculum to Tianjin Conservatory of Music. Nail down the purpose and conception of music education in altitude music academy in theory. Constructing of music education in the curriculum structure and teaching content .To highlight the advantages of education and school characteristics in Tianjin Conservatory of Music.This article includes a total of four parts:Part1, Introduction of the topics introduced in the context of the Tianjin Conservatory of Music and the history of Music Education curriculum.part2, discuss the status quo of music education curriculum in Tianjin Conservatory of Music.part3, it presents our enlightenment comparing with Colleges and universities at home and abroad.part4, the discussion and analysis of the music education course institution in Tianjin Conservatory of Music, and prospects the music education specialty better prospects for development in Tianjin Conservatory of Music.Key words: music education, curriculum system, comprehensive quality , reformationII天津音乐学院学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型的稳定性分析的开题报告标题：一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型的稳定性分析摘要：本文研究了一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型的稳定性分析。

该模型考虑了病毒在潜伏期结束后才能感染他人的传播机制，并且使用标准发生率描述感染概率。

通过构建矩阵型Lyapunov-Krasovskii函数，我们证明了系统在全局意义下的稳定性。

特别地，我们证明了无病平衡点的稳定性以及当时滞存在时系统的稳定性。

此外，我们还进行了数值模拟，验证了理论结果的可行性。

关键词：SIR模型；时滞；标准发生率；稳定性；Lyapunov-Krasovskii函数内容：1. 引言随着全球化的不断深入，疾病传播变得越来越常见和复杂。

对疾病传播的建模和控制成为了重要的研究领域。

其中，SIR（易感者-感染者-康复者）模型是流行病学中常用的模型之一。

该模型描述了人口的感染和康复过程，可以提供给决策者制定有效的公共卫生政策。

然而，由于疫情的不可预测性，SIR模型的稳定性分析变得非常重要。

2. 模型描述考虑一类具有时滞和标准发生率的SIR流行病模型。

该模型的传播机制假设病毒在潜伏期结束后才能感染他人。

易感者（S）感染病毒后成为感染者（I），随后康复并具备免疫能力成为移动免疫者（R）。

模型的动力学可以用以下方程式描述：dS(t)/dt = -βIS(t-τ)/(1+αI(t-tau))dI(t)/dt = [βIS(t-τ)/(1+αI(t-tau))] - γI(t)dR(t)/dt = γI(t)其中，β表示感染率，γ表示康复率，τ表示潜伏期长度，α表示标准发生率。

在此基础上，我们引入了一个与时滞有关的函数q(t)来描述减少的接触率，即：q(t) = exp(-d(t-θ))，当 t >= θ时，q(t) = 13. 稳定性分析为了分析该模型的稳定性，我们构建了一个矩阵形式的Lyapunov-Krasovskii函数，该函数的导数等于一定量的负数。

一类SIRS传染病模型的稳定性吴长青;黄勇庆;朱长荣【摘要】在总人口非常数条件下,研究了一类SIRS传染病模型的所有非负平衡点,以及平衡点的存在性、局部稳定性.运用微分方程定性理论证明了三维系统在不同条件下地方病平衡点分别是稳定平衡点、不稳定平衡点或退化平衡点.使用数学软件Matlab进行数值模拟,模拟结果很好地说明了本文结论的正确性.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(041)005【总页数】6页(P596-601)【关键词】局部稳定性;稳定平衡点;不稳定平衡点;退化平衡点【作者】吴长青;黄勇庆;朱长荣【作者单位】重庆大学数学与统计学院,重庆401331;重庆育才中学,重庆400050;重庆第一中学,重庆400030;重庆大学数学与统计学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O193传染病常常严重地影响着人们正常的日常生活,比如，流行感冒、天花，以及令人印象深刻的2008年的非典和现在依然流行的艾滋病,它们都是典型的可传播疾病.由于可传播疾病的厉害性，促使人们不断去研究传染病的传播规律.于是这就涉及到包括医学、数学、人文、地理等学科在内的传染病.而在数学上建立正确的传染病动力系统模型又是有效地研究传染病的重要一环.人们期待着从传染病动力系统模型的研究中去找到传染病的流行规律，进而有效地预防和阻止传染病的产生与传播；减少对人类生命的威胁和财产的损失.从Kermack等[1]研究1665-1666伦敦瘟疫开始，从数学的角度去研究传染病的传播规律就成为了研究和控制传染病的重要工具.之后，研究传染病模型的动力行为就成为了一个热门课题.经典的Kermack-Mckendrick模型是以仓室为单位，把人群分为3个仓室建立起的仓室模型，这3个仓室分别是带有传染病人群中的易感染者S、感染者I、移出者R.根据不同的仓室，又可以建立起相应的模型，其中主要包括了SIR[2]、SIS[3]、SIRS[4]和SEIRS[5]等模型.在这些动力系统模型当中有一个非常重要的因素是感染率.对于感染率，文献[6]曾在模型中引入饱和发生率g(I)S[7]，其中g(I)是感染者个体的增加量，g(I)=kI/(1+αI).Liu等[8]研究过更一般的发生率KSIi/(1+αIj)，参数i,j>0和α≥0.Song等[4]研究了发生率为kSI2/(1+βI+αI2)的传染病模型R′(t)=μI-(d+δ)R,(1)其中S(t)、I(t)和R(t)分别对应着t时刻的易感染者、感染者和移出者；b是人口出生率或迁入率；d是人口的自然死亡率；k是一个比例常数；μ是感染类中的自然恢复率；δ是移出类中由于失去免疫能力再次成为易感染者的比率；α是一个正参数；β是一个满足使得对于∀I≥0都有1+βI+αI2>0的正参数.在考虑传染病模型的时候，人们总要假定在总人口数不变的情况下，来考虑模型发生的动力性态.这将把三维的模型限制在三维空间上的一个超曲面去定性研究系统平衡点的稳定性和分岔.Song等[4]也以此做了类似的研究，它假设S+I+R=N，其中N为常数，在I-R平面内，研究了系统的稳定性和分岔情况.但是在现实生活当中又很难满足总人口不变的理想假设.所以一般而言，N不一定是常数，它总会随着时间的推移而改变.基于此，本文将在总人口为变量的假设下，以Ruan等[9]研究的方法为基础，研究模型(1)的动力性态.1 平衡点及其动力性态为了使计算简便，在系统(1)中需要引入一些同胚变换.令则系统(1)转化为下面等价的系统z′=qy-z,(2)其中,结合实际，取参数α≥0,β≥0,0<b<1,0<d<1,0<δ<1,0<μ<1，从而系统(2)中的对应参数范围为B>0,0<r<1,0<u<1,m≥0,n≥0,p>0,q>0.1.1 方程(2)的平衡点下面考察系统(2)的平衡点.系统(2)的平衡点是下面代数方程的解：(3)从方程组(3)中可以看到无论参数取何值，都存在唯一无病平衡点除此之外，(3)式还有地方病平衡点.如果y≠0，由(3)式的第2、3个方程可得(4)然后再把方程(4)代入方程组(3)中的第一个方程有(prn+p-uq)y2-(B-prm)y+rp=0.(5)根据同胚变换中的参数关系有进而prn+p-uq>0.注意到(5)式是一个一元二次方程，其判别式为Δ=(B-prm)2-4rp(prn+p-uq).定理 1 对于系统(2)中的平衡点，利用根与系数的关系可能出现以下几种情况：(i) 当Δ<0时，系统(2)只存在平衡点E0；(ii) 当且仅当Δ=0和B-prm>0时，系统(2)有平衡点E0和唯一正平衡点E*=(x*,y*,z*),其中(iii) 当且仅当Δ>0和B-prm>0时，系统(2)有平衡点E0和2个正平衡点Ei=(xi,yi,zi)，i=1，2，其中yi=i=1，2.关于正平衡点又称之为地方病平衡点.从系统(1)和(2)当中可以看到，随着出生率、死亡率和移除率的改变会影响到Δ和B-prm的符号，这就可能会造成系统平衡点的个数发生变化.为此，本文将针对这一变化情况加以讨论.1.2 无病平衡点的动力性态首先讨论无病平衡点E0的稳定性，系统(2)在无病平衡点E0处的Jacob矩阵为直接计算可知,矩阵J0对应的3个负特征根分别为：λ1=-r,λ2=-p,λ3=-1.于是可得下面的结论.定理 2 系统(2)的无病平衡点E0是局部渐进稳定的.如图1,当系统(2)只存在无病平衡点E0=(6.74,0,0)，即参数值为：B=6.2，r=0.92，m=1.6，n=0.4，u=0.08，p=3.2，q=2.28时，图1(a)～(d)分别是系统(2)在此平衡点附近的S(t)、I(t)、R(t)和SIR图像，它是局部渐进稳定的.1.3 地方病平衡点E*的动力性态系统(2)在平衡点E(x,y,z)处所对应的线性化矩阵为(a) 易感染人群的变化趋势 (b) 感染人群的变化趋势(c) 移除人群的变化趋势 (d) 系统的SIR相图图 1 无病平衡点的渐进稳定性Fig. 1 The asymptotic stability of free-equilibrium(6)其中矩阵M(E)所对应的行列式为其符号与下式相反(7)矩阵M(E)的迹为tr(M(E))=其符号与下式相反T(y)=(prn+nr+n+1)y2+m(1+r)y+1+r-p.(8)定理 3 系统(2)的平衡点E*是退化平衡点.证明当Δ=0时，系统(2)存在平衡点E*.由(7)式计算可知：det(M(E*))=0，所以系统(2)在E*处是退化的.注1 Δ=0，在E*处矩阵(6)对应的行列式det(M(E*))=0，可能出现以下2种情况：1) 若(B-prm)2(pn+nr+uq+1)+2mr(B-prm)(prn+p-uq)+4(r-p)(prn+p-uq)2≠0,则系统(2)有一个零特征根.2) 若(B-prm)2(pn+nr+uq+1)+2mr(B-prm)(prn+p-uq)+4(r-p)(prn+p-uq)2=0,则系统(2)有2个零特征根.这时系统一般会根据参数的变化发生不同的分岔现象.如图2,当Δ=0时，系统(2)存在平衡点E0=(2.4,0,0)和E*=(1.20,0.833,0.367)，参数取值为：B=1.334，r=0.56，m=0，n=0，u=0.44，p=1，q=0.44.图2显示的是系统(2)在平衡点E0是局部渐进稳定的，E*的稳定情况将会随着参数的变化而变化.如果Δ<0，相图将转化为图1，如果Δ>0，相图转化为图3.图2 Δ=0时系统的SIR相图Fig. 2 The phase diagram of SIR at Δ=01.4 地方病平衡点E1的动力性态平衡点E1的稳定性较复杂，它可以是稳定的，也可以是不稳定的，这依赖于不同参数的选取.定理 4 当Δ>0时，如果q>1，且有不等式(pn+nr+n+1)<m(1+r)](prn+p-uq)成立，则点E1是系统(2)的不稳定平衡点.证明由(7)式可得det(M(E1))>0.同时tr(M(E1))>0.所以E1为系统(2)的不稳定平衡点.为了判定平衡点E1的稳定性，先引入一个式子定理 5 当Δ>0时，如果q≤1，或(pn+nr+n+1)>m(1+r)](prn+p-uq)成立，且存在Ψ(M(E1))·tr(M(E1))-det(M(E1))<0，则系统(2)在平衡点E1处是稳定的.证明根据定理4，平衡点E1处的线性化矩阵对应的行列式det(M(E1))<0.在定理5中的条件成立下，结合(8)式有tr(M(E1))<0.在平衡点E1处计算得(H+Rn+m2r+2p)y2+m(r+R)y+R,图3 Δ>0时系统的SIR相图Fig. 3 The phase diagram of SIR at Δ>0其中，H=1+prn+p+pn+nr-uq,R=r-p-pr.由Routh-Hurwitz[10]判定准则，如果满足条件Ψ(M(E1))tr(M(E1))-det(M(E1))<0，则平衡点E1是局部渐进稳定的.如图3,当Δ>0时，系统(2)此时存在无病平衡点E0=(11.4,0,0)，正平衡点E1=(8.14,2.30,0.97)和正平衡点E2=(3.40,5.64,2.37),并且E0和E1是局部稳定的，E2是不稳定的.该图展示的是系统(2)在此种参数情况下的SIR图像；这种情况下的参数取值为：B=8.9，r=0.78，m=1.6，n=0.3，u=0.22，p=1.2，q=0.42.1.5 地方病平衡点E2的动力性态定理6 当Δ>0时，如果系统(2)满足下列条件之一，则地方病平衡点E2是其鞍点：1) μ≤d+δ;2) μ>d+δ，并且(pn+nr+n+1)>m(1+r)](prn+p-uq).证明由(7)式有不难证明(B-prm)2+所以D(y2)<0，则det(M(E2))>0，进而E2是系统的不稳定平衡点.如果1)成立，则T(y2)>0，即tr(M(E2))<0.如果2)成立，由于μ>d+δ，则方程T(y)=0有正根注意到T(y)是单调增函数，当条件2)满足时有则tr(M(E2))<0.综上所述，如果定理中有一个条件成立，则有tr(M(E2))<0,det(M(E2))>0，所以平衡点E2是其鞍点.2 数值模拟下面运用Matlab进行数值模拟，其目的一是通过数值模拟可以进一步验证本文理论的科学性；其二在于，通过图像能更加清晰地表达出系统(2)的解在随其参数变化情况下所反映出的不同情况.下面把本文在数值模拟中所使用到的参数值归类如下：1) B=6.2，r=0.92，m=1.6，n=0.4，u=0.08，p=3.2，q=2.28.系统(2)只存在无病平衡点E0=(6.74,0,0)，并且局部渐进稳定(图1).2) B=1.334，r=0.56，m=0，n=0，u=0.44，p=1，q=0.44.系统(2)存在平衡点E0=(2.4,0,0)和平衡点E*=(1.20,0.833,0.367)，并且E0是局部渐进稳定的，E*是不稳定的(图2).3) B=8.9，r=0.78，m=1.6，n=0.3，u=0.22，p=1.2，q=0.42.系统(2)存在3个平衡点E0=(11.4,0,0)，E1=(8.14,2.30,0.97)和E2=(3.40,5.64,2.37)，其中E0和E1是局部渐进稳定的，而E2则是不稳定的(图3).3 结束语本文主要是在带有非线性发生率的传染病模型(1)的基础之上，分析了一个SIRS三维模型的稳定性.对于整个过程，主要分为三步：第一步讨论无病平衡点的局部稳定性；第二步是讨论地方病的局部稳定性；最后是数值模拟验证了本文所有结论的正确性.相比其他文献，本文最大的优点是在没有降低模型维数情况下，讨论了模型的稳定性态，不仅还原了模型本身，也使得结果更加准确.同时也用数学软件很好地验证本篇论文结论的科学性.这是回归模型，回归系统本身，也体现了模型具体的价值.参考文献【相关文献】[1] KERMACK W O, MCKENDRICK A G. Contributions to the mathematical theory of epidemics[J]. Bull Math Biol,1991,53(1):57-87.[2] WANG W D. Backward bifurcation of an epidemic model with treatment[J]. Math Biosci,2006,201(1/2):58-71.[3] XIAO Y J, ZHANG W P, DENG G F, et al. Stability and Bogdanv-Takens bifurcation of an SIS epidemic model with saturated treatment function[J]. Math ProblemEngine,2015,2015:1-14.[4] SONG Z G, XU J, LI Q H. Local and Global Bifurcations in an SIRS Epidemic Model[J]. Appl Math Comput,2009,214(2):534-547.[5] ZHANG J H, JIA J W, SONG X Y. Analysis of an SEIR epidemic model with saturated incidence and saturated treatment function[J]. Sci World J,2014,2014:910421.[6] BRAUER F, CARLOS C C. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology[M]. New York:Springer-Verlag,2012.[7] 马知恩,周义昌,王稳地. 传染病动力学的数学建模与研究[M]. 北京:科学出版社,2004.[8] LIU W M, HETHCOTE H W, LEVIN S A. Dynamical behavior of epidemiological models with nonlinear incidence rates[J]. J Math Biol,1987,25(4):359-380.[9] RUAN S G, WANG W D. Dynamical behavior of an epidemic model with a nonlinear incidence rate[J]. J Diff Eqns,2003,188(1):135-163.[10] ZHU H, CAMPELL S A, WOLKOWICZ G S K. Bifurcation analysis of a predator-prey system with nonmonotonic functional response[J]. SIAM J Appl Math,2002,63(2):636-682.。

一类具免疫控制地SIR传染病模型地稳定性信息与计算科学专业学生：肖宪伟指导教师：宫兆刚摘要：利用微分方程理论研究了具有免疫控制地数学模型，考虑总人口数是常数输入地影响，讨论了模型无病平衡点和地方病平衡点地存在性，利用特征值方法和Jacobi矩阵得到了无病平衡点和地方病平衡点地局部稳定性.构造Dulac函数地方法，得到了无病平衡点和地方病平衡点地全局稳定性充分条件，利用Matlab软件进行了数值模拟.关键词：免疫控制。

Jacobi；Dulac；平衡点；全局稳定性1 引言面对传染病长期严峻地威胁和日益出现地新地疫情，其严重地危害着人类健康与社会经济地发展.又由于人们不能在人群中进行传染病地实验，因此，对各类传染病地流行趋势、发病规律地预测以及防治策略地重要性日益突出.根据疾病地发生、发展以及与之有关地阐述流行过程地特征，利用动力学地方法来研究传染病模型是十分重要地，目前对传染病地研究方法主要有描述性方面地研究、理论性方面地研究、分析性方面地研究和实验性方面地研究.传染病动力学[1]是对传染病进行理论性定量分析地一种非常重要地方法，通过对动力学性态地定性分析和模拟实验[2]，来显示疾病地发展过程，揭示起流行规律，分析疾病流行地原因和关键因素，预测其变化发展趋势，为预防和控制地最优策略提供了有力地理论依据.在早期地传染病动力学中大多数传染病模型都是假设种群地总是常数状态而保持人口数不变，而没有考虑到其它方面地因素，但这种假设仅存在于一些环境状态封闭，人口地生育率和自然死亡率相平衡，且不考虑其它各方面等因素地理想状态下成立.随着传染病模型地不断发展和研究地不断深入，对各方面因素做了大量地研究，极大地丰富了传染病动力学理论.程晓云，胡志兴等在2007年考虑了具有阶段结构因素研究了一类具有阶段结构地自治传染病模型地稳定性[3]；徐为坚研究了一类具有种群Logistic增长饱和传染率地SIS 模型地稳定性和Hopf；杜艳可，徐瑞，段立江在经典地传染病模型上考虑了标准发生率[4-5]地因素，研究了一类具有标准发生率地传染病模型地全局稳定性；李健全，马知恩研究了一类带有一般接触率和常数输入地流行病模型地全局分析；付景超等在2008年研究了一类具有垂直传染和连续预防接种地SIRS传染病模型[6-8]，得出了垂直传染和连续预防接种地稳定性分析；徐文雄，张仲华等研究了一类具有预防接种免疫力地双线性传染率SIR 流行病模型全局稳定性；高淑京，滕志懂在2008年研究了一类具有饱和传染力和常数输入地SIRS脉冲接种模型研究[9-11].2 具有免疫控制地SIR模型2.1模型地建立本文将基于经典地具有常数输入率地SIR 模型，建立一类具有免疫控制地SIR 传染病模型，将人群分为易感染者（Susceptible ）、感染者（Infective ）、移出者（Removed ）三类，则所研究地数学模型如下：2311 1 dS SI B S S dt I dI SI I rI dt I dRrI R S dtu u u u u βαβα=---+=--+=-+⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ （1） 其中()S t ，()I t ，()I t 分别表示t 时刻易感染者、感染者、移出者地数量，1u ，2u ，3u 分别表示各阶段地死亡率，u 表示接种率，β表示传染率，r 表示移出率，系统中地所有参数均为正值. 系统（1）地前两个方程不依赖于第三个方程，因此本文中仅考虑由系统（1）地前两个方程构成地系统为：121 1dS SI B u S uS dt IdI SI u I rI dt Iβαβα=---+=--+⎧⎪⎨⎪⎩ （2） 对系统(2)作变换(1)dt I d ατ=+，仍记d τ为dt ，则(2)化为：12(1)(1)(1)(,)(1)(1)(,)?dS B I u S I SI uS I P S I dt dI SI u I I rI I Q S I dtααβαβαα=+-+--+==-+-+=⎧⎪⎨⎪⎩ （3）考虑到系统（1），（2），（3）地实际上地生物意义，其S ，I 只能为非负数，因此本文只在区域{}=,)|00W S I S I ≥≥（，中讨论问题. 2.2平衡点地存在性2.3平衡点地稳定性分析其中：B nc mc b αα=-+，则系统（3）所对应地特征方程为：20p q λλ++=， 其中：***221()(1)(1)()(22)p u u I I c I u r u r I αββααα=+++-+++++***221(()(1)(22)[])I I u I u u u r r βαααα-=++++++，****1222)()][()2()()()][(11u I I u r u r I u r I q u αβαα++++++-++=**1[()()]1u u t I B Iαβαααβ++++-2****12222()()(1)2()[()]I u u u r I u r I u r B I αααβαβ=+++++++-，0q >，所以其特征根为负实根，从而地方病平衡点**2(,)E S I 是局部渐近稳定地.2.4平衡点地全局渐近稳定性分析3 数值模拟下面用Matlab数学软件进行数值模拟，通过模拟能够清晰了解模型轨线地走向，并验证定理4和定理5地正确性，进而更好地了解无病点和地方病地发展趋势.取参数0.1β=，1B=，0.1α=，0.2u=，10.3u=，20.4u=，0.5r=，则系统（3）为：20.50.10.1510.10.90.09?dSS I SIdtdISI I Idt=-+-+=--⎧⎪⎨⎪⎩满足条件21()()u r u uBβ++<<，运用Matlab软件由定理4可知，无病平衡点1E在区域W内是全局渐近稳定地（见图1）.图1 无病平衡点1E地数值模拟Fig.1 The disease-free equilibrium E found by numerical simulation 取参数0.9β=，1B=，0.1α=，0.2u=，10.3u=，20.4u=，0.5r=，则系统（3）为：20.50.10.9510.90.90.09?dSS I SIdtdISI I Idt=-+-+=--⎧⎪⎨⎪⎩满足条件当0mα<<且12()()u u u rBβ++>，运用Matlab软件由定理5可知，地方病平衡点**2(,)E S I在区域W内是全局渐近稳定地（见图2）.图2 地方病平衡点**2(,)E S I地数值模拟Fig.2 The endemic equilibrium**2(,)E S I found by numerical simulation4 结语传染病动力学模型为人类地传染病地预防控制提供了有力地理论依据和指导，本文在参考了一些相关地文献和书籍资料，研究了一类具有免疫控制地SIR传染病模型，运用了特征值方法，Jacobi矩阵，Dulac函数，Matlab软件等方法得到了无病平衡点和地方病平衡点所具备稳定性地条件，根据这些条件能够为传染病地预防和控制提供了有效地理论依据.【参考文献】[1]马知恩,周义仓,王稳地等.传染病动力学地数学建模与研究[M].北京:科学出版社，2004.[2]李健,张娟,马知恩.一类带有一般接触率和常数输入地流行病模型地全局分析[J].应用数学和力学,2004,25(4):359 -367.[3]程晓云,胡志兴.一类具有阶段结构地自治传染病模型地稳定性[J].石家庄学院学报,2007,9(3):23-27.[4]徐为坚.具有种群Logistic增长饱和传染率地SIS模型地稳定性和Hopf分支[J].数学物理学报,2008,28:578-584.[5]Moghadas SM.Two core group models for sexual transmission of disease[J].数学地实践与认识,2009,39(10):140-144.[6]周天明,江宏远,鲁立刚.传染病学地数学模型及其应用[J].黑龙江医学科学,2002,25(3):20-22.[7]李健全,马知恩.一类带有一般接触率和常数输入地流行病模型地全局分析[J].应用数学和力学,2004,18(4):359-367.[8]付景超等.具有垂直传染和连续预防接种地SIRS传染病模型地研究[J].生物数学学报,2008,23(2):273-278.[9]马知恩,周义仓等.传染病动力学地数学建模与研究[M].北京:科学出版社,2004.[10]薛颖,熊佐亮.具有免疫控制且总人口规模变化地SIR传染病模型地稳定性[J].应用泛函分析学报,2007,9(2):71-76.[11]高淑京,滕志懂.一类具有饱和传染力和常数输入地SIRS脉冲接种模型研究[J].生物数学学报,2008,23(2):208-217.Stability of a SIR Epidemic Model with Immune ControlInformation and Computational Major Name：XiaoXianwei Tutor:GongZhaogang Abstract: The dissertation study on mathematical model with immune control by using the theory of differential equations, consider the total population is the effect of a constant input, model existence the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium is discussed, by using the eigenvalue method and the Jacobi matrix to get the local stability of the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium point. The method of constructing Dulac function,sufficient conditions for global stability of the disease-free equilibrium and the endemicequilibrium are obtained, and the matlab software is used to simulate.Key words: immune control。

一类具扩散的SIR传染病模型的稳定性分析朱道宇【摘要】研究一类具有空间扩散的SIR传染病模型，通过讨论线性化方程的特征值得到该模型的染病平衡点是局部稳定的，并利用Lyapunov函数得到该平衡点全局渐近稳定的一个充分条件。

% An SIR epidemic model with spatial diffusion is investigated. Local stability of the endemic equilibri⁃um of the epidemic model is presented by analyzing eigenvalues corresponding to linearization equation. A suffi⁃cient condition is obtained for the global asymptotic stability of the endemic equilibrium by Lyapunov function method.【期刊名称】《常熟理工学院学报》【年(卷),期】2012(000)010【总页数】6页(P45-50)【关键词】传染病模型;平衡点;渐近稳定【作者】朱道宇【作者单位】贵州民族大学理学院,贵州贵阳 550025【正文语种】中文【中图分类】O29目前的很多传染病模型都源于Kermack和McKendrick在文献[1]中首次提出的SIR模型，该模型及其各种推广后的模型的动力学行为已被很多学者进行了深入研究.在生态环境各因素的交互作用中，空间因素是影响生态种群形成和运作的一个重要因素[2-5].在建立生态数学模型时，人们越来越多地意识到空间因素的必要性.从生物学观点来看，每个生物个体都分布于空间中并与周围环境以及附近的其他生物个体相互作用.为了寻找食物，躲避更高的传染风险或者其他目的，个体一般会向种群密度较低的方向扩散，以期有更多的自然资源和生存机会.一般而言，在传染病高发期，个体倾向于向传染群的梯度方向扩散.基于此，本文主要研究一类带空间扩散和非单调发病率的SIR传染病模型的稳定性.设种群中的个体分为易感者，染病者和康复者三类，易感者由于与染病者接触而染病，染病者康复后可能因缺少免疫力又变为易感者.设在t时刻易感者，染病者和康复者的数量分别为S(t)，I(t)和R(t)，则由Xiao和Ruan在文献[6]中给出的具有非单调发病率的SIR传染病模型如下：其中b是出生率，d是死亡率，μ是治愈率，γ是康复者因缺少免疫力变为易感者的概率，描述当感染者数量很大时易感者的行为改变对传染病的抑制作用，α是非负常数.b，d，γ，μ和k是正常数.模型（1）在平面上的限制为下面的二维系统：为了便于讨论，对系统（2）作变量替换，令，并仍用I,R,t表示X,Y,τ，则系统（2）变为其中.基于模型的实际背景，我们只考虑A＞m的情形，此时系统（3）有两个非负平衡点E0=(0,0)和E*=(I*,R*)，其中E0=(0,0)叫做无病平衡点，它是一个双曲鞍点，表示传染病的消失；E*=(I*,R*)叫做染病平衡点，表示染病者与康复者的并存.定理2.1系统（3）的一切正解是最终有界的.证明将系统（3）的两个方程相加，并令W(t)=I(t)+R(t)，得所以对任意的ε＞0，有下面的不等式其中因此，由Roth-Hurwitz准则得到平衡点E*=(I*,R*)局部稳定的一个充分条件.定理2.2系统（3）的染病平衡点E*=(I*,R*)是局部渐近稳定的.事实上，更进一步地，我们有：定理2.3系统（3）的染病平衡点E*=(I*,R*)在第一象限内是全局渐近稳定的.证明构造Lyapunov函数其中.显然V1(I,R)≥0，当且仅当(I(t),R(t))=(I*,R*)时V1(I,R)=0.将V1(I,R)沿系统（3）的解关于时间t求导，得把系统（3）中的表达式代入上式，得显然，因此平衡点E*=(I*,R*)是全局渐近稳定的.设易感者I和康复者R在空间中可以随意移动，则与模型（3）对应的具有空间扩散的传染病模型为其中非负常数d1和d2分别表示I和R的空间扩散率.是二维空间i2中的拉普拉斯算子.假设系统（7）满足下面的初值条件和齐次Neumann边界条件：其中n表示边界∂Ω上的单位外法向量.齐次Neumann边界条件说明上述系统是封闭的，在Ω的边界上没有个体移动.下面我们研究扩散系统（7）的相关性质，首先考察解的一致有界性.定理3.1对于系统（7）的任一解() I(x,y,t),R(x,y,t)，有因此对任意的ε＞0，矩形是系统（7）在第一象限的一个全局吸引集.证明由系统（7）的第一个方程及条件（8）和（9）知，I(x,y,t)应满足设X(t)是初值问题证毕.下面利用线性化方程的特征值以及Liapunov函数法讨论系统（7）的染病平衡点E*=(I*,R*)的局部稳定性和全局稳定性.设0＜μ0＜μ1＜μ2＜…是算子Δ在具齐次Neumann边界条件的Ω上的特征值，令集合利用文献[7]中的方法，考虑Y的直和分解，其中Yi是特征值上对应的特征子空间. 定理3.2系统（7）的染病平衡点E*=(I*,R*)是一致渐近稳定的.证明系统（7）在平衡点E*处的线性化方程为对每个i(i=0,1,2,…)，Yi是算子A的不变子空间，并且λ是A在Yi上的特征值当且仅当λ是矩阵的特征值.注意到以上两条说明，存在一个与i无关的正常数C，使得对所有的i都有Re()＜C，因此算子A的谱位于{Re(λ)＜C}中，由文献[8]知，系统（7）的平衡点E*=(I*,R*)是一致渐近稳定的.证毕.定理3.3如果I满足，则系统（7）的平衡点E*=(I*,R*)是全局渐近稳定的.证明构造Lyapunov函数其中V1(I,R)的表达式如（4）式所示.将V2(t)沿着系统（7）的解关于时间t求导，得因此，系统（7）的平衡点E*=(I*,R*)是全局渐近稳定的.证毕.染病平衡点E*=(I*,R*)的全局渐近稳定性意味着，无论感染者和康复者空间扩散得快慢如何，传染病将在一定空间内持久地存在.[2]Holmes E,Lewis M,Banks J,et al.Partial differential equations in ecology:spatial interactions and populationdynamics[J].Ecology,1994,75(1):17-29.[3]Rass L,Radcliffe J.Spatial deterministic epidemics[M].WashingtonDC:American Mathematical Society,2003.[4]Murray J.Mathematical biology[M].New York:Springer,2003.[5]Wang K,Wang W,Song S.Dynamics of an HBV model with diffusion anddelay[J].Journal of Theoretical Biology,2008,253(1):36-44.[6]Xiao D,Ruan S.Global analysis of an epidemic model with nonmonotone incidence rate[J].Mathematical Bioscience,2007,208(2): 419-29.[7]Pang P Y,Wang M X.Strategy and stationary pattern in a three-species Predator-Prey model[J].Journal of Differential Equations, 2004,200(2):245-273.[8]Henry D.Geometric theory of semilinear parabolicequations[M].In:Lecture Notes in Mathematics.New York:Springer-Verlag, 1981.。