高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1全称量词1.4.2存在量词课时提升作业21_1

1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定1.理解全称量词与全称命题、存在量词与特称命题的定义.2.会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断它们的真假.(重点)3.能写出含有一个量词的命题的否定.(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 全称量词与存在量词阅读教材P21思考～P22第1段，P22思考～P23例2以上部分，完成下列问题.1.全称量词与全称命题(1)全称量词短语：“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.(2)全称命题含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.2.存在量词与特称命题(1)存在量词短语：“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词.(2)特称命题含有存在量词的命题，叫做特称命题.特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( )(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.()(3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词.( )【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2 含有一个量词的命题的否定阅读教材P24探究～P24例3以上部分，P25探究～P25例4以上部分，完成下列问题.命题命题的表述全称命题p ∀x∈M，p(x)全称命题的否定﹁p ∃x0∈M，﹁p(x0)特称命题p ∃x0∈M，p(x0)特称命题的否定﹁p ∀x∈M，﹁p(x)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题﹁p的否定是p.( )(2)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反.( )(3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定.( )【答案】(1)√(2)√(3)√[小组合作型]全称命题与特称命题的区别(1)下列命题中全称命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A.0B.1C.2D.3【解析】观察分析命题是否含有“任意”“所有的”“每一个”等全称量词.命题①含有全称量词，而命题③可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有两个全称命题.【答案】 C(2)下列命题中特称命题的个数是( )①至少有一个偶数是质数；②∃x0∈R，log2x0>0；③有的向量方向不确定.A.0B.1C.2D.3【解析】 ①中含有存在量词“至少有一个”，所以是特称命题； ②中含有存在量词符号“∃”，所以是特称命题； ③中含有存在量词“有的”，所以是特称命题. 【答案】 D(3)用全称量词或存在量词表示下列语句： ①不等式x 2＋x ＋1>0恒成立；②当x 为有理数时，13x 2＋12x ＋1也是有理数；③等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立； ④方程3x －2y ＝10有整数解.【解】 ①对任意实数x ，不等式x 2＋x ＋1>0成立. ②对任意有理数x ，13x 2＋12x ＋1是有理数.③存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立. ④存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立.1.判断一个命题是特称命题，还是全称命题，要根据命题中所含量词来判断.2.有些命题中表面上看并不含量词，但从意义上理解却含有“全部”“所有”等这样的意思，也是全称命题.[再练一题]1.(1)下列语句是特称命题的是( )【导学号：97792009】A.整数n 是2和7的倍数B.存在整数n ，使n 能被11整除C.x ＞7D.∀x ∈M ，p (x )成立【解析】 B 选项中有存在量词“存在”，故是特称命题，A 和C 不是命题，D 是全称命题.【答案】 B(2)用全称量词或存在量词表示下列语句： ①有理数都能写成分数形式； ②方程x 2＋2x ＋8＝0有实数解； ③有一个实数乘以任意一个实数都等于0.【解】①任意一个有理数都能写成分数形式.②存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立.③存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0.全称命题与特称命题的真假判断指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假. (1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x0∈R，使1x0－1＝0；(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；(4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}.【精彩点拨】先确定命题类型，然后推理证明或举反例来判断真假.【自主解答】(1)是全称命题.因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.(2)是特称命题.因为不存在x0∈R，使1x0－1＝0成立，所以该命题是假命题.(3)是特称命题.当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题.(4)是特称命题.存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题.1.要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).2.要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题.[再练一题]2.试判断下面命题的真假.(1)∀x∈R，x2＋2>0；(2)∀x∈N，x4≥1；(3)∃x0∈Z，x30<1；(4)∃x0∈Q，x20＝3.【解】(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题.(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.(3)由于－1∈Z，当x0＝－1时，能使x30<1，所以命题“∃x0∈Z，x30<1”是真命题.(4)由于使x20＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数.因此，任何一个有理数的平方都不等于3，所以命题“∃x0∈Q，x20＝3”是假命题.[探究共研型]全称命题与特称命题的否定探究1 全称命题和特称命题的否定各有什么特点？【提示】全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.探究2 不等式有解和不等式恒成立有何区别？【提示】不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题.写出下列命题的否定，并判断真假.(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)非负数的平方是正数；(3)有的四边形没有外接圆；(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.【精彩点拨】本题主要考查全称命题与特称命题的否定.可先将命题写成较明显、易理解的形式，再对一些关键词语进行否定.【自主解答】(1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不都平行”.由平行四边形的定义知，这是假命题.(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”.因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题.(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”.因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.(4)命题的否定：“∀x，y∈Z，都有2x＋y≠3”.∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，∴原命题为真，命题的否定为假命题.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题1.确定命题类型，是全称命题还是特称命题.2.改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.3.否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.4.无量词的全称命题要先补回量词再否定.[再练一题]3.(1)命题“存在x 0∈R ，使得e x 0≤0”的否定是( )【导学号：97792010】A.不存在x 0∈R ，使得e x 0＞0 B.对任意x ∈R ，e x＞0 C.对任意x ∈R ，e x≤0 D.存在x 0∈R ，使得e x 0＞0(2)命题“任意x ∈R ，若y ＞0，则x 2＋y ＞0”的否定是________.【解析】 (1)命题“存在x 0∈R ，使得e x 0≤0”的否定是对任意x ∈R ，e x＞0. (2)已知命题是一个全称命题，其否定为特称命题，先将“任意”换成“存在”再否定结论，即命题的否定是：存在x 0∈R ，若y ＞0，则x 20＋y ≤0. 【答案】 (1)B(2)存在x 0∈R ，若y ＞0，则x 20＋y ≤0若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围. 【精彩点拨】 全称命题为真，意味着对限定集合[－1，＋∞)中的每一个元素x ，x2－2ax ＋2≥a 都成立，因此属于恒成立问题，即转化为x ∈[－1，＋∞)时，(x 2－2ax ＋2)min ≥a .【自主解答】 ∵命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”为真命题， ∴x ≥－1时，x 2－2ax ＋2≥a 恒成立. 令f (x )＝x 2－2ax ＋2＝(x －a )2＋2－a 2， 则当a ≥－1时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.当a ＜－1时，f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1，3＋2a ≥a ，解得－3≤a ＜－1，综上可得－3≤a ≤1. 即a 的取值范围为[－3,1].求解含有量词的命题中参数范围的策略1.对于全称命题“∀x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(或a＜f(x)min).2.对于特称命题“∃x0∈M，a＞f(x0)(或a＜f(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max).[再练一题]4.已知函数f(x)＝x2－2x＋5，若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围.【解】不等式m－f(x0)>0，可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又因为f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞).1.下列说法中，正确的个数是( )①存在一个实数x0，使－2x20＋x0－4＝0；②所有的素数都是奇数；③在同一平面中，斜率相等且不重合的两条直线都平行；④至少存在一个正整数，能被5和7整除.A.1B.2C.3D.4【解析】①方程－2x2＋x－4＝0无实根；②2是素数，但不是奇数；③④正确.故选B.【答案】 B2.下列命题中，正确的全称命题是( )A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0B.菱形的两条对角线相等C.∃x0∈R，x20＝x0D.对数函数在定义域上是单调函数【解析】A项中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以不正确；B项在叙述上没有全称量词，实际上是“所有的”，因为菱形的对角线不一定相等，所以错误；C项是特称命题；D项正确.【答案】 D3.设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则﹁p为( )A.∀n∈N，n2＞2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2＝2n【解析】因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，﹁p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”.故选C.【答案】 C4.若命题“∀x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________.【解析】由题意知当x>3，有x>a恒成立，故a≤3.【答案】(－∞，3]5.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定.(1)有一个奇数不能被3整除；(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；(3)有些三角形的三个内角都为60°；(4)每个三角形至少有两个锐角；(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.【解】(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除.(2)是全称命题，否定为：∃x0∈Z，x20与3的和等于0.(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角.(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.。

2020-2021学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定课时跟踪训练新人教A版选修2-1年级：姓名：第一章常用逻辑用语[A组学业达标]1．下列命题中为全称命题的是( )A．过直线外一点有一条直线和已知直线平行B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．0没有倒数解析：命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.答案：B2．下列命题中为特称命题的是( )A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形解析：A，B，D为全称命题，而C含有存在量词“有些”，故为特称命题．答案：C3．命题“∃x0∈R,2x0<12或x20>x0”的否定是( )A．∃x0∈R,2x0≥12或x20≤x0B．∀x∈R,2x≥12或x2≤xC．∀x∈R,2x≥12且x2≤xD．∃x0∈R,2x0≥12且x20≤x0解析：原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选C.答案：C4．下列四个命题中的真命题为( )A．若sin A＝sin B，则A＝BB．∀x∈R，都有x2＋1>0C．若lg x2＝0，则x＝1D．∃x0∈Z，使1<4x0<3解析：A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得14<x<34，故不存在这样的x∈Z，故D为假命题．答案：B5．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥4B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈[1,2]．因为y＝x2在[1,2]上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇒/ a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.答案：C6．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”，是全称命题；④是特称命题．答案：①②③④7．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定是綈p ：____________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析：∵x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥0恒成立，∴命题p 是假命题． 答案：特称命题 假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0 真8．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可知，Δ＝(1－a )2－4＝(a －3)(a ＋1)>0，解得a <－1或a >3. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 9．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>23；(2)∃x 0∈R 使sin x 0＋cos x 0＝2； (3)∀x ，y ∈N ，都有(x －y )∈N ； (4)∃x 0，y 0∈Z ，使2x 0＋y 0＝3.解析：(1)x 2－x ＋1>23⇔x 2－x ＋13>0，由于Δ＝1－4×13＝－13<0，∴不等式x 2－x ＋1>23的解集是R ，∴该命题是真命题．(2)∵sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4，∴－2≤sin x 0＋cos x 0≤2<2， ∴该命题是假命题．(3)当x ＝2，y ＝4时，x －y ＝－2∉N ，所以该命题是假命题． (4)当x 0＝0，y 0＝3时，2x 0＋y 0＝3，所以该命题是真命题．10．已知命题p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋π3的周期不大于4π. (1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值．解析：(1)綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a 0＋π3的周期大于4π.(2)因为綈p 是假命题，所以p 是真命题，所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立，解得a ≤2，所以b ≤2，所以实数b 的最大值是2.[B 组 能力提升]11．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20.则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解析：由20＝30知，p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(0,1)内有解，∴q 为真命题，∴p ∧q ，p ∧(綈q )，(綈p )∧(綈q )均为假命题，(綈p )∧q 为真命题，故选B.答案：B12．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：当a ＝0时，不等式恒成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎨⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎨⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，0≤a ≤4，则命题p ：0≤a ≤4， 所以綈p ：a <0或a >4.。

1．4 全称量词与存在量词1．4.1 全称量词1．4.2 存在量词1．4.3 含有一个量词的命题的否定内容标准学科素养1.理解全称量词、存在量词的含义．2.掌握全称命题与特称命题的真假判断．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.应用直观想象发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第13页[基础认识]知识点一全称量词与全称命题预习教材P21－22，思考并完成以下问题什么是命题？命题的结构形式是什么？提示：命题是可以判断真假的陈述句，命题由条件和结论构成．下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．提示：语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．知识梳理全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(4)全称命题的真假判断：要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；但要判断一个全称命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．知识点二存在量词与特称命题预习教材P22－23，思考并完成以下问题下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x＋1＝3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3；(4)至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除．提示：容易判断，(1)(2)不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x 的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．知识梳理存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为：∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．(4)特称命题的真假判断：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使得命题p(x0)成立即可；否则这一命题就是假命题．知识点三含有一个量词的命题的否定预习教材P24－26，思考并完成以下问题命题“所有的四边形都是平行四边形”的否定是“所有的四边形都不是平行四边形”吗？若不是，应怎样写出？其含义是什么？提示：由p与綈p的真假性相反可知，不是．该命题的否定是：并非所有的四边形都是平行四边形．其含义是“存在一个”四边形“不是平行四边形”．写出下列命题的否定：(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？提示：命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说，∃x0∈R，x20－2x0＋1<0.知识梳理全称命题与特称命题的否定1．给出下列命题：①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．其中全称命题的个数为( ) A．0 B．1C．2 D．3答案：C2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A．存在一个θ，使tan θ＝tan(90°－θ)B．存在实数x0，使sin x0＝π2C．对一切θ，使sin θ＝sin(180°－θ)D．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β答案：A3．命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定为( ) A．存在一个三角形的内角和等于180°B．所有三角形的内角和都等于180°C．所有三角形的内角和都不等于180°D．很多三角形的内角和不等于180°答案：B授课提示：对应学生用书第15页探究一全称命题和特称命题的概念及真假判断[阅读教材P22－23例1、例2]判断下列全称命题和特称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数；(4)∃x0∈R，x20＋2x0＋3＝0；(5)存在两相交平面垂直于同一条直线；(6)有些整数只有两个正因数．题型：全称命题真假的判断方法步骤：要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对M中的每个元素x证明p(x)成立．如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．[例1] 判断下列命题是全称命题还是特称命题？(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有些素数的和仍是素数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解析](1)可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故为特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故为全称命题．(4)含有存在量词“有些”，故为特称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．[例2]判断下列命题的真假：(1)p：任意等比数列的公比不能等于0；(2)q：存在等差数列，其前n项和S n＝n2＋2n－1；(3)r：∀x∈R，sin x＋cos x≥－1；(4)s：∃x0∈R，x20－2x0＋3<0.[解析](1)这是全称命题，由等比数列的定义知，等比数列中任意项a n≠0，所以其公比q＝a n＋1a n≠0(n∈N＋)，故该命题为真命题．(2)这是特称命题，对于任意等差数列{a n}，若设其公差为d，则前n项和S n＝na1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，因此不可能是S n ＝n 2＋2n －1这种形式，故该命题是假命题．(3)这是全称命题，因为对∀x ∈R ，sin x ＋cos x ＝ 2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，所以存在x 0∈R ，sin x ＋cos x ∈[－2，－1)，故该命题为假命题．(4)这是特称命题，因为对任意x ∈R ，x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2>0，所以不存在x 0∈R ，使x 20－2x 0＋3<0，故命题为假命题．方法技巧 1.判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词．当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断．2．全称命题与特称命题真假的判断方法：(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 证明p (x )成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，能找到一个x 0使p (x 0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．跟踪探究 1.将下列命题用“∀”或“∃”表示． (1)实数的平方是非负数；(2)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a <1)至少存在一个负根； (3)若直线l 垂直于平面α内任一直线，则l ⊥α. 解析：(1)∀x ∈R ，x 2≥0.(2)∃x 0<0，ax 20＋2x 0＋1＝0(a <1)． (3)若∀a ⊂α，l ⊥a ，则l ⊥α. 2．判断下列命题的真假． (1)∀x ∈R ，x 2－x ＋1>12；(2)∃α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数； (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示． 解析：(1)真命题， ∵x 2－x ＋1－12＝x 2－x ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≥14>0， ∴x 2－x ＋1>12恒成立． (2)真命题，例如α＝π4，β＝π2，符合题意．(3)真命题，函数f (x )＝0既是偶函数又是奇函数． (4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度就不是有理数．探究二 含有一个量词的命题的否定[阅读教材P 24－25例3、例4]写出下列命题的否定： (1)p ：所有能被3整除的整数都是奇数； (2)p ：每一个四边形的四个顶点共圆； (3)p ：对任意x ∈Z ，x 2的个位数字不等于3； (4)p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (5)p ：有的三角形是等边三角形； (6)p ：有一个素数含三个正因数． 类型：全称命题和特称命题的否定．方法步骤：(1)先确定命题是全称命题还是特称命题．(2)根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，正确地写出命题的否定．[例3]写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋3x ＋7≤0； (4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0. [解析](1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，是假命题． ∵∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立， ∴綈p 是假命题．(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋3x ＋7>0，是真命题． ∵∀x ∈R ，x 2＋3x ＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋194>0恒成立， ∴綈r 是真命题．(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，是假命题． ∵当x ＝－1时，x 3＋1＝0， ∴綈s 是假命题．方法技巧对全称命题和特称命题进行否定的步骤与 方法(1)确定类型：是特称命题还是全称命题．(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词． (3)否定性质：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．注意：无量词的全称命题要先补回量词再否定． 跟踪探究 3.写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q ：存在一个实数x 0使得x 20＋x 0＋1≤0； (3)s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解析：(1)綈p ：至少存在一个实数m 0，方程x 2＋x －m 0＝0无实数根，真命题． (2)綈q ：所有的实数x ，都有x 2＋x ＋1>0，真命题． (3)綈s ：存在一个角α0，使得sin 2α0＋cos 2α≠1，假命题． 探究三 全称命题与特称命题的应用[例4](1)命题p ：∀x ∈R ，sin x cos x ≥m ，若命题p 是真命题，某某数m 的取值X 围； (2)命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0cos x 0≥m ，若命题q 是真命题，某某数m 的取值X 围． [解析]令f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，∵x ∈R ，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.(1)若命题p 是真命题，则m ≤－12.(2)若命题q 是真命题，则m ≤12.方法技巧含有一个量词的命题与参数X 围的求解 策略(1)对于全称命题“∀x ∈M ，a >f (x )(或a <f (x ))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f (x )的最大值(或最小值)，即a >f (x )max (a <f (x )min )．(2)对于特称命题“∃x 0∈M ，a >f (x 0)(或a <f (x 0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f (x )的最小值(或最大值)，即a >f (x )min (或a <f (x )max )．(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．跟踪探究 4.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由； (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，某某数m 的取值X 围．解析：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.∴所某某数m的取值X围是(4，＋∞)．授课提示：对应学生用书第16页[课后小结](1)判定一个命题是全称命题还是特称命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称命题．(2)要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对特称命题真假的判定方法正好与之相反．(3)全称命题与特称命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定．(4)利用全称命题和特称命题的真假求参数的取值X围问题时，转化恒成立或有解的数学问题来解决．[素养培优]1．对含有一个量词的命题进行否定时，未改变量词致误写出命题“∀x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定．易错分析写已知命题的否定时，没有改变量词，只改变结论致误．考查直观想象的学科素养．高考自我纠正该命题的否定为：∃x0∈R，若y0>0，则x20＋y0≤0.2．对含有一个量词的命题进行否定时，改变条件致误命题p：∃x0<3，x20>9的否定綈p为____________．易错分析写已知命题的否定时，既改变了命题的条件，也改变了命题的结论致误．考查直观想象和逻辑推理的学科素养．自我纠正原命题的否定为：∀x<3，x2≤9.答案：∀x<3，x2≤9- 11 - / 11。

1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定学习目标：1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点，难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点，易混点)[自主预习·探新知]1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x 的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”．思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．[提示](1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax20＋2x0＋1＝0”(2)是全称命题，可改写成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．3．含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x 0∈M，p(x0)；特称命题p：∃x 0∈M，p(x0)，它的否定p：∀x∈M，p(x)．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题．( )(2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( )(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0. ( )[答案](1)√(2)×(3)×2．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“p”形式的命题是( )A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 [答案] C3．下列四个命题中的真命题为( ) 【导学号：97792031】 A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3 B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0D [当x ∈R 时，x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74>0，故选D.][合 作 探 究·攻 重 难](1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数； (2)存在一个x 0∈R ，使1x0－1＝0；(3)能被5整除的整数末位数是0； (4)有一个角α，使sin α>1[解] (1)是全称命题，因为∀x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使1x0－1＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题． (4)是特称命题，因为∀α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题．1．(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2B [A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以D 是假命题．](2)下列命题中，真命题是( )【导学号：97792032】A ．∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1 C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x B [(1)对于选项A ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，∴此命题不成立；对于选项B ，x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x >3时，(x －1)2－2>0，∴此命题成立；对于选项C ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴x 2＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命题不成立；对于选项D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x <0，sin x >0，命题显然不成立．故选B.]A ．∀x ∉R ，x 2≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝x C ．∃x ∉R ，x 2≠x D ．∃x ∈R ，x 2＝x(2)写出下列命题的否定，并判断其真假： ①p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；②p ：所有的正方形都是菱形； ③p ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.[思路探究] 先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定． (1)[解析] 原命题的否定为∃x ∈R ，x 2＝x ，故选D. [答案] D(2)[解] ①綈p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0，假命题．因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立．②p ：至少存在一个正方形不是菱形，假命题． ③p ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题． 因为x ＝－1时，x 3＋1＝0.2．(1)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1A [特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1.] (2)写出下列命题的否定，并判断其真假．①p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； ②q: 存在一个实数x 0，使得x 20＋x 0＋1≤0； ③r ：等圆的面积相等，周长相等； ④s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.[解] ①这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m ＜0时，即m ＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以p 是真命题．②这一命题的否定形式是q ：“对所有的实数x ，都有x 2＋x ＋1＞0”，利用配方法可以证得q 是真命题．③这一命题的否定形式是r ：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知r 是假命题．④这一命题的否定形式是s ：“存在α∈R ，sin 2α＋cos 2α≠1”，由于命题s 是真命题，所以是假命题.[1．若含参数的命题p 是假命题，如何求参数的取值范围？ 提示：先求p ，再求参数的取值范围．2．全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？ 提示：全称命题与恒成立问题对应，特称命题与存在性问题对应．(1)若命题p “∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． (2)已知命题p ：∃x ∈R,9x －3x－a ＝0，若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围.【导学号：97792033】[思路探究] (1)先求p ，再求参数的取值范围． (2)令3x＝t ，看作一元二次方程有解问题．[解析] (1) p ：∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题． 则Δ＝9a 2－72≤0，解得－22≤a ≤2 2 [答案] [－22，22](2)设3x＝t ，由于x ∈R ，则t ∈(0，＋∞)，则9x－3x－a ＝0⇔a ＝(3x )2－3x⇔a ＝t 2－t ，t ∈(0，＋∞)，设f (t )＝t 2－t ，t ∈(0，＋∞)，则f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，当t ＝12时，f (t )min ＝－14，则函数f (t )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.1．下列命题中是全称命题，且为假命题的是( )A．存在x0∈R，sin x0＋cos x0＝2B．偶函数图象关于y轴对称C．∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解D．∀x∈N，x3＞x2D[A，C中命题是特称命题，故排除．B为省略量词的全称命题，且为真命题．D为全称命题．当x＝0或1时，x3＝x2，故D中命题是假命题．]2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的数都是偶数B．所有能被2整除的数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的数是偶数D．存在一个能被2整除的数不是偶数D[全称命题的否定为相应的特称命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定．]3．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：________.【导学号：97792034】特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0[命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5＜0是特称命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题．命题p的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≥0.]4．命题“∀x∈R，12x＋4>0”的否定是________．∃x0∈R，12x0＋4≤0[“∀x∈R，12x＋4>0”的否定是“∃x0∈R，12x0＋4<0或12x0＋4＝0”即∃x0∈R，12x0＋4≤0]5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；(1)对某些实数x，有2x＋1>0；(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶函数；(3)∃x0∈Q，x20＝3[解](1)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，真命题．(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称命题．把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是特称命题．由于使x2＝3成立的实数只有±3，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．。

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全称量词存在量词（15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分）1.下列命题为特称命题的是( ）A。

偶函数的图象关于y轴对称B.正四棱柱都是平行六面体C。

不相交的两条直线是平行直线D。

存在大于或等于3的实数【解析】选D。

选项A,B，C都是全称命题，选项D含有存在量词，是特称命题.2.（2015·兰州高二检测）将a2+b2+2ab=(a+b）2改写成全称命题是（）A。

∃a0，b0∈R,++2a0b0=(a0+b0）2B。

∃a0〈0，b0>0,++2a0b0=(a0+b0）2C。

∀a〉0，b>0，a2+b2+2ab=（a+b)2D。

∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2【解析】选D。

由于所给的等式对∀a，b∈R均成立，故选D.3.下列命题既是全称命题又是真命题的个数是（）①所有的素数都是偶数；②∀x∈R,(x—1）2+1≥1；③有的无理数的平方还是无理数.A.0 B。

1 C。

2 D.3【解析】选B.命题②既是全称命题又是真命题；命题③是特称命题又是真命题；命题①是假命题.二、填空题（每小题4分，共8分）4。

1.4　全称量词与存在量词1.4.1　全称量词1.4.2　存在量词1.4.3　含有一个量词的命题的否定学习目标：1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点，难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点，易混点)[自主预习·探新知]1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”．思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．20[提示]　(1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax＋2x0＋1＝0”(2)是全称命题，可改写成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．3．含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x 0∈M，p(x0)；特称命题p：∃x 0∈M，p(x0)，它的否定p：∀x∈M，p(x)．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题．( )(2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( )(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0.( )[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“p ”形式的命题是( )A ．存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根B ．不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根D ．至多有一个实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实根[答案]　C3．下列四个命题中的真命题为( ) 【导学号：97792031】A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0D [当x ∈R 时，x 2＋x ＋2＝＋>0，故选D.](x ＋12)2 74[合 作 探 究·攻 重 难]全称命题和特称命题的概念及真假判断　指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．(1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x 0∈R ，使＝0；1x 0－1(3)能被5整除的整数末位数是0；(4)有一个角α，使sin α>1[解]　(1)是全称命题，因为∀x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使＝0成立，所以该命题是假命题．1x 0－1(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．(4)是特称命题，因为∀α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题．[规律方法]　1.判断命题是全称命题还是特称命题的方法(1)分析命题中是否含有量词；(2)分析量词是全称量词还是存在量词；(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．2．全称命题与特称命题真假的判断方法(1)要判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )都成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定特称命题“∃x 0∈M ，p (x 0)”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可；如果在集合M 中，使p (x )成立的元素x 不存在，那么这个特称命题就是假命题．[跟踪训练]1．(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使>21x B [A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为＋(－)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数33x ，都有<0，所以D 是假命题．]1x (2)下列命题中，真命题是( )【导学号：97792032】A ．∃x ∈，sin x ＋cos x ≥2[0，π2]B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈，tan x >sin x (π2，π)B [(1)对于选项A ，sin x ＋cos x ＝sin≤，∴此命题不成立；2(x ＋π4)2对于选项B ，x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x >3时，(x －1)2－2>0，∴此命题成立；对于选项C ，x 2＋x ＋1＝＋>0，∴x 2＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命(x ＋12)2 34题不成立；对于选项D ，当x ∈时，tan x <0，sin x >0，命题显然不成立．故选B.](π2，π)含有一个量词的命题的否定　(1)命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( )A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x(2)写出下列命题的否定，并判断其真假：①p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋≥0；14②p ：所有的正方形都是菱形；③p ：至少有一个实数x 0，使x ＋1＝0.30[思路探究]　先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定．(1)[解析]　原命题的否定为∃x ∈R ，x 2＝x ，故选D.[答案] D(2)[解]　①綈p ：∃x 0∈R ，x －x 0＋<0，假命题．2014因为∀x ∈R ，x 2－x ＋＝≥0恒成立．14(x －12)2 ②p ：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．③p ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．因为x ＝－1时，x 3＋1＝0.[规律方法]　对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法(1)确定类型：是特称命题还是全称命题．(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定．[跟踪训练]2．(1)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1A [特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1.](2)写出下列命题的否定，并判断其真假．①p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；②q: 存在一个实数x 0，使得x ＋x 0＋1≤0；20③r ：等圆的面积相等，周长相等；④s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.[解]　①这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m ＜0时，即m ＜－时，一元二次方程没有实数根，所以p 是真命14题．②这一命题的否定形式是q ：“对所有的实数x ，都有x 2＋x ＋1＞0”，利用配方法可以证得q 是真命题．③这一命题的否定形式是r ：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知r 是假命题．④这一命题的否定形式是s ：“存在α∈R ，sin 2α＋cos 2α≠1”，由于命题s 是真命题，所以是假命题.由全称(特称)命题的真假确定参数的范围[探究问题]1．若含参数的命题p 是假命题，如何求参数的取值范围？提示：先求p ，再求参数的取值范围．2．全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？提示：全称命题与恒成立问题对应，特称命题与存在性问题对应．　(1)若命题p “∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．(2)已知命题p ：∃x ∈R,9x －3x －a ＝0，若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围.【导学号：97792033】[思路探究]　(1)先求p ，再求参数的取值范围．(2)令3x ＝t ，看作一元二次方程有解问题．[解析]　(1) p ：∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题．则Δ＝9a 2－72≤0，解得－2≤a ≤222[答案]　[－2，2]22(2)设3x ＝t ，由于x ∈R ，则t ∈(0，＋∞)，则9x －3x －a ＝0⇔a ＝(3x )2－3x ⇔a ＝t 2－t ，t ∈(0，＋∞)，设f (t )＝t 2－t ，t ∈(0，＋∞)，则f (t )＝－，(t －12)2 14当t ＝时，f (t )min ＝－，1214则函数f (t )的值域是，[－14，＋∞)所以实数a 的取值范围是.[－14，＋∞)母题探究：1.(变条件)若将本例题(2)条件“∃x ∈R ”，改为“∃x ∈[0,1]”，其他不变，试求实数a 的取值范围．[解]　设3x ＝t ，x ∈[0,1]，∴t ∈[1,3]．a ＝t 2－t ，∵t 2－t ＝2－，∴a ＝t 2－t 在t ∈[1,3]上单调递增．(t －12)14∴t 2－t ∈.[0，6]即a 的取值范围是.[0，6]2．(变条件)将本例题(2)换为“∀x ∈，tanx ≤m 是真命题”，试求m 的最小[0，π4]值．[解]　由已知可得m ≥tan x恒成立．设f (x )＝tan x，(x ∈[0，π4])(x ∈[0，π4])显然该函数为增函数，故f (x )的最大值为f ＝tan ＝1，由不等式恒成立可得m ≥1，(π4)π4即实数m 的最小值为1.[规律方法]　应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决.(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列命题中是全称命题，且为假命题的是( )A ．存在x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2B ．偶函数图象关于y 轴对称C ．∃m ∈R ，x 2＋mx ＋1＝0无解D ．∀x ∈N ，x 3＞x 2D [A ，C 中命题是特称命题，故排除．B 为省略量词的全称命题，且为真命题．D 为全称命题．当x ＝0或1时，x 3＝x 2，故D 中命题是假命题．]2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数D [全称命题的否定为相应的特称命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定．]3．命题p ：∃x 0∈R ，x ＋2x 0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，20它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p ：________.【导学号：97792034】特称命题　假　∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0　[命题p ：∃x 0∈R ，x ＋2x 0＋5＜0是特称命20题．因为x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p 为假命题．命题p 的否定为：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0.]4．命题“∀x ∈R ，>0”的否定是________．12x ＋4∃x 0∈R ，≤0　[“∀x ∈R ，>0”的否定是“∃x 0∈R ，<0或12x 0＋412x ＋412x 0＋4＝0”即∃x 0∈R ，≤0]12x 0＋412x 0＋45．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；(1)对某些实数x ，有2x ＋1>0；(2)∀x ∈{3,5,7},3x ＋1是偶函数；(3)∃x 0∈Q ，x ＝320[解]　(1)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，真命题．(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称命题．把3,5,7分别代入3x ＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是特称命题．由于使x 2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等3于3，所以该命题是假命题．。

1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定学习目标：1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点，难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点，易混点)[自主预习·探新知]1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”．思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．[提示](1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax20＋2x0＋1＝0”(2)是全称命题，可改写成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．3．含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x 0∈M，p(x0)；特称命题p：∃x 0∈M，p(x0)，它的否定p：∀x∈M，p(x)．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题．( )(2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( )(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0.( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“p ”形式的命题是( )A ．存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 [答案] C3．下列四个命题中的真命题为( ) 【导学号：97792031】 A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3 B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0D [当x ∈R 时，x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74>0，故选D.][合 作 探 究·攻 重 难](1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数； (2)存在一个x 0∈R ，使1x 0－1＝0； (3)能被5整除的整数末位数是0； (4)有一个角α，使sin α>1[解] (1)是全称命题，因为∀x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使1x 0－1＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题． (4)是特称命题，因为∀α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题．1．(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2B [A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以D 是假命题．](2)下列命题中，真命题是( )【导学号：97792032】A ．∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1 C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x B [(1)对于选项A ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，∴此命题不成立；对于选项B ，x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x >3时，(x －1)2－2>0，∴此命题成立；对于选项C ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴x 2＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命题不成立；对于选项D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x <0，sin x >0，命题显然不成立．故选B.]A ．∀x ∉R ，x 2≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝x C ．∃x ∉R ，x 2≠x D ．∃x ∈R ，x 2＝x(2)写出下列命题的否定，并判断其真假： ①p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；②p ：所有的正方形都是菱形； ③p ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.[思路探究] 先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定． (1)[解析] 原命题的否定为∃x ∈R ，x 2＝x ，故选D. [答案] D(2)[解] ①綈p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0，假命题．因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立．②p ：至少存在一个正方形不是菱形，假命题． ③p ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题． 因为x ＝－1时，x 3＋1＝0.2．(1)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1A [特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1.] (2)写出下列命题的否定，并判断其真假．①p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； ②q: 存在一个实数x 0，使得x 20＋x 0＋1≤0； ③r ：等圆的面积相等，周长相等；④s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.[解] ①这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m ＜0时，即m ＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以p 是真命题．②这一命题的否定形式是q ：“对所有的实数x ，都有x 2＋x ＋1＞0”，利用配方法可以证得q 是真命题．③这一命题的否定形式是r ：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知r 是假命题．④这一命题的否定形式是s ：“存在α∈R ，sin 2α＋cos 2α≠1”，由于命题s 是真命题，所以是假命题.1．若含参数的命题p 是假命题，如何求参数的取值范围？ 提示：先求p ，再求参数的取值范围．2．全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？ 提示：全称命题与恒成立问题对应，特称命题与存在性问题对应．(1)若命题p “∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．(2)已知命题p ：∃x ∈R,9x －3x－a ＝0，若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围.【导学号：97792033】[思路探究] (1)先求p ，再求参数的取值范围． (2)令3x＝t ，看作一元二次方程有解问题．[解析] (1) p ：∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题． 则Δ＝9a 2－72≤0，解得－22≤a ≤2 2 [答案] [－22，22](2)设3x＝t ，由于x ∈R ，则t ∈(0，＋∞)，则9x－3x－a ＝0⇔a ＝(3x )2－3x⇔a ＝t 2－t ，t ∈(0，＋∞)，设f (t )＝t 2－t ，t ∈(0，＋∞)，则f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，当t ＝12时，f (t )min ＝－14，则函数f (t )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列命题中是全称命题，且为假命题的是( ) A ．存在x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 B ．偶函数图象关于y 轴对称 C ．∃m ∈R ，x 2＋mx ＋1＝0无解 D ．∀x ∈N ，x 3＞x 2D [A ，C 中命题是特称命题，故排除．B 为省略量词的全称命题，且为真命题．D 为全称命题．当x ＝0或1时，x 3＝x 2，故D 中命题是假命题．]2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( ) A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数D [全称命题的否定为相应的特称命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定．]3．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p ：________.【导学号：97792034】特称命题 假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0 [命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5＜0是特称命题．因为x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p 为假命题．命题p 的否定为：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0.] 4．命题“∀x ∈R ，12x ＋4>0”的否定是________．∃x 0∈R ，12x 0＋4≤0 [“∀x ∈R ，12x ＋4>0”的否定是“∃x 0∈R ，12x 0＋4<0或12x 0＋4＝0”即∃x 0∈R ，12x 0＋4≤0]5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假； (1)对某些实数x ，有2x ＋1>0； (2)∀x ∈{3,5,7},3x ＋1是偶函数； (3)∃x 0∈Q ，x 20＝3[解] (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，真命题． (2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称命题．把3,5,7分别代入3x ＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题． (3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是特称命题．由于使x2＝3成立的实数只有±3，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．。

第一章 1.4 1.4.1 1.4.2A 级 基础巩固一、选择题1．下列命题中，全称命题的个数为( C )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A ．0B ．1C ．2D ．3[解析]①②是全称命题，③是特称命题．2．下列特称命题中真命题的个数是( D )①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数．A ．0B ．1C ．2D ．3 [解析]①②③都是真命题．3．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( A )A ．存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0B ．存在实数x 0，使sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β[解析]选项A ，B 为特称命题，故排除C 、D ．因π2>1，则不存在实数x 0，使sin x 0＝π2，故排除B ，故选A ．4．下列命题：①至少有一个x 使x 2＋2x ＋1＝0成立；②对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0成立；③对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0不成立；④存在x 使得x 2＋2x ＋1＝0成立．其中是全称命题的有( B )A ．1个B ．2个C．3个D．0个[解析]②③含有全称量词，所以是全称命题．5．下列命题中为特称命题的是(C)A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形[解析]A、B、D为全称命题，C中含有存在量词“有些”，故为特称命题．6．已知命题p：∃x0∈R，x20＋ax0＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值X围是(A) A．[0,4] B．(0,4)C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)[解析]假设p为真，Δ＝a2－4a>0即a>4或a<0∵p为假，∴0≤a≤4∴实数a的取值X围[0,4]．二、填空题7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成特称命题为__∃x0<0，(1＋x0)(1－9x0)2>0__.[解析]根据特称命题的定义改写．8．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为__0__.[解析]x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．三、解答题9．用符号表示下列全称命题：(1)对任意a >1，都有函数f (x )＝a x 在R 上是增函数；(2)对所有实数m ，都有2－m 2－1<0； (3)对每一个实数x ，都有cos x <1.[解析](1)∀a >1，函数f (x )＝a x 在R 上是增函数．(2)∀m ∈R ，2－m 2－1<0. (3)∀x ∈R ，cos x <1.B 级 素养提升一、选择题1．下列命题为特称命题的是( D )A ．偶函数的图象关于y 轴对称B ．正四棱柱都是平行六面体C ．不相交的两条直线是平行直线D ．存在大于等于3的实数[解析]选项A ，B ，C 是全称命题，选项D 含有存在量词．故选D ．2．下列命题是真命题的是( D )A ．∀x ∈R ，(x －2)2>0B ．∀x ∈Q ，x 2>0C ．∃x 0∈Z,3x 0＝812D ．∃x 0∈R,3x 20－4＝6x 0[解析]A 中当x ＝2时不成立，B 中由于0∈Q ，故B 不正确，C 中满足3x 0＝812的x 0不是整数，故只有D 正确．3．(多选题)已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值可以是( BC )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1[解析]p 真：m <0.q 真：Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2.∵p ∧q 为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴－2<m <0，故选BC ．4．(多选题)已知命题p ：∃x 0∈N ，x 30<x 20；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2,0)，则下列说法错误的是( BCD )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真[解析]由x 30<x 20，得x 20(x 0－1)<0，解得x 0<0或0<x 0<1，在这个X 围内没有自然数， ∴命题p 为假命题；∵对任意的a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，均有f (2)＝log a 1＝0，∴命题q 为真命题．故选BCD ．二、填空题5．下列特称命题是真命题的序号是__①③④__.①有些不相似的三角形面积相等；②存在一实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0；③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．[解析]①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，所以不存在实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a 大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.6．给出下列语句：①所有的偶数都是素数；②有些二次函数的图象不过坐标原点；③|x －1|<2；④对任意的实数x >5，都有x >3.其中是全称命题的是__①④__.(填序号)[解析]①④是全称命题，②是特称命题，③不是命题．三、解答题7．判断下列命题的真假：(1)任给x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数； (2)存在α、β∈R ，sin (α＋β)＝sin α＋sin β；(3)存在x 、y ∈Z,3x －2y ＝10；(4)任给a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解．[解析](1)∵x ∈Q ，∴13x 2与12x 均为有理数，从而13x 2＋12x ＋1是有理数，∴(1)真； (2)当α＝0，β＝π3时，sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立， ∴(2)真；(3)当x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10，∴(3)真；(4)当a ＝0，b ＝1时，0x ＋1＝0无解，∴(4)假．8．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，某某数a 的取值X 围．[解析]由“p 且q ”是真命题，知p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，则a ≤x 2对于x ∈[1,2]恒成立．所以a ≤1.若q 为真命题，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，所以Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.综上，实数a 的取值X 围为a ≤－2或a ＝1.。