选修2-1 命题与四种命题

选修2-1 第一章 常用逻辑用语§1.1 命题及其关系、命题及其真假、四种命题的关系班级 姓名一、目标导引1．了解命题的概念和分类，能判断命题的真假；2．了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式；3．会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题以及真假性之间的联系； 4．会利用命题的等价性解决问题．二、教学过程 （一）命题1．用 表达的，可以判断真假的 叫做命题．判断为真的语句叫做 命题．判断为假的语句叫做 命题．2．命题定义的 ， ，判断的结果可真可假，但真假必居其一。

判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合“ ”和“ ”这两个条件．3．有些语句中 ，这样的语句叫开语句，不构成是命题． 例1：判断下面的语句是否为命题?若是命题，指出它的真假．（1）空集是任何集合的子集 （ ） （2）若整数a 是素数，则a 是奇数（ ）（3）指数函数是增函数吗? （ ）（4）2(2)2-=- （ ） （5）x +3>15 （ ） （6）求证3是无理数（ ） （7）并非所有的人都喜欢苹果（ ）（二） “若p ，则q ”形式的命题1．在“若p ，则q”这种形式的命题中，p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论．2．“若p ，则q”中的p 和q 可以是命题也可以不是命题．3．“若p ，则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨别，缺点是太格式化且不灵活． 4．“若p ，则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式． 命题也可写成“如果p ，那么q”，“只要p ，就有q”等形式．5．“若p 则q”形式的命题的书写：对于一些条件与结论不明显的命题，一般采取先添补一些命题中省略的词句，确定条件与结论．如命题：“垂直于同一条直线的两个平面平行” ．写成“若p ，则q”的形式为：“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．”例2：把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式,并判定命题的真假． （1）对顶角相等．（2）偶函数的图像关于y 轴对称．（3）垂直于同一条直线的两条直线平行． （4）垂直于同一个平面的两个平面互相平行．（三）四种命题1．互逆命题：如果第一个命题的 是第二个命题的 ，且第一个命题的 是第二个命题的 ，那么这两个命题叫 ．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．2．互否命题：如果第一个命题的 是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互否命题。

高二数学上：选修2-1答案答案：选修2-1 §1.1.1 命题 §1.1.2 四种命题1.B2.B3.B4.B5.略6.若 $a^2>9$，则 $a>3$。

假。

7.若 $AB \neq B$，则 $AB \neq A$，真；8.3；9.原命题是真命题，则它的逆否命题是真命题。

10.略。

11.原命题真；逆命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neqk\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\tan\alpha=\tan\beta$，则 $\alpha=\beta$”假；否命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\alpha\neq\beta$，则 $\tan\alpha\neq\tan\beta$”假；逆否命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若$\tan\alpha\neq\tan\beta$，则 $\alpha\neq\beta$”真。

改写：选修2-1 §1.1.1 命题 §1.1.2 四种命题1.B2.B3.B4.B5.略6.若 $a^2>9$，则 $a>3$。

这是错误的。

7.若 $AB \neq B$，则 $AB \neq A$，这是正确的；8.3；9.原命题是真命题，则它的逆否命题也是真命题。

10.略。

11.原命题是真命题；逆命题：“已知 $\alpha,\beta \in\{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\tan\alpha=\tan\beta$，则$\alpha=\beta$”是错误的；否命题：“已知 $\alpha,\beta \in\{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\alpha\neq\beta$，则$\tan\alpha\neq\tan\beta$”是错误的；逆否命题：“已知$\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若$\tan\alpha\neq\tan\beta$，则 $\alpha\neq\beta$”是正确的。

人教版高中数学选修2-1知识点梳理）巩固练习重点题型（常考知识点命题及其关系【学习目标】1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；3．能熟练判断命题的真假性.【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.要点诠释：1.不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“x>2”，“2不一定大于3”.2.只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.3.语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若p，则q”的形式，或“如果p，那么q”的形式.其中p是命题的条件，q是命题的结论.要点诠释：1.一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2.有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题：“若p，则q”；逆命题：“若q，则p”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；. 否命题：“若非 p ，则非 q ”，或“若 ⌝p ，则 ⌝q ”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非 q ，则非 p ”，或“若 ⌝q ，则 ⌝p ”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若 p ，则 q ”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系原 命题若p 则q互互 互 逆为 逆否逆命题 若q 则p互 否否 命 题互为逆否否逆 否命 题若⌝p 则⌝q四种命题之间的真值关系互 逆若⌝q 则⌝p原命题真真 假假逆命题真假 真假否命题真假 真假逆否命题真真 假假要点诠释：（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.【典型例题】类型一：命题的概念例 1.判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题（1）末位是 0 的整数能被 5 整除；（2）平行四边形的对角线相等且互相平分；（3）两直线平行，则斜率相等；（△4）ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB；（5）余弦函数是周期函数吗？【思路点拨】依据命题的定义判断。

高二数学选修2－1第一章：命题与逻辑结构 知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。

其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。

若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”。

6、四种命题的真假性：原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假假假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝。

=，则
B B
不能被2整除；
结论：这些语句都是陈述句，且它们都能判断真假。

一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题；其中判断为正确的命题，
例如，如果原命题是：⑴同位角相等，两直线平行；
它的逆命题就是：⑵两直线平行，同位角相等.
2.否命题与逆否命题的知识
即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.
例如⑶同位角不相等，两直线不平行；
⑷两直线不平行，同位角不相等.
3. 原命题与逆否命题的知识
即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.
概括地说，设命题⑴为原命题，则命题⑵为逆命题；命题⑶为否命题；命题⑷为逆否命题.
关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以这样表述：
⑴交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
⑵同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
⑶交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.
4.四种命题的形式
一般到，我们用p和q分别表示原
命题的条件和结论，用┐p和┐q分别
表示p和q的否定，于是四种命题的形
式就是：
原命题：若p则q；。

高中选修数学知识点由于您没有给出具体的高中选修数学的板块内容（例如选修1 - 1、选修2 - 2等），以下为人教版高中数学选修2 - 1知识点整理：一、常用逻辑用语。

1. 命题及其关系。

- 命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。

- 四种命题：原命题“若p，则q”；逆命题“若q，则p”；否命题“若¬p，则¬q”；逆否命题“若¬q，则¬p”。

原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。

2. 充分条件与必要条件。

- 充分条件：如果p⇒q，则p是q的充分条件。

- 必要条件：如果q⇒p，则p是q的必要条件。

- 充要条件：如果p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件，记作p⇔q。

3. 简单的逻辑联结词。

- “且”：命题p∧q，当p、q都为真时，p∧q为真，否则为假。

- “或”：命题p∨q，当p、q至少有一个为真时，p∨q为真，当p、q都为假时，p∨q为假。

- “非”：命题¬p，p为真时，¬p为假；p为假时，¬p为真。

4. 全称量词与存在量词。

- 全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示。

含有全称量词的命题叫做全称命题，例如∀x∈M,p(x)。

- 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示。

含有存在量词的命题叫做特称命题，例如∃x∈M,p(x)。

- 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

二、圆锥曲线与方程。

1. 椭圆。

- 定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

- 标准方程：- 当焦点在x轴上时，frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，其中c^2=a^2-b^2，焦点坐标为(± c,0)。

- 当焦点在y轴上时，frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2}=1(a > b>0)，焦点坐标为(0,± c)。

1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系1．四种命题的概念及表示形式(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0，2，4，不会是奇数．1．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]2．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.]3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数B[原命题的条件是f(x)是奇函数，结论是f(－x)是奇函数，同时否定条件和结论即得否命题，即：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数．] 4．命题“若ab＝0，则a＝0”与命题“若a＝0，则ab＝0”是________命题．(填“互逆”“互否”“互为逆否”)互逆[两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念．]否命题和逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．1．写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：1．(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是()A．若y≠kx，则x与y成正比例关系B．若y≠kx，则x与y成反比例关系C．若x与y不成正比例关系，则y≠kxD．若y≠kx，则x与y不成正比例关系D[条件的否定为y≠kx，结论的否定为x与y不成正比例关系，故选D.](2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．若a，b至少有一个为零，则ab＝0[“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b 都不为零”的否定是“a，b中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a，b至少有一个为零，则ab＝0”．]它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为() A．0个B．1个C．2个D．4个(2)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．思路探究：(1)只需判断原命题和逆命题的真假即可．(1)C[当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而其否命题也是真命题，故选C.](2)解：法一：原命题的逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．判断命题真假的方法(1)解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证．(2)原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可．2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？[提示]一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．[提示]根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．【例3】(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.思路探究：(1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．(1)[－3，0][∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x ∈R ，ax 2－2ax －3≤0恒成立”，若a ＝0，则－3≤0恒成立，∴a ＝0符合题意． 若a ≠0，由题意知⎩⎨⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，即⎩⎨⎧a <0，－3≤a ≤0， ∴－3≤a <0，综上知，a 的取值范围是[－3，0]．](2)证明：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．1．若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．3．证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.[证明] “若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”．∵a ＝2b ＋1，∴a 2－4b 2－2a ＋1 ＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1 ＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1＝0.∴命题“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题． 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．1．“命题”的三个关注点(1)我们研究四种命题，一般只研究“若p，则q”形式的命题；有些命题虽然不是这种形式，但可以化为“若p，则q”的形式．(2)对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性的了解，定位在具体、简单的数学命题，重点是四种命题的构成形式及其真假判断．(3)四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的，但只要我们事先规定好哪个命题是原命题，那么它的其他形式的命题就确定了．2．“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”与“逆命题”“否命题”“逆否命题”的区别两者具有不同的含义，具体区分如下：前者说的是两个命题的关系，同时涉及两个命题；后者是指与确定的原命题为“互逆”“互否”“互为逆否”关系的那一个命题.1．命题“若a A，则b∈B”的逆命题是()A．若a A，则b B B．若a∈A，则b BC．若b∈B，则a A D．若b B，则a AC[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a A”．]2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.] 3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.] 4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________．若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]。

1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课标解读1.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题的定义.2.掌握四种命题之间的关系,并会判断四种命题的真假性.3.掌握反证法证题的一般步骤,并会用反证法证明简单的数学问题.学会思考1.用通俗易懂的语言来表述逆命题、否命题、逆否命题.2.你认为哪些类型的问题常用反证法证明?答案:1.关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以如下表述:(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题.(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题.(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.2.以下几种形式的命题常用反证法证明:(1)某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等;(2)某些命题的结论以至少、至多、唯一等形式出现;(3)某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明;(4)某些命题的直接证法较困难.有些命题,虽然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以上形式,或很容易化归为以上形式的命题均可用反证法证明.自学导引1.一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_________和_________,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做_________(o r iginal p r opo s i t ion),另一个叫做原命题的_________(in v e rs e p r opo s i t ion).2.若原命题为“若p则q”,则它的逆命题为_________.3.对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好为另一个命题的_________和 _________ ,把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的_________(nega t i v e p r opo s i t ion).4.若原命题为“若p则q”,则它的否命题为“________”.5.对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_________和_________,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题,其中一个叫做原命题,则另一个叫做原命题的_________(in v e rs e and nega t i v e p r opo s i t ion).6.若原命题为“若p则q”，则它的逆否命题为“_________”.7.两个命题互为逆否命题,它们是_________具有_________.8.两个命题为_________或_________,它们的真假性没有关系.9.用反证法证明命题的一般步骤是:(1)___________________________；(2)___________________________；(3)___________________________.答案:1.结论条件原命题逆命题2.若q则p3.条件的否定结论的否定否命题4.若⌝p则⌝q5.结论的否定条件的否定逆否命题6.若⌝q则⌝p7.等价的相同的真假性8.互逆命题互否命题9.(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾(3)由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确典例启示知识点1四种命题的概念,并判断真假【例1】在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是________.(把符合要求的命题的序号都填上)解析:①的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面；显然不正确.②的逆命题是:若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点;为真命题.答案:②启示:本题考查点共线、点共面和异面直线的基本知识,考查命题的有关概念.【例2】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.(1)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根;(2)若ab=0,则a=0或b=0;(3)若x2+y2=0,则x、y全为零.解:(1)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,为假命题.否命题:若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根,假命题.逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1,真命题.(2)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0,真命题.否命题:若ab≠0,则a≠0且b≠0,真命题.逆否命题:若a≠0且b≠0,则ab≠0,真命题.(3)逆命题:若x、y全为零,则x2+y2=0,真命题.否命题:若x2+y2≠0,则x、y不全为零,真命题.逆否命题:若x、y不全为零,则x2+y2≠0,真命题.启示:在判断命题的真假性时,应充分利用原命题与逆否命题,逆命题和否命题是等价的 这一知识.【例3】写出下列命题的否定和否命题.(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等;(2)零的平方等于0.解析:本题的关键是弄清命题的否定,即 p与否命题的区别,命题的否定是对命题的结论加以否定,而否命题是对命题的条件和结论都加以否定.答案:(1)命题的否定:正n边形(n≥3)的n个内角不全相等;否命题:不是正n边形(n≥3)的n个内角不全相等.(2)命题的否定:零的平方不等于零;否命题:不等于零的数的平方不等于零.启示:求命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词语.下面把常用的一些知识点2 反证法的应用【例4】 若a 、b 、c 均为实数,且a =x 2-2y +2π,b =y 2-2z +3π,c =z 2-2x +6π,求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.分析:利用反证法证明.证明:(反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即a ≤0,b ≤0,c ≤0,则a +b +c ≤0,而a +b +c =x 2-2y +2π+y 2-2z +3π+z 2-2x +6π=(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2+π-3. ∵π-3>0,且(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2≥0,∴a +b +c >0.这与a +b +c ≤0矛盾, 因此a 、b 、c 中至少有一个大于0.启示:含有“至多、至少”类型的命题常用反证法 证明.【例5】 已知a 、b 、c 是一组勾股数,即a 2+b 2=c 2,求证:a 、b 、c 不可能都是奇数. 分析:利用反证法证明.证明:假设a 、b 、c 都是奇数.∵a 、b 、c 是一组勾股数,∴a 2+b 2=c 2.①∵a 、b 、c 都是奇数,∴a 2、b 2、c 2也都是奇数.∴a 2+b 2是偶数,这样①式的左边是偶数右边是奇数,产生矛盾. ∴a 、b 、c 不可能都是奇数.启示:命题以否定的形式出现常选用反证法证明. 随堂训练1.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的…( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.无关命题 解析：依逆命题定义易得. 答案：A2.命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( ) A.上述四个命题 B.原命题与逆命题 C.原命题与逆否命题 D.逆命题与否命题解析：因真命题“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题. 答案：C3.用反证法证明命题“32+是无理数”时，假设正确的是( ) A.假设2是有理数 B.假设3是有理数 C.假设2或3是有理数 D.假设32+是有理数4.命题“若A ∪B =A ,则A ∩B =B ”的否命题是…( )A.若A∪B≠A,则A∩B≠BB.若A∩B=B,则A∪B=AC.若A∩B≠B,则A∪B≠AD.若A∪B≠A,则A∩B=B答案:3.D 4.A5.命题“若a>1,则a>0”的逆命题是_______，逆否命题是_______.答案:若a>0,则a>1若a≤0,则a≤16.给定下列命题:①“若k>0，则方程x2+2x-k=0”有实根；②“若a>b，则a+c>b+c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是_______.解析:①Δ=4+4k>0,∴是真命题.②否命题为“若a≤b,则a+c≤b+c”,是真命题.③逆命题“对角线相等的四边形是矩形”,是假命题.④否命题:“若xy≠0，则x、y都不为零”,是真命题.答案:①②④。