2020高考浙江专用培优二轮：专题5 第1讲 函数图象与性质及函数与方程

第一章 函数的概念与性质第一课A 组考点一 函数的概念及其表示1-b.(2018浙江名校协作体期初,9)函数322+-+=x x x y 的值域为 ( ) A.[)+∞+,21 B.()+∞,2 C.[)+∞,3 D.()+∞,1考点二 分段函数及其应用2-a.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,16)已知函数()()⎩⎨⎧≥<+-=1,21,32x x a x a x f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是 .3-a.( 2017浙江宁波期末,3)函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=1,112sin 21,22x x x x f x π则()[]=2f f ( ) A.2- B.1- C.2213-- D.04-b.(2017浙江宁波二模(5月),14)定义{}⎩⎨⎧<≥=b a b b a a b a ,,,max ，已知函数(){}b ax x x f +-=2,12max ,其中0<a ,R b ∈.若()b f =0,则实数b 的范围为;若()x f 的最小值为1,则=+b a .5-b.(2016浙江镇海中学测试(六),9)已知函数()⎩⎨⎧>≤-=0,log 0,122x x x x x f 则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛21f f ;若()[][]0,1-∈t f f ,则t 的取值范围是 .6-c.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,10)已知函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈--⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+=21,0,43141,21,142x x x x x f x x 函数()()0326sin >+-=a a x a x g π.若存在[]1,0,21∈x x ,使得()()21x g x f =成立,则实数a 的取值范围是( ) A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,32 D.(]2,0B 组一、选择题1-b.(2017浙江湖州期末调研,1)已知()x f 是R 上的奇函数,当0≥x 时,()()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<≤+=1,3110,1log 21x x x x x f 则函数()21+=x f y 的所有零点之和是( ) A.21- B.12- C.25- D.52-2-c.(2017浙江温州模拟(2月),10)已知定义在实数集R 上的函数()x f 满足()()()x f x f x f 2211-+=+,则()()20170f f +的最大值为( )A.221-B.221+ C.21D.23二、填空题3-b.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,16)若函数()()()b ax x x x x f +++--=2232的图象关于直线2-=x 对称,则()x f 的值域为 .4-b.(2016浙江宁波一模,12)对于定义在R 上的函数()x f ,若存在实数a ,使得()()1=-⋅+x a f x a f 对任意实数恒成立,则称()x f 为关于a 的“倒函数”.已知定义在R 上的函数()x f 是关于0和1的“倒函数”,且当[]1,0∈x 时,()x f 的取值范围为[]2,1,则当[]2,1∈x 时,()x f 的取值范围为 ,当[]2016,2016-∈x 时,()x f 的取值范围为 .5-c.(2018浙江重点中学12月联考,17)已知R a ∈,函数()⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-0,0,1x e x x a x f x 若存在三个互不相等的实数321,,x x x ,使得()()()e x x f x x f x x f -===222211成立,则a 的取值范围是 .6-c.(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,16)已知定义域和值域都为R 的函数()x f 满足()()[]()342-+=+y x f y f x f f ,则当0>x 时,函数()x f 的取值范围是 .C 组方法1 求函数定义域的解题策略1-a.求下列函数的定义域: (11232-+-=x xy ); (2)()()034534ln -++=x x x y .2-a.若函数()x f 2的定义域是[]1,1-,求函数()x f 2log 的定义域.方法2 求函数解析式的解题策略3-a.已知函数()x f 满足:当0≠x 时,都有3311xx x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,求()x f 的解析式.4-b.已知定义在R 上的函数()x f 满足:对于任意的实数y x ,,都有()()()()()()4fxyxffx,求函数()x f的解析式.fyyx-y12221---=--5-c.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,16)()x f 是定义在R 上的函数,若()5041=f ,对任意的R x ∈,满足()()()124+≤-+x x f x f )及()()()5612+≥-+x x f x f ,则()()=12017f f .6-c.(2017浙江金华十校调研,20)已知函数()[]()[]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,1551,0,2x x f x x x x f (1)求⎪⎭⎫⎝⎛25f 及[]3,2∈x ]时函数()x f 的解析式; (2)若()xk x f ≤对任意(]3,0∈x 恒成立,求实数k 的最小值.方法3 分段函数的解题策略7-a.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,11)设函数()⎩⎨⎧>≤++=0,20,2x x c bx x x f 若()()04f f =-,()22-=-f ,则=+c b ;方程()x x f =的所有实根的和为 .第二课A 组考点一 函数的单调性1-a.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,12)已知函数()()⎩⎨⎧≥<--=2,log 2,22x x x a x a x f 若()x f 是()+∞∞-,上的增函数,则实数a 的取值范围是 ;若()x f 的值域为()+∞∞-,,则实数a 的取值范围是 .2-a.(2016浙江镇海中学测试卷二,9)设函数()⎩⎨⎧≥<-=2,2,232x x x x x f 则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛23f f ,若()()121-≥+a f a f ,则实数a 的取值范围是 .3-b.(2017浙江绍兴教学质量调测(3月),9)记{}⎩⎨⎧<≥=y x x y x y y x ,,,min 设(){}32,min x x x f =,则( ) A.存在0>t ,()()()()t f t f t f t f -+>-+B.存在0>t ,()()()()t f t f t f t f -->--C.存在0>t ,()()()()t f t f t f t f -++>-++1111D.存在0>t ,()()()()t f t f t f t f --+>--+1111考点二 函数的奇偶性与周期性4-a.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,6)已知()()x x x f x h ++=2是奇函数,且()21=f ,若()()1+=x f x g ,则()=-1g ( )A.3B.4C.-3D.-45-a.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),4)设()x f 为定义在R 上的奇函数,当0≥x 时,()()()R a a x x x f ∈+-+=32log 2,则()=-2f ( )A.-1B.-5C.1D.56-a.(2017浙江名校协作体期初,4)下列四个函数,以π为周期,在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上单调递减且为偶函数的是( ) A.x y sin = B.x y cos = C.x y tan = D.x y sin ln -=7-a.(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,8)已知函数()()()()()⎩⎨⎧<+≥+=0,sin 0,cos x x x x x f βα是偶函数,则βα,的可能取值是( ) A.2,πβπα== B.3πβα== C.6,3πβπα== D.43,4πβπα==8-a.(2016浙江宁波二模,4)已知函数()⎩⎨⎧<-≥+=0,10,1x x x x x f 则下列命题正确的是( ) A.函数()x f y sin =是奇函数,也是周期函数B.函数()x f y sin =是偶函数,不是周期函数C.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f y 1sin 是偶函数,但不是周期函数 D.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f y 1sin 是偶函数,也是周期函数9-a.(2018浙江高考模拟卷,12)定义在R 上的函数()x f 满足()()x f x f =+6.当[)3,3-∈x 时()()⎩⎨⎧<≤--<≤-+-=31,13,22x x x x x f ，则()=4f ;()()()()()=+++++20172016...321f f f f f .B 组一、选择题1-b.(2017浙江宁波二模(5月),9)已知函数()x x x f 2cos sin =,则下列关于函数()x f 的结论中,错误的是( )A.最大值为1B.图象关于直线2π-=x 对称C.既是奇函数又是周期函数D.图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43π中心对称2-b.(2016浙江镇海中学测试,8)已知定义在R 上的函数()x f 满足()()2x x f x f =-+,且对任意的[)+∞∈,0,21x x (其中21x x ≠)均有()()()21212121x x x x x f x f +>--. 若()()02862242>-+---m m m f m f ,则m 的可能取值是( )A.-1B.0C.1D.23-b.(2016浙江名校(诸暨中学)交流卷一,7)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名字命名的函数()⎩⎨⎧∈∈=QC x Q x x f R ,0,1被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,则关于函数()x f 有如下四个命题: ①()[]0=x f f ;②函数()x f 是偶函数;③任取一个不为零的有理数T ,()()x f T x f =+对任意的R x ∈恒成立;④存在三个点()()11,x f x A ,()()22,x f x B ,()()33,x f x C 使得ABC ∆为等边三角形.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.44-c.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,10)已知定义在R 上的函数()x f 满足()()2-=-+x f x f ,函数()1s i n 3--=x x x g ,若函数()x f y =与()x g y =的图象相交于点()()()()*222111,,...,,,,N n y x P y x P y x P n n n ∈,,则()()()=++++++n n y x y x y x ...2211( )A.22+-nB.n 2-C.1+-nD.n -5-c.(2017浙江金华十校联考(4月),9)若定义在()1,0上的函数()x f 满足()0>x f 且对任意的()1,0∈x ,有()x f x x f 2122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则( ) A.对任意的正数M ,存在()1,0∈x ,使()M x f ≥B.存在正数M ,对任意的()1,0∈x ,使()M x f ≤C.对任意的()1,0,21∈x x 21x x <,有()()21x f x f <D.对任意的()1,0,21∈x x 且21x x <,有()()21x f x f >)二、填空题6-b.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,16)已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数,对任意的R x ∈都有()()x f x f -=+11,且当[]1,0∈x 时,()12-=x x f ,则当[]6,2-∈x 时,方程()21-=x f 所有根之和为 .C 组方法1 函数单调性的解题策略1-a.已知()ax y a -=2log 在[]1,0上是关于x 的减函数,则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.[2,+∞)2-b.(2017浙江台州质量评估,17)已知函数()()R b a b ax x x x f ∈--+=,1,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时,设()x f 的最大值为()b a M ,,则()b a M ,的最小值为 .3-b.(2016浙江模拟训练卷(二),20)已知函数()x x x f 42-=.(1)若()x f y =在区间[]1,+a a 上为单调增函数,求实数a 的取值范围;(2)若存在实数t ,当[]m x ,0∈时,有()x t x f 2≤-恒成立,求正实数m 的取值范围.方法2 关于函数奇偶性的解题策略5-b.函数f(x)的定义域为{}R x x x D ∈≠=,0,且满足对于任意D x x ∈21,,有 ()()()2121x f x f x x f +=⋅.(1)求()1f 的值;(2)判断()x f 的奇偶性并证明;(3)如果()14=f ,()()36213≤-++x f x f ,且()x f 在()+∞,0上是增函数,求x 的取值范围.方法3 求函数值域(或最值)的解题策略5-a.求函数x x y sin 2cos 3+=的最大值和最小值.6-a.(2016浙江名校协作体测试,18)已知R a ∈,函数()22a x a x x x f +--=.(1)若2>a ,解关于x 的方程()a a x f 22-=;(2)若[]4,2-∈a ,求函数()x f 在[]3,3-上的最小值.方法4 关于函数周期性的解题策略7-a.已知定义在R 上的函数()x f y =为偶函数,且()1+=x f y 为奇函数,()20=f ,则()()=+54f f .8-a.(2016浙江镇海中学测试(七),9)已知()x f 是以2为周期的周期函数,且当[]1,1-∈x 时,()⎩⎨⎧≤<≤≤-+=10,log 01,x x x a x x f b 其中R b a ∈,.若02321=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛f f , 则=a ,=⎪⎭⎫ ⎝⎛22017f .第二章基本初等函数第一课A 组考点 二次函数与幂函数1-a.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,8)若函数()b ax x x f ++=2有两个零点21,x x ,且5321<<<x x ,那么()()5,3f f ( )A.只有一个小于1B.都小于1C.都大于1D.至少有一个小于12-a.(2018浙江重点中学12月联考,3)已知函数142+-=x x y 的定义域为[]t ,1,在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t 的取值范围是( )A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.(2,3)3-b.(2017浙江杭州二模(4月),9)设函数()()R b a b ax x x f ∈++=,2的两个零点为21,x x ,若221≤+x x ,则( ) A.1≥a B.1≤b C.22≥+b a D.22≤+b a4-b.(2017浙江名校(衢州二中)交流卷五,9)()c bx ax x f ++=2,当210≤≤x 时,()[]4,2∈x f ,则a 的最大值为( )A.8B.16C.32D.645-b.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,8)已知()()⎩⎨⎧≥-<+--=0,10,122x x f x x x x f 则()x x f y -=的零点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6-b.(2016浙江绍兴一模,8)对于函数()x f ,若存在N x ∈0,满足()410≤x f ,则称0x 为函数()x f 的一个“近零点”.已知函数()()02>++=a c bx ax x f 有四个不同的“近零点”,则a 的最大值为 ( )A.2B.1C.21D.417-b.(2016浙江宁波“十校”联考,18)若存在区间[]()n m n m A <=,,使得(){}A A x x f y y =∈=,,则称函数()x f 为“可等域函数”,区间A 为函数f(x)的一个“可等域区间”.已知函数()()R b a b ax x x f ∈+-=,22.(1)若()()x f x g a b ===,1,0是“可等域函数”,求函数()x g 的“可等域区间”;(2)若区间[]1,1+a 为()x f 的“可等域区间”,求b a ,的值.B 组一、选择题1-a.(2018浙江浙东北联盟期中,7)设函数()()R c b a c bx ax x f ∈++=,,2,若函数()x e x f y =(e 为自然对数的底数)在1-=x 处取得极值,则下列图象不可能为()x f y =的图象的是( )2-c.(2017浙江稽阳联谊学校联考,10)设二次函数()b ax x x f ++=2,若对任意的实数a ,都存在实数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ,使得不等式()x x f ≥成立,则实数b 的取值范围是( ) A.[)+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,231, B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4131, C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-,4941, D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4931,3-c.(2017浙江“超级全能生”联考(3月),10)已知函数()122+-=tx x x f 在(]1,∞-上递减,且对任意的[]1,0,21+∈t x x ,总有()()221≤-x f x f ,则实数t 的取值范围为( ) A.[]2,2- B.[]2,1 C.[]3,2 D.[]2,1二、填空题4-c.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,17)设关于x 的方程022=--ax x 和012=---a x x 的实根分别为21,x x 和43,x x ,若4231x x x x <<<,则a 的取值范围是 .5-c.(2018浙江高考模拟卷,17)已知关于x 的方程()R c b c bx x ∈=++,022在[]1,1-上有实根,且340≤+≤c b ,则b 的取值范围为 .6-c.(2017浙江绍兴教学质量调测(3月),17)已知R b a ∈,且10≤+≤b a ,函数()b ax x x f ++=2在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21上至少存在一个零点,则b a 2-的取值范围为 .7-c.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,16)记()z y x M ,,为z y x ,,三个数中的最小数,若二次函数()()02≥≥≥++=c b a c bx ax x f 有零点,则⎪⎭⎫ ⎝⎛+++c b a b a c a c b M ,,的最大值为 .三、解答题8-a.(2017浙江温州中学高三3月模拟,19)已知二次函数()()R c b a c bx ax x f ∈++=,,2,对任意实数x ,不等式()()21212+≤≤x x f x 恒成立. (1)求()1-f 的取值范围;(2)对任意[]1,3,21--∈x x ,恒有()()121≤-x f x f ,求实数a 的取值范围.9-b.(2016浙江宁波一模,18)已知函数()12-=x x f .(1)对于任意实数[]2,1∈x ,()()()1442-≤+x f m f x f m 恒成立,求实数m 的取值范围; (2)若对任意实数[]2,11∈x ,存在实数[]2,12∈x ,使得()()2212ax x f x f -=成立,求实数a 的取值范围.C 组方法1 三个“二次”问题的处理方法1-c.(2017浙江杭州质检,17)设函数()bx ax x f 222+=,若存在实数()t x ,00∈,使得对任意不为零的实数b a ,均有()b a x f +=0成立,则t 的取值范围是 .2-c.(2017浙江测试卷,17)已知函数()()R b a b ax x x f ∈++=,2在区间()1,0上有两个零点,则b a +3的取值范围是 .方法2 关于二次函数值域和最值的解题策略3-c.(2017浙江镇海中学模拟练习(二),17)已知函数()a bx ax x f -++=122.若对任意实数[]1,1-∈x ,均有()0≥x f ,则b a -的最大值为( )A.-1B.0C.1D.24-c.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),17)已知()11+=x x f ,且()()[]()*11,2N n n x f f x f n n ∈≥=-,若关于X 的函数()()*210320N n n x nf x y n ∈+-+=在区间(]2,-∞-上的最小值为-3,则n 的值为 .方法3 幂函数的解题策略5-a.比较大小:(1)()5352328.1,9.3,8.3--; (2)5.14.15,3.6-b.已知幂函数()()Z m x x f m m ∈=++-322为偶函数且在区间(0,+∞)上是单调增函数. (1)求函数()x f 的解析式;(2)设函数()()182-+-=q x x f x g ,若()0>x g 对任意[]1,1-∈x 恒成立,求实数q 的取值范围.第二课A 组考点 指数与指数函数1-a.(2018浙江浙东北联盟期中,8)已知R y x ∈,,且x y y x --+≤+7575,则( )A.y x sin sin ≤B.22y x ≤C.y x 55≤D.y x 7171log log ≤2-a.(2017浙江镇海中学一轮阶段检测,4)不论a 为何值,函数()221a a y x --=恒过定点,则这个定点的坐标是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,13-a.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,11)已知0>a 且1≠a ,x a =2log ,则=x a ;=+-x x a a 22 .4-a.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,11)已知24=a,a x =lg ,则a = ,x = .5-a.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,4)已知函数()x f 是奇函数,当0>x 时,()()1,0≠>=a a a x f x 且,且34log 21-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,则a 的值为( ) A.3B.3C.9D.236-b.(2016浙江五校第一次联考,8)已知函数()x f 是定义域为R 的偶函数,当0≥x 时,()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=2,12120,4sin 45x x x x f x π若关于x 的方程()()()20,f x af x b a b R ⎡⎤++=∈⎣⎦有且仅有6个不同的实数根,则实数a 的取值范围是 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,25 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--49,25 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,4949,25 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,49B 组一、选择题1-a.(2018浙江镇海中学模拟,2)若无论m 为何值,函数()331m m y x --=恒过定点,则这个定点的坐标是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,1 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,12-b.(2017浙江镇海中学模拟训练(三),9)已知函数()b x a x f x-+=的零点()()Z n n n x ∈+∈1,0,其中常数b a ,满足20172016=a ,20162017=b ,则n 的值是( )A.-2B.-1C.0D.13-b.(2016浙江嘉兴一模,7)设函数()⎩⎨⎧≥<+=1,31,12x x x x f x 则满足()[]()m f m f f 3=的实数m 的取值范围是( ) A.(]⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞-210, B.[]1,0 C.[)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+∞21,0 D.[)+∞,14-b.(2016浙江金丽衢十二校第一次联考,7)若函数()x f 是R 上的单调函数,且对任意实数x ,都有()31122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++x x f f ,则()=3log 2f ( )A.1B.54C.21D.0二、填空题5-a.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),11)设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<-⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,10,1212x x x x x f x则()[]=0f f = ;若()1<a f ,则实数a 的取值范围是 .6-a.(2016浙江镇海中学测试(三),10)已知定义在R 上的奇函数()x f 满足:当0>x 时,()⎩⎨⎧>+-≤<=1,110,2x x x x f x 则()[]=-2f f ;若方程()a x f =有两解,则a 的取值范围是 .7-c.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,17)已知函数()⎩⎨⎧≥<<=1,10,x e x e x f x 现有四个命题: ①若0,0>>b a ,则()()()b f a f b a f ≤+;②若0>>b a ,则()()()b f a f b a f ≥-; ③若0,0>>b a ,则()()[]b a f ab f ≥;④若0>>b a ,则()[]b a f b a f 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛. 其中真命题为 .(写出所有真命题的序号)C 组方法1 指数式的运算、估值和大小比较的解题策略 1-b.已知函数()x x f 10=,且实数c b a ,,满足()()()b a f b f a f +=+,()()()()c b a f c f b f a f ++=++,则c 的最大值为 .2-b.化简:11111331333---+++++-x x x x x x x x .方法2 指数函数的图象和性质的综合应用的解题策略3-a.已知实数b a ,满足等式ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛3121,下列五个关系式: ①a b <<0;②0<<b a ;③b a <<0;④0<<a b ;⑤b a =. 其中不可能．．．成立的关系式有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个4-b.(2016浙江镇海中学测试卷一,15)已知函数()⎩⎨⎧>≤+=a x ax x x f x,2,1若存在两个不相等的实数21,x x 使得()()21x f x f =,则实数a 的取值范围为 .第三课A 组考点 对数与对数函数1-a.(2018浙江嵊州高级中学期中,2)已知()[]0log log log 235=x ,那么x =( ) A.5B.3C.8D.12-a.(2017浙江镇海中学模拟卷三,5)设x 是实数,则“0ln >+x x ”是“()0ln ln >+x x ”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3-a.(2016浙江新高考研究卷二(慈溪中学),2)为了得到函数x y 21log =的图象,只需将函数12log 2+=x y 的图象( )A.向右平移1个单位,再向下平移1个单位B.向左平移1个单位,再向下平移1个单位C.向右平移1个单位,再向上平移1个单位D.向左平移1个单位,再向上平移1个单位4-a.(2018浙江9+1高中联盟期中,11)16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即N b N a a b log =⇔=.现在已知32=a,43=b,则ab = .5-a.(2017浙江名校协作体期初,12)已知4316aba -=,21log a a b+=,则a = ,b = .6-a.(2017浙江柯桥区质量检测(5月),14)若正数b a ,满足()b a b a +=+=+842log log 1log 3,则a = ,b = .7-b.(2017浙江名校协作体,11)已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>yxy x ,则xy 的最大值是 .8-b.(2016浙江宁波一模,9)已知0,3log ,2log >==a n m a a 且1≠a ,则nm a +2= ;若用n m ,表示6log 4,则6log 4= .B 组一、选择题1-a.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,3)设0,0>>b a ,则“()b a b a +≥+222log log log ”是“4≥ab ”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2-b.(2017浙江名校(绍兴一中)交流卷一,6)已知函数()a x x x f +-=22的定义域与函数()()1ln 2+-=ax x x g 的值域均为R ,则实数a 的取值范围是( )A.[1,2]B.(-∞,-2)C.[-2,1]D.[2,+∞)3-b.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,7)已知实数0,>y x ,且()161=+y x ,则y x 24log log +的最大值是( ) A.2B.23C.3D.4二、填空题4-a.(2018浙江嵊州高级中学期中,2)已知函数()⎩⎨⎧≤+>=0,20,log 23x x x x x x f 则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛31f f ;若()20-=x f ,则0x = .5-a.(2018浙江萧山九中12月月考,11)若函数()x x x f lg lg 1++=,则()x f 的定义域为 ;不等式()1>x f 的解集是 .6-a.(2017浙江杭州质检,11)=+5lg 2lg ;=-313log 822 .7-a.(2017浙江台州质量评估,11)已知函数()⎩⎨⎧≥<=1,log 1,22x x x x f x 则()=0f ,()[]=0f f .8-a.(2017浙江镇海中学模拟卷一,12)已知函数()⎩⎨⎧≥<=1,log 1,22x x x x f x 则()x f 的值域是 ;若方程()0=-a x f 恰有一个实根,则实数a 的取值范围是 .9-b.(2016浙江金丽衢十二校第一次联考,18(改编))已知函数()()t a x f x a +=2log ,其中0>a 且1≠a ,若存在实数()n m n m <,,使得[]n m x ,∈时,函数()x f 的值域也为[]n m ,,则t 的取值范围是 .C 组方法1 关于对数概念及运算的解题策略1-a.(2016浙江模拟训练卷(一),13)已知()x f 是定义在R 上的奇函数,且()()02=++x f x f ,当[]1,0∈x 时,()12-=x x f ,则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛125log 81f .2-a.(2017浙江台州4月调研卷(一模),14)已知324,2==b a x,则=b 2log ,满足1log ≤b a 的实数x 的取值范围是 .方法2 对数函数的图象和性质的应用的解题策略3-c.(2017浙江镇海中学模拟卷(六),17)函数()⎩⎨⎧>+-≤<=4,341240,log 22x x x x x x f 若d c b a ,,,互不相同,且()()()()d f c f b f a f ===,则abcd 的取值范围是 .。

专题升级训练4 函数图象与性质(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．若()f x f (x )的定义域为( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 2．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是( )．3．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝2x－x ，则有( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 4．已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b 等于( )．A ．－1B ．0C ．1D ．不确定5．记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧ a (a ≥b )，b (a <b )，若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤1，|y |≤1，则z ＝max{y ＋x ，y －x }的取值范围是( )．A ．[－1,1]B ．[－1,2]C ．[0,2]D ．[－2,2]6．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为( )．A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 B ．[－1,0]C ．(－∞，－2]D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，＋∞ 7．(2020·浙江高考冲刺卷Ⅰ，理16)具有性质f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－f (x )的函数，我们称其为满足“倒负”变换的函数，下列函数：(1)y ＝x －1x ；(2)y ＝x ＋1x ；(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中不满足“倒负”变换的函数是( )．A ．(2)(3)B ．(1)(3)C ．(1)(2)D ．(1)(2)(3)8．(2020·浙江部分重点中学高三联考，7)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n ＝2a n ＋n (其中S n 为{a n }的前n 项和)．则f (a 5)＋f (a 6)＝( )．A ．3B ．－2C ．－3D ．2二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |－1，x ≤1，2－2x，x >1，若f (x )＝1，则x ＝__________.10．若函数f (x )＝ax 2＋x ＋1的值域为R ，则函数g (x )＝x 2＋ax ＋1的值域为__________．11．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，若对任意的x ，y ∈R ，不等式f (x 2＋6x ＋21)＋f (y 2－8y )＜0恒成立，则x 2＋y 2的取值范围是__________．12．(2020·浙江高考冲刺卷B ，理17)已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]上的图象如下图所示．给出下列四个命题：①方程f(g(x))＝0有且仅有6个根；②方程g(f(x))＝0有且仅有3个根；③方程f(f(x))＝0有且仅有5个根；④方程g(g(x))＝0有且仅有4个根．其中正确的命题为__________．三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(本小题满分10分)已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x.(1)求f(x)；(2)求f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值．14．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－2m x在[2,4]上单调，求m的取值范围．15．(本小题满分12分)定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1,0]时，f(x)＝1 4x －a2x(a∈R)．(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；(2)若f(x)是[0,1]上的增函数，求实数a的取值范围．16．(本小题满分12分)(2020·浙江重点中学协作体高三调研，17)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称点(x0，x0)为函数的不动点，对于任意实数b，函数f(x)＝ax2＋bx－b总有相异不动点，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题1．A 解析：根据题意得12log (2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1，解得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 2．B 解析：由f (－x )＝f (x )可知函数为偶函数，其图象关于y 轴对称，可以结合选项排除A 、C ；再利用f (x ＋2)＝f (x )，可知函数为周期函数，且T ＝2，必满足f (4)＝f (2)，排除D ，故只能选B.3．B 解析：f ′(x )＝2x ln 2－1，当x ≥1时，f ′(x )＝2xln 2－1≥2ln 2－1＝ln 4－1＞0，故函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43＜32＜53，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13. 4．C 解析：观察得f (x )在定义域内是增函数，而f (－x )＝ln(－x ＋x 2＋1)＝ln 1x ＋x 2＋1＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． 又f (a )＝－f (b －1)＝f (1－b )． ∴a ＝1－b ，即a ＋b ＝1.故选C.5．B 解析：当y ＋x ≥y －x ，即x ≥0时，z ＝max{y ＋x ，y －x }＝y ＋x ； 当y ＋x ＜y －x ，即x ＜0时，z ＝max{y ＋x ，y －x }＝y －x .∴z ＝max{y －x ，y ＋x }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x (0≤x ≤1，|y |≤1)，y －x (－1≤x <0，|y |≤1).∴z 的取值范围为[－1,2]．6．A 解析：∵y ＝f (x )－g (x )＝x 2－3x ＋4－2x －m ＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝25－4(4－m )>0，4－m ≥0，9－15＋4－m ≥0，∴－94＜m ≤－2.7．B 解析：对于(1)直接代入知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≠－f (x )，对于(2)直接代入符合，对于(3)其定义域不符．8．A 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋n －2a n －1－n ＋1，即a n ＝2a n －1－1. 从而n ≥2时，a n －1＝2(a n －1－1)，故a n －1＝(a 1－1)×2n －1＝－2n ，即a n ＝1－2n. 则f (a 5)＋f (a 6)＝f (－31)＋f (－63)．又f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32， 则f (x ＋3)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )， 从而f (－31)＝f (－1)＝－f (1)＝－f (－2)＝－3，f (－63)＝f (0)＝0， 则f (a 5)＋f (a 6)＝f (－31)＋f (－63)＝－3，故选A. 二、填空题9．－2 解析：当x ≤1时，由|x |－1＝1，得x ＝±2，故可得x ＝－2；当x ＞1时，由2－2x＝1，得x ＝0，不适合题意．故x ＝－2.10．[1，＋∞) 解析：要使f (x )的值域为R ，必有a ＝0，于是g (x )＝x 2＋1，值域为[1，＋∞)．11．(3,7) 解析：∵函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)对称， ∴函数y ＝f (x )的图象关于(0,0)对称，即函数y ＝f (x )为奇函数．又不等式f (x 2＋6x ＋21)＋f (y 2－8y )＜0恒成立，即f (x 2＋6x ＋21)＜f (8y －y 2)恒成立， ∵函数y ＝f (x )在R 上为增函数，∴x 2＋6x ＋21＜8y －y 2，即(x ＋3)2＋(y －4)2＜4. x 2＋y 2表示圆面上的点到原点的距离，∴5－2＜x 2＋y 2＜5＋2，即x 2＋y 2的取值范围是(3,7)． 12．①③④ 解析：由题图可知：方程f (t )＝0有三个根，t 1(－2，－1)，t 2＝0，t 3(1,2)， 由题图知方程g (x )＝t 1有两个不同的根，方程g (x )＝t 2＝0有两个不同的根，方程g (x )＝t 3有两个不同的根，则方程f (g (x ))＝0有且仅有6个根，故①正确．由题图知方程f (x )＝t 1只有一个根，方程f (x )＝t 2＝0有三个不同的根，方程f (x )＝t 3只有一个根，则方程f (f (x ))＝0有且仅有5个根，故③正确．由题图可知：方程g (u )＝0有两个根u 1(－2，－1)，u 2 (0,1)， 由题图知方程f (x )＝u 1只有1个根，方程f (x )＝u 2有三个不同的根， 则方程g (f (x ))＝0有且仅有4个根，故②不正确．由题图知方程g (x )＝u 1有两个不同的根，方程g (x )＝u 2有两个不同的根， 则方程g (g (x ))＝0有且仅有4个根，故④正确，故①③④正确． 三、解答题13．解：(1)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝1，∴c ＝1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )＝x 2－x ＋1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，f (x )max ＝f (－1)＝3.14．解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a ＞0时，f (x )在[2,3]上为增函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5f (2)＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝54a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. ②当a ＜0时，f (x )在[2,3]上为减函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧f (3)＝2f (2)＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝24a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. (2)∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－2m ·x ＝x 2－(2＋2m)x ＋2.若g (x )在[2,4]上单调，则2＋2m 2≤2或2＋2m2≥4，∴2m ≤2或2m≥6，即m ≤1或m ≥log 26.15．解：(1)设x [0,1]，则－x [－1,0]，f (－x )＝14－x －a 2－x ＝4x －a ·2x.∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝a ·2x －4x，x[0,1]．令t ＝2x，t [1,2]，∴g (t )＝a ·t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a24.当a2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1； 当1＜a2＜2，即2＜a ＜4时，g (t )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24；当a2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4. 综上，当a ≤2时，f (x )的最大值为a －1；当2＜a ＜4时，f (x )的最大值为a 24；当a ≥4时，f (x )的最大值为2a －4. (2)∵函数f (x )在[0,1]上是增函数，∴f ′(x )＝a ln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(a －2·2x)≥0，∴a －2·2x ≥0恒成立，a ≥2·2x，∵x [0,1]，∴2x[1,2]，∴a ≥4.16．解：因为a ＝0不合题意，故a ≠0，又方程ax 2＋(b －1)x －b ＝0有不同的实根，故Δ＝(b －1)2＋4ab ＞0对于任意实数b 恒成立，即b 2＋2(2a －1)b ＋1＞0对于任意实数b 恒成立，从而有Δ＝4(2a －1)2－4＜0，得0＜a ＜1.。

数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界．数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现．二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用．函数与方程思想、数形结合思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.1．设0<a<1，e 为自然对数的底数，则a，a e ，e a －1的大小关系为()A．e a－1<a<aeB．a e <a<e a－1C．a e<e a －1<a D．a<e a－1<ae答案B解析设f(x)＝e x －x－1，x>0，则f′(x)＝e x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)>0，∴e x－1>x，即e a－1>a.又y＝a x(0<a<1)在R 上是减函数，得a>a e，从而e a－1>a>a e.2．已知定义在R 上的函数g(x)的导函数为g′(x)，满足g′(x)－g(x)<0，若函数g(x)的图象关于直线x ＝2对称，且g(4)＝1，则不等式g (x )e x >1的解集为________．答案(－∞，0)解析∵函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，∴g(0)＝g(4)＝1.设f(x)＝g (x )e x ，则f′(x)＝g′(x )e x －g (x )e x(e x )2＝g′(x )－g (x )e x.又g′(x)－g(x)<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在R 上单调递减．又f(0)＝g (0)e0＝1，∴f(x)>f(0)，∴x<0.3．已知f(t)＝log 2t，t∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x 2＋mx＋4>2m＋4x 恒成立，则实数x 的取值范围是__________________．答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析∵t∈[2，8]，∴f(t)∈12，3.问题转化为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立，当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2.令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈12，3.问题转化为g(m)在12，3上恒大于0，(3)>0，x－2)＋(x－2)2>0，x－2)＋(x－2)2>0，解得x>2或x<－1.4．若x∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是_______.答案[－6，－2]解析当－2≤x<0时，不等式转化为a≤x 2－4x－3x3.令f(x)＝x 2－4x－3x3(－2≤x<0)，则f′(x)＝－x 2＋8x＋9x 4＝－(x－9)(x＋1)x4，故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1,0)上单调递增，此时有a≤f(x)min ＝f(－1)＝1＋4－3－1＝－2.当x＝0时，不等式恒成立．当0<x≤1时，a≥x 2－4x－3x3，则f(x)在(0,1]上单调递增，此时有a≥f(x)max ＝f(1)＝1－4－31＝－6.综上，实数a 的取值范围是[－6，－2]．二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.5．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 等于()A．－23B．－13C.13D.23答案D解析设等差数列的首项为a 1，公差为10＝a 1＋9d＝10，10＝10a 1＋10×92d＝70，1＋9d＝10，1＋9d＝14，解得d＝23.6．已知在数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n＋23a n ，则a na n－1的最大值为()A．－3B．－1C．3D．1答案C解析当n≥2时，S n ＝n＋23a n ，S n－1＝n＋13a n－1，两式作差可得a n ＝n＋23a n －n＋13a n－1，即a n a n－1＝n＋1n－1＝1＋2n－1.由函数y＝1＋2x－1在(1，＋∞)上是减函数，可得a na n－1在n＝2时取得最大值3.7．在等差数列{a n }中，若a 1<0，S n 为其前n 项和，且S 7＝S 17，则S n 取最小值时n 的值为________．答案12解析由已知得，等差数列{a n }的公差d>0,设S n ＝f(n)，则f(n)为二次函数，又由f(7)＝f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n＝12对称，故S n 取最小值时n 的值为12.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 6＝3，则nS n 的最小值为_______．答案－9解析1＋6d＝－2，1＋15d＝3，解得a 1＝－2，d＝1，所以S n ＝n 2－5n 2，故nS n ＝n 3－5n22.令f(x)＝x 3－5x 22，则f′(x)＝32x 2－5x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝103，又∵n 是正整数，当n＝3时，nS n ＝－9，n＝4时，nS n ＝－8，故当n＝3时，nS n 取得最小值－9.三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率、几何量等经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.9．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A，B 两点，交C 的准线于D，E 两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C 的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8答案B解析不妨设抛物线C：y 2＝2px(p>0)，圆的方程设为x 2＋y 2＝r 2(r>0)，如图，又可设A(x 0，22)，D －p2，点A(x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，①点A(x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D －p2，x 2＋y 2＝r 2上，＝r 2，③联立①②③，解得p＝4(负值舍去)，即C 的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.10．如图，已知双曲线C：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q 两点，若∠PAQ＝60°，且OQ →＝3OP →，则双曲线C 的离心率为()A.233 B.72C.396D.3答案B解析因为∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|，所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，设|AQ|＝2R，又OQ →＝3OP →，则|OP|＝12|PQ|＝R.双曲线C 的渐近线方程是y＝ba x，A(a，0)，所以点A 到直线y＝bax 的距离|b·a－0＝ab a 2＋b 2，所以＝(2R)2－R 2＝3R 2，即a 2b 2＝3R 2(a 2＋b 2)，在△OQA 中，由余弦定理得，|OA|2＝|OQ|2＋|QA|2－2|OQ||QA|cos60°＝(3R)2＋(2R)2－2×3R×2R×12＝7R 2＝a 2.2b 2＝3R 2(a 2＋b 2)，2＝7R 2，2＝7R 2，2＝214R 2，所以双曲线C 的离心率为e＝c a ＝c 2a2＝a 2＋b2a2＝1＋b 2a2＝1＋214R 27R2＝72.11．设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与AB 相交于点D，与椭圆相交于E，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．答案23或38解析依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB，EF 的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0)．如图，设D(x 0，kx 0)，E(x 1，kx 1)，F(x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →知，x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由点D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k.所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k＋6＝0，解得k＝23或k＝38.12．已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y 2＝4x 交于不同的两点A，B，且以AB 为直径的圆过抛物线C 的焦点F，则k＝________.答案22或－22解析点F 的坐标为(1,0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＝k(x 1＋1)，y 2＝k(x 2＋1)，当k＝0时，l 与C 只有一个交点，不合题意，因此k≠0.将y＝k(x＋1)代入y 2＝4x，消去y，得k 2x 2＋2(k 2－2)x＋k 2＝0，①依题意知，x 1，x 2是①的不相等的两个实根，(k2－2)2－4k4>0，②1＋x2＝2(2－k2)k2，1x2＝1.由以AB为直径的圆过F，得AF⊥BF，即kAF·kBF＝－1，所以y1x1－1·y2x2－1＝－1，即x1x2＋y1y2－(x1＋x2)＋1＝0，所以x1x2＋k2(x1＋1)(x2＋1)－(x1＋x2)＋1＝0，所以(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋1＋k2＝0，③把x1＋x2＝2(2－k2)k2，x1x2＝1代入③得2k2－1＝0，解得k＝±22，经检验k＝±22适合②式．综上所述，k＝±22.一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.1．函数f(x)＝2x－1x的零点个数为()A．0B．1C．2D．3答案B解析在同一平面直角坐标系下，作出函数y1＝2x和y2＝1x的图象，如图所示．函数f(x)＝2x－1x的零点个数等价于2x＝1x的根的个数，等价于函数y1＝2x和y2＝1x图象的交点的个数．由图可知只有一个交点，所以只有一个零点．故选B.2．若关于x的方程|x|x＋4＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为________．答案解析x＝0是方程的一个实数解；当x≠0时，方程|x|x＋4＝kx2可化为1k＝(x＋4)|x|，x≠－4，k≠0，设f(x)＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0)，y＝1k ，则两函数图象有三个非零交点．2＋4x，x>0，2－4x，x<0，x≠－4的大致图象如图所示，由图可得0<1k<4,解得k>14.所以k3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cosπx|在－52，12上的所有实数解之和为________．答案－7解析因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2.又当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1＝f(x)与y2＝|cosπx|的图象如图所示．由图象知关于x 的方程f(x)＝|cosπx|在－52，12上的实数解有7个．不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f(x)＝|cosπx|在－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.4．已知函数2，x≤1，若方程f(x)＝mx－12恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是____________．答案解析方程f(x)＝mx－12恰有四个不相等的实数根可化为函数2，x≤1，与函数y＝mx－12的图象有四个不同的交点，如图所示．k BC ＝12.当x>1时，f(x)＝lnx，f′(x)＝1x，设切点A 的坐标为(x 1，lnx 1)，则lnx 1＋12x 1－0＝1x 1，解得x 1＝e，故k AC ＝1e.结合图象可得，实数m 二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5．(2018·全国Ⅰ)设函数－x，x≤0，则满足f(x＋1)＜f(2x)的x 的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，0)答案D解析方法一即x≤－1时，f(x＋1)＜f(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．时，不等式组无解．即－1＜x≤0时，f(x＋1)＜f(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．故选D.方法二－x，x≤0，∴函数f(x)的图象如图所示．由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.此时x≤－1.当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)＜f(2x)．此时－1＜x＜0.综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．故选D.6．设A，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB|＝3，点P 在直线l：3x＋4y－12＝0上运动，则|PA →＋PB →|的最小值为()A．3B．4C.175D.195答案D解析设AB 的中点为D，由平行四边形法则可知PA →＋PB →＝2PD →，所以当且仅当O，D，P 三点共线时，|PA →＋PB →|取得最小值，此时OP 垂直于直线3x＋4y－12＝0，OP⊥AB，因为圆心到直线的距离为129＋16＝125，|OD|＝1－34＝12，所以|PA →＋PB →|的最小值为＝195.7．若不等式|x－2a|≥12x＋a－1对x∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案－∞，12解析作出y 1＝|x－2a|和y 2＝12x＋a－1的简图，如图所示．故a≤12.8．已知函数2＋2ax，x≥1，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f(x 1)＝f(x 2)，则实数a的取值范围为________．答案[0，＋∞)解析根据题意知f(x)是一个分段函数，当x≥1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为x＝a；当x<1时，是一个一次函数．当a>1时，如图(1)所示，符合题意；当0≤a≤1时，如图(2)所示，符合题意；当a<0时，如图(3)所示，此时函数在R 上单调递减，不满足题意．综上所述，可得a≥0.三、数形结合思想在解析几何中的应用在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围；常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.9．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m 的最大值为()A．7B．6C．5D．4答案B解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，可知|OP|＝12|AB|＝m.要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC|＝5，所以|OP|max ＝|OC|＋r＝6，即m 的最大值为6.10．设双曲线C：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C．2D.5答案D解析如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q，连接OQ，则OQ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1|＝2|OQ|＝2a.又|PF 2|－|PF 1|＝2a，所以|PF 2|＝4a.在Rt△F 1PF 2中，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，得4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2，即e＝c a＝ 5.11．已知抛物线的方程为x 2＝8y，F 是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________．答案解析因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P 作PQ⊥l 于点Q，过点A 作AB⊥l 于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.因为A(－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y，得y 0＝12.故使△APF 的周长最小的点P 12．已知P 是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB 是圆x 2＋y 2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________．答案22解析连接PC，由题意知圆的圆心C(1,1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt△PAC 的面积S △PAC ＝12|PA||AC|＝12|PA|越来越大，从而S 四边形PACB也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形PACB 有唯一的最小值，此时|PC|＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA|＝|PC|2－|AC|2＝22，所以(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA|×|AC|＝2 2.1．已知定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′(x)>1，设a＝f(2)－1，b＝e[f(3)－1]，则a，b 的大小关系为()A．a<b B．a>b C．a＝b D．无法确定答案A解析令g(x)＝e xf(x)－e x，则g′(x)＝e x [f(x)＋f′(x)－1]>0，即g(x)在R 上为增函数．所以g(3)>g(2)，即e 3f(3)－e 3>e 2f(2)－e 2，整理得e[f(3)－1]>f(2)－1，即a<b.2．定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是减函数，则有()A．fB．fC．fD．f 答案C解析因为f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，f(x)的图象关于直线x＝1对称；又T＝4，作图，由图知f3．在三棱锥A－BCD 中，△ABC 为等边三角形，AB＝23，∠BDC＝90°，二面角A－BC－D 的大小为150°，则三棱锥A－BCD 的外接球的表面积为()A．7πB．12πC．16πD．28π答案D解析满足题意的三棱锥A－BCD 如图所示，设三棱锥A－BCD 的外接球的球心为O，半径为R，△BCD，△ABC 的外接圆的圆心分别为O 1，O 2，可知O，O 1，O 2在同一平面内，由二面角A－BC－D 的大小为150°，得∠OO 1O 2＝150°－90°＝60°.依题意，可得△BCD，△ABC 的外接圆的半径分别为r 1＝BC 2＝232＝3，r 2＝23×sin60°×23＝2，2＝OO 21＋r 21，2＝OO 22＋r 22，1O 2＝OO 2OO 1，2＝OO 21＋3，2＝OO 22＋4，2＝32OO 1，解得R＝7，所以三棱锥A－BCD 的外接球的表面积为4πR 2＝28π.4．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 作直线y＝－ba x 的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B 点，若FB →＝2FA →，则该双曲线的离心率为()A.3B．2C.5 D.7答案C解析设F(c，0)，则直线AB 的方程为y＝a b (x－c)，代入双曲线渐近线方程y＝－bax，得FB →＝2FA →，可得B 点坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2c2＝1，∴c 2＝5a 2，∴离心率e＝ca＝ 5.5．记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x 2＋1，x＋3,13－x}的最大值为()A．5B．6C．8D．10答案C解析在同一坐标系中作出三个函数y＝x 2＋1，y＝x＋3，y＝13－x 的图象如图．由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x＋3,13－x}为y＝x＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC 与直线y＝13－x 在点C 下方的部分的组合体．显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y＝min{x 2＋1，x＋3,13－x}取得最大值．得点C(5,8)．所以f(x)max ＝8.6．若关于x 的不等式3－|x－a|>x 2在(－∞，0)上有解，则实数a 的取值范围是()－134，3(3，＋∞)答案A解析3－|x－a|>x 2可化为3－x 2>|x－a|，画出y＝3－x 2与y＝|x－a|的草图如图所示，当y＝x－a 与y＝3－x 2相切时，a＝－134；当y＝a－x 过点(0,3)时，a＝3，所以实数a －134，37．已知函数2－x，x≥1，2－3x＋2，x<1，若不等式f(x)≥mx 恒成立，则实数m 的取值范围为()A．[－3－22，－3＋22]B．[－3＋22，0]C．[－3－22，0]D．(－∞，－3－22]∪[－3＋22，＋∞)答案C解析函数f(x)及y＝mx 的图象如图所示，由图象可知，当m>0时，不等式f(x)≥mx 不恒成立，设过原点的直线与函数f(x)＝x 2－3x＋2(x<1)相切于点A(x 0，x 20－3x 0＋2)，因为f′(x 0)＝2x 0－3，所以该切线方程为y－(x 20－3x 0＋2)＝(2x 0－3)(x－x 0)，因为该切线过原点，所以－(x 20－3x 0＋2)＝－x 0(2x 0－3)，解得x 0＝－2，即该切线的斜率k＝－22－3.由图象得－22－3≤m≤0.故选C.8．设函数f(x)＝e x＋3x －3－a x ，若不等式f(x)≤0有正实数解，则实数a 的最小值为()A．3B．2C．e 2D．e答案D解析原问题等价于a≥e x (x 2－3x＋3)在x>0时能成立，令g(x)＝e x (x 2－3x＋3)，则a≥g(x)min ，而g′(x)＝e x(x 2－x)，由g′(x)>0，可得x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，由g′(x)<0，可得x∈(0,1)．据此可知，函数g(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为g(1)＝e，∴a≥e.综上可得，实数a 的最小值为e.9．已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________．答案23解析如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积V＝13a 2h＝323，故a 2h＝32，即a 2＝32h.则其侧棱长为＝16h＋h 2.令f(h)＝16h ＋h 2，则f′(h)＝－16h 2＋2h＝2h 3－16h 2，令f′(h)＝0，解得h＝2.当h∈(0,2)时，f′(h)<0，f(h)单调递减；当h∈(2，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)单调递增，所以当h＝2时，f(h)取得最小值f(2)＝162＋22＝12，故l min ＝12＝2 3.10．若函数f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．答案(0,2)解析由f(x)＝|2x －2|－b 有两个零点，可得|2x－2|＝b 有两个不等的实根，从而可得函数y 1＝|2x－2|的图象与函数y 2＝b 的图象有两个交点，如图所示．结合函数的图象，可得0<b<2.11．M＝{(x，y)|x 2＋2y 2＝3}，N＝{(x，y)|y＝mx＋b}，若对所有的m∈R，均有M∩N≠∅，则实数b 的取值范围是__________．答案－62，62解析根据题意作出集合M，N 表示的曲线，要满足对所有的m∈R，均有M∩N≠∅，则直线y＝mx＋b 与y轴交点(0，b)必须要在椭圆上或椭圆内部，又椭圆的短半轴长为62，所以由图象知，b 的取值范围是－62，62.12．若关于x 的不等式e x－x 22－1－在12，＋∞a 的取值集合为________．答案{2e}解析关于x 的不等式e x－x 22－1－在12，＋∞⇔函数g(x)＝e x －x 22－1x在12，＋∞的值域为a－94，＋∞因为g′(x)＝e x(x－1)－x 22＋1x2，令φ(x)＝e x(x－1)－x22＋1，x∈12，＋∞则φ′(x)＝x(e x－1)．因为x≥12，所以φ′(x)>0，故φ(x)在12，＋∞＝78－e2>0.因此g′(x)>0，故g(x)在12，＋∞则121e 1812--＝2e－94，所以a－94＝2e－94，解得a＝2e，所以a 的取值集合为{2e}．。

第1讲函数的图象与性质热点一函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．3．周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|.常见结论：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0.(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0.(3)若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．例1 (1)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 019的值为( )A ．1B ．2C ．22 019D ．32 019 答案 A解析 由已知x ∈R ，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2＝sin πx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sin πx ＋2e x x 2＋e 2＋1，令g (x )＝sin πx ＋2e xx 2＋e 2，易知g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，所以(M ＋N －1)2 019＝1，故选A. (2)已知定义在R 上的函数f (x )满足：函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，则f (－2 019)＋f (2 018)＝________. 答案 1－e解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于原点对称， 又定义域为R ，所以函数y ＝f (x )是奇函数， 因为当x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (－2 019)＋f (2 018)＝－f (2 019)＋f (0) ＝－f (1)＋f (0)＝－(e 1－1)＋(e 0－1)＝1－e.思维升华 可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．跟踪演练1 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|(x －a )2－1|＋a ，x ≥0，|x －a |＋2a －1，x ＜0的最小值为2a －1，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＝1 B ．0＜a ≤1 C ．a ＜0或a ＝1 D ．a ＜0或a ≥1答案 C解析 在平面直角坐标系内画出函数f (x )的图象(图略)，由图易得当a ≥0时，函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值为a ，在(－∞，0)上单调递减，当x →0(x ＜0)时，f (x )→3a －1，要使函数f (x )的最小值为2a －1，则有a ＝2a －1≤3a －1，解得a ＝1；当－1≤a ＜0时，函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值为a ，在(－∞，0)上的最小值为2a －1，要使函数f (x )的最小值为2a －1，则有2a －1≤a ，解得a ≤1，所以－1≤a ＜0；当a ＜－1时，函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值为a 2＋a －1，在(－∞，0)上的最小值为2a －1，要使函数f (x )的最小值为2a －1，则有2a －1≤a 2＋a －1，解得a ≤0或a ≥1，所以a ＜－1.综上所述，实数a 的取值范围为a ＜0或a ＝1，故选C. (2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.热点二 函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 例2 (1)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －x x 2的图象大致为( )答案 B解析 ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e＞0，排除D 选项．又e ＞2，∴1e ＜12，∴e －1e ＞32，排除C 选项．故选B.(2)函数f (x )＝e x ＋a e －x 与g (x )＝x 2＋ax 在同一坐标系内的图象不可能是( )答案 C解析 因为g (x )＝x 2＋ax 的图象过原点，所以图象中过原点的抛物线是函数g (x )的图象，在选项C 中，上面的图象是函数f (x )的图象，下面的是函数g (x )的图象，所以－a2>0，所以a ＜0，因为f ′(x )＝e x －a e －x ，所以f ′(x )>0在R 上恒成立，所以函数f (x )在定义域内单调递增，不是选项C 中的图象，故选C.思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，函数解析式发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．跟踪演练2 (1)函数f (x )＝sin x ·lnx －1x ＋1的大致图象为( )答案 D解析 f (－x )＝－sin x ·ln－x －1－x ＋1＝－sin x ·ln x ＋1x －1＝sin x ·ln x －1x ＋1＝f (x )， 则函数f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，C ， f (3)＝sin 3·ln 12＜0，排除B.(2)函数f (x )＝|x |＋ax(a ∈R )的图象不可能是( )答案 C解析 对于A ，当a ＝0时，f (x )＝|x |，且x ≠0，故可能；对于B ，当x >0且a >0时，f (x )＝x ＋a x ≥2a ，当且仅当x ＝a 时等号成立，当x ＜0且a >0时，f (x )＝－x ＋a x 在(－∞，0)上为减函数，故可能；对于D ，当x ＜0且a ＜0时，f (x )＝－x ＋a x≥2－x ·ax＝2 －a ，当且仅当x ＝－－a 时等号成立，当x >0且a ＜0时，f (x )＝x ＋ax 在(0，＋∞)上为增函数，故可能，且C 不可能．故选C.热点三 基本初等函数的图象和性质1．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质，分0＜a＜1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的公共性质．2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2x D ．3y ＜2x ＜5z答案 D解析 令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5＜0，∴2x ＜5z ，∴3y ＜2x ＜5z .故选D.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＜0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，14 B ．(1,2] C ．(1,3) D.⎝⎛⎭⎫12，1 答案 A解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0，x 1≠x 2，得f (x )是减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a －3＜0，4a ≤1，得a ∈⎝⎛⎦⎤0，14，故选A. 思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及运算能力． (2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．跟踪演练3 (1)已知a ＝13log 0.60.3，b ＝12log 14，c ＝13log 0.50.4，则实数a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＜a ＜b B ．b ＜a ＜c C ．a ＜c ＜b D ．c ＜b ＜a答案 C解析 由题意得b ＝12log 14＝2，因为0.60.3>0.60.4>0.50.4， 所以13log 0.60.3＜13log 0.50.4，13log 0.50.4＝0.413log 0.5＜0.413log 13＝0.4，所以a ＜c ＜b .(2)对任意实数a ，b 定义运算“Δ”：a Δb ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤2，b ，a －b >2，设f (x )＝3x ＋1Δ(1－x )，若函数f (x )与函数g (x )＝x 2－6x 在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．(0,3] C ．[0,2] D ．[1,3]答案 C解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，3x ＋1，x ≤0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，函数g (x )＝(x －3)2－9在(－∞，3]上单调递减，若函数f (x )与g (x )在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋1≤3，得0≤m ≤2，故选C.真题体验1．(2018·浙江，5)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ， 令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x .∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数， ∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A ，B. 令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π2，故排除C.故选D.2．(2019·浙江，6)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 若0＜a ＜1，则函数y ＝1a x 是增函数，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12是减函数且其图象过点⎝⎛⎭⎫12，0，结合选项可知，选项D 可能成立；若a ＞1，则y ＝1a x 是减函数，而y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12是增函数且其图象过点⎝⎛⎭⎫12，0，结合选项可知，没有符合的图象．3．(2017·天津，理，6)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．b <a <c D ．b <c <a答案 C解析 依题意a ＝g (－log 25.1) ＝(－log 25.1)·f (－log 25.1)＝log25.1f(log25.1)＝g(log25.1)．因为f(x)在R上是增函数，可设0＜x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)．从而x1f(x1)＜x2f(x2)，即g(x1)＜g(x2)．所以g(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．又log25.1＞0,20.8＞0,3＞0，且log25.1＜log28＝3,20.8＜21＜3，而20.8＜21＝log24＜log25.1，所以3＞log25.1＞20.8＞0，所以c＞a＞b.故选C.押题预测1．函数f(x)＝e x·ln |x|的大致图象为()答案 A解析函数f(x)＝e x·ln |x|，f(－x)＝e－x·ln |－x|，f(x)≠f(－x)，－f(x)≠f(－x)，则函数f(x)为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当x→＋∞，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞，排除B.2．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax和g(x)＝log a(x＋2)(a>0且a≠1)的大致图象可能为()答案 A解析 由题意知，当a >0时，函数f (x )＝2－ax 为减函数． 若0＜a ＜1，则函数f (x )＝2－ax 的零点x 0＝2a ∈(2，＋∞)，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为减函数； 若a >1，则函数f (x )＝2－ax 的零点x 0＝2a ∈(0,2)，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．3．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0＜x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________． 答案 (－2,0)∪(0,2)解析 因为当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0＜x ≤4，4－2x ，x >4.所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)，所以0＜|t |＜2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t ≠0，|t |＜2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2＜t ＜2，解得－2＜t ＜0或0＜t ＜2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．A 组 专题通关1．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝x －3C ．y ＝cos xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |解析 选项A ，y ＝tan x 在(0,1)上是增函数，故排除； 选项B ，y ＝x －3的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且满足f (－x )＝－f (x )，为奇函数，同时y＝x－3是幂函数，在(0,1)上是减函数，所以符合题意，选项B 正确；选项C ，根据奇偶性定义，可得到y ＝cos x 是定义域上的偶函数，故排除； 选项D ，根据奇偶性定义，可得到y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |是定义域上的偶函数，故排除． 2．函数f (x )＝x ·2cos x 的图象可能是( )答案 B解析 因为f (－x )＝(－x )·2cos(－x )＝－x ·2cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，其图象关于坐标原点O 对称，故排除A ，C.当x >0时，f (x )>0，故排除D ，故选B.3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2＋a ，x ≤1，12log (x ＋1)，x >1有最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(－5，＋∞)B ．[－5，＋∞)C ．(－∞，－5)D ．(－∞，－5]答案 B解析 由题意知f (x )＝2x ＋2＋a ，x ≤1时单调递增， 故f (x )≤f (1)＝4＋a ，f (x )＝12log (x ＋1)，x >1时单调递减，故f (x )＜－1，因为函数存在最大值，所以4＋a ≥－1，解得a ≥－5.4．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若a ＝f 15(log 3)，b ＝f (log 35)，c ＝f (0.20.5)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a解析 ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴a ＝f 15(log 3)＝f ()－log 53＝f ()log 53，∵12＝log 55＜log 53＜1,1＝log 33＜log 35， 0＜0.20.5＝55＜12， ∴0.20.5＜log 53＜log 35， ∵f (x )在(－∞，0]上是增函数， 且f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数，则f ()0.20.5>f ()log 53>f ()log 35，即b ＜a ＜c ，故选C.5．已知函数f (x )＝ln(ax 2＋bx ＋c )的部分图象如图所示，则a －b ＋c等于( )A ．－1B ．1C ．－5D ．5 答案 D解析 由题图知，直线x ＝2，x ＝4是函数f (x )的渐近线，即有x 1＝2，x 2＝4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，x 3＝1，x 4＝5是方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根，∴由根与系数的关系，得2＋4＝1＋5＝－b a ，2×4＝ca ，1×5＝c －1a，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－2，c ＝83，∴a －b ＋c ＝5，故选D.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)等于( ) A ．2 019 B ．0 C ．1 D ．－1 答案 B解析 由f ()x ＋4＝－f ()x ＋2＝f (x )得，f (x )的周期为4，又f (x )为奇函数，∴f (1)＝1，f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，f (4)＝f (0)＝0， 即f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝505×[]f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)－f (4)＝0. 7．已知log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜0，则2x ，3y ，5z 的大小排序为( )A.2x ＜3y ＜5zB.3y ＜2x ＜5z C.5z ＜2x ＜3y D.5z ＜3y ＜2x答案 A解析 x ，y ，z 为正实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜0， 令log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝k (k ＜0)， ∴x 2＝2k －1，y 3＝3k －1，z 5＝5k －1， 可得2x ＝21－k ，3y ＝31－k ，5z ＝51－k ，又1－k >0，∴函数f (x )＝x 1－k 在(0，＋∞)上单调递增，∴2x ＜3y ＜5z.故选A. 8．已知f (x )＝log a (a －x ＋1)＋bx (a >0，且a ≠1)是偶函数，则一定有( )A ．b ＝12且f (a )>f ⎝⎛⎭⎫1a B ．b ＝－12且f (a )＜f ⎝⎛⎭⎫1a C ．b ＝12且f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a >f ⎝⎛⎭⎫1b D ．b ＝－12且f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＜f ⎝⎛⎭⎫1b 答案 A解析 ∵f (x )＝log a (a －x ＋1)＋bx (a >0，且a ≠1)是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log a (a －x ＋1)＋bx ＝log a (a x ＋1)－bx ，∴log a (a x ＋1)－bx ＝log a (a x ＋1)＋(b －1)x ， ∴－b ＝b －1，b ＝12，∴a ＋1a >2＝1b，∴f (x )＝log a (a －x ＋1)＋12x ，f ′(x )＝－a －x ·ln a (a －x ＋1)ln a ＋12＝a x －12(a x ＋1)，若0＜a ＜1，则a ＜1a，当x >0时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (a )>f ⎝⎛⎭⎫1a ，f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＜f ⎝⎛⎭⎫1b ， 若a >1，则a >1a，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (a )>f ⎝⎛⎭⎫1a ，f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a >f ⎝⎛⎭⎫1b . 综上，一定有b ＝12且f (a )>f ⎝⎛⎭⎫1a . 9．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①函数f (x )的图象的对称中心为(1,0)，且对称轴为x ＝－1；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ∈(0，1]，1－x 2，x ∈[－1，0]，则f ⎝⎛⎭⎫72＝________. 答案 －32解析 由题意作出f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫72＝－1－⎝⎛⎭⎫－122＝－32. 10．(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2， ∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2.11．已知函数f (x )是奇函数，当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对任意的x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，1解析 由已知得当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，故x 2≤2log a x 对任意的x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立， 即当x ∈⎝⎛⎦⎤0，22时， 函数y ＝x 2的图象不在y ＝2log a x 图象的上方， 由图(图略)知，0＜a ＜1且2log a 22≥12， 解得14≤a ＜1.B 组 能力提高12．如果存在正实数a ，使得f (x ＋a )为奇函数，f (x －a )为偶函数，我们称函数f (x )为“Θ函数”．给出下列四个函数： ①f (x )＝sin x ； ②f (x )＝cos x ； ③f (x )＝sin x －cos x ；④f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8. 其中“Θ函数”的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 对于函数f (x )＝sin x ，f (x ＋k 1π)(k 1∈Z )为奇函数，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋k 2π(k 2∈Z )为偶函数，所以不存在正实数a ，使得f (x ＋a )为奇函数，f (x －a )为偶函数，所以f (x )＝sin x 不是“Θ函数”；对于函数f (x )＝cos x ，f (x ＋k 3π)(k 3∈Z )为偶函数，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋k 4π(k 4∈Z )为奇函数，所以不存在正实数a ，使得f (x ＋a )为奇函数，f (x －a )为偶函数，所以f (x )＝cos x 不是“Θ函数”；对于函数f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，则存在a ＝π4使得f (x ＋a )为奇函数，f (x －a )为偶函数，所以f (x )＝sin x －cos x 是“Θ函数”；对于函数f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则存在a ＝3π8使得f (x ＋a )为奇函数，f (x －a )为偶函数，所以f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8是“Θ函数”．综上所述，“Θ函数”的个数为2，故选B.13．设f (x )＝e x 1＋e x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数g (x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )－12＋⎣⎡⎦⎤f (－x )－12的值域是( ) A ．{－1,0,1} B ．{－1,0} C ．{－2，－1,0}D ．{0,1}答案 B解析 设h (x )＝f (x )－12，则g (x )＝[h (x )]＋[h (－x )]，又因为h (－x )＝f (－x )－12＝e －x 1＋e －x －12＝11＋e x－12＝－e x 1＋e x ＋12＝－h (x )，所以函数h (x )＝f (x )－12为奇函数，易知h (x )在R 上单调递增，且h (x )∈⎝⎛⎭⎫－12，12.当x ＜0时，g (x )＝－1＋0＝－1；当x ＝0时，g (x )＝0＋0＝0；当x >0时，g (x )＝0－1＝－1.综上所述，函数g (x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )－12＋⎣⎡⎦⎤f (－x )－12的值域为{－1,0}，故选B. 14．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f ()y ＝f ()x ＋y 成立，若数列{a n }满足f ()a n ＋1f ⎝⎛⎭⎫11＋a n＝1()n ∈N *，且a 1＝f (0)，则下列结论成立的是( )A ．f ()a 2 016>f ()a 2 018B ．f ()a 2 017>f ()a 2 020C ．f ()a 2 018>f ()a 2 019D ．f ()a 2 016>f ()a 2 019答案 A解析 由f (x )f ()y ＝f ()x ＋y ，令x ＝0，y ＝－1， 则f (0)f (－1)＝f (－1)，∵当x <0时，f (x )>1，∴f (－1)>1，∴f (0)＝1，∴a 1＝1，当x >0时，令y ＝－x ， 则f (x )f ()－x ＝f (0)＝1，即f (x )＝1f ()－x .又f ()－x >1，∴当x >0时，0<f (x )<1， 令x 2>x 1，则x 2－x 1>0，∴f ()x 1f ()x 2－x 1＝f ()x 2， 即f ()x 2f ()x 1＝f ()x 2－x 1∈()0，1， ∴f (x )在R 上单调递减，又f ()a n ＋1f ⎝⎛⎭⎫11＋a n＝f ⎝⎛⎭⎫a n ＋1＋11＋a n＝1＝f (0)，∴a n ＋1＝－11＋a n，令n ＝1，a 2＝－12；令n ＝2，a 3＝－2；令n ＝3，a 4＝1，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，∴a 2 016＝a 3＝－2，a 2 017＝a 1＝1，a 2 018＝a 2＝－12，a 2 019＝a 3＝－2，a 2 020＝a 1＝1，∵f (x )在R 上单调递减，∴f ()－2>f ⎝⎛⎭⎫－12>f (1)， ∴f ()a 2 016>f ()a 2 018，f ()a 2 017＝f ()a 2 020， f ()a 2 018<f ()a 2 019，f ()a 2 016＝f ()a 2 019.15．定义：若函数f (x )的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，f (x ＋T )＝f (x )＋T 恒成立，则称f (x )为线周期函数，T 为f (x )的线周期．若φ(x )＝sin x ＋kx 为线周期函数，则k 的值为________． 答案 1解析 若φ(x )＝sin x ＋kx 为线周期函数， 则满足对任意x ∈R ，φ(x ＋T )＝φ(x )＋T 恒成立， 即sin(x ＋T )＋k (x ＋T )＝sin x ＋kx ＋T ， 即sin(x ＋T )＋kT ＝sin x ＋T则⎩⎪⎨⎪⎧sin (x ＋T )＝sin x ，kT ＝T ，所以k ＝1. 16．(2019·绍兴质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ＜0，x 2，x ≥0，若a ＞0，b ＜0，且f (a )＝f (b )，则f (a＋b )的取值范围是____________． 答案 [－1，＋∞)解析 作图，则a ＞0，b ＜－32，且－2b －3＝a 2，得b ＝－a 2－32，则a ＞0时，t ＝a ＋b ＝a ＋－a 2－32＝－12(a －1)2－1∈(－∞，－1]，故f (a ＋b )＝－2t －3∈[－1，＋∞)．。

第 5 讲 导数的简单应用导数运算及其几何意义[ 核心提炼 ]1．导数公式(1)(sin x)′＝ cos x ；(2)(cos x)′＝－ sin x ； (3)(a x )′＝ a x ln a(a>0) ；(4)(log a x)′＝ xln 1a (a>0，且 a ≠1)．2．导数的几何意义函数 f(x)在 x 0 处的导数是曲线f(x)在点 P( x 0， f(x 0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点 P 处的切线的斜率 k ＝ f ′ (x 0)，相应的切线方程为y － f( x 0)＝ f ′(x 0) ·(x － x 0)．[ 典型例题 ](1)(2019 绍·兴市柯桥区高三模拟 )已知曲线 y ＝ 1x 2－ 3ln x 的一条切线的斜率为－ 1，42 则切点的横坐标为 ()1 A ．－ 3B ． 2C ．－3或 2D. 2(2)已知 f(x)＝ln x， g(x)＝ (1＋ sin x)2，x 2＋ 1若 F(x)＝ f(x)＋ g(x)，则 F(x)的导函数为 ________．【分析 】 (1)设切点为 (m ， n)(m ＞ 0)， y ＝14x2－ 3ln x 的导数为 y ′＝12x －3x ，可得切线的斜率为12m － m 3＝－ 12，解方程可得， m ＝2. 应选 B.（ln x ）′（ x 2＋ 1）－ ln x （ x 2＋ 1） ′(2)由于 f ′(x) ＝（ x 2＋ 1）21x（x 2 ＋ 1）－ 2xln x ＝（ x 2＋ 1）2x 2＋ 1－ 2x 2ln x ＝x （ x 2＋ 1） 2g′(x)＝ 2(1＋ sin x)(1＋ sin x)′＝ 2cos x＋ sin 2x，x2＋ 1－ 2x2ln x所以 F′(x) ＝f′(x) ＋g′(x)＝ 2 2＋ 2cos x＋sin 2 x.x（ x ＋ 1）x2＋1－ 2x2ln x【答案】(1)B (2) x（ x2＋ 1）2 ＋ 2cos x＋ sin 2x利用导数几何意义解题的思路(1)利用导数的几何意义解题主假如利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转变．(2)以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则依据平行、垂直与斜率之间的关系和导数联系起来求解．[ 对点训练 ]1．已知 a∈ R，设函数f(x)＝ ax－ ln x 的图象在点 (1，f(1)) 处的切线为l ，则 l 在 y 轴上的截距为 ________．分析：由于 f′(x)＝ a－1x，所以 f′(1) ＝ a－1，又 f(1) ＝ a，所以切线 l 的方程为y－ a＝ (a－ 1)(x－1)，令 x＝0，得 y＝1.故填 1.答案： 12．(2019 浙·江省十校联合体期末检测 )已知函数 f(x)＝ ae x＋ x2，g(x)＝ cos π x＋ bx，直线 l 与曲线 y＝ f(x)切于点 (0， f(0)) ，且与曲线 y＝ g(x)切于点 (1，g(1)) ，则 a＋b＝ ________，直线 l 的方程为 ________．分析： f′(x)＝ ae x＋2x， g′(x)＝－π sin πx＋ b，f(0) ＝ a， g(1)＝ cos π＋b＝ b－ 1，f′(0)＝ a， g′(1)＝ b，由题意可得f′(0)＝ g′(1) ，则 a＝ b，b－ 1－ a又 f ′(0)＝＝a，1－ 0即 a＝ b＝－ 1，则 a＋ b＝－ 2；所以直线l 的方程为 x＋ y＋1＝ 0.答案：－ 2x＋ y＋ 1＝ 03．(2019 ·州期末湖 )如图， y＝ f(x)是可导函数，直线l： y＝ kx＋ 2 是曲线 y＝ f(x)在 x＝ 3 处的切线，令g(x)＝ xf(x)，此中 g′(x)是 g(x)的导函数，则g′(3)＝ ________．1分析：由题图可知曲线y＝ f(x)在 x＝ 3 处切线的斜率等于－3，1即 f ′(3)＝－3.又由于 g(x)＝ xf(x)，所以 g′(x)＝ f(x) ＋xf′(x)， g′(3) ＝ f(3)＋ 3f′(3) ，1由题图可知f(3) ＝ 1，所以 g′(3)＝ 1＋ 3× －3＝ 0.答案： 0利用导数研究函数的单一性[ 核心提炼 ]1．若求函数的单一区间(或证明单一性)，只需在其定义域内解(或证明 )不等式 f ′(x)>0 或f′(x)<0 即可．2．若已知函数的单一性，则转变为不等式f′(x)≥ 0 或 f′ (x)≤ 0 在单一区间上恒建立问题来求解．[ 典型例题 ](1)设函数 f(x)＝ xe2－x＋ ex，求 f(x)的单一区间．(2)设 f(x)＝ e x(ln x－a)(e 是自然对数的底数， e＝ 2.71 828 )若函数 f(x)在区间1e，e上单一递减，求 a 的取值范围．【解】(1)由于 f(x)＝ xe2－x＋ex.由 f ′(x)＝ e2－x(1－ x＋ e x－1)及 e2－x＞ 0 知，f′(x)与 1－ x＋ e x－1同号．令 g(x)＝ 1－ x＋ e x－1，则 g′(x)＝－ 1＋ e x－1.所以当 x∈ (－∞， 1)时， g′(x)＜ 0， g(x)在区间 (－∞， 1)上单一递减；当 x∈ (1，＋∞ )时， g′(x)＞ 0， g(x)在区间 (1，＋∞)上单一递加．故 g(1) ＝ 1 是 g(x)在区间 (－∞，＋∞ )上的最小值，进而 g(x)＞ 0， x∈ (－∞，＋∞ )．综上可知， f′(x)＞ 0， x∈ (－∞，＋∞ )，故 f(x)的单一递加区间为 (－∞，＋∞ )．1 1(2)由题意可得 f′(x)＝ e x ln x＋x－ a ≤0 在e， e 上恒建立．1 1 1， e 上恒建立．令1由于 e x>0 ，所以只需 ln x＋－ a≤ 0，即 a≥ ln x＋在e g(x)＝ ln x＋ .x x x1 1 x－ 1由于 g′(x)＝x－x2＝x2 ，由 g′(x)＝ 0，得 x＝ 1.x 1， 1 (1， e) eg′ (x) －＋g(x)1 1 1 1g e ＝ ln e＋ e＝ e－ 1， g(e)＝ 1＋e，由于 e－ 1>1＋e，1所以 g(x) max＝ g e＝ e－ 1.故 a≥ e－ 1.求解或议论函数单一性问题的解题策略议论函数的单一性其实就是议论不等式的解集的状况．大部分状况下，这种问题能够归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的议论：(1)在能够经过因式分解求出不等式对应方程的根时，依照根的大小进行分类议论．(2)在不可以经过因式分解求出根的状况时，依据不等式对应方程的鉴别式进行分类议论．[注意 ]议论函数的单一性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽略了定义域的限制．1．(2019 ·江新高考冲刺卷浙[ 对点训练 ])已知定义在R 上的偶函数f(x)，其导函数f′(x)；当x≥0 时，恒有 x2f′ (x)＋ f(－x)≤0，若g(x)＝ x2f(x)，则不等式g(x)＜ g(1－ 2x)的解集为( )1A．(3，1)1B． (－∞，3) ∪(1，＋∞ )1C． (3，＋∞ )1D． (－∞，3)分析：选 A. 由于定义在R 上的偶函数f(x)，所以 f(－ x)＝ f(x)．x由于 x≥ 0 时，恒有2f′(x)＋ f(－ x)≤ 0，所以 x2 f′(x)＋ 2xf(x)≤ 0，由于 g(x)＝ x2 f(x)，所以 g′(x)＝ 2xf(x)＋ x2 f′(x)≤ 0，所以 g(x)在 [0，＋∞ )为减函数，由于 f(x)为偶函数，所以g(x)为偶函数，所以 g(x)在 (－∞， 0)上为增函数，由于 g(x)＜ g(1－ 2x)，所以 |x|＞ |1－ 2x|，即( x－ 1)(3x－ 1)＜0，1解得3＜ x＜ 1，选 A.x－ 12．(2019 ·州市高三期末湖)已知函数f(x) ＝e x.(1)求函数 f(x)的单一区间和极值；(2)若函数 y＝ g(x)对随意 x 知足 g(x)＝ f(4－x)，求证：当x＞ 2 时， f(x)＞ g(x)；(3)若 x1≠ x2，且 f(x1)＝f(x2)，求证： x1＋ x2＞ 4.x－12－ x解： (1) 由于 f(x)＝e x，所以f′(x)＝e x.令 f ′(x)＝ 0，解得 x＝2.x(－∞， 2)2(2，＋∞ )f′(x) ＋0 －f( x) 极大值1 2 e所以 f(x)在 (－∞， 2)内是增函数，在(2，＋∞ )内是减函数．所以当 x＝ 2 时， f(x)获得极大值f(2)＝1 2. e3－x (2)证明： g(x)＝ f(4－ x)＝4－ x，ex－ 1 3－ x令 F(x)＝ f(x)－ g(x)＝e x －e4－x，42x ）2－ x 2－ x （ 2－ x）（ e － e所以 F′(x) ＝e x－e4－x＝e x＋4 .当 x＞ 2 时， 2－ x＜ 0， 2x＞ 4，进而 e4－ e2 x＜ 0，所以 F′(x) ＞0， F(x)在 (2，＋∞) 是增函数．1 1所以 F(x)＞ F(2) ＝e2－e2＝ 0，故当 x＞ 2 时， f( x)＞ g(x)建立．(3)证明：由于 f(x)在( －∞， 2)内是增函数，在(2，＋∞ )内是减函数．所以若 x1≠x2，且 f(x1)＝f(x2)， x1、x2不行能在同一单一区间内．不如设 x1＜ 2＜ x2，由 (2) 可知 f(x2)＞ g(x2)，又 g(x2)＝ f(4－ x2)，所以 f(x2 )＞ f(4－ x2)．由于 f(x1)＝ f(x2)，所以 f(x1)＞ f(4－ x2)．由于 x2＞ 2， 4－ x2＜2， x1＜ 2，且 f(x)在区间 (－∞， 2)内为增函数，所以 x1＞ 4－ x2，即 x1＋ x2＞4.利用导数研究函数的极值(最值 )问题[ 核心提炼 ]1．若在 x0邻近左边f′(x)>0，右边 f′(x)<0，则 f( x0)为函数 f(x)的极大值；若在x0邻近左边f′(x)<0 ，右边 f′ (x)>0 ，则 f(x0)为函数 f(x)的极小值．2．设函数y＝ f(x)在 [a， b]上连续，在 (a， b)内可导，则f(x) 在[a，b] 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处获得．[ 典型例题 ]x1(1) 已知函数 f(x)＝ (x － 2x － 1)e (x ≥ 2)．①求 f(x)的导函数；②求 f(x)在区间 12，＋∞ 上的取值范围．－2＋ aln x. (2)(2019 浙·江名校协作体高三联考 )已知 a ∈ R ，函数 f(x)＝ x ①若函数 f(x) 在(0， 2)上递减，务实数 a 的取值范围；②当 a ＞ 0 时，求 f(x) 的最小值 g(a)的最大值；③设 h(x)＝ f(x)＋ |(a － 2)x|， x ∈ [1，＋∞ )，求证： h(x)≥ 2.【解】(1)① 由于 (x － 2x － 1)′＝ 1－1，2x －1(e －x )′＝－ e －x ，1所以 f ′(x)＝1－－x－ (x － －x＝2x － 1 e 2x － 1)e（1－ x ）（ 2x － 1－2） e －x12x － 1x> 2.②由 f ′(x)＝ （ 1－ x ）（ 2x － 1－ 2） e－x2x － 1＝ 0，5解得 x ＝ 1 或 x ＝ 2.由于x1 1 15 5 2( ，1)(1， )222f ′(x)－＋115f(x)e －1－2 2e2又 f(x)＝ 1－x≥ 0，( 2x －1－ 1)2e21，＋∞1所以 f(x)在区间上的取值范围是1 －2 .2 0， 2e(2)①函数 f(x)在 (0， 2)上递减 ? 任取 x ∈ (0， 2)，恒有 f ′ (x)≤ 0 建立，5(2，＋ ∞ )－而 f ′(x)＝ax － 2≤ 0? 任取 x ∈ (0，2) ，恒有 a ≤2建立，x 2x而2x ＞ 1，则 a ≤ 1 知足条件．②当 a ＞ 0 时， f ′(x)＝ax －22＝ 0? x ＝ 2.xax2 2 2，＋∞ ) (0， a ) a(af ′ (x) －0 ＋f(x)极小值f(x)的最小值 g( a)＝ f(2)＝ a ＋ aln 2，a a g ′(a)＝ ln 2 －ln a ＝ 0? a ＝2.a (0， 2) 2 (2，＋∞ )g ′(a) ＋0 －g(x)极大值g(a)的最大值为 g(2)＝ 2.③证明： 当 a ≥ 2 时， h(x)＝f(x)＋ (a － 2)x ＝2x ＋ aln x ＋ (a － 2)x ，ax － 2h ′(x)＝ x 2 ＋ a － 2≥ 0，所以 h(x)在 [1，＋ ∞ )上是增函数，故h(x) ≥h(1) ＝a ≥ 2.2当 a ＜ 2 时， h(x)＝ f(x)－ ( a － 2)x ＝ x ＋ aln x －(a －2)x ，h ′(x)＝ax － 2x 2 － a ＋ 2＝（（ 2－ a ）x ＋ 2）（ x － 1） x 2＝0，解得x ＝－2 ＜0或2－ ax ＝1， h(x)≥ h(1)＝ 4－ a ＞ 2，综上所述： h( x)≥ 2.利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程 f ′(x)＝0 的根，再检查 f ′(x)在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在状况，则转变为已知方程 f ′(x) ＝0 根的大小或存在状况来求解．(3)求函数 f(x)在闭区间 [ a ，b]的最值时，在获得极值的基础上， 联合区间端点的函数值 f(a)，f(b)与 f(x)的各极值进行比较获得函数的最值．[ 对点训练 ](2019 嵊·州模拟 )已知函数1 31 2f( x)＝ ln x ，g(x)＝x＋x ＋ mx ＋ n ，直线 l 与函数 f(x)，g(x) 的图32象都相切于点 (1， 0)．(1)求直线 l 的方程及 g(x)的分析式；(2)若 h(x)＝ f( x)－ g ′(x)(此中 g ′(x) 是 g(x)的导函数 )，求函数 h(x)的极大值．解： (1) 直线 l 是函数 f(x)＝ ln x 在点 (1， 0)处的切线，故其斜率 k ＝ f ′(1) ＝ 1，所以直线 l 的 方程为 y ＝x － 1.又由于直线 l与 g(x)的图象相切，且切于点 (1，1 31 20)，所以 g(x)＝ x ＋x ＋ mx32＋ n 在点 (1 ，0)处的导数值为 1，1 1m ＝－ 1，g （ 1）＝ 0，3＋ 2＋ m ＋ n ＝ 0，? ?所以1g ′（1）＝ 11＋ 1＋ m ＝ 1n ＝ 6，1 31 2 1所以 g(x)＝ x ＋2 x － x ＋ .36(2)由 (1)得 h(x)＝ f(x)－ g ′(x)＝ ln x － x 2－ x ＋ 1(x>0) ，所以 h ′(x)＝ 1－ 2x － 1＝ 1－ 2x 2－ x （ 2x － 1）（ x ＋ 1）.x ＝－xx1令 h ′(x)＝ 0，得 x ＝ 2或 x ＝－ 1(舍 )．10， 1当 0< x<2时， h ′(x)>0，即 h(x)在2 上单一递加； 11当 x>2时， h ′(x)<0 ，即 h(x)在2，＋ ∞ 上单一递减．1所以，当 x ＝ 2时， h(x)获得极大值，所以 h(x) 极大值 ＝ h 1 ＝ ln 1＋ 1＝ 1－ ln 2.22 4 4专题加强训练1．函数 f(x)＝1x 2－ ln x 的最小值为 () 21 B ． 1A. 2C． 0 D．不存在分析： 选 A. 由于 f ′(x)＝ x －1x 2－ 1＝ x ，且 x>0.令 f ′(x)>0 ，得 x>1；令 f ′(x)<0，得 0<x<1.所x1 1以 f(x)在 x ＝1 处获得最小值，且 f(1) ＝2 － ln 1＝ 2.2．已知 m 是实数，函数 f(x)＝ x 2(x － m)，若 f ′(－ 1)＝－ 1，则函数 f(x)的单一递加区间是 ()4A. －3，4B. 0，34C. －∞，－ 3 ， (0，＋∞ )4D. －∞，－ 3 ∪ (0，＋∞ )分析：选 C.由于 f ′(x)＝ 3x 2－ 2mx ，所以 f ′(－ 1)＝ 3＋2m ＝－ 1，解得 m ＝－ 2.所以 f ′(x)＝ 3x 2＋ 4x.由 f ′(x)＝ 3x 2＋ 4x>0，解得 x<－43或 x>0，即 f(x)的单一递加区间为4， (0，＋ ∞ )，应选 C. －∞，－ 33．已知 f(x)＝x 2＋ax ＋ 3ln x 在 (1，＋∞ )上是增函数，则实数a 的取值范围为 ()A ． (－∞，－ 2 6]B. －∞， 62C ． [－ 2 6，＋∞ )D ． [－ 5，＋∞ )32x 2＋ ax ＋ 3 g(x)＝ 2x 2＋分析： 选 C.由题意得 f ′(x)＝ 2x ＋a ＋＝x≥ 0 在 (1，＋ ∞ )上恒建立 ?xaax ＋ 3≥ 0 在 (1，＋ ∞ )上恒建立 ? 2－4≤1，－2 6≤ a ≤ 2 6或 a ≥－ 4? a＝ a － 24≤ 0 或?g （ 1） ≥ 0≥－2 6.4．(2019 台·州二模 )已知函数 f( x)＝ x 2＋ bx ＋c( b ， c ∈ R)， F(x)＝ f ′（ x ），若 F(x)的图象 xe在 x ＝ 0 处的切线方程为 y ＝－ 2x ＋ c ，则函数 f(x)的最小值是 ()A ． 2B ． 1C ． 0D ．－ 12x ＋ b 2－2x － b分析：选 C.由于 f ′(x)＝ 2x ＋b ，所以 F( x)＝ e x ，F ′(x)＝ ex，又 F(x)的图象在 x ＝ 0处的切线方程为 y ＝－ 2x ＋c ，F ′（0）＝－ 2， b ＝ c ，所以 f(x)＝ (x ＋2) 2≥0， f(x)min ＝ 0.所以F （ 0）＝ c ， 得b ＝ 4，5．(2019 温·州瑞安七校模拟 )已知函数 f(x)＝ ( x － x 1) ·(x － x )( x －x )(此中 x ＜ x ＜ x )， g(x)23123x－xα，β(α＜ β)．设 λ＝x 1＋ x 2x 2＋ x 3)＝ e － e，且函数 f(x)的两个极值点为， μ＝，则 (22A ． g(α)＜ g(λ)＜g(β)＜ g(μ)B ． g(λ)＜ g(α)＜g(β)＜g(μ)C ． g(λ)＜ g(α)＜g(μ)＜g(β)D ． g(α)＜ g(λ)＜g(μ)＜ g(β)分析： 选 D.由题意， f ′(x)＝ (x － x 1)(x － x 2)＋( x － x 2)(x － x 3)＋ (x － x 1)( x － x 3)，x ＋ x（ x － x ） 2由于 f ′( 1221＜ 0，2) ＝－4x 2＋x 3（ x 2－ x 3 ）2f ′( 2 )＝－4 ＜ 0，由于 f(x)在 (－ ∞， α)， (β，＋ ∞ )上递加， (α， β)上递减，所以 α＜ λ＜ μ＜β，由于 g(x)＝ e x － e－x单一递加，所以 g(α)＜ g(λ)＜ g(μ)＜ g(β)．应选 D.2b＋ a ，x ∈ [a ，＋∞ )，其 6．(2019 宁·波诺丁汉大学附中高三期中考试 )已知函数 f(x)＝ x ＋ x 中 a ＞ 0， b ∈ R ，记 m(a ， b)为 f(x) 的最小值，则当 m(a ， b)＝ 2 时， b 的取值范围为 ()11A ． b ＞3B ． b ＜ 31 1C ． b ＞ 2D ． b ＜ 22b分析： 选 D.函数 f(x)＝ x ＋ x ＋a ， x ∈ [a ，＋ ∞ )，2b 导数 f ′(x)＝ 1－ x 2 ，当 b ≤ 0 时， f ′(x)＞ 0， f(x)在 x ∈ [a ，＋ ∞) 递加，可得 f(a)获得最小值，2b2b且为 2a ＋ a ，由题意可得 2a ＋ a ＝ 2， a ＞0， b ≤ 0 方程有解；当 b ＞ 0 时，由 f ′(x)＝ 1－ x 2 ＝0，可得 x ＝ 2b(负的舍去 )，当 a ≥ 2b 时， f ′(x)＞ 0， f(x)在 [a ，＋ ∞ )递加，可得 f( a)为最小值，2b且有 2a ＋ a ＝ 2， a ＞ 0， b ＞ 0，方程有解；当 a ＜ 2b 时， f(x)在 [a ， 2b] 递减，在 ( 2b ，＋ ∞ )递加，可得 f( 2b)为最小值，且有a ＋ 2 2b ＝ 2，即 a ＝ 2－ 2 2b ＞0，1解得 0＜ b ＜2.1综上可得 b 的取值范围是 (－∞， 2)． 应选 D.2x 2＋ 3x7．(2019 浙·江 “ 七彩阳光 ”结盟模拟 )函数 f(x)＝ 2ex 的大概图象是 ()3－ 2x 2＋ x ＋ 3分析： 选 B. 由 f(x)的分析式知有两个零点x ＝－ 2与 x ＝ 0，清除 A ，又 f ′(x)＝2e x，由 f ′(x)＝ 0 知函数有两个极值点，清除 C ，D ，应选 B.8．(2019 成·都市第一次诊疗性检测 ) 已知曲线 C 1：y 2＝ tx(y>0，t>0) 在点 M4， 2 处的切线t与曲线 C 2： y ＝ e x ＋1＋ 1 也相切，则 t 的值为 () A ． 4e2B ． 4eC.e 2D.e44分析：选 A. 由 y ＝ tx ，得 y ′＝ttt42 tx ，则切线斜率为 k ＝ 4，所以切线方程为 y －2＝ 4 x － t ，即 y ＝ tx ＋1.设切线与曲线 y ＝ e x ＋1 ＋1 的切点为 (x 0，y 0)．由 y ＝e x ＋ 1＋ 1，得 y ′＝ e x ＋1，则由 ex 0 4tt tt t t＋ 1＝ 4，得切点坐标为 ln 4－ 1，4＋ 1 ，故切线方程又可表示为 y － 4－ 1＝4 x － ln 4＋ 1 ，即y ＝ t x － t ln t ＋ t＋ 1，所以由题意，得－t ln t ＋ t ＋ 1＝ 1，即 ln t＝ 2，解得 t ＝ 4e 2，应选 A. 44 4 24 4 2 49．(2019 金·华十校高考模拟2 3 23 的)已知函数 f(x)＝ x － x ＋ ax － 1，若曲线存在两条斜率为3切线，且切点的横坐标都大于 0，则实数 a 的取值范围为 ____________ ．分析：由题意知， f(x) ＝3x3－ x2＋ax－ 1 的导数f′(x)＝ 2x2－ 2x＋ a.＝4－ 8（a－ 3）＞ 02x2－ 2x＋ a＝ 3 有两个不等正根，则1，2（ a－ 3）＞ 07得 3＜ a＜2.答案：73，210． (2019 湖·州市高三期末 ) 定义在 R 上的函数 f(x)知足： f(1) ＝1，且关于随意的x∈R ，都有 f′(x)＜1，则不等式 f(log 2log2x＋1的解集为 ________．2 x)＞ 21分析：设 g(x)＝ f(x) －2x，1由于 f′(x)＜2，所以 g′(x)＝ f′(x)－12＜ 0，所以 g(x)为减函数，又f(1) ＝ 1，2log x＋1 1 2 1所以 f(log x)＞2＝2log x＋2，21 1即 g(log 2x)＝ f(log 2x)－2log2x＞21＝g(1) ＝ f(1)－2＝ g(log 22)，所以 log2 x＜log 22，又 y＝ log2x 为底数是 2 的增函数，所以 0＜ x＜ 2，log x＋ 1则不等式 f(log 2 x)＞2的解集为 (0， 2)．2答案： (0， 2)11． (2019 ·兴、诸暨高考二模绍)已知函数 f( x)＝ x3－ 3x，函数 f(x)的图象在 x＝ 0 处的切线方程是 ________；函数 f(x)在区间 [0， 2]内的值域是 ________．分析：函数 f(x)＝ x3－ 3x，切点坐标 (0， 0)，导数为 y′＝ 3x2－ 3，切线的斜率为－3，所以切线方程为y＝－ 3x；3x 2－ 3＝0，可得 x ＝ ±1， x ∈ (－ 1， 1)， y ′＜0，函数是减函数， x ∈ (1，＋ ∞) ，y ′＞0 函数是增函数， f(0) ＝ 0， f(1) ＝－ 2， f(2)＝ 8－6＝ 2，函数 f(x)在区间 [0， 2]内的值域是 [ － 2， 2]． 答案： y ＝－ 3x [－ 2， 2]12． (2019 台·州市高三期末考试 )已知函数 f(x)＝ x 2－ 3x ＋lnx ，则 f(x)在区间 [1， 2]上的最2小值为 ________；当 f(x)取到最小值时， x ＝ ________．2x 2－ 3x ＋1分析： f ′(x)＝ 2x － 3＋1＝x (x ＞ 0)，x1令 f ′(x)＝ 0，得 x ＝2， 1，1当 x ∈ (2， 1)时， f ′(x)＜ 0， x ∈ (1， 2)时， f ′(x)＞ 0，1所以 f(x)在区间 [2， 1]上单一递减，在区间[1， 2]上单一递加，1所以当 x ＝ 1 时， f(x)在区间 [2 ， 2] 上的最小值为 f(1)＝－ 2. 答案： －2113． (2019 ·山二模唐 )已知函数 f(x)＝ ln x － nx(n>0) 的最大值为 g(n)，则使 g(n)－ n ＋ 2>0 建立的 n 的取值范围为 ________．分析： 易知 f(x)的定义域为 (0，＋ ∞)．1由于 f ′(x)＝ x － n(x>0， n>0)，当 x ∈1 0， n时， f ′(x)>0 ，当 x ∈1n ，＋ ∞ 时， f ′(x)<0 ，11 所以 f(x)在0， n 上单一递加，在n ，＋ ∞ 上单一递减，所以f(x)的最大值g(n)＝ f1n ＝－ ln n － 1.设h(n)＝ g(n)－ n ＋ 2＝－ ln n － n ＋ 1.由于1h ′(n)＝－ n － 1<0 ，所以 h(n)在 (0，＋ ∞ )上单一递减．又h(1) ＝ 0，所以当 0<n<1 时， h(n)>h(1)＝ 0，故使 g(n)－ n ＋ 2>0 建立的 n 的取值范围为 (0， 1)．答案： (0， 1)14．(2019 ·江东阳中学期中检测浙)设函数 f( x)＝ e x(2x－ 1)－ ax＋ a，此中 a<1，若存在独一的整数 x0，使得 f( x0)<0，则 a 的取值范围是 ________．分析：设 g(x)＝ e x(2x－ 1)，y＝ ax－ a，由题意存在独一的整数x0，使得 g(x0)在直线 y＝ax － a 的下方，由于 g′(x)＝ e x(2x＋ 1)，所以当 x<－12时， g′(x)<0，当 x>－12时， g′(x)>0，1 1所以当 x＝－2时， g(x)min＝－ 2e－2，当 x＝ 0 时， g(0)＝－ 1， g(1)＝ e>0，直线 y＝ ax－a 恒过 (1， 0)，斜率为a，故－ a>g(0)＝－ 1，且g(－ 1)＝－ 3e－1≥ －a－ a，解得3≤ a<1.2e3答案：2e≤ a<11 3 ax 2 ， f(0)) 处的切线方程为 y＝ 1.15．设函数 f(x)＝ x －＋ bx＋ c，曲线 y＝ f(x)在点 (03 2(1)求 b， c 的值；(2)若 a＞ 0，求函数 f(x)的单一区间；(3)设函数 g(x)＝ f(x)＋ 2x，且 g(x)在区间 (－ 2，－ 1)内存在单一递减区间，务实数 a 的取值范围．解： (1) f′(x) ＝ x2－ ax＋b，f （ 0）＝ 1，c＝ 1，由题意得即f ′（0）＝ 0，b＝ 0.(2)由 (1)得， f′(x)＝ x2－ax＝ x(x－ a)(a＞ 0)，当 x∈ (－∞， 0)时， f ′(x)＞ 0；当 x∈ (0， a)时， f′(x)＜ 0；当 x∈ ( a，＋∞ )时， f ′(x)＞ 0.所以函数f(x) 的单一递加区间为(－∞， 0)， (a，＋∞ )，单一递减区间为(0， a) ．(3)g′(x)＝ x2－ ax＋ 2，依题意，存在x∈ (－ 2，－ 1) ，使不等式g′(x)＝ x2－ ax＋ 2＜ 0 建立，2即 x∈ (－ 2，－ 1)时， a＜ x＋x max＝－ 22，2当且仅当x＝x即 x＝－2时等号建立．所以知足要求的 a 的取值范围是(－∞，－ 2 2)．16． (2019 ·江金华十校第二学期调研浙) 设函数 f(x) ＝e x－ x， h( x)＝－ kx3＋ kx2－x＋ 1.(1)求 f(x)的最小值；(2)设 h(x)≤ f( x)对随意 x∈ [0， 1]恒建即刻k 的最大值为λ，证明：4＜λ＜6.解： (1) 由于 f(x)＝ e x－ x，所以 f ′(x)＝ e x－ 1，当 x∈ (－∞， 0)时， f ′(x)＜ 0， f(x)单一递减，当 x∈ (0，＋∞ )时， f ′(x)＞ 0， f(x)单一递加，所以 f(x)min＝ f(0) ＝1.(2)证明：由 h(x)≤ f(x)，化简可得k(x2－ x3)≤e x－ 1，当 x＝ 0， 1 时， k∈ R，e x－1当 x∈ (0， 1)时， k≤x2－x3，要证： 4＜λ＜ 6，则需证以下两个问题；e x－ 1①x2－x3＞ 4 对随意 x∈ (0 ，1)恒建立；ex0－ 1②存在 x0∈ (0， 1)，使得x2－x3＜ 6 建立．00e x－ 1先证：①x2－x3＞ 4，即证 e x－1＞ 4(x2－ x3)，由(1) 可知， e x－ x≥1 恒建立，所以 e x－ 1≥ x，又 x≠0，所以 e x－ 1＞ x，即证 x≥ 4(x2－ x3)? 1≥4(x－ x2)? (2x－ 1)2≥ 0，(2x－ 1)2≥ 0，明显建立，e x－ 1所以x2－x3＞4对随意 x∈ (0， 1)恒建立；ex － 1再证②存在 x0 ∈ (0， 1) ，使得 2 3＜6 建立．x － x0 01e－ 1 7取 x0＝2，1 1＝ 8( e－ 1)，由于 e＜4，4－83所以 8(e－1) ＜8×4＝ 6，ex0－ 1所以存在x0∈ (0， 1)，使得2 3 ＜6，x0－ x0由①② 可知， 4＜λ＜6.a217．(2019 宁·波市高考模拟) 已知 f(x)＝ x＋x，g( x)＝ x＋ln x，此中 a＞0.若对随意的x1，x2 ∈ [1， e]都有 f(x1)≥ g( x2)建立，务实数 a 的取值范围．解：对随意的x1， x2∈ [1， e]都有 f(x1)≥ g(x2)? 当 x∈ [1， e]有 f(x) min≥g( x)max，1当 x∈ [1， e]时， g′(x)＝ 1＋x＞ 0，所以 g(x)在 x∈ [1， e]上单一递加，所以 g(x) max＝ g(e)＝e＋ 1.a2x2－a2当 x∈ [1， e]时， f′(x)＝1－x2＝x2，由于 a＞ 0，所以令 f′(x)＝ 0 得 x＝a.①当 0＜ a＜1 时， f′(x)＞0，所以 f(x)在 [1， e]上单一递加，所以 f(x)min＝ f(1) ＝a2＋1.令 a2＋ 1≥ e＋ 1 得 a≥ e，这与 0＜ a＜ 1 矛盾．②当 1≤ a≤e 时，若 1≤x＜ a，则 f′(x)＜0，若 a＜ x≤ e，则 f′(x)＞ 0，所以 f(x)在 [1， a]上单一递减，在[a， e]上单一递加，e＋ 1所以 f(x)min＝ f(a)＝2a，令 2a≥e＋ 1 得 a≥2，又 1≤ a≤ e，e＋ 1所以2≤ a≤e.③当 a＞ e 时， f ′(x)＜ 0，所以 f( x)在 [1， e]上单一递减，a2所以 f(x)min＝ f(e)＝ e＋e .a2令 e＋e≥ e＋ 1 得 a≥ e，又 a＞ e，所以 a＞ e.综合①②③得，所务实数 a 的取值范围是e＋ 12 ，＋∞. －x － 118． (2019 宁·波九校联考 )已知函数 f(x)＝ e .1＋ x－1；(1)证明：当 x∈ [0， 3]时， e x≥1＋9x(2)证明：当x∈ [2， 3]时，－27＜ f(x) ＜ 0.证明： (1) 要证 e－x≥1，也即证 e x≤ 1＋ 9x. 1＋9x令 F(x)＝ e x－ 9x－1，则 F′(x)＝ e x－9.令 F ′(x)＞ 0，则 x＞ 2ln 3.所以，当 0≤ x＜ 2ln 3 时，有 F′(x)＜ 0，故 F(x)在 [0，2ln 3) 上单一递减；当 2ln 3＜ x≤ 3 时，有 F′(x)＞ 0，故 F(x)在 [2ln 3 ， 3]上单一递加．所以， F(x)在 [0， 3]上的最大值为max{ F(0)， F(3)} ．又 F(0)＝ 0， F(3) ＝ e3－ 28＜ 0.故 F(x)≤0， x∈ [0， 3]建立，即 e x≤ 1＋ 9x， x∈ [0， 3]建立．原命题得证．(2)由 (1)得：当 x∈ [2， 3]时， f(x)＝ e－x－ 1 ≥ 1 － 1 .1＋ x 1＋ 9x 1＋ x1 1令 t(x)＝－，1＋ 9x 1＋ x则 t′(x) ＝－ (1＋ 9x) －2·9＋ (1＋ x) －2＝12－92＝（ 1＋9x）2－ 9（ 1＋ x）22 2＝（ 1＋ x）（ 1＋ 9x）（1＋ 9x）（ 1＋x）72x 2－8≥ 0，x ∈ [2， 3]．（ 1＋ 9x ）2（1＋ x ） 21616 2 所以， t(x)在 [2， 3]上单一递加，即 t(x)≥ t(2)＝－ 57＞－ 56＝－7 ， x ∈ [2， 3]，所以 f(x)＞－ 2得证． 7下证 f(x)＜ 0.即证 e x ＞ x ＋ 1令 h(x)＝ e x － (x ＋ 1)则 h ′(x)＝e x － 1＞0，所以 h(x)在 [2， 3]上单一递加，所以， h(x)＝ e x － (x ＋ 1)≥e 2 －3＞ 0，得证．11 2另证：要证 1＋ 9x － 1＋x ＞－7，即证 9x 2－ 18x ＋1＞ 0，令 m(x)＝ 9x 2－ 18x ＋1＝ 9(x － 1)2－ 8 在 [2，3] 上递加，所以 m(x)≥ m(2) ＝ 1＞ 0 得证．。

考点 考 情椭 圆 1.对椭圆的考查以椭圆的标准方程及几何性质为主要考查对象，有时也考查椭圆定义的应用，尤其要熟记椭圆中参数a ，b ，c 之间的内在联系及其几何意义．2.对于双曲线的考查主要有两种形式：一是求双曲线方程；二是通过方程研究双曲线的性质，如20XX 年新课标全国卷 Ⅰ T 4,20XX 年浙江T 9.3.高考对抛物线定义的考查主要体现在抛物线的标准方程、焦点等问题上，考查方程主要有两个方面，一是用定义或待定系数法求抛物线方程；二是利用抛物线方程研究几何性质，如20XX 年新课标全国卷 Ⅱ T 11.4.圆锥曲线综合问题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，如20XX 年天津T5.双 曲 线 抛 物 线圆锥曲线的综合问题1．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：选C 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .又离心率为e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .2．(2013·浙江高考)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：选D 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意得a 2＋b 2＝3＝c 2②，则|OA |＝c ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62.3．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM ＝⎝⎛⎭⎫y 22p ，y 0－2.由已知得，AF ·AM ＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4.由|MF |＝5得，⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8.4．(2013·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p＞0)的准线分别交于A, B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3， 则p ＝( )A ．1 B.32 C ．2D ．3解析：选C 因为双曲线的离心率e ＝ca＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p2相交于A⎝⎛⎭⎫－p 2，32p，B⎝⎛⎭⎫－p2，－32p，所以△AOB的面积为12×p2×3p＝3，又p＞0，所以p＝2.1．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M 标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2＝2px(p＞0) 图像几何性质离心率e＝ca＝1－b2a2(0＜e＜1)e＝ca＝1＋b2a2(e＞1)e＝1 渐近线y＝±ba x设而不求，根据韦达定理，进行整体代入．即当直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|，而|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2.3．抛物线的过焦点的弦长抛物线y2＝2px(p＞0)的过焦点F⎝⎛⎭⎫p2，0的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.同样可得抛物线y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py类似的性质．热点一圆锥曲线定义及标准方程[例1](1)(2013·广东高考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，则C的方程是()A.x24－y25＝1 B.x24－y25＝1C.x 22－y 25＝1D.x 22－y 25＝1 (2)设F 1，F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1(3)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．[自主解答] (1)由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝ c 2－a 2＝32－22＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.(2)连接PF 2、OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)，|MT |＝12|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－a 2＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝⎛⎭⎫12|PF 1|－3－⎝⎛⎭⎫12|PF 1|－4＝1. (3)直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离．故本题可化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1,0)和直线l 1的距离之和最小．如图所示，距离之和的最小值为焦点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d m in ＝|4－0＋6|5＝2.[答案] (1)B (2)D (3)2互动探究本例(3)中把直线l 1换成点A (2,3)，如何求点P 到点A 和直线l 2的距离之和的最小值？ 解析：直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线焦点F (1,0)的距离．故本题可以转化为在抛物线上找一个点P ，使得|P A |＋|PF |最小，即|AF |为所求，A (2,3)，F (1,0)，|AF |＝(2－1)2＋32＝10.答案：10 ——————————规律·总结——————————————————————圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．(1)定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)．1．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C 因为c 2＝2＋2＝4，所以c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题意可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，|PF 1|＝2|PF 2|，所以|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34. 2．已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2过双曲线的一个焦点，所以c ＝2，又离心率为2，所以a ＝1，b ＝c 2－a 2＝3，所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝1热点二圆锥曲线的几何性质[例2] (1)(2013·山东高考)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233D.433(2)(2013·福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．[自主解答] (1)抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为x 2＋2y p ＝1.双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .对函数y ＝12p x 2求导，得y ′＝1p x .设M (x 0，y 0)，则1p x 0＝33，即x 0＝33p ，代入抛物线方程得，y 0＝16p .由于点M 在直线x 2＋2yp ＝1上，所以36p ＋2p ×p 6＝1，解得p ＝43＝433. (2)直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c ＝3－1.[答案] (1)D (2)3－1——————————规律·总结——————————————————————两类离心率问题(1)椭圆的离心率：e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2，ba ＝ 1－e 2； (2)双曲线的离心率：e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，ba＝ e 2－1.3．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D ∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴ca＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝⎛⎭⎫0，p2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.解析：设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5.连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|BF |＝|AF 1|＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.答案：57热点三直线与圆锥曲线的位置关系[例3] (1)(2013·安徽高考)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．(2)(2013·东城模拟)已知抛物线y 2＝2px的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32[自主解答] (1)法一：设直线y ＝a 与y 轴交于点M ，抛物线y ＝x 2上要存在点C ，只要以|AB |为直径的圆与抛物线y ＝x 2有交点即可，也就是使|AM |≤|MO |，即a ≤a (a >0)，所以a ≥1.法二：易知a >0，设C (m ，m 2)，由已知可令A (a ，a )，B (－a ，a )，则AC ＝(m －a ，m 2－a )，BC ＝(m ＋a ，m 2－a )，因为AC ⊥BC ，所以m 2－a ＋m 4－2am 2＋a 2＝0，可得(m 2－a )(m 2＋1－a )＝0.因为由题易知m 2≠a ，所以m 2＝a －1≥0，故a ∈[1，＋∞)．(2)由题意知，抛物线焦点坐标为(4,0)．作AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知|AA ′|＝|AF |，所以在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°.此时不妨认为直线AK 的倾斜角为45°，则直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y 2＝16x 中，得y 2＝16(y －4)，即y 2－16y ＋64＝0，解得y ＝8，点A 的坐标为(4,8)，故△AFK 的面积为12×8×8＝32.[答案] (1)[1，＋∞) (2)D——————————规律·总结——————————————————————求解直线与圆锥曲线的位置关系的方法在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后所得方程的根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本方法．5．已知点A (1,0)，椭圆C ：x 24＋y 23＝1，过点A 作直线交椭圆C 于P ，Q 两点，AP ＝2QA ，则直线PQ 的斜率为( )A.52B.252C ．±255D ．±52解析：选D 设点P ，Q 坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则AP ＝(x 1－1，y 1)，QA ＝(1－x 2，－y 2)．因为AP ＝2QA ，所以x 1－1＝2(1－x 2)，整理得x 1＋2x 2＝3 ①.设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x －1)，代入椭圆方程，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.于是x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3 ②，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3③.联立①②③，解得k ＝±52.6．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(2,2)，则直线l 的方程为________．解析：由已知得抛物线的方程为y 2＝4x .当直线l 的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，点(2,2)不可能是AB 的中点，故直线l 的斜率存在，设其为k ，则直线l 的方程为y －2＝k (x －2)且k ≠0，与抛物线方程联立得y 2－4⎝⎛⎭⎪⎫y －2k ＋2＝0，即y 2－4k y ＋8k －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，又因为y 1＋y 22＝2，即2k ＝2，解得k ＝1，故所求的直线方程是y －2＝x －2，即y ＝x .答案：y ＝x。

第1讲 直线与圆[做真题]题型一 圆的方程1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2解析：选A.由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43. 2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为(x－32)2＋y 2＝254. 答案：(x －32)2＋y 2＝2543．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2，6]，即△ABP 面积的取值范围是[2，6]．2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解析：选C.设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，所以|MN |＝46，故选C.3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即||3m －3m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |cos 30°＝4.答案：4[山东省学习指导意见]1．直线与方程(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(2)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．体会斜截式与一次函数的关系．(3)探索并掌握两点间的距离公式．点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离，会求两直线的交点坐标．2．圆与方程(1)由圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． (2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．空间直角坐标系了解空间直角坐标系，明确感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式．直线的方程 [考法全练]1．若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B ．2－52或0C ．2±52D ．2＋52或0解析：选A.因为平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，所以k AB ＝k AC ，即a 2＋a2－1＝a 3＋a 3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1±2.故选A. 2．若直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，则m 的值为( ) A ．7 B ．0或7 C ．0D ．4解析：选B.因为直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，所以m (m －1)＝3m ×2，所以m ＝0或7，经检验，都符合题意．故选B.3．已知点A (1，2)，B (2，11)，若直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2，0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0，6]C ．[－2，－1]∪[3，6]D ．[－2，0)∪(0，6]解析：选C.由题意得，两点A (1，2)，B (2，11)分布在直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以⎝⎛⎭⎫m －6m －2＋1⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C.4．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为__________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1，2)．显然直线x ＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0，4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k 2＝2，所以k ＝0或k ＝43.所以直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝05．(一题多解)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于直线l 对称，则直线l 2的方程是________．若直线l 3与l 关于点(1，1)对称，则直线l 3的直线方程是________．解析：法一：l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任意一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1，0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上的一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则 ⎩⎨⎧x 2－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.即(1，0)，(－1，－1)为l 2上两点，故可得l 2的方程为x －2y －1＝0. 因为l 3∥l ，可设l 3的方程为x －y ＋c ＝0，则 |1－1－1|2＝|1－1＋c |2. 所以c ＝±1，所以l 3的方程为x －y ＋1＝0.法二：设l 2上任一点为(x ，y )，其关于l 的对称点为(x 1，y 1)，则由对称性可知 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12－y ＋y 12－1＝0，y －y1x －x 1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y ＋1，y 1＝x －1.因为(x 1，y 1)在l 1上，所以2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即l 2的方程为x －2y －1＝0. 因为l 3∥l ，可设l 3的方程为x －y ＋c ＝0，则 |1－1－1|2＝|1－1＋c |2. 所以c ＝±1，所以l 3的方程为x －y ＋1＝0. 答案：x －2y －1＝0 x －y ＋1＝0(1)两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．(2)轴对称问题的两种类型及求解方法圆的方程 [典型例题]在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． (2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．【解】 由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0. 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则可得Δ＝m 2－8m >0，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m . 令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0或m ＝－12.由Δ>0得m <0或m >8，所以m ＝－12，此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－14，0即圆心，半径r ＝|CM |＝174， 故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋y 2＝1716. (2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0， 将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0， 整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)和⎝⎛⎭⎫25，45.求圆的方程的2种方法[对点训练]1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．⎝⎛⎭⎫－23，0 C ．(－2，0)D ．⎝⎛⎭⎫－2，23 解析：选D.若方程表示圆，则a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，化简得3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.2．经过原点且与直线x ＋y －2＝0相切于点(2，0)的圆的标准方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4解析：选A.设圆心的坐标为(a ，b )，则a 2＋b 2＝r 2①，(a －2)2＋b 2＝r 2②，ba －2＝1③，联立①②③解得a ＝1，b ＝－1，r 2＝2.故所求圆的标准方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选A.3．(2019·山东青岛模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0，若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →＝－6(其中O 为坐标原点)，则圆M 的半径为( )A ． 5B ． 6C ．7D ．2 2解析：选C.圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1－a (a <1)，圆心M (1，0)，则|OM |＝1，因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA →＝－MB →，且|MA →|＝|MB →|＝r ，则OA →·OB →＝(OM →＋MA →)·(OM →＋MB →)＝(OM →－MB →)·(OM →＋MB →)＝OM →2－MB →2＝1－r 2＝－6，所以r 2＝7，得r ＝7，所以圆的半径为7，故选C.直线与圆、圆与圆的综合问题[典型例题]命题角度一 切线问题已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A ．⎝⎛⎭⎫12，14B ．⎝⎛⎭⎫14，12C ．⎝⎛⎭⎫34，0D ．⎝⎛⎭⎫0，34【解析】 因为点P 是直线x 4＋y2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为P A ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．所以圆心C 的坐标是⎝⎛⎭⎫2－m ，m2，且半径的平方r 2＝（4－2m ）2＋m 24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2＋⎝⎛⎭⎫y －m 22＝（4－2m ）2＋m 24，① 又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫14，12.故选B. 【答案】 B过一点求圆的切线方程的方法(1)过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法若切线斜率存在，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k (k ≠0)，由垂直关系知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则可由图形写出切线方程x ＝x 0.(2)过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法当切线斜率存在时，设切线斜率为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当切线斜率不存在时要加以验证．命题角度二 弦长问题已知圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)过点(0，1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．【解】 (1)设圆心C (a ，a )，半径为r ，因为圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，即（a ＋2）2＋（a －0）2＝（a －0）2＋（a －2）2＝r ，解得a ＝0，r ＝2，故所求圆C的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设圆心C 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S .因为直线l ，l 1都经过点(0，1)，且l 1⊥l ，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1.又|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21， 所以S ＝12|PQ |·|MN |＝12×2×4－d 2×2×4－d 21 ＝216－4（d 21＋d 2）＋d 21d 2＝212＋d 21d 2≤212＋⎝⎛⎭⎫d 21＋d 222＝212＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立， 所以四边形PMQN 面积的最大值为7.求解圆的弦长的3种方法命题角度三 直线与圆的综合问题已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为2 3.点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求BA 1→·BA 2→； (3)求证：|AN |·|BM |为定值．【解】 (1)易知圆心C 在线段AB 的中垂线y ＝x 上， 故可设C (a ，a )，圆C 的半径为r .因为直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为23，且r ＝a 2＋（a －2）2， 所以C (a ，a )到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|7a ＋5|5＝r 2－3＝2a 2－4a ＋1，所以a ＝0或a ＝170.又圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，所以a ＝0，此时r ＝2，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)将y ＝x ＋1代入x 2＋y 2＝4得2x 2＋2x －3＝0. 设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－32.所以BA 1→·BA 2→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝－3＋1＋5＝3.(3)证明：当直线P A 的斜率不存在时，|AN |·|BM |＝8. 当直线P A 与直线PB 的斜率都存在时，设P (x 0，y 0)， 直线P A 的方程为y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0得M ⎝⎛⎭⎫2x 02－y 0，0.直线PB 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得N ⎝⎛⎭⎫0，2y 02－x 0.所以|AN |·|BM |＝⎝⎛⎭⎫2－2y 02－x 0⎝⎛⎭⎫2－2x 02－y 0＝4＋4⎣⎡⎦⎤y 0x 0－2＋x 0y 0－2＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2）＝4＋4×y 20－2y 0＋x 20－2x 0＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2）＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2）＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 04－2y 0－2x 0＋x 0y 0＝8，综上，|AN |·|BM |为定值8.讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．[对点训练]1．自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.2．(2019·江苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为________________，圆C被x轴截得的弦长为________________．解析：将已知圆化为标准式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为3 2.由于两个圆相切于原点，圆心连线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0，0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x ＋8y＝0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为2×（42）2－42＝8.答案：x2＋y2＋8x＋8y＝083．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与y轴相切，且过点M(1，3)，N(1，－3)．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积为－2.求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标．解：(1)因为圆C过点M(1，3)，N(1，－3)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线上，即在x轴上，故设圆心为C(a，0)，易知a>0，又圆C与y轴相切，所以圆C的半径r＝a，所以圆C的方程为(x－a)2＋y2＝a2.因为点M(1，3)在圆C上，所以(1－a )2＋(3)2＝a 2，解得a ＝2. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)记直线OA 的斜率为k (k ≠0)， 则其方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋y 2＝4，y ＝kx ，消去y ，得(k 2＋1)x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝4k 2＋1.所以A ⎝⎛⎭⎫4k 2＋1，4kk 2＋1.由k ·k OB ＝－2，得k OB ＝－2k ，直线OB 的方程为y ＝－2k x ，在点A 的坐标中用－2k 代替k ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2k 2＋4，－8k k 2＋4. 当直线l 的斜率不存在时，4k 2＋1＝4k 2k 2＋4，得k 2＝2，此时直线l 的方程为x ＝43.当直线l 的斜率存在时，4k 2＋1≠4k 2k 2＋4，即k 2≠2.则直线l 的斜率为4kk 2＋1－－8k k 2＋44k 2＋1－4k 2k 2＋4＝4k （k 2＋4）＋8k （k 2＋1）4（k 2＋4）－4k 2（k 2＋1）＝3k （k 2＋2）4－k 4＝3k2－k 2. 故直线l 的方程为y －4k k 2＋1＝3k 2－k 2⎝⎛⎭⎫x －4k 2＋1.即y ＝3k 2－k 2⎝⎛⎭⎫x －43，所以直线l 过定点⎝⎛⎭⎫43，0. 综上，直线l 恒过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫43，0.一、选择题1．已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D ．⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选C.直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x ＋2），y ＝－3（x －2），解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．2．圆C 与x 轴相切于T (1，0)，与y 轴正半轴交于A 、B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：选A.由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B.圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，M (0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．4．(多选)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是( )A ．0<m <1B ．m <1C ．－2<m <1D ．－3<m <1解析：选AC.圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心为(1，0)，半径为 2.因为直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d ＝|1＋m |1＋1<2，所以|1＋m |<2，解得－3<m <1，求其充分不必要条件，即求其真子集，故由选项易得AC 符合，故选AC.5．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A ．102B ．10C ．5D ．10解析：选D.由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.6．(一题多解)(2019·潍坊模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C.法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM →＝OA →＋OB →，故M ⎝⎛⎭⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4（k 2＋1）2＋4k2（k 2＋1）2＝4，解得k ＝0. 法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，且点M 在圆C 上，得圆心C (0，0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k 2＝1，解得k ＝0. 二、填空题7．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1， 所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12， 当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22， 于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－338．已知圆O ：x 2＋y 2＝4到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为________．解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O 到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)．答案：(－32，32)9．(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－（－2）×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.答案：－2 5三、解答题10．已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )， 由题意得（x ＋1）2＋y 2＝3·（x －1）2＋y 2， 整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求．(2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝⎛⎭⎫t ＋22，t －22， 由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝⎛⎭⎫t ＋22－12＋⎝⎛⎭⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝⎛⎭⎫t 22＋⎝⎛⎭⎫t －222＝3－（t －2）22，整理得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3， 所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m2，y －12＝x 2（x －x22），又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m 2，－12)，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－（m2）2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1，得圆心C (3，2)，又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，又因为点A (0，3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－34， 所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上， 所以设圆心C 为(a ，2a －4)， 又因为圆C 的半径为1，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有 x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ，所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点，所以2－1≤a 2＋（2a －4＋1）2≤2＋1，解得0≤a ≤125，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.。