深入探析快速傅立叶变换(FFT)

⽂中内容均为个⼈理解，如有错误请指出，不胜感激前⾔先解释⼏个⽐较容易混淆的缩写吧FMT 快速莫⽐乌斯变化—>感谢stump提供多项式复数在介绍复数之前，⾸先介绍⼀些可能会⽤到的东西(好像画的不是很标准。

)定义设a ,b 为实数，i 2=−1，形如a +bi 的数叫复数，其中i 被称为虚数单位，复数域是⽬前已知最⼤的域在复平⾯中，x 代表实数，y 轴（除原点外的点）代表虚数，从原点(0,0)到(a ,b )的向量表⽰复数a +bi模长：从原点(0,0)到点(a ,b )的距离，即√a 2+b 2幅⾓：假设以逆时针为正⽅向，从x 轴正半轴到已知向量的转⾓的有向⾓叫做幅⾓运算法则加法：因为在复平⾯中，复数可以被表⽰为向量，因此复数的加法与向量的加法相同，都满⾜平⾏四边形定则（就是上⾯那个）乘法：⼏何定义：复数相乘，模长相乘，幅⾓相加代数定义：(a +bi )∗(c +di )=ac +adi +bci +bdi 2=ac +adi +bci −bd=(ac −bd )+(bc +ad )i单位根下⽂中，默认n 为2的正整数次幂在复平⾯上，以原点为圆⼼，1为半径作圆，所得的圆叫单位圆。

以圆点为起点，圆的n 等分点为终点，做n 个向量，设幅⾓为正且最⼩的向量对应的复数为ωn ，称为n 次单位根。

根据复数乘法的运算法则，其余n −1个复数为ω2n ,ω3n ,…,ωn n 注意ω0n =ωn n =1（对应复平⾯上以x 轴为正⽅向的向量）那么如何计算它们的值呢？这个问题可以由欧拉公式解决ωk n =cos k ∗2πn +i sin k ∗2πn例如图中向量AB 表⽰的复数为8次单位根单位根的幅⾓为周⾓的1n在代数中，若z n =1，我们把z 称为n 次单位根单位根的性质ωk n =cos k2πn +i sin k 2πn （即上⾯的公式）ω2k 2n =ωk n证明：ω2k 2n =cos2k ∗2π2n +i sin2k ∗2π2n =ωk nωk +n2n =−ωk n ωn2n =cos n 2∗2πn +i sin n 2∗2πn =cos π+i sin π=−1ω0n =ωn n =1讲了这么多，貌似跟我们的正题没啥关系啊。

快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换（FFT）是一种计算傅里叶变换的快速算法，它将傅里叶变换的复杂度从O(n^2)降低到O(n log n)，大大提高了计算效率。

快速傅里叶变换的原理是基于分治法和递归的思想，通过将一个长度为N的离散序列分成两个长度为N/2的子序列，然后将这些子序列分别进行快速傅里叶变换，最后再将它们合并起来，从而得到原序列的傅里叶变换结果。

快速傅里叶变换的原理可以通过以下步骤详细解释：1. 初始化：首先将输入的N个复数序列x(n)进行重排，以便使得序列中的奇数项和偶数项可以分别在计算时被独立处理。

这一步可以使用位逆序排列（bit-reversal permutation）算法来实现，将输入序列中的元素按照其二进制位反转的方法进行重新排列，使得后续计算能够高效地进行。

2. 分治处理：将N个复数序列x(n)分成两个长度为N/2的子序列，分别记为偶数项序列x_e(n)和奇数项序列x_o(n)。

分别对这两个子序列进行快速傅里叶变换，得到它们的傅里叶变换结果X_e(k)和X_o(k)。

3. 合并结果：利用蝶形算法（butterfly algorithm）将两个子序列的傅里叶变换结果X_e(k)和X_o(k)合并起来，得到原序列的傅里叶变换结果X(k)。

蝶形算法是一种迭代的方法，通过不断的蝶形运算将两个输入信号的频域信息进行合并，实现了快速的傅里叶变换。

以上三个步骤就构成了快速傅里叶变换的基本原理，通过将一个长度为N的复数序列进行分治处理，并利用蝶形算法将子序列的傅里叶变换结果合并起来，从而高效地得到原序列的傅里叶变换结果。

快速傅里叶变换的原理可以通过一个简单的例子进行解释。

假设有一个长度为8的复数序列x(n)={1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1}，我们希望计算这个序列的傅里叶变换。

首先将输入序列按照位逆序排列，得到新的序列x'(n)={1, 3, 2, 4, 4, 2, 3, 1}，然后将x'(n)分成两个长度为4的子序列x_e(n)={1, 2, 4, 3}和x_o(n)={3, 4, 2, 1}。

Python 快速傅里叶变换分解快速傅里叶变换（FFT）是一种计算效率高的离散傅里叶变换算法，它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。

在Python 中，我们可以通过NumPy库中的fft模块来实现快速傅里叶变换，从而对信号进行频谱分析、滤波等操作。

本文将从深度和广度两个方面对Python快速傅里叶变换进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章。

1. 概述快速傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，它可以帮助我们分析信号的频谱特性。

在Python中，通过NumPy库提供的fft模块，我们可以方便地实现快速傅里叶变换。

FFT算法的核心思想是将一个大规模离散傅里叶变换分解为若干个小规模离散傅里叶变换的求解，从而降低计算复杂度，提高了计算效率。

2. 原理在Python中，通过fft.fft()函数可以对信号进行快速傅里叶变换。

该函数接受一个一维数组作为输入，返回该数组经过傅里叶变换后的频谱结果。

除了fft.fft()函数外，fft模块还提供了fft.ifft()函数用于进行傅里叶逆变换，以及fft.fftfreq()函数用于获取频率轴。

利用这些函数，我们可以对信号进行频域分析、滤波等操作。

3. 应用快速傅里叶变换在信号处理领域有着广泛的应用。

我们可以利用FFT 算法对音频信号进行频谱分析，从而实现音频的均衡器、滤波器等效果。

在图像处理领域，FFT算法也常被用于实现图像的频域滤波和变换。

另外，FFT算法还被广泛应用于数据压缩、通信系统等领域。

4. 个人观点在我看来，Python中的快速傅里叶变换功能十分强大，不仅提供了方便的接口，还通过NumPy库实现了高效的算法。

通过学习和掌握快速傅里叶变换，我们可以更好地理解信号的频域特性，从而在信号处理、图像处理等领域中发挥更大的作用。

总结回顾通过本文的介绍，我们对Python中的快速傅里叶变换有了全面的了解。

我们从概述、原理、应用和个人观点等方面对快速傅里叶变换进行了深入探讨，同时也回顾了FFT在信号处理、图像处理等领域的重要应用。

快速傅里叶变换的基本思路和原理一、引言快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。

它通过将DFT计算中的复杂度从O(N^2)降低到O(N log N)，极大地提高了计算效率，成为信号处理、图像处理、通信等领域中的重要工具。

本文将介绍快速傅里叶变换的基本思路和原理，主要包括分治策略、递归实施、周期性和对称性、蝶形运算、高效算法等方面。

二、分治策略快速傅里叶变换的基本思路是将原问题分解为若干个子问题，通过对子问题的求解，逐步递归地得到原问题的解。

这种分治策略的思想来源于算法设计中的“分而治之”原则，即将一个复杂的问题分解为若干个较小的、简单的问题来处理。

在FFT中，分治策略将DFT的计算过程分为多个步骤，逐步简化问题规模，最终实现高效的计算。

三、递归实施递归是实现分治策略的一种常用方法。

在快速傅里叶变换中，递归地实施分治策略，将问题规模不断缩小，直到达到基本情况（通常是N=1或2），然后逐步推导到原问题。

递归实施使得FFT算法的代码简洁明了，易于实现和理解。

同时，递归也使得算法能够利用计算机的存储器层次结构，将计算过程中的中间结果存储起来，避免重复计算，进一步提高计算效率。

四、周期性和对称性在快速傅里叶变换中，利用了离散傅里叶变换的周期性和对称性。

周期性是指DFT的结果具有周期性，即对于输入序列x[n]，其DFT的结果X[k]具有N的周期性。

对称性是指DFT的结果具有对称性，即对于输入序列x[n]，其DFT的结果X[k]具有对称性。

这些性质在FFT算法中得到了广泛应用，它们有助于简化计算过程，提高计算效率。

例如，在蝶形运算中，利用周期性和对称性可以避免某些不必要的计算，从而减少运算量。

五、蝶形运算蝶形运算是快速傅里叶变换中的基本运算单元。

它利用离散傅里叶变换的周期性和对称性，将多个复数相加和相乘组合在一起，形成一个类似蝴蝶形状的运算流程。

蝶形运算的复杂度为O(log N)，是实现快速傅里叶变换的关键步骤之一。

快速傅里叶变换优缺点快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）。

FFT算法的优点是速度快，计算复杂度低，适用于大规模数据处理。

然而，FFT算法也存在一些缺点，如精度问题和实现复杂度高等。

优点：1.速度快：FFT算法的时间复杂度为O(nlogn)，相比于暴力计算DFT 的O(n^2)时间复杂度，FFT算法的速度更快。

因此，FFT算法适用于大规模数据处理，如数字信号处理、图像处理等领域。

2.计算复杂度低：FFT算法的计算复杂度低，可以在较短的时间内完成大量数据的处理。

这使得FFT算法成为了许多科学计算和工程应用中的重要工具。

3.适用性广：FFT算法不仅适用于数字信号处理和图像处理等领域，还可以应用于其他领域，如计算机视觉、机器学习、量子计算等。

缺点：1.精度问题：FFT算法在计算过程中可能会出现精度问题。

这是因为FFT算法需要对浮点数进行离散化处理，从而可能导致精度损失。

为了解决这个问题，可以采用高精度计算或者使用其他算法。

2.实现复杂度高：FFT算法的实现复杂度较高，需要一定的数学基础和编程技能。

此外，FFT算法的实现还需要考虑数据的存储方式、计算精度等问题，这增加了实现的难度。

3.数据长度限制：FFT算法的计算速度和精度都与数据长度有关。

当数据长度过大时，FFT算法的计算速度会变慢，精度也会受到影响。

因此，FFT算法的应用受到了数据长度的限制。

综上所述，FFT算法是一种高效的算法，具有速度快、计算复杂度低、适用性广等优点。

然而，FFT算法也存在一些缺点，如精度问题、实现复杂度高和数据长度限制等。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的算法，以达到最佳的计算效果。

knN W N N第四章 快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长 序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换 (FFT). 1965 年，Cooley 和 Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快 速算法，将 DFT 的运算量减少了几个数量级。

从此，对快速傅里叶变换（FFT ） 算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发 展而迅速发展。

根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算 法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。

FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积 和线性相关等方面也有重要应用。

快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。

DFT 的定义式为N −1X (k ) = ∑ x (n )W NR N (k )n =0在所有复指数值 W kn 的值全部已算好的情况下，要计算一个 X (k ) 需要 N 次复数乘法和 N －1 次复数加法。

算出全部 N 点 X (k ) 共需 N 2次复数乘法和 N ( N − 1) 次复数加法。

即计算量是与 N 2成正比的。

FFT 的基本思想：将大点数的 DFT 分解为若干个小点数 DFT 的组合， 从而减少运算量。

W N 因子具有以下两个特性，可使 DFT 运算量尽量分解为小点数的 DFT运算：（1） 周期性：( k + N ) nN= W kn= W ( n + N ) k（2） 对称性：W( k + N / 2 )= −W kNN利用这两个性质，可以使 DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。

例子：求当N＝4 时，X(2)的值4 NNN3∑44444X (2) = n =0x (n )W 2 n = x (0)W 0 + x (1)W 2 + x (2)W 4 + x (3)W 6= [ x (0) + x (2)]W 0 + [ x (1) + x (3)]W 2(周期性)4＝[ x (0) + x (2)]－[ x (1) + x (3)]W 04(对称性)通过合并，使乘法次数由 4 次减少到 1 次，运算量减少。

快速傅里叶变换的意义快速傅里叶变换（FFT）是一种用于将信号从时域转换成频域的算法。

它通过利用傅里叶变换的对称性质和分治法的思想，在计算复杂度上大幅减少了传统傅里叶变换的时间复杂度，使得计算效率得到显著提升。

快速傅里叶变换在信号处理、图像处理、音频处理、通信等领域具有广泛的应用。

1. 提高计算效率：传统的傅里叶变换算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为信号的长度。

而FFT算法的时间复杂度为O(nlogn)，大大降低了计算量，使得在实际应用中可以处理更长的信号序列。

这种提高计算效率的特点使FFT成为了处理实时信号的有效工具，比如在音频处理中对信号进行快速频谱分析。

2.频域分析：FFT能将时域信号转换成频域信号，这使得对信号的频率特性进行分析变得更加方便。

在频谱分析中，可以通过FFT将信号的频率成分展示出来，从而可以识别出信号中的各种频率成分。

这对于信号处理、通信系统设计等领域具有重要意义。

比如在音频和图像处理中，可以通过FFT分析信号的频率特性，从而实现滤波、降噪、压缩等处理。

3.信号压缩：FFT还可以用于信号的压缩。

利用FFT的对称性质，可以将信号频谱中的一些频率成分通过舍弃或合并进行压缩，从而减少信号的数据量。

这对于存储和传输大量数据的场景非常重要。

例如，在无线通信中通过FFT对信号进行压缩，可以减少信号的带宽需求，提高通信系统的效率。

4.滤波器设计：FFT在滤波器设计中具有重要意义。

通过将信号进行FFT变换，可以在频域对信号进行滤波，然后再将滤波后的频域信号变换回时域。

这样可以实现各种类型的滤波器，如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。

FFT在滤波器设计中的应用可以帮助实现信号的降噪、增强以及频率域的增强等功能。

总之，快速傅里叶变换通过提高计算效率、实现频域分析、信号压缩和滤波器设计等功能，广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理、通信以及其他领域中。

它的快速计算和丰富功能使得FFT成为了处理实时信号与大量信号数据的重要工具，对科学研究和工程实践具有重要意义。

五种傅里叶变换解析标题：从简到繁：五种傅里叶变换解析引言：傅里叶变换是数学中一种重要且广泛应用于信号处理、图像处理和物理等领域的工具。

它的基本思想是将一个信号或函数表示为若干个不同频率的正弦波的叠加，从而揭示信号或函数的频谱特性。

本文将展示五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶级数展开，帮助读者逐步理解傅里叶变换的原理与应用。

第一部分：离散傅里叶变换（DFT）在此部分中，我们将介绍离散傅里叶变换的基本概念和算法。

我们将讨论DFT的离散性质、频域和时域之间的关系，以及如何利用DFT进行频域分析和滤波等应用。

此外，我们还将探讨DFT算法的时间复杂度，以及如何使用DFT来解决实际问题。

第二部分：快速傅里叶变换（FFT）在这一部分中，我们将深入研究快速傅里叶变换算法，并详细介绍其原理和应用。

我们将解释FFT如何通过减少计算量和优化计算过程来提高傅里叶变换的效率。

我们还将讨论FFT算法的时间复杂度和几种不同的FFT变体。

第三部分：连续傅里叶变换（CTFT）本部分将介绍连续傅里叶变换的概念和定义。

我们将讨论CTFT的性质、逆变换和时频分析的应用。

进一步，我们将引入傅里叶变换对信号周期性的描述，以及如何利用CTFT对信号进行频谱分析和滤波。

第四部分：离散时间傅里叶变换（DTFT）在这一章节中，我们将介绍离散时间傅里叶变换的基本原理和应用。

我们将详细讨论DTFT的定义、性质以及与DFT之间的关系。

我们还将探讨DTFT的离散频率响应、滤波和频谱分析的相关内容。

第五部分：傅里叶级数展开最后，我们将深入研究傅里叶级数展开的原理和应用。

我们将解释傅里叶级数展开如何将周期函数分解为多个不同频率的正弦波的叠加。

我们还将讨论傅里叶级数展开的收敛性和逼近性，并探讨如何利用傅里叶级数展开来处理周期信号和周期性问题。

结论：综上所述，本文介绍了五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶级数展开。

详解快速傅里叶变换FFT算法快速傅里叶变换（FFT）算法是一种高效的计算离散傅里叶变换的方法。

它通过将傅里叶变换问题分解为更小的子问题，从而减少计算量。

FFT算法广泛应用于信号处理、图像处理和其他科学与工程领域。

FFT算法的核心思想是将一个长度为N的复数序列分解为两个长度为N/2的复数序列，并重用其计算结果。

这种分解是通过将序列的奇数项与偶数项分为两组来实现的。

分解后可以继续将长度为N/2的序列分解为长度为N/4的序列，直到序列长度为1时停止。

然后，通过合并这些子问题的解，我们可以得到原始问题的解。

FFT算法的关键步骤可以概括为以下几点：1.首先，将输入序列通过位逆序操作重新排列。

这是为了便于分解和合并子问题的解。

2.然后，将序列分解为两个长度为N/2的子序列。

一组是奇数项，另一组是偶数项。

3.对两个子序列进行递归调用FFT算法，分别计算它们的傅里叶变换。

4.将子问题的解合并为原始问题的解。

这是通过使用每个子问题的解的一部分和一些旋转因子来完成的。

5.重复以上步骤，直到得到最终的傅里叶变换结果。

FFT算法的时间复杂度是O(NlogN)，相对于朴素的傅里叶变换（时间复杂度为O(N^2)），有着显著的性能优势。

这个优势主要来自于FFT算法中子问题的重用和分治思想的应用。

FFT算法的应用非常广泛。

在信号处理中，FFT算法可以用来分析信号的频域特征，还可以用于滤波、频谱分析和频率估计等。

在图像处理中，FFT算法被用来进行图像变换，包括傅里叶变换、离散余弦变换等。

此外，FFT算法还被广泛应用于通信、雷达和声音等领域中的数据处理和分析。

总的来说，FFT算法通过分解和重用子问题的解，实现了高效的计算离散傅里叶变换的目的。

它的应用范围广泛，并且在在很多领域中被广泛使用。

FFT 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform) 是一种用于快速计算傅里叶变换的算法，是在傅里叶变换的基础上发展而来的。

FFT 算法被广泛应用于数字信号处理、图像处理、声音处理、卷积操作、解析几何等领域，它的高效性和实时性使得它成为了当今计算机科学领域不可或缺的一部分。

一、傅里叶变换简介傅里叶变换是将一个时域信号转换为频域信号的过程，其公式如下：$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$其中，$f(t)$ 表示时域信号，$F(\omega)$ 表示频域信号，$\omega$ 表示角频率。

傅里叶变换可以分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换两种。

连续傅里叶变换仅适用于连续信号，而离散傅里叶变换适用于离散信号。

二、离散傅里叶变换离散傅里叶变换是一种将离散信号变换为频域信号的方法，其公式如下：$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn},k=0,1,...,N-1$其中，$x_n(n=0,1,...,N-1)$ 表示原始离散信号，$X_k(k=0,1,...,N-1)$ 表示变换后的频域信号。

但是，使用该公式直接计算离散傅里叶变换的时间复杂度为$O(N^2)$，计算效率低下。

三、FFT 快速傅里叶变换FFT 快速傅里叶变换是一种基于DFT 离散傅里叶变换的高效算法，它的时间复杂度可以达到$O(NlogN)$，较之直接计算DFT 的时间复杂度要低得多。

FFT 算法的基本思想是将 DFT 分治成多个较小的 DFT，并利用其重复性降低运算次数。

1.蝴蝶运算蝴蝶运算是 FFT 算法的基本运算，通过它可以将 DFT 的计算复杂度降低为 $O(N)$。

蝴蝶运算的实质是将两个相邻点之间的信号进行乘法和加法运算，其公式如下：$X_k=X_{k1}+W_{N}^kX_{k2},X_{k+N/2}=X_{k1}-W_{N}^kX_{k2}$其中，$X_{k1}$ 表示 $X_k$ 中偶数项，$X_{k2}$ 表示 $X_k$ 中奇数项，$W_N$ 是DFT 的核函数。

快速傅里叶变换的原理一、前言快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的方法，它的应用广泛，如信号处理、图像处理、数值分析等领域。

本文将详细介绍快速傅里叶变换的原理。

二、傅里叶变换在介绍快速傅里叶变换之前，我们需要先了解傅里叶变换。

傅里叶变换是将一个信号在时域上的函数转化为在频域上的函数，它可以将信号分解成不同频率的正弦波和余弦波组成的谱。

具体来说，对于一个连续时间函数f(t)，它的傅里叶变换F(ω)定义为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，j为虚数单位，ω为角频率。

对于一个离散时间函数f(n)，它的傅里叶变换F(k)定义为：F(k) = Σf(n)e^(-j2πkn/N)其中，N为采样点数。

三、暴力计算傅里叶变换直接使用定义式计算离散时间信号的傅里叶变换需要进行N^2次复杂度的计算，这种方法被称为暴力计算。

当N很大时，计算量会非常大，因此需要寻找更高效的算法。

四、快速傅里叶变换快速傅里叶变换是一种高效的计算离散时间信号的傅里叶变换的方法。

它的基本思想是将一个长度为N的离散时间信号分解成两个长度为N/2的子信号，然后递归地对子信号进行FFT计算，最终将两个子信号合并成一个长度为N的信号。

具体来说，假设我们要计算一个长度为N的离散时间信号f(n)的FFT变换F(k)，其中k=0,1,2,...,N-1。

我们可以将f(n)分解成两个长度为N/2的子信号：f_even(n) = f(2n)f_odd(n) = f(2n+1)然后对f_even(n)和f_odd(n)分别进行FFT计算：F_even(k) = FFT(f_even(n))F_odd(k) = FFT(f_odd(n))最后将F_even(k)和F_odd(k)合并成F(k)，其中：F(k) = F_even(k) + e^(-j2πk/N)*F_odd(k)F((k+N/2)%N) = F_even(k) - e^(-j2πk/N)*F_odd(k)其中，e^(-j2πk/N)*F_odd(k)被称为旋转因子。

FFT快速傅里叶变换详解FFT（Fast Fourier Transform）快速傅里叶变换是一种高效的算法，用于将一个信号的时域表示转换为频域表示。

它基于分治思想，通过递归的将输入序列划分为较小的子序列，然后合并子序列的变换结果来获得整个序列的变换结果。

蝶形算法是FFT的核心思想之一、它通过将输入序列分为两组，每组包含偶数索引和奇数索引的元素，然后对每组执行蝶形计算。

蝶形计算的基本思想是，将输入序列中的每个元素与另一个元素进行乘积，并根据一定的规则进行合并。

具体而言，蝶形算法的步骤如下：1.将输入序列分为两组，一组包含偶数索引的元素，另一组包含奇数索引的元素。

2.对每组执行蝶形计算。

蝶形计算的基本公式为：Y[k]=X1[k]+W_N^k*X2[k]，其中X1[k]和X2[k]分别表示输入序列的两个子序列的第k个元素，Y[k]表示计算结果，W_N^k表示旋转因子，N表示序列的长度。

旋转因子的计算公式为：W_N^k=e^(-j*2πk/N)，其中j表示虚数单位。

3.重复步骤2，直到计算完所有的蝶形计算。

4.最后，将两组子序列的变换结果合并。

合并的方式是，将两个子序列的变换结果分别与旋转因子进行乘积，并按照一定的规则相加。

通过蝶形算法，FFT可以将一个长度为N的序列的变换时间复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。

这使得FFT在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用，例如音频信号的频谱分析、图像的频域滤波等。

需要注意的是，蝶形算法要求输入序列的长度为2的幂次。

对于长度不是2的幂次的序列，可以通过补零或者裁剪的方式使其长度变为2的幂次，但这可能会引入一定的误差。

总结起来，FFT快速傅里叶变换通过蝶形算法实现高效的频域变换。

蝶形算法将输入序列分为两组，对每组执行蝶形计算，并最终合并结果。

通过蝶形算法，FFT的时间复杂度由O(N^2)降低到O(NlogN)，使得其在信号处理等领域发挥重要作用。

快速傅里叶变换特点
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的信号处理技术，它可以将时域信号转换为频域信号，用于信号分析和滤波等应用。

其特点在于： 1. 高速：相比于传统的傅里叶变换算法，FFT算法的计算速度更快。

这是因为FFT算法的核心思想是将一个N点离散傅里叶变换（DFT）转换成若干个子问题，利用重复性和对称性进行优化计算。

2. 具有更好的频率分辨率：FFT算法可以对信号进行高精度的频率分析，其频率分辨率可以达到1/N。

3. 更加灵活：FFT算法可以处理各种类型的信号，包括周期信号、非周期信号、实信号和复信号等。

4. 可以进行实时处理：由于FFT算法的计算速度快，因此它可以用于实时处理需要快速响应的信号。

5. 易于实现：FFT算法已经成为了数字信号处理领域的标准算法之一，很多计算机语言和软件都内置了FFT算法的实现。

因此，FFT 算法的使用和实现比较容易。

综上所述，FFT算法具有高速、高精度、灵活性强、易于实现等优点，因此在信号处理、通信、图像处理等领域得到广泛应用。

- 1 -。

快速傅里叶变换和短时傅里叶变换快速傅里叶变换（FFT）和短时傅里叶变换（STFT）是频域分析中常用的两种变换方法。

一、快速傅里叶变换（FFT）FFT是一种高效的计算傅里叶变换的算法。

它把长度为N的时间序列信号分解成N个频率的复杂正弦信号，从而实现了信号在时域与频域之间的转换。

FFT广泛应用于数字信号处理、图像处理、音频处理和科学计算等领域，它能够快速计算大量数据，提高计算效率，使得信号处理更加高效。

二、短时傅里叶变换（STFT）STFT是一种将信号分解成一系列时间短的傅里叶变换的方法。

它在时域中对信号进行窗函数分段，然后对每一段信号进行傅里叶变换得到它的频率谱。

STFT广泛应用于音频信号处理、图像处理、语音识别和信号处理等领域，它可以在短时间内观察到信号的频率成分，对信号的频率特性进行分析，以便更好地控制和处理信号。

三、FFT和STFT的区别FFT与STFT都是将信号变换到频域进行分析，但它们之间有一些不同之处。

1、FFT是将整个信号进行傅里叶变换，而STFT是将信号分成若干个时间段，每个时间段内进行傅里叶变换。

2、FFT能够提供信号的整体频谱特征，而STFT则能够提供信号在每个时间段内的局部频率特征。

3、FFT计算速度快，但无法观察到信号的时变特征；STFT计算速度慢，但能够观察到信号的时变特征。

四、应用场景FFT适用于需要对整个信号进行频域分析的场合，例如对于一个长时间的音频信号进行频谱分析。

STFT适用于需要对信号在时间和频率上的变化进行观察和分析的场合，例如对于语音信号和信号噪声的消除。

在实际应用中，FFT和STFT也经常结合使用，以得到更加详细和精确的频域信息。

实验四 快速傅里叶变换（FFT ）4.1实验目的1）加深对快速傅里叶变换（FFT ）基本理论的理解；2）了解使用快速傅里叶变换（FFT ）计算有限长序列和无限长序列信号频谱的方法；3）掌握用MATLAB 语言进行快速傅里叶变换时常用的子函数。

4.2实验原理1）用MATLAB 提供的子函数进行快速傅里叶变换从理论学习可知，DFT 是唯一在时域和频域均为离散序列的变换方法，它适用于有限长序列。

尽管这种变换方法是可以用于数值计算的，但如果只是简单的按照定义进行数据处理，当序列长度很大时，则将占用很大的内存空间，运算时间将很长。

快速傅里叶变换是用于DFT 运算的高效运算方法的统称，FFT 只是其中的一种。

FFT 主要有时域抽取算法和频域抽取算法，基本思想是将一个长度为N 的序列分解成多个短序列，如基2算法、基4算法等，大大缩短了运算的时间。

MATLAB 中提供了进行快速傅里叶变换（FFT ）的子函数，用fft 计算DFT ，用ifft 计算IDFT 。

2）用FFT 计算有限长序列的频谱基本概念：一个序号从1n 到2n 的时域有限长序列()x n ，它的频谱()j X e ω定义为它的离散时间傅里叶变换，且在奈奎斯特（Nyquist ）频率范围内有界并连续。

序列的长度为N ，则211N n n =−+。

计算()x n 的离散傅里叶变换（DFT ）得到的是()j X e ω的N 个样本点()k j X e ω。

其中数字频率为k 2πω()d ωk k N== 式中：d ω为数字频率的分辨率；k 取对应－(N －1)/2到(N －1)/2区间的整数。

在实际使用中，往往要求计算出信号以模拟频率为横坐标的频谱，此时对应的模拟频率为s s 2π2πΩω/T ()()T k k k k kD N L==== 式中：D 为模拟频率的分辨率或频率间隔；T s 为采样信号的周期，Ts ＝1/Fs ；定义信号时域长度L ＝N T s 。

快速傅里叶变换FFT的C语言算法彻底研究LED音乐频谱显示的核心算法就是快速傅里叶变换，FFT的理解和编程还是比较难的，特地撰写此文分享一下研究成果。

一、彻底理解傅里叶变换快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform)是离散傅里叶变换的一种快速算法，简称FFT，通过FFT可以将一个信号从时域变换到频域。

模拟信号经过A/D转换变为数字信号的过程称为采样。

为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的2倍，这称之为采样定理。

假设采样频率为fs，采样点数为N，那么FFT结果就是一个N点的复数，每一个点就对应着一个频率点，某一点n(n 从1开始)表示的频率为：fn=(n-1)*fs/N。

举例说明：用1kHz的采样频率采样128点，则FFT结果的128个数据即对应的频率点分别是0，1k/128，2k/128，3k/128，…，127k/128 Hz。

这个频率点的幅值为：该点复数的模值除以N/2（n=1时是直流分量，其幅值是该点的模值除以N）。

二、傅里叶变换的C语言编程1、对于快速傅里叶变换FFT，第一个要解决的问题就是码位倒序。

假设一个N 点的输入序列，那么它的序号二进制数位数就是t=log2N.码位倒序要解决两个问题：①将t位二进制数倒序；②将倒序后的两个存储单元进行交换。

如果输入序列的自然顺序号i用二进制数表示，例如若最大序号为15，即用4位就可表示n3n2n1n0，则其倒序后j对应的二进制数就是n0n1n2n3，那么怎样才能实现倒序呢？利用C语言的移位功能！程序如下，我不多说，看不懂者智商一定在180以下！复数类型定义及其运算#define N 64 //64点#define log2N 6 //log2N=6/*复数类型*/typedef struct{float real;float img;}complex;complex xdata x[N]; //输入序列/*复数加法*/complex add(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real+b.real;c.img=a.img+b.img;return c;}/*复数减法*/complex sub(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real-b.real;c.img=a.img-b.img;return c;}/*复数乘法*/complex mul(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real*b.real - a.img*b.img;c.img=a.real*b.img + a.img*b.real;return c;}/***码位倒序函数***/void Reverse(void){unsigned int i,j,k;unsigned int t;complex temp;//临时交换变量for(i=0;i<N;i++)//从第0个序号到第N-1个序号{k=i;//当前第i个序号j=0;//存储倒序后的序号，先初始化为0for(t=0;t<log2N;t++)//共移位t次，其中log2N是事先宏定义算好的{j<<=1;j|=(k&1);//j左移一位然后加上k的最低位k>>=1;//k右移一位，次低位变为最低位}if(j>i)//如果倒序后大于原序数，就将两个存储单元进行交换（判断j>i是为了防止重复交换）{temp=x[i];x[i]=x[j];x[j]=temp;}}}2、第二个要解决的问题就是蝶形运算①第1级（第1列）每个蝶形的两节点“距离”为1，第2级每个蝶形的两节点“距离”为2，第3级每个蝶形的两节点“距离”为4，第4级每个蝶形的两节点“距离”为8。