§6.6 能量谱和功率谱

功率谱和能量谱的关系
功率谱和能量谱是两种不同的谱分析方法。

功率谱（Power Spectrum）是指信号在不同频率上的功率分布。

它描述了信号的频域特征，表
示信号在不同频段上的功率大小。

功率谱是对信号进行谱分析的主要方法之一，常用的谱分析工具包括傅里叶变换和自相关函数等。

能量谱（Energy Spectrum）是指信号在不同频率上的能量分布。

它描述了信号的频域特征，表
示信号在不同频段上的能量大小。

能量谱是功率谱的一种特殊形式，它不考虑信号的持续时间，仅考虑信号的幅度信息。

在能量谱中，低频和高频的能量大小对结果影响较大，但是无法判断信号在不同频段上的功率大小。

因此，功率谱和能量谱之间存在一定的关系。

功率谱是能量谱的平方，即功率谱可以通过能量谱计算得到。

但是能量谱不能通过功率谱计算得到，因为能量谱不考虑信号的持续时间，无法确定功率大小。

功率谱和功率谱密度的区别,相⼲时间与相⼲带宽谱让⼈联想到的Fourier变换，是⼀个时间平均（time average）概念，对能量就是能量谱，对功率就是功率谱。

功率谱密度就是信号⾃相关函数的傅⾥叶变换。

功率谱的概念是针对功率有限信号的，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变化情况。

保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。

有两点需要注意：1. 功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是⼀个确定函数；⽽频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于⼀个随机过程⽽⾔，频谱也是⼀个“随机过程”。

（随机的频域序列）2. 功率概念和幅度概念的差别。

此外，只能对宽平稳的各态历经的⼆阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于⼆阶矩是否存在并且⼆阶矩的Fourier变换收敛；⽽频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。

频谱分析：对动态信号在频率域内进⾏分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。

频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。

频谱分析过程较为复杂，它是以傅⾥叶级数和傅⾥叶积分为基础的。

功率谱密度：功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。

这⾥功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表⽰抽象的信号被定义为信号数值的平⽅，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。

由于平均值不为零的信号不是平⽅可积的，所以在这种情况下就没有傅⾥叶变换。

维纳-⾟钦定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了⼀个简单的替换⽅法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号⾃相关函数的傅⾥叶变换。

信号的功率谱密度当且仅当信号是⼴义的平稳过程的时候才存在。

如果信号不是平稳过程，那么⾃相关函数⼀定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使⽤类似的技术估计时变谱密度。

的电流，v (t )为一．能量信号和功率信号定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比，则在整个时间域内，实信号天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University一般周期信号为功率信号；天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University二．相关系数与相关函数天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University最小，则有是能量有限的实信号。

天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University由柯西－施瓦尔茨不等式，得(2⎡⎰∞t f 的相关特性相关系数天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University三．相关与卷积的比较卷积表达式：(,相关性最强R )ω[f F 相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University判断下面的信号是功率信号还是能量信号。

天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University例()(E t cos =对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有)⎤天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University周期信号自相关函数仍为周期信号天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University])(τF R =天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical Universityωπ(⎰∞∞-F⎪⎫≤T t ωπ(21F ⎰∞∞-R (τ)cos(1t ω的自相关函数和功率谱为功率信号)(t f 天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一功率谱为:。

2.5 平稳随机过程的功率谱一.什么是功率谱?功率谱是信号的功率在频率轴的分布情况.对于确知信号,傅立叶变换的模的平方为功率谱或能量谱.设广义平稳过程)(t g 的功率谱为)(f P g ,则信号的总(平均)功率可表示为 df f P S g )(⎰∞∞-= 信号在某个频带内的功率可表示为df f P S f f g )(221⎰=设平稳随机过程)(t g 的截断过程(信号) ⎩⎨⎧≤≤-=others T t T t g t g T 02/2/)()( )()(ωT T G t g ⇔)(t g T 为能量信号,其能量为dt t g E T T )(2⎰∞∞-= 由帕塞瓦尔公式,从时域所求截断信号的能量,等于从频域所求截断信号的能量.ωωπd G E dt t g E T T T 22|)(|21)(⎰⎰∞∞-∞∞-==2|)(|ωT G E 反映截断信号)(t g T 的能量在频域的分布情况,称为截断信号的能量谱. 截断信号的功率谱可表示为T G E T /|)(|2ω,T 为截断窗口的长度.当截断窗口长度趋于无限大时,截断信号)(t g T 趋于原始的平稳随机过程)(t g ,而傅立叶变换)(ωT G 趋于)(t g 的傅氏变换)(ωG ,截断信号的功率谱趋于)(t g 的功率谱)(f P g .因此定义平稳随机过程的功率谱为T G E f P T T g 2)(lim )(ω∞→=二.维纳-辛钦公式由于截断信号的功率谱{}{}⎰⎰⎰⎰--------==2/2/2/2/)(2/2/2/2/2)(1)()(1/|)(|T T T T s t j g T T T T s j t j T dtds e s t R E T ds e s g dt e t g E T T G E ωωωω ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎰--T T j g T d e R T T G E τττωωτ)()1(/|)(|2 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==⎰--∞→∞→T T j g T T T g d e R T T G E f P τττωωτ)()1(lim /|)(|lim )(2 τττττωτωτd e R d e R T j g j g T -∞∞-∞∞--∞→⎰⎰=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-)()()1(lim 即ττωτd e R f P j g f -∞∞-⎰=)()(平稳随机过程的功率谱为’自相关函数的傅立叶变换.三.常见的加性平稳零均值高斯噪声1.理想宽带加性高斯白噪声功率谱密度可表示为∞<<-∞=f n f P o n ,2)()(f P n 2o n 自相关函数可表示为)(2)(τδτo n n R =2.理想带通加性高斯白噪声功率谱密度可表示为)]()(([2)(B f f rect B f f rect n f P c c o n -++= 自相关函数可表示为τωτπτc o n B BSa n R cos )()(=3.理想低通高斯白噪声功率谱密度可表示为)2(2)(B f rect n f P o n = 自相关函数可表示为)2()(τπτB BSa n R o n =。

傅⽴变换出来的频谱、幅度谱、能量谱、功率谱相关知识本⽂参考下列⽹站整理⽽来：在信号处理的学习中，有⼀些与谱有关的概念，如频谱、幅度谱、功率谱和能量谱等，常常让⼈很糊涂，搞不清其中的关系。

这⾥主要从概念上厘清其间的区别。

对⼀个时域信号进⾏傅⾥叶变换，就可以得到的信号的频谱。

频谱是⼀个以频率为⾃变量的函数。

频谱在每⼀个频率点的取值是⼀个复数。

⼀个复数由模和辐⾓唯⼀地确定，所以可将频谱分解为幅度谱（即复数的模关于频率的函数）和相位谱（即复数的辐⾓关于频率的函数）。

那么这个幅度谱中的值具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第⼀个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。

⽽第⼀个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。

那么，什么是功率谱呢？什么⼜是能量谱呢？功率谱或能量谱与信号的频谱有什么关系呢？因为信号可能是能量信号，也可能是功率信号。

对于能量信号，常⽤能量谱来描述。

所谓的能量谱，也称为能量谱密度，是指⽤密度的概念表⽰信号能量在各频率点的分布情况。

也即是说，对能量谱在频域上积分就可以得到信号的能量。

能量谱是信号幅度谱的模的平⽅，其量纲是焦/赫。

对于功率信号，常⽤功率谱来描述。

所谓的功率谱，也称为功率谱密度，是指⽤密度的概念表⽰信号功率在各频率点的分布情况。

也就是说，对功率谱在频域上积分就可以得到信号的功率。

关于FFT分析的⼀些解释说明，对于初次使⽤matlab中的 fft() 函数有帮助FFT是离散傅⽴叶变换的快速算法，虽然很多⼈都知道FFT是什么，可以⽤来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使⽤多少点来做FFT。

现在说说FFT结果的具体物理意义。

⼀个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。

采样定理告诉我们，采样频率要⼤于信号频率的两倍。

采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。

N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。

一、能量信号和功率信号（1）能量信号根据信号可以用能量式或功率式表示可分为能量信号和功率信号。

能量信号，如各类瞬变信号。

在非电量测量中，常将被测信号转换为电压或电流信号来处理。

显然，电压信号加在单位电阻（R=1时）上的瞬时功率为：()()()22x t p t x t R== (1.1) 瞬时功率对时间积分即是信号在该时间内的能量。

通常不考虑量纲，而直接把信号的平方及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。

当()x t 满足：()2x t dt +∞-∞<∞⎰ (1.2)则信号的能量有限，称为能量有限信号，简称能量信号。

满足能量有限条件，实际上就满足了绝对可积条件。

定义信号()f t 的能量：由电压()f t （或者电流()f t ）在1Ω电阻上消耗的能量：()2E f t dt +∞-∞=⎰（注释：22/E u i u R u =⨯==） (1.3)（2）功率信号若()x t 在区间(),-∞+∞的能量无限，不满足(1.2)式条件，但在有限区间(-T/2，T/2)满足平均功率有限的条件：()/22/21lim T T T x t dt T -→∞<∞⎰ (1.4) 则，()x t 为功率信号。

如各种周期信号、常值信号、阶跃信号等。

定义：信号()f t 的平均功率为电压()f t 在1Ω电阻上消耗的平均功率（简称功率）：()/22/21lim T T T S f t dt T -→∞=⎰ (1.5)二、频谱和频谱密度频谱密度：设一个能量信号为()s t ，则它的频谱密度()s ω可以由傅氏变换求得。

()()s F s t ω=⎡⎤⎣⎦ (1.6)能量信号的频谱密度()s f 和功率信号()c jn ω（比如一个周期信号）的频谱主要区别有：（1）()s f 是连续谱，而()c jn ω是离散谱；（2）()s f 单位是幅度/频率，而()c jn ω单位是幅度；（这里都是指其频谱幅度）；（3）能量信号的能量有限，并连续的分布在频率轴上，每个频率点上的信号幅度是无穷小的，只有d f 上才有确定的非0振幅；功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定的非0振幅。

频谱、幅度谱、功率谱和能量谱在信号处理的学习中，有一些与谱有关的概念，如频谱、幅度谱、功率谱和能量谱等，常常让人很糊涂，搞不清其中的关系。

这里主要从概念上厘清其间的区别。

对一个时域信号进行傅里叶变换，就可以得到的信号的频谱，信号的频谱由两部分构成：幅度谱和相位谱。

这个关系倒还是简单。

那么，什么是功率谱呢？什么又是能量谱呢？功率谱或能量谱与信号的频谱有什么关系呢？要区分功率谱和能量谱，首先要清楚两种不同类型的信号：功率信号和能量信号。

我们从一个具体的物理系统来引出能量信号和功率信号的概念。

已知阻值为R的电阻上的电压和电流分别为v(t) 和i(t)，则此电信号的瞬时功率为：p(t) = v2(t)/R = i2(t)R。

在作定性分析时，为了方便起见，通常假设电阻R为1欧姆而得到归一化(Normolized) 的功率值。

作定量计算时可以通过去归一化，即将实际的电阻值代入即可得到实际的功率值。

将上面的概念做一个抽象，对信号x(t) 定义其瞬时功率为|f (t)|2，在时间间隔(-T/2 T/2) 内的能量为:(1)该间隔内的平均功率为：p = E/T (2)当且仅当f(t)在所有时间上的能量不为0且有限时，该信号为能量信号，即(1)式中的T 趋于无穷大的时候E为有限。

典型的能量信号如方波信号、三角波信号等。

但是有些信号不满足能量信号的条件，如周期信号和能量无限的随机信号，此时就需要用功率来描述这类信号。

当且仅当x(t)在所有时间上的功率不为0且有限时，该信号为功率信号，即(2) 式中的T 趋于无穷大的时候p 为有限。

系统中的波形要么具有能量值，要么具有功率值，因为能量有限的信号功率为0，而功率有限的信号能量为无穷大。

一般来说，周期信号和随机信号是功率信号，而非周期的确定信号是能量信号。

将信号区分为能量信号和功率信号可以简化对各种信号和噪声的数学分析。

还有一类信号其功率和能量都是无限的，如f(t) = t，这类信号很少会用到。

2.2.3 功率谱密度我们定义信号()t f 的能量（作用归一化处理）：由电压()t f （或者电流()t f ）在Ω1电阻上消耗的能量： ⎰∞∞-=dt t f E )(2， （注释：22u R u i u E ==⋅=/）积分值存在，信号的能量为有限值，称()t f 为能量信号。

对于能量无限大的信号（如周期性信号），我们考虑能量的时间平均值，这显然就是信号的平均功率。

这种信号称作（平均）功率信号。

我们定义信号()t f 的平均功率，为电压()t f 在Ω1电阻上消耗的平均功率（简称功率）： ()⎰-∞→=2221T T T dt t f T S lim式中，T 是为求平均的时间区间。

为了更好地描述能量信号、功率信号，我们引入能量谱密度和功率谱密度概念。

能量谱密度、功率谱密度函数表示信号的能量、功率密度随频率变化的情况。

我们知道，非周期性信号的频谱宽度是无限的，然而，实际上信号的大部分功率是集中在某个有限的频谱宽度内。

通过研究功率谱密度，可以帮助了解信号的功率分布情况，确定信号的频带等。

对于能量信号()t f ，根据付里叶反变换有 ()()⎰∞+∞-ωωωπ=d e F t f tj 21 则信号的能量：()()⎰⎰⎰∞∞-∞+∞-ω+∞∞-ωωπ==dtd e F t f dt t f E t j ])[(21 2 ()()()()⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-ωωω-⋅ωπ=ω⋅ωπ=d F F d dt e t f F E t j *21 21 当()t f 为实信号时，)()(*ω=ωF F 。

今后如无特别说明，都是指实信号，这样则得到： ()()⎰⎰∞+∞-∞∞-ωω⋅ωπ==d F F dt t f E *)(212()⎰∞+∞-ωωπ=d F 221 式中，令，)( 2Hz J E F /,)()(ω=ω，称)(ωE 为能量谱密度。

信号的能量又可以表示为：⎰∞+∞-ωωπ=d E E )(21 上式就是能量信号的parsverl 公式。