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Matlab 信号处理工具箱 帮助文档 谱估计专题翻译：无名网友 & Lyra频谱分析Spectral estimation （谱估计）的目标是基于一个有限的数据集合描述一个信号的功率（在频率上的）分布。
功率谱估计在很多场合下都是有用的，包括对宽带噪声湮没下的信号的检测。
从数学上看，一个平稳随机过程n x 的power spectrum （功率谱）和correlation sequence （相关序列）通过discrete-time Fourier transform （离散时间傅立叶变换）构成联系。
从normalized frequency （归一化角频率）角度看，有下式()()j mxx xx m S R m eωω∞-=-∞=∑注：()()2xx S X ωω=，其中()/2/21limN j n n N n N X x e Nωω→∞=-=∑πωπ-<≤。
其matlab近似为X=fft(x,N)/sqrt(N)，在下文中()L X f 就是指matlab fft 函数的计算结果了使用关系2/s f f ωπ=可以写成物理频率f 的函数，其中s f 是采样频率()()2/sjfm f xx xxm S f R m eπ∞-=-∞=∑相关序列可以从功率谱用IDFT 变换求得：()()()/22//22sss f jfm f j m xx xx xx sf S e S f e R m d df f πωππωωπ--==⎰⎰序列n x 在整个Nyquist 间隔上的平均功率可以表示为()()()/2/202ss f xx xx xx sf S S f R d df f ππωωπ--==⎰⎰ 上式中的()()2xx xx S P ωωπ=以及()()xx xx sS f P f f = 被定义为平稳随机信号n x 的power spectral density (PSD)（功率谱密度） 一个信号在频带[]1212,,0ωωωωπ≤<≤上的平均功率可以通过对PSD 在频带上积分求出[]()()211212,xxxx P P d P d ωωωωωωωωωω--=+⎰⎰从上式中可以看出()xx P ω是一个信号在一个无穷小频带上的功率浓度，这也是为什么它叫做功率谱密度。
频谱分析：频谱分析是一种将复杂信号分解为较简单信号的技术。
许多物理信号均可以表示为许多不同频率简单信号的和。
找出一个信号在不同频率下的信息（如振幅、功率、强度或相位等）的做法即为频谱分析。
频谱：频谱是指一个时域的信号在频域下的表示方式，可以针对信号进行傅里叶变换而得，所得的结果会是以分别以幅度及相位为纵轴，频率为横轴的两张图，不过有时也会省略相位的信息，只有不同频率下对应幅度的资料。
有时也以“幅度频谱”表示幅度随频率变化的情形，“相位频谱”表示相位随频率变化的情形。
简单来说，频谱可以表示一个信号是由哪些频率的弦波所组成，也可以看出各频率弦波的大小及相位等信息。
简介：信号若随着时间变化，且可以用幅度来表示，都有其对应的频谱。
包括可见光（颜色）、音乐、无线电波、振动等都有这様的性质。
当这些物理现象用频谱表示时，可以提供一些此信号产生原因的相关信息。
例如针对一个仪器的振动，可以借由其振动信号频谱的频率成分，推测振动是由哪些元件所造成。
音乐的声学特性：音乐的频谱是决定音色的要素之一，是指不同频率的谐波及泛音相对于基频（也就是音高）的强度。
但实际上用得更多的是时频谱。
时频谱不但能将讯号分解，还能显示出各信号成分随时间的变化情况。
频谱分析仪可以将输入的音乐信号变换为其组成频率的图像，并显示出这些组分随时间如何起伏变化。
这种图像称为声学时频谱。
以软件为主的声音频谱分析仪只需很低的价格即可购得，一般而言也可达到令人满意的结果。
由频谱分析仪产生的频谱图可以提供音乐的声波标记图（acousticsignature）。
频谱图可以看出其基频及泛音，也可以用用来分析乐器的起音、衰减、延音及释音（即ADSR），应用在音乐合成上。
一个信号的频谱告诉我们这个信号包含哪些正弦函数。
比如，信号X(t)=2sin(3t).它的频谱只有一个点：(3,2).也就是说，这个信号它只包含了一个正弦函数，角频率为3，幅值为2。
傅立叶定理指出：任何一个周期函数都可以分解为很多正弦函数的和。
进而我们可以把一个非周期函数看作是一个周期为无限大的周期函数。
傅立叶定理有着非常广泛的应用。
加窗在进行离散傅立叶dft变换时,为了减小频谱泄漏现象要进行加窗处理比如使用海宁窗等,实际上是对序列的边界点进行了平滑处理以使得以此序列进行周期拓展时边界点是连续的.对于一已知序列在时域不加窗(或加矩形窗)和加海宁窗再进行dft,所得结果肯定不一致.在实际工程应用领域,例如电气工程中的谐波分析等不加窗后进行dft所得结果的物理意义是显而易见的.但加了窗后反而使结果没什么意义了. 从另外一种角度出发,假设序列是同步采样得到的结果,也就是边界点上没有出现跳变,自然也无需再加窗平滑处理,那此时再进行加窗处理相当于改变了输入序列的值,变换结果与原先不同也是自然的了. 是不是加窗变换后还要进行一些处理才能得到与实际意义(比如物理意义)相符的结果?通常做的ft应该都是加窗处理了的，只不过采用了一个矩形窗而你没有注意到而已。
加窗就是信号乘以窗函数，相应于频域就是离散信号的频谱与窗函数频谱的卷积。
离散的数字信号频谱是以采样率为周期的从负无穷到正无穷的周期性谱，而有限长度的时间窗对应于无限长度的频率响应，因此它与信号频谱的卷积自然也是无限长度的，也就是产生了频谱的混迭，信号带宽越宽混迭的影响就更大。
自然dtf采样到的-pi到+pi的频谱也存在了混迭，除了一些解析解信号的频谱有可能由这些频谱中推算出原始1)信号加窗与分帧是两个不同的概念.2)一首歌首先要经过分帧,下一步才是加窗.3)音频信号属于"短时平稳过程" 每一帧信号视为平稳过程,即统计特性平稳.4)因为傅立叶变换对应的是无限信号,信号经过分帧后变成有限信号,分帧的信号再进行傅立叶变换后,高频部分将有"泄露",所以要加窗.5)窗函数的拼谱都是在某高频部分截止,所以每帧信号加窗后的傅立叶变化,频谱基本"泄露"6)详细内容请参考<信号与系统>卷积中文名称：卷积英文名称：convolution定义：数学中关于两个函数的一种无穷积分运算。
频谱分析利用傅里叶变换的方法对振动的信号进行分解，并按频率顺序展开，使其成为频率的函数，进而在频率域中对信号进行研究和处理的一种过程，称为频谱分析。
怎样进行频谱分析：利用频谱分析仪进行测量，输入信号不能有失真，因此要按特定应用的要求设置频谱分析仪和优化测量步骤，以达到最好的技术指标。
下面的测量提示对这些步骤有详细的说明。
1. 选择最好的分辨率带宽 (RBW)必须认真考虑分辨率带宽 (RBW)的设置，因为他关系到频谱成分的分离，适宜的噪声基底的设置和信号的解调。
通过低电平信号的测量，可以看到使用窄RBW的优点。
在使用窄RBW时，频谱分析仪显示出较低的平均噪声级 (DANL)，且动态范围增加，灵敏度有所改进。
在图3中，把RBW从100kHz改变到10kHz 将能更好地分辨-95dBm的信号。
但并非任何情况都是最窄的RBW最好。
对于调制信号，RBW一定要设置得足够宽，使它能将信号边带包括在内。
如果忽略这一点，测量将是极不精确的。
窄RBW设置的一项重要缺点是扫频速度。
更宽的RBW设置在给定频率范围内允许更快的扫频。
图4和图5比较了在200MHz频率范围内，10kHz和 3kHzRBW的扫频时间。
一定要知道RBW 选择时所必须的基本权衡因素，使得用户在明白哪些参数最为重要的时候，给以适当的优化。
但在权衡不可避免时，现代频谱分析仪可为您提供弱化，甚至消除这些因素的方法。
通过使用数字信号处理，频谱分析仪在实现更精确的测量的同时还提供更高的速度，即使是使用窄RBW。
2. 改进测量精度在进行任何测量前，必须了解有哪些可以改进幅度和频率测量精度的技术。
自校准功能可用来产生误差校正系数 (例如幅度改变—分辨率带宽)，分析仪随后用它校正测量数据，得到更好的幅度测量结果，并使您能在测量过程中更灵活地改变控制。
当被测装置接到经校准的分析仪时，信号传输网络可能会使感兴趣信号减弱或变形，必须在测量中排除这一影响，见图6。
一种方法是使用分析仪的内置幅度校正功能，一个信号源以及一个功率表。
实验三频谱分析实验一、实验目的1. 通过对输入模拟信号频谱的观察和分析，加深对傅里叶变换和信号频率特性的理解。
2. 掌握频谱分析模块的使用方法。
二、实验内容1. 将信号源输出的模拟信号输入本模块，观察其频谱。
2. 将其它模块输出的模拟信号输入本模块，观察其频谱。
三、实验器材频谱分析模块、信号源模块、其它功能模块、20MHz双踪示波器、连接线四、实验原理模拟信号从S-IN输入，经过低通滤波以后，通过用拨码开关K3进行选择的通道（拨码开关有4位，分别对应最高频率为1K，10K，100K，1M的输入信号），经10位A/D转换器UB06（TLC876C）对经预处理后的模拟信号进行A/D转换（通过用拨码开关K2选择合适的采样率），然后将数字信号传送到UB01（TMS320VC5402）进行处理。
最后把处理后的信号经两片8位D/A转换器UB09（AD7524）、UB10（AD7524）进行D/A转换以后分成X轴信号和Y轴信号输出到示波器上进行频谱观察。
实验电路工作原理框图如下所示：图3-1 频谱分析模块原理框图1．低通滤波器低通滤波器的作用是抗混叠。
所谓“混叠”是指信号的最高频率超过1/2倍的采样频率时，部分频率成分互相交叠起来的现象。
这时，混叠的那部分频率成分的幅值就与原始情况不同，采样就造成了信息的损失。
因此在采样前需对输入信号做滤波，以去掉输入信号中高于1/2倍采样频率的那部分频率成分。
这种用以防混叠的模拟滤波器又称为“抗混叠滤波器”。
本实验中采用的抗混叠滤波器是二阶巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器，其原理图如下：频谱观察。
五、实验步骤1. 将信号源模块和频谱分析模块小心地固定在主机箱上，确保电源接触良好。
2. 插上电源线，打开主机箱右侧的交流开关，再按下信号源模块上的开关POWER1、POWER2和频谱分析模块上的开关POWER1、POWER2，对应的发光二极管LED001、LED002、L1、L2发光，各模块开始工作。
Matlab 信号处理工具箱 帮助文档 谱估计专题翻译：无名网友 & Lyra频谱分析Spectral estimation （谱估计）的目标是基于一个有限的数据集合描述一个信号的功率（在频率上的）分布。
功率谱估计在很多场合下都是有用的，包括对宽带噪声湮没下的信号的检测。
从数学上看，一个平稳随机过程n x 的power spectrum （功率谱）和correlation sequence （相关序列）通过discrete-time Fourier transform （离散时间傅立叶变换）构成联系。
从normalized frequency （归一化角频率）角度看，有下式()()j mxx xxm S R m eωω∞-=-∞=∑注：()()2xx S X ωω=，其中()/2/2lim N j n n N N X x e ωω=-=∑πωπ-<≤。
其matlab 近似为X=fft(x,N)/sqrt(N)，在下文中()L X f 就是指matlab fft 函数的计算结果了使用关系2/s f f ωπ=可以写成物理频率f 的函数，其中s f 是采样频率()()2/sjfm f xx xxm S f R m eπ∞-=-∞=∑相关序列可以从功率谱用IDFT 变换求得：()()()/22//22sss f jfm f j m xx xx xx sf S e S f e R m d df f πωππωωπ--==⎰⎰序列n x 在整个Nyquist 间隔上的平均功率可以表示为()()()/2/202ss f xx xx xx sf S S f R d df f ππωωπ--==⎰⎰ 上式中的()()2xx xx S P ωωπ=以及()()xx xx sS f P f f =被定义为平稳随机信号n x 的power spectral density (PSD)（功率谱密度） 一个信号在频带[]1212,,0ωωωωπ≤<≤上的平均功率可以通过对PSD 在频带上积分求出从上式中可以看出()xx P ω是一个信号在一个无穷小频带上的功率浓度，这也是为什么它叫做功率谱密度。
PSD 的单位是功率（e.g 瓦特）每单位频率。
在()xx P ω的情况下，这是瓦特/弧度/抽或只是瓦特/弧度。
在()xx P f 的情况下单位是瓦特/赫兹。
PSD 对频率的积分得到的单位是瓦特，正如平均功率[]12,P ωω所期望的那样。
对实信号，PSD 是关于直流信号对称的，所以0ωπ≤≤的()xx P ω就足够完整的描述PSD 了。
然而要获得整个Nyquist 间隔上的平均功率，有必要引入单边PSD 的概念：()()0020onesided xx P P πωωωωπ-≤<⎧=⎨≤<⎩ 信号在频带[]1212,,0ωωωωπ≤<≤上的平均功率可以用单边PSD 求出[]()2121,onesidedP P d ωωωωωω=⎰频谱估计方法cpsdCpsdMatlab 信号处理工具箱提供了三种方法 Nonparametric methods （非参量类方法）PSD 直接从信号本身估计出来。
最简单的就是periodogram （周期图法），一种改进的周期图法是Welch's method 。
更现代的一种方法是multitaper method （多椎体法）。
Parametric methods （参量类方法）这类方法是假设信号是一个由白噪声驱动的线性系统的输出。
这类方法的例子是Yule-Walker autoregressive (AR) method 和Burg method 。
这些方法先估计假设的产生信号的线性系统的参数。
这些方法想要对可用数据相对较少的情况产生优于传统非参数方法的结果。
Subspace methods （子空间类）又称为high-resolution methods （高分辨率法）或者super-resolution methods （超分辨率方法）基于对自相关矩阵的特征分析或者特征值分解产生信号的频率分量。
代表方法有multiple signal classification (MUSIC) method 或eigenvector (EV) method 。
这类方法对线谱（正弦信号的谱）最合适，对检测噪声下的正弦信号很有效，特别是低信噪比的情况。
Nonparametric Methods 非参数法下面讨论periodogram, modified periodogram, Welch, 和 multitaper 法。
同时也讨论CPSD 函数，传输函数估计和相关函数。
Periodogram 周期图法一个估计功率谱的简单方法是直接求随机过程抽样的DFT ，然后取结果的幅度的平方。
这样的方法叫做周期图法。
一个长L 的信号[]L x n 的PSD 的周期图估计是注：这里()L X f 运用的是matlab 里面的fft 的定义不带归一化系数，所以要除以L 其中()[]12/0s L jfn f L L n X f x n e π--==∑实际对()L X f 的计算可以只在有限的频率点上执行并且使用FFT 。
实践上大多数周期图法的应用都计算N 点PSD 估计0,1,,1N -其中()[]12/0L jkn N L k L n X f x n e π--==∑选择N 是大于L 的下一个2的幂次是明智的，要计算[]L k X f 我们直接对[]L x n 补零到长度为N 。
假如L>N ，在计算[]L k X f 前，我们必须绕回[]L x n 模N 。
作为一个例子，考虑下面1001元素信号n x ，它包含了2个正弦信号和噪声下面从四个角度讨论周期图法估计的性能：泄漏，分辨率，偏差和方差。
频谱泄漏考虑有限长信号[]L x n ，把它表示成无限长序列[]x n 乘以一个有限长矩形窗[]R w n 的乘积的形式经常很有用：[][][]L R x n x n w n =⋅因为时域的乘积等效于频域的卷积，所以上式的傅立叶变换是()()()/2/21s s f L R sf X f X W f d f ρρρ-=-⎰前文中导出的表达式()()2ˆL xxs X f P f f L=说明卷积对周期图有影响。
正弦数据的卷积影响最容易理解。
假设[]x n 是M 个复正弦的和[]1k Mj n k k x n A e ω==∑其频谱是()()1Ms k k k X f f A f f δ==-∑对一个有限长序列，就变成了()()()()/211/21s s f M ML s k k R k R k k k sf X f f A f W f d A W f f f δρρρ==-=--=-∑∑⎰所以在有限长信号的频谱中，Dirac 函数被替换成了形式为()R k W f f -的项，该项对应于矩形窗的中心在k f 的频率响应。
一个矩形窗的频率响应形状是一个sinc 信号，如下所示该图显示了一个主瓣和若干旁瓣，最大旁瓣大约在主瓣下方13.5dB处。
这f处，些旁瓣说明了频谱泄漏效应。
无限长信号的功率严格的集中在离散频率点kf附近有连续的功率。
而有限长信号在离散频率点k因为矩形窗越短，它的频率响应对Dirac冲击的近似性越差，所以数据越短它的频谱泄漏越明显。
考虑下面的100个采样的序列注意到频谱泄露只视数据长度而定。
周期图确实只对有限数据样本进行计算，但是这和频谱泄露无关。
分辨率分辨率指的是区分频谱特征的能力，是分析谱估计性能的关键概念。
要区分两个在频率上离得很近的正弦，要求两个频率差大于任何一个信号泄漏频谱的主瓣宽度。
主瓣宽度定义为主瓣上峰值功率一半的点间的距离（3dB 带宽）。
该宽度近似等于/s f L两个频率为1f 2f 的正弦信号，可分辨条件是上例中频率间隔10Hz ，数据长度要大于100抽才能使得周期图中两个频率可分辨。
下图是只有67个数据长度的情况上述对分辨率的讨论都是在高信噪比的情况进行的，因此没有考虑噪声。
当信噪比低的时候，谱特征的分辨更难，而且周期图上会出现一些噪声的伪像，如下所示周期图是对PSD 的有偏估计。
期望值可以是()()()2/22/21ss f L xx R s s f X f E P W f d f L f L ρρρ-⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎰ 该式和频谱泄漏中的()L X f 式相似，除了这里的表达式用的是平均功率而不是幅度。
这暗示了周期图产生的估计对应于一个有泄漏的PSD 而非真正的PSD 。
注意()2R W f ρ-本质上是一个三角Bartlett 窗（事实是两个矩形脉冲的卷积是三角脉冲。
）这导致了最大旁瓣峰值比主瓣峰值低27dB ，大致是非平方矩形窗的2倍。
周期图估计是渐进无偏的。
这从早期的一个观察结果可以明显看出，随着记录数据趋于无穷大，矩形窗对频谱对Dirac 函数的近似也就越来越好。
然而在某些情况下，周期图法估计很差劲即使数据够长，这是因为周期图法的方差，如下所述。
周期图法的方差()()()()222sin 2/var 1sin 2/L s xx s s X f Lf f P f f L L f f ππ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎢⎥≈+ ⎪⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭L 趋于无穷大，方差也不趋于0。
用统计学术语讲，该估计不是无偏估计。
然而周期图在信噪比大的时候仍然是有用的谱估计器，特别是数据够长。
Modified Periodogram修正周期图法在fft前先加窗，平滑数据的边缘。
可以降低旁瓣的高度。
旁瓣是使用矩形窗产生的陡峭的剪切引入的寄生频率，对于非矩形窗，结束点衰减的平滑，所以引入较小的寄生频率。
但是，非矩形窗增宽了主瓣，因此降低了频谱分辨率。
函数periodogram允许指定对数据加的窗，例如默认的矩形窗和Hamming窗事实上加Hamming窗后信号的主瓣大约是矩形窗主瓣的2倍。
对固定长度信号，Hamming窗能达到的谱估计分辨率大约是矩形窗分辨率的一半。
这种冲突可以在某种程度上被变化窗所解决，例如Kaiser窗。
非矩形窗会影响信号的功率，因为一些采样被削弱了。
为了解决这个问题函数periodogram将窗归一化，有平均单位功率。
这样的窗不影响信号的平均功率。
修正周期图法估计的PSD是其中U是窗归一化常数假如U保证估计是渐进无偏的。
Welch法包括：将数据序列划分为不同的段（可以有重叠），对每段进行改进周期图法估计，再平均。
用spectrum.welch对象，或pwelch函数。
默认情况下数据划分为4段，50%重叠，应用Hamming窗。
取平均的目的是减小方差，重叠会引入冗余但是加Hamming窗可以部分消除这些冗余，因为窗给边缘数据的权重比较小。
