2020届河北省九校高三上学期第二次联考数学(文)试题(解析版)

2019-2020学年度上学期高三年级九模考试（文科）数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）2. ）A. 2B. 1C. 0D. -13. ，则输入的）学|科|网...学|科|网...A. 1B. 2C. 4D. 1或44. ，时，（，的值为（）A. 4B. -4C. 6D. -65. ）6. 《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A. 18 B. 17 C. 16 D. 157. 如图，在圆周上等可能的任取一点的长度超过）8. 已知函数）A. B.C. D.9. ，，为（）10. 若非零向量满足，则下列不等式恒成立的为（）D.11. ，，若）C. D.12. 四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 2．14. ________．15. 设函数，对任意的取值范围是______．16. ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1（218. 中，，的中点，（1（2，使得？若存在，请求出.19. 交警随机抽取了途经某服务站的40辆小型轿车在经过某区间路段的车速（单位：，现将其分成六组为率分布直方图.（1（2.20. 与抛物线时，弦（1）求抛物线（2，且直线点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.21. .（1（2）在（1请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线（，右焦点，为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1（2且与直线两点，求.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（1（2的图象恒有公共点，求实数.2019-2020学年度上学期高三年级九模考试（文科）数学试卷解析版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）【答案】D【解析】故选：D2. ）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】故选：D3. ，则输入的）A. 1B. 2C. 4D. 1或4【答案】D输出的或，故选D.4. 满足对任意的，时，（，的值为（）A. 4B. -4C. 6D. -6【答案】B，，即函数B考点：奇函数的性质，对数的运算5. ）【答案】A【解析】试题分析：时，；成立的充要条件不是因为函数R成立的充要条件是D．考点：1、不等式的性质; 2、充要条件．6. 《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A. 18 B. 17 C. 16 D. 15【答案】B【解析】由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17.故选：B.7. 如图，在圆周上等可能的任取一点的长度超过）【答案】D【解析】本题利用几何概型求解．测度是弧长．根据题意可得，满足条件：“弦MN其构成的区域是半圆，则弦MN的概率是故选：D．8. ）A. B.C. D.【答案】A【解析】当增，则B、D错误；所以A正确，故选A.学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...9. ，，为（）【答案】A【解析】作出可行域，如图：表示可行域上的动点与连线的斜率，，点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10. 满足）D.【答案】A【解析】A.C满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，∴可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；；又BA+BC>AC点睛：点睛:这个题目考查了向量加法的三角形法则,向量形式的三角形不等式法则,有一定的计算量.对于向量的小题常用的方法有:数形结合法,建系的方法,见模平方的意识,基底化的意识.11. ，，若）C. D.【答案】C【解析】，则可得三为直角三角形，在C.【方法点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：，②③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据特殊直角三角形可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找12. ）【答案】C【解析】为矩形，，作中，，，，，.选C.【点睛】求几何体的外接球的半径问题，常用方法有三种：（1）恢复长方体，（2）锥体或柱体“套”在球上，（3）过两个面的外心作垂线，垂线的交点即为球心.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 2．【答案】2【解析】抛物线的标准方程：y2=ax0），准线方程为x=由抛物线的焦半径公式|PF|=x0，解得：a=2，故答案为：2．点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。

2020届高三数学上学期第二次大联考试题文（含解析）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合A，直接进行集合的交集运算.【详解】因为，所以.故选：A【点睛】本题考查集合的交集，考查运算求解能力，属于基础题.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接按照复数的乘法法则运算即可.【详解】.故选：B【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.3.已知函数，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析】结合分段函数解析式,先求出,进而可求出.【详解】由题意可得，则.故选:C.【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.4.已知向量满足，那么与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将平方后将代入整理即可得到夹角.【详解】由，得,即,又，所以cosθ＝﹣，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故选C．【点睛】本题考查向量的模的运算及向量的夹角，属简单题5.若函数为奇函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【分析】首先利用奇函数满足列出方程求出，从而求得函数解析式，代入值求解即可.【详解】因为为奇函数，所以，即，整理得，解得，则，故.故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.6.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案.【详解】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故, ,.故选:D.【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.7.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则，，通过三角函数诱导公式及二倍角公式进行化简求值即可.【详解】设，则，，故.故选：B【点睛】本题考查三角恒等变换，属于基础题.8.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数.设，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用偶函数的对称性分析函数的单调性，利用指数函数、对数函数的单调性比较出的大小关系从而比较函数值的大小关系.【详解】由题意可知在上是增函数，在上是减函数.因为，，，所以，故.故选：A【点睛】本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性及对称性判断函数值的大小关系，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题.9.如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥中，为侧棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先通过作平行的辅助线确定异面直线与所成角的平面角，在中利用余弦定理求出进而求出CE，再在中利用余弦定理即可得解.【详解】如图，取的中点，的中点，的中点，连接，，，，则，，从而四边形是平行四边形，则，且因为是的中点，是的中点，所以为的中位线，所以，则是异面直线与所成的角.由题意可得，.在中，由余弦定理可得，则，即.在中，由余弦定理可得.故选：D【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.10.给出下列三个命题：①“”的否定；②在中，“”是“”的充要条件；③将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．其中假命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.【详解】对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题．故假命题有①③.故选:C【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.11.已知函数在上单调递增，则的取值范围（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.【详解】由,可得,时,,而,又在上单调递增,且,所以,则,即,故.故选:B.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.12.已知函数恰有三个零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】函数的零点等价于与的图像的交点个数，分析两函数图像的交点将问题转化为方程在上有两个不同的解，利用导数求出的最大值即可得解.【详解】若，则，函数在R上无零点，不满足题意，，函数的零点个数即与的图像的交点个数.因为与的图像在上有且只有一个交点，所以与的图像在上有两个交点，又等价于，即，记，则，令，解得，令，解得，所以，故，即.故选：B【点睛】本题考查函数与方程，利用导数研究函数的单调性及最值，属于较难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.函数的极小值是______.【答案】【解析】【分析】求出导数，由导数的符号判断函数的单调性从而找到极小值点，代入解析式求出函数值即可.【详解】，，令，解得，当时，，当时，.故在处取得极小值，极小值为.故答案为：【点睛】本题考查利用导数求函数的极小值，属于基础题.14.若实数x，y满足约束条件，则的最大值为________.【答案】3【解析】【分析】作出可行域,可得当直线经过点时,取得最大值,求解即可.【详解】作出可行域（如下图阴影部分）,联立,可求得点,当直线经过点时,.故答案为:3.【点睛】本题考查线性规划,考查数形结合的数学思想,属于基础题.15.记等差数列和的前项和分别为和，若，则______.【答案】【解析】【分析】根据题意设，，利用等差数列的性质(若则)可得，，从而求得比值.【详解】因为，所以可设，，，，，，故.故答案为：【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.16.在四面体中，，.球是四面体的外接球，过点作球的截面，若最大的截面面积为，则四面体的体积是______.【答案】【解析】【分析】将四面体补成一个长方体，过点A的最大截面面积为大圆面积可求出外接球的半径，代入长方体的外接球的直径计算公式()求出长方体的高，用长方体的体积减去三个相同的三棱锥的体积即为所求。

2020届河北省九校高三下学期第二次联考试题第一部分（共20小题每，小题1.5分，满分30分）1．The Lifelong Learning Programme ________ to enable people to take part in learning experiences has taken off across Europe.A．having been designed B．being designedC．designed D．designing2．—Tony, do remember to send the report to the sales manager!—________.A．Made it B．Got itC．Heard it D．Followed it3．By serving others, a person focuses on someone other than himself or herself, ________ can be very eye-opening and rewarding.A．who B．whichC．what D．that4．When I was small, my mom ________read me stories at night.A．could B．shouldC．might D．would5．Creating an atmosphere ______ employees feel part of a team is a big challenge.A．where B．whoseC．that D．which6．—What do you think of Tom?—He has been working very hard. ______ he is an advanced worker.A．No wonder B．No doubt C．No worry D．No problem7．Sorry I’m so late, but you cannot imagine ________ great trouble I took to find your house.A．which B．howC．what D．that8．Contrary to popular belief, taking a walk immediately after meals doesn’t _______ do good to our health. A．necessarily B．specially C．directly D．constantly9．Yesterday is history, tomorrow is a mystery, only today is a gift, and that is ______ we call it present. A．how B．when C．why D．where10．After three years of preparation for the 2011 Xi’an International Horticultural Expo (西安园博) 会），the city is presenting the world______ many people think is the green Special Olympics．A．that B．which C．what D．where11．Let Harry play with your toys as well, Clare — you must learn to ________.A．support B．careC．spare D．share12．My friend warned me ______ going to the East Coast because it was crowded with tourists.A．by B．against C．on D．for13．Bob was trying to ________ that he knew the famous singer who would perform in our city.A．let out B．lay outC．figure out D．make out14．It was the belief ________ he could find his “root” in Africa ________ made Alex decide to go to Gambia.A．that; where B．where; thatC．that; that D．how; which15．Soon after getting off his horse, the captain appeared at the second-floor windows, ______ he could see nothing but trees.A．where B．from whereC．which D．from which16．Two professors at Harvard University published a study of 3,300 new graduates, looking at ________ their names had any bearing on their academic performance.A．that B．how C．why D．whether17．There has been positive reaction to the proposal to help the disabled, the impact will be lasting especially for younger ones.A．on which B．on whomC．of which D．of whom18．______ he was 12, Einstein had learned advanced mathematics by himself.A．The first time B．At the timeC．By the time D．During the time19．______almost one hundred jin, the stone was moved by him alone.A．Weighed B．Weighing C．It weighed D．To weigh20．You won’t find paper cutting difficult _____you keep practicing it.A．even if B．as long as C．as if D．ever since第二部分阅读理解（满分40分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。

2020届河北省保定一中高三上学期第二次阶段测试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}{}222320A x x B x x x =-<=-+<，.则R A C B ⋂= A ．(][)0,12,4 B ．()1,2 C ．∅D ．()(),04,-∞+∞【答案】A【解析】解二个不等式，化简集合,A B ，先求出R C B ,最后求出R A C B ⋂. 【详解】因为2204x x -<⇒<<，232012x x x -+<⇒<<，所以{}{}0412A x x B x x =<<=<<，，因此{}1,2R C B x x x =≤≥或， 所以R A C B ⋂=(][)0,12,4，故本题选A.【点睛】本题考查了集合的交集、补集运算，正确解不等式是解题的关键. 2．复数31ii +（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】复数31ii(1i)1i i +=+=-+，其在复平面上对应的点为(1,1)-，该点位于第二象限． 故选B ．点晴:本题重点考查复数的基本运算和复数的概念.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)()()i,(,,,)a b c d ac bd ad bc a b c d ++=-++∈R ，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b ，模为(,)a b ，共轭复数为i(,)a b a b -∈R3．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．1y x =B ．1y x =+C ．lg y x =D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【解析】判断每一个函数的奇偶性和单调性得解. 【详解】 A. 1y x=,是奇函数不是偶函数，所以该选项错误； B. ()1,()1()f x x f x x f x =+∴-=+=,所以函数是偶函数，由于函数||y x =在区间()0,∞+上是增函数，所以函数1y x =+在区间()0,∞+上单调递增，所以该选项是正确的；C. lg y x =不是偶函数，所以该选项是错误的；D. 1()()2xf x f x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以函数是偶函数，由于函数||y x =在区间()0,∞+上是增函数，1()2x y =在()0,∞+上是减函数，所以函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上是减函数，所以该选项错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据奇偶性定义可判断出为奇函数，且可判断出在上单调递增；利用奇偶性将变为；比较自变量之间的大小关系，根据单调性可得函数值之间的大小关系，从而得到结果. 【详解】 由题意知：定义域为：，且为定义在上的奇函数当时，单调递增且即：本题正确选项： 【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性比较大小的问题，关键是能够通过函数性质将问题转化为自变量之间的比较. 5．不等式组1,{24,x y x y +≥-≤的解集为D,有下面四个命题：1:(,),22p x y D x y ∀∈+≥-，2:(,),22p x y D x y ∃∈+≥， 3:(,),23p x y D x y ∀∈+≤4:(,),21p x y D x y ∃∈+≤-，其中的真命题是（ ） A ．23,p p B ．12,p pC ．13,p pD ．14,p p【答案】B【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，设2x y z +=，则122zy x =-+，当直线l 过点(2,1)A -时，z 取到最小值，min 22(1)0z =+⨯-=，故2x y +的取值范围为20x y +≥，所以正确的命题是12,p p ，选B ．【考点定位】1、线性规划；2、存在量词和全称量词．6．执行如图所示的程序框图，则输出的i =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】依次循环为02S i =+== ；3S i === ；1,4S i === ；1,5S i =>=；结束循环，输出5i = ，选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7．函数1()ln ||f x x x=+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分别令1001,e,e ex =-，根据()f x 的函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】由四个选项的图像可知()11f =，令1e x =，()11e 11e f f ⎛⎫=-+>= ⎪⎝⎭，由此排除C 选项.令e x =，()()1e 111ef f =+>=，由此排除B 选项.由于()1001001e 1000ef -=->，排除D 选项.故本小题选A. 【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的方法，属于基础题.8．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D 【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+， 所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=， 化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.9．已知在各项为正数的等比数列{}n a 中，2a 与8a 的等比中项为8，则374a a +取最小值时，首项1a =（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ．1【答案】C【解析】由题意可得58a =，可得23723248a a q q +=+，由基本不等式和等比数列的通项公式可得结果. 【详解】∵22285588a a a a ==⇒=，设公比为0q q >（），∴225375224324832a a a a q q q q +=+=+=… 当且仅当22328q q =，即22q =时取等号，此时5142a a q ==，故选C. 【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有等比数列的性质，利用基本不等式求最值，属于简单题目.10．已知(cos 2,sin ),(1,2sin 1),,2a b πααααπ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭，若25a b ⋅=，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．13B ．27C ．17D ．23【答案】C【解析】运用平面向量数量积的坐标表示公式，结合25a b ⋅=，可以求出3sin 5α=，结合,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，根据同角三角函数的关系式，可以求出3tan 4α=-，最后利用两角和的正切公式求出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】222cos2sin (2sin 1)12sin 2sin sin 1sin 5a b ααααααα⋅=+-=-+-=-=， 所以3sin 5α=. 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以4cos 5α=-，所以3tan 4α=-，所以tan 11tan 41tan 7πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了两角和的正切公式，考查了数学运算能力. 11．函数的图象恒过定点A ，若点A 在直线上，其中，，则的最小值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．【答案】D【解析】由指数函数的性质得出点的坐标，将点的方程代入直线方程得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可得出的最小值.【详解】 令，得，则，函数的图象恒过点，点在直线上，可得，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：D.【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查指数型函数过定点问题，解题的关键在于根据已知条件得出定值条件，并对代数式进行合理配凑与变形，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.12．已知定义在R 上的奇函数，满足(2)()0f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，2()log f x x =-，若函数()()()sin π=-F x f x x ，在区间[]1-，m 上有10个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3.54，B ．(]3.5,4C ．(]5,5.5D ．[)55.5， 【答案】A【解析】由()()20f x f x -+=得出函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称以及函数()y f x =的周期为2，由函数()y f x =为奇函数得出()00f =，并由周期性得出()2f =()40f =，然后作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象，列举前10个交点的横坐标，结合第11个交点的横坐标得出实数m 的取值范围。

2020年河北省邯郸市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，若A∩B＝{0，2），则a＝（）A．0B．1C．2D．32．设i是虚数单位，若复数z满足z（1﹣i）＝i，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a4．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（）A．B．C．D．5．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1+3a5＝12，则S7＝（）A．18B．21C．24D．276．已知向量（5，5），2（﹣3，11），则向量在向量方向上的投影为（）A．1B．C．D．﹣17．已知函数f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ图象的一个对称中心为，则φ的一个可能值为（）A．B．C．D．8．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641*6700417，不是质数．现设a n＝log4（F n﹣1）（n＝1，2，…），S n表示数列{a n}的前n项和．若32S n＝63a n，则n＝（）A．5B．6C．7D．89．已知双曲线C：的右焦点为F，点N在C的渐近线上（异于原点），若M点满足，且，则|MN|＝（）A．2a B．C．4a D．10．已知曲线y＝ae x﹣1绕原点顺时针旋转θ后与x轴相切，若tanθ＝2，则a＝（）A．B．1C．D．211．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD＝4，过AA1作平面α使BD⊥α，且平面α∩平面A1B1C1D1＝l，M∈l．下面给出了四个命题：这四个命题中，真命题的个数为（）①l∥AC；②BM⊥AC；③l和AD1所成的角为60°；④线段BM长度的最小值为．A．1B．2C．3D．412．已知若函数g（x）＝f2（x）﹣mf（x）﹣1恰有5个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．（0，2）D．（0，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x，y满足则z＝2x+y的最大值为．14．已知α是锐角，且sin（α）．则sin（α）＝．15．我国古代数学名著《九章算术•商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵．其一为阳马，一为鳖臑”．如图，在一个为“阳马”的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB＝2．AD，PA⊥平面ABCD，若直线PD与平面ABCD所成的角为60°，则PA＝，该“阳马”外接球体积为．16．已知直线x﹣my﹣2＝0与抛物线C：交于A，B两点．P是线段AB的中点，过P作x轴的平行线交C于点Q，若以AB为直径的圆经过Q，则m＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学．某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程．该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了500名学生对该线上课程评分．其频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分低于80分的概率估计值为0.45．（1）（i）求直方图中的a，b值；（ii）若评分的平均值和众数均不低于80分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60，70）和[90，100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在[60，70）内的概率．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．（1）求A；（2）若△ABC是锐角三角形，且a＝3．求的取值范围．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝2AC＝4，AB＝3，∠CAB＝90°．M是CC1的中点．（1）证明：平面A1B1M⊥平面ABM；（2）求四棱锥M﹣ABB1A1的侧面积．20．已知长轴长为的椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，且以F1、F2为直径的圆与C恰有两个公共点．（1）求椭圆C的方程；（2）若经过点F2的直线l与C交于M，N两点，且M，N关于原点O的对称点分别为P，Q，求四边形MNPQ面积的最大值．21．已知函数为f（x）的导函数．（1）若f'（x）在区间上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若，求证：当a≤3时．．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应题号后面的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝1．（1）求C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标；（2）若曲线C3：θ＝β（ρ＞0）与C1，C2的交点分别为M，N，求|OM|•|ON|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x﹣1|﹣2|x+1|．（1）解不等式f（x）≤0；（2）记函数f（x）的最大值为m，且a+b+c＝m，求证：（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥12．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，若A∩B＝{0，2），则a＝（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，A∩B＝{0，2），∴a＝2．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设i是虚数单位，若复数z满足z（1﹣i）＝i，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：由z（1﹣i）＝i，得．∴复数z对应的点的坐标为（），在第二象限．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a【分析】结合指数与对数函数的单调性分别确定a，b，c的范围，进而可比较大小．解：a1，b0，c log32∈（0，1），故b＜c＜a，故选：A．【点评】本题主要考查了利用函数单调性比较大小，属于基础试题．4．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（）A．B．C．D．【分析】由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果．解：设阴影部分的面积为S，结合几何概型公式可得：；解得S＝3：【点评】本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．5．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1+3a5＝12，则S7＝（）A．18B．21C．24D．27【分析】由a1+3a5＝12，可得：4a1+12d＝12，化为a1+3d＝3＝a4，利用性质可得：S77a4．解：由a1+3a5＝12，可得：4a1+12d＝12，∴a1+3d＝3＝a4，∴S77a4＝21．故选：B．【点评】本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式及其性质等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．6．已知向量（5，5），2（﹣3，11），则向量在向量方向上的投影为（）A．1B．C．D．﹣1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算，由和2的坐标计算出向量，然后由平面向量数量积的定义可知，向量在方向上的投影为，再结合数量积的坐标运算即可得解．解：∵（5，5），2（﹣3，11），∴，∴向量在方向上的投影为，【点评】本题考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7．已知函数f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ图象的一个对称中心为，则φ的一个可能值为（）A．B．C．D．【分析】先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性即可求解．解：f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ＝sin（2x+φ），由题意可得，sin（φ）＝0，所以φkπ即φkπ，k∈Z，结合选项可知，当k＝﹣1时，φ．故选：A．【点评】本题主要考查了和差角公式在三角化简中的应用及正弦函数的对称性的应用，属于基础试题．8．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641*6700417，不是质数．现设a n＝log4（F n﹣1）（n＝1，2，…），S n表示数列{a n}的前n项和．若32S n＝63a n，则n＝（）A．5B．6C．7D．8【分析】利用数列的递推关系式，求出通项公式，然后通过等比数列求解数列的和，然后求解n即可．解：因为，所以a n＝log4（F n﹣1）2n﹣1，所以{a n}是等比数列，首项为1，公比为2，所以S n2n﹣1．所以32（2n﹣1）＝63×2n﹣1，解得n＝6，故选：B．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断，数列求和，考查计算能力．9．已知双曲线C：的右焦点为F，点N在C的渐近线上（异于原点），若M点满足，且，则|MN|＝（）A．2a B．C．4a D．【分析】画出图形，利用F是OM的中点，且ON⊥MN，作FH⊥ON于H，然后转化求解即可．解：双曲线C：的一条渐近线y＝2x的斜率为：2，且b＝2a，F（，0）．由题意可得：F是OM的中点，且ON⊥MN，作FH⊥ON于H，则|FH|2a，所以|MN|＝4a，故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，数形结合以及计算能力，是中档题．10．已知曲线y＝ae x﹣1绕原点顺时针旋转θ后与x轴相切，若tanθ＝2，则a＝（）A．B．1C．D．2【分析】由题意可知，未转动前曲线与直线y＝2x相切，由此设切点为（x0，y0），求切点处导数，并令其为2，求出x0，即可求出a的值．解：由已知得：曲线y＝ae x﹣1与直线y＝2x相切．设切点为（x0，y0），因为y′＝ae x﹣1，所以①，又切点满足：②，①②两式联立解得：x0＝1，a＝2．故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和化简运算能力．属于中档题．11．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD＝4，过AA1作平面α使BD⊥α，且平面α∩平面A1B1C1D1＝l，M∈l．下面给出了四个命题：这四个命题中，真命题的个数为（）①l∥AC；②BM⊥AC；③l和AD1所成的角为60°；④线段BM长度的最小值为．A．1B．2C．3D．4【分析】由ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得BD⊥平面A1ACC1，结合题意可得面A1ACC1为平面α，直线A1C1为l，可知①正确；只有当M为A1C1的中点时，有BM⊥AC，当M在l上其它位置时，BM与AC不垂直，可知②错误；由题意，知∠A1C1B即为l和AD1所成角，由A1B＝BC1≠A1C1，得∠A1C1B≠60°，故③错误；当M是A1C1的中点时，BM⊥A1C1，此时线段BM取得最小值，求得BM判断④错误．解：由ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得BD⊥平面A1ACC1，即平面A1ACC1为平面α，直线A1C1为l，则l∥AC，故①正确；由M∈l，即M∈A1C1，只有当M为A1C1的中点时，有BM⊥AC，当M在l上其它位置时，BM与AC不垂直，故②错误；由AD1∥BC1，可知∠A1C1B即为l和AD1所成角，∵A1B＝BC1≠A1C1，∴∠A1C1B≠60°，故③错误；由A1B＝BC1，可知当M是A1C1的中点时，BM⊥A1C1，此时线段BM取得最小值，且BM，∴④错误．故只有①正确．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12．已知若函数g（x）＝f2（x）﹣mf（x）﹣1恰有5个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．（0，2）D．（0，2]【分析】先作出函数的图象，然后结合函数的函数的零点与方程的根的关系，结合二次方程的实根分布问题即可求解解：如图所示，作出f（x）的图象，令f（x）＝t显然t＝0不是方程t2﹣mt﹣1＝0的解，若t＝﹣1是方程t2﹣mt﹣1＝0的解，则m＝0，此时t＝±1，结合图象可知不满足题意，所以g（x）＝f2（x）﹣mf（x）﹣1恰有5个零点等价于t2﹣mt﹣1＝0一个解在（﹣1，0），一个解在（0，2]，令h（t）＝t2﹣mt﹣1，则，解可得，0．故选：B．【点评】本题主要考查了由函数的零点求解参数范围问题，体现了转化思想及数形结合思想的应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x，y满足则z＝2x+y的最大值为2．【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．解：作出约束条件的可行域，如图：直线z＝2x+y经过可行域的A时，z取得最大值，由解得A（1，0），所以z的最大值为：2×1+0＝2．故答案为：2．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出约束条件的可行域是解题的关键，考查计算能力．14．已知α是锐角，且sin（α）．则sin（α）＝．【分析】由已知结合同角基本关系及诱导公式进行化简即可求解．解：因为α是锐角，且sin（α）．所以，cos（），则sin（α）＝sin[（）]＝cos（），故答案为：．【点评】本题主要考查了同角基本关系及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．15．我国古代数学名著《九章算术•商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵．其一为阳马，一为鳖臑”．如图，在一个为“阳马”的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB＝2．AD，PA⊥平面ABCD，若直线PD与平面ABCD所成的角为60°，则PA＝3，该“阳马”外接球体积为π．【分析】以AB，AD，AP为棱构造一个长方体，则该长方体的体对角线为其外接球的直径2R，由此能求出该“阳马”外接球体积．解：由题意得∠PDA＝60°，则PA3，以AB，AD，AP为棱构造一个长方体，则该长方体的体对角线为其外接球的直径2R，即2R4，即R＝2，∴该“阳马”外接球体积为V．故答案为：3，．【点评】本题考查线段长、“阳马”的外接球的体积的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．已知直线x﹣my﹣2＝0与抛物线C：交于A，B两点．P是线段AB的中点，过P作x轴的平行线交C于点Q，若以AB为直径的圆经过Q，则m＝±2．【分析】设AB的坐标，直线与抛物线的方程联立求出两根之和，进而求出AB的中点P 的坐标，由题意求出Q的坐标，进而求出弦长|AB|，|PQ|，再由题意可得m的值．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理可得2y2﹣my﹣2＝0，△＝m2+8＞0，y1+y2，y1y2＝﹣1，所以AB的中点P（2，），则Q（，），即|PQ|2，又|AB||y1﹣y2|，所以2（2）即，解得m＝±2，故答案为：±2．【点评】本题考查抛物线的性质及以线段为直径的圆的性质，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学．某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程．该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了500名学生对该线上课程评分．其频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分低于80分的概率估计值为0.45．（1）（i）求直方图中的a，b值；（ii）若评分的平均值和众数均不低于80分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60，70）和[90，100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在[60，70）内的概率．【分析】（1）（i）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a，b．（ii）由频率分布直方图能求出评分的众数和评分的平均值，从而得到该校学生对线上课程满意．（2）由题知评分在[60，70）和[90，100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60，70）内的为2人，评分在[90，100）的有3人，记评分在[90，100]内的3位学生为a，b，c，评分在[60，70）内的2位学生这D，E，从5人中任选2人，利用列举法能求出这2人中至少一人评分在[60，70）的概率．解：（1）（i）由已知得（0.005+a+0.03）×10＝0.45，解得a＝0.01，又（0.015+b）×10＝0.55，∴b＝0.04．（ii）由频率分布直方图得评分的众数为85，评分的平均值为55×0.05+65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.15＝80，∴该校学生对线上课程满意．（2）由题知评分在[60，70）和[90，100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60，70）内的为2人，评分在[90，100）的有3人，记评分在[90，100]内的3位学生为a，b，c，评分在[60，70）内的2位学生这D，E，则从5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（b，c），（b，D），（b，E），（c，D），（c，E），（D，E），共10种，其中，评分在[90，100]内的可能结果为（a，b），（a，c），（b，c），共3种，∴这2人中至少一人评分在[60，70）的概率为P＝1．【点评】本题考查频率、众数、平均数、概率的求法，考查古典概型、列举法、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．（1）求A；（2）若△ABC是锐角三角形，且a＝3．求的取值范围．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出A的值．（2）利用正弦定理的应用和锐角三角形的角的范围的应用求出结果．解：（1）由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．∴，由于sin B≠0，所以sin A cos B＝2sin C cos A﹣sin B cos A，则：sin（A+B）＝2sin C cos A，即sin C＝2sin C cos A，由于sin C≠0，所以cos A，由于0＜A＜π，所以A．（2）根据正弦定理，所以b＝2．则：．由于△ABC为锐角三角形，所以，即，所以，所以，即，所以，所以的取值范围为（0，）．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝2AC＝4，AB＝3，∠CAB＝90°．M是CC1的中点．（1）证明：平面A1B1M⊥平面ABM；（2）求四棱锥M﹣ABB1A1的侧面积．【分析】（1）由已知求解三角形证明即A1M⊥AM，再证明AB⊥平面ACC1A1，得AB ⊥A1M，由直线与平面垂直的判定可得A1M⊥平面ABM，进一步得到平面A1B1M⊥平面ABM；（2）分别求出四棱锥M﹣ABB1A1的四个侧面三角形的面积，作和得答案．【解答】（1）证明：在矩形ACC1A1中，，AA1＝4．则，即A1M⊥AM，又AB⊥AC，AB⊥AA1，AC∩AA1＝A，则AB⊥平面ACC1A1，∵A1M⊂平面ACC1A1，∴AB⊥A1M，又AB∩AM＝A，∴A1M⊥平面ABM，∵A1M⊂平面A1B1M，∴平面A1B1M⊥平面ABM；（2）解：由（1）知，AB⊥AM，∴．在△ABC中，BC，∴，又．∴四棱锥M﹣ABB1A1的侧面积为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体侧面积的求法，是中档题．20．已知长轴长为的椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，且以F1、F2为直径的圆与C恰有两个公共点．（1）求椭圆C的方程；（2）若经过点F2的直线l与C交于M，N两点，且M，N关于原点O的对称点分别为P，Q，求四边形MNPQ面积的最大值．【分析】（1）由题意可得a的值及b＝c，再由a，b，c之间的关系求出b，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得右焦点F2的坐标，由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由题意可得四边形PQMN为平行四边形，所以四边形的面积等于一个三角形面积的4倍，求出三角形OPQ的面积，由均值不等式可得面积的最大值．解：（1）由题意可得2a＝2，且b＝c，又c2＝a2﹣b2，所以可得a2＝2，b2＝1，所以椭圆的方程为：y2＝1；（2）由（1）可得右焦点F2（1，0），再由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ 的方程为x＝my+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆的方程可得整理可得（2+m2）y2+2my﹣1＝0，所以y1+y2，y1y2，由题意可得四边形MNPQ为平行四边形，所以S＝4S△OPQ＝4|OF2|×|y1﹣y2|＝2×124442，当且仅当1+m2即m＝0时取等号，所以四边形MNPQ面积的最大值为2．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及四边形的面积公式及均值不等式的应用，属于中档题．21．已知函数为f（x）的导函数．（1）若f'（x）在区间上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若，求证：当a≤3时．．【分析】（1）先求f'（x）＝3sin x﹣ax，令g（x）＝3sin x﹣ax，再求导g'（x），原问题可转化为g'（x）≤0在上恒成立，即a≥3cos x恒成立，于是求出y＝3cos x在上的最大值即可；（2）令，原问题转化为证明h（x）≥0，求出h'（x），由于a≤3，所以，再令，再求导p'（x），又令m（x）＝p'（x），又求导m'（x），并得出m'（x）＝﹣3sin x+3≥0，因此m（x）在上单调递增，依此，逐层往回递推直至能证明h（x）≥h（0）＝0即可．解：（1）由题可知，f'（x）＝3sin x﹣ax，令g（x）＝3sin x﹣ax，则g'（x）＝3cos x﹣a，∵f'（x）在区间上单调递减，∴当时，3cos x﹣a≤0，即a≥3cos x恒成立，而当时，3cos x∈[0，3]，∴a≥3．（2）证明：令，则，∵a≤3，∴，令，则p'（x）＝3cos x﹣3+3x，令m（x）＝3cos x﹣3+3x，则m'（x）＝﹣3sin x+3≥0，∴m（x）在上单调递增，即m（x）≥m（0）＝0，∴p'（x）≥0，∴p（x）在上单调递增，即p（x）≥p（0）＝0，则h'（x）≥0，∴h（x）在上单调递增，即h（x）≥h（0）＝0，也就是．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值、不等式恒成立问题，解题的关键是多次构造函数，并求导，判断新函数的性质，然后再逐层往回递推，考查学生的转化与化归的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝1．（1）求C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标；（2）若曲线C3：θ＝β（ρ＞0）与C1，C2的交点分别为M，N，求|OM|•|ON|的值．【分析】（1）根据同角三角函数关系式，消去参数，可得C1的直角坐标方程，再由x ＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入可得极坐标方程；联立C1与C2的极坐标方程，即可得到交点坐标；（2）分别联立曲线C3和C1，C3和C2的极坐标方程，分别得到OM和ON的长度，再求值即可．解：（1）由（α为参数）消去参数可得（x﹣2）2+y2＝4，即x2+y2﹣4x ＝0，又，则ρ2﹣4ρcosθ＝0，即C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ．由，可得4cos2θ＝1，又θ，所以θ＝±，ρ＝2．即C1与C2交点的极坐标为（2，），（2，）．（2）由，可得|OM|＝4cosβ，由，可得|ON|，所以|OM|•|ON|＝4．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程和普通方程的互化，以及利用极坐标方程解决曲线与曲线的交点问题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x﹣1|﹣2|x+1|．（1）解不等式f（x）≤0；（2）记函数f（x）的最大值为m，且a+b+c＝m，求证：（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥12．【分析】（1）由题意可得|2x﹣1|≤2|x+1|，两边平方，化简整理，可得所求解集；（2）运用绝对值不等式的性质可得m＝3，即a+b+c＝3，再由三个数的完全平方公式，结合基本不等式和不等式的性质，即可得证．【解答】（1）解：f（x）≤0即为|2x﹣1|﹣2|x+1|≤0，即|2x﹣1|≤2|x+1|，即为（2x﹣1）2≤4（x+1）2，化为12x≥﹣3，可得x，则原不等式的解集为{x|x}；（2）证明：由f（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+2|≤|2x﹣1﹣2x﹣2|＝3，当x≤﹣1时，上式取得等号，则m＝3，即a+b+c＝3，又（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（c2+a2）＝3（a2+b2+c2）（当且仅当a＝b＝c＝1时取得等号），所以a2+b2+c2（a+b+c）2＝3，则（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝a2+b2+c2+2a+2b+2c+3≥3+2×3+3＝12，则（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥12．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，基本不等式的运用：证明不等式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

绝密★启用前河北省保定市第一中学2020届高三年级上学期第二次阶段性考试数学(文)试题说明：1.本试卷有选择题和非选择题两部分构成，其中选择题60分，非选择题90分，总分150分. 考试时间120分钟.2. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3．考试过程中考生答题必须使用0.5毫米黑色水笔作答,答案必须写在指定的答题区域,在其它区域作答无效.第Ⅰ卷 选择题（60分）一、选择题（本大题有12个小题,每小题5分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求）1．1．设集合{}{}222,B 320A x x x x x =-<=-+<.则R A C B ⋂=( ) A.B. C. D. 2．复数31i i+（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,＋∞)上单调递增的是( ) A. 1y x = B. 1y x =- C. lg y x = D. 12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 4．已知函数1()f x x x =-,若2(log 6)a f =,22(log )9b f =-,0.5(3)c f =,则,,的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5．不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D,有下面四个命题：,,, 其中的真命题是（ ）A ．B ．C ．D ．6．执行如图所示的程序框图,则输出的i =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．函数1()ln ||f x x x=+的图象大致为( ) A ．B ．C ．D ．8．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( )A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =9．．已知在各项为正数的等比数列中,2a 与8a 的等比中项为8,则374a a +取最小值时,首项1a =（ ）A.8B.4C.2D.110．已知：(cos 2,sin )a αα=,(1,2sin 1)b α=-,(,)2παπ∈,若25a b ⋅=则tan()4πα+的值为（ ）。

2019届高三第二次联考试卷文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，∴故选：C点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A. -6B. -2C.D. 6【答案】A【解析】由题意得，∵ 复数是纯虚数，∴，解得．选A．3. 已知向量的夹角为60°，且，则向量在向量方向上的投影为（）A. -1B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】∵向量的夹角为60°，且，∴∴向量在向量方向上的投影为故选：B4. 在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A. -1B. 0C.D. 1【答案】D【解析】试题分析：由题设知,所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据完全正相关,故这组样本数据的样本相关系数为,选D.考点：相关系数.5. 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. “”是“”的必要不充分条件C. 命题“，”的否定是“，”D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】对于选项A，原命题的否命题为“若，则”，故A不正确．..............................对于选项C，命题的否定是“，”，故C不正确．对于选项D，原命题为真命题，所以其逆否命题为真命题．故D正确．选D．6. 在正项等比数列中，若成等差数列，则的值为（）A. 3或-1B. 9或1C. 3D. 9【答案】C【解析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵成等差数列，∴a3=2a2+3a1，化为，即q2﹣2q﹣3=0，解得q=3．则==q=3，故选：C．7. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】B【解析】第一次循环：，不满足；第二次循环：，不满足；第三次循环：，不满足；第一次循环：，不满足；；第十五次循环：，满足；。

2019届高三第二次联考试卷文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，∴故选：C点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A. -6B. -2C.D. 6【答案】A【解析】由题意得，∵ 复数是纯虚数，∴，解得．选A．3. 已知向量的夹角为60°，且，则向量在向量方向上的投影为（）A. -1B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】∵向量的夹角为60°，且，∴∴向量在向量方向上的投影为故选：B4. 在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A. -1B. 0C.D. 1【答案】D【解析】试题分析：由题设知,所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据完全正相关,故这组样本数据的样本相关系数为,选D.考点：相关系数.5. 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. “”是“”的必要不充分条件C. 命题“，”的否定是“，”D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】对于选项A，原命题的否命题为“若，则”，故A不正确．..............................对于选项C，命题的否定是“，”，故C不正确．对于选项D，原命题为真命题，所以其逆否命题为真命题．故D正确．选D．6. 在正项等比数列中，若成等差数列，则的值为（）A. 3或-1B. 9或1C. 3D. 9【答案】C【解析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵成等差数列，∴a3=2a2+3a1，化为，即q2﹣2q﹣3=0，解得q=3．则==q=3，故选：C．7. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】B【解析】第一次循环：，不满足；第二次循环：，不满足；第三次循环：，不满足；第一次循环：，不满足；；第十五次循环：，满足；。

河北省石家庄市2020届高三9月联考数学试卷注意事项：1. 本试卷满分100分，答题时间90分钟。

2. 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在指定位置。

3.答题时使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

第Ⅰ卷一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1、设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i2、设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( )A ．[0，2]B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)3、已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则⌝p 为 ( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤14、已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( )A ．－2425B ．－1225 C.1225 D.24255、函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π8D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π166、设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．07、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A .233 B.476C ．6D ．7 8、已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 013等于( ) A ．2 013 B ．－2 013 C ．－4 026 D ．4 0269、设非零向量a ，b ，c ，满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，b 与c 的夹角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 10、已知函数f(x)＝xsin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f(1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＞f(1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 B ．f(1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f(1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f(1)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．11、函数f(x)＝ln(x 2－x)的定义域为 .12、在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．13、已知x>0，y>0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________. 14、已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则的最小值为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15、(10分)数列{a n } 满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列； (2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前 n 项和 S n .16、(10分)设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f(x)＝a ·b ，求f(x)的最大值．17、(10分)矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为CD 的中点，沿AE 将△DAE 折起到△D 1AE 的位置，使平面D 1AE ⊥平面ABCE.(1)若F 为线段D 1A 的中点，求证：EF ∥平面D 1BC ；(2)求证：BE ⊥D 1A.河北省石家庄市2020届高三9月联考数学试卷参考答案1-5. ACBAB 6-10. AACAA11. (－∞，0)∪(1，＋∞) 12. 2 3 13. 3＋2 2 14. 515. (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)得a n n ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n .S n ＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.②①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n ）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32. 所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34. 16. (1)由|a |2＝(3sin x)2＋sin 2x ＝4sin 2x ，|b |2＝cos 2x ＋sin 2x ＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12， 所以x ＝π6. (2)f(x)＝a ·b ＝3sin xcos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f(x)的最大值为32. 17. 证明：(1)取AB 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BC ，FG ∥D 1B ，且EG ∩FG ＝G ，EG 、FG ⊂平面EFG ；D 1B ∩BC ＝B，D1B、BC⊂平面D1BC.∴平面EFG∥平面D1BC，注意到EF⊂平面EFG，∴EF∥平面D1BC.(2)在矩形ABCD中，∵AD＝DE＝1，∴AE＝2，同理，BE＝2，又AB＝2，∴BE⊥EA，又已知平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE，又∵D1A⊂平面D1AE，∴BE⊥D1A.。

河北省2020届高三上学期百校联考试题数 学（文科）考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第I 卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 A= {2<|||x x }{043|2≤--x x x }，则B A I (C R B)=A. (-2，-1)B. (-2,4)C. (-1,2)D. (2,4)2.已知R b a ∈,，若i a +与bi -3互为共辄复数，则=-2)(bi aA.3B. 10C. 32D.103. 已知l 为直线，α为平面，则α∥l 的充要条件是A ．l 与α没有交点 B.存在直线，使得m ∥lC α⊄l D.在平面a 内存在无数条直线与直线α∥l 平行4.已知55sin ),2,0(=∈θπθ，则=θθtan 2cos A. 103- B. 103 C. 56- D. 56 5.若b a ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤0120-x y x y x ,则y x z -=2的最大值为A.-5B.-3C. 1D.26.已知ABC ∆ 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且4b 1,a 4ccosC,bcosA acosB ===+,则=cA. 1B. 23C. 32D. 157.函数)1()1(2)(+-=x x e x e x f 的部分图象大致为8.将函数x x f sin 2)(=的图象上所有点的横坐标缩短为原来的21，纵坐标不变，再将得到的图象向右平移12π个单位长度，得到)(x g y = 的图象，则)(x g y =的图象的一条对称轴可能是A.12π=x B. 4π=x C. 3π=x D. 32π=x 9. 某校髙三年级共有1200名学生，所有同学的体重（单位：kg)在[50,75]范围内，在一次全校体质健康检查中，右图是学生体重的频率分布直方图.已知图中从左到右的前3个小组的高度之比为1:2: 3,那么体重在[55,60)的学生人数为A. 200B. 300C. 350D.400 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 34256+B.34232+ C. 3856+ D.2832+11.古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G 信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现5G 商用，已知甲、乙两地相距4公里，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的万倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位:平方公里)是A. 32B. 34C. 63D. 6412.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤=4<2,ln 20,21)(x x x x x f ,若存在实数21,x x 满足4<021≤≤x x ,且)()(21x f x f =，则12x x -的最大值为 A. e 22- B. 1 C. 2ln 2+ D. 2ln 2-第II 卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知平面向量)1,1(),2,1(),7,1(=-=-=c b a ，若c b a ∥)(λ+，则实数=λ ▲ .14. 本届世界军运会在中国武汉举行，这次军运会增进了各国人民的友谊，传递了热爱和平的信息，如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名运动员五次射箭比赛的成绩(满分:10环），则甲的平均成绩比乙的平 均成绩多 ▲ 环，甲的成绩的众数与乙的成绩的众数之和为 。

2019—2020学年度上学期高三年级二调考试数学（文科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第I 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第I 卷一．选择题（从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1.若集合}{12A x x =-≤≤，{}10B x x =-<，则A B U =( ). A. }{1x x <B. }{11x x -≤<C. {}2x x ≤D.{}21x x -≤<【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集的定义求解即可.【详解】因为}{12A x x =-≤≤，{}{}101B x x x x =-<=<， 所以，根据并集的定义：A B ⋃是属于A 或属于B 的元素所组成的集合， 可得{}2A B x x ⋃=≤，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合.2.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b a c >>D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小.【详解】由于300.20.2<<，22log 0.3log 10<=， 331log 2log 32>=， 则323log 0.30.2log 2<<，即c a b >>.故选D.【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.3.函数()2ln 11y x x =-+-的图象大致为( )A B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用对称性排除A ，C ；利用单调性排除D ，从而得到结果.【详解】由于2ln y x x =+为偶函数，所以()2ln 11y x x =-+-关于直线x 1=轴对称，从而可排除A ，C ；2ln y x x =+在()0∞+，上为增函数，所以()2ln 11y x x =-+-在()1∞+，上为增函数，排除D; 故选B【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4.在ABC ∆中，角AB C 的对边分别为a,b,c,且sin 22,1,,1cos 26c b B c π===- 则a 的值为( )A.31- B. 232C. 232D.62【答案】D 【解析】 【分析】由sin211cos2c c =-得到角C ，又6B π=，故A=712π，利用正弦定理即可得到结果.【详解】由sin211cos2c c =-可得：2212sinCcosC sin C =,即tanC=1,故C=,4πA=712π由正弦定理：a b sinA sinB = 可得：7126a bsin sin ππ=, ∴7a 4s?6212in π==故选D【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 5.已知1sin()62πθ-=，且02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos()3πθ-=( ) A. 0 B.12C. 13【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意求出θ的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果 【详解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础6.已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ) A. 10 B. 9C. 8D. 5【答案】D 【解析】【详解】由题意知,23cos 2A+2cos 2A-1=0, 即cos 2A=125, 又因△ABC 为锐角三角形, 所以cosA=15. △ABC 中由余弦定理知72=b 2+62-2b×6×15,即b 2-125b-13=0, 即b=5或b=-135(舍去),故选D.【此处有视频，请去附件查看】7.已知奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，当()0,1x ∈时，()4xf x =，则()4log 184(f =)A. 3223-B.2332C.34D. 38-【答案】A【解析】 【分析】 根据函数的周期性结合奇偶性推导出()()44442332log 184log 18443223f f f log flog ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用()0,1x ∈时，()4x f x =能求出结果．【详解】Q 奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，()()44423log 184log 184432f f f log ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭因为4231032log -<<， 所以442332013223log log <-=< 所以444233232322323f log f log f log ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为当()0,1x ∈时，()4xf x =，所以432log 23432423f log ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3223=-,故选A ． 【点睛】本题考查对数的运算法则，考查函数的奇偶性、周期性等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．解答函数周期性、奇偶性、解析式相结合的问题，通常先利用周期性与奇偶性转化自变量所在的区间，然后根据解析式求解. 8.已知1cos sin 5αα-=，则cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ).A. 2425-B. 45- C. 2425D.45【答案】C 【解析】 【分析】 将1cos sin 5αα-=两边平方，求出24sin 225α=，利用诱导公式可得结果.【详解】因为1cos sin 5αα-=， 所以22cos 2sin cos sin 1sin 2ααααα-+=-=125， 所以24sin 225α=，cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭24sin 225α=，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos ,4,cos a c Cb b B-==则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A. 43 B. 23 C. 23【答案】A 【解析】 【分析】由已知式子和正弦定理可得B ，再由余弦定理和基本不等式可得ac ≤16，代入三角形的面积公式可得最大值． 【详解】∵在△ABC 中，2cos cos a c Cb B-= ∴（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ， ∴（2sin A ﹣sin C ）cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B +sin B cos C ＝sin （B +C ）＝sin A ，约掉sin A 可得cos B ＝12，即B ＝3π，由余弦定理可得16＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B 3≤3故选A ．【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．10.已知函数()()xxf x x e e-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为()()()()xx x x f x x e e x e e f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，0x >时，()1xxf x x e e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()f x 在()0,∞+上递增， 所以函数()f x 在R 上为单调增函数， 对于任意实数a 和b ，若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-，Q 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，()()0f a f b ∴+>，充分性成立；若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-，Q 函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，0a b ∴+>，必要性成立，∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.11.如图是函数()sin y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，将该图像向右平移()0m m <个单位长度后，所得图像关于直线4x π=对称，则m 的最大值为（ ）．A. 12π-B. 6π-C. 4π-D. 3π-【答案】B 【解析】 【分析】由函数图像可得函数解析式为：sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由三角函数图像的平移变换可得平移后的解析式为sin 223y x m π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，再结合三角函数图像的对称性可得,26k m k Z ππ=-+∈，再求解即可. 【详解】解：由题意可知，25()66T ππππω==--=，所以2ω=， 根据五点作图法可得2()06πϕ⨯-+=，解得3πϕ=，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将该函数图像向右平移()0m m <个单位长度后，得到sin 223y x m π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图像， 又sin 223y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像关于直线4x π=对称，所以22432m k ππππ⨯-+=+，即,26k m k Z ππ=-+∈， 因为0m <，所以当0k =时，m 取最大值6π-， 故选B.【点睛】本题考查了由函数图像求解析式及三角函数图像的平移变换，重点考查了三角函数图像的对称性，属基础题. 12.若函数2()(1)(0)f x ln x ax a x=-+->恰有一个零点，则实数a 的值为( ) A.12B. 2C.1eD. e【答案】A 【解析】 【分析】先将函数零点转化为直线与曲线相切问题，再利用导数求切点即得切线斜率，即得a 的值. 【详解】函数的定义域为()1,+∞，若函数()()21(0)f x ln x ax a x =-+->恰有一个零点， 等价为()()210f x ln x ax x=-+-=恰有一个根，即()21ln x ax x-+=只有一个根，即函数()21y ln x x=-+和y ax =的图象只有一个交点，即当0a >时，y ax =是函数()21y ln x x=-+的切线,设()()21g x ln x x =-+，切点为(),m n ，则()21ln m n m-+=，因为()222122201x 1x x g x x x x -+=-=>--'，切线斜率()212'1k g m a m m ==-=-，则切线方程为()2121y n x m m m ⎛⎫-=--⎪-⎝⎭，Q 切线过原点()2122101m ln m m mm ⎛⎫∴--+-+= ⎪-⎝⎭， 即()4101m ln m m m -+-=-， 因为()()()()()()()2222224111111m m m m mln m m m m m m m m --+--+-≤---=--- 所以2m =，此时21212111121422a m m =-=-=-=--， 故选A ．【点睛】本题考查函数零点以及导数几何意义，考查综合分析求解能力，属中档题.第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知3sin()(0)25πααπ-=-<<，则sin 2α=__________． 【答案】2425- 【解析】 【分析】由题意求出sin α和cos α，然后再利用倍角公式求解． 【详解】∵3sin cos (0)25παααπ⎛⎫-==-<<⎪⎝⎭，∴2415sin cos αα=-=， ∴342422sin cos 2()5525sin ααα==⨯-⨯=-．故答案为2425-． 【点睛】本题考查同角三角函数关系及倍角公式，解题时容易出现的错误是忽视函数值的符号，属于简单题．14.将函数()sin cos (,R,0)f x a x b x a b a =+∈≠的图象向左平移6π个单位长度，得到一个偶函数图象，则ba=________． 3 【解析】 【分析】根据平移后关于y 轴对称可知()f x 关于6x π=对称，进而利用特殊值()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭构造方程，从而求得结果. 【详解】()f x Q 向左平移6π个单位长度后得到偶函数图象，即关于y 轴对称 ()f x ∴关于6x π=对称 ()03f f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭即：31sincos 332a b b bππ+=+= 3b a ∴= 3【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解. 15.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e =，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e =，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键． 16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________. 3【解析】 【分析】由()1cos cos 2A C B --=，可得1cos cos 4A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理 可得2sin sin sinB AC =，两式相减，可求得3B π=，从而得ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，ACD S ∆ ()32a =-，利用基本不等式可得结果. 【详解】()cos cos A C B --Q ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，① 又,,a b c Q 成等比数列，2b ac ∴=，由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，② ①-②得21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=- ()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==， 由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A C B -=+=，0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD o ∆=⋅ ()()13322224a a a a =-⨯=- ()22334a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立． 即ACD ∆33【点睛】本题主要考查对比中项的应用、正弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.三．解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.将函数()sin2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()g x 的图像，设函数()()()h x f x g x =-.（Ⅰ）求函数()h x 的单调递增区间；（Ⅱ）若163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()h α的值.【答案】(Ⅰ) ()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，(Ⅱ) 13- 【解析】 【分析】(Ⅰ)由已知可得()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin2sin 2sin 233h x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由 222232k x k πππππ-+≤-≤+，解不等式即可得结果；(Ⅱ)由163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21sin 2sin 26333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得()21 sin 22333h sin ππααα⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】(Ⅰ)由已知可得()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 则()sin2sin 23h x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭1322sin 2223sin x cos x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，，解得51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，. ∴函数()h x 的单调递增区间为()51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.(Ⅱ)由163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21sin 2sin 26333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴221sin 2223333sin sin πππααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()13h α=-. 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的单调性，属于中档题.函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.18.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5b =，()a b +()sin 2sin A b A C =+．（1）证明：ABC V 为等腰三角形．（2）设点D 在AB 边上，2AD BD =，17CD =AB 的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理sin sin a b A B=，化角为边可得()22a a b b +=，再运算可得证； （2）设BD x =222217217x x =⨯⨯⨯⨯.【详解】（1）证明：因为()()sin 2sin 2sin a b A b A C b B +=+=，所以由正弦定理sin sin a b A B=，可得()22a a b b +=，整理可得()()20a b a b +-=． 因为20a b +>，所以a b =，ABC V 为等腰三角形，得证． （2）解：设BD x =，则2AD x =，由余弦定理可得2cos 2217CDA x ∠=⨯⨯2cos 217CDB x ∠=⨯⨯．因为CDA CDB π∠=-∠，222217217x x =⨯⨯⨯⨯2x =，所以6AB =．【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了解斜三角形及运算能力，属中档题. 19.已知函数2()f x x xlnx =-．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若2()2x f x k ->在(1,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0x y -=；（2）1(,]2-∞.【解析】 【分析】（1）对()f x 求导得到()f x '，代入切点横坐标1x =得到斜率，再写出切线方程；（2）令()()2222x x g x f x xlnx =-=-，证明其导函数在()1,+∞上恒为正，即()g x 在()1,+∞上恒增，而k 要满足()k g x <在()1,+∞上恒成立，从而得到k 的取值范围【详解】（1）()2f x x xlnx =-Q ，()'21f x x lnx ∴=--，'f （1）1=，又f （1）1=，即切线的斜率1k =，切点为()1,1， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程0x y -=；（2）令()()2222x x g x f x xlnx =-=-，()1,x ∈+∞，则()'1g x x lnx =--，令()1h x x lnx =--，则()11'1x h x x x-=-=． 当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞上为增函数，故()h x h >（1）0=； 从而，当()1,x ∈+∞时，()''g x g >（1）0=． 即函数()g x 在()1,+∞上为增函数，故()g x g >（1）12=． 因此，()22x f x k ->在()1,+∞上恒成立，必须满足12k …．∴实数k 的取值范围为(-∞，1]2．【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题. 20.已知()ln 1mf x n x x =++（m ，n 为常数），在1x =处的切线方程为20x y +-=． （Ⅰ）求f （x)的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若1,1x e⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，使得对1,22t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦上恒有32)22f x t t at ≥--+（成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若2()()()1g x f x ax a R x =--∈+有两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e ⋅>. 【答案】（Ⅰ）21()ln 12f x x x =-+，x∈（0，+∞）；（Ⅱ）5[,)4+∞；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义意义求得m ，n 的值，根据对数函数的定义得到函数定义域； （Ⅱ）f （x ）在[1e ，1]上的最小值为f （1）＝1，只需t 3﹣t 2﹣2at +2≤1，即212a t t t≥-+对任意的122t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，构造函数m （t ），利用导数求出m （t ）的最大值，即可求得结论；（Ⅲ）不妨设x 1＞x 2＞0，得到g （x 1）＝g （x 2）＝0，根据相加和相减得到12112122x x x lnx lnx ln x x x ++=-，再利用分析法，构造函数，求出函数单调性和函数的最小值，问题得以证明．【详解】解：（Ⅰ）由f （x ）=1m x ++nlnx 可得()()21m n f x x x +'=-+， 由条件可得()114mf n =-+=-'，把x=-1代入x+y =2可得，y =1， ∴()112m f ==，∴m=2，12n =-，∴()21ln 12f x x x =-+，x∈（0，+∞）， （Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴f （x ）在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为f （1）=1， 故只需t 3-t 2-2at +2≤1，即212a t t t≥-+对任意的1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()21m t t t t =-+，()()2221112t 122112t m t t t t t t +⎛⎫=--=-+-=-+ ⎝'⎪⎭易求得m （t ）在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，[1，2]上单调递增，而1724m ⎛⎫=⎪⎝⎭，()522m =，∴2a≥m （t ）max=g （2），∴54a ≥，即a 的取值范围为5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅲ）∵()1ln 2g x x ax =--，不妨设x 1＞x 2＞0， ∴g （x 1）=g （x 2）=0， ∴111ln 2x ax -=，221ln 2x ax -=，相加可得()()12121ln ln 2x x a x x -+=+，相减可得()()12121ln ln 2x x a x x --=-， 由两式易得：12112122ln ln ln x x x x x x x x ++=-；要证212x x e >，即证明12ln ln 2x x +>，即证：121122ln 2x x x x x x +>-，需证明112212ln 2x x x x x x ->+成立，令12xt x =，则t ＞1，于是要证明()21ln 1t t t ->+，构造函数()()21ln 1t t t t ϕ-=-+，∴()()()()222114011t t t t t t ϕ-=-=+'>+，故ϕ（t ）在（1，+∞）上是增函数， ∴ϕ（t ）＞ϕ（1）=0，∴()21ln 1t t t ->+，故原不等式成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了利用已经证明的结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.21.已知函数()()11ln x f x ea x x -=--+ (a R ∈，e 是自然对数的底数).（1）设()g x =()f x ' (其中()f x '是()f x 的导数)，求()g x 的极小值； （2）若对[)1,x ∈+∞，都有()1f x ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】(Ⅰ) 2a -(Ⅱ) (] 2-∞，【解析】 【分析】(Ⅰ)求出()g x '，分别令()'0g x >求得x 的范围，可得函数()g x 增区间，()'0g x <求得x 的范围，可得函数()g x 的减区间，结合单调性可求得函数的极值；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减，()()12f x f a ''≥=-.讨论当2a ≤时，当2a >时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而可筛选出符合题意的实数a 的取值范围.【详解】(Ⅰ)()()()110x g x f x ea x x -=+-'=>，()121x g x e x--'=. 令()()()1210x x g x e x x ϕ-=-'=>，∴()1320x x e xϕ-'=+>，∴()g x '在()0+∞，上为增函数，()10g '=. ∵当()01x ∈，时，()0g x '<；当()1x ∈+∞，时，()0g x '>， ∴()g x 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为()1+∞，， ∴()()12g x g a ==-极小.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减， ∴()()12f x f a ''≥=-.当2a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[)1+∞，上单调递增，()()11f x f ≥=，满足条件； 当2a >时，()120f a ='-<. 又∵()ln 11ln 10ln 1ln 1af a ea a a +=-+=>++'，∴()01ln 1x a ，∃∈+，使得()00f x '=，此时，()01x x ∈，，()0f x '<；()0ln 1x x a ∈+，，()0f x '>， ∴()f x 在()01x ，上单调递减，()01x x ∈，，都有()()11f x f <=，不符合题意. 综上所述，实数a 的取值范围为(]2-∞，. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.22.已知函数()221ln 2x f x x ax e e x=-++-（e为自然对数的底数）． （1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程；（2）证明：当a e ≤时，不等式32212ln x ax x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立． 【答案】（1）0y = （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数为()'21ln 22xfx x e x -=--，再由导数的几何意义可得，所求切线的斜率即为()0f e '=，再求切线方程即可； （2）先构造函数()2212g x x ex e e =-++，()()ln 0x h x x x=>，结合导数的应用判断函数的单调性求出函数()g x 的最小值，函数()h x 的最大值，再比较大小即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，当a e =时，()221ln 2xf x x ex e e x=-++-，解得()0f e =， 又()'21ln 22xfx x e x-=--， 所以()0k f e '==．则曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为0y =． （2）证明：当a e ≤时，得2222ax ex -≥-， 要证明不等式32212ln x ax x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立，即证32212ln x ex x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立，即证22ln 12x x ex e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立， 即证221ln 2xx ex e e x-++≥成立， 令()2212g x x ex e e =-++，()()ln 0x h x x x =>，易知()()1g x g e e≥=，由()21ln xh x x -'=，知()h x 在区间()0,e 内单调递增，在区间()0,∞+内单调递减，则()()1h x h e e≤=， 所以()()g x h x ≥成立．即原不等式成立．【点睛】本题考查了导数的几何意义及利用导数证明不等式，重点考查了函数与不等式的相互转化，属综合性较强的题型.。